Dissertação-Edilson

Universidade Federal do Amazonas

Instituto de Cincias Exatas

Departamento de FsicaPrograma de Ps-Graduao em Fsica

MULTIFRACTALIDADE DAS CHUVAS

NA AMAZNIA E ANOMALIAS DE

TEMPERATURA NA SUPERFCIE DO

MAR

Edilson de Carvalho Filho

Manaus-AM, 3 de janeiro de 2013

Universidade Federal do Amazonas

Instituto de Cincias Exatas

Departamento de FsicaPrograma de Ps-graduao em Fsica

MULTIFRACTALIDADE DAS CHUVAS

NA AMAZNIA E ANOMALIAS DA

TEMPERATURA NA SUPERFCIE DO

MAR

Aluno: Edilson de Carvalho Filho

Orientador: Prof. Dr. Hidembergue Ordozgoith da Frota

Dissertao apresentada ao Programa de Ps-

Graduao em Fsica da Universidade Federal

do Amazonas-UFAM para obteno do ttulo de

Mestre em Fsica.

Banca Examinadora:

Prof. Dr. Hidembergue Ordozgoith da Frota (UFAM)

Prof. Dr. Fernando Fagundes Ferreira (USP)

Profa. Dra. Marta Silva dos Santos Gusmo (UFAM)

Manaus-AM, 3 de janeiro de 2013

.Agradecimentos

Em primeiro lugar agradeo a Deus.

Ao professor Hidembergue Ordorzgoith da Frota pela pacincia, incentivos e conselhos.

minha me Ana Maria de Carvalho Lima, pelo apoio incondicional, seu amor e sua f.

Ao meu pai Edilson Jos de Lima, por ser um homem inteiramente dedicado a famlia e pe-

los valiosos conselhos, que foram a mim dados desde muito cedo. A minha irm Elane de

Carvalho Lima, que sempre acreditou em mim e ao meu irmo Leonardo de Carvalho Lima.

s duas maiores razes da minha vida, Mirilene Neves de Freitas (esposa) e meu filho (ou filha)

que chegar no comeo de 2013.

Aos amigos que encontrei no departamento de fsica: Adlas Oliveira, Anne Beatriz, Cludio

Lima, Elcivan do Santos, Madson Canturio, Marclio Bcry e Marclio Ramos.

Ao grande amigo Celso Rgo pela ajuda, conselhos e pacincia.

Universidade Federal Do Amazonas (UFAM). Aos professores do departamento de Fsica da

UFAM. todas as pessoas que de certa forma contriburam para o sucesso de minha jornada.

s agncias FAPEAM, CNPQ e CAPES, pelo suporte financeiro.

i

.Resumo

Analisamos neste trabalho, sobre a perspectiva multifractal, os registros de chuva de dezesseis

estaes meteorolgicas localizadas no Brasil e em especial na Amaznia, situadas nas cidades

de Altamira, Araguatins, Cceres, Corumba, Cruzeiro do Sul, Guara, Ibotirama, Manaus, O-

riximin, Piranhas, Porto Velho, Santa Terezinha de Gois, Santarm, So Paulo de Olivena,

Tucuru e Xambio. Examinamos tambm, registros de anomalias de temperatura na superfcie

do mar (SSTA) relativos a sete regies localizadas no oceanos Atlntico e Pacfico denominadas

de Atlntico Norte, Atlntico Sul e Atlntico Tropical no oceano Atlntico e as regies Nino

1 + 2, Nino 3, Nino 4 e Nino 3.4. Calculamos os espectros multifractais das sries tempo-

rais estudadas, referentes aos dados de chuva e de SSTA, utilizando a metodologia MF-DFA

com incluso do passo zero. Medimos os coeficientes de correlao entre os dados de chuva

em relao aos dados de SSTA, encontrando uma fraca correlao entre as sries. Com base

no d-Processo Multiplicativo Multinomial simulamos zeros em sries de chuva por meio de

parmetros obtidos atravs de ajustes polinomiais dos espectros multifractais .

Palavras-chave: Sries temporais; chuva; Multifractalidade; Expoente de Hurst.

ii

.Abstract

In this work we analyzed, on the multifractal perspective, the rainfall records from sixteen

meteorological stations located in Brazil, especially in the Amaznia, in the towns of Altamira,

Araguatins, Cceres, Corumba, Cruzeiro do Sul, Guara, Ibotirama, Manaus, Oriximin, Pi-

ranhas, Porto Velho, Santa Terezinha de Gois, Santarm, So Paulo de Olivena, Tucuru and

Xambio. As well the the records of the sea surface temperature anomalies-SSTA for seven

regions located in the Atlantic and Pacific oceans, named North Atlantic, South Atlantic and

Tropical Atlantic, in the Atlantic ocean, and Nino 1 + 2, Nino 3, Nino 4 and Nino 3.4, in the

Pacific ocean. Using the MF-DFA methodology with the addition of the step zero, we calcu-

lated the multifractal spectra of the time series related to the rainfall and SSTA records. Also

we obtained the correlation between the rainfall and the SSTA data, finding a weak correlation

between these series. Based on the Multiplicative Multinomial d-Process, we simulated the ze-

ros in the rainfall series, using the parameters obtained through the polynomial adjustments of

the multifractal spectra.

Keywords: Time series; rainfall; Multifractality; Hurst exponent.

iii

Sumrio

1 Introduo 1

2 Fractal e Multifractal 7

2.1 Fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Dimenso Fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Multifractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Expoente de Hurst 14

3.1 Anlise do Alcance Reescalado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2 Noes Bsicas sobre Sries Temporais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3 Processos de Memria Longa e Leis de Potncia . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 MF-DFA com o Passo Zero 23

4.1 Descrio do mtodo MF-DFA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2 Relao entre o MF-DFA e a Anlise Multifractal Padro . . . . . . . . . . . . 29

4.3 Modelo Multifractal Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.4 Validao do Programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.5 Coeficiente de Correlao de Pearson (r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5 Processos Multiplicativos 36

5.1 Processo Multiplicativo Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.2 d-Processo Multiplicativo Multinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6 Dados Meteorolgicos 41

6.1 rea de Estudo: Amaznia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

iv

6.2 Dados de Chuva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.3 Dados de SSTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7 Resultados e Discusses 47

7.1 MF-DFA para as sries de chuva e de SSTA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7.2 Estimativa de zeros nas sries de chuva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

8 Concluso 64

v

Lista de Figuras

1.1 Localizao geogrfica das cidades onde esto localizadas as estaes meteoro-

lgicas analisadas neste trabalho [28]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Localizao geogrfica das regies do oceanos Atlntico e Pacfico analisadas

neste trabalho [32]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1 Exemplo de fractais: (a) brcolis, (b) samambaia, (c) rvore e (d) tringulo de

Sierpinski [37]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Segmento de reta S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Construo do tringulo de Sierpinski [35]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4 Exemplos de multifractais: (a) tempestade com raios, (b) nuvens e (c) partituras

tpicas, inveno n 1 por Bach [37]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1 Esboo de um reservatrio de gua com um fluxo de entrada (t) e uma descarga

mdia anual (t) , cuja diferena acumulada dada pela equao 3.2 [28] . . 153.2 Descarga anual do lago Albert (linha pontilhada) e a diferena da vazo mdia

acumulada (linha cheia). O alcance indicado por R [28]. . . . . . . . . . . . 17

3.3 exemplos de sries (a) estacionria e (b) no estacionria, para uma varivel

qualquer Q em funo do tempo t [40]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.4 Srie x(t) em (a) e suas componentes: Sazonalidade S(t) (b), Tendncia T(t) (c),

aleatria a(t) (d) [28]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.5 grfico da energia cintica Ec em funo da velocidade v(t). . . . . . . . . . . 21

4.1 (a) srie temporal de chuva para a estao localizada na cidade Manaus e (b)

sua respectiva srie integrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

vi

4.2 Grfico em escala loglog para os resuldos obtidos via MF-DFA com q = 2 para

as sries S(t) e WT (t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3 (a) h(q) e (b) (q) em funo de q para diferentes valores do parmetro a. . . . 32

4.4 Sries geradas a partir da equao 4.29 com o expoente de Hurst pr-determinado. 34

5.1 Comprimento da clula para o Processo Multiplicativo Binomial: (a) n = 1,

(b) n = 2, (c) n = 5 e (d) n = 12, sendo que p = 0, 25. O eixo x representa o

ndice de alocao do valor [28]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.2 Processo Multiplicativo Binomial com probabilidade p = 0.25 e n mximo

igual a 12. Em (a) temos (x) das clulas como funo de x = i212 em (b)

M(x) para o intervalo [0, x] como funo de x [28]. . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.1 Amaznia brasileira [54]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.2 Sries temporais de chuva para as estaes localizadas nas cidades de: (a)

Altamira, (b) Araguatins, (c) Cceres, (d) Corumba, (e) Cruzeiro do Sul, (f)

Guara, (g) Ibotirama e (h) Manaus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.3 Sries temporais de chuva para as estaes localizadas nas cidades de: (a) Orixi-

min, (b) Piranhas, (c) Porto Velho, (d) Santa Terezinha de Gois, (e) Santarm,

(f) So Paulo de Olivena, (g) Tucuru e (h) Xambio. . . . . . . . . . . . . . . 44

6.4 Sries temporais de SSTA para as estaes localizadas nas regies do: (a) Nino

1 + 2, (b) Nino 3, (c) Nino 4, (d) Nino 3.4, (e) Atlntico Norte, (f) Atlntico

Sul, (g) Atlntico Tropical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.5 Srie temporal derivada x(k) para as estaes localizadas nas regies do: (a)

Nino 1+2, (b) Nino 3, (c) Nino 4, (d) Nino 3.4, (e) Atlntico Norte, (f) Atlntico

Sul, (g) Atlntico Tropical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7.1 MF-DFA das sries de chuva em escala log-log de Fq(s), para q = 2, em

funo de s para as estaes localizadas nas seguintes cidades: (a) Altamira,

(b) Araguatins, (c) Cceres e (d) Corumba. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7.2 MF-DFA das sries de chuva em escala log-log de Fq(s), para q = 2, em funo

de s para as estaes localizadas nas seguintes cidades: (a) Cruzeiro do Sul, (b)

Guara, (c) Ibotirama e (d) Manaus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

vii


de s para as estaes localizadas nas seguintes cidades: (a) Oriximin, (b) Pi-

ranhas, (c) Porto Velho e (d) Santa Terezinha de Gois. . . . . . . . . . . . . . 57


de s para as estaes localizadas nas seguintes cidades: (a) Santarm, (b) So

Paulo de Olivena, (c) Tucuru e (d) Xambio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.5 MF-DFA das sries de SSTA em escala log-log de Fq(s), para q = 2, em funo

de s para as seguintes regies dos oceanos Pacfico e Atlntico: (a) Nino 1 + 2,

(b) Nino 3, (c) Nino 4 e (d) Nino 3.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7.6 MF-DFA das sries de SSTA em escala log-log de Fq(s), para q = 2, em funo

de s para as seguintes regies dos oceanos Pacfico e Atlntico: (a) Atlntico

Norte, (b) Atlntico Sul e (c)Atlntico Tropical. . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7.7 Expoente generalizado de Hurst h(q) (crculo) em funo de q e seus respec-

tivos ajustes via d-Processo Multiplicativo Multinomial (linha contnua) e via

Modelo Multifractal Binomial (linha pontilhada) para as estaes localizadas

nas seguintes cidades: (a) Altamira, (b) Araguatins, (c) Cceres e (d) Corumba. 59




nas seguintes cidades: (a) Cruzeiro do Sul, (b) Guara, (c) Ibotirama e (d) Man-

aus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59




nas seguintes cidades: (a) Oriximin, (b) Piranhas, (c) Porto Velho e (d) Santa

Terezinha de Gois. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

viii




nas seguintes cidades: (a) Santarm, (b) So Paulo de Olivena, (c) Tucuru e

(d) Xambio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60



Modelo Multifractal Binomial (linha pontilhada) para as seguintes regies do

oceano Pacfico: (a) Nino 1 + 2, (b) Nino 3, (c) Nino 4 e (d) Nino 3.4. . . . . . 61



