Dimensionamento de Pilares de Acordo Com NBR 61182003

8/13/2019 Dimensionamento de Pilares de Acordo Com NBR 61182003

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minha me Maria Aparecida, meu pai Moacyr (em memria), minha irm rica eminha noiva Glaucia, dedico este trabalho.


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AGRADECIMENTOS

Agradeo primeiramente a DEUS, por ter me dado sabedoria, oportunidade e fora sem asquais eu no poderia realizar este trabalho.

A Universidade de So Paulo por ter me oferecido a oportunidade de ampliar conhecimentos eadquirir maior experincia.

Ao Prof Dr Libnio Miranda Pinheiro, pelo exemplo profissional, orientao, dedicao,disciplina, organizao, compreenso, respeito, amizade e, acima de tudo, confiana.

Aos professores Roberto Chust Carvalho e Ana Lcia Homce de Cresce El Debs, pelascontribuies indispensveis.

Aos meus pais, Maria Aparecida Duarte Scadelai e Moacyr Aparecido Scadelai (em memria), pelo incentivo ao estudo e por todos os anos de luta, trabalho, esforo, preocupao, suportemoral e financeiro, crdito e amor.

A minha irm rica Fernanda Scadelai, pelos momentos de carinho e dedicao que me foramofertados durante esses anos.

minha amada noiva Glaucia Brisolla de Almeida, por todos os momentos de apoio,compreenso, amor, carinho e preocupao.

Aos amigos: Luciano Carlos Montedor, Ricardo Marks, Walter Luiz, Jernymo Peixoto,Cludius Barbosa, Mrcio Cardoso Flrio, Rogrio de vila Junqueira, Thadeu de vila Junqueira e a todos os outros, que me deram apoio em vrios momentos durante o mestrado.

A todos funcionrios, professores e colegas do Departamento de Engenharia de Estruturas quecolaboraram para o desenvolvimento deste trabalho.

Coordenao de Aperfeioamento de Pessoal de Nvel Superior CAPES, pela bolsa deestudo no incio do mestrado.

Fapesp - Fundao de Amparo Pesquisa do Estado de So Paulo, pela bolsa de estudos ereserva tcnica, que permitiram o desenvolvimento deste trabalho.


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SUMRIO

LISTA DE FIGURAS......................................................................................................... I

LISTA DE TABELAS...................................................................................................... III

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS......................................................................... IV

RESUMO..........................................................................................................................V

ABSTRACT ..................................................................................................................... VI

1. INTRODUO.........................................................................................................1

1.1. IMPORTNCIA DO ASSUNTO.........................................................................11.2. JUSTIFICATIVA..................................................................................................21.3. OBJETIVOS .........................................................................................................41.4. REVISO BIBLIOGRFICA..............................................................................4

2. CONCEITOS BSICOS..........................................................................................8

2.1. NO-LINEARIDADES .......................................................................................82.1.1. No-Linearidade Geomtrica .........................................................................92.1.2. No-Linearidade Fsica ................................................................................10

2.2. COMPORTAMENTO DO CONCRETO ...........................................................112.3. OBTENO DA EQUAO DIFERENCIAL DA LINHA ELSTICA.........132.4. RELAES MOMENTO CURVATURA......................................................17

2.4.1. Relao Momento Interno Curvatura........................................................172.4.2. Relao Momento Externo Curvatura .......................................................18

2.5. DIAGRAMA (M,N,1/R )......................................................................................202.6. EFEITOS DE 2AORDEM ...................................................................................22

3. CARACTERSTICAS GEOMTRICAS.............................................................24

3.1. COMPRIMENTO DE FLAMBAGEM...............................................................243.2. DIMENSES MNIMAS ...................................................................................253.3. COMPRIMENTO EQUIVALENTE ..................................................................253.4. PILARES INTERNOS, DE BORDA E DE CANTO. .........................................263.5. CLASSIFICAO QUANTO ESBELTEZ....................................................27


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3.6. ESBELTEZ LIMITE...........................................................................................284. EXCENTRICIDADES............................................................................................34

4.1. EXCENTRICIDADES DE 1A ORDEM..............................................................344.1.1. Excentricidade Inicial ...................................................................................344.1.2. Excentricidade Acidental ..............................................................................364.1.3. Momento mnimo...........................................................................................384.1.4. Excentricidade devido fluncia..................................................................39

4.2. EXCENTRICIDADE DE 2A ORDEM................................................................395. MTODOS UTILIZADOS....................................................................................41

5.1. MTODO GERAL .............................................................................................415.2. PRINCPIO DO MTODO GERAL...................................................................43

5.2.1. Mtodo Geral com variao da flecha a.......................................................455.3. MTODOS APROXIMADOS ...........................................................................47

5.3.1. Mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada...................................485.3.2. Mtodo do pilar-padro com rigidez aproximada.....................................485.3.3. Mtodo do pilar-padro acoplado a diagramas M, N, 1/r ...........................525.3.4. Mtodo do pilar-padro para pilares de seo retangular submetidos flexo composta oblqua .........................................................................................54

5.4. CLCULO SIMPLIFICADO.............................................................................545.4.1. Flexo composta normal...............................................................................545.4.2. Flexo composta oblqua ..............................................................................56

6. DISPOSIES CONSTRUTIVAS.......................................................................57

6.1. COBRIMENTO DAS ARMADURAS...............................................................576.2. DESTACAMENTO DO COBRIMENTO ..........................................................586.3. ARMADURAS LONGITUDINAIS...................................................................626.4. LIMITES DA TAXA DE ARMADURA LONGITUDINAL .............................636.5. NMERO MNIMO DE BARRAS....................................................................636.6. ESPAAMENTO DAS BARRAS LONGITUDINAIS .....................................646.7. ARMADURAS TRANSVERSAIS.....................................................................656.8. ESPAAMENTO MXIMO DOS ESTRIBOS.................................................666.9. ESTRIBOS SUPLEMENTARES.......................................................................67

7. EXEMPLO 1 ...........................................................................................................697.1. PILARES BIAPOIADOS SEM FORAS TRANSVERSAIS............................71

7.1.1. Mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada...................................717.1.2. Mtodo do pilar-padro com rigidez aproximada.....................................747.1.3. Mtodo do Pilar-padro acoplado a diagramas M-N-1/r............................79

7.2. PILARES BIAPOIADOS OU EM BALANO COM MOMENTOS MENORES QUE O MOMENTO MNIMO...................................................................................82

7.2.1. Mtodo do Pilar-padro com Curvatura Aproximada .................................827.2.2. Mtodo do Pilar-padro com Rigidez Aproximada...................................837.2.3. Mtodo do Pilar-padro acoplado a diagramas M-N-1/r............................87

7.3. EXEMPLO 1 PARA = 50.................................................................................907.4. EXEMPLO 1 PARA = 140...............................................................................93


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7.4.1. Clculo da Fluncia ......................................................................................947.4.2. Mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada...................................957.4.3. Mtodo do pilar-padro com rigidez aproximada........................................957.4.4. Resultados Obtidos .......................................................................................97

8. EXEMPLO 2 ...........................................................................................................98

8.1. COMPRIMENTO EQUIVALENTE, RAIO DE GIRAO E NDICE DE ESBELTEZ...............................................................................................................1008.2. EXCENTRICIDADE INICIAL ........................................................................101

8.2.1. Vo efetivo da viga......................................................................................1018.2.2. Momentos na ligao viga-pilar.................................................................1028.2.3. Excentricidade inicial no topo e na base....................................................104

8.3. CLCULO DO MOMENTO MNIMO ...........................................................1048.4. VERIFICAO DA DISPENSA DOS EFEITOS DE 2A ORDEM..................104

8.5. MTODO DO PILAR-PADRO COM CURVATURA APROXIMADA .....1058.5.1. Estribos .......................................................................................................1079. CONCLUSES.....................................................................................................109

BIBLIOGRAFIA.........................................................................................................116

ANEXO I......................................................................................................................123


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LLLIIISSSTTTAAA DDDEEE FFFIIIGGGUUUR R R AAASSS i

LISTA DE FIGURAS

Figura 1. Diagrama tenso-deformao de um material no-linear: trechos de descarregamento ............... 9Figura 2. Diagramas tenso-deformao para materiais de comportamento linear e no-linear................ 11Figura 3. Diagramas tenso-deformao: compresso axial (COLLINS et alii., 1993)............................. 12Figura 4. Diagrama tenso-deformao do concreto (NBR 6118:2003)....................................................13Figura 5. Deformao de uma viga de concreto armado sob flexo........................................................... 14Figura 6. Elemento de barra de comprimento elementar dx....................................................................... 16Figura 7. Diagrama Momento Interno versus Curvatura........................................................................... 18Figura 8. Diagramas momento externo versus curvatura (BORGES, 1999)..............................................19

Figura 9. Diagrama momento externo versus curvatura - equao simplificada (BORGES, 1999) .......... 19Figura 10. Seo submetida a flexo (BORGES, 1999)............................................................................. 21Figura 11. Comprimentos de Flambagem.................................................................................................. 24

Figura 12. Distnciasl o e l .......................................................................................................................26Figura 13. Classificao quanto s solicitaes iniciais.............................................................................27

Figura 14. Pilar com efeito de 2a ordem em curvatura nica ( 0ee a1 b1 ) e reversa ( 1b 1ae e 0< )............31Figura 15. Excentricidades iniciais no topo e na base do pilar (SILVA & PINHEIRO, 2002).................. 34Figura 16. Esquema esttico.......................................................................................................................35

Figura 17. Imperfeies geomtricas globais (NBR 6118:2003) ............................................................... 37Figura 18. Imperfeies geomtricas locais (NBR 6118:2003) ................................................................. 38Figura 19. Mtodo geral aplicado atravs do carregamento progressivo ................................................... 42Figura 20. Mtodo geral aplicado atravs de excentricidades progressivas............................................... 43Figura 21. Pilar sujeito compresso excntrica ....................................................................................... 44Figura 22. Configuraes fletidas .............................................................................................................. 44Figura 23. Deformada estvel .................................................................................................................... 45Figura 24. Comparao entre as excentricidades relativas de 1a e 2a ordem.............................................51

