DISCIPLINA DE RESISTÊNCIA DE MATERIAIS I · A barra tem comprimento L e secção transversal de...

SECÇÃO DE MECÂNICA ESTRUTURAL E ESTRUTURAS

DISCIPLINA DE RESISTÊNCIA DE MATERIAIS I

APONTAMENTOS DE TRACÇÃO E COMPRESSÃO

DINAR CAMOTIM

LISBOA, MAIO DE 2009

Tracção e Compressão de Peças Lineares

1

TRACÇÃO E COMPRESSÃO DE PEÇAS LINEARES

1 O PROBLEMA DE SAINT-VENANT

• Considere-se uma barra prismática e homogénea submetida a um esforço normal

constante N. A barra tem comprimento L e secção transversal de área A − ver a Figura 1.1.

O material que a constitui é elástico linear, isotrópico e caracterizado pelos valores do

módulo de elasticidade E e do coeficiente de Poisson υ.

Figura 1.1 − Problema de Saint-Venant da tracção/compressão.

• Conforme se viu anteriormente, a resolução deste problema, através do método semi-

inverso, conduz à solução:

02313122211 ===== σσσσσ A

N=33σ

0231312 === εεε EA

Nνεε −== 2211

EA

N=33ε

1211 kk ++−= xxEA

Nu

ν 2122 kk +−−= xx

EA

Nu

ν 333 k+= x

EA

Nu

EA

LNuLuL =−=∆ )0()( 33 (alongamento/encurtamento da barra)

( )E

LN)(VV ν−=ε+ε+ε=∆ 21332211 (variação de volume − hip. peq. defs.)


2

• Observações

(i) A grandeza E A designa-se por rigidez axial e representa “o esforço normal que é

necessário aplicar numa secção para provocar uma extensão longitudinal unitária”.

Mede a resistência da secção (barra) à deformação axial.

(ii) Em barras comprimidas as expressões apresentadas não são válidas para qualquer

valor do esforço normal. O seu limite de validade é controlado pela esbelteza da barra

(grandeza que depende da relação entre o comprimento e as dimensões e forma da

secção transversal) e está associada à ocorrência de fenómenos de instabilidade −

fenómenos geometricamente não-lineares que serão estudados posteriormente

(nomeadamente na disciplina de Resistência de Materiais II).

2 PEÇAS LINEARES SUJEITAS A ESFORÇO AXIAL

• Na secção anterior recordaram-se expressões válidas para barras prismáticas,

homogéneas, constituídas por um material elástico linear e isótropo, e submetidas

apenas à acção de um esforço normal constante (i.e., sem variações de temperatura ou

tensões iniciais). Estas expressões podem continuar a ser utilizadas se alguma ou algumas

destas condições não forem verificadas, passando então a fornecer soluções aproximadas.

Abordam-se em seguida os casos de barras:

(i) Submetidas a um esforço normal variável − N=N (x3).

(ii) Com secção transversal variável − A=A (x3).

(iii)Heterogéneas − E=E (x1, x2, x3). Tratam-se separadamente as barras em que os

vários materiais estão dispostos em série (E=E (x3)) e em paralelo (E=E (x1, x2)).

(iv) Submetidas a variações de temperatura (uniformes na secção) − ∆T=∆T (x3).

(v) Com tensões iniciais − σ0 (x3)≠0.

• Saliente-se que em todas as situações anteriores se admite que o material (ou os materiais)

que constitui a barra é elástico linear e isótropo − esta hipótese só será abandonada

na secção 4, onde se consideram materiais isótropos mas não elásticos lineares.


3

2.1 ESFORÇO NORMAL VARIÁVEL − N=N (X3)

• Neste caso, as tensões, deformações e deslocamentos da barra são dadas por:

( ) ( )A

xNx 3

333 =σ ( ) ( )EA

xNx 3

333 =ε ( ) ( ) ( )EA

xNxx 3

322311

νεε −==

( )∫=∆L

dxxNEA

L0 33

1 ( ) 3333 k

1+= ∫ dxxN

EAu (E e A constantes)

Exemplo Ilustrativo

Considere-se a barra representada na Figura 2.1, com comprimento L e secção transversal de

área A, a qual está submetida à acção de uma carga P e do seu peso próprio γ − p(x3)= γ A.

Pretende-se determinar os campos de tensões, deformações e deslocamentos instalados na barra.

Figura 2.1 − Exemplo ilustrativo − esforço normal variável.

( ) 33 xpPxN −−= ( ) PN −=0 ( ) LpPLN −−=

( ) 33

333 xA

P

A

xpPx γσ −−=

−−= ( ) 3

3333 x

EEA

P

EA

xpPx

γε −−=

−−=

( )E

L

EA

PLLpPL

EAdxxpP

EAL

L

22

11 22

0 33

γ−−=

+−=−−=∆ ∫

( ) 32333

23

33333 k 2

k 2

1k

1+−−=+

+−=+−−= ∫ x

Ex

EA

PxpxP

EAdxxpP

EAu

γ


4

2.2 SECÇÃO TRANSVERSAL VARIÁVEL − A=A (X3)

• Antes de mais, deve referir-se que se admite aqui uma variação da secção transversal da

barra A=A (x3) fraca (necessariamente contínua), por oposição a uma variação forte

(e.g., uma variação brusca ou a existência de furos ou entalhes). Este último caso será

abordado, de forma sucinta, no final desta secção.

• Se a variação da secção transversal da barra for fraca, as tensões, deformações e

deslocamentos que nela ocorrem são razoavelmente aproximados pelas expressões:

( )( )3

333 xA

Nx =σ ( )

( )3333 xEA

Nx =ε ( ) ( )

( )3322311 xEA

Nxx

νεε −==

( )∫=∆L

dxxAE

NL

0 33

1

( ) 333

3 k1

+= ∫ dxxAE

Nu (N e E constantes)

Exemplo Ilustrativo

Considere-se a barra representada na Figura 2.2, com comprimento L e secção rectangular de

altura constante (h) e largura variável (b(x3) − variação linear entre b0 e bL), a qual está

submetida à accção de um esforço axial constante N. Pretende-se determinar os campos

de tensões, deformações e deslocamentos instalados na barra.

Figura 2.2 − Exemplo ilustrativo − secção transversal variável.


5

( ) hbAA 000 =≡ ( ) hbALA LL =≡ ( ) hxL

bbbxA L

−+= 3

003

( )( ) 300

333

1

xbbLbh

NLx

L −+=σ ( )

( ) 300333

1

xbbLbEh

NLx

L −+=ε

( )( )( )[ ] =−+

−=

−+=∆ ∫

LL

L

L

L

xbbLbbbEh

NLdx

xbbLbEh

NLL 0300

00 3

300

ln11

( )

−=

00

lnb

b

bbEh

NL L

L

( )( )( )[ ] 3300

03 k ln +−+

−= xbbLb

bbEh

NLu L

L

Exemplo Ilustrativo

Determinar o perfil de igual resistência de uma barra submetida à acção de uma carga P

e do seu peso próprio γ − p(x3)= γ A (ver a Figura 2.3).

Figura 2.3 − Exemplo ilustrativo − perfil de igual resistência.

Perfil de igual resistência: ( )( )

σ≡= tetanconsxA

xN

3

3

( )3xAA = ( ) 00 AP

A ≡=σ

( ) ( ) ( )∫∫ +=+=33

0 330 333

xxdxxAPdxxpPxN γ


6

Secção x3: ( )3xN ( )3xA ( )( )

σ=3

3

xA

xN

Secção x3 + dx3: ( ) dNxN +3 ( ) dAxA +3 ( ) ( )

( )σ

γ=

++

dAxA

dxxAxN

3

333

( ) ( )

( )( ) ⇔+=+⇔=

++

dAAdxANdAxA

dxxAxNσγσ

γ3

3

333

CxAdxA

dAdAdxA +=⇒=⇔=⇔ 333 ln

σγ

σγ

σγ

( ) ( ) 3

0330

00 lnln0x

eAxAxA

AACAA σ

γ

σγ

=⇒=

⇒=⇒=

( )( )

σσ ==3

333 xA

xN

E

σε =33

E

LL

σ=∆ 333 k += x

Eu

σ

• Observações

(i) Quando a variação da secção transversal da barra for forte (e.g., uma variação brusca

ou a existência de furos ou entalhes) as expressões anteriores constituem uma

má aproximação na vizinhança da zona barra onde ocorre essa variação. De facto, a

distribuição das tensões normais deixa de ser uniforme nessa zona − ver a Figura 2.4.

(a) (b) (c)

Figura 2.4 − Distribuição das tensões normais em barras com (a) uma variação brusca da secção transversal, (b) um furo circular e (c) dois entalhes semi-circulares.


7

O valor fornecido pelas expressões apresentadas (σmed) subestima a tensão máxima

instalada na barra (σmax ), devendo ser “corrigido” por meio de um factor K cujo valor

depende da forma da secção e do tipo e características geométricas da sua variação

(σmax=K σmed) − existem na literatura expressões que fornecem valores de K.

(ii) Apesar da observação anterior, numa barra em que a variação da secção (A(x3)) seja

descontínua e caracterizada por troços prismáticos constantes adopta-se a solução

aproximada (N e E constantes e barra constituída por n troços prismáticos):

( )iA

N=133σ ( )

ii EA

N=33ε ( ) ( )

1122111 EA

Nνεε −== ∑

=

=∆n

i i

i

A

L

E

NL

1

3

1

13

1

13 k+

−+= ∑∑

−

=

−

=

m

ii

m

m

i i

i LxEA

N

EA

NLu com ∑∑

=

−

=

≤≤m

ii

m

ii LxL

13

1

1

Como o perfil de igual resistência de uma barra submetida ao seu peso próprio e a

uma carga P é difícil de fabricar (ver o último exemplo ilustrativo), considera-se

muitas vezes uma barra contituída por vários troços prismáticos − ver a Figura 2.5.

As características de um perfil “de igual resistência” desse tipo são determinadas

através das expressões anteriores (i.e., admitindo distribuições de tensões uniformes).

Figura 2.5 − Perfil “de igual resistência” constituído por vários troços prismáticos.


8

2.3 BARRAS HETEROGÉNEAS − E=E (x1, x2, x3)

2.3.1 MATERIAIS DISPOSTOS EM SÉRIE − E=E (X3)


( )A

Nx =333σ ( )

( ) AxE

Nx

3333 =ε ( ) ( )

( ) AxE

Nxx

3322311

νεε −==

( )∫=∆L

dxxEA

NL

0 33

1

( ) 333

3 k1

+= ∫ dxxEA

Nu (N e A constantes)

• Nas situações mais realistas, em que a variação de E(x3) não é contínua mas sim por

troços constantes (correspondentes aos n materiais − comprimentos Li e módulos de

elasticidade Ei), tem-se:

( )A

Ni =33σ ( )

AE

N

iii =≡ εε33 ( ) ( )

AE

N

iii

νεε −== 2211 ∑

=

=∆n

i i

i

E

L

A

NL

1

3

1

13

1

13 k+

−+= ∑∑

−

=

−

=

m

ii

m

m

i i

i LxAE

N

AE

NLu com ∑∑

=

−

=

≤≤m

ii

m

ii LxL

13

1

1

(N e A constantes)

Exemplo Ilustrativo

Considere-se a barra representada na Figura 2.6, a qual (i) está submetida ao carregamento

indicado e (ii) é constituída por quatro troços prismáticos e homogéneos − cada troço tem as

seguintes características:

Troço : N1= −3 P A1=A E1=E L1=L

Troço : N2= −4 P A2=A E2=2 E L2=1.5 L

Troço : N3= −2 P A3=1.5 A E3=2 E L3=1.5 L

Troço : N4= −P A4=A E4=1.5 E L4=2 L


Figura 2.6 − Exemplo ilustrativo− barra heterogénea com materiais em série.