Modelo Multifractal Binomial (linha pontilhada) para as seguintes regies do

oceano Pacfico: (a) Atlntico Norte, (b) Atlntico Sul e (c) Atlntico Tropical. 61

7.13 Expoente generalizado de Hurst h(q) em funo de q para as sries originais

(crculos) e para as sries embaralhadas (tringulos) para estaes localizadas

nas seguintes cidades: (a) Altamira, (b) Araguatins, (c) Cceres (d) Corumba,

(e) Cruzeiro do Sul, (f) Guara, (g) Ibotirama e (h) Manaus. . . . . . . . . . . . 62


(crculos) e para as sries embaralhadas (tringulos) para estaes localizadas

nas seguintes cidades: (a) Oriximin, (b) Piranhas, (c) Porto Velho (d) Santa

Terezinha de Gois, (e) Santarm, (f) So Paulo de Olivena, (g) Tucuru e (h)

Xambio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62


(crculos) e para as sries embaralhadas (tringulos) para as seguintes regies:

(a) Nino 1 + 2, (b) Nino 3, (c) Nino 4, (d) Nino 3.4, (e) Atlntico Norte, (f)

Atlntico Sul e (g)Atlntico Tropical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.16 Parmetro de corte ideal Pi em funo do parmetro d para as estaes repre-

sentativas localizadas nas cidades: Cceres, Cruzeiro do Sul, Oriximin e Tucuru. 63

ix

Lista de Tabelas

4.1 Comparao entre os valores de H pr-determinados e h(2) calculado a partir

da metodologia MD-DFA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6.1 Informaes sobre as estaes meteorolgicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

7.1 Expoente generalizado de Hurst, para q = 2 e o parmetro d. . . . . . . . . . . 52

7.2 Soma quadrtica dos resduos (SQR) para o ajuste do expoente generalizado de

Hurst via Modelo Multifractal Binomial (SQRa,b) e via d-Processo Multiplica-

tivo Multinomial (SQRpi,d). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7.3 Correlao entre as sries de chuva e as sries de SSTA. . . . . . . . . . . . . . 54

7.4 Quantidade de zeros da sries original (zerosso) e para a srie simulada (zerosss). 55

x

Captulo 1

Introduo

A Amaznia a regio de maiores ndices pluviomtricos do planeta, com mdias de

2200 mm/ano [1]. Estudos sobre as chuvas desta regio tm sido realizados desde o sculo

XIX. Entre as contribuies mais importantes destacam-se as de Maraj (1896) [2], Molion

(1975) [3], Villa Nova et al. (1976) [4], Lettau et al. (1979) [5], Marques et al. (1980) [6],

Moura e Shukla (1981) [7], , Jordan et al. (1981) [8], Leopoldo (1982) [9] e em especial,

a contribuio dada pelas pesquisas do cientista Eneas Salati 1[10]. Ex-diretor do Instituto

Nacional de Pesquisas da Amaznia (INPA) (1979-1981) e do Centro de Energia Nuclear na

Agricultura (Cena) (1981-1985). Salati, com a ajuda de colegas do INPA, estabeleceu o vnculo

causal entre a floresta e o clima, alm de proporcionar um melhor entendimento sobre o regime

das chuvas na regio amaznica.

Durante quase trs anos, Salati e a sua equipe mediram o volume de gua da chuva que

descia pelos troncos das rvores de uma bacia modelo de 25 quilmetros quadrados do INPA,

ao norte de Manaus. Compararam com o volume do igarap para onde a gua escorria e com

o da chuva que caa sobre a rea. Fizeram, assim, o balano hdrico. Descobriram que, nessa

bacia, 25,9% da chuva escorria para o igarap, 25,6% era interceptada pela copa das rvores,

de onde evaporava diretamente, sem ir para o cho, e o restante 48,5% era transpirado pelas

rvores, que, como uma bomba, sugavam a gua do solo e a mandavam de volta para a at-

mosfera. Concluram que 74,1% da chuva provm de evapotranspirao que a soma de

1Eneas Salati foi um engenheiro agrnomo brasileiro, alm de ter sido um dos maiores especialistas em hidrolo-

gia da Amaznia.

1

evaporao e transpirao. Salati aplicou esse modelo sobre os dados meteorolgicos de toda a

Bacia Amaznica, cuja precipitao mdia anual de 2200 milmetros, e vazo do Rio Ama-

zonas, e calculou que a evapotranspirao responde por, no mnimo, 50% das chuvas da regio.

O trabalho foi publicado em 1985 no livro Key Environments: Amazonia [11], uma coletnea

editada por Ghillean T. Prance, do Jardim Botnico de Nova York, e Thomas E. Lovejoy, do

WWF, nos Estados Unidos, com prefcio do prncipe Philip, da Inglaterra.

De uma forma geral, como podemos ver nos trabalhos de Salati, a gua das chuvas tm

abastecido os rios da bacia amaznica, sendo o principal fator responsvel por influenciar a

variao anual dos nveis dos rios brasileiros [12]. Para certos perodos do ano, o padro das

chuvas controlado pelo oceano Atlntico, e no restante, controlado pelo oceano Pacfico [13].

Alm disso, a temperatura da superfcie do mar (sea surface temperature-SST) do Atlntico e do

Pacfico a principal varivel fsica influenciadora das condies climticas em vrias regies

do planeta [14]. Sabendo disso, investigaremos a relao entre as anomalias de temperatura da

superfcie do mar (sea surface temperature anomalies-SSTA) e as chuvas que caem na regio

amaznica.

Contudo, a compreenso da variabilidade interanual da precipitao na bacia amaznica

importante por causa da importncia que essa bacia representa para a agricultura, ciclo de

produo de hidroeletricidade, transporte e para a circulao geral e global das componentes do

ciclo hidrolgico [15]. Dependendo da extenso espacial e da persistncia da falta de chuva, por

exemplo, comunidades e regies inteiras poderam correr riscos com problemas econmicos e

de segurana alimentar [16]. Com isso destaca-se a necessidade de compreeder esse fenmeno,

que influncia diretamente a vida dos amaznidas e dos brasileiros.

Diariamente, pluvimetros de amostragem so a principal fonte de dados de chuva no

Brasil e em outros pases da Amrica do Sul [17]. A maior vantagem desses dados dirios

de chuva que eles preservam as tendncias sazonal e anual, alm da possibilidade da fcil

identificao do fenmeno da mudana climtica [18].

A investigao da existncia do comportamento fractal nos processos de precipitao tem

sido uma das reas de pequisas mais empolgantes dos ltimos tempos. Segundo a teoria fractal,

o processo de precipitao caracterizado por algumas propriedades estatsticas, que so inde-

pendentes da escala de observao [19]. Evidncias empricas tm mostrado, repetidamente,

2

que tanto variaes espaciais quanto temporais de chuvas exibem comportamento multifractal,

pelo qual se entende que os momentos estatsticos das flutuaes de precipitao tem uma de-

pendncia do tipo lei de potncia dependendo da escala, com seus expoentes variveis como

uma funo no linear da ordem do momento [20].

Alm do mais, processos de precipitao representam a transferncia de massa e energia

da atmosfera para a superfcie dos componentes do ciclo hidrolgico, e como a compreenso

desse fenmeno complicada, devido ao fato de que a relao entre a precipitao e a hidrolo-

gia de superfcie , frequentemente, no linear e depende tanto da escala espacial quanto da

temporal. Com isso, temos que as chuvas so extremamente variveis sobre uma grande escala

no espao e no tempo [21]. Por causa destas caractersticas, no apenas analisar, mas tambm

modelar e medir a intensidade das chuvas uma tarefa muito difcil [22]. Durante as duas lti-

mas dcadas, modelos estocsticos de chuva tm sido incrementados, explorando a propriedade

de escala de invarincia dos objetos multifractais [23].

Nas ltimas dcadas, cientistas tm se debruado e dado considervel ateno em com-

preender melhor os aspectos do comportamento de escala na natureza nas mais diversas reas

como: sequncia de DNA [24], batimentos cardacos [25], manchas solares e sries temporais

de fenmenos climatolgicos [[26], [27], [28]]. O comportamento complexo das sries estu-

dadas nas reas citadas acima pode ser caracterizado pelo conhecido expoente de Hurst, que

essencialmente captura as propriedades de correlao dessas sries. Isso til para tratar os

mais variados fenmenos, identificando similaridades entre diferentes sistemas [29].

Recentemente, o mtodo da Anlise da Flutuao Destendenciada (Detrended Fluctuation

Analysis-DFA) desenvolvido por Peng et al. [25], tornou-se uma tcnica amplamente utilizada

para a determinao de propriedades de escala e para a deteco de correlaes de longo al-

cance de sries temporais monofractais no estacionrias . Uma das razes para se empregar

o mtodo DFA para se evitar a deteco de correlaes falsas presentes em srie temporais

no-estacionrias [30]. O Multifractal Detrended Fluctuation Analysis (MF-DFA) proposto por

Kantelhardt et al. (2002) [31] uma verso modificada do DFA para dectetar propriedades

multifractais de sries temporais [27].

Motivados pela importncia do fenmeno climtico das chuvas no s para o Brasil, mas

para o Mundo, e apoiados pelos trabalhos de Kantelhardt [26], Gires [22] e Rgo [28], esco-

3

lhemos como propsito principal deste trabalho a investigao das propriedades de escala das

sries temporais de chuva e de SSTA, a partir da perspectiva multifractal. Principalmente pelo

fato de que a distribuio espacial das chuvas pode ter efeitos considerveis sobre a descarga

(vazo) de rios assim como secas ou cheias [16]. Usando o mtodo Multifractal Detrended

Fluctuation Analysis (MF-DFA), calcularemos os espectros multifractais das sries de chuvas

de 16 estaes meteorolgicas localizadas em diferentes regies da Amaznia e do Brasil como

mostrado na figura 1.1, e de 7 sries de Anomalias de temperatura da superfcie do mar (SSTA)

de regies dos oceanos Atlntico e Pacfico, conforme mostramos na figura 1.2. Buscaremos a

correlao entre os dados das sries de chuvas e de SSTA. Baseados na metodologia MF-DFA

e no d-Processo Multiplicativo Multinomial propomos um novo mtodo numrico para simular

zeros em sries simuladas de chuva.