Figura 25. Comparao entre a fora normal adimensional e a excentricidade relativa de 2a ordem.....52


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LLLIIISSSTTTAAA DDDEEE FFFIIIGGGUUUR R R AAASSS ii

Figura 26. Diagrama, , 103d/r (Extrado de FUSCO, 1981).................................................................53Figura 27. Arranjo de armadura caracterizado pelo parmetroS (Figura 17.2 da NBR 6118:2003)...... 55Figura 28. Mecanismo de destacamento do cobrimento (Foster et alii, 1998)...........................................59Figura 29. Destacamento do cobrimento da armadura.(LANGLOIS & PAULTRE, 1996).......................60Figura 30. Efeito das armaduras no confinamento (CUSSON & PAULTRE, 1994)................................. 61Figura 31. Nmero mnimo de barras ........................................................................................................ 63Figura 32. Espaamento entre as barras da armadura longitudinal ............................................................ 64Figura 33. Estribos adicionais nos extremos e ganchos alternados (LEONHARDT & MNNIG, 1978). 66Figura 34. Proteo contra a flambagem das barras longitudinais (LEONHARDT & MNNIG, 1978).. 67Figura 35. Estribos suplementares/ganchos para proteo contra flambagem das barras longitudinais .... 68

Figura 36. Detalhes do pilar ....................................................................................................................... 69Figura 37. Momentos atuantes no pilar......................................................................................................70Figura 38. baco A3 (Extrado de VENTURINI, 1987) .......................................................................... 72

Figura 39. Detalhe da seo: 12 16 (24,0 cm), estribos 5 c/ 19 ..........................................................74Figura 40. Convergncia do Mtodo da Rigidez Aproximada...................................................................77

Figura 41. Detalhe da seo: 10 16 (20,0 cm), estribos 5 c/ 19 ..........................................................79Figura 42. Diagrama , , 103 d/r (Extrado de FUSCO, 1981) ............................................................... 81Figura 43. Detalhe da seo: 10 20 (31,5 cm), estribos 5 c/ 19 ..........................................................83Figura 44. Convergncia do Mtodo da Rigidez Aproximada...................................................................85Figura 45. Convergncia do Mtodo da rigidez aproximada para momento inicial Md,tot = 1000 kN.m. 86Figura 46. Convergncia do Mtodo da rigidez aproximada para momento inicial Md,tot = 60 kN.m..... 86

Figura 47. Diagrama , , 103 d/r (Extrado de FUSCO, 1981) ............................................................... 88Figura 48. Detalhe da seo: 14 16 (28,0 cm), estribos 5 c/ 19 ..........................................................89Figura 49. Comparao entre os mtodos .................................................................................................. 90Figura 50. Disposio da armadura e do momento.................................................................................... 92Figura 51. Planta de forma do edifcio.......................................................................................................98Figura 52. Detalhe em planta ..................................................................................................................... 99

Figura 53. Detalhe em corte ..................................................................................................................... 100Figura 54. Vo efetivo da viga ................................................................................................................. 101Figura 55. Esquema esttico para clculo do momento de ligao viga-pilar.......................................... 102Figura 56. Esquema esttico para o pilar em estudo ................................................................................ 103Figura 57. Resultados obtidos pelo programa Ftool (kN.m) .................................................................... 104Figura 58. baco A5 (Extrado de VENTURINI, 1987) ........................................................................ 106

Figura 59. Detalhe da seo: 12 16 (24,0 cm), estribos 5 c/ 15 ........................................................ 108


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LLLIIISSSTTTAAA DDDEEE TTTAAABBBEEELLLAAASSS iii

LISTA DE TABELAS

Tabela 1. Valores do coeficiente adicionaln em funo de b (NBR 6118:2003)......................................25Tabela 2. Comparao entre diversas normas e propostas para valores de1 (SOUZA, 2003).................33Tabela 3. Valores de cnom em pilares de concreto armado parac = 10 mm. (NBR 6118:2003)...............57Tabela 4. Classes de agressividade ambiental (NBR 6118:2003) .............................................................. 58

Tabela 5. Iteraes do Mtodo do pilar-padro com rigidez aproximada...............................................76Tabela 6. Valores obtidos no Exemplo 1 ................................................................................................... 89

Tabela 7. Valores obtidos para=50.......................................................................................................... 93

Tabela 8. Valores obtidos para=140........................................................................................................97


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LLLIIISSSTTTAAA DDDEEE AAABBBR R R EEEVVVIIIAAATTTUUUR R R AAASSS EEE SSSIIIGGGLLLAAASSS iv

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

ACI American Concrete Institute CA Concreto ArmadoCAR Concreto de Alta ResistnciaCARs Concretos de Alta ResistnciaCAD Concreto de Alto DesempenhoCEB Comit Euro-International du Bton

CG Centro de GravidadeEESC Escola de Engenharia de So CarlosEUROCODE European CodeFIP Fdration Internationale de la Prcontrainte LN Linha Neutra NBR Norma Brasileira RegistradaUSP Universidade de So Paulo


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R R R EEESSSUUUMMMOOO v

RESUMO

SCADELAI, M.A. (2004). Dimensionamento de pilares de acordo com a

NBR 6118:2003. So Carlos, 2004. 124 p. Dissertao (Mestrado) - Escola deEngenharia de So Carlos, Universidade de So Paulo.

Este trabalho apresenta o dimensionamento de pilares, de acordo com a nova NBR 6118:2003 Projeto de Estruturas de Concreto. considerado o estado limiteltimo de instabilidade, possvel de ocorrer em configuraes de equilbrio de peas deconcreto armado submetidas a solicitaes normais. Esse estudo torna-se fundamental para que seja possvel propor solues estruturais seguras e economicamente viveis, de

modo a suprir os questionamentos que possam surgir aos projetistas de estruturas e profissionais da rea, alm constituir uma bibliografia bsica de consulta com relao aesse tema. O objetivo pesquisar os itens relacionados ao dimensionamento de pilares,e investigar a validade dos processos aproximados, atravs de exemplos abrangendo assituaes possveis dentro do campo de aplicao proposto, de forma a criar umcontedo de Prtica Recomendada, mais acessvel aos profissionais da rea eenvolvendo critrios prticos de dimensionamento, colocando disposio um resumo

do que existe na Norma e o que importante que seja seguido. Inicialmente, mostra-se oclculo do comprimento equivalente do pilar, enquanto elemento isolado da estrutura, edo ndice de esbeltez limite, abaixo do qual os efeitos de 2 ordem podem serdesprezados. Em seguida, os diferentes processos para determinao dos efeitos locaisde 2a ordem so comparados entre si.

Palavras-chave: concreto armado, pilares, normalizao, instabilidade,dimensionamento.


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AAABBBSSSTTTR R R AAACCCTTT vi

ABSTRACT

SCADELAI, M.A. (2004) Computing of columns in accordance with the NBR 6118:2003. So Carlos, 2004. 124 p. Dissertao (Mestrado) - Escola deEngenharia de So Carlos, Universidade de So Paulo.

This work presents the computing of columns, in accordance with the new NBR 6118:2003 Project of Structures of Concrete. Its considered the ultimate limitstate of instability, possible to occur in equilibrium configuration of reinforced concretecolumns submitted to normal loads. This study has been fundamental to make possible

to propose safe and economically reasonable structural solutions, in order to supply thequestionings that can appear to the designers of structures and professionals of the area, beyond to constitute a basic bibliography of consultation with regard to this subject. Theobjective is research details related to the columns project, and investigate the validityof the approached processes, through examples enclosing the possible situations insidethe application field, to created a content of "Recommended Practice", more accessibleto the professionals of the area and involving practice criterions of computing, placing

to the disposal a summary of that exists in the Norm and what is important to befollowed. Initially, will be showed the calculation of the equivalent length of the columnwhile isolated element and the limit of the index of slenderness, below of which revealsthat the 2 order effects can be rejected. After that, the different processes fordetermination of the local effects of 2a order are compared between itself.

Key-words: reinforced concrete, columns, normalization, instability, computing.


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111 . . . I I I N N N T T T R R ROOO D D DU U U OOO 11111 . .11 . . I I M M P POO R RT T N N C C I I A A D DOO A ASSSSU U N N T T OO

Nos ltimos anos, os avanos na tecnologia dos materiais resultaram naviabilidade de produo de concretos com elevadas resistncias compresso,normalmente designados como concretos de alto desempenho (CAD). A utilizao denovos materiais tem resultado em elementos estruturais mais esbeltos, j que suassees transversais tm diminudo consideravelmente. Com o aumento da esbeltez,ganham importncia os efeitos de 2a ordem. H um acrscimo dos esforos solicitantes

e, conseqentemente, dos deslocamentos, aumentando o perigo de instabilidade daestrutura ou mesmo do seu colapso.

Por um lado, esses avanos permitiram a idealizao de estruturas muito maisversteis e ousadas, com projetos arrojados e ganhos com relao rea livre eliberdade de criao. No entanto, a conseqncia principal desses avanos estrelacionada com a maior probabilidade de se atingir um estado limite de instabilidade daestrutura, principalmente dos pilares, elementos destinados a transmitir os esforos da

estrutura para as fundaes. No caso de pilares de concreto armado, a instabilidade um estado limite ltimo

que pode ser atingido nos elementos submetidos flexo-compresso, resultado daatuao de um carregamento em que cessa sua capacidade portante antes que a estruturaatinja a runa por ruptura do concreto ou por deformao plstica excessiva daarmadura.

