EFETUANDO INTEGRAIS Fundamentos de Matemática I · Algumas primitivas imediatas ou quase...
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Licenciatura em ciências · USP/ Univesp
Gil da Costa Marques
17EFETUANDO INTEGRAIS
17.1 Introdução17.2 Algumas Propriedades da Integral Definida
Propriedade 1Propriedade 2Propriedade 3Propriedade 4
17.3 Uma primeira técnica de Integração17.3.1 Mudança de Variável17.3.2 Primitivação por substituição
Fund
amen
tos
de M
atem
átic
a I
375
Fundamentos de Matemática I
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1
17.1 IntroduçãoPara calcular integrais das funções simples, basta fazer uso do conceito de antiderivada.
Nesse caso o procedimento é simples e direto. Tudo que devemos saber é a antiderivada do
integrando. Considere o exemplo abaixo:
Exemplos• ExEmplo 1:
Determine a integral definida da função de expoente real f(x) = x3/2 no intervalo [1,4].
Sabendo-se que sua antiderivada é a função f x x( ) = ( )25
5 2 , encontramos:
17.1
E isso, como apontado antes, porque
17.2
• ExEmplo 2:
Analogamente, podemos escrever que a integral indefinida da função exponencial é dada por:
17.3
e, portanto, a integral definida abaixo pode ser determinada facilmente:
17.4
Entretanto, determinar as primitivas de algumas funções nem sempre é tão simples. Exige
que utilizemos certas propriedades e técnicas.
x dx x3 2
1
45 2
1
45 2 5 2 52
525
4 1 25
2 1 625∫ = ( ) = ( ) − ( )( ) = ( ) − ( )( ) =
x dx x C3 2 5 225( ) = ( ) +∫
e dx e Cx x( ) = +∫
e dx e ex x( ) = = − =∫0
2
0
2
2 1 1ln ln
ln
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17 Efetuando Integrais
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17.2 Algumas Propriedades da Integral DefinidaPara a integral definida,valem as seguintes propriedades:
Propriedade 1
Se f e g são funções integráveis no intervalo [a,b], então a função f + g é integrável em [a,b] e
17.5
Ou seja, a integral da soma é a soma das integrais.
• ExEmplo 3:
17.6
Propriedade 2
Se k é uma constante e f é uma função integrável no intervalo [a,b], então a função k⋅f é
integrável em [a,b] e
17.7
Assim, a integral do produto de um número por uma função é igual ao produto desse
número pela integral da função.
f x g x dx f x dx g x dxa
b
a
b
a
b
( ) + ( ) = ( ) + ( )∫ ∫ ∫
x x dx x dx x dx
x x
2 3
1
22
1
23
1
2
3
1
2 4
1
2
3 3 4
3 4
23
13
2
+( ) = + =
= +
= −
+
∫ ∫ ∫
4414
83
13
4 14
7312
4
−
= − + − =
k f x k f xa
b
a
b
∫ ∫⋅ ( ) = ⋅ ( )
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• ExEmplo 4:
17.8
Propriedade 3
Se f é uma função integrável no intervalo [a,b] e c é um ponto qualquer do intervalo [a,b], então
17.9
• ExEmplo 5:
Calculemos I x dx= ∫ 2
1
3
de duas formas:
1. primeiramente de modo direto:
17.10
2. agora, usando a propriedade:
17.11
4 4
43
4 23
13
4 83
13
28
2
1
22
1
2
3
1
2
3 3
x dx x dx
x
∫ ∫= =
= ⋅ =
= −
= −
= 33
f x dx f x dx f x dxa
b
a
c
c
b
( ) ( ) ( )= +∫ ∫ ∫
Gráfico 17.1: I x dx x dx x dx= = +∫ ∫ ∫2
1
32
1
22
2
3
x dx x2
1
3 3
1
3
3273
13
263∫ = = − =
I x dx x dx x dx
x x
= = + =
= +
= −
+ −
∫ ∫ ∫2
1
32
1
22
2
3
3
1
2 3
2
3
3 3 3
3 3
23
13
33
233
3 3
3
33
13
263
= − =
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A propriedade 17.9 se revela especialmente útil quando a função for descontínua. Assim, se
c for um ponto de descontinuidade da função, a área da região compreendida entre seu gráfico
e o eixo horizontal será dada pela soma definida em 17.9.
