Dinâmica

O termo dinâmica é provindo do grego dynamike, significa "forte". Em física,

a dinâmica é um ramo da mecânica que estuda o movimento de um corpo e

as causas desse movimento.

Em experiências diárias podemos observar o movimento de um corpo a partir

da interação deste com um (ou mais) corpo(s). Como por exemplo, quando

um jogador de tênis dá uma raquetada numa bola, a raquete interage com

ela e modifica o seu movimento. Quando soltamos algum objeto a uma certa

altura do solo e ele cai, é resultado da interação da terra com este objeto.

Esta interação é convenientemente descrita por um conceito chamado força.

Os Princípios de dinâmica foram formulados por Galileu e Newton, porém foi

Newton que os enunciou da forma que conhecemos hoje

Força

Força é um dos conceitos fundamentais da Física newtoniana. Relacionado

com as três leis de Newton, é uma grandeza que tem a capacidade de vencer

a inércia de um corpo, modificando-lhe a velocidade (seja na sua

magnitude[desambiguação necessária] ou direção, já que se trata de um

vetor). Como corolário, chega-se ao constructo de que a força pode causar

deformação em um objeto flexívelCitação: Força: qualquer agente externo

que modifica o movimento de um corpo livre ou causa deformação num

corpo fixo1 . Intuitivamente, a força se identifica com as noções de empuxo

ou impuxo. A força, por ser também um vetor, tem dois elementos: a

magnitude e a direção. A segunda lei de Newton, ("F=ma"), foi originalmente

formulada em termos ligeiramente diferentes, mas equivalentes: a versão

original afirma que a força que age sobre um objeto é igual à derivada

temporal do momento linear deste objeto2 .Alguns conceitos relacionados

com a força:pressão, divisão ou distribuição da força sobre a área;

arrasto, diminuição da velocidade de um objeto;

torque, força que produz mudanças na velocidade de rotação de um objeto.

A força aplicada num corpo fixo é chamada tensão mecânica ou estresse

mecânico, um termo técnico para as influências que causam deformação da

matéria. Enquanto o estresse mecânico pode permanecer incorporado em

um objeto sólido, gradualmente, deformá-lo, estresse mecânico em um

fluido determina mudanças em sua pressão e volume 3 ,4 e 5 .

1º Lei de Newton

Lei I: Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de movimento

uniforme em uma linha reta, a menos que seja forçado a mudar aquele

estado por forças aplicadas sobreele.2

Conhecida como princípio da inércia,3 a primeira lei de Newton afirma que:

se a força resultante (o vetor soma de todas as forças que agem em um

objeto) é nula, logo a velocidade do objeto é constante.

Consequentemente:

Um objeto que está em repouso ficará em repouso a não ser que uma força

resultante aja sobre ele.

Um objeto que está em movimento não mudará a sua velocidade a não ser

que uma força resultante aja sobre ele.

Newton apresentou a primeira lei a fim de estabelecer um referencial para as

leis seguintes. A primeira lei postula a existência de pelo menos um

referencial, chamado referencial newtoniano ou inercial, relativo ao qual o

movimento de uma partícula não submetida a forças é descrito por uma

velocidade (vetorial) constante.4 5

“ Em todo universo material, o movimento de uma partícula em um sistema

de referência preferencial Φ é determinado pela ação de forças as quais

foram varridas de todos os tempos quando e somente quando a velocidade

da partícula é constante em Φ. O que significa, uma partícula inicialmente em

repouso ou em movimento uniforme no sistema de referência preferencial Φ

continua nesse estado a não ser que compelido por forças a mudá-lo.6 ”

As leis de Newton são válidas somente em um referencial inercial. Qualquer

sistema de referência que está em movimento uniforme respeitando um

sistema inercial também é um sistema referencial,i.e. Invariância de Galileu

ou o princípio da relatividade Newtoniana.7

A lei da inércia aparentemente foi percebida por diferentes cientistas e

filósofos naturais independentemente.