O comportamento estrutural de um pilar esbelto de concreto armado, em geral

bastante complexo, um comportamento tipicamente no-linear. A no-linearidadefsica, decorrente das equaes constitutivas no-lineares do concreto e do ao, e a no-


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IIINNNTTTR R R OOODDDUUUOOO 2

linearidade geomtrica, caracterizada pela substancial alterao sofrida pelassolicitaes em funo dos deslocamentos transversais do eixo do pilar, impem anecessidade de uma anlise detalhada desse elemento estrutural.

Salienta-se ainda, como motivao para o presente estudo, a nova NBR 6118:2003 Projeto de Estruturas de Concreto, que apresenta, a respeito dainstabilidade, uma abordagem muito mais sofisticada e complexa do que a antiga NBR 6118:1978 Projeto e Execuo de Obras de Concreto Armado. Dessa forma, muito importante desenvolver estudos e trabalhos que utilizem os novos conceitosapresentados pela Nova Norma, de modo a suprir os questionamentos que possam surgiraos projetistas de estruturas e profissionais da rea, alm constituir uma bibliografia

bsica de consulta com relao a este tema.

11 . . 2 2 . . J J U U SST T I I F F I I C C A AT T I I V V A A

No dimensionamento de pilares, indispensvel a anlise de sua estabilidade e aconsiderao, alm das solicitaes iniciais devidas s cargas aplicadas estrutura e dassolicitaes devidas s excentricidades acidentais, tambm dos momentos decorrentesdos deslocamentos sofridos pela estrutura por ao desse carregamento, quecaracterizam os efeitos de 2a ordem.

Assim, os efeitos de 2a ordem so aqueles que se somam aos obtidos em umaanlise de 1a ordem (em que o equilbrio da estrutura estudado na configuraogeomtrica inicial), quando a anlise do equilbrio passa a ser efetuada considerando aconfigurao deformada.

Segundo a NBR 6118:2003, a anlise estrutural com efeitos de 2a ordem deveassegurar que, para as combinaes mais desfavorveis das aes de clculo, no ocorra

perda de estabilidade, nem esgotamento da capacidade resistente de clculo, devendoser obrigatoriamente considerada a no-linearidade fsica, presente nas estruturas deconcreto armado.

Dessa forma, a anlise da instabilidade pode ser efetuada levando-se em conta asno-linearidades fsica e geomtrica, atravs de mtodos aproximados ou do mtodogeral.

O clculo pelo mtodo geral consiste em efetuar uma anlise no-linear de 2a

ordem, com discretizao adequada da barra, considerao da relao momento-curvatura real em cada seo e considerao no aproximada da no-linearidade


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geomtrica. Portanto, a no-linearidade fsica levada em conta a partir da consideraoda relao momento-curvatura real em cada seo, enquanto que considerar a no-linearidade geomtrica de maneira no aproximada requer o clculo da curvatura, com

os deslocamentos reais da estrutura.Quanto aos mtodos aproximados, a NBR 6118:2003 permite a utilizao de

alguns deles, como o do pilar-padro e o do pilar-padro melhorado, cujasaproximaes so relativas s no-linearidades fsica e geomtrica.

O Mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada pode ser empregado

apenas no clculo de pilares com 90, seo constante e armadura simtrica econstante ao longo do seu eixo. A no-linearidade geomtrica considerada de forma

aproximada, supondo-se que a deformao da barra seja senoidal, e a no-linearidadefsica levada em conta por meio de uma expresso aproximada da curvatura na seocrtica.

No Mtodo do pilar-padro com rigidezk aproximada, aplicvel a sees

retangulares, valem as mesmas restries que o mtodo anterior ( 90, seoconstante e armadura simtrica e constante ao longo do seu eixo) e o mesmo tratamento para a no-linearidade geomtrica. Porm, a no-linearidade fsica deve ser considerada

por meio de uma expresso aproximada da rigidez.J o Mtodo do pilar-padro acoplado a diagramas M, N, 1/r pode ser

empregado no clculo de pilares com 140; entretanto, se > 90, obrigatria aconsiderao dos efeitos da fluncia. A determinao dos esforos locais de 2a ordem pode ser feita utilizando-se para a curvatura da seo crtica valores obtidos de M, N, 1/respecficos para o caso.

O ltimo mtodo, denominado Mtodo do pilar-padro para pilares de seo

retangular submetidos flexo composta oblqua, pode ser utilizado quando < 90 nasduas direes principais. Nessas condies, pode ser aplicado o mtodo do pilar-padrocom rigidezk aproximada, simultaneamente em cada uma das duas direes.

Portanto, tem-se como justificativa para este trabalho a necessidade dedesenvolver estudos nesta rea, com o intuito de tornar acessveis, a engenheiros projetistas e pesquisadores, os procedimentos de clculo constantes da NBR 6118:2003,de forma a permitir uma utilizao mais eficaz e o conhecimento das caractersticas e

limitaes dessas ferramentas de clculo, contribuindo para o desenvolvimento de um


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projeto estrutural mais seguro e um melhor aproveitamento da capacidade do materialconcreto armado.

11 . . 3 3 . . OO B B J J E ET T I I V V OOSS

Devido ao fato dos pilares apresentarem uma elevada suscetibilidade aofenmeno da instabilidade, existe a tendncia dos engenheiros projetistas de evitar,sempre que possvel, pilares muito esbeltos. O interesse dos pesquisadores quetrabalham nesta rea pois, tornar conhecido e acessvel aos projetistas ocomportamento desses elementos, para que deles possa ser aproveitada ao mximo suacapacidade resistente, sem comprometer a segurana.

Para isso, necessrio testar a viabilidade dos mtodos existentes, a fim de propor solues e, com isso, tornar mais amplo o uso de pilares de concreto armado,incentivando a adoo de projetos mais arrojados, com um grau de confiabilidadeadequado, que permita a concepo de estruturas mais esbeltas. Alm disso, importante dar credibilidade aos chamados processos simplificados, j que eles so propostos pela Norma, dispensam o uso de software especfico e fornecem resultadosadequados, desde que observadas as suas condies de aplicao.

Com esse intuito, este trabalho tem como proposta estudar o comportamento de pilares de concreto armado submetidos flexo composta, de acordo com as prescriesda NBR 6118:2003, com objetivo principal de investigar a validade dos processosaproximados de dimensionamento de pilares. Sero apresentados exemplos, dentro docampo de aplicao proposto, de forma a criar um contedo de Prtica Recomendada,mais acessvel aos profissionais da rea e envolvendo critrios prticos dedimensionamento.

11 . . 4 4 . . R R E EV V I I SS OO B B I I B B L L I I OOGG R R F F I I C C A A

At por volta de 1960, os pilares eram dimensionados flambagemsimplificadamente, multiplicando-se a carga de trabalho, suposta axial, pelo coeficiente

de segurana e um coeficiente de majorao, que dependia do ndice de esbeltez, etinha como base terica a considerao da flambagem alm do limite de

proporcionalidade. Esse processo de clculo era denominado Processo (mega). Nos


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casos de flexo composta, calculava-se a armadura para esta solicitao e verificava-se

depois o pilar com a fora axial isoladamente, majorada por e .Ao longo dos anos, foram desenvolvidos estudos que vm aperfeioando o

dimensionamento de pilares, por meio de anlises envolvendo tipos variados de sees esolicitaes. A complexidade envolvida nesse dimensionamento recai no fato docomportamento dos pilares ser tipicamente no-linear, ou seja, alm da no-linearidadegeomtrica, caracterizada pela substancial alterao sofrida pelas solicitaesdecorrentes dos deslocamentos transversais do eixo do pilar, observa-se tambm a no-linearidade fsica, decorrente das equaes constitutivas no-lineares do concreto e doao.

No Brasil, a Universidade de So Paulo (USP) tem dado uma grandecontribuio, por meio de trabalhos desenvolvidos nessa linha. Nos ltimos anos, esseassunto vem sendo tratado visando o desenvolvimento de estudos e de programascomputacionais, com o intuito de analisar o comportamento estrutural dos pilares e, comisso, otimizar o seu uso na Construo Civil.

AUFIERO (1977) apresenta um estudo sobre estabilidade de pilares solicitados flexo-compresso normal, considerando a influncia do comportamento inelstico do

material concreto armado, do tipo de carregamento e da esbeltez, para fins dedimensionamento e definio da capacidade de carga, utilizando o processosimplificado do pilar-padro, cujos resultados so comparados com valoresapresentados pelo Boletim de Informao n 103 do CEB, utilizando o mtodo geral.Esse trabalho chama a ateno para o verdadeiro significado do fenmeno daflambagem que, para as publicaes da poca, era considerado como sendo sinnimo de perda de estabilidade na flexo-compresso.

O processo do pilar-padro tambm consiste no processo utilizado porBUCHAIM (1979), para analisar os conceitos que intervm na considerao dos efeitosde 2a ordem e da instabilidade por divergncia do equilbrio, em pilares de concretoarmado sob flexo-compresso.

Em MARCOTTI (1984), apresenta-se uma anlise ampla do problema dainstabilidade de pilares de concreto armado submetidos flexo-compresso oblqua, queinclui o clculo de diagramas de curvatura e de interao, com considerao da esbeltez.

FRANA (1984) faz um estudo detalhado das relaes momento versuscurvatura, em sees poligonais quaisquer submetidas flexo-compresso oblqua.


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PAULA (1988) apresenta um estudo sobre estabilidade das configuraes deequilbrio, de pilares esbeltos de concreto armado, submetidos a flexo-compressonormal e compresso axial, alm de fazer um estudo comparativo entre pilares esbeltos

em estado limite ltimo, analisado por meio de algoritmos e programas baseados nomtodo geral e no processo aproximado do pilar-padro.

MENDES NETO (1991) apresenta um estudo sobre estabilidade de pilares deseo qualquer, solicitados flexo-compresso oblqua, atravs do processo do pilar- padro.