Propriedade 4
Se f é uma função integrável no intervalo [a,b] então é válida a seguinte propriedade da
integral definida
17.12
Basta observar que f x dxa
a
( ) =∫ 0 , de onde f x dx f x dxb
a
a
b
( ) ( )+ =∫∫ 0 .
• ExEmplo 6:
17.13
Portanto, I1 = −I2, isto é:
17.14
Gráfico 17.2: A função f é descontínua no ponto c e
f x dx f x dx f x dx
a
b
a
c
c
b
( ) ( ) ( )= +∫ ∫ ∫
f x dx f x dxa
b
b
a
( ) = − ( )∫ ∫
I xdx x
I xdx x
12
3 2
2
3 2 2
23
2 2
3
2 2 2
232
22
92
42
52
222
32
5
= = = − = − =
= = = − = −
∫
∫ 22
xdx xdx2
3
3
2
∫ ∫= −
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17.3 Uma primeira técnica de Integração17.3.1 Mudança de Variável
Muitas vezes o cálculo de integrais pode ser efetuado de uma forma simples mediante
uma mudança de variável. Para efeito de ilustração, consideremos o caso de uma integral de
quociente de funções simples.
• ExEmplo 7:
Efetue a integral, abaixo, na dependência dos parâmetros a e b.
17.15
Lembrando que:
17.16
A integral acima pode ser escrita como:
17.17
Colocando
17.18
Observamos que a primitiva do integrando de 17.17, é
17.19
Portanto,
17.20
I xxdx
a
b
= ∫cossen2
d x xdxsen = cos
I d xxa
b
= ∫sen
sen2
y x= sen
d xx
dyy y
CxC
sensen sen( )
= = − + = − +∫ ∫2 2
1 1
Ix a ba
b
= − = −1 1 1
sen sen sen
380
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Para verificarmos a validade de 17.19, devemos derivar o lado direito de 17.19, e verificar que essa
derivada é igual ao integrando de 17.15. De fato, obtemos
17.21
Consideremos uma integral definida, arbitrária, da forma:
17.22
e a mudança de variável definida por:
17.23
Temos que
17.24
Assim, podemos efetuar a integral por meio do uso da variável u. Nesse caso, a integral
17.22 se escreve:
17.25
onde os limites ua e ub são definidos em 17.22.
• ExEmplo 8:
Os casos mais simples de integrais são aqueles envolvendo funções simples.
Consideremos agora o caso em que o argumento da função é kx, k constante. Ou seja, considere-
mos a integral indefinida de uma função da forma:
17.26
ddx x
C ddx x x
d xdx
xx
− +
= −
= ( )
=1 1 1
2sen sen sensen cos
sen(( )2
I g x dxa
b
= ( )∫
x h u= ( )
dx dh udu
du h u du a h u b h ua b= = ′ = =( ) ( ) ( ) ( )
I g x dx g h u h u dua
b
u
u
a
b
= ( ) = ( ) ′( )∫ ∫ ( )
I g kx dx= ( )∫
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Efetuando a substituição
isto é,
17.27
Podemos escrever a integral 17.26, sob a forma:
17.28
Portanto, se y for a antiderivada de g, segue de 17.28, que:
17.29
• ExEmplo 9:
Determine a integral
17.30
Pelo que foi visto acima, obtemos para a integral indefinida da função g(x) = cos(kx)
17.31
e, portanto, a integral definida em 17.30 é:
17.32
u kxdu kdxduk
dx
==
=
u kx dx duk
= ⇒ =
g kx dxkg u du( ) = ( )∫ ∫
1
g kx dx y kxk
C( ) = +∫( )
I kx dx= ( )∫ cos0
2π
cossen
kx dxkxk
C( ) =( )
+∫
cos sen sen sen . senkx dx kx
k
k
kkk
k
k( ) = =
( )−
( )=
( )∫0
2
0
2
2 0 2π π π π
382
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• ExEmplo 10:
Considere uma função dependente do tempo, que é dada pela integral:
17.33
Em primeiro lugar, examinemos a integral indefinida:
17.34
aonde fizemos a mudança de variável u = (av)2 ⇒ du = 2a2v dv e, portanto, [1/(2a)]du = av dv.