2º Lei de Newton

Lei II: A mudança de movimento é proporcional à força motora imprimida, e

é produzida na direção de linha reta na qual aquela força é imprimida.9 ”

A segunda lei de Newton, também chamada de princípio fundamental da

dinâmica,3 afirma que a força resultante em uma partícula é igual a razão do

tempo de mudança do seu momento linear \scriptstyle \vec p em um sistema

de referência inercial:

\vec {F} = \frac{\mathrm {d}\vec {p}}{\mathrm {d}t} = \frac{\mathrm{d}(m

\vec v)}{\mathrm{d}t},

Esta lei conforme acima apresentada tem validade geral, contudo, para

sistemas onde a massa é uma constante, esta grandeza pode ser retirada da

derivada, o que resulta na conhecida expressão muito difundida no ensino

médio 10 11 12 :

\vec {F} = m\,\frac{\mathrm{d}\vec {v}}{\mathrm{d}t} = m\vec {a},

onde \scriptstyle \vec F é a força resultante aplicada, m é a massa

(constante) do corpo e \scriptstyle \vec a é a aceleração do corpo. A força

resultante aplicada a um corpo produz uma aceleração a ela diretamente

proporcional.

Em casos de sistemas à velocidades constantes e massa variável, a exemplo

um fluxo constante de calcário caindo sobre uma esteira transportadora em

indústrias de cimento, a velocidade pode ser retirada da derivada e a força

horizontal sobre a esteira pode ser determinada como:

\vec {F} = \vec {v} \,\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t} = \vec v \dot m .

onde \scriptstyle \vec v é a velocidade constante da esteira e \scriptstyle

\dot m é a taxa temporal de depósito de massa sobre esta.

Em casos mistos onde há variação tanto da massa como da velocidade - a

exemplo do lançamento do ônibus espacial, ambos os termos fazem-se

necessários.

A segunda lei de Newton em sua forma primeira, \scriptstyle \vec {F} =

\frac{\mathrm {d}\vec {p}}{\mathrm {d}t}, ainda é válida mesmo se os efeitos

da relatividade especial forem considerados, contudo no âmbito da

relatividade a definição de momento de uma partícula requer alteração,

sendo a definição de momento como o produto da massa de repouso pela

velocidade válida apenas no âmbito da física clássica.

Impulso

Um impulso \scriptstyle \vec I ocorre quando uma força \scriptstyle \vec F

age em um intervalo de tempo Δt, e é dado por:13 14

\vec {I} = \int_{\Delta t} \vec F \,\mathrm{d}t .

Já que força corresponde à derivada do momento no tempo, não é difícil

mostrar que:

\vec {I} = \Delta\vec {p}

Trata-se do teorema do impulso variação da quantidade de movimento,

muito útil na análise de colisões e impactos..15 16

Sistema de partículas e massa variável

Sistemas de massa variável, como um foguete queimando combustível e

ejetando partes, não é um sistema fechado, com massa constante, e não

pode ser tratado diretamente pela segunda lei conforme geralmente

apresentada nos cursos de ensino médio, \scriptstyle \vec F = m \veca .11

O raciocínio, dado em AnIntroductiontoMechanics de Kleppner e Kolenkow,

e outros textos atuais, diz que a segunda lei de Newton nesta forma se aplica

fundamentalmente a partículas.12 Na mecânica clássica, partículas tem por

definição massa constante. No caso de um sistema de partículas bem

definido, contudo ainda com massa constante, mostra-se que esta forma da

lei de Newton pode ser estendida ao sistema como um todo, tendo-se então

que:

\Sigma \vec {F}_{\mathrm{ext.}} = M\vec {a}_\mathrm{c.m.}

onde \scriptstyle \Sigma \vec {F}_{\mathrm{ext}} refere-se à soma das forças

externas sobre o sistema, M é a massa total do sistema, e \scriptstyle \vec

{a}_{\mathrm{c.m.}} é a aceleração do centro de massa do sistema.