Em FRANA (1991) discute-se a questo dos parmetros que devem serutilizados para definir o comportamento reolgico das peas de concreto armado,

necessrios para a anlise de segunda ordem. Nesse trabalho proposta a troca dautilizao das relaes momento-normal-curvatura por relaes momento-normal-rigidez.

BACARJI (1993) analisa os vrios aspectos que devem ser levados emconsiderao no projeto estrutural e que esto relacionados ao clculo de pilares.Apresenta tambm os mtodos para a anlise da estabilidade de peas comprimidas, naflexo normal composta, alm de fornecer os conceitos e os critrios envolvidos no

dimensionamento de pilares, incluindo-se as prescries das normas brasileiras. Por fim,apresenta alguns exemplos visando avaliar e tirar concluses sobre os estudosrealizados.

No trabalho de CADAMURO JR. (1997) encontra-se um estudo geral sobre odimensionamento de sees isoladas no estado limite ltimo, como tambm, sobre pilares esbeltos de concreto armado solicitados flexo-compresso oblqua, levando-seem considerao as no-linearidades fsica e geomtrica e o efeito da fluncia, alm de

seo transversal de forma poligonal qualquer e disposio arbitrria da armadura.Alguns autores tm includo, em suas publicaes sobre os vrios aspectos das

peas de concreto armado, consideraes sobre o fenmeno da instabilidade de pilaresesbeltos, como FUSCO (1981), SANTOS (1981,1994) e SSSEKIND (1987).

Revistas tcnicas como o ACI Structural Journal, Journal of StructuralEngineering, The Structural Engineer e Material and Structures tm, nos ltimos anos, publicado trabalhos sobre o tema, mostrando o interesse e a preocupao de pesquisadores do mundo inteiro, por meio de trabalhos sobre mtodos de anlise de pilares, como BAZANT, CEDOLIN & TABBARA (1991) e EL-METWALLY (1994).


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BORGES (1999) apresenta a anlise de alguns aspectos que interferem noestudo da estabilidade de pilares esbeltos de concreto armado, atravs de umaabordagem envolvendo aspectos tericos, como tambm aspectos prticos, incluindo a

resoluo de exemplos. Seu estudo feito com base nos mtodos geral e do equilbrio,com os processos exato e do pilar-padro, atravs do software desenvolvido porCADAMURO JR (1997).

SOUZA (2003) apresenta os resultados de estudos paramtricos de pilares deconcreto armado, realizados com dois modelos computacionais em anlise fsica egeometricamente no-linear, utilizando as recomendaes da NBR 6118:1978 e da NBR 6118:2003. Verses anteriores desses estudos foram enviadas comisso revisora

da NBR:6118, que considerou os resultados apresentados na elaborao da Nova Norma.

KATAOKA (2003) apresenta, atravs de uma anlise minuciosa, o estudoterico do procedimento de clculo da armadura longitudinal de pilares com espessurainferior a 20 cm, de acordo com as prescries da NBR 6118:2003, comparando-as comas recomendaes das normas estrangeiras vigentes.

Em seu trabalho, BANKI (2004) faz uma anlise do processo simplificado que

introduzido pela NBR 6118:2003, para determinao dos efeitos locais de 2a ordem em

pilares de concreto armado, denominado Mtodo do pilar-padro com rigidez aproximada. apresentada uma abordagem direta, evitando o procedimento iterativosugerido pela Norma, e uma anlise dos resultados obtidos em funo do ndice deesbeltez e da excentricidade de 1a ordem.


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2 2 2 . . . C C C OOO N N N C C C E E E I I I T T T OOOSSS B B B SSS I I I C C C OOOSSS 22 2 2 . .11 . . N N OO-- L L I I N N E E A A R R I I D D A A D D E ESS

O estudo das no-linearidades fsica e geomtrica fundamental, pois interfereno comportamento das estruturas. Essa interferncia verificada atravs da relaoentre momento e curvatura.

Segundo BORGES (1999), o conceito de linearidade, por vezes, confundidocom o conceito de elasticidade: se dito que um determinado material temcomportamento elstico-linear, os conceitos elstico e linear so distintos. Uma barra

de material elstico quando, cessada a ao do carregamento aplicado, volta aocomprimento inicial; isso quer dizer que, quando a tenso retorna ao valor zero, a

deformao tambm nula, no havendo pois nenhuma deformao residual.Alm disso, para as barras sob carregamento monotnico, o conceito mais

importante o de linearidade, ficando o conceito de elasticidade como essencial aoestudo de barras sob carregamento cclico.

A anlise do conceito de elasticidade pode ser feita observando-se o diagrama da

Figura 1: se, ao retirar o carregamento, a deformao resultante for nula, ou seja, arelao tenso-deformao retroceder pela curva em trao cheio, o comportamento domaterial ser elstico, mas, se o caminhamento se der atravs da linha tracejada, existirdeformao residual, portanto, o material ter comportamento inelstico. O fato dodiagrama ser curvo demonstra que o material no tem comportamento linear, ou seja,no existe proporcionalidade entre tenso e deformao.


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CCCOOONNNCCCEEEIIITTTOOOSSS BBBSSSIIICCCOOOSSS 9

residual elstico

0

Figura 1. Diagrama tenso-deformao de um material no-linear: trechos de descarregamento

2.1.1. No-Linearidade Geomtrica

Ao se considerar, em uma anlise estrutural, os efeitos da mudana de geometriada estrutura, a relao fora-deslocamento deixa de ser linear. Essa no-linearidade,

denominada geomtrica, em geral pode ser desconsiderada quando a hiptese dos pequenos deslocamentos admitida vlida. No entanto, a no-linearidade geomtricatorna-se relevante nos casos em que os deslocamentos, relativamente significativos, podem acentuar os problemas de instabilidade ou a interao do esforo axial com osmomentos fletores. Nesses casos, devido grandeza dos deslocamentos, surge anecessidade de se escreverem as equaes de equilbrio em relao configuraodeformada da estrutura. Mesmo que com deslocamentos relativamente pequenos,combinados com certas disposies de cargas na estrutura, podem ocorrer situaes deinstabilidade ou o surgimento de esforos adicionais.

Segundo BENJAMIN (1982), quando os efeitos no-lineares implicarem emenrijecimento da estrutura, a utilizao de uma anlise linear pode conduzir a estruturasmais seguras, porm antieconmicas. Por outro lado, se o comportamento no-linearimplicar em perda de rigidez ou de estabilidade, a utilizao de uma anlise linear poderesultar ou induzir a uma falsa noo de segurana estrutural.


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A determinao dos esforos solicitantes ao longo das sees transversais deuma pea feita, geralmente, supondo a estrutura na sua posio indeformada, ou seja,desprezando-se as deformaes da pea. Diz-se ento que se trata da teoria de 1a ordem.

A rigor, deve-se sempre considerar a posio deformada da estrutura Teoria de2a ordem para calcular os esforos solicitantes, j que isso significa grau mais elevadode aproximao. Porm, do ponto de vista prtico, a diferena entre os resultadosobtidos mediante as teorias da 1a e da 2a ordem pode ser to pequena que no compensaexecutar um clculo mais elaborado. Entretanto, no clculo de pilares, um dos objetosde estudo deste trabalho, a no considerao desses efeitos pode causar discrepnciasconsiderveis nos clculos, sendo imprescindvel a considerao da no-linearidade

geomtrica nos projetos de pilares.

2.1.2. No-Linearidade Fsica

A no-linearidade geomtrica prova que pode no haver proporcionalidade entrecausa e efeito, mesmo quando o comportamento do material elstico-linear. O problema se agrava quando o prprio material apresenta comportamento no-linear, oque caracteriza a no-linearidade fsica.

O comportamento do material linear quando obedece Lei de Hooke, ou seja,quando a tenso proporcional deformao. Caso contrrio, o comportamento domaterial no-linear.

Ao contrrio da no-linearidade geomtrica, a no-linearidade fsica uma propriedade intrnseca do material, e acarreta no-proporcionalidade entre causa eefeito, mesmo na teoria de 1a ordem. Considerando-se uma estrutura de concretoarmado, a no-linearidade fsica resulta da resposta no-linear do ao e do concreto,

conforme a Figura 2.


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Material Linear Material No-Linear

Figura 2. Diagramas tenso-deformao para materiais de comportamento linear e no-linear

2 2 . . 2 2 . . C C OO M M P POO R RT T A A M M E E N N T T OO D DOO C C OO N N C C R R E ET T OO

O concreto armado apresenta comportamento de difcil descrio, resultado daassociao de dois materiais estruturais (ao e concreto). O diagramatenso-deformao do concreto no linear, e varivel para as vrias classes de resistncia. Oconcreto considerado como um material elastoplstico, no entanto apresenta umcomportamento aproximadamente elstico-linear para tenses da ordem de at 30% de

sua mxima tenso de compresso. A partir desse valor, inicia-se a plastificao doconcreto que, graficamente, traduzida pela deflexo e, principalmente, pelo trechodescendente da curva tenso-deformao.


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Figura 3. Diagramas tenso-deformao: compresso axial (COLLINS et alii., 1993)

Observando-se aFigura 3, tem-se a idia de que, para concretos de baixaresistncia, o pico das tenses no concreto ocorre em torno da deformao 2,enquanto que para concretos com resistncia mais elevada, esse valor sofre um aumentogradativo. No entanto, sabe-se que a forma da curvatenso-deformao depende devrios fatores, entre os quais: idade do concreto, velocidade e durao do carregamento,alm da resistncia do concreto.

Segundo a NBR 6118:2003, para dimensionamentos de peas de concreto deseo qualquer, no estado limite ltimo, pode ser empregado o diagrama tenso-deformao idealizado, mostrado naFigura 4, composto de uma parbola do 2o grau

entre os valores dec de zero a 2, cuja ordenada 0,85.f cd, e de um trecho reto

correspondente aos valores dec entre 2 e 3,5.