9

A

P31 −=σ

A

P42 −=σ

A

P

3

43 −=σ

A

P−=4σ

EA

P31 −=ε

EA

P22 −=ε

EA

P

3

23 −=ε

EA

P

3

24 −=ε

EA

PL

EA

PL

EA

PL

EA

PL

EA

PLL

3

25

3

433 −=−−−−=∆

333 k 3 +−= xEA

Pu (0 ≤ x3 ≤ L) ( ) 333 k 23 +−−−= Lx

EA

P

EA

PLu (L ≤ x3 ≤ 2.5 L)

( ) 333 k 5.226 +−−−= LxEA

P

EA

PLu (2.5 L ≤ x3 ≤ 4 L)

( ) 333 k 43

27 +−−−= Lx

EA

P

EA

PLu (4 L ≤ x3 ≤ 6 L)

2.3.2 MATERIAIS DISPOSTOS EM PARALELO − E=E (X1, X2)

• Admite-se que a barra funciona como um todo, o que implica que a aderência entre os

vários materiais impede quaisquer deslocamentos (deslizamentos) relativos entre eles.

• A existência de uma distribuição uniforme de tensões normais conduziria agora a

extensões longitudinais variáveis nas secções transversais da barra (E=E (x1, x2)), o que

contraria a hipótese anterior (não ocorrerem deslocamentos relativos entre os vários

materiais). Assim, as condições de equilíbrio não são suficientes para determinar o

campo de tensões e o problema diz-se estaticamente indeterminado (ou hiperstático).

• É necessário recorrer a condições que envolvem as deformações que ocorrem na barra

− equações de compatibilidade, as quais traduzem o facto de as extensões longitudinais

terem de ser uniformes nas secções da barra (única forma de estas sofrerem apenas

translacções de corpo rígido na direcção longitudinal). Elas têm a forma:

( ) ( ) εεε ≡=≡ tetanconsxxxx 212133 ,,

• Tem-se, então:


10

( )( )( )

( )( )

( ) ( )( )

∫

∫

∫∫

=

=

⇒=⇒

=

=

A

A

AA

NdAxxE

xxExx

dAxxE

N

NdAxxE

xxE

xx

NdAxx

21

2121

21

21

21

21

21

,

,,

,,

,

,

,

σ

ε

εε

σ

σ

( )∫=∆

AdAxxE

LNL

21,

( ) 33

21

3 k ,

+=∫

xdAxxE

Nu

A

• Nas situações mais realistas, em que a variação de E(x1, x2) não é contínua mas sim por

áreas constantes, correspondentes às zonas da secção ocupadas pelos n materiais − áreas

Ai e módulos de elasticidade Ei. Trata-se de um problema hiperstático de grau n−1,

definido pelas equações

NAEn

iii =∑

=1

equação de equilíbrio

njj ,...,2para1 == εε equações de compatibilidade (n−1)

e cuja solução é dada por (Ni é a parcela do esforço normal absorvida por cada material e

admite-se que todos os materiais têm o mesmo coeficiente de Poisson):

( ) NAE

En

iii

iii

∑=

=≡

1

33 σσ ( )∑

=

==n

iii

i

AE

N

1

33 εε ( ) ( ) ενεε −== ii 2211

NAE

AEN

n

iii

iii

∑=

=

1

∑=

=∆n

iii AE

LNL

1

33

1

3 k+=

∑=

xAE

Nu

n

iii

• Observações

(i) A rigidez axial da secção (barra) é agora dada por ∑=

n

iii AE

1

.

(ii) As parcelas do esforço normal absorvidas por cada um dos materiais (Ni) são

proporcionais aos respectivos valores da rigidez axial (Ei Ai).

(iii) Admite-se que o único elemento de redução não nulo da distribuição de tensões

normais determinada, no centróide da seccção transversal, é o esforço normal N − esta

hipótese é trivialmente satisfeita se a secção exibir dupla simetria (geométrica e material).


11

No caso geral, o qual será abordado na disciplina de Resistência de Materiais II, os

elementos de redução não nulos da distribuição de tensões normais, no centróide da

seccção transversal, são o esforço normal e os dois momentos flectores.

Exemplo Ilustrativo

Considere-se a barra representada na Figura 2.7, a qual (i) está submetida a uma tracção

uniforme N e (ii) é constituída por dois materiais, a e b, dispostos em paralelo (a secção da barra

tem dupla simetria geométrica e material) e com as áreas e módulos de elasticidade indicados.


Figura 2.7 − Exemplo ilustrativo− barra heterogénea com materiais em paralelo.

EA

N

AEAE

N

bbaaba 20

=+

=≡= εεε

A

NN

EA

Eaa 420

==σ 4

NAN aaa == σ

A

NN

EA

Eba 2020

==σ 4

3 NAN bbb == σ

EA

NLL

20=∆ 333 k

20+= x

EA

Nu

2.4 BARRAS SUBMETIDAS A VARIAÇÕES DE TEMPERATURA − ∆T= ∆T (X3)


( ) 0333 =xσ ( ) ( )3333 xTx ∆= αε ( ) ( ) ( )3322311 xTxx ∆== αεε

( )∫ ∆=∆L

dxxTL0 33α ( ) 3333 k+∆= ∫ dxxTu α (N=0; α e E(x1, x2) constantes)


12

• A grandeza α designa-se por coeficiente de dilatação térmica linear e é uma característica

de cada material. Representa “a extensão linear provocada por uma variação de

temperatura unitária” e as unidades em que se exprime são (ºC)−1 − recorde-se que a

extensão linear é uma grandeza adimensional.

• Observações

(i) Em barras heterogéneas, tem-se, no caso geral, α=α (x3) (materiais em série) ou

α=α (x1, x2) (materiais em paralelo) − neste último caso, continua a admitir-se que a

secção transversal da barra possui dupla simetria geométrica e material.

(ii) Barras estaticamente determinadas sujeitas apenas à acção de uma variação de

temperatura apresentam tensões nulas em todos os seus pontos. No caso de barras

estaticamente indeterminadas, uma variação de temperatura provoca, em geral,

um estado de coacção − tensões não nulas mas que equilibram forças aplicadas nulas

(i.e., “equivalentes a zero”). Estas afirmações permanecem válidas no caso de

estruturas, conforme se verá na secção 3.

Exemplo Ilustrativo

Considere-se a barra representada na Figura 2.8, a qual está submetida a (i) uma tracção

uniforme N e (ii) uma variação de temperatura variável longitudinalmente ∆T= ∆T (x3).


Figura 2.8 − Exemplo ilustrativo− barra sujeita a tracção e variação de temperatura.

( )A

Nx =333σ ( ) ( )3333 xT

EA

Nx ∆α+=ε ( ) ( ) ( )3322311 xT

EA

Nxx ∆α+ν−=ε=ε

( )∫ ∆α+=∆ LdxxT

EA

LNL

0 33 ( ) 33333 k+∆+= ∫ dxxTxEA

Nu α


13

Exemplo Ilustrativo

Considere-se a barra heterogénea (dois materiais dispostos em paralelo) representada na

Figura 2.9, a qual está submetida a uma variação de temperatura constante ∆T. Pretende-se

determinar os campos de tensões e deformações instalados na barra.

Figura 2.9 − Exemplo ilustrativo− barra heterogénea sujeita a variação de temperatura.

εαε =+∆=aa

aaa AE

NT εαε =+∆=

bb

bbb AE

NT

⇒

−=

+∆=−∆⇒

=+

=

ba

bb

ba

ba

NN

EA

NT

EA

NT

NN1510

2

0

ααεε

ε=∆α=ε

ε=∆α=ε⇒

∆α−=σ

∆α=σ⇒

∆α−=

∆α=

T

T

ET

ET

EATN

EATN

a

b

a

b

a

b

5

75

7

65

2

6

6

LTL ∆=∆ α5

7 333 k

5

7+∆= xTu α

<−−⇒<∆

>−−⇒>∆

0tracçãocompressão0

0compressãotracção0

εσσ

εσσ

ab

ab

T

T

O estado de tensão caracterizado por σa e σb é um estado de coacção:

0mas,0e0 =+=≠≠ ∫ bbaaAaa AAdA σσσσσ .

2.5 BARRAS COM TENSÕES INICIAIS (OU RESIDUAIS) − σ33 ≡σ0≠0 (MAS Ν=0)

• Definem-se tensões inicias (ou residuais) de um corpo como as tensões que correspondem

ao estado natural do corpo, isto é, ao estado do corpo não solicitado por acções exteriores.

Assim, as tensões inicias são auto-equilibradas, na medida em que equilibram forças


14

exteriores nulas. É ainda habitual considerar o estado natural do corpo como o seu

estado indeformado (εij=0). Então, o estado natural pode ser caracterizado por (i) N=0,

σ33=0 e εij=0 (tensões inicias nulas) ou por (ii) N=0, σ33≠0 e εij=0 (tensões inicias não

nulas − estado de coacção).

• Admitindo que o valor das tensões inicias não varia longitudinalmente, as tensões,

deformações e deslocamentos da barra são dadas por:

( ) ( )2102133 ,, xxA

Nxx σσ += ( ) ( ) ( )

E

xxxx

EA

Nx 2102133

333

,, σσεε

−==≡

( ) ( ) ενεε −== 322311 xx EA

NLL =∆ 333 k+= x

EA

Nu (N, E e A constantes)

Exemplo Ilustrativo − Pré-Esforço

• Pode definir-se pré-esforço como a operação que consiste em aplicar uma determinada

solicitação a uma estrutura (neste caso uma barra) com o objectivo de melhorar a sua

capacidade resistente a outras solicitações, a aplicar posteriormente. Aborda-se aqui o

caso de barras de betão armado (betão + aço) submetidas a um esforço normal de tracção.

• Sabe-se que (i) no aço as resistências à tracção e à compressão são sensivelmente iguais, e

que (ii) a resistência à compressão do betão é significativamente maior que a sua resistência

à tracção (muito pequena). Deste modo, a resistência de uma barra de betão armado à tracção

é condicionada pela muito pequena resistência do betão a tensões de tracção.

• Este facto sugeriu a realização de uma operação de pré-esforço, a qual visa aumentar a

resistência da barra (e do betão) a um esforço normal de tracção e compreende os passos que

se descrevem em seguida:

(i) Considera-se um varão de aço submetido a um esforço de tracção Fp, designado

por “força de pré-esforço”.

pia FN =

a

pia A

F=σ

aa

pia AE

F=ε

aa

pia AE

LFL =∆


15

(ii) Envolve-se o varão de aço com betão, mas mantêm-se os dois materiais independentes.

piia FN =

a

piia A

F=σ

aa

piia AE

F=ε 0≈=∆

aa

piia AE

LFL (peq. defs.)

0=iibN 0=ii

bσ 0=iibε 0=∆ ii

bL

(iii) Provoca-se a aderência entre os dois materiais, de modo a impedir totalmente

qualquer deslizamento relativo, e retira-se o esforço Fp, o que equivale a aplicar

um esforço (− Fp) ao conjunto aço + betão − note-se que quando se retira Fp os dois

materiais já estão a trabalhar solidariamente.

+−=

bbaa

aap

iiia AEAE

AEFN 1 p

bbaa

a

a

piiia F

AEAE

E

A

F

+−=σ

pbbaa

bbiiib F

AEAE

AEN

+−= p

bbaa

biiib F

AEAE

E

+−=σ

bbaa

piiib

iiia AEAE

F

+−=== εεε

bbaa

piiib

iiia AEAE

LFLLL

+−=∆=∆=∆

Obteve-se assim uma barra de betão pré-esforçado (pré-esforço Fp), onde está

instalado um estado de coacção caracterizado por tensões de compressão no betão e

tensões de tracção no aço. De algum modo, “transferiu-se” alguma resistência à

tracção do aço para o betão. O estado natural da barra de betão pré-esforçado é:

pbbaa

a

a

pa F

AEAE

E

A

F

+−=0σ 00 =aε

pbbaa

bb F

AEAE

E

+−=0σ 00 =bε

LAEAE

LFL

bbaa

p ≈

+−1 (pequenas deformações)


16

(iv) Aplica-se à barra de betão pré-esforçado um esforço normal N (de tracção − caso

contrário, a operação de pré-esforço teria sido prejudicial).