Para um sistema com massa variável puntual ou tratado como tal em vista da

definição de centro de massa, a equação geral do movimento é obtida

mediante a derivada total encontrada na segunda lei em sua forma primeira:

10

\vec F = \vec {v_{(t)}} \frac{\mathrm{d} m_{(t)}}{\mathrm{d}t} + m_{(t)}

{\mathrm{d} \vec v_{(t)} \over \mathrm{d}t}

onde \scriptstyle \vec v_{(t)} é a velocidade instantânea da massa sobre o

qual se calcula a força e \scriptstyle m_{(t)} corresponde à massa em

questão, ambas no instante t em consideração.

Em análise de lançamento de foguetes é comum expressar-se o termo

associado à variação de massa \scriptstyle \vec {v_{(t)}} \frac{\mathrm{d}

m_{(t)}}{\mathrm{d}t} não em função da massa e da velocidade do objeto

mas sim em função da massa ejetada e da velocidade \scriptstyle \vec u

desta massa ejetada em relação ao centro de massa do objeto (nave) e não

em relação ao referencial escolhido. \scriptstyle \vec ué pois a velocidade

relativa da massa ejetada em relação ao veículo que a ejeta. Mediante tais

considerações mostra-se que:

\Sigma \vecF_{ext} = + m_{(t)} {\mathrm{d} \vec v_{(t)} \over \mathrm{d}t} -

\vec {u_{(t)}} \frac{\mathrm{d} m_{(t)}}{\mathrm{d}t}

O termo \scriptstyle \vec {u} \frac{\mathrm{d_{(t)}} m}{\mathrm{d}t} no lado

direito, conhecido geralmente como o empuxo \scriptstyle \vec E ,

corresponde à força atuando no foguete em um dado instante devido à

ejeção da massa \scriptstyle \mathrm{d}m com velocidade \scriptstyle \vec

u (em relação à nave) devido à ação de seus motores, e o temo à esquerda,

\scriptstyle + m_{(t)} {\mathrm{d} \vec v_{(t)} \over \mathrm{d}t} , à força

total sobre a nave, incluso qualquer força externa que por ventura esteja

simultaneamente atuando sobre o projétil - a saber a força de atrito do ar, ou

outra. Vê-se pois que, em termos de diferenciais, a força total F sobre a nave

é:

\vec F = + m_{(t)} {\mathrm{d} \vec v_{(t)} \over \mathrm{d}t} = \Sigma \vec

F_{ext} + \vec {u_{(t)}} \frac{\mathrm{d} m_{(t)}}{\mathrm{d}t}

Para um caso ideal sem atrito tem-se pois que:

\vec F = m_{(t)} {\mathrm{d} \vec v_{(t)} \over \mathrm{d}t} = \vec {u_{(t)}}

\frac{\mathrm{d} m_{(t)}}{\mathrm{d}t} = \vec E

ou seja, a força a impelir a massa m para frente é devida apenas à ejeção de

massa proporcionada pelos seus foguetes para trás (lembre-se que

\scriptstyle \vec u e \scriptstyle d\vec v têm sentidos opostos, contudo

\scriptstyle \frac{\mathrm{d} m_{(t)}}{\mathrm{d}t} é negativo, pois a massa

diminui com o tempo).

A formulação moderna

Com uma escolha apropriada de unidades, esta lei pode ser escrita como

\vec a= \frac {\vec {F}} {m} ,

sendo:

\veca : aceleração de um ponto material;

\vec {F} : resultante de todas as forças aplicadas ao ponto material;

m: massa de um corpo.

A segunda lei de Newton também podem ser formulada numa forma

equivalente, utilizando o conceito de quantidade de movimento.

Em um referêncial inercial a taxa de variação da quantidade de movimento

de um corpo é igual à resultante de todas as forças externas aplicadas a ele,

\frac {d \vec p} {dt} = \vec{F},

sendo:

\vec p=m\vec v: quantidade de movimento;

\vec v: velocidade;

t: tempo.