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Figura 4. Diagrama tenso-deformao do concreto (NBR 6118:2003)

2 2 . . 3 3 . . E EQQU U A A OO D D I I F F E E R R E E N N C C I I A A L L D D A A L L I I N N H H A A E E L L SST T I I C C A A

Ao ser solicitada flexo simples ou composta, uma barra se deforma at atingiruma situao de equilbrio, sendo a sua configurao deformada denominada linhaelstica. Ela surge devido ao fato das sees transversais se deformarem ao longo da barra. Da, desprezando-se as deformaes axiais, e admitindo-se a hiptese demanuteno das sees planas, possvel, a partir da viga daFigura 5, chegar equaodiferencial da linha elstica.

Aps a aplicao da carga, o eixo da viga, inicialmente retilneo e horizontal,deforma-se e assume a forma curva. Para conhecer a forma dessa curva, ou seja, aequao y = f(x) que determina essa curva, deve-se considerar um elemento dx da barra.Aps a deformao, as sees transversais, distantes dx entre si, inicialmente paralelas,

giram de um ngulo d . Admitindo-se que o material obedea Lei de Hooke, a curvatura numa seo

genrica dada pela expresso:

EIM

r 1 =

onde:

r

1 a curvatura do eixo da barra na configurao deformada.


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Uma vez que o momento M varia ao longo da barra, a linha elstica ter umacurvatura varivel.

O prximo passo estabelecer, a partir daFigura 5, uma relao entre os

deslocamentos na direo y e o valor do momento M , atravs da deduo do valor dacurvatura1/r em funo desses deslocamentos.

xdx

y

d

y

x

0

r = raio de curvatura

F F

ds

Figura 5. Deformao de uma viga de concreto armado sob flexo

Tem-se ento:= dr ds

de onde se tira:

dsdx

dxd

dsd

r 1

=

= (1)

Por outro lado:

==

dxdy tgarc

dxdy tg (2)

Derivando-se a eq. (2) em relao a x, tem-se:


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2

2

2 dxyd

dxdy1

1dxd

+

= (3)

e ainda

222 dydxds +=

resultando em:

21

2

dxdy1

dxds

+= (4)

Portanto, substituindo as eq.(3) e (4)em (1), tem-se:

EIM

dxdy1

dxyd

r 1

23

2

2

2

=

+

= (5)

que a equao diferencial completa da linha elstica.

Algumas simplificaes podem ser feitas, por exemplo desprezando-se dy/dx, por ser uma parcela muito pequena comparada com as demais grandezas, chegando-se equao simplificada da linha elstica, que tem a seguinte forma:

EIM

dxyd

r 1

2

2

== (6)

Uma outra forma de se obter a equao simplificada considerar rotaes muito

pequenas, de forma que, com grande aproximao, se tenha:

dxdy que taltg e dxds

e portanto:

EIM

dxyd

dxdxdyd

dxd

dsd

r 1

2

2

==

===


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Para barras com deformaes muito pequenas, essas simplificaes podem serfeitas porque dy/dx, e em particular o seu quadrado, so praticamente desprezveis, podendo ser desconsideradas sem que haja diferenas que comprometam os resultados

obtidos.Outra forma de se obter a curvatura atravs das deformaes de um elemento

de barra de comprimento dx, indicado naFigura 6, na qual se admite que a barra estejaem equilbrio aps a deformao e que seja a deformao relativa de uma fibragenrica distante z do eixo que passa pelo CG da seo.

LN

C

CG

fibra genrica

r

z

x

h/2

dx 1.dx/2

h/2

2.dx/2

Figura 6. Elemento de barra de comprimento elementar dx

Da condio de permanncia das sees planas, tem-se:

( )zr

12

dx

x2

dx

xh2

dx21

+

=

=

ou:


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hzr 1

xxh1221 =

+==

As expresses anteriores podem ser simplificadas, pelo fato de que


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EIr 1Mint = (8)

No caso de materiais de comportamento no-linear, como o concreto armado,no existe proporcionalidade entre tenso e deformao, sendo necessria a obteno domomento interno atravs do clculo direto da resultante das tenses correspondentes aomomento, devido ao fato de que a no-linearidade fsica do material acarreta no-linearidade entre momento interno e curvatura, ou seja, o resultado um diagramacurvo, conforme aFigura 7.

Regime Linear Regime No-Linear

Mint Mint

1/r 1/r

Figura 7. Diagrama Momento Interno versus Curvatura

2.4.2. Relao Momento Externo Curvatura

A utilizao da equao diferencial completa da linha elstica afeta diretamentea determinao do momento externo, tanto na compresso axial como na flexo-compresso. Para a compresso axial, s possvel considerar os efeitos de 2a ordemquando da utilizao da equao completa, que possibilita o clculo dos deslocamentos

que surgem para cargas maiores que a crtica. Na flexo-compresso possvel, atravsda equao simplificada, obter valores para os deslocamentos, embora no sejam estesos verdadeiros.

Em ambos os casos a expresso do momento externo depende dos valores dosdeslocamentos, que so obtidos a partir das equaes diferenciais.

Para a compresso axial, tem-se:

yFMext = (9)


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e, para flexo-compresso:

( )yeFM iext += (10)onde:

y o deslocamento num ponto qualquer ao longo da altura da barra;ei a excentricidade inicial.

Considerando as eq.(9) e (10), e a eq.(5) que contm a equao completa dalinha elstica, chega-se a uma relao no-linearmomento externo versus curvatura,cujos diagramas tm a forma indicada naFigura 8.

Figura 8. Diagramas momento externo versus curvatura (BORGES, 1999)

Com a utilizao da eq.(6), que a equao simplificada da linha elstica, s possvel chegar a alguma relao na flexo composta, e que resultar em uma relaolinear, como mostra aFigura 9.

Figura 9. Diagrama momento externo versus curvatura - equao simplificada (BORGES, 1999)


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2 2 . . 5 5 . . D D I I A AGG R R A A M M A A ( ( M M , , N N , ,11 / / r r ) )

Segundo BORGES (1999), os problemas de instabilidade, assim como outros

problemas da Engenharia, baseiam-se em equaes de equilbrio e de compatibilidade.Essas equaes referem-se a estados de deformao, desde solicitaes muito baixas atatingir a runa, seja por esgotamento da resistncia do concreto ou por deformaoexcessiva da armadura, seja por perda de estabilidade. Isso se d porque os diagramas

de numa seo podem no pertencer aos domnios de deformao, mas seremconstitudos por uma reta qualquer, correspondente a uma situao de servio ou a umafase intermediria entre uma situao de servio e uma de runa.

A anlise de pilares de concreto armado submetidos a flexo-compresso envolvea considerao da teoria de 2a ordem, sendo essencial definir uma relao entre acurvatura e os esforos, atravs de diagramas de interao fora normal - momentofletor - curvatura. Esses diagramas so a ferramenta bsica de qualquer clculo deverificao da estabilidade.

O diagrama (M,N,1/r) define graficamente uma relao entre essas trsgrandezas, porm de execuo trabalhosa. Como a curvatura est relacionada com asdeformaes, e estas se ligam s tenses atravs das equaes constitutivas, sendo

conhecidas as tenses, a deformaoc e a curvatura 1/r, tem-se todos os elementos paracalcular o esforo normal e o momento fletor.

Considere-se um pilar esbelto de concreto armado sujeito a fora de compressoexcntrica N, sendo conhecidos: dimenses, quantidade e distribuio da armadura, tipode ao e concreto e vinculaes. Do estudo feito at ento, conclui-se ser defundamental importncia determinar o mximo momento interno que a seo podedesenvolver, em funo da curvatura da deformada naquela mesma seo.


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Figura 10. Seo sub metida a flexo (BORGES, 1999)

Seja a seo fletida daFigura 10, com armadura conhecida. Rearranjando aeq. (7), tem-se:

dr 1 sc =

Por semelhana de tringulos, tem-se:

r

yc0c +=

r ysi

0s =

Os estados limites ltimos relativos ao material no sero atingidos, enquantoforem obedecidos os limites:

000c

0c 5,3r y +=

000si

0s 10r y =

Assim, a seo, para uma dada curvatura 1/r, no esgotar sua capacidade

resistente enquanto no se chegar a um valor (o)max tal que faa ser atingida, noconcreto ou no ao, suas deformaes especficas limites. Desse modo, para cada par de

valores (1/r,o) tem-se definidos os valores de clculo dos esforos Nd e Md capazes deserem resistidos pela seo.


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Desta forma, para cada curvatura arbitrada (1/r i), estabelecem-se os vrios paresde valores (Md, Nd) correspondentes a essa curvatura, ou seja, obtm-se, para uma dada

curvatura, os grupos de valores interligados (1/r i, Md, Nd), referentes s variaes deo,

at se atingiro,max. Feito isso, tem-se conhecido o terno (M,N,1/r). Adotando-se outrosvalores da curvatura e mantendo-se fixos os demais dados, obtm-se o diagrama(M,N,1/r).

2 2 . .6 6 . . E E F F E E I I T T OOSS D D E E 2 2 a a OO R R D D E E M M

Efeitos de 2a ordem so aqueles que se somam aos obtidos numa anlise de 1a ordem, quando a anlise do equilbrio passa a ser efetuada considerando a configuraodeformada. Esses efeitos podem ser desprezados quando no representem acrscimosuperior a 10% nas reaes e nas solicitaes relevantes da estrutura.

Quando as estruturas so submetidas a aes verticais e horizontais, seus nsdeslocam-se horizontalmente. Os esforos de 2a ordem decorrentes dessesdeslocamentos so denominadosefeitos globais de 2a ordem. Nas barras da estrutura,os respectivos eixos no se mantm retilneos, surgindo aefeitos locais de 2a ordem, que afetam principalmente os esforos solicitantes ao longo dessas barras. Em princpio,todas as estruturas so deslocveis. Por convenincia de anlise, no entanto, elas soclassificadas em estruturas de ns fixos e estruturas de ns mveis.