O presente trabalho de dissertao dividi-se em oito captulos. No captulo 2, abordamos

os principais conceitos relacionados com a geometria fractal, como dimenso fractal, autossi-

milaridade, autoafinidade e multifractais. No captulo 3, apresentamos algumas caractersticas

bsicas sobre o expoente de Hurst, onde mostramos a anlise do alcance reescalado de Hurst

[33], alm de noes bsicas sobre sries temporais, processos de memria longa e leis de

potncia. O captulo 4 extremamente importante para a compreenso do trabalho pois, nele,

apresentamos a metodologia MF-DFA com incluso do passo zero usada para calcular os es-

pectros multifractais analisados. Mostramos tambm a relao entre o MF-DFA e a anlise

multifractal padro, alm de apresentar o Modelo Multifractal Binomial, validarmos o pro-

grama usado para calcular os espectros multifractais e apresentamos noes bsicas sobre o

coeficiente de correlao de Pearson. O captulo 5 tambm essencial para a compreenso do

trabalho. Nele apresentamos o Processo Multiplicativo Binomial e o d-Processo Multiplicatico

Multinomial. No captulo 6, mostramos uma caracterizao da rea estuda a Amaznia, alm

de apresentarmos as fontes de onde foram obtidos os dados analisados. Os resultados obtidos

e a sua respectiva discusso esto dispostos no captulo 7. Por fim, no captulo 8 apresentamos

nossas concluses.

4

Figura 1.1: Localizao geogrfica das cidades onde esto localizadas as estaes meteorolgi-

cas analisadas neste trabalho [28].

5

Figura 1.2: Localizao geogrfica das regies do oceanos Atlntico e Pacfico analisadas neste

trabalho [32].

6

Captulo 2

Fractal e Multifractal

Apesar de estarmos bem familiarizados com a geometria euclidiana, que descreve muito

bem figuras tais como retas, quadrados, crculos, cones, paralelepdos e pirmides entre outras,

podendo calcular as suas medidas de comprimento, rea e volume, muitos objetos e formas

encontrados na natureza no podem ser explicados dessa forma, sendo para isso, necessria

uma geometria especial. Essa geometria conhecida como geometria fractal que, na verdade,

uma extenso da geometria clssica (geometria euclidiana).

Neste captulo, faremos uma breve introduo geometria fractal, diferenciando fractais

de multifractais, mostrando os conceitos de conjuntos autossimilares e autoafins. Definiremos,

tambm, dimenso fractal e, como exemplo, calcularemos a dimenso fractal do famoso fractal

conhecido como tringulo de Sierpinski.

2.1 Fractal

Tanto o padro de formao de nuvens quanto o padro de crescimento e disposio de

galhos e folhas numa rvore podem ser recriados por meio de regras simples de construo

geomtrica, mas que ao serem executadas so capazes de gerar estruturas de complexidade ad-

mirvel conhecidas como fractais. Fractais so formas geomtricas com algumas caractersticas

especiais que os definem e distinguem de outras formas, como autosemelhana em diferentes

nveis de escala.

7

A observao de Mandelbrot 1 (1982) [34] da existncia de uma geometria natural nos

leva a pensar uma nova abordagem cientfica sobre as bordas das nuvens, o perfil dos topos das

florestas no horizonte e o complexo movimento das penas de um pssaro que voa [35].

Segundo Mandelbrot "um fractal por definio um conjunto para o qual a dimenso

de Hausdorff-Besicovitch excede estritamente a dimenso topolgica (dimenso do espao Eu-

clidiano)". Sendo essa definio exageradamente complexa, j que exige uma caracterizao

em termos de conjunto, dimenso de Hausdorff-Besicovitch D e dimenso topolgica DT , que

sempre um inteiro.

Contudo, Mandelbrot em 1986, considerando essa definio demasiadamente excessiva,

props uma definio mais malevel de fractal: "Um fractal uma forma constituda de partes

similares ao todo".

Apesar da primeira definio ser correta e precisa, ela tambm restritiva, pois deixa de

fora fractais que so de interesse fsico, como fluxo turbulento de fluidos e sries temporais de

medidas fsicas. A segunda definio apresenta caracterstcas que so facilmente identificveis

na natureza fractal, como similaridade ou invarincia por escala [36].

Na figura 2.1 observamos alguns exemplos de fractais como: (a) brcolis, (b) samambaia,

(c) rvore e (d) tringulo de Sierpinski. Todos os exemplos mostrados nesta figura obedecem

a condio de autossimilaridade, o que implica dizer que quando um objeto tem uma pequena

parte aumentada, est similar ao todo. Para caracterizarmos a autossimilaridade devemos

observar a figura 2.2.

Considerando que o segmento de reta S seja unitrio e multiplicando-o por um fator de

escala , de modo que < 1, teremos um novo segmento S = S, que por sua vez um pedao

menor do segmento de reta S. Podemos transladar o segmento de reta S de modo que ele possa

cobrir uma parte do segmento original S. Se escolhermos de forma correta o fator de escala ,

poderemos cobrir totalmente o segmento S com N segmentos de tamanho S assim como na

figura 2.2. Assim podemos dizer que o segmento de reta S invariante pelo fator de escala ,

portanto, ele autossimilar. Todas os fractais mostrados na figura 2.1 so autossimilares.

Uma maneira correta de se escolher o fator de escala fazendo = 1/N onde N

1Benot B. Mandelbrot (1924-2010) foi um matemtico francs de origem polonesa. Mandelbrot e outros

cintista desenvolveram a geometria fractal.

8

Figura 2.1: Exemplo de fractais: (a) brcolis, (b) samambaia, (c) rvore e (d) tringulo de

Sierpinski [37].

Figura 2.2: Segmento de reta S.

o nmero de divises que se pretende fazer no segmento S. No caso de um plano retangular

9

devemos fazer = (1/N)1/2. De maneira similar, teremos para um paraleleppedo que =

(1/N)1/3. De uma forma geral, temos que o fator de escala dado por = (1/N)1/d, onde d

a dimenso de similaridade, sendo d igual a 1 para retas, 2 para planos e 3 para cubos [36].

Uma definio para um conjunto autossimilar dado por:

Definio 2.1 (Autossimilaridade) Um conjunto de pontos S dito autossimilar com respeito

ao raio de escala se S for a unio de N subconjuntos no sobrepostos S1, ..., SN , onde cada

um obtido de S a partir da transformao Si = S com i = 1, ..., N [36].

Uma caracterstica fundamental dos objetos fractais que as suas propriedades mtricas

tais como comprimento e rea , so uma funo da escala de medio [38].

2.2 Dimenso Fractal

A dimenso fractal importante porque ela pode definir a conexo com dados do mundo

real, alm de poderem ser medidas de maneira aproximada atravs de experimentos. Por exem-

plo, pode-se medir a dimenso fractal da linha costeira da Gr-Bretanha, seu valor cerca de

D = 1, 2. Dimenso fractal pode ser ligado a nuvens, rvores, linhas costeiras, plumas, redes

de neurnios no corpo, poeira no ar em um instante de tempo, as roupas que vestimos, as cores

emitidas pelo sol, entre outros [35].

Existem vrias tcnicas usadas para calcular a dimenso fractal, uma delas conhecida

como dimenso por contagem de caixas (box-counting) [35]. A dimenso fractal D por con-

tagem de caixas de um conjunto C denotada por boxdim(C), onde D = boxdim(C), definida

como

D = lim0

ln[N()]

ln(1/), (2.1)

onde N() o nmero de caixas com o qual o conjuntor ser coberto e o comprimento dessa

caixa [35]. Como exemplo mostraremos como construir e calcular a dimenso fractal D para o

tringulo de Sierpinski 2 mostrado na figura 2.1(d).

Na figura 2.3(a) temos n = 0 ou nvel zero chamado de iniciador. Em seguida temos

n = 1, n = 2 e n = 3, para as figuras 2.3(b), 2.3(c) e 2.3(d), respectivamente.2Waclaw Franciszek Sierpinski (1882-1969) foi um matemtico polons.

10

Figura 2.3: Construo do tringulo de Sierpinski [35].

Considerando caixas bidimensionais cujo comprimento do lado seja unitrio, como mostrado

na figura 2.3 onde

= 1/2n, (2.2)

podemos ver que N() = 3 para n = 1, N() = 9 para n = 2, N() = 27 para n = 3 e assim

por diante. Ento de uma forma geral teremos

N() = 3n, (2.3)

para n = 1, 2, 3, . Substituindo as equaes 2.2 e 2.3 na equao 2.1, obtemos

D = lim0

ln(3n)

ln(2n), (2.4)

ento

D =ln(3)

ln(2)= 1, 58. (2.5)

11

Ou seja, sua dimenso fractal por contagem de caixas D = 1, 58. Com isso vemos que,

como o nome sugere, fractal todo objeto que tem como sua dimenso um nmero fracionrio

e, por isso, chamada de dimenso fractal (fragmentado).

2.3 Multifractal

O termo multifractal, como o prprio nome sugere, se refere a uma coleo de fractais

entrelaados, onde cada qual possui a sua prpria dimenso fractal. Ento, um multifractal

um objeto que necessita de pelo menos dois expoentes de escala para caracterizar a sua forma.

Portanto, podemos dizer que um multifractal pode ser visto como uma extenso dos fractais

[38].

Figura 2.4: Exemplos de multifractais: (a) tempestade com raios, (b) nuvens e (c) partituras

tpicas, inveno n 1 por Bach [37].

12

Podemos ver na figura 2.4 alguns exemplos de multifractais: (a) tempestade com raios,

(b) nuvens e (c) partituras tpicas, inveno n 1 por Bach 3. No caso de objetos multifractais

devemos estar familiarizados com conjuntos autoafins, que so conjuntos que exigem mais de

um fator de escala.

Definio 2.2 (Autoafinidade) Um conjunto de pontos S dito autoafim com respeito ao vetor

raio de escala = (1, ..., N) se S for a unio de N subconjuntos no sobrepostos S1, ..., SN ,

onde cada Si = iS, com i = 1, ..., N , obtido de S a partir de um transformao autoafim

[36].

Uma transformao autoafim quando esta leva um pontoX = (x1, , xN) em um novopontoX = (1x1, , NxN), onde os fatores de escala 1, , N no so todos iguais. Todosos exemplos de multifractais mostrados na figura 2.4 apresentam caractersticas autoafins.

Feita esta breve introduo aos fractais e multifractais, no captulo seguinte, faremos uma

exposio sobre o expoente de Hurst, cuja determinao para os ndices pluviomtricos da

regio amaznica o ponto central da presente dissertao.

3Johann Sebastian Bach (1685-1750) foi um compositor, cantor, maestro, professor, organista, cravista, violista

e violinista.

13

Captulo 3

Expoente de Hurst

Existem vrios mtodos usados para estimar o expoente de Hurst (veja a referncia [38]),

dentre os quais se destaca a Anlise do Alcance Reescalado (anlise R/S), criada por Harold

E. Hurst [33] para calcular a correlao presente nos dados de uma srie temporal de medidas

experimentais tais como nveis de rios, chuvas, temperatura, entre outras.