Com esta formulação, tal como na precedente, acredita-se que a massa de

um corpo é constante no tempo.17 18 Às vezes, são feitas tentativas de

estender a aplicação da equação \scriptstyle \frac {d \vec p} {dt} = \vec{F}

para o caso de corpos com massa variável. No entanto, com uma

interpretação ampla da equação , modificou significativamente a sua

determinação anterior e alterou o significado dos conceitos fundamentais

como um corpo de massa, força e potência.19

Observações referentes à segunda lei de Newton

Quando existem várias forças em um ponto material, tendo em conta o

princípio da superposição da segunda lei de Newton é escrita como:

m \vec a = \sum_{i=1}^{n} {\vec{F_i}}

ou

\vec p(t) -\vec p(t_0) =\sum_{i=1}^{n} \int^t_{t_0} {\vec{F_i}} \ d t.

A segunda lei de Newton é válida apenas para velocidades muito inferiores a

velocidade da luz, e em sistemas de referência inerciais. Para velocidades

próximas à velocidade da luz, as leis são usadas são da teoria da relatividade.

Das leis de Newton imediatamente se tomaram algumas conclusões

interessantes. Por exemplo, a terceira lei de Newton diz que, enquanto um

corpo age ou interage, não pode mudar a sua dinâmica no total: existe uma

lei de conservação do momento. Além disso, a exigência de que o potencial

de interação entre os dois corpos é dependente apenas na diferença

absoluta entre as coordenadas desses corpos, onde há uma lei da

conservação da energia mecânica total dos corpos que interagem:

{m {v}_1^2 \over 2} + {m {v}_2^2 \over 2} + U(|{r}_1 - {r}_2|) =

\operatorname{const}.

As leis de Newton são as leis básicas da mecânica. A partir destas pode se

derivar das equaçãoes de movimento de sistemas mecânicos. No entanto,

nem todas as leis da mecânica podem ser derivadas a partir das leis de

Newton. Por exemplo, a lei da gravidade ou a lei de Hooke não são

conseqüências das três leis de Newton.

3 º Lei de Newton

Lei III: A toda ação há sempre uma reação oposta e de igual intensidade: ou

as ações mútuas de dois corpos um sobre o outro são sempre iguais e

dirigidas em sentidos opostos.9 ”

A terceira lei de Newton, ou Princípio da Ação e Reação,3 diz que a força

representa a interação física entre dois corpos distintos ou partes distintas de

um corpo,20 . Se um corpo A exerce uma força em um corpo B, o corpo B

simultaneamente exerce uma força de mesma magnitude no corpo A—

ambas as forças possuindo mesma direção, contudo sentidos contrários.

Como mostrado no esquema ao lado, as forças que os esquiadores exercem

um sobre o outro são iguais em magnitude, mas agem em sentidos opostos.

Embora as forças sejam iguais, as acelerações de ambos não o são

necessariamente: quanto menor a massa do esquiador maior será sua

aceleração.

As duas forças na terceira lei de Newton têm sempre a mesma natureza. A

exemplo, se a rua exerce uma força ação para frente no pneu de um carro

acelerando em virtude do atrito entre este pneu e o solo, então também é

uma força de atrito a força reação que empurra o asfalto para trás.

De forma simples: a força é a expressão física da interação entre dois entes

físicos: há sempre um par de forças a agir em um par de objetos, e não há

força solitária sem a sua contra-parte. As forças na natureza aparecem

sempre aos pares e cada par é conhecido como uma par ação - reação.

Newton usou suas leis para obter a Lei da Conservação do Momento

Linear21 no entanto por uma perspectiva mais profunda, a conservação do

momento linear é a ideia mais fundamental (obtida pelo Teorema de

Noether da invariância de Galileu), sendo mantida em casos onde a terceira

lei de Newton aparentemente falha, por exemplo quando há ondas

eletromagnéticas envolvidas ou em alguns tópicos associados à mecânica

quântica.

Aplicações das leis de Newton

A maior dificuldade de estudantes de física do ensino médio é com relação à

solução de problemas, nas mais diversas frentes da disciplina.

Apresentarei aqui a solução de um exercício sobre interação entre blocos,

relacionado a aplicação das Leis de Newton.