As estruturas de ns fixos so aquelas em que os deslocamentos horizontaisdos ns so pequenos, e, por decorrncia, os efeitos globais de 2a ordem sodesprezveis (inferiores a 10% dos respectivos esforos de 1a ordem). Nessas estruturas, basta considerar os efeitos locais de 2a ordem. Asestruturas de ns mveis so aquelasem que os deslocamentos horizontais dos ns no so pequenos, e, conseqentemente,os efeitos globais de 2a ordem so importantes (superiores a 10% dos respectivosesforos de 1a ordem). Nessas estruturas, devem ser obrigatoriamente consideradostanto os esforos de 2a ordem globais, como os locais.

Nas estruturas de ns fixos, permite-se considerar isoladamente cada elementocomprimido, como barra vinculada nas extremidades aos demais elementos estruturaisque ali concorrem, onde se aplicam os esforos obtidos pela anlise da estruturasegundo a teoria de 1a ordem. Submetida s aes horizontais, a estrutura sempre

calculada como deslocvel. O fato de a estrutura ser classificada como sendo de ns


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fixos dispensa apenas a considerao dos esforos globais de 2a ordem, mas no suaanlise como estrutura deslocvel.

A NBR 6118:2003 consideraelementos isolados:

os elementos estruturais isostticos; os elementos contraventados; os elementos das estruturas de contraventamento de ns fixos; os elementos das subestruturas de contraventamento de ns mveis desde que,

aos esforos nas extremidades, obtidos numa anlise de 1a ordem, sejamacrescentados os determinados por anlise global de 2a ordem.


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CCCAAAR R R AAACCCTTTEEER R R SSSTTTIIICCCAAASSS GGGEEEOOOMMMTTTR R R IIICCCAAASSS 25

3 3 . . 2 2 . . D D I I M M E E N N SS E ESS M M N N I I M M A ASS

Com o objetivo de evitar um desempenho inadequado e propiciar boas condies

de execuo, a NBR 6118:2003, no seu item 13.2.3, estabelece que a seo transversaldos pilares, qualquer que seja a sua forma, no deve apresentar dimenso menor que19 cm. Em casos especiais, permite-se a considerao de dimenses entre 19 cm e 12cm, desde que no dimensionamento se multipliquem as aes por um coeficiente

adicionaln, indicado naTabela 1, onde:

b05,095,1n

b a menor dimenso da seo transversal do pilar, em cm.

Tabela 1. Valores do coeficiente adicional n em funo de b (NBR 6118:2003)

b (cm) 19 18 17 16 15 14 13 12n 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35

Portanto, o coeficienten deve majorar os esforos solicitantes finais de clculo

nos pilares, quando de seu dimensionamento.Todas as recomendaes referentes aos pilares so vlidas nos casos em que a

maior dimenso da seo transversal no exceda cinco vezes a menor dimenso

(h 5b). Quando esta condio no for satisfeita, o pilar deve ser tratado como pilar- parede.

Em qualquer caso, no se permite pilar com seo transversal de rea inferior a360 cm.

3 3 . . 3 3 . . C C OO M M P P R R I I M M E E N N T T OO E EQQU U I I V V A A L L E E N N T T E E

Segundo a NBR 6118:2003, o comprimento equivalentel e pilar, suposto

vinculado em ambas extremidades, o menor dos seguintes valores:


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+

l

ll

h0e

o a distncia entre as faces internas dos elementos estruturais, supostoshorizontais, que vinculam o pilar (Figura 12);

h a altura da seo transversal do pilar, medida no plano da estrutura;

a distncia entre os eixos dos elementos estruturais aos quais o pilar est

vinculado.

No caso de pilar engastado na base e livre no topo,l e = 2l .

h l 0

h/ 2

h/ 2

ll 0 + h

Figura 12. Distncias o e

3 3 . . 4 4 . . P P I I L L A A R R E ESS I I N N T T E E R R N N OOSS , , D D E E B BOO R R D D A A E E D D E E C C A A N N T T OO . .

Os pilares podem ser classificados com relao s solicitaes iniciais, como mostrado naFigura 13.

Sero considerados pilares internos aqueles submetidos a compresso simples,ou seja, que no apresentam excentricidades iniciais.

Nos pilares de borda, as solicitaes iniciais correspondem a flexo compostanormal, ou seja, h excentricidade inicial em uma direo. Para seo quadrada ou

retangular, a excentricidade inicial ocorre na direo perpendicular borda.


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Pilares de canto so submetidos a flexo oblqua. As excentricidades iniciaisocorrem nas direes das bordas.

PILARINTERNO

PILAR DEBORDA

PILAR DECANTO

Figura 13. Classificao quanto s solicitaes iniciais

3 3 . . 5 5 . . C C L L A ASSSS I I F F I I C C A A OO QQU U A A N N T T OO E ESS B B E E L LT T E E Z Z

O ndice de esbeltez definido pela relao:

iel=

e o comprimento equivalente do elemento isolado (ver item 3.3);

i o raio de girao mnimo da seo bruta de concreto.

De acordo com o ndice de esbeltez (), os pilares podem ser classificados em: pilares robustos ou pouco esbeltos 1 pilares de esbeltez mdia 1 < 90 pilares esbeltos ou muito esbeltos 90< 140 pilares excessivamente esbeltos 140< 200

O valor de1 ser considerado no item seguinte. A NBR 6118:2003 no admite,

em nenhum caso, pilares com ndice de esbeltez superior a 200.


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3 3 . .6 6 . . E ESS B B E E L LT T E E Z Z L L I I M M I I T T E E

O conceito de esbeltez limite surgiu a partir de anlises tericas de pilares,

considerando material elstico-linear. Corresponde ao valor da esbeltez a partir do qualos efeitos de 2a ordem comeam a provocar uma reduo da capacidade resistente do pilar no estado limite ltimo, quando comparada com a capacidade resistente obtida deacordo com a teoria de 1a ordem. Segundo SOUZA (2003), o valor dessa reduo definido arbitrariamente, no devendo ser superior a 5% no ACI:1995, ou a 10% noCEB:1990. Os principais fatores que influenciam essa reduo da capacidade resistenteso:

a excentricidade relativa de 1a

ordem e1/h; a vinculao dos extremos do pilar isolado; a magnitude e a forma do diagrama de momentos de 1a ordem.

A influncia desses fatores sobre a resistncia de pilares de concreto foiquantificada por SOUZA (1992), atravs de uma anlise paramtrica de pilares isolados.Os resultados obtidos permitiram a obteno de equaes para o clculo da reduo dacapacidade resistente dos pilares sob flexo-compresso normal. Essas equaes sovlidas para os casos de pilares isolados, com excentricidades iguais e de mesmosentido nos extremos (curvatura nica), de seo retangular, com armaduras iguais edistribudas ao longo de dois lados opostos. Para o clculo da esbeltez limite em pilaresde concreto armado, SOUZA (1992) deduziu uma equao vlida quando aexcentricidade relativa de 1a ordem e1/h menor que 0,6, e admitindo-se uma perdamxima de 10% na capacidade resistente do pilar:

( ) ( )he311,04,006,0100

11

+= (11)

a taxa mecnica de armadura;e1/h a excentricidade relativa de 1 a ordem, de igual valor e sentido nosextremos do pilar.


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Posteriormente, SOUZA et al. (1995 e 1998) apud SOUZA (2003)desenvolveram um estudo de casos de pilares de seo retangular, excentricidadesiguais e de mesmo sentido e armaduras iguais e distribudas ao longo de dois lados

opostos, analisando e simulando 115 pilares, para diferentes ndices de esbeltez,amplitudes de excentricidades, taxas de armadura e relao entre as excentricidadesextremas.

Baseado nos resultados obtidos nesses dois trabalhos, SOUZA et al. (1995 e1998) apud SOUZA (2003) propuseram as seguintes equaes, que permitem a

avaliao do valor de1 para diversos casos prticos:

34,0he para he5042 a1a11 = (12)

75,0he0,34 para 25 a11


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Para efeito prtico, deve-se fixar a equao de de acordo com a excentricidademnima adotada no projeto dos pilares. Para o caso da NBR 6118:2003, caso sejarespeitado o momento mnimo de 0,10.h.Nd, a excentricidade e1a/h seria no mnimoigual a 0,10, podendo-se utilizar a eq. (17).

Em estruturas de ns fixos, dificilmente um pilar de prtico, no muito esbelto,ter seu dimensionamento afetado pelos efeitos de 2a ordem, pois o momento fletor totalmximo provavelmente ser apenas o de 1a ordem, num de seus extremos.

Segundo a NBR 6118:2003, item 15.8.2, os esforos locais de 2a ordem em

elementos isolados podem ser desprezados quando o ndice de esbeltez for menor queo valor limite1 , que pode ser calculado pelas expresses:

( ) b

11

he5,1225+= (18)

9035 1 (19)

sendo e1 a excentricidade de 1a ordem. A NBR 6118:2003 no deixa claro como se

adota este valor. Na dvida, pode-se admitir, no clculo de1, e1 igual ao menor valorda excentricidade de 1a ordem, no trecho considerado.