Usado para estudar fractais, teoria do caos, anlise espectral e processos de memria longa

[39], o expoente de Hurst uma ferramenta capaz de fornecer informaes sobre regularidade,

aleatoriedade e tambm os efeitos de longo alcance ou memria dessas sries, contribuindo

para o conhecimento de seu comportamento futuro. Tem sido aplicado a diversas reas do co-

nhecimento, como biofsica, economia, medicina entre outras. Uma noo bsica sobre sries

temporais apresentada neste captulo, abordando os principais conceitos utilizados neste tra-

balho. E por fim, um tpico sobre processos de memria longa e leis de potncia apresentado,

relacionando a geometria fractal com leis de potncia.

3.1 Anlise do Alcance Reescalado

Hurst 1 foi um hidrlogo que trabalhou no projeto de construo de uma represa no Rio

Nilo, alm de ter estudado os problemas relacionados a gua. Chegou naquela regio por volta

de 1907 e l permaneceu durante 40 anos. Seu objetivo era construir uma represa de tal modo

que esta no transbordasse e nem ficasse muito vazia. Seus estudos sobre o Nilo o levou a

1Harold Edwin Hurst (1880-1978) foi um hidrlogo britnico.

14

analisar dcadas de registros de cheias e secas. A partir dessa investigao, Hurst desenvolveu o

mtodo da anlise R/S [28] com o nome rescaled range (ou range over standard deviation)

com o propsito de testar a existncia de memria longa numa srie temporal [40].

A Anlise do Alcance Reescalado um mtodo de base emprica cuja metodologia dada

a seguir. Consideramos um reservatrio de gua cuja mdia de enchimento sobre um perodo

de tempo dada por

= 1

t=1

(t), (3.1)

onde (t) representa o influxo de gua no reservatrio. O desvio da mdia para o ano u

(u) (o influxo para o ano u menos a mdia). A soma corrente do desvio acumulado damdia, para os anos de 1

X(t, ) =t

u=1

[(u) ], 1 t (3.2)

onde a mdia de todos os pontos no perodo , e t indica o primeiro ano (t = 1) e oltimo ano t = . A figura 3.1 ilustra bem esse processo.

Figura 3.1: Esboo de um reservatrio de gua com um fluxo de entrada (t) e uma descarga

mdia anual (t) , cuja diferena acumulada dada pela equao 3.2 [28]

O valor mximo e mnimo da equao 3.2 representa o volume mximo e mnimo que o

reservatrio poder assumir no perodo . Portanto, considerando um reservatrio suficiente-

15

mente grande, que nunca transborde ou seque, a representao da diferena entre o mximo e o

mnimo da gua contida no reservatrio expresso por [28],

R() = max1tX(t, )min1tX(t, ), (3.3)

o alcance R depende do perodo considerado. Contudo, espera-se que o mesmo aumente com

o crescimento de .

Considerando o desvio padro dado por

S() =

(1

tu=1

[(u) ]2)1/2

. (3.4)

Hurst comparou diversos fenmenos de naturezas distintas, tendo encontrado a relao

R/S para diversas sries temporais, observando que as mesmas seguem uma relao do tipo lei

de potncia, escrita, empiricamente, como

R

S=(

2

)H. (3.5)

Na figura 3.2 podemos observar as variveis X(t), (t) e R para o lago Albert localizado

no centro do continente africano.

O expoente H conhecido como expoente de Hurst, variando no intervalo 0 H 1.Para sries que no apresentam correlao (sries aleatrias) o expoente de Hurst H igual

0,5. Quando H fica no intervalo 0, 5 < H < 1 indica memria longa ou persistncia; e no

intervalo 0 < H < 0, 5, indica memria curta ou antipersistncia [27]. O expoente de Hurst

est diretamente relacionado com a dimenso fractal D, que d a medida de rugosidade de uma

superfcie, por exemplo. A relao entre a dimenso fractal D e o expoente de Hurst H [41]

D = 2H. (3.6)

3.2 Noes Bsicas sobre Sries Temporais

Uma srie temporal qualquer conjunto de observaes ordenadas no tempo. Como

exemplo de sries temporais podemos citar

Valores dirios de poluio na cidade de Manaus;

16

Figura 3.2: Descarga anual do lago Albert (linha pontilhada) e a diferena da vazo mdia

acumulada (linha cheia). O alcance indicado por R [28].

Valores mensais de temperatura na cidade de Porto Velho;

ndices dirios da Bolsa de Valores de So Paulo;

Precipitao atmosfrica anual na cidade de So Paulo de Olivena.

Todas as sries mostradas so ditas discretas. Mas tambm podem ocorrer casos em que

a srie temporal seja do tipo contnua. Para convertermos uma srie contnua em uma srie

discreta, basta dividi-l em intervalos de tempos iguais t [40].

De um modo geral, os objetivos da anlise de sries temporais so os seguintes:

(a) Investigar o mecanismo gerador da srie temporal. Por exemplo, analisando uma srie de

alturas de ondas, podemos querer saber como estas ondas foram geradas.

(b) Fazer previses de valores futuros da srie. Estas podem ser a curto prazo, como para

sries de vendas, produo ou estoque, ou a longo prazo, como para sries populacionais,

de produtividade etc.

17

(c) Descrever apenas o comportamento da srie. Neste caso, a construo do grfico, a veri-

ficao da existncia de tendncias, ciclos e variaes sazonais, a construo de histogra-

mas e diagramas de disperso etc., podem ser ferramentas teis.

(d) Procurar periodicidades relevantes nos dados. Aqui, a anlise espectral pode ser de grande

utilidade.

A srie temporal pode ser, tambm, estacionria como na figura 3.3(a), que quando ela

se desenvolve no tempo aleatoriamente ao redor de uma mdia constante, refletindo alguma

forma de equilbrio estvel; ou no-estacionria como na figura 3.3(b), quando a srie apresenta

tendncias, sendo o caso mais simples aquele em que a srie flutua ao redor de uma reta com

inclinao positiva ou negativa (tendncia linear).

Figura 3.3: exemplos de sries (a) estacionria e (b) no estacionria, para uma varivel qual-

quer Q em funo do tempo t [40].

De uma forma geral, uma srie temporal x(t) pode ser escrita como a soma de trs com-

ponentes no observveis,

x(t) = T (t) + S(t) + a(t), (3.7)

onde T (t) representa a componente tendncia, S(t) a componente sazonalidade e a(t) a com-

ponente aleatria de mdia zero e varincia constante 2a. Quando a(t) descorrelacionado,

dizemos que esta caracteriza uma srie do tipo rudo branco, e que normalmente denotada

por uma distribuio (mdia, varincia) = (0;2a) [28]. Na figura 3.4 podemos ver uma srie

temporal e suas respectivas componentes

18

Figura 3.4: Srie x(t) em (a) e suas componentes: Sazonalidade S(t) (b), Tendncia T(t) (c),

aleatria a(t) (d) [28].

A componente Sazonalidade S(t) (figura 3.4(b)) representa as flutuaes da srie de

acordo com algum fator de sazonalidade. A tendncia T (t) (figura 3.4(c)) representa o au-

mento ou declnio gradual nos valores das observaes de uma srie temporal. A componente

aleatria a(t) (figura 3.4(d)) est relacionada com a correlao presente na srie. Neste trabalho

estamos interessados em analisar a componente tendncia T (t).

Um dos procedimentos adotados para analisar sries temporais consiste em ajustar uma

curva aos valores observados da sries para estimar T (t) e, assim, poder fazer previses. Para

isso, so utilizados vrios tipos de funo, como a exponencial, por exemplo. Porm, neste

trabalho vamos nos limitar a descrever brevemente o ajuste de um polinmio. O problema mais

srio que podemos encontrar ao se estimar T (t) de um polinmio que, embora ele possa se

ajustar bem ao conjunto de valores observados, extrapolaes futuras podem no ser to boas

[40]. No caso particular do polinmio, a tendncia pode ser escrita como

T (t) = 0 + 1t+ + mtm, (3.8)

19

ondem o grau do polinmio,m bem menor que o nmero de observaesN e os parmetros

i so determinados pelo mtodo dos mnimos quadrados, que consiste em minimizar a equao

f(0, , m) =Nt=1

(x(t) 0 + 1t, mtm)2. (3.9)

Assim, utilizando o modelo estimado para T (t), podemos prever valores futuros da srie.

3.3 Processos de Memria Longa e Leis de Potncia

Num processo de "memria curta"a funo de autocorrelao decresce rapidamente para

zero, logo

|j| Cjr, j = 1, 2, (3.10)

onde C > 0 uma constante e 0 < r < 1 um expoente de escala. Esta expresso garante que

a funo de autocorrelao seja geometricamente limitada.

Contudo, para processos com memria longa presentes, principalmente em estudos em-

pricos sobre Climatologia e Hidrologia, que um processo do tipo estacionrio, a sua funo

de autocorrelao decresce hiperbolicamente para zero , isto ,

j Cj2d1, j , (3.11)

onde C > 0 e 0 < d < 0, 5. Podemos usar o expoente de Hurst H , de modo que j Cj2H2,j que para processos com memria longa, 0, 5 < H < 1, onde a relao entre os expoentes d e

H [40]

H = d+ 0, 5. (3.12)

Lembrando que como o expoente de Hurst definido no intervalo 0 < H < 1 de modo

que, quanto maior o valor de H , para 0, 5 < H < 1, maior a memria longa do processo. De

um modo geral, um processo de memria longa um processo com um componente aleatrio,

onde um evento passado tem um efeito sobre eventos futuros. O processo tem alguma memria

dos eventos passados, que esquecido com o avanar do tempo [41].

Quando a srie apresenta H = 0, 5 dizemos que esta se comporta como um caminhante

aleatrio (uma srie temporal browniana), ou seja, no h correlao entre um elemento passado

20

e um elemento futuro. Se 0 < H < 0, 5, a srie apresenta comportamento de antipersistncia

(autocorrelao negativa), de modo que um aumento tender a ser seguido por um decresci-

mento, e vice-versa.

Muitos sistemas fsicos e biolgicos exibem um comportamento complexo caracterizado

por lei de potncia de longo alcance [42]. De uma forma geral, uma lei de potncia descreve a

relao entre duas variveis fsicas quaisquer, f(x) e x, por exemplo, e tem a forma

f(x) = bx, (3.13)

onde e b so constantes de calibrao, e normalmente b chamada de constante de nor-

malizao. Na figura 3.5 mostramos um importante exemplo da mecnica, a famoso equao

da energia cintica, onde fizemos f(x) = Ec, b = m/2, = 2 e x = v(t). Uma outra

caracterstica importante das leis de potncia a relao de homogeinidade , tambm conhecida

como invarincia de escala, dada por [28]

f(x) = f(x) (3.14)

Funes que satisfazem essa relao so denominadas de funes de escala e so muito

importantes na descrio de transio de fase de fenmenos crticos [36].

Figura 3.5: grfico da energia cintica Ec em funo da velocidade v(t).

Os sistemas com escalas descrevem quase tudo na natureza, s vezes at sistemas de-

sordenados. A distribuio de chuvas numa calada tem uma escala caracterstica: basta fo-

21

calizarmos cada vez mais para encontrarmos que o dimetro mdio uma gota. Mas existem os

sistemas que no possuem escala caracterstica, descritos por leis de potncia, que so solues

de equaes funcionais da forma da equao 3.14 [43].