(troca os Ωs por As)

( )bbaa

aapp

iva AEAE

AEFNFN

+−+= ( )

bbaa

ap

a

piva AEAE

EFN

A

F

+−−=σ

( )bbaa

bbp

ivb AEAE

AEFNN

+−= ( )

bbaa

bp

ivb AEAE

EFN

+−=σ

bbaa

ivb

iva AEAE

N

+=== εεε

bbaa

ivb

iva AEAE

NLLLL

+−=∆=∆=∆

⇒<

⇒>

açonotracçãoebetãonoCompressão

açonoebetãonoTracção

p

p

FN

FN

2.6 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO

• Na Teoria da Elasticidade mostrou-se que a energia de deformação (U ) armazenada num

corpo elástico é dada por

0UdVWUV

+= ∫

onde U0 é a energia intrínseca (energia armazenada pelo corpo no seu estado natural) e W

é a densidade da energia de deformação (por unidade de volume) associada às acções

exteriores a que o corpo está submetido.

• No caso de o corpo ser constituído por um material elástico linear e isótropo W toma

a forma:

( ) ( ) ( )ijijijijijklklijkl TTTHW δαεσδαεδαε ∆−+∆−∆−= 0

2

1

onde os coeficientes Hijk l podem ser expressos em termos de duas constantes e se tem:

( ) 0ijijklklijkl TH σσδαε −=∆−


17

• Logo, a energia de deformação (U) armazenada no corpo é dada por:

( )( )dVTU ijijoijijV

δαεσσ ∆−−= ∫ 2

1

• Consideram-se em seguida as expressões da energia de deformação relativas a uma

série de casos particulares:

(I) Peças Lineares (barras)

( ) ( ) 030

0

2

1UdxdATU

L

A ijijijij +∆−−= ∫ ∫ δαεσσ

(II) Peças Lineares onde apenas existem esforço axial e tensões normais σ33

( )( ) 030 33

033332

1UdxdATU

L

A+∆−−= ∫ ∫ αεσσ

(III) Caso (II) + Ausência de variações de temperatura e tensões iniciais

30 33332

1dxdAU

L

A∫ ∫= εσ

(IV) Caso (III) + Secções transversais homogéneas (materiais dispostos em série)

30

2

30 2

2

30 2

1

2

1

2

1dx

EA

NdxdA

EA

NdxdA

EA

N

A

NU

LL

A

L

A ∫∫ ∫∫ ∫ ===

Exemplo Ilustrativo

Calcular a energia de deformação das barras analisadas nos Exemplos Ilustrativos das secções

2.1 e 2.3.1.

(i) Exemplo Ilustrativo da secção 2.1 (página 3)

( ) ( )∫∫

++=++==

LLLpP

LpLP

EAdxxpPxpP

EAdxxN

EAU

0

23

2233

23

22

0 32

3 32

12

2

1

2

1

EA

LPUp

20

2

=⇒=


18

(ii) Exemplo Ilustrativo da secção 2.3.1 (página 8)

( ) ( ) ( ) ( )EA

LP

EA

LP

EA

LP

EA

LP

EA

LPL

AE

NU j

j jj

j22

2224

1

2

6

73

2

32

32

32

22

343

2

1

2

1=

−

+−

+−

+−

== ∑=

3 ESTRUTURAS CONST I TUÍDAS POR PEÇAS LINEARES SUJEITAS APENAS A ESFORÇO AXIAL

• Considere-se agora um tipo especial de problemas que envolvem corpos constituídos

unicamente por peças lineares (eventualmente associadas a um ou mais corpos rígidos)

− estes corpos designam-se habitualmente por estruturas reticuladas.

• As ligações das peças lineares (entre si, com o exterior ou com eventuais corpos

rígidos) e o carregamento a que as estruturas estão submetidas são de forma a que

essas peças lineares estejam sujeitas apenas a esforço axial.

• Para resolver um problema deste tipo basta determinar, para todas as barras da estrutura:

(i) Os esforços axiais (N). O procedimento utilizado para efectuar esta determinação

depende da estatia global da estrutura, a qual combina as respectivas estatia exterior

e estatia interior. Enquanto a estatia exterior está relacionada com o modo como a

estrutura está ligada ao exterior (i.e., com o número e natureza dos seus apoios),

a estatia interior diz respeito a forma como estão ligados entre si os vários elementos

(barras e/ou corpos rígidos) que a constituem.

(ii) Os alongamentos/encurtamentos (∆L).

(iii)Os deslocamentos das extremidades (δ).

3.1 ESTATIA GLOBAL

• A estatia global de uma estrutura está relacionada com o modo como os seus vários

elementos estão ligados entre sim e ao exterior. Assim, diz-se que uma estrutura,

submetida à acção de um carregamento geral (arbitrário) é:


19

(i) Hipoestática se não for possível garantir o equilíbrio estático da estrutura e de todas

as suas partes. O grau de hipoestatia da estrutura é fornecido pelo número de

movimentos de corpo rígido que podem ter a estrutura ou as suas partes.

(ii) Isostática se existir apenas uma combinação de reacções de apoio e esforços axiais

nas barras que garanta o equilíbrio estático da estrutura e de todas as suas partes.

(iii)Hiperstática se existirem várias combinações de reacções de apoio e esforços axiais

nas barras que garantam o equilíbrio estático da estrutura e de todas as suas partes.

O grau de hiperstatia da estrutura é fornecido pelo número de ligações

(interiores e/ou exteriores) que podem ser suprimidas continuando a garantir o

equilíbrio estático.

• A Figura 3.1 mostra alguns exemplos de estruturas (i) hipoestática de grau 1 ((g)), (ii)

isostáticas ((a) e (d)), e (iii) hiperstática de grau 3 ((b)) e (iv) hiperstáticas de grau 1

(todas as restantes).

Figura 3.1 − Exemplos de estruturas hipoestáticas, isostáticas e hiperstáticas.


20

3.2 ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS

• Estruturas isostáticas são, por definição, aquelas em que é possível determinar os

valores de todas as reacções de apoio e dos esforços normais (neste contexto) em todas as

barras recorrendo exclusivamente a equações de equilíbrio. Uma vez conhecidos todos

os esforços axiais é possível calcular as tensões normais e o alongamento/encurtamento

em cada barra (utilizando as equações estabelecidas na secção 2). Finalmente, as

equações de compatibilidade permitem determinar os valores dos deslocamentos que

definem completamente a configuração deformada da estrutura.

Exemplo Ilustrativo

Considere-se a estrutura isostática representada na Figura 3.2, a qual está submetida ao

carregamento indicado (carga P e variação de temperatura ∆T) e é constituída por uma barra

rígida e duas barras deformáveis (uma homogénea e a outra heterogénea − dois materiais

dispostos em paralelo). Pretende-se determinar (i) o esforço normal, as tensões normais e o

alongamento/encurtamento de cada barra deformável e (ii) o valor do deslocamento vertical

do ponto de aplicação da carga P.

Figura 3.2 − Exemplo ilustrativo − estrutura isostática.

Equações de equilíbrio:

==

==⇒

=×

=+

ABA

CDC

A

CA

NP

R

NP

R

PLLR

PRR

3

3

2

3


21

Relações esforços-tensões:

∆+=∆−=

=

ETA

PET

A

P

A

P

bCD

aCD

AB

ασασ

σ

3

2

45

2

3

10

9

4

24

Relações esforços-alongamentos:

∆+=∆

∆+=∆

HTEA

HPL

HTEA

HPL

CD

AB

α

α

3

5

45

2

24

Relações deslocamentos-alongamentos: CDDABB LL ∆=∆= δδ

Equação de compatibilidade: ( )ABCDABEBDBE LLL

LL∆−∆+∆=⇒

−=

−3

2

3/2δ

δδδδ

3.3 ESTRUTURAS HIPERSTÁTICAS

• Estruturas hiperstáticas são, por definição, aquelas em que não é possível determinar os

valores de todas as reacções de apoio e/ou dos esforços normais (neste caso) em todas as

barras recorrendo exclusivamente a equações de equilíbrio. É necessário utilizar também

as equações de compatibilidade e as relações esforços-alongamentos. O sistema constituído

por estes três tipos de equações é determinado, permitindo calcular inicialmente:

(i) Ou os esforços normais nas barras e, eventualmente, as reacções de apoio − para isso,

escrevem-se as equações de compatibilidade em termos dos esforços, utilizando as

equações esforços-alongamentos.

(ii) Ou os alongamentos/encurtamentos nas barras e, eventualmente, as reacções de

apoio − para isso, escrevem-se as equações de equilíbrio em termos dos alongamentos,

utilizando as equações esforços-alongamentos.


22

• No primeiro caso, (i) segue-se a determinação das tensões normais e dos alongamentos

nas várias barras, após o que (ii) se calculam os deslocamentos que definem a

configuração deformada da estrutura.

• No segundo caso, determinam-se (i) por um lado os esforços e as tensões normais

nas várias barras e (ii) por outro lado os deslocamentos necessários à definição da

configuração deformada da estrutura.

• Observação

Uma variação de temperatura introduz numa estrutura hiperstática uma distribuição de

esforços normais (não nulos) auto-equilibrada, i.e., que equilibra forças exteriores nulas

(no caso de uma estrutura isostática esses esforços são todos nulos).

Exemplo Ilustrativo

Considere-se a barra hiperstática representada na Figura 3.3, a qual tem comprimento L

(L=L1+L2) e está submetida ao carregamento indicado (carga P). Pretende-se determinar (i) os

diagramas de esforços normais e das tensões normais, e (ii) o deslocamento horizontal do ponto

de aplicação da carga P.

Figura 3.3 − Exemplo ilustrativo− barra hiperstática.

Equações de equilíbrio: CBCAABCA RNRNPRR =−==+

Relações esforços-tensões: A

N

A

N BCBC

ABAB == σσ

Relações esforços-alongamentos: EA

LNL

EA

LNL BC

BCAB

AB21 =∆=∆

Relações deslocamentos-alongamentos: BCABB LL ∆−=∆=δ

Equação de compatibilidade: 0=∆+∆ BCAB LL


23

(i) Primeiro método de resolução: determinação inicial dos esforços normais

00 21 =+⇔=∆+∆ LNLNLL BCABBCAB

−=

=⇒

−=

=

+

⇒

=+

=+−

PL

LN

PL

LN

L

LNN

PL

LN

LNLN

PNN

AB

BC

BCAB

BC

BCAB

BCAB

2

1

1

2

1

2

21

1

0

BCABBCAB LEA

P

L

LLL

A

P

L

L

A

P

L

L∆−=−=∆=−= 2112 σσ

( )←−=EA

P

L

LLB

21δ

(ii) Segundo método de resolução: determinação inicial dos alongamentos/encurtamentos

EA

P

L

L

L

LP

L

EAL

L

EALPNN BCAB

BCABBCAB =∆

+∆

−⇔=∆+∆−⇔=+−2121

∆−=∆

−=∆⇒

=∆+∆

=∆+∆−

ABBC

AB

BCAB

BCAB

LLEA

P

L

LLL

LLEA

LLPLLLL 2121

12

0

A

P

L

LP

L

LN

A

P

L

LP

L

LN BCBCABAB

1122 ==−=−= σσ

( )←−=EA

P

L

LLB

21δ

Exemplo Ilustrativo

Considere-se a estrutura hiperstática representada na Figura 3.4, a qual (i) é constituída por

uma barra rígida e duas barras deformáveis e (ii) está submetida ao carregamento indicado

(carga P). Pretende-se determinar (i) os esforços normais e as tensões normais nas barras

BD e CE, e (ii) os deslocamentos verticais dos pontos D, E e F (ponto de aplicação da carga P).


24

Figura 3.4 − Exemplo ilustrativo − estrutura hiperstática.