Exemplo 1) (UF-PE) A figura abaixo mostra três blocos de massas mA = 1,0 kg,

mB = 2,0 kg e mc = 3,0 kg. Os blocos se movem em conjunto, sob a ação de

uma força F constante e horizontal, de módulo 4,2 N.

Desprezando o atrito, qual o módulo da força resultante sobre o bloco B?

a) 1,0 N

b) 1,4 N

c) 1,8 N

d) 2,2 N

e) 2,6 N

Solução.

Primeiramente devemos saber que F = m.a (Segunda lei de Newton). Devemos saber também, que os três corpos se movem com a mesma aceleração, e que essa aceleração tem a mesma direção e sentido da força F.

Assim podemos calcular a aceleração dos blocos pelo Sistema de Corpos Isolados (SCI)

Na figura abaixo representamos as forças que agem em A, B e C

Em que F é a força aplicada.

Fa no primeiro bloco é a reação de b em a devido a F.

Fa no segundo bloco é a ação de a em b devido a F

Fc no segundo bloco é a reação de c em b devido a F

Fc no terceiro bloco é a ação de de b em c devido a F

n é a força normal e p é a força peso nos três casos

Simplificando-se os pesos com as forças de reação normal em cada caso temos que:

Como F = 4,2 N, temos:

4,2 = (1,0 + 2,0 + 3,0).a

a = 4,2/6

a = 0,7 m/s2

Encontrada a aceleração devemos encontrar o valor da resultante em B.

A resultante em B é: FB = FA – FC

Subtraído as equações B e C temos:

FA = (mB + mC) . a

FA = (2,0 + 3,0). 0,7

FA = 5,0 . 0,7

FA = 3,5 N

Encontrando o valor de FC

FC = mC .a

FC = 3,0 . 0,7

FC = 2,1 N

Assim:

FB = 3,5 – 2,1

FB = 1,4 N

Concluímos então que a força resultante em B é igual a 1,4 N.

Força de atríto

Quando empurramos ou puxamos um corpo qualquer de massa m, percebemos que existe certa dificuldade; e, em alguns casos, percebe-se que o corpo não entra em movimento. Qual a explicação para isso? O que acontece é que toda vez que puxamos ou empurramos um corpo, aparece uma força que é contrária ao movimento. Essa força é chamada de Força de Atrito. A definição de força de atrito é a força natural que atua sobre os corpos quando estes estão em contato com outros corpos e sofrem a ação de uma força que tende a colocá-lo em movimento, e ela é sempre contrária ao movimento ou à tendência de movimento. A força de atrito aparece em razão das rugosidades existentes nas superfícies dos corpos. O atrito depende da força normal entre o objeto e a superfície de apoio; quanto maior for a força normal, maior será a força de atrito. Matematicamente podemos calcular a força de atrito a partir da seguinte equação:

Fat = μ.N

Onde o μ (letra grega mi) é chamado de coeficiente de atrito que depende da natureza dos corpos em contato e do estado de polimento e lubrificação da superfície. Essa é uma grandeza adimensional, ou seja, ela não tem unidade. No Sistema Internacional de Unidades (SI) a unidade de força de atrito é o newton (N).

Existem dois tipos de força de atrito: força de atrito estático e força de atrito cinético. Tanto um quanto o outro estão sempre contrários à tendência de movimento ou à movimentação dos corpos.

Força Centrípeta

é a força resultante que puxa o corpo para o centro da trajetória em um

movimento curvilíneo ou circular.

Objetos que se deslocam em movimento retilíneo uniforme possuem

velocidade modular constante. Entretanto, um objeto que se desloca em

arco, com o valor da velocidade constante, possui uma variação na direção

do movimento; como a velocidade é um vetor de módulo, direção e sentido,

uma alteração na direção implica uma mudança no vetor velocidade. A razão

dessa mudança na velocidade é a aceleração centrípeta.