O valor de deve ser obtido conforme estabelecido a seguir:b

a) Pilares biapoiados sem foras transversais

0,10,4 :sendo , 40,0MM40,060,0 b

A

B b +=

MA o momento fletor de 1a ordem no extremo A do pilar (maior valor absoluto

ao longo do pilar biapoiado);MB o momento fletor de 1a ordem no outro extremo (B) do pilar (toma-se para

MB o sinal positivo, se tracionar a mesma face que MA, e negativo em caso contrrio).

b) Pilares biapoiados com foras transversais significativas, ao longo da altura1=b

c) Pilares em balano


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0,10,85 :sendo , 85,0MM20,080,0 b

A

C b +=

MA o momento fletor de 1a ordem no engaste;

MC o momento fletor de 1a ordem no meio do pilar em balano.

d) Para pilares biapoiados ou em balano com momentos fletores menores que o mnimo

1=b

Segundo SOUZA (2003), nos pilares considerados isoladamente, aexcentricidade de 2a ordem varia ao longo da reta que liga os seus extremos, nestes seanulando. AFigura 14 mostra a variao desta excentricidade para os pilares comcurvatura nica e reversa.

e 1b

e 1a

e 2

Nd

Nd

Nd

Nd

e 1a

e 1b

e 2

Figura 14. Pilar com efeito de 2 a ordem em curvatura nica ( 0ee a1 b1 ) e reversa ( 1b 1ae e 0< )

Verifica-se pela Figura 14 que para os pilares com curvatura nica eexcentricidades de 1a ordem iguais nos extremos, e1a = e1b, a excentricidade de 1a


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ordem, e1, e a excentricidade de 2a ordem, e2, so aditivas em todos os pontos ao longodo pilar. A determinao da seo crtica no dimensionamento imediata e corresponde seo do meio do vo, pois onde se situa o ponto de mximo da soma de e1 com e2.

Entretanto, quando os pilares esto submetidos a excentricidades ou momentosdesiguais nas duas extremidades, a curvatura da pea diferente e a determinao daseo crtica deixa de ser imediata. Para este caso, a NBR 6118 (2003), em seu item15.8.2.a, utiliza a eq.(20)originria das normas americanas de estruturas de ao.

4,0ee4,06,0

a1 b1

b

+= (20)

Em estudos anteriores, SOUZA (1992) e SOUZA et al. (1993), apud

SOUZA (2003), propem que o limite inferior de 0,4 para o valor de b poderia serdesconsiderado. Cabe salientar ainda que o CEB (1990) tambm desconsidera o limiteinferior de 0,4, enquanto que SALMON & JOHNSON (1996), citando vrios estudossobre pilares metlicos, concluem que a adoo de um limite inferior de 0,4 na equaode b um procedimento muito conservador.

SOUZA (2003) apresenta ainda em seu trabalho uma comparao dos valores propostos pela NBR 6118:2003 para1 com outras normas e estudos, considerando-sesempre o mesmo comprimento de flambagem (Tabela 2). Deve-se observar que este procedimento pode resultar em algumas discrepncias, j que algumas normas permitemreduzir o comprimento de flambagem dos prticos de ns mveis, ou de ns fixos, paracerca de 75% do comprimento livre (BS-8110, 1985). No mtodo proposto, foi adotado

e1a/h igual a 0,05 ou 0,10, sendo calculado sempre pela eq.(17)em funo da relao

e1b/e1a.Os valores grifados daTabela 2 correspondem aos maiores valores encontrados

para1 em cada situao estudada.


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Tabela 2. Comparao entre diversas normas e propostas para valores de 1 (SOUZA, 2003)

e1b / e1a = 1,0 e1b / e1a = 0,5 e1b / e1a = 0 e1b / e1a = - 0,5 e1b / e1a = - 1,0Mtodo e1a / h

0,05e1a / h0,10

e1a / h0,05

e1a / h0,10

e1a / h0,05

e1a / h0,10

e1a / h0,05

e1a / h0,10

e1a / h0,05

e1a / h0,10

NBR 6118(2003)1 - 35 - 44 - 58 - 88 - 88

NBR 6118(1978) 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40

CEB/902(1990) 12 12 18 18 24 24 30 30 36 36

EuroCode 2(1989) 25 25 37,5 37,5 50 50 62,5 62,5 75 75

ACI-318(1995) 22 22 28 28 34 34 40 40 46 46

BS-81103(1985) 52 52 52 52 52 52 52 52 52 52

MacGregor4(1993)

a) 13b) 35

1335

1935

1935

2535

2535

3135

3135

3135

3135

Santos(1991) 12,5 14,6 - - 33,6 39,2 - - 74 82

Souza5(1992) 37,3 35,1 43,8 41,2 50,4 47,4 56,9 53,5 63,4 59,7

Frana6(1994) 30 30 37,5 37,5 45 45 52,5 52,5 60 60

Souza et al(1995 e 1998) 39,5 37 46,4 43,5 53,3 50 60,2 56,4 67,2 62,9

Observaes: 1 Recomenda excentricidade mnima de h / 102 Equao para maior que 0,393 Para o caso de colunas pertencentes a prticos de ns fixos4 a) Prticos indeslocveis b) Prticos deslocveis5 Para dado pela equao 1.7 e igual a 0,24366 Recomenda excentricidade mnima de h / 10

Os valores mostrados naTabela 2indicam que para os valores da relao e1b /e1a

maiores ou iguais a zero os valores de1 recomendados pela NBR 6118:2003 so osmaiores, entre as referncias pesquisadas.


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4 4 4 . . . E E E X X X C C E E E N N N T T T R R R I I I C C C I I I D D D A A A D D D E E ESSS C 44 4 4 . .11 . . E E X X C C E E N N T T R R I I C C I I D D A A D D E ESS D D E E 11

a a

OO R R D D E E M M

4.1.1. Excentricidade Inicial

Em estruturas de edifcios de vrios andares, ocorre um monolitismo nasligaes entre vigas e pilares que compem os prticos de concreto armado. Aexcentricidade inicial, oriunda das ligaes dos pilares com as vigas nelesinterrompidas, ocorre em pilares de borda e de canto. A partir das aes atuantes em

cada tramo do pilar, as excentricidades iniciais no topo e na base so obtidas pelasexpresses (Figura 15):

N M

e topotopoi =, e N M e basebasei =,

N M topo e i, topo

M base e i, base Figura 15. Excentricidades iniciais no topo e na base do pilar (SILVA & PINHEIRO, 2002)


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EEEXXXCCCEEENNNTTTR R R IIICCCIIIDDDAAADDDEEESSS 35

O clculo do momento atuante no topo e na base do pilar realizado segundoesquema esttico apresentado naFigura 16.

l v ig

l su p

2

2

l in f

Figura 16. Esquema esttico

Quando no for realizado o clculo exato da influncia da solidariedade dos pilares com a viga, deve ser considerado, nos apoios extremos, momento fletor igual ao

momento de engastamento perfeito multiplicado pelos coeficientes estabelecidos na

NBR 6118:2003 pelas seguintes relaes:

na viga:supinf vig

supinf

r r r

r r ++

+

(21)

no tramo superior do pilar:: supinf vigsup

r r r

r ++ (22)

no tramo inferior do pilar:supinf vig

inf

r r r r

++ (23)

sendo r i a rigidez do elemento i no n considerado, avaliada conforme indicado na

Figura 16 , dada por:

i

ii

Ir

l=


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Deve-se atentar para o fato de que as eq.(21), (22) e (23), dados pela NBR 6118:2003, no so vlidos para o esquema esttico apresentado naFigura 16, presente na norma. Apesar de estar a favor da segurana, os coeficientes so os mesmos

utilizados pela NBR 6118:1978, quando os apoios extremos dos pilares eramconsiderados como engaste e utilizava-se no clculo todo o comprimento do pilar.Portanto, com essas alteraes, os coeficientes corretos seriam:

na viga:supinf vig

supinf

r 3r 3r 4r 3r 3++

+ (24)

no tramo superior do pilar::supinf vig

sup

r 3r 3r 4

r 3

++ (25)

no tramo inferior do pilar:supinf vig

inf

r 3r 3r 4r 3

++ (26)

A NBR 6118:2003 considera indiretamente o valor da excentricidade eiC, que a

excentricidade inicial no centro do pilar, no clculo do coeficiente b.

4.1.2. Excentricidade Acidental

Segundo a NBR 6118:2003, na verificao do estado limite ltimo das estruturasreticuladas, devem ser consideradas as imperfeies do eixo dos elementos da estruturadescarregada. Essas imperfeies podem ser divididas em dois grupos: imperfeiesglobais e imperfeies locais.

Muitas das imperfeies podem ser cobertas apenas pelos coeficientes de ponderao, mas as imperfeies dos eixos das peas no. Elas devem ser

explicitamente consideradas porque tm efeitos significativos sobre a estabilidade daconstruo.

O conceito das imperfeies locais foi uma modificao importante da novanorma, e substitui o da excentricidade acidental da NBR 6118:1978.

a) Imperfeies globais

Na anlise global das estruturas reticuladas, sejam elas contraventadas ou no,deve ser considerado um desaprumo dos elementos verticais, conformeFigura 17:


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l1001

1 = (27)

2

111

na

+= (28)

a altura total da estrutura em metros;

n o nmero total de elementos verticais contnuos;

1min = 1/400 para estruturas de ns fixos ou 1/300 para estruturas de ns mveis eimperfeies locais.

a

Figura 17. Imperfeies geomtricas globais (NBR 6118:2003)

Esse desaprumo no precisa ser superposto ao carregamento de vento. Entre osdois, vento e desaprumo, pode ser considerado apenas o mais desfavorvel (que provoca

o maior momento total na base de construo). O valor mximo de1 ser de 1/200.

b) Imperfeies locais

Na anlise local de elementos dessas estruturas reticuladas, devem tambm serlevados em conta efeitos de imperfeies geomtricas locais. Para a verificao de um

lance de pilar deve ser considerado o efeito do desaprumo ou da falta de retilinidade doeixo do pilar (Figura 18).