Analisando a relao entre leis de potncia e a geometria fractal podemos tirar as seguintes

concluses:

(i) Fractais so sempre conjunto autossimilares que exibem uma nica lei de potncia e;

(ii) Multifractais so conjunto autoafins que apresentam no mnimo duas leis de potncia para

a sua plena caracterizao.

22

Captulo 4

MF-DFA com o Passo Zero

Neste captulo, apresentamos a metodologia utilizada para analisar as sries temporais

estudadas neste trabalho. Mostramos, tambm, a incluso do passo zero [44] para adaptar a

metodologia para um correto destendenciamento da srie sazonal.

Nos ltimos anos, o mtodo da anlise de flutuao destendenciada (detrended fluctuation

analysis-DFA) desenvolvido por Peng et al. [25], tem sido uma tcnica largamente usada para

a determinao de propriedades de escala de fractais (monofractais) e deteco de correlaes

de longo alcance em sries temporais no-estacionrias [31].

Este mtodo tem sido aplicado com sucesso em diversos campos tais como, sequncias de

DNA, geologia, economia, fsica do estado slido entre outros. Contudo, a anlise multifractal

da flutuao destendenciada (multifractal detrended fluctuation analysis MF-DFA) proposta por

Kantelhardt et al. [31], que uma verso modificada do DFA, capaz de detectar propriedades

multifractais em sries temporais [27].

Mostraremos, tambm, a relao entre o MF-DFA e a Anlise Multifractal Padro e, por

fim, introduziremos o modelo multifractal binomial, para o qual os expoentes de escala podem

ser calculados analiticamente, mostrando sua relao com MF-DFA padro.

Por fim, mostraremos como foi feita a validao do programa utilizado para calcular os

espectros multifractais analisados neste trabalho, e damos uma noo bsica sobre coeficiente

de correlao de Pearson.

23

4.1 Descrio do mtodo MF-DFA

O procedimento MF-DFA consite em cinco passos sendo que, os trs primeiros so essen-

cialmente idnticos ao convencional procedimento DFA . Primeiro, vamos supor que uma srie

x(k) tenha comprimento (tamanho) igual N , e que essa srie seja de suporte compacto, sendo

que, o suporte definido como o conjunto de ndices k com o valor de x(k) diferente de zero,

onde k = 1, , N . O suporte compacto para x(k) = 0 para somente uma frao insignifi-cante da srie [31].

Passo 1: Determinao do "perfil"

Y (i) i

k=1

[x(k) x]. (4.1)

A subtrao da mdia x no obrigatria, uma vez que seria eliminada depois pelo des-tendenciamento que acontece no terceiro passo. O passo 1 comumente chamado de integrao

da srie. Na figura 4.1 mostramos a srie temporal de chuva para a estao localizada na cidade

de Manaus (2008-2012) e a sua respectiva integrao realizada atravs da equao 4.1.

Figura 4.1: (a) srie temporal de chuva para a estao localizada na cidade Manaus e (b) sua

respectiva srie integrada.

Passo 2: Diviso do perfil Y (i) em

Ns int(N

s

)(4.2)

24

segmentos no sobrepostos de igual comprimento s. Uma vez que N , na maioria das

vezes, no um mltiplo da escala s e como int(N/s) um nmero inteiro, uma pequena

parte no final da srie acaba sendo descartada. Para resolver este problema, repetimos o

procedimento passo 2, mas desta vez, comeamos pelo final da srie, e assim recuperamos

essa pequena parte que sobrava, de modo que no fim do processo teremos 2Ns segmentos.

Passo 3: Clculo da tendncia local para cada um dos 2Ns segmentos por um ajustepolinomial da srie (utilizando o mtodo dos mnimos quadrados). Em seguida, determi-

namos a varincia

F 2(, s) 1s

si=1

{Y [( 1)s+ i] (i)}2 (4.3)

para cada segmento , = 1, , Ns e

F 2(, s) 1s

si=1

{Y [N ( Ns)s+ i] (i)}2 (4.4)

para = Ns + 1, , 2Ns. O termo (i) representa o polinmio utilizado para o ajusteno segmento . Os tipos de ajuste so classificados como: linear (DFA1), quadrtico

(DFA2), cbico (DFA3) ou de ordem m (DFAm), uma vez que o destendenciamento da

srie realizada pela subtrao dos ajustes polinomiais do perfil. Diferentes ordens no

DFA diferem na sua capacidade para eliminar tendncias.

Passo 4: Clculo da mdia sobre todos os segmentos, de modo que obtenhamos a q-simaordem da funo de flutuao, onde

Fq(s) {

1

2Ns

2Ns=1

[F 2(, s)]q/2}1/q

. (4.5)

De uma forma geral, o ndice q pode assumir qualquer valor real (q

Passo 5: Determinao do comportamento de escala das funes de flutuao analisandoos grficos log-log de Fq(s) versus s para cada valor de q. Se a srie x(k) apresentar

correlaes de longo alcance, Fq(s) aumentar para valores maiores de s, na forma de

uma equao do tipo lei potncia

Fq(s) sh(q). (4.6)

Para grandes escalas, s > N/4, Fq(s) se torna estatisticamente no confivel, em funo

do nmero de segmentosNs para o procedimento da mdia no passo 4 se tornar muito pequeno.

Assim, exclumos escalas s > N/4 do procedimento de ajuste para determinar h(q). Em geral,

o expoente h(q) da equao 4.6 pode depender de q. Para sries estacionrias, h(2) idntico

ao bem conhecido expoente de Hurst H . Logo, o expoente h(q) conhecido como expoente

generalizado de Hurst.

Tem-se observado que a aplicao direta da metodologia MF-DFA no suprime a tendn-

cia sazonal [[29], [42], [45], [46]]. Considerando uma experincia numrica, Hu et al. [42],

usando o princpio da superposio, decomps um sinal sazonal em duas componentes: uma

funo senoidal e um rudo, que pode ou no ser correlacionado. Nessa experincia observaram

que Fq(s) apresenta dois expoentes diferentes para pequenas e grandes escalas de s, com uma

regio de crossover entre elas em torno do perodo da funo senoidal. Esse crossover tam-

bm foi observado por Rgo ao aplicar a metodologia MF-DFA para estudar a multifractalidade

dos rios brasileiros [28]. Essa deficincia do MF-DFA em no destendenciar sries temporais

sazonais, mesmo utilizando-se polinmios de ordem mais alta, levou Rgo et al. [44] a intro-

duzir o passo zero a metodologia MF-DFA, no sentido de eliminar o efeito da sozonalidade nas

sries temporais, o que passamos a descrever a seguir.

Passo zero: Definio da srie

WT (k) = x(k + T ) x(k), (4.7)

onde T o perodo de sazonalidade. A partir do conhecimento de WT (k), iniciamos

o processo da metodologia MF-DFA substituindo-se x(k) na equao 4.1 por WT (k) da

equao 4.7. Em seguida, segue-se os passos de 2 a 5 acima descritos para a determinao

de Fq(s) em termos dos expoentes de Hurst.

26

O passo zero baseia-se no princpio da superposio dos sinais. Considere que um sinal

sazonal x(i) pode ser constituido por um sinal senoidal s(i), por exemplo, mais um rudo u(i),

que pode ser correlacionado ou no. Assim, x(i) = s(i) + u(i). Tomando-se T como sendo o

perodo de s(i), ento WT (k) passa a ser escrito como

WT (k) = u(k + T ) u(k). (4.8)

Por outro lado, pode-se demonstrar por experincia numrica que o expoente de Hurst

da srie temporal WT (k) igual ao expoente de Hurst da srie temporal u(k). Portanto,

determinando-se h(q) de WT (k) pode-se adot-lo para u(k). Como exemplo, utilizaremos a

funo de Weierstrass-Mandelbrot 4.28 (que ser analisada na seo Validao do Programa),

onde consideraremos somente a parte real 4.29 dada por

S(t) =

n=

[1 cos(bnt)]bHn

, (4.9)

onde H o expoente de Hurst. Se acrescentarmos um incremento T ao argumento da equao

acima, teremos

S(t+ T ) =

n=

[1 cos(bn(t+ T ))]bHn

. (4.10)

A partir de 4.8 podemos escrever

WT (t) = S(t+ T ) S(t), (4.11)

logo

WT (t) =

n=

{cos[bn(t+ T )] + cos(bnt)}bHn

. (4.12)

Como podemos ver, o acrscimo de um incremento T no argumento da funo S(t) no

altera o valor do expoente de Hurst H , como esperado. Esse efeito pode ser visto na figura

4.2, onde fizemos T = 100, em seguida calculamos o MF-DFA com q = 2 para as sries S(t) e

WT (t).

No caso das sries monofractais com suporte compacto, h(q) independente de q, uma

vez que o comportamento da varincia dada pela equao 4.3 idntico para todos os segmentos

e o procedimento da mdia dada pela equao 4.5 dar apenas esse comportamento de escala

idntica para todos os valores de q.

27

Figura 4.2: Grfico em escala loglog para os resuldos obtidos via MF-DFA com q = 2 para as

sries S(t) e WT (t).

Se o espectro de h(q) variar com q, dizemos que a srie estudada apresenta multifracta-

lidade, caso contrrio, se h(q) no varia com q, a srie no apresenta multifractalidade. Fre-

quentemente uma srie temporal exibe dois tipos de multifractalidade: (i) Multifractalidade de-

vido a um alargamento da funo densidade de probabilidade (PDF) para valores da srie; (ii)

Multifractalidade devido a diferentes flutuaes de correlaes para pequenas e grandes escalas.

Uma maneira fcil de distingui-las analisando a correspondente srie temporal embaralhada

[31].

No processo de embaralhamento da srie os valores de x(k) so colocados de maneira

randmica. Com isso, todas as correlaes presentes na srie so destrudas. Caso a srie origi-

nal apresente multifractalidade do tipo (ii), ento a sua respectiva srie embaralhada apresentar

um comportamento aleatrio, ou seja, hshuf = 0.5, onde hshuf o expoente de Hurst da srie

embaralhada (do ingls shuffled). Se a multifractalidade da srie original for tipo (i) ento te-

remos que h(q) = hshuf (q), ou seja, a srie no afetada pelo processo de embaralhamento.

Caso a srie em estudo exiba multifractalidade de ambos os tipos, ento a srie embaralhada ir

mostrar uma fraca multifractalidade em relao srie original [31].

28

4.2 Relao entre o MF-DFA e a Anlise Multifractal Padro

Para sries normalizadas e estacionrias, com suporte compacto, o expoente generalizado

de Hurst h(q) definido na equao 4.6 est diretamente relacionado com expoente de escala

(q) definido por uma funo de partio padro baseada no formalismo multifractal [31].