Como força é dada pela fórmula:

\vec{F} = {m\vec{a}}

e a aceleração, neste caso particular, corresponde à aceleração centrípeta

dada pela fórmula:

\veca_c = -{|\vec{v}|^2 \over {r}} \hat{r}

temos a força centrípeta que pode ser calculada como:

\vec{F} = {m}{|\vec{v}|^2 \over {r}} \hat{r}

Onde

{m} \, é a massa (em quilogramas no SI),

{\vec{v}} é a velocidade linear do corpo (em metros por segundo no SI)

{r} \, é o raio da trajetória percorrida pelo corpo (em metros no SI).

Em todo movimento circular existe uma força resultante na direção radial

que atua como força centrípeta, de modo que a força centrípeta não existe

por si só. Por exemplo, o atrito entre o solo e o pneu do carro faz o papel da

força centrípeta quando o carro faz curvas. A força gravitacional faz o mesmo

papel no movimento de satélites em torno da Terra. Assim sendo:

Impulso

Impulso é a grandeza física que mede a variação da quantidade de

movimento de um objeto. É causado pela ação de uma força\vec F atuando

durante um intervalo de tempo \Delta t . Uma pequena força aplicada

durante muito tempo pode provocar a mesma variação de quantidade de

movimento que uma força grande aplicada durante pouco tempo. Ambas as

forças provocaram o mesmo impulso.

A unidade no Sistema Internacional de Unidades para o impulso é o N•s

(newton segundo ou newton vezes segundo).

A velocidade de um corpo é transferida a outro idêntico

A unidade do Impulso também pode ser escrita como o produto da unidade

de massa, o quilograma, pela unidade de velocidade, o metro por segundo,

demonstrando-se facilmente que "quilograma metro por segundo" (kg.m/s) é

equivalente a "newton segundo" (N.s). Via de regra, ao falar-se de impulso,

dá-se preferência pelo "N.s"; ao falar-se de variação da quantidade e

movimento, dá-se preferência ao "kg.m/s". Contudo não há problema algum

em se intercambiar as duas.

Quantidade de Movimento

Se observarmos alguns acontecimentos em nossa vida diária, veremos que a

física está diretamente ou indiretamente envolvida. Seja em nosso caminhar,

ou no mover dos automóveis, seja quando andamos de bicicletas etc. Com

isso, podemos concluir que a física faz parte de nossas vidas.

Vejamos um exemplo: O que você acha mais fácil de fazer, parar uma bola de

tênis a 20 km/h ou parar um carro com a mesma velocidade? Certamente a

resposta que você dirá é parar uma bola de tênis. Mas o que podemos tirar

de física envolvida nessa situação? Tiramos a definição de Quantidade de

Movimento de um corpo.

Esse exemplo nos permite deduzir que tanto a massa, quanto a velocidade

são importantes na descrição do movimento e que uma grandeza que se

relacione com a massa e a velocidade do objeto caracteriza melhor o

movimento do que somente a velocidade. Essa grandeza, que indica quanto

de matéria, isto é, quanto de massa, está se movendo e com que velocidade

ela se move, é a quantidade de movimento.

Na física, definimos a quantidade de movimento, representada por (ρ), de

um corpo que possui massa m e velocidade v como sendo o produto da

massa pela velocidade.

Isso nos permite dizer que qualquer corpo que possui massa e velocidade

possui quantidade de movimento. Então, voltando ao exemplo da bola de

tênis e do carro, vemos que o carro possui maior quantidade de movimento

do que a bola de tênis.

Matematicamente, expressamos a quantidade de movimento como:

Não podemos nos esquecer de que a quantidade de movimento de um corpo

é uma grandeza vetorial, portanto, ela possui módulo, direção e sentido. A

unidade de medida da quantidade de movimento no SI é kg.m/s. A

quantidade de movimento, por ser vetorial, possui sempre a mesma direção

e sentido da velocidade. Sendo assim, dizemos que só o valor da quantidade

de movimento não define a grandeza, pois precisamos saber a direção e

sentido.

Podemos concluir, pela equação acima, que a quantidade de movimento de

um corpo é diretamente proporcional à massa e à velocidade, sendo assim,

um grande valor de quantidade de movimento pode significar uma grande

massa ou uma alta velocidade.