Logo,
17.35
• ExEmplo 11:
Determine a integral definida no intervalo [0, t], cuja expressão é:
17.36
Observamos que a integral dada pode ser escrita da seguinte maneira:
17.37
e, fazendo a substituição
17.38
obtemos para a integral indefinida correspondente
17.39
x t x t avav
dvt
t
( ) ( )( )
− =+
∫0 210
avav
dva u
dua
u Ca
u Ca
av C1
12
11
22
1 1 1 1 12
2
+=
+= + + = + + = + +∫ ∫( )
( )
x t x ta
ava
at att
t
( ) ( ) ( ) ( ) ( )− = + = + − +( )02 2
021 1 1 1 1
0
y t dvv
t
( ) =+
∫101 4 2
0
y t d vv
t
( ) ( )( )
=+
∫102
21 2 2
0
2 22
v w dv w dwd v w d
= ⇒ ==
senh cosh( ) cosh
ww
5 21 2
51
5 5 5 22 2
d vv
w dww
dw w C v C( )( )
coshsenh
arcsenh+
=+
= = + = +∫ ∫ ∫
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ou seja
17.40
Algumas primitivas imediatas ou quase imediatas:
y t d vv
v tt
t( ) ( )( )
arcsenh arcsenh arcsenh .=+
= = − =∫52
1 25 2 5 2 5 2 0
20
055 2arcsenh t
Um lembrete!
As funções hiperbólicas são definidas pelas expressões:
17.41
17.42
É possível verificar que
17.43
e que
17.44
Mais ainda,
17.45
de onde,
cosh2x = 1 + senh2x
fato esse que foi usado na integral anterior.
senh x e ex x
=− −
2
cosh x e ex x
=+ −
2
ddx
x e e xx x
(senh ) cosh=+
=−
2
ddx
x e e xx x
(cosh ) senh=−
=−
2
cosh senh2 22 2 2 22
424
44
1x x e e e ex x x x
− =+ +
−− +
= =− −
384
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• ExEmplo 12:
17.46
É uma primitiva imediata pois ddx
x xtg sec( ) = 2 , logo
17.47
• ExEmplo 13:
17.48
Uma vez que sec2x = 1 + tg2x, temos que
17.49
2sec xdx∫
sec tg2 xdx x C∫ = +
2tg xdx∫
tg sec tg2 2 1xdx x dx x x C∫ ∫= −( ) = − +
• ExEmplo 14:Neste exemplo é preciso um cuidado especial.
A função integrando está definida para todo número real não nulo.
• Se x > 0 então 1 lndx x Cx
= +∫ pois ( ) 1lnd xdx x
=
• Se x < 0 então ( )1 1 lndx dx x Cx x
= − = − +−∫ ∫ pois
( )( ) 1lnd xdx x
− = −−
pela Regra da Cadeia. (Lembre que só existe logaritmo de número estritamente positivo e que, se x < 0, então −x > 0.)
Logo, reunindo os dois casos,
17.50i1 dxx∫
17.51i
17.52i
17.53i1xdx x C= +∫ ln
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• ExEmplo 15:
17.54
Como
17.55
(faça a divisão de polinômios para chegar a esse resultado)
temos:
17.56
(verifique com cuidado.)
• ExEmplo 16:
17.57
Como x
x x
2
2 211 1
1+= −
+, então
17.58
pois ddx
xx
arctg( ) =+1
1 2 .
• ExEmplo 17:
17.59
17.60
(verifique.)
1 53 1−+∫x
xdx
1 53 1
53
83
3 153
83
13 1
−+
= − ++
= − + ⋅+
xx x x
1 53 1
5383
13 1
53
89
3 1−+
= − + ⋅+
= − + + +∫ ∫
xx
dxx
dx x x Cln
xx
dx2
2 1+∫
xx
dx x x C2
2 1+= − +∫ arctg
2 3e dxx−∫
2 2 23
3 3 3e dx e dx e Cx x x− − −∫ ∫= = − +
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17.3.2 Primitivação por substituição
Lembramos, utilizando o conceito de função composta, que: f g x g x dx f u du( )( ) ′( ) = ( )∫ ∫. .