Para uma srie x(k) de comprimento N , estacionria, positiva e normalizada, ou seja,

x(k) 0 e Nk=1 x(k) = 1, o procedimento de destendenciamento realizado pelo passo 3 domtodo MF-DFA no necessrio, uma vez que no h tendncia para ser eliminada. Ento,

o mtodo DFA pode ser substitudo pela Anlise de Flutuao Padro (standard fluctuation

analysis FA), que idntica ao DFA, exceto por uma definio simplificada da varincia para

cada segmento , com = 1, , Ns no passo 3 (veja a equao 4.3):

F 2FA(, s) [Y (s) Y ( 1)s]2. (4.13)

Usando essa simplificao na equao 4.5 e utilizando a equao 4.6, obtemos{1

2Ns

2Ns=1

|Y (s) Y ( 1)s|q}1/q

sh(q). (4.14)

Por simplicidade, podemos assumir que o comprimento N da srie um mltiplo inteiro

da escala s, logo, obtemos Ns = N/s e portanto

N/s=1

|Y (s) Y ( 1)s|q sqh(q)1, (4.15)

o que corresponde ao formalismo multifractal padro.

Agora, vamos relacionar o procedimento MF-DFA ao formalismo box counting padro

[34]. Para isso, usaremos a definio do perfil dada pela equao 4.1. Observamos que o

termo Y (s) Y (( 1)s) na equao 4.15 idntico soma dos nmeros x(k) dentro decada segmento de tamanho s. Essa soma conhecida como caixa de probabilidade ps() no

formalismo multifractal padro para sries normalizadas x(k),

ps() s

k=(1)s+1x(k) = Y (s) Y (( 1)s). (4.16)

O expoente de escala (q) usualmente definido via funo de partio Zq(s),

Zq(s) N/s=1

|ps()|q s(q), (4.17)

29

onde q um parmetro real como no MF-DFA. s vezes (q) definido com sinal oposto (veja

referncia [36]).

Usando a equao 4.16 vemos que a equao 4.17 idntica a equao 4.15. Logo,

obtemos analiticamente a relao entre os dois conjuntos de expoentes de escala multifractal,

(q) = qh(q) 1. (4.18)

Assim, mostramos que h(q) definido pela equao 4.6 para o MF-DFA est diretamente

relacionado com o expoente de escala multifractal (q).

Alm disso, outra maneira de caracterizar a multifractalidade em series temporais atravs

do espectro de singularidade f(), que relacionado com (q) via transformada de Legendre

[36],

= (q) (4.19)

e

f() = q (q). (4.20)

Assim, o parmetro representa a intensidade de singularidade ou expoente de Hlder,

enquanto que f() denota a dimenso do conjunto de sries que caracterizada por . Usando

a equao 4.18, podemos relacionar diretamente f() a h(q), na forma

= h(q) + qh(q) (4.21)

e

f() = q[ h(q)] + 1. (4.22)

4.3 Modelo Multifractal Binomial

No modelo multifractal binomial [31], a srie de comprimento N = 2nmax definida por

x(k) = an(k1)(1 a)nmaxn(k1), (4.23)

30

onde k = 1, , N , 0.5 < a < 1 um parmetro e n(k) o nmero de dgitos iguais a 1 narepresentao binria do ndice k. Por exemplo, n(19) = 3, uma vez que, na representao

binria (19)10 = (10011)2.

O expoente de escala (q) pode ser calculado de forma direta. De acordo com as equaes

4.16 e 4.23 a caixa de probabilidade p2s() no -simo segmento de comprimento 2s dada

por

p2s() = ps(2 1) + ps(2).

Logo

p2s() =

[(1 a)a

+ 1

]ps(2) =

ps(2)

a. (4.24)

Assim, de acordo com as equaes 4.17 e 4.23, a funo de partio Zq(s) pode ser escrita

como

Zq(s) =N/s=1

[ps()]q =

N/2s=1

[ps(2 1)]q + [ps(2)]q

=

[(1 a)qaq

+ 1

]N/2s=1

[ps(2)]q

= [(1 a)q + aq]N/2s=1

[ps(2)]q,

ou seja

Zq(s) = [(1 a)q + aq]Zq(2s). (4.25)

De posse desses resultados, substituindo a equao 4.17 na 4.25, encontramos o expoente

de escala (q)

(q) = ln[aq + (1 a)q]

ln(2). (4.26)

Substituindo o resultado acima na equao 4.18 obtemos

h(q) =1

q ln[a

q + (1 a)q]q ln(2)

. (4.27)

31

Da equao 4.26 verificamos que para q = 0, (0) = 1. H uma forte dependnciano linear de (q) sobre q, indicando multifractalidade. A mesma informao est embutida na

dependncia de h(q) sobre q. Os valores assintticos so h(q) ln(a)/ ln(2) para q +e h(q) ln(1 a)/ ln(2) para q . Isso corresponde ao comportamente de escala degrandes e pequenas flutuaes, respectivamente. Notemos que h(q) se torna independente de q

no limite assinttico, enquanto (q) tem uma dependncia aproximadamente linear [31].

Podemos ver na figura 4.3 os valores de h(q) e (q) em funo de q para diferentes valores

do parmetro a, onde a = 0, 75 (crculo), a = 0, 60 (quadrado) e a = 0, 51 (tringulo). Usare-

mos esse modelo para comparar os resultados obtidos pelo MF-DFA com resultados analticos

obtidos via modelo multifractal binomial (veja o captulo de resultados).

Figura 4.3: (a) h(q) e (b) (q) em funo de q para diferentes valores do parmetro a.

4.4 Validao do Programa

Para obteno dos espectros multifractais das sries temporais de chuva e de SSTA estu-

dadas, foi desenvolvido por Rgo [28] em linguagem MATLAB 7.0, um programa que obedece

ao conjunto das equaes que compem o MF-DFA, com a incluso do passo zero. O computa-

dor usado para rodar o programa foi um CCE Info, processador Pentium(R) Dual-Core com

2.20 GHz. O tempo mdio de execuo do programa para as sries estudadas foi, em mdia,

32

de 15 minutos.

A validao do programa foi feita atravs da funo de Weierstrass-Mandelbrot [36] que

embora seja contnua, no difencivel em todos os pontos. Esta funo um fractal dado por

W (t) =

n=

(1 eint)ein(2D)n

, (4.28)

onde D varia no intervalo 1 < D < 2, > 1, e n uma fase arbitrria. Nesta equao D

tomado como dimenso fractal do grfico de W (t). Uma vez que W complexo, teremos

o grfico de

Figura 4.4: Sries geradas a partir da equao 4.29 com o expoente de Hurst pr-determinado.

Tabela 4.1: Comparao entre os valores de H pr-determinados e h(2) calculado a partir da

metodologia MD-DFA.

H h(2) % relativa de erro

0,300 0,300 0,000

0,400 0,398 0,500

0,500 0,500 0,000

0,600 0,598 0,333

0,700 0,698 0,286

0,800 0,798 0,250

4.5 Coeficiente de Correlao de Pearson (r)

O coeficiente de correlao de Pearson remonta ao trabalho conjunto de Karl Pearson e

Francis Galton [48]. Segundo Garson (2009) [49], correlao uma medida de associao

bivariada (fora) do grau de relacionamento entre duas variveis. Logo, o coeficiente de cor-

relao de Pearson (r) uma medida de associao linear entre variveis. De uma forma geral,

usaremos a correlao para saber se h uma inter-relao de influncia (algum tipo de associ-

ao) entre uma varivel e outra.

Em termos estatsticos, duas variveis se associam quando elas guardam semelhanas na

34

distribuio dos seus dados. Mais precisamente, elas podem se associar a partir da distribuio

das frequncias ou pelo compartilhamento de varincia. No caso da correlao de Pearson (r)

vale esse ltimo parmetro, ou seja, ele uma medida da varincia compartilhada entre duas

variveis.

O coeficiente de correlao Pearson (r) varia de 1 a 1. O sinal indica direo positivaou negativa do relacionamento e o valor sugere a fora da relao entre as variveis. Uma

correlao de valor zero indica que no h relao linear entre as variveis. Dancey e Reidy

(2005) [50] apontam para uma classificao ligeiramente diferente: r = 0, 10 at 0, 30 (fraco);

r = 0, 40 at 0, 6 (moderado); r = 0, 70 at 1 (forte). Supondo que X e Y sejam duas sequn-

cias numricas, a expresso que calcula a correlao entre X e Y dado por:

r =cov(X, Y )var(X)var(Y )

, (4.30)

onde a covarincia entre X e Y dada por:

cov(X, Y ) =

(X X)(Y Y )

n, (4.31)

que usada como medida de disperso entre X e Y , onde n representa o nmero termos cor-

respondentes as sequncias X e Y . A varincia dada por:

var(X) =

(X X)2

n, (4.32)

e

var(Y ) =

(Y Y )2

n, (4.33)

que a medida de disperso de X e Y , respectivamente.

Ento, para o coeficiente de correlao de Pearson temos que, quanto mais perto de 1maior o grau de dependencia estatstica entre as variveis. Caso contrrio, quanto mais prxi-

mo de zero, menor o grau de dependencia entre as variveis.

35

Captulo 5

Processos Multiplicativos

Nesse captulo introduziremos os principais conceitos relacionados aos processos multiplica-

tivos, iniciando a discusso com o Processo Multiplicativo Binomial. Em seguida, fazemos

um d-generalizao do Processo Multiplicativo Binomial e obtemos o d-Processo Multiplica-

tivo Multinomial. Por fim, mostramos a relao entre o Modelo Multifractal Binomial e o

d-Processo Multiplicativo Multinomial.

5.1 Processo Multiplicativo Binomial

No Processo Multiplicativo Binomial (veja as referncias [36], [51] e [52]), consideramos

uma populao com elementos distribuidos sobre um segmento de linha L = [0, 1]. Dividimos

o segmento em clulas de comprimento = 2n, tal que N = 2n clulas so necessrias para

cobrir o segmento L. A frao da populao contida em cada isima clula i = i/ com

i = 0, 1, 2, ..., N 1 e i o nmero de elementos na clula i. O conjunto que descrevecompletamente a populao na resoluo

Mn = {i}N1i=0 . (5.1)

A medida M(x) de uma sub-regio x definida como

M(x) =ix

i, (5.2)

onde

x = i2n. (5.3)

36

De uma forma geral, podemos escrever (x) como sendo

(x) =n1i=0

mi =b1i=0

mnii = mn00 m

n11 , (5.4)

onde m0 = p e m1 = 1 p, sendo p uma medida de probabilidade, logo m0 + m1 = 1.Temos tambm que n0 e n1 so, respectivamente, os nmeros de zeros e uns na representao

binria do nmero representado pela equao 5.3. Tomando = xk, m0 = a, m1 = 1 ae n1 = n n0, a Equao 5.4 se torna xk = an0(1 a)nn0 . Essa a expresso para omodelo multifractal binomial, ou seja, as propriedades multifractais do Processo Multiplicativo

Binomial so as mesmas do Modelo Multifractal Binomial. Na figura 5.1 mostramos para o

Processo Multiplicativo Binomial para alguns valores distintos de n.

Figura 5.1: Comprimento da clula para o Processo Multiplicativo Binomial: (a) n = 1, (b)

n = 2, (c) n = 5 e (d) n = 12, sendo que p = 0, 25. O eixo x representa o ndice de alocao

do valor [28].

Na Figura 5.2, mostramos as medidas (x) da clula localizada em x eM(x) para a regio

37

de [0, x], para n = 12, onde

M(x) =x.2ni=0

i. (5.5)

Figura 5.2: Processo Multiplicativo Binomial com probabilidade p = 0.25 e n mximo igual a

12. Em (a) temos (x) das clulas como funo de x = i212 em (b) M(x) para o intervalo

[0, x] como funo de x [28].