Equações de equilíbrio: CCEBBD

CB

CBA

RNRNLPLRLR

PRRR==

×=×+×

=++

2

32

Relações esforços-tensões: A

N

A

N CECE

BCBC == σσ

Relações esforços-alongamentos: EA

HNL

EA

HNL CE

CEBD

BD =∆=∆

Relações deslocamentos-alongamentos: CEEBDD LL ∆=∆= δδ

Equações de compatibilidade: 22

2 CEBDEDFDE

LL ∆+∆=

+==

δδδδδ

(i) Primeiro método de resolução: determinação inicial dos esforços normais

BDCEBDCE NNLL 22 =⇔∆=∆

=

=⇒

=+

=

PN

PN

PNN

NN

CE

BD

CEBD

BDCE

5

310

3

2

32

2

EA

HPL

A

P

EA

HPL

A

PCECEBDBD 5

3

5

3

10

3

10

3=∆==∆= σσ

EA

HP

EA

HP

EA

HPFED 20

953

103

=δ=δ=δ


25

(ii) Segundo método de resolução: determinação inicial dos alongamentos/encurtamentos

EA

HPLLPNN CEBDCEBD 2

32

2

32 =∆+∆⇒=+

=∆

=∆⇒

=∆+∆

∆=∆

EA

HPL

EA

HPL

EA

HPLL

LL

CE

BD

CEBD

BDCE

10

310

3

2

32

2

A

PPN

A

PPN CECEBDBD 5

3

5

3

10

3

10

3==== σσ

EA

HP

EA

HP

EA

HPFED 20

9

5

3

10

3=δ=δ=δ

• As duas formas de abordar o problema que acabam de ser descritas e ilustradas estão

na base de dois métodos especiais que permitem resolver, de forma sistemática,

estruturas hiperstáticas: (i) o Método das Forças (ou dos Esforços) e (ii) o Método dos

Deslocamentos. Ambos os métodos utilizam o Princípio da Sobreposição, o que significa

que podem ser aplicados na resolução de estruturas lineares, isto é, estruturas para as

quais sejam válidas as hipóteses da linearidade geométrica e da linearidade física.

• O método das forças consiste em fornecer um processo sistemático para estabelecer

sistemas determinados (i.e., com solução única) de equações de compatibilidade, cujas

incógnitas são esforços ou reacções de apoio. Uma vez calculados os valores dessas

incógnitas é possível, recorrendo apenas a equações de equilíbrio, determinar todos os

restantes esforços e reacções de apoio.

• O método dos deslocamentos fornece um processo sistemático para estabelecer sistemas

determinados de equações de equilíbrio, cujas incógnitas são deslocamentos. Após

calcular os valores dessas incógnitas é possível, utilizando só equações de compatibilidade

e relações alongamentos-deslocamentos, determinar os alongamentos/encurtamentos em

todas as barras da estrutura.

• Descreve-se em seguida apenas o método das forças e ilustra-se a sua aplicação através de

um exemplo. Antes, porém, é conveniente recordar o enunciado do Princípio da

Sobreposição, o qual, como se disse atrás, é válido apenas para estruturas lineares:


26

“Considere-se uma estrutura submetida à actuação independente de várias solicitações

(e.g., forças aplicadas ou variações de temperatura). Pode então dizer-se que qualquer

efeito (e.g., uma reacção de apoio, um esforço ou um deslocamento) provocado por

uma combinação linear dessas solicitações é igual à mesma combinação linear dos

efeitos homólogos causados por cada uma das solicitações primitivas”

• Observações

(i) Neste capítulo aplica-se o método das forças apenas a estruturas reticuladas cujas

barras deformáveis estão submetidas unicamente a esforço normal. Nas disciplinas de

Resistência de Materiais II e Análise de Estruturas I estudar-se-á a sua aplicação a

problemas mais gerais.

(ii) O método dos deslocamentos só voltará a ser abordado mais tarde, no âmbito da

disciplina de Análise de Estruturas I.

3.3.1 MÉTODO DAS FORÇAS (OU DOS ESFORÇOS)

• PASSOs DO MÉTODO

(i) Determinar o grau de hiperstatia da estrutura (n).

(ii) Definir um sistema base, o qual se obtém da estrutura original através da supressão

de n ligações (interiores e/ou exteriores) − é, portanto, sempre uma estrutura

isostática. Passam assim a ser permitidos n deslocamentos (relativos ou

absolutos, consoante as correspondentes ligações suprimidas forem interiores ou

exteriores). Os esforços (ligações interiores) e/ou reacções de apoio (ligações

exteriores) associados às n ligações suprimidas designam-se por redundantes ou

incógnitas hiperstáticas (X1,..., Xn).

Observações

(1) Uma estrutura hiperstática pode dar origem a vários sistemas base. O único factor

a condicionar a escolha de um determinado sistema base é a conveniência

(facilidade) de cálculo.

(2) A escolha das n ligações a suprimir deve ser feita de forma criteriosa, de modo a

garantir que a estrutura resultante não seja hipoestática (i.e., tenha as ligações

“mal distribuídas”).


27

(iii)Submeter o sistema base (estrutura isostática) aos seguintes (n + 1) carregamentos:

(iii.1) 1 carregamento constituído por todas as solicitações aplicadas à estrutura

original (hiperstática).

(iii.2) n carregamentos constituídos por uma única força (ou esforço) aplicada, a qual

tem valor unitário e corresponde a uma incógnita hiperstática (Xi=1, i=1, , n).

Observação

Os sentidos convencionados para as forças e/ou esforços unitários (e, portanto,

também para as incógnitas hiperstáticas) são arbitrários.

(iv) Calcular, no sistema base e para cada um dos (n + 1) carregamentos definidos no

ponto anterior, os n deslocamentos correspondentes às ligações suprimidas.

Representam-se esses deslocamentos por 0iU (deslocamento correspondente à

ligação suprimida i e provocado pelas solicitações actuantes na estrutura original) e

por ijf (deslocamento correspondente à ligação suprimida i e provocado pela força

ou esforço unitário associada à incógnita hiperstática Xj) − estes últimos

deslocamentos designam-se por coeficientes de flexibilidade (ou flexibilidades).

Observação

Toma-se para sentido positivo do deslocamento correspondente à ligação suprimida i

o sentido arbitrado para a incógnita hiperstática Xi − deste modo, todos os coeficientes

de flexibilidade ijf são sempre positivos.

(v) Aplicar o princípio da sobreposição para calcular o valor das incógnitas hiperstáticas.

Observe-se que:

(v.1) A estrutura original com o seu carregamento pode ser obtida através da

sobreposição de (n + 1) carregamentos no sistema base, n dos quais estão

expressos em termos dos valores das incógnitas hiperstáticas Xi, ainda

desconhecidas e cujo cálculo constitui o objectivo do método das forças.

(v.2) São sempre conhecidos, na estrutura original, os valores dos deslocamentos

correspondentes às ligações suprimidas − representam-se por Ui e, na grande

maioria dos casos, tem-se Ui=0.


28

Podem então escrever-se as seguintes equações de compatibilidade, utilizando o

princípio da sobreposição,

=++++

=++++

=++++

nnnnnnn

nn

nn

UfXfXfXU

UfXfXfXU

UfXfXfXU

...

...

...

22110

2222221102

1112211101

M

M

as quais constituem um sistema de equações lineares que permite determinar os valores

das redundantes Xi. O sistema de equações pode ser escrita de forma matricial como

[ ] UXFU =+0

onde a matriz [ ] [ ]ijfF = se designa por matriz de flexibilidade. Pode provar-se

que fij=fji, i.e., que a matriz de flexibilidade é simétrica.

Observações

(1) No caso de redundantes que correspondam a reacções de apoios elásticos tem-se

Ui= − Xi /K, onde K é a rigidez do apoio elástico.

(2) No caso de estruturas hiperstáticas de grau 1, o sistema de equações lineares

degenera numa única equação.

(3) Um valor de Xi positivo significa que o sentido arbitrado para essa redundante

estava correcto. Um valor de Xi negativo significa que é necessário inverter o

sentido inicialmente arbitrado para essa redundante.

(vi) Uma vez conhecidos os valores das incógnitas hiperstáticas pode calcular-se qualquer

efeito (e.g., um esforço, uma reacção de apoio, uma tensão ou um deslocamento) na

estrutura original de duas formas:

(vi.1) Raciocinando directamente em termos da estrutura original, a qual foi tornada

estaticamente determinada pelo conhecimento das n redundantes.

(vi.2) Utilizando o princípio da sobreposição e somando os valores desse efeito

produzidos no sistema base pelas n redundantes Xi e pelas solicitações

actuantes na estrutura original.


29

Exemplo Ilustrativo

Considere-se a estrutura hiperstática representada na Figura 3.5, a qual (i) é constituída por

uma barra rígida e três barras deformáveis e (ii) está submetida ao carregamento indicado

(carga P). Pretende-se determinar os valores (i) das reacção nos apoios A, B, C e D e (ii)

dos deslocamentos verticais dos pontos E, F, G e H (ponto de aplicação da carga).

Figura 3.5 − Exemplo ilustrativo − aplicação do método das forças.

Adopta-se o sistema base representado na Figura 3.6, o qual se obtém da estrutura original

suprimindo os apoios em B e C. Nessa mesma figura está esquematizada a aplicação do método

das forças (para esse sistema base) − consideram-se os três carregamentos indicados,

identificados respectivamente por (carregamento aplicado à estrutura original), (força

unitária correspondente ao apoio suprimido em C) e (força unitária correspondente ao

apoio suprimido em B). A resolução do problema envolve os seguintes passos:

Figura 3.6 − Exemplo ilustrativo − esquematização da aplicação do método das forças.


30

(i) Resolução do sistema base submetido ao carregamento

( )↑= PR D4

3

( )

( )

( )

−=−=

−=−=⇒

↓==

↓==

↓=

EA

HPU

EA

HPU

EA

HPEA

HPEA

HP

E

F

GE

GF

G

16

38

3

16

3

4

8

3

2

4

3

01

01

δ

δ

δδ

δδ

δ

(ii) Resolução do sistema base submetido ao carregamento

( )↓=2

1DR

( )

( )

( )

( )

==

=×

+=⇒

↑==

↑==

↑=

EA

Hf

EA

H

EA

Hf

EA

HEA

HEA

H

E

F

GE

GF

G

CF

8

14

51

8

1

4

4

1

2

2

1

21

11 deoalongamentinclui

δ

δ

δδ

δδ

δ

(iii) Resolução do sistema base submetido ao carregamento

( )↓=4

1DR

( )

( )

( )( )

=×

+=

===⇒

↑==

↑==

↑=

BEEA

H

EA

Hf

fEA

Hf

EA

HEA

HEA

H

E

F

GE

GF

G

deoalongamentinclui16

1718

1

16

1

4

8

1

2

4

1

22

2112

δ

δ

δδ

δδ

δ

(iv) Determinação das incógnitas hiperstáticas

=

+

⇔

=++

=++

2

1

2

1

2221

1211

02

01

222221202

112211101

U

U

X

X

ff

ff

U

U

UfXfXU

UfXfXU


31

( )

( )

↑=⇒=

↑=⇒=⇔

=+

=+

PRPX

PRPX

PXX

PXX

B

C

7

1

7

17

2

7

2

16

3

16

17

8

18

3

8

1

4

5

2

1

21

21

(v) Resultados finais

( )↑=

−+

−+= PXXPRD 7

4

4

1

2

1

4

321

( )

( )

( )

↓=δ

=δ

↓=δ

=δ

↓=

−+

−+=δ

EA

HPEA

HP

EA

HP

EA

HX

EA

HX

EA

HP

GE

GF

G

7

1

4

7

2

2

7

4

4

1

2

1

4

321

( )↓=+

=EA

HPGFH 7

3

2

δδδ

3.4 CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS

• Até aqui utilizaram-se as seguintes abordagens para calcular os deslocamentos dos nós

de uma estrutura reticulada:

(i) Calculam-se inicialmente os esforços normais e os alongamentos/encurtamentos das

várias barras da estrutura. Em seguida, utilizam-se as equações de compatibilidade

(deslocamentos-alongamentos) para determinar os deslocamentos dos nós. Utilizou-

se esta abordagem em estruturas isostáticas (sempre) e estruturas hiperstáticas com as

equações de compatibilidade escritas em termos dos esforços e reacções de apoio.