Admite-se que, nos casos usuais, a considerao da falta de retilinidade sejasuficiente. Assim, a excentricidade acidental ea pode ser obtida pela expresso:

2e 1al=


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No caso de elementos, usualmente vigas e lajes, que ligam pilarescontraventados a pilares de contraventamento, deve ser considerada a trao decorrentedo desaprumo do pilar contraventado (Figura 18). Para pilar em balano,

obrigatoriamente deve ser considerado o desaprumo, ou seja:

l= 1ae

1

21

3

1/2 1

1.Pi lar de co ntraventamen to2.Pi lar c ont raventado3.Elemen to de l igao ent reos p i lares 1 e 2

a)Fa lta de re til inidad e b )Desap rumo

Lance de p i lar

Eleme nto de ligao

Figura 18. Imperfeies geomtricas locais (NBR 6118:2003)

4.1.3. Momento mnimo

Segundo a NBR 6118:2003, item 11.3.3.4.3, o efeito das imperfeies locais nos pilares pode ser substitudo em estruturas reticuladas pela considerao do momentomnimo de 1a ordem dado a seguir:

( )h03,0015,0 NM dMin,d1 += (29)

h a altura total da seo transversal na direo considerada, em metros.


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Nas estruturas reticuladas usuais admite-se que o efeito das imperfeies locaisesteja atendido se for respeitado esse valor de momento total mnimo. A esse momentomnimo devem ser acrescidos os momentos de 2a ordem. A imposio desse momento

mnimo implica na considerao de uma excentricidade mnima de 1a ordem. No caso de pilares submetidos flexo composta oblqua, esse mnimo deve ser

respeitado em cada uma das direes principais, separadamente; isto , o pilar deve serverificado flexo composta oblqua e, em cada verificao, pelo menos um dosmomentos deve respeitar o valor mnimo indicado.

4.1.4. Excentricidade devida fluncia

Segundo a NBR 6118:2003, a considerao da fluncia deve obrigatoriamente

ser realizada em pilares com ndice de esbeltez > 90 e pode ser efetuada de maneiraaproximada acrescentando excentricidade de 1 ordem, a excentricidade adicional ecc dada a seguir:

+=

1718,22 N

Me Sge

Sg

N N N

e1

Sg

Sgcc

l

(30)

sendo:

2e

cce

IE10 Nl

=

Ic o momento de inrcia do pilar;Ec o mdulo de elasticidade secante do concreto;

1 o desaprumo, dado conforme item 4.1.2.a); Msg e Nsg so os esforos solicitantes devidos combinao quase permanente,

calculados conforme as tabelas 11.2 e 11.4 da NBR 6118:2003;

o coeficiente de fluncia.

4 4 . . 2 2 . . E E X X C C E E N N T T R R I I C C I I D D A A D D E E D D E E 2 2 a a OO R R D D E E M M

A fora normal atuante no pilar, sob as excentricidades de 1a ordem(excentricidade inicial), provoca deformaes que do origem a uma nova

excentricidade, denominada excentricidade de 2a ordem.


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A determinao dos efeitos locais de 2a ordem, segundo a NBR 6118:2003, em barras submetidas flexo-compresso normal, pode ser feita pelo mtodo geral ou pormtodos aproximados.

A considerao da fluncia obrigatria para ndice de esbeltez > 90,acrescentando-se ao momento de 1a ordem M1d a parcela relativa excentricidadesuplementar ec.


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5 5 5 . . . M M M T T T OOO D D DOOOSSS U U U T T T I I I L L L I I I Z Z Z A A A D D DOOOSSS 55 5 5 . .11 . . M M T T OO D DOO GG E E R R A A L L

O mtodo denominado Mtodo Geral envolve equaes diferenciais quegeralmente no tm soluo direta conhecida e, portanto, necessrio empregarsolues aproximadas para o clculo, como os mtodos iterativos (carregamento ouexcentricidade incremental). Ainda assim, o mtodo iterativo, apesar de haver a possibilidade de algumas simplificaes tais como o processo de equilbrio, requer umconsidervel esforo de clculo, dificultando o clculo manual e exigindo a utilizao

de softwares especficos para dimensionamento de pilares.O mtodo consiste em estudar o comportamento das estruturas de concreto

armado, medida que se d o aumento do carregamento ou da excentricidade docarregamento na barra. O mtodo geral aplicvel a qualquer tipo de pilar, inclusivenos casos em que as dimenses da pea, a armadura ou a fora aplicada so variveis aolongo do seu comprimento.

Este processo justifica sua utilizao pela qualidade dos seus resultados, que

retratam com maior preciso o comportamento real da estrutura, pois considera a no-linearidade geomtrica de maneira bastante precisa.

De acordo com BORGES (1999), o mtodo geral, quanto ao rigor, faz duasconcesses: admite ser a curvatura igual segunda derivada da equao da linha elsticae, j que para sua execuo necessita de processos numricos, precisa da subdiviso da pea em elementos, tornando os resultados dependentes do nmero de elementosconsiderado. A preciso ser, portanto, tanto maior quanto maior for o nmero de

subdivises da pea.


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MMMTTTOOODDDOOOSSS UUUTTTIIILLLIIIZZZAAADDDOOOSSS 42

Portanto, para a determinao da carga crtica pelo mtodo geral, deve-se proceder por etapas. O carregamento aplicado por incrementos progressivos e, paracada etapa, calculado o deslocamento correspondente de uma determinada seo que

corresponde ao deslocamento caracterstico do efeito de 2a ordem, essencial paraclculo do momento da etapa posterior. O carregamento crtico obtido atravs do valorcrtico da carga, para o qual tende assintoticamente o diagramacarga x deslocamento (Figura 19).

F

Fcr

Fn Fn-1

F1

y1 yn-1 yn y Figura 19. Mtodo geral aplicado atravs do carregamento progressivo

Para a aplicao do mtodo geral atravs de acrscimos de carga, deve-se utilizaruma ferramenta para o clculo dos deslocamentos, sendo suficiente o conhecimento dosdiagramas ( M, N, 1/r ).

Outra forma de aplicao do mtodo geral se d atravs da utilizao de

acrscimos de excentricidade. Nesse processo o clculo obedece a mesma seqncia,mas ao invs de excentricidades constantes e variao do mdulo da fora aplicada,utilizam-se cargas constantes e variam-se os valores das excentricidades de 1a ordem. Ovalor crtico da excentricidade obtido como o valor assinttico do diagramaexcentricidade x deslocamento (Figura 20).


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ei

ei ,cr

ei, n

ei, n-1

ei, 1

y1 yn-1 yn y

(M1 = F . ei)

Figura 20. Mtodo geral aplicado atravs de excentricidades progressivas

Um outro mtodo que permite a verificao da estabilidade o mtodo doequilbrio. Esse mtodo consiste em garantir a segurana contra o estado limite deinstabilidade, atravs da verificao de que, sob a ao do carregamento de clculo ouda excentricidade de clculo, o deslocamento de uma seo de referncia corresponde auma configurao estvel de equilbrio.

No entanto, como no mtodo do equilbrio a verificao da segurana contra oestado limite ltimo de instabilidade feita atravs da constatao da existncia de um possvel estado de equilbrio, onde o esforo maior que a solicitao, o mtodo garantea segurana, mas no d a melhor soluo.

Em resumo, o intuito da aplicao do mtodo do equilbrio reduzir o problemaao clculo de apenas um ponto do diagramaao x deslocamento. J o mtodo geraltem o compromisso de analisar cada ponto do diagramaao x deslocamento. Portanto,

pode-se perceber que o mtodo geral consiste em se aplicar vrias vezes o mtodo doequilbrio.

5 5 . . 2 2 . . P P R R I I N N C C P P I I OO D DOO M M T T OO D DOO GG E E R R A A L L

Considere-se o pilar daFigura 21, engastado na base e livre no topo, sujeito fora excntrica de compresso Nd.


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l

e

N d

Figura 21. Pilar sujeito compresso excntrica

Sob a ao do carregamento, o pilar apresenta uma deformao que, por sua vez,gera um momento incrementalNd.y nas sees, provocando novas deformaes e novosmomentos. Se as aes externas (Nd e Md) forem menores que a capacidade resistenteda barra, essa interao continua at que seja atingido um estado de equilbrio paratodas as sees da barra. Tem-se, portanto, uma forma fletida estvel (Figura 22.a).Caso contrrio, se as aes externas forem maiores que a capacidade resistente da barra,

o pilar perde estabilidade (Figura 22. b). A verificao que se deve fazer quanto existncia da forma fletida estvel.

eN d

a

a) equilbrio estvel

y a y

b) equilbrio instvel

eN d

Figura 22. Configuraes fletidas


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A estabilidade ser atingida quando o pilar parar numa forma deformada estvel,como mostra aFigura 23, de flechaa, com equilbrio alcanado entre esforos internose externos, respeitada a compatibilidade entre curvaturas, deformaes e posies da

linha neutra, assim como as equaes constitutivas dos materiais e sem haver, na seocrtica, deformao convencional de ruptura do concreto ou deformao plsticaexcessiva do ao.

ea

N dy

x

0

1

2

n

y 2

y 1

y 0 = a

2 '

1 '

Figura 23. Deformada estvel

5.2.1. Mtodo Geral com variao da flecha aSegundo BACARJI (1993), como no conhecida a flechaa e nem a expresso

y=y(x) da deformada, o problema deve ser resolvido por tentativas. Para tanto, deve-seseguir o seguinte roteiro:

a) Divide-se o pilar emn trechos de comprimento:

x = l /n (31)


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b) Arbitra-se um valor para a flechaa:yo = a (32)

c) Conhecendo-se a fora normalNd, calcula-se o momento de 2a ordem no

engastamento:

( ) a. NM dod2 = (33)

d) Conhecendo-se a excentricidade iniciale1, calcula-se o momento fletor total na

seo engastada:

d2d1o MMM += (34)

que em termos de adimensionais torna-se:

0210 (35)

e) A partir do diagrama(, , 1/r), para , e o conhecidos, obtm-se acorrespondente curvatur

Dimensionamento de Pilares de Acordo Com NBR 61182003

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