5.2 d-Processo Multiplicativo Multinomial

Para generalizar o Processo Multiplicativo Binomial, dividimos L em b partes e multipli-

camos cada uma por m0,m1,m2, ...,mb1, onde mi uma medida de probabilidade. Assim, na

n-sima gerao teremos bn clulas de comprimento = bn. Ento, a partir da equao 5.4

teremos uma d-medida dada por

(x, d) =[mn00 m

n11 ...m

nb1b1

]d=

[b1i=0

mnii

]d=

[b1i=0

mhini

]d, (5.6)

38

onde d um parmetro que est fortemente relacionado ao expoente de Hurst H , hi = ni/n a

porcentagem do nmeros de vezes que o i-simo multiplicador repetido no processo e ni o

nmero de multiplicadores. Sabendo que a fora de singularidade ou expoente de Hlder,

definido como.

(x0) = lim0

log (Bx0())

log(), (5.7)

ondeBx0 = {x : |x x0| < } o conjunto de pontos em torno de x0 que esto a uma distnciamenor que [36]. Para um i-simo intervalo de tamanho 2n, a equao 5.7 se torna

(x) =log((x))

log(2n)=

log[mno0 mn11 ]

n log(2)

(x) = n0n

log2m0 n1n

log2m1. (5.8)

Assim, de acordo com as equaes 5.6 e 5.7, podemos escrever

(d) = d logb(b1i=0 m

hini )

n= d

b1i=0

hi logb(mi). (5.9)

Agora, tomando

Nn((d)) =n!b1i=0 ni!

, (5.10)

onde Nn((d)) o nmero de clulas que tem como seu expoente de Hlder na n-sima

gerao. Usando a expanso de Stirling, onde log(n!) = n log(n) n, podemos escrever

logbNn(d) = n logb(n)b1i=0

ni logb(ni), (5.11)

em queb1i=0 ni = n e

logbNn((d)) = nb1i=0

hi logb(hi). (5.12)

Precisamos encontrar o hi que maximiza a funo b1i=0 hi logb hi, onde b1i=0 hi = 1 e(d) = db1i=0 hi logb(mi). Usando o mtodo dos multiplicadores de Lagrange, encontramos

hi = b(logbmqdi 1), (5.13)

39

e comob1i=0 hi = 1, obtemos

b1i=0

mqdi = b. (5.14)

Assim, de acordo com as equaes 5.13 e 5.14, teremos

hi =blogbm

qdi

b=mqdib

=mqdib1i=0 m

qdi

. (5.15)

e, substituindo o resultado acima na equao 5.9, obtemos

(d, q) = kb1i=0

mqdi ln(mdi )b1

i=0 mqdi

, (5.16)

onde k = 1/ ln(b). Tomandomi = pi e b = W , do formalismo multifractal padro [31] teremos

(d, q) =(d, q)dq = k ln(

Wi=1

pqdi ), (5.17)

onde (d, q) um expoente de escala. Como

f() = q(d, q) (d, q), (5.18)

substituindo as equaes 5.16 e 5.17 na 5.18 teremos

f(d, q) = k[Wi=1

pqdi ln(pqdi )W

i=1 pqdi

ln(Wi=1

pqdi )

]. (5.19)

Lembrando que

h(d, q) =(d, q) + 1

q, (5.20)

e, substituindo a equao 5.17 em 5.20 e escrevendo k = 1/ ln b = 1/ lnW obtemos

h(d, q) = ln(Wi=1 pqdi )

q ln(W )+

1

q. (5.21)

Tomando d = 1, W = 2, p1 = a e p2 = 1a na equao acima, encontramos a expresso4.27 para Modelo Multifractal Binomial

h(q) =1

q ln(a

q + (1 a)q)q ln(2)

,

que a generalizao do expoente de Hurst tratado pelo Modelo Multifractal Binomial.

A compreenso desse captulo de fundamental importncia, pois usaremos os resultados

analticos obtidos a partir do d-Processo Multiplicativo Multinomial para comparar com os

resultados obtidos via MF-DFA e via Modelo Multifractal Binomial. Tambm propomos um

algoritmo gerado a partir da equao 5.6 para simular zeros em sries de chuvas (ver o captulo

7).

40

Captulo 6

Dados Meteorolgicos

Apresentamos, neste captulo, as fontes de onde foram obtidos os dados utilizados neste

trabalho, alm de caracterizar a rea de interesse, a regio amaznica. Uma amostra das sries

temporais de chuva e de SSTA so apresentadas, alm de mostrarmos a respectiva srie derivada

para as sries de SSTA

6.1 rea de Estudo: Amaznia

Localizada na regio norte da Amrica do Sul, a floresta amaznica ocupa uma rea

de aproximadamente 7 milhes de quilmetros quadrados e est espalhada por pases como

o Brasil, Venezuela e Colmbia, entre outros. Contudo, a maior parte localiza-se no Brasil.

Por causa da sua importncia e biodiversidade, a floresta foi apelidada de "pulmo do mundo".

Tambm , indiscutivelmente, o mais rico ecossistema em espcies terrestres do planeta [53].

A Amaznia abriga os mais extensos rios do globo, alm de guardar a maior parte da gua

doce do planeta. O rio Amazonas, por exemplo, drena, praticamente, toda a regio amaznica

e sua vazo anual mdia de aproximadamente 176 milhes de litros dgua por segundo

(176.000 m3/s), o que lhe confere a posio de maior rio em volume de gua da Terra, su-

perando o rio Congo na frica (o segundo rio em volume de gua) em cerca de quatro vezes, o

rio Mississipi umas dez vezes, e as quedas de Nigara em 28 vezes. A regio amaznica , tam-

bm, uma das mais importantes fontes de calor, necessrio para manter a circulao atmosfrica

[1].

41

Nesta dissertao estamos interessados em analisar as chuvas que caem no Brasil, com

foco especial na Amaznia brasileira que ocupa, aproximadamente, 60% do territrio nacional

(figura 6.1).

Figura 6.1: Amaznia brasileira [54].

6.2 Dados de Chuva

As sries temporais de chuva analisadas neste trabalho so referentes a dados dirios de

precipitao, obtidos de dezesseis estaes meteorolgicas localizadas no Brasil, sendo que,

aproximadamente, 70% dessas estaes ento localizadas na regio amaznica. Os dados de

precipitao so coletados em estaes meteorolgicas atravs de pluvimetros e repassados

diariamente para a Agncia Nacional de guas-ANA (http://www2.ana.gov.br/) que tem como

misso implementar e coordenar a gesto compartilhada e integrada dos recursos hdricos e

regular o acesso a gua, promovendo o seu uso sustentvel em benefcio da atual e das futuras

42

geraes [55].

A localizao geogrfica dessas estaes, em diferentes zonas climticas, so mostradas

na figura 1.1 e na tabela 6.1, onde apresentamos a localizao exata das estaes (em coorde-

nadas geogrficas), alm da altitude, do intervalo de tempo considerado (perodo Tr) e da mdia

anual (Pa) de chuva para cada estao. As unidades de medida usadas para a latitude e longitude

so, respectivamente, grau, minuto e segundo.

Nas figuras 6.2 e 6.3 ilustramos uma pequena amostra das sries temporais de chuva para

todas as estaes meteorolgicas usadas neste trabalho.

Tabela 6.1: Informaes sobre as estaes meteorolgicas.

Estao Tr(anos) Pa(mm) latitude longitute altitude(m)

Altamira 1961-2011 1600 -03:12:51 -52:12:47 74

Araguatins 1975-2011 1560 -05:38:54 -48:07:30 122

Cceres 1969-2011 1220 -16:02:21 -57:15:27 154

Corumb 1969-2011 1100 -17:37:24 -56:57:54 101

Cruzeiro do Sul 1976-2011 2340 -07:26:08 -73:39:08 -

Guara 1975-2011 1600 -24:19:00 -54:13:00 249

Ibotirama 1952-2011 840 -12:10:50 -43:13:24 420

Manaus 1961-2011 2300 -03:07:00 -59:57:00 67

Oriximin 1968-2011 2400 -01:45:35 -55:51:41 11

Piranhas 1935-2011 500 -09:37:34 -37:45:22 110

Porto Velho 1978-2011 2100 -09:15:38 -63:09:43 96

Santa Terezinha de Gois 1974-2011 1500 -14:26:01 -49:43:00 400

Santarm 1968-2011 2300 -02:26:35 -54:42:27 -

So Paulo de Olivena 1973-2011 2700 -03:27:25 -68:54:43 71

Tucuru 1970-2011 2400 -03:45:37 -49:40:00 40

Xambio 1969-2011 1700 -06:24:47 -48:32:00 148

A seleo das estaes meteorolgicas obedeceu aos seguintes critrios:

Possuir pelo menos 30 anos de medidas at o ano de 2011;

43

Estar localizada prxima dos principais rios brasileiros (ver figura 1.1);

Figura 6.2: Sries temporais de chuva para as estaes localizadas nas cidades de: (a) Altamira,

(b) Araguatins, (c) Cceres, (d) Corumba, (e) Cruzeiro do Sul, (f) Guara, (g) Ibotirama e (h)

Manaus.

Figura 6.3: Sries temporais de chuva para as estaes localizadas nas cidades de: (a) Oriximi-

n, (b) Piranhas, (c) Porto Velho, (d) Santa Terezinha de Gois, (e) Santarm, (f) So Paulo de

Olivena, (g) Tucuru e (h) Xambio.

44

6.3 Dados de SSTA

A partir do incio do Sculo XX houve uma enorme evoluo dos equipamentos de coleta

de dados oceanogrficos, desde o surgimento de engenhos mecnicos e eletrnicos at, mais

recentemente, a popularizao de instrumentos digitais e o uso de informaes geradas por

satlites em rbita ao redor do planeta. A partir da anlise dessas imagens obtm-se, por exem-

plo, informaes sobre a Temperatura da Superfcie do Mar (SST). Alm d coleta de dados

atravs de imagens de satlite, a SST tambm coletada atravs de bias que transmitem dados

quase em tempo real, por navios, entre outros.

Nos oceanos, sries temporais de temperatura, fluorescncia e outros marcadores bio-

qumicos, tambm exibem caractersticas multifractais [56]. Por conta desse aspecto anal-

isamos, tambm, neste trabalho, sries temporais de anomalias na temperatura da superfcie

do mar (sea surface temperature anomalies-SSTA). Mdias mensais de SSTA foram obtidas do

National Oceanic and Atmospheric Administration-NOAA (http://www.noaa.gov/) para regies

dos Oceanos Pacfico e Atlntico (veja figura 1.2). O comprimento das sries de 62 anos

(1950 2011) para todas as regies. Os valores de anomalias so computados a partir de umasubtrao da mdia das sries. Por exemplo, se considerarmos que a mdia mensal na regio

do Atlntico para o ms agosto de 2008 foi de 22C e a mdia da srie for de 21C logo, a

anomalia ser de 1C.