Observação

Recorde-se que a aplicação do método das forças envolve unicamente o cálculo

de deslocamentos num sistema base, sempre uma estrutura isostática.


32

(ii) Calculam-se inicialmente os alongamentos/encurtamentos das várias barras da

estrutura. Em seguida, utilizam-se as equações de compatibilidade (deslocamentos-

alongamentos) para determinar os deslocamentos dos nós. Utilizou-se esta

abordagem em estruturas hiperstáticas com as equações de equilíbrio escritas em

termos dos alongamentos/encurtamentos.

• Apresentam-se nesta secção dois métodos especiais para calcular deslocamentos em

estruturas reticuladas, os quais se baseiam nos conceitos de trabalho e energia. A

utilização de qualquer destes dois métodos é particularmente vantajosa no caso de

estruturas com um elevado número de barras, na medida em que nenhum deles requer o

estabelecimento de relações deslocamentos-alongamentos (muito complexas) ou qualquer

outro tipo de considerações de natureza geométrica.

• O primeiro método baseia-se no Princípio da Conservação da Energia Mecânica e apenas

pode ser utilizado num número restrito de problemas.

• O segundo método é uma aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais e pode ser

utilizado em qualquer tipo de problema.

3.4.1 CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA

• O Princípio da Conservação da Energia Mecânica afirma que:

“Numa estrutura elástica actuada por um conjunto de forças aplicadas quasi-

estaticamente (i.e., sem alterarem o valor da energia cinética) e em que não ocorram

trocas de calor com o exterior (transformação adiabática) ou geração interna de calor,

tem-se que o trabalho realizado pelas forças exteriores ( eτ ) é igual à variação da

energia de deformação ( U∆ )”. Tem-se, então, Ue ∆=τ .

Observações

(1) Se se admitir que U=0 quando as forças exteriores que realizam eτ são nulas,

vem UU ≡∆ e, portanto, Ue =τ − esta hipótese será admitida daqui em diante.

(2) Apesar de o princípio ser válido para qualquer estrutura elástica, considera-se

aqui apenas a sua aplicação a estruturas elásticas lineares (linearidade física).


33

• ENERGIA DE DEFORMAÇÃO

A energia de deformação de uma estrutura reticulada é dada pela soma das energias de

deformação das barras que a constituem, i.e.,

∑=

=N

iiUU

1

(Ui é a energia de deformação da barra i e n o número de barras deformáveis)

Recorde-se (ver secção 2.6) que a energia de deformação de uma barra constituída por

um material elástico linear, submetida apenas a esforço normal e sem variações de

temperatura ou tensões iniciais é dada, no caso geral, por

30

233

30 3333 2

1

2

1dxdA

EdxdAU

L

A

L

A ∫ ∫∫ ∫ ==σ

εσ

podendo ainda utilizar-se outras expressões (escritas directamente em termos do

esforço normal N) numa série de casos particulares − ver secção 2.6.

• TRABALHO DAS FORÇAS EXTERIORES

Admite-se que a estrutura é actuada por um conjunto de forças exteriores conservativas (o

trabalho realizado depende apenas das posições inicial e final do ponto de aplicação, e não

da trajectória por ele percorrida) representadas por Qj (j=1,..., m). Podem ser forças

(i) concentradas (aplicadas num ponto de um corpo rígido, num nó ou no interior de

uma barra − neste último caso, actuando obrigatoriamente segundo o respectivo eixo) ou

(ii) distribuídas (aplicadas ao longo de uma barra e actuando segundo o respectivo eixo) −

no seu conjunto, designam-se por Forças Generalizadas.

A cada força generalizada Qj corresponde um deslocamento generalizado qj, o qual

representa o deslocamento (ou soma dos deslocamentos) da estrutura no(s) ponto(s) de

aplicação, na direcção e no sentido de Qj. Pode então definir-se o Trabalho Exterior

realizado pelas forças exteriores para levar a estrutura da sua configuração inicial (qj=0)

até à sua configuração final ( fjj qq = ) como

∑∫∫∫=

=++=m

jj

q

jm

q

m

q

e dqQdqQdqQfj

fm

f

10010 1 ...

1τ

Em virtude de se considerarem apenas estruturas com comportamento linear (linearidade

geométrica + linearidade física) pode ainda escrever-se


34

fj

m

j

fj

m

jj

q

je qQdqQfj

∑∑∫==

==11

0 2

1τ

Por exemplo, no caso de uma estrutura ser solicitada por uma única força exterior, o valor

de eτ corresponde à área tracejada representada na figura

• CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS

O princípio da conservação da energia mecânica apenas permite calcular deslocamentos

em estruturas reticuladas nas seguintes condições:

(i) A estrutura é solicitada por uma única força generalizada Q.

(ii) Calcula-se unicamente o valor do deslocamento generalizado q, correspondente

à força generalizada Q.

Nestas condições, tem-se

∑∑

=

==⇒=n

i

n

ii

i Q

UqUqQ

1

1

2

2

1

Exemplo Ilustrativo

Considere-se a barra representada na Figura 3.7, constituída por dois troços distintos e submetida

ao carregamento indicado (carga P). Pretende-se determinar o valor do deslocamento

horizontal do ponto C (deslocamento do ponto de aplicação da carga no sentido desta).

Figura 3.7 − Exemplo ilustrativo − aplicação do método das forças.


35

Ce Pδτ2

1= BCAB UUU +=

PN AB =

=⇒=

=⇒=

A

PPN

A

PPN

bBC

bBC

aBC

aBC

153

3

2

3

2

σ

σ

AE

LP

AE

LP

AE

LNU

ABAB

ABABAB 1682

1

2

1 222

===

( ) ( )=+== ∫ ∫∫ ∫∫ ∫ 30

2

30

2

30

2

2

1

2

1

2

1dxdA

EdxdA

EdxdA

EU

L

A bBC

bBC

L

A aBC

aBC

L

ABC

BCBC

BCBCBC

σσσ

( ) ( )

AE

LP

AE

LP

AE

LP

AE

LN

AE

LNUU

bBC

bBC

BCbBC

aBC

aBC

BCaBCb

BCaBC 3090180

4

2

1

2

1 22222

=+=+=+=

AE

LP

P

U

AE

LP

AE

LP

AE

LPU C 240

232

240

23

3016

222

==⇒=+= δ

3.4.2 TRABALHOS VIRTUAIS

• Viu-se anteriormente que o Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) afirma que:

“Se um corpo deformável actuado por um sistema de forças exteriores (distribuídas no

volume e/ou na superfície do corpo) em equilíbrio for submetido a um campo de

deslocamentos virtuais compatível com as ligações (interiores e exteriores),

então o trabalho virtual realizado pelas forças exteriores e interiores é nulo”.

Tem-se, então, 0=+ ie ττ .

• Pretende-se agora particularizar o PTV ao caso de estruturas reticuladas (i) solicitadas

de modo a que as barras que as constituem estejam submetidas unicamente a esforço

axial e (ii) com padrões de deformação provocáveis por esforços normais e/ou variações

de temperatura. Tem-se, nesse caso,

j

m

jj

e qQ ′′′=∑=1

τ ( ) ( ) ( )∑ ∑ ∫∫= =

′′′−==n

k

n

kA k

L

kkii dxdA

k

k

1 13330 33 σεττ


36

onde m é o número de forças generalizadas do sistema equilibrado, n é o número de

barras e ( )kiτ é o trabalho virtual das forças instaladas no interior da barra k. As forças

generalizadas a considerar são forças concentradas ou distribuídas (com as características

mencionadas na secção anterior) e ainda esforços normais em barras da estrutura −

o deslocamento generalizado que corresponde a este último tipo de força generalizada é

o deslocamento axial relativo (δr). Fazendo εε ≡′′33 e σσ ≡′33 , o PTV pode então

ser expresso na forma

∑∫ ∫∑==

′′′=′′′n

k

L

A kkj

m

jj

k

k

dxdAqQ1

0 31

σε

• Consideram-se em seguida expressões do trabalho virtual realizado pelas forças instaladas

no interior duma barra numa série de casos particulares:

(I) Material (ou materiais) elástico linear (Lei de Hooke)

∫∫∫∫

′

′′∆+

′′−=⇒′′∆+

′′=′′

A

L

A

i

A

dxdATdAE

NT

dAE

N30

σαταε

(II) Caso (I) + Tensões uniformes nas secções transversais no sistema equilibrado

30dxT

dAE

NN

A

N L

A

i

∫∫

′′∆+

′′′−=⇒

′=′ ατσ

(III) Caso (II) + Secções transversais homogéneas (materiais não dispostos em paralelo)

30dxTN

AE

NNAEdAE

Li

A ∫∫

′′∆′+

′′′−=⇒= ατ

(IV) Caso (III) + ε’’ não provocadas por variações de temperatura

300 dx

AE

NNT

Li

∫′′′

−=⇒=′′∆ τ


37

• CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS − MÉTODO DAS CARGAS UNITÁRIAS

O método das cargas unitárias é um método para calcular deslocamentos, provocados em

estruturas por solicitações exteriores, que se baseia no Princípio dos Trabalhos Virtuais.

Como se viu anteriormente, a aplicação do PTV a uma determinada estrutura requer a

existência de (i) um sistema de forças exteriores equilibrado (sistema “linha”) (ii) um

campo de deslocamentos (e correspondentes deformações) compatível (sistema “duas

linhas”). No método das cargas unitárias, tem-se:

(i) O sistema equilibrado é “fictício” (i.e., é “imaginado” exclusivamente com o intuito

de aplicar o método) e é caracterizado pela existência de uma única força generalizada

exterior, de valor unitário e aplicada no ponto e com a direcção do deslocamento que

se pretende calcular. O sentido da carga unitária é arbitrário, mas passa a constituir o

sentido positivo do deslocamento em causa (i.e., um valor positivo do deslocamento

indica que este tem o sentido da força unitária − um valor negativo indica que tem o

sentido oposto ao da força).

(ii) O campo de deslocamentos e deformações compatível é constituído pelos

deslocamentos e deformações efectivamente introduzidos na estrutura pelas

solicitações exteriores que provocam o deslocamento que se pretende calcular.

(iii)Em consequência do que foi dito nos dois pontos anteriores, os trabalhos virtuais

das forças exteriores e interiores do sistema equilibrado, quando este é submetido

ao campo de deslocamentos e deformações compatível, são dados por

qe ′′×′=1τ ∑ ∫∫=

′′′−=n

kA k

L

ki dxdA

k

k

130

σετ

onde q ′′ é o deslocamento que se pretende calcular e kσ ′ é um campo de tensões que

equilibre a força unitária. Tem-se, então, que

∑ ∫∫=

′′′=≡′′n

kA k

L

k dxdAqqk

k

130

σε

expressão que sintetiza o método das cargas unitárias

Observações

(1) Tudo se passa como se a estrutura, em equilíbrio sob a acção de uma carga

unitária, fosse submetida a um campo de deslocamentos (e deformações) virtuais


38

que coincide como o campo de deslocamentos reais provocados nessa estrutura

pelo conjunto de solicitações exteriores responsáveis pelo deslocamento que se

pretende calcular − a compatibilidade com as ligações está obviamente garantida.

(2) Observe-se que esta equação não está dimensionalmente correcta, na medida em

que está “subentendida” a presença da carga unitária e das respectivas unidades.

• PASSOS DO MÉTODO DAS CARGAS UNITÁRIAS

(i) Calcular as deformações ε ′′ provocadas na estrutura pelo conjunto de solicitações

exteriores responsáveis pelo deslocamento que se pretende calcular.