É importante observar que, para utilizar esta técnica, é importante que no integrando esteja
presente a derivada – ou quase, a menos de constante multiplicando – de uma função u = g(x), sendo u a variável de uma outra função que se quer integrar.
Alguns exemplos resolvidos:
• ExEmplo 18:
Como x2 é “quase” a derivada de x3, fazemos:
u x du x dx= + ⇒ =3 25 3 ou (1/3)du = x2dxe daí
(Lembre que k f x dx k f x dx. .( ) = ( )∫ ∫ . Por quê?)
• ExEmplo 19:
Basta notar que ddx
x xsen cos( ) = ; logo fazemos:
e daí
x x dx2 3 5sen +( )∫
x x dx udu u C x C2 3 35 13
13
13
5sen sen cos cos+( ) = = − + = − +( ) +∫ ∫
sen cosx xdx∫
u x du xdx= ⇒ =sen cos
sen cos senx xdx udu u C x C∫ ∫= = + = ( ) +
32 3
232
23
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• ExEmplo 20:
Tendo em vista que
fazemos:
e daí
• ExEmplo 21:
Considerando que
fazemos:
e daí
x x dx3 123 +∫
ddx
x x3 1 62 +( ) =
u x du xdx= + ⇒ =3 1 62
x x dx udu u du u C x C x3 1 16
16
16
34
18
3 1 18
323 313
43 2
43 2+ = = = ⋅ + = +( ) + =∫ ∫ ∫ ++( ) +1
43 C
xxdx
2
31 9−∫
ddx
x x1 9 273 2−( ) = −
u x du x dx= − ⇒ = −1 9 273 2
xxdx du
uu du u C x C
2
3
12
12 3
1 9127
127
127
2 227
1 9−
= − = − = − ⋅ + = − − +−
∫∫∫
388
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• ExEmplo 22:
Uma vez que ddx
e ex x3 33( ) = , fazemos:
logo,
• ExEmplo 23:
Uma vez que
fazemos:
logo,
∫ e3x dx
u e du e dxx x= ⇒ =3 33
e dx du u C e Cxx
331
3 3 3∫ ∫= = + = +
∫ x2ex3 dx
ddx
e x e dxx x3 3
3 2( ) = ⋅
u e du x e dxx x= ⇒ = ⋅3 3
3 2
x e dx du u C e Cxx
2 33
13 3 3∫ ∫= = + = +
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Mais dois exemplos, envolvendo esta técnica, no caso de integrais definidas:
• ExEmplo 24:
É preciso observar que a variável x varia no intervalo [1, 2].
Há duas maneiras de proceder:
Calculamos primeiro a integral indefinida ln x dx
x∫ e depois a integral definida. Assim,
(Note a substituição u = lnx ⇒ du = (1/x)dx)Agora,
pois ln1 = 0.
• Outra maneira de calcular 2
1
ln x dxx∫ é, ao fazer a mudança de variável, mudar também os limites
de integração, colocando agora a variação de u.
Assim, fazendo
temos:
logo
como antes.
2
1
ln x dxx∫
ln lnxxdx udu u C
xC∫ ∫= = + =
( )+
2 2
2 2
ln ln lnxxdx x
1
2 2
1
2 2
222∫ = =
u x duxdx= ⇒ =ln 1
x ux u= ⇒ == ⇒ =1 02 2ln
ln lnln lnxxdx udu u
1
2
0
2 2
0
2 2
222∫ ∫= = =
390
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• ExEmplo 25:
Temos:
(Lembre que 2 2 2x xe ex
= =ln ln e, portanto, ddx
ddx
e ex x x x2 2 2 22 2( ) = ( ) = ⋅ =ln ln ln ln )
Assim,
2 22
22
12
120
1
0
1x
x
dx∫ = = − =ln ln ln ln
.
1
0
2xdx∫
2 22
xx
dx C∫ = +ln
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