Para analisar os dados de SSTA referentes ao oceano Pacfico consideramos as regies

aonde acontecem os fenmenos do El Nio e La Nia. Essa regio dividida da seguinte

maneira: Nino 1+2 delimitada por 8090O e 010S, Nino 3 delimitada por 90O150Oe 5S 5N , Nino 4 delimitada por 150O 160L e 5N 5S, e o Nino 3.4 delimitada por120O 170O e 5S 5N . Para o oceano Atlntico, as regies so: Atlntico Norte aonorte da linha do equador, Atlntico Sul ao sul da linha do equador, e o Atlntico Tropical localizado na regio da linha do equador. Na figura 6.4 mostramos as sries temporais de SSTA

para as regies dos oceanos Pacfico e Atlntico usadas neste trabalho.

Considerando que o mtodo utilizado para calcular as anomalias de temperatura similar

ao procedimento usado na equao 4.1 da metodologia MF-DFA, tendo em vista que ambas so

calculadas a partir de uma diferena em relao a mdia das respectivas sries, consideramos

que as sries de anomalias j esto integradas. Para resolver este problema, utilizamos o pro-

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cedimento chamado de derivada da srie baseado na equao 4.1, onde consideramos que os

termos Y (i) so conhecidos, e partir da calculamos os termos x(k) que representaro, desta

forma, a srie derivada. Os resultados para todas as sries de SSTA so mostrados na figura 6.5

onde x(k) representa a respectiva srie derivada. De posse destas sries derivadas, procedemos

a metodologia MF-DFA.

Figura 6.4: Sries temporais de SSTA para as estaes localizadas nas regies do: (a) Nino

1 + 2, (b) Nino 3, (c) Nino 4, (d) Nino 3.4, (e) Atlntico Norte, (f) Atlntico Sul, (g) Atlntico

Tropical.

Figura 6.5: Srie temporal derivada x(k) para as estaes localizadas nas regies do: (a) Nino

1 + 2, (b) Nino 3, (c) Nino 4, (d) Nino 3.4, (e) Atlntico Norte, (f) Atlntico Sul, (g) Atlntico

Tropical.

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Captulo 7

Resultados e Discusses

Neste captulo apresentaremos os resultados obtidos no desenvolvimento desta disser-

tao, calculados a partir da metodologia MF-DFA com a incluso do passo zero, juntamente

com as respectivas discusses. Esses resultados correspondem estaes localizadas nas cidades

de Altamira, Araguatins, Cceres, Corumba, Cruzeiro do Sul, Guara, Ibotirama, Manaus, O-

riximin, Piranhas, Porto Velho, Santa Terezinha de Gois, Santarm, So Paulo de Olivena,

Tucuru, Xambio (ver figura 1.1), alm das regies do Nino 1 + 2, Nino 3, Nino 4, Nino 3.4,

Atlntico Norte, Atlntico Sul e Atlntico Tropical (ver figura 1.2).

7.1 MF-DFA para as sries de chuva e de SSTA.

Todos os resultados apresentados neste trabalho foram obtidos com a incluso do passo

zero no procedimento MF-DFA. Usando essa metodologia, determinamos o expoente genera-

lizado de Hurst h(q) para as sries temporais de chuva de dezesseis estaes meteorolgicas e

para as sries temporais de SSTA para sete regies dos oceanos Atlntico e Pacfico, para vrios

valores de q (de -10 10), onde m + 2 s N/5, sendo m a ordem do polinmio usadono procedimento de ajuste (ver captulo 4). No caso do passo zero, o perodo T usado para

as sries de chuva foi de T = 365 dias e no caso das sries de SSTA, por se tratar de dados

mensais, usamos T no intervalo 1 T 50 meses.Nas figuras 7.1, 7.2, 7.3 e 7.4 so mostrados os resultados obtidos via MF-DFA2 para

as sries de chuva e nas figuras 7.5 e 7.6 os resultados via MF-DFA3 para as sries de SSTA,

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os grficos esto em escala log-log de Fq(s), para q = 2, em funo de s. A metodologia

MF-DFA foi realizada com e sem a incluso do passo zero, representadas por crculos azuis

e vermelhos, respectivamente. Na tabela 7.1 esto apresentados os valores obtidos para h(2),

para as sries de chuva e de SSTA. A incluso do passo zero na metodologia MF-DFA elimina

a regio do crossover oriundo da sazonalidade da sries. Entretanto, como pode ser visto nas

figuras 7.5 e 7.6, a incluso do passo zero na metodologia MF-DFA no tem, praticamente,

nenhuma influncia nas sries de SSTA.

Para q = 2, o expoente generalizado de Hurst h(q) recai no bem conhecido expoente

de Hurst H que indica se h correlao nos dados de uma determinada srie (ver captulos

3 e 4). Conforme mostrado na tabela 7.1, para as regies do Atlntico Norte e Sul as sries

apresentam correlaes de curto alcance, ou seja, so anti-persistentes, pois h(2) < 0, 5. Para

a estao localizada na cidade de Ibotirama a srie dita descorrelacionada ou aleatria, j que

h(2) 0, 5. Para o restante das estaes e regies estudadas, temos que 0, 51 < h(2) < 0, 81,o que indica que os dados referentes a cada srie apresentam correlaes de longo alcance,

ou seja, a srie persistente, porm, na maioria dos casos a persistncia dita fraca. Outro

resultado surpreendente a relao entre o expoente generalizado de Hurst h(q), quando q = 2

e o parmetro d do d-Processo Multiplicativo Multinomial, como mostrado na tabela 7.1, para

a maioria das sries analisadas temos que d h(2), a nica excesso a regio Nino 1 + 2 queapresentou uma caracterstica peculiar, sendo a nica srie a exibir uma das probabilidades pi >

0, 5 o que, provavelmente, influenciou no valor do parmetro d. Contudo, essa proximadade nos

valores devido, provavelmente, ao procedimento de ajuste.

As figuras 7.7, 7.8, 7.9 e 7.10 mostram os espectros multifractais para os dados de chuva,

obtidos atravs do mtodo MF-DFA com a incluso do passo zero (crculo). Juntamente com

esses resultados, so mostrados os ajustes via d-Processo Multiplicativo Multinomial (linha

contnua) e via Modelo Multifractal Binomial (linha pontilhada), onde fizemos b = (1 a)logo, a equao 4.27 pde ser reescrita como

h(q) =1

q ln[a

q + bq]

q ln(2). (7.1)

As figuras 7.11 e 7.12, mostram os mesmos resultados, porm agora, para as regies dos

oceanos Atlntico e Pacfico. Nestas figuras esto assinalados os valores das pi probabilidades,

onde i = 1, , 5 e do parmetro d do d-Processos Multiplicativo Multinomial referentes a

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equao 5.21 e das probabilidades a e b do Modelo Multifractal Binomial, referentes a equao

7.1. Na tabela 7.2 mostrada a soma quadrtica do resduos para os ajustes realizados atravs

do mtodo dos mnimos quadrados para todas as sries analisadas neste trabalho, de modo que,

quanto menor a soma quadrtica dos resduos, mais confivel fica o procedimento de ajuste.

Pudemos verificar que todas as sries estudadas apresentaram multifractalidade, uma vez

que, o expoente generalizado de Hurst h(q) apresenta uma forte dependncia em q, como

esperado para sries que exibem o comportamento multifractal. Tal caracterstica pode ser vista

nas figuras 7.7, 7.8, 7.9 e 7.10 para as sries de chuvas e nas figuras 7.11 e 7.12 para as sries

de SSTA. Nessas mesmas figuras, exibimos ainda os valores dos parmetros a e b referentes

equao 7.1, e os valores dos parmetros pi e d referentes equao 5.21, ajustados atravs

do mtodo dos mnimos quadrados. Percebe-se que, apesar de o Modelo Multifractal Binomial

ajustar muito bem os dados numricos obtidos via metodologia MF-DFA com a incluso do

passo zero, temos que o d-Processo Multiplicativo Multinomial, ajusta melhor, aproximada-

mente, 95, 7% dos dados analisados, como pode ser visto na tabela 7.2. Outro aspecto im-

portante que deveramos ter para o Modelo Multifractal Binomial, uma vez que a e b so

medidas de probabilidades, a condio de que a + b = 1, o que no observado. Entretando,

para o d-Processo Multiplicativo Multinomial, temos que, pi sendo uma medida de probabili-

dade, sempre obedece a condio de queWi=1 pi = 1, onde W nmero de probabilidades

consideradas. Para este trabalho, usamos W = 5.

Nas figuras 7.13, 7.14 e 7.15 mostramos os espectros multifractais para as sries origi-

nais e para as suas respectivas sries embaralhadas. O embaralhamento foi feito de maneira

randmica. Este procedimento realizado para se obter o tipo de multifractalidade presente

nas sries (ver captulo 4). Verificamos que o tipo de multifractalidade presente nas sries

correspondentes s estes localizadas na cidade de So Paulo de Olivena e para as regies

do Nino 1 + 2 e Nino 4 localizadas no oceano Pacfico devido a um alargamento da funo

densidade de probabilidade PDF, ou seja, multifractalidade do tipo (i), de modo que h(q) hshuf . Para a srie correspondente as estaes localizadas nas cidades de Altamira, Araguatins,

Corumba e Tucuru a multifractalidade devida diferentes flutuaes de correlaes para

pequenas e grandes escalas, ou seja, Multifractalidade do tipo (ii), j que hshuf 0, 5. Orestante das sries apresentaram multifractalidade de ambos os tipos (tipo (i) e (ii)).

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Em seguida, apresentamos na tabela 7.3 os valores dos coeficientes de correlao (ver

captulo 4) entre os dados mensais das sries de chuva em relao aos dados mensais das sries

de SSTA. Este procedimento foi realizado com o prposito de investigar a influncia que as

anomalias de temperatura da superfcie do mar exercem sobre as chuvas que caem no Brasil e,

em especial, na regio amaznica. Calculamos os coeficientes de correlao C entre os dados

mensais de cada regio dos oceanos Atlntico e Pacfico em relao a cada estao meteorol-

gica localizada nas regies estudadas.

Os resultados dispostos na tabela 7.3 mostram que os coeficientes de correlao obedecem

a relao C < 0, 3. Conforme os dados apresentados nessa tabela e segundo a classificao de

Dancey e Reidy [50], as regies das estaes localizadas nas cidades de Altamira, Araguatins,

Guara, Manaus, Oriximin, Santarm, So Paulo de Olivena e Xambio apresentam corre-

lao com as anomalias de temperatura na superfcie do mar. Em particular, as estaes de

Guara, Oriximin, Santarm e So Paulo de Olivena exibiram valores significativos em re-

lao as regies do Nino 1+2 e Nino 3 com valores maiores que 15%. Manaus, Oriximin e

Santarm apresentaram valores maiores que 10% em relao as regies do Nino 4 e Nino 3.4, e

em relao a esta ltima, acrescentamos tambm as estaes de Araguatins, Guara e So Paulo

de Olivena que exibiram valores superiores a 11%. Para o oceano Atlntico, destacam-se as es-

taes das cidades de Altamira e So Paulo de Olivena, apresentando valores superiores a 11%

em relao a regio do Atlntico Norte. Santarm e Xambio, que exibiram valores maiores

que 10% em relao a regio do Atlntico Sul. Por fim, as estaes de Araguatins, Guara,

Manaus, Oriximin Santarm e So Paulo de Olivena, com valores iguais ou superiores a 10%

em relao a regio do Atlntico Tropi

Dissertação-Edilson

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