Observação

A determinação de ε ′′ obriga a resolver a estrutura, i.e., a calcular os esforços,

tensões e deformações que efectivamente ocorrem na estrutura. No caso da

estrutura ser hiperstática e a sua resolução se efectuar através do método das forças,

é necessário calcular deslocamentos no sistema base adoptado. O cálculo desses

deslocamentos pode ser feito também através do método das cargas unitária − nesse

caso, o cálculo dos coeficientes de flexibilidade fkk (índices iguais) tem a

particularidade da coincidência entre os sistemas equilibrado e compatível (ambos

associados ao sistema base actuado pela mesma força unitária). Este facto origina

por vezes a confusão entre o método das forças e o método das cargas unitárias.

Relembre-se que enquanto o primeiro é um método destinado a resolver estruturas

hiperstáticas, o segundo permite calcular deslocamentos em estruturas (isostáticas

ou hiperstáticas).

(ii) Determinar um conjunto de esforços normais N ′ que esteja em equilíbrio com

uma carga unitária aplicada no ponto e com a direcção do deslocamento que se

pretende calcular. Em seguida, determinar, para cada barra, um campo de

tensões σ ′ em equilíbrio com o respectivo esforço normal N ′ − sem perda de

generalidade, pode considerar-se sempre AN /′=′σ .

Observações

(1) Se a estrutura for isostática existe apenas um conjunto de esforços normais

N ′ que equilibra a carga unitária. Se a estrutura for hiperstática existem

vários conjuntos de esforços normais N ′ nessas condições. Neste último caso, a


39

escolha do conjunto a utilizar é feita exclusivamente por conveniência de cálculo

− normalmente, escolhe-se o conjunto com maior número de esforços nulos.

(2) É frequente designarem-se os esforços normais do sistema equilibrado por N ,

em vez de N ′ − nestes apontamentos, adopta-se sempre a designação N ′ .

(iii)Calcular o valor do deslocamento q através da expressão

31

0dxNq

n

k

L

kk∑∫=

′′′= ε

Exemplo Ilustrativo (idêntico ao exemplo ilustrativo da secção 3.2)


carregamento indicado (carga P e variação de temperatura ∆T) e é constituída por uma barra

rígida e duas barras deformáveis (uma homogénea e a outra heterogénea − dois materiais

dispostos em paralelo). Pretende-se determinar o valor do deslocamento vertical do ponto de

aplicação da carga P.

Figura 3.8 − Exemplo ilustrativo − aplicação do método das cargas unitárias.

(i) TEA

PT

EA

PCDAB ∆+=′′∆+=′′ αεαε

3

5

45

2

24

(ii) Estrutura isostática ⇒ só existe um conjunto de esforços normais ( ABN ′ , CDN ′ ) que equilibra uma força unitária vertical aplicada em E.

(iii) HTEA

PHT

EA

PLNLN CDCDCDABABABE

∆++

∆+=′′′+′′′= ααεεδ

3

5

45

2

3

2

243

1

( )↓∆+= HTEA

HPE αδ

9

13

1080

47


40

Exemplo Ilustrativo (idêntico ao exemplo ilustrativo da secção 3.3.1)

Considere-se a estrutura hiperstática representada na Figura 3.9, a qual (i) é constituída por uma

barra rígida e três barras deformáveis e (ii) está submetida ao carregamento indicado (carga P).

Pretende-se determinar o valor do deslocamento vertical do ponto de aplicação da carga P.


(i) PNPNPN DGCFBE 7

4

7

2

7

1=′′=′′=′′

(ii) Estrutura hiperstática ⇒ existem vários conjuntos de esforços normais ( BEN ′ , CFN ′ , DGN ′ ) que equilibram uma força unitária vertical aplicada em H.

Exemplos de possíveis conjuntos de esforços normais equilibrados:

7

4

7

2

7

1=′=′=′ DGCFBE NNN (esforços reais − também compatíveis)

2

1

2

10 =′=′=′ DGCFBE NNN (equilíbrio apenas com os apoios C e D)

003 =′=′=′DGCFBE NNN (equilíbrio apenas com os apoios A e B)

02

30 =′=′=′ DGCFBE NNN (equilíbrio apenas com os apoios A e C)

4

300 =′=′=′ DGCFBE NNN (equilíbrio apenas com os apoios A e D)

(iii) ( ) ( )↓=′′′+′′′+′′′=EA

HP

EA

HNNNNNN DGDGCFCFBEBEE 7

3δ

Observação

De entre os cinco possíveis conjuntos de esforços normais equilibrados indicados,

aqueles que conduzem a um menor esforço de cálculo são, obviamente, os três

últimos (apenas uma das barra tem esforço axial não nulo).


41

Exemplo Ilustrativo

Considere-se a estrutura articulada isostática representada na Figura 3.10, a qual está submetida

ao carregamento indicado (carga horizontal P aplicada no nó C). Pretende-se determinar o valor

do deslocamento vertical do nó C.


(i) A resolução da estrutura conduz aos seguintes valores dos esforços normais:

PNPNPNPNN CDBDBCADAC =′′=′′−=′′=′′=′′2

52

2

50

(ii) Estrutura isostática ⇒ existem um conjunto de esforços normais que equilibra uma força unitária vertical aplicada em C.

A resolução da estrutura (actuada por uma carga vertical unitária aplicada em C) conduz aos seguintes esforços normais (equilibrados e compatíveis):

12

52

2

52 =′=′−=′=′−=′ CDBDBCADAC NNNNN

(iii)

++++=

′′′=∑

=

PPPPEA

LL

AE

NNk

k Kk

kkCV 2

1

32

552

32

550

5

1

δ

( )↓=++

=EA

LP

EA

LPCV 613.2

16

216855δ

Exemplo Ilustrativo

Considere-se a estrutura articulada hiperstática (de grau 2) representada na Figura 3.11, a qual

está submetida ao carregamento indicado (duas cargas verticais de valores P e 2P, com P=36 kN).

Sabendo que esse mesmo carregamento provoca na estrutura os esforços normais (deixa-se

como exercício a sua determinação)


42

kNNkNNkNNkNNkNN BFAECDBCAB 59.702.3223.354.1961.25 =−====

kNNkNNkNNkNNkNN CECFBEDFEF 39.2013.7455.403.430.9 −=−=−=−=−=

pretende-se calcular o deslocamento horizontal do nó D e o deslocamento vertical do nó E.


AAAAAAAAAAAAAA DFAECEBFCFBEEFCDBCAB 2

3

4

3

5

6==========

LLLLLLLLLLLLLLL DFCEBFAECFBEEFCDBCAB 4

5

4

3

4

3 22

=+

==========

22 /2000020024036 cmkNEcmAcmLkNP ====

(A) Cálculo de DHδ

(i) NN ≡′′

(ii) Estrutura hiperstática ⇒ escolhe-se um conjunto de esforços normais que

equilibre uma força unitária horizontal aplicada em D e seja tão “simples” quanto

possível (esforços não nulos apenas nas barras horizontais AB, BC e CD):

00.1 =′=′=′=′=′=′=′=′=′=′ CEBFCFBEDFEFAECDBCAB NNNNNNNkNNNN


43

(iii) CDCD

CDCDBC

BC

BCBCAB

AB

ABABDH L

EA

NNL

EA

NNL

EA

NNkN

′+

′+

′=× δ1

( ) ( )→==×+×+×= cmEA

LkN

EA

LDH 02908.088.480.123.30.154.190.161.25δ

(B) Cálculo de E

Vδ

(i) NN ≡′′

(ii) Estrutura hiperstática ⇒ escolhe-se um conjunto de esforços normais que

equilibre uma força unitária vertical aplicada em D e seja tão “simples” quanto

possível (esforços não nulos apenas no “triângulo” formado pelas barras AE,

CE, AB e BC):

kNNNkNNN CEAEBCAB 6

5

3

2−=′=′=′=′

0=′=′=′=′=′=′ CDBFCFBEDFEF NNNNNN

(iii) CECE

CECEAE

AE

AEAEBC

BC

BCBCAB

AB

ABABEV L

EA

NNL

EA

NNL

EA

NNL

EA

NNkN

′+

′+

′+

′=× δ1

( ) ( ) kNEA

L

EA

L

EA

LEV

−

−+−

−+

×+×= 39.206

5

3

502.32

6

5

6

554.19

3

261.25

3

2δ

( )↓== cmEA

LkNE

V 04839.056.80δ


44

4 BARRAS CONSTITUÍDAS POR MATERIAIS NÃO-LINEARES

• Até aqui admitiu-se sempre que as barras das estruturas reticuladas estudadas eram

constituídas por materiais que obedeciam à Lei de Hooke, i.e., materiais elásticos lineares.

Nesta secção estudar-se-á o comportamento de barras (sujeitas apenas a esforço axial)

constituídas por um determinado tipo de material não-linear − um material elástico-

perfeitamente plástico. Na secção seguinte (secção 5), analisar-se-á o comportamento

de estruturas reticuladas formadas por barras constituídas por este tipo de material.

• Outros exemplos de materiais não-lineares são o material elástico não-linear, o material

rígido-plástico ou o material elasto-plástico com endurecimento − na disciplina de RM I

não se estudam barras constituídas por estes tipos de materiais.

• Um material elástico-perfeitamente plástico (ou, simplesmente, elasto-plástico − por

simplicidade, assim será designado de aqui em diante) exibe uma relação constitutiva

uni-axial (entre a tensão normal longitudinal σ e a extensão longitudinal ε) com as

características ilustradas na Figura 4.1 e definidas pelas condições:

Figura 4.1 − Relação constitutiva de um material elástico-perfeitamente plástico (elasto-plástico).

( ) ( )

ε⇒=σ∧σ=σ∨σ=σ

σ=ε⇒<σ∧σ=σ

σ=ε⇒>σ∧σ=σ

σ=ε⇒σ<σ<σ

+σ≤σ≤σ

adoindeterminvalor0

10

10

1

pTced

Cced

eTced

eCced

eTced

Cced

Tced

Cced

dd

dE

dd

dE

dd

dE

d

∫ ε+σ

=ε+ε=εε−ευ−=ε=ε ppepe dE2

12211


45

onde (i) Ccedσ e T

cedσ são as tensões de cedência do material à compressão e à tracção, e

(ii) eε e pε são as parcelas elástica e plástica da deformação (extensão) axial. Note-se

que é frequente um material ter Cced

Tced σσ −= . Nesse caso, designa-se por “tensão de

cedência” e representa-se por cedσ o valor Cced

Tced σσ = .

• O material elasto-plástico apresenta um comportamento elástico linear se se tiver (i) Tced

Cced σσσ << , (ii) C

cedσσ = e 0>σd ou (iii) Tcedσσ = e 0<σd .

• Quando num ponto se tem Ccedσσ = ou T

cedσσ = , diz-se que, nesse ponto, “ocorreu a

cedência do material” ou que “o material plastificou”.

• A deformação (extensão longitudinal) num ponto é composta por duas parcelas:

(i) Uma parcela elástica, designada por eε , de valor Ee /σε = e reversível (i.e.,

00 =⇒= eεσ ).

(ii) Uma parcela plástica, designada por pε , de valor indeterminado e irreversível

(i.e., 00 ≠=⇒= pεεσ , no caso geral).

• A deformação plástica ocorre sem variação de volume ( 0=∆V ). Deste modo, tem-se

2/2211ppp εεε −== , o que significa que o respectivo coeficiente de Poisson vale 1/2.

4.1 BARRAS ELASTO-PLÁSTICAS

• Antes de iniciar o estudo de barras constituídas por um ou mais materiais elasto-plásticos

e submetidas apenas a esforço axial, é conveniente referir que se admite que o diagrama

dos esforços axiais que actuam na barra é constante e introduzir as seguintes definições:

(i) Esforço normal de cedência (Nced). Valor do esforço normal que corresponde a

atingir-se pela primeira vez a cedência na barra (observe-se que a primeira cedência

ocorre simultaneamente em vários pontos da barra, frequentemente mesmo em todos

os seus pontos − teoricamente, no entanto, é suficiente que ocorra num único ponto).

Saliente-se que, no caso de se ter Tced

Cced σσ ≠ em algum dos materiais que

constituem a barra, é necessário distinguir entre os valores do esforço normal de

cedência à compressão ( CcedN ) e à tracção ( T

cedN ).


46

(ii) Esforço normal de plastificação (Npl). Valor do esforço normal que corresponde

a atingir-se pela primeira vez a plastificação total de uma secção transversal da

barra (observe-se que a primeira plastificação pode ocorrer simultaneamente em

várias secções da barra, frequentemente mesmo em todos as suas secções). Note-se

que, no caso de se ter Tced

Cced σσ ≠ em algum dos materiais que constituem a

barra, é necessário distinguir entre os valores do esforço normal de plastificação à

compressão ( CplN ) e à tracção ( T

plN ).

Observação

Numa barra em que todas as secções transversais sejam homogéneas (i.e., em

que não existem materiais diferentes dispostos em paralelo), tem-se Nced=Npl.

• Deste modo, admitindo uma variação monótona de N a partir de N=0, tem-se que:

(i) Se Tced

Cced NNN << , todos os pontos da barra exibem um comportamento elástico −

diz-se, então, que a barra está a trabalhar em regime elástico.

(ii) Se plced NNN << (tracção ou compressão), alguns pontos da barra exibem um

comportamento elástico, enquanto os restantes estão já plastificados (nenhuma secção

totalmente plastificada, no entanto) − diz-se, então, que a barra está a trabalhar em

regime elasto-plástico.

(iii)Se CcedNN = ou T

cedNN = , diz-se que a barra está na fronteira entre os regimes

elástico e elasto-plástico.

(iv) Se CplNN = ou T

plNN = , diz-se que a barra atingiu o colapso, i.e., é possível a

sua deformação sem ser necessário um acréscimo de esforço normal. O valor do

esforço normal Npl também se designa por “esforço normal de colapso” ou “esforço

normal último”, na medida em que é o máximo valor que a barra pode suportar.

• BARRAS HETEROGÉNEAS − MATERIAIS DISPOSTOS EM SÉRIE

No caso de uma barra constituída por n materiais dispostos em série (i=1, , n), tem-se:

( )iiced

iplced ANN σmin==

( ) ( ) ( ) ∑=

=∆=∆n

i ii

ii

iced

iplced AE

LALL

1

min σ


47

( ) ( ) ( ) ( ) ∑=

=∆=∆∧==⇒=n

i i

iiced

iplced

iced

iplced

te

E

LLLANNcA

1

minmin σσ

• BARRAS HETEROGÉNEAS − MATERIAIS DISPOSTOS EM PARALELO (Dupla Simetria)

No caso de uma barra constituída por n materiais dispostos em paralelo (i=1, , n), tem-se:

= ∑

= i

iced

i

n

iiiced E

AENσ

min1

∑=

=n

ii

icedpl AN

1

σ

( )

=∆

i

iced

iced E

LLσ

min ( )

=∆

i

iced

ipl E

LLσ

max

Se se retirar o esforço normal quando plNN = e ( )plLL ∆=∆ obtém-se uma barra com

uma variação de comprimento permanente ( ( )pL∆ − parcela plástica de L∆ ) e uma

distribuição de tensões residuais ( irσ ) auto-equilibrada, i.e., tais que 0

1=σ∑

=

n

ii

ir A ,

dadas por


48

00 =→=→= NNNN pl

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑

=

−∆=∆−∆=∆=∆→∆=∆→=∆b

iii

plpleplppl

AE

LNLLLLLLLL

1

0

plb

iii

iiced

ir

iiced

ii NAE

E

∑=

−==→=→=

1

0 σσσσσσ

Exemplo Ilustrativo

Calcular os valores dos esforços normais de cedência e plastificação das barras a representadas

na Figura 4.2.

(a) (b)

Figura 4.2 − Exemplo ilustrativo − esforços normais de cedência e plastificação.

(a) ( ) AE

EAEAEAN cedced

ced σ=σ

++= 62

1246

( ) AAAAN cedcedcedcedpl σ=σ+σ+σ= 8233

( ) ( )E

LL

E

LL ced

plced

ced

σσ=∆=∆

2

1

Se se retirar o esforço normal imediatamente após a plastificação, tem-se:

( )E

L

EA

LA

E

LL cedcedced

p

σσσ3

1

12

8=−=∆

cedcedcedr AEA

Eσσσσ −=−= 8

12

631


49

cedcedcedr AEA

Eσσσσ

6

18

12

2

2

32 =−=

cedcedcedr AEA

Eσσσσ

3

18

123 =−=

023

12

6

111

3

1

=

×+×+×−=∑=

AA cedi

iir σσ

(b) Tracção

( ) ( ) ANANAN cedTcedcedBC

TcedcedAB

Tced σσσ 446 =⇒=∧=

( ) ( ) ANANAN cedTplcedBC

TplcedAB

Tpl σσσ 556 =⇒=∧=

( )E

L

EEA

ALL cedcedcedT

cedσ

=

σ+

σ=∆

12

7

6

3

6

4

2

( )E

L

EEA

ALL cedcedcedT

pl

σσσ12

11

6

5

2=

+=∆

Compressão

( ) ( ) ANANAN cedCcedcedBC

CcedcedAB

Cced σσσ 343 −=⇒−=∧−=

( ) ( ) ANANAN cedCplcedBC

CplcedAB

Cpl σσσ 353 −=⇒−=∧−=

( ) ( )Cpl

cedcedcedCced L

E

L

EAEA

A

E

LL ∆=−=

+−

−=∆

σσσ16

7

26

3

22


50

Se se retirar o esforço normal imediatamente após a plastificação, tem-se:

Tracção

( )E

L

EA

LA

EA

LA

E

LL cedcedcedced

p

σσσσ48

9

12

5

16

5

12

11=−−=∆

cedcedcedr σσσσ4

3

8

3031 −=−= cedcedcedr σσσσ

8

3

8

52 =−= 03 =rσ

Compressão

( ) 0321 ====∆ rrrpL σσσ

Observação

Os resultados apresentados nesta secção podem ser facilmente estendidos ao

caso de os diagramas de esforços normais que actuam nas barras não serem

uniformes, mas dependerem linearmente de um parâmetro ϕ, i.e., serem da forma

N (x3)=N0 (x3) + ϕ N1 (x3), onde N0 (x3) é o diagrama que actua inicialmente na barra

e N1 (x3) fornece a “forma” da respectiva variação. Nesse caso, os conceitos de esforço

normal de cedência (Nced) e esforço normal de plastificação (Npl) seriam substituídos

pelos valores do parâmetro ϕ que correspondem à ocorrência da primeira cedência

(ϕced) e à plastificação da primeira secção transversal (ϕpl ). Nesta secção estudaram-se

os casos em que N0 (x3)=0 e N1 (x3)= ±1, o que significa que se tem N (x3)= ± ϕ.


51

5 ANÁLISE DE ESTRUTURAS RETICULADAS FORMADAS POR BARRAS ELASTO-PLÁSTICAS

• Antes de se abordar a resolução de estruturas reticuladas formadas por barras com

comportamento elasto-plástico, é conveniente definir o tipo de solicitações que vão ser

consideradas (recorde-se que só podem introduzir esforços normais):

(i) Solicitações de valor constante. Qualquer combinação de (a) forças concentradas

aplicadas nos nós, (b) forças concentradas ou distribuídas aplicadas axialmente

ao longo de uma barra e (c) variações de temperatura uniformes em cada barra,

desde que a estrutura suporte essa combinação de acções com um comportamento

elástico, i.e., com todas as barras a trabalharem em regime elástico. No limite, pode

estar iminente a ocorrência da primeira cedência.

(ii) Solicitações de valor variável. Qualquer combinação de forças concentradas aplicadas

nos nós e cujos valores dependem linearmente de um parâmetro λ, designado

por “parâmetro de carga” − representam-se essas forças por ii QQ λ= , onde os

valores de iQ indicam o perfil de carregamento e se convenciona que 0≥λ .

• Convém ainda introduzir as seguintes definições:

(i) Carregamento de cedência ( ( ) icedcedi QQ λ= ). Carregamento que está associado ao

valor do parâmetro carga λced, o qual corresponde ao atingir-se pela primeira

vez o esforço normal de cedência Nced numa barra da estrutura.

(ii) Carregamento de colapso ou carregamento limite ou carregamento último

( ( ) iuui QQ λ= ). Carregamento que está associado ao valor do parâmetro carga

λu, o qual corresponde ao atingir-se pela primeira vez o esforço normal de

plastificação Npl num número de barras suficiente para que ocorra o colapso da

estrutura (a estrutura transforma-se num mecanismo, i.e., pode sofrer deformações

de valor indeterminado sem ser necessário um acréscimo do valor do parâmetro λ).

Deste modo, dado um perfil de carregamento através dos valores de iQ , o

carregamento máximo que a estrutura pode suportar é dado por ( ) iuui QQ λ= .

• Observações

(i) Os valores de λced e de λu costumam designar-se por “valor de cedência” e “valor

último” do parâmetro de carga λ.


52

(ii) Diz-se que uma estrutura se transformou num mecanismo quando as barras

onde ainda se não atingiu o esforço normal de plastificação constituem uma

estrutura hipoestática. Numa estrutura hiperstática de grau n este facto ocorre,

na maioria dos casos, quando se dá a plastificação (N=Npl) da (n + 1)-ésima barra.

No entanto, se não existir uma “boa distribuição” das barras em toda a

estrutura, a transformação em mecanismo pode corresponder a atingir-se o colapso

com menos que (n + 1) barras − um mecanismo deste tipo designa-se por

mecanismo local (ou parcial) da estrutura.

5.1 ANÁLISE ELASTO-PLÁSTICA

• O objectivo da análise elasto-plástica de estruturas reticuladas consiste em estudar o seu

comportamento à medida que aumenta gradualmente o valor do parâmetro de carga λ

(i.e., se aumentarem as solicitações de valor variável), a partir do estado inicial

caracterizado por tensões e deslocamentos nulos (se não existirem solicitações de valor

constante) ou não nulos (se existirem solicitações de valor constante). Em particular,

pretende-se determinar:

(i) O valor de cedência do parâmetro de carga λced (também designado, de forma

abreviada e pouco precisa, por “carregamento de cedência” ou “carga de cedência”).

(ii) O valor último (ou de colapso) do parâmetro de carga λu (também designado, de

forma abreviada e pouco precisa, por “carregamento último” ou “carga última” ou

“carga de colapso”).

(iii)A história de deformação da estrutura, i.e., a evolução de um ou mais deslocamentos

à medida que o parâmetro de carga aumenta desde λ=0 até λ=λu − δ=δ (λ).

• No caso geral, a análise elasto-plástica de uma estrutura reticulada envolve a consideração

das seguintes fases:

(i) Fase Elástica (0 ≤ λ ≤ λced). Nesta fase todas as barras da estrutura estão a trabalhar

em regime elástico, o que significa que a análise da estrutura se faz da forma já

apresentada anteriormente.

(ii) Fase Elasto-Plástica (λced < λ < λu). Nesta fase pelo menos uma das barras da

estrutura já atingiu o colapso ou está a trabalhar em regime elasto-plástico. Assim,

a análise da estrutura requer que, para cada valor de λ, se determine a sua


53

“configuração resistente”, i.e., que se identifiquem as barras que já atingiram o

colapso e/ou, no caso de barras heterogéneas com materiais em paralelo, quais os

materiais já plastificados. É necessário analisar todas as “configurações resistentes”

da estrutura desde a ocorrência da primeira cedência (λ=λced) até à sua transformação

num mecanismo (λ=λu). O comportamento de cada “configuração resistente” da

estrutura é elástico e o seu domínio de validade está associado a um acréscimo do

parâmetro de carga ∆λ.

Observação

O número de “configurações resistentes” que uma estrutura apresenta à medida que o

valor de λ aumenta está, obviamente, intimamente ligado ao seu grau de hiperstatia e

ao número de barras heterogéneas com materiais em paralelo que possui.

(iii) Fase Plástica ou Colapso (λ=λu). Nesta fase já se atingiu o colapso num número

suficiente de barras para que a estrutura se transforme num mecanismo, i.e., para

que a sua “configuração resistente” seja hipoestática. Deste modo, não é possível

equilibrar qualquer acréscimo de carga − podem ocorrer deslocamentos indefinidos a

carga constante.

• Observe-se ainda que, quando λ >λced, ocorrem na estrutura deformações plásticas que

são, por definição, irreversíveis (ou permanentes). Daqui resulta, entre outras coisas, que

se se retirar um carregamento associado a λ >λced (λ >λced → λ=0) a estrutura não volta

ao seu estado inicial (i.e., possui deslocamentos diferentes dos que exibia antes de se

iniciar o carregamento). Este facto é uma consequência de o comportamento de uma

estrutura durante uma descarga (diminuição do valor de λ) ser sempre elástico (todas as

barras trabalham em regime elástico).

• Observação

É importante referir que existe um outro tipo de análise de estruturas reticuladas formadas

por barras constituídas por materiais elasto-plásticos, o qual não será abordado nesta

disciplina (apenas na disciplina de Estruturas Metálicas) − a análise limite (ou análise

rígido-plástica). É uma análise mais simples, na medida em que envolve apenas

considerações de equilíbrio (i.e., não requer qualquer análise de deformação). Em

contrapartida, permite apenas calcular o valor da carga última da estrutura (λu) −

não se obtém qualquer informação relativa à fase elasto-plástica ou à deformação

da estrutura quando ocorre o colapso.


54

5.1.1 ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS

• Por definição, o colapso de uma estrutura isostática ocorre ao atingir-se a plastificação

da primeira das suas barras. Tem-se, então, que:

(i) Se a estrutura não possuir barras heterogéneas com materiais em paralelo não

existe fase elasto-plástica (λced=λu é a fronteira entre a fase elástica e a fase plástica).

(ii) Se a estrutura possuir barras heterogéneas com materiais em paralelo pode existir

fase elasto-plástica, a qual está associada à sucessiva plastificação dos materiais que

formam essas barras.

Exemplo Ilustrativo


carregamento indicado (carga P≡λ) e é constituída por uma barra rígida e duas barras

deformáveis (uma homogénea e a outra heterogénea − dois materiais dispostos em paralelo).

Pretende-se calcular o valor do deslocamento vertical do ponto de aplicação da carga P quando

ocorre a cedência e o colapso da estrutura, para: (a) bced

aced σσ 12= e (b) b

cedaced σσ 6= .

Figura 5.1 − Exemplo ilustrativo − análise elasto-plástica de uma estrutura isostática.

(a) cedbced σσ ≡ ced

aced σσ 12≡

ANN cedABpl

ABced σ6==

AE

AEN cedcedCD

ced σσ

1515 =×= AN cedCDpl σ17=


55

FASE ELÁSTICA

AP

APAP

N

A.PAP

N

cedced

cedcedAB

cedcedCD

σ=⇒

σ=⇒σ==

σ=⇒σ==18

1863

522153

2

Como a cedência ocorre primeiro na barra homogénea, tem-se que Pu=Pced

(i.e., não existe fase elasto-plástica), O colapso ocorre quando se atinge a cedência,

num estado caracterizado por:

( ) ( ) bcedcedAB

ceduABcedAB E

LLL σσσ

σ===∆=∆

( ) ( ) bcedced

bCD

acedced

aCD

ceduCDcedCD E

LLL σσσσσσ

σ<=<==∆=∆

5

48

5

4

↓ valor relativo ao colapso da estrutura (não à plastificação da barra CD)

( ) ( )E

L

E

L cedceduEcedE

σ=

σ

−+=δ=δ15

131

5

4

3

21

(b) cedbced σσ ≡ ced

aced σσ 6≡

ANN cedABpl

ABced σ6==

AE

AEN cedcedCD

ced σσ

910

615 =×= AN ced

CDpl σ11=

FASE ELÁSTICA

AP

APAP

N

APAP

N

cedced

cedcedAB

cedcedCD

σσσ

σσ5.13

1863

5.1393

2

=⇒

=⇒==

=⇒==


56

Como a cedência ocorre primeiro na barra heterogénea com materiais em paralelo,

tem-se que Pu >Pced (i.e., existe fase elasto-plástica). A cedência ocorre num estado

caracterizado por:

( ) bcedcedAB

cedcedAB E

LL σσσ

σ<==∆

4

3

4

3

( ) bcedced

bCD

acedced

aCD

cedcedCD E

LL σσσσσσ

σ<====∆

5

36

5

3

( )E

L

E

L cedcedcedE

σσδ

20

13

4

3

5

3

3

2

4

3=

−+=

Este estado constitui o estado inicial da fase elasto-plástica que se segue.

FASE ELASTO-PLÁSTICA

( ) bcedcedAB

cedcedAB E

LL σσσ

σ<==∆

4

3

4

3

AP

APAP

N

APAP

N

ced

cedcedCD

cedcedAB

σσσ

σσ3

35

316

3

2

5.44

316

3=∆⇒

=∆⇒

−=∆

=

=∆⇒

−=∆

=

Quando APPP cedced σ5.16=∆+= ocorre a plastificação da barra CD e, por

consequência, o colapso da estrutura, a qual se transforma num mecanismo (a barra

rígida pode rodar livremente em torno do ponto B no sentido retrógrado − e.g., o

deslocamento do ponto E pode aumentar indefinidamente sem acréscimo de P).


57

( ) bcedcedAB

cedcedceduAB E

L

E

L

E

LL σσσ

σσσ<==+=∆

12

11

12

11

6

1

4

3

( ) bcedced

bCD

cedcedceduCD E

L

E

L

E

LL σσσ

σσσ===+=∆

5

2

5

3

( )E

L

E

L cedceduE

σσδ

36

35

12

111

3

2

12

11=

−+=

DESCARGA

O estado inicial da estrutura corresponde aos valores associados ao seu colapso.

Esses valores são combinados com aqueles que resultam da descarga (aplicação de

P= −16.5 σced A), durante a qual a estrutura se comporta sempre elasticamente:

cedaCDced

bCDcedAB σσσσσσ

9

66

15

11

12

11−=−=−=

E

L

E

LL

E

LL ced

Eced

CDced

AB

σδ

σσ180

143

15

11

12

11−=−=∆−=∆

Obtém-se assim estado final da estrutura, o qual equilibra uma carga aplicada

nula (P=0) e é caracterizado pelos valores:

cedaCDced

bCDAB σσσσσ

3

4

15

40 −===


58

050 =+== aCD

bCDCDAB AANN σσ

E

L

E

LLL ced

Eced

CDAB

σδ

σ45

8

15

40 −==∆=∆

5.1.2 ESTRUTURAS HIPERSTÁTICAS

• O colapso de uma estrutura hiperstática de grau n ocorre, na grande maioria dos casos,

ao atingir-se a plastificação da (n + 1)-ésima das suas barras. Excepções são, por

exemplo, os casos em que:

(i) Não existe uma “boa distribuição” das barras em toda a estrutura − o colapso pode

ocorrer quando tiverem plastificado menos de (n + 1) das suas barras.

Ex:

n=2

Para ocorrer o colapso da estrutura basta que plastifique a barra AB

(ii) Várias barras plastificam simultaneamente − o colapso da estrutura pode ocorrer

quando plastificarem mais de (n + 1) das suas barras.

Ex:

n=1

O colapso da estrutura pode ocorrer quando plastifica a terceira barra (se esta for a barra BD)

• No caso geral de uma estrutura hiperstática de grau n tem-se:

(i) Se a estrutura não possuir barras heterogéneas com materiais em paralelo, a fase

elasto-plástica é constituída por n troços lineares.

(ii) Se a estrutura possuir barras heterogéneas com materiais em paralelo, a fase elasto-

plástica pode ser constituída por mais de n troços lineares.


59

• Observação

Em (i) a determinação do troço linear de ordem m envolve a resolução de uma estrutura

hiperstática de grau (n − m).

Exemplo Ilustrativo

Considere-se a estrutura hiperstática representada na Figura 5.2, a qual está submetida ao

carregamento indicado (carga P≡λ) e é constituída por três barras deformáveis. Sabendo que a

análise elástica da estrutura fornece a solução (deixa-se como exercício a sua determinação)

PNP

NN BDCDAD21

2

22 +=

+==

A

P

A

PBDCDAD

21

2

22

1

+=

+== σσσ

EA

LPL

EA

LPLL BDCDAD

21

2

21

1

+=∆

+=∆=∆

EA

LPLBDD

21

2

+=∆=δ

pretende-se calcular o valor do deslocamento vertical do ponto de aplicação da carga P quando

ocorre a cedência e o colapso da estrutura, para cedCDced

BDced

ADced σσσσ ≡== .

Figura 5.2 − Exemplo ilustrativo − análise elasto-plástica de uma estrutura hiperstática.

ANNNNNN cedCDpl

BDpl

ADpl

CDced

BDced

ADced σ======

( )

( )( ) AP

APAPN

APAP

NN

cedced

cedcedBD

cedcedCDAD

σσσ

σσ

212

2

212

2

21

2

21222

+=⇒

+=⇒=+

=

+=⇒=+

==

(plastificação da barra BD)


60

( ) ( )E

LLL ced

cedADcedAD

σ2

2=∆=∆

2

ANN ced

CDAD

σ==

2ced

CDAD

σσσ ==

( )E

LL ced

cedBD

σ=∆ AN cedBD σ= cedBD σσ =

( )E

LL ced

BDcedD

σδ =∆=

FASE ELASTO-PLÁSTICA

APAPNN cedcedCDAD σσ2

2

2

11

2

2=∆⇒

−=∆==

Quando ( ) APPP cedced σ21+=∆+= ocorre a plastificação das barras AD e

CD e, por consequência, a estrutura transforma-se num mecanismo (o ponto D

pode deslocar-se indefinidamente na vertical sem acréscimo de carga). Deste modo,

tem-se que ( ) AP cedu σ21+= .

( ) ( )E

L

E

L

E

LLL cedcedced

uCDuAD

σσσ2

2

2

2

2=+=∆=∆

cedCDADcedCDAD ANN σσσσ ====

( ) ( )E

LL ced

uASuD

σδ

22 =∆=

( ) ( )E

LL ced

uDuBD

σδ

2==∆ (por compatibilidade)

DESCARGA

O estado inicial da estrutura corresponde aos valores associados ao seu colapso.

Esses valores são combinados com aqueles que resultam da descarga (aplicação de

( ) AP cedσ21+−= ), durante a qual a estrutura se comporta elasticamente:


61

cedCDADcedCDAD ANN σσσσ2

2

2

2−==−==

cedBDcedBD AN σσσ 22 −=−=

E

LLL

E

LL ced

CDADced

DBD

σσδ −=∆=∆−==∆ 2

Obtém-se assim o estado final da estrutura, o qual equilibra uma carga aplicada

nula (P=0) e é caracterizado pelos valores:

( ) cedCDADcedCDAD ANN σσσσ

−==

−==

2

21tracção

2

21

( ) ( ) ( ) cedBDcedBD AN σσσ 21compressão21 −=−=

( ) ( )E

LLL

E

LL ced

CDADced

DBD

σσδ 1222 −=∆=∆−==∆

Observe-se que, após a um ciclo carga-descarga (P=0 → Pu >Pced → P=0), (i) a

estrutura exibe um deslocamento residual δD, correspondente à deformação plástica

que ocorreu durante a fase elasto-plástica (Pced < P ≤ Pu) e (ii) os esforços NAD,

NBD e NCD são auto-equilibrados (i.e., equilibram forças aplicadas nulas) − existe

compressão na barra BD (aquela que plastificou primeiro durante a carga) e tracção

nas barra AD e CD (aquelas cuja plastificação provocou o colapso da estrutura).

DISCIPLINA DE RESISTÊNCIA DE MATERIAIS I · A barra tem comprimento L e secção transversal de...

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