Pilares 1

Dimensionamento de Pilares

com base na NBR 6118:2003

NOTAS DE AULA

Prof. Dr. José Luiz Pinheiro Melges

Março de 2007

Pilares 2

Agradecimentos

Este material foi montado a partir de diversos trabalhos disponíveis na Internet, desenvolvidos por:

Prof.Dr. José Samuel Giongo

Prof.Dr. Libânio Miranda Pinheiro

Eng.MsC. Murilo Scadelai

Eng.MsC. Gerson Alva

Eng. Leonardo de Araujo dos Santos

Eng. Alio Ernesto Kimura

Prof.Dr. Ricardo L. Silva e França

Prof.Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos

Pilares 3

1. INTRODUÇÃO

Pilares são elementos estruturais lineares, em geral verticais, cuja função é receber as

ações atuantes nos diversos níveis e conduzi-las até a fundação (figura 1). Junto com as

estruturas de fundação, os pilares constituem-se nos principais elementos estruturais de uma

construção, pois a ruína de um deles pode provocar danos globais, podendo acarretar até mesmo

o famigerado colapso progressivo.

Figura 1 – Pilar (GIONGO, 2002)

Pilares 4

Nos pilares de edifícios, em geral, o esforço predominante é a força normal de compressão.

Nas construções térreas sem paredes internas, como por exemplo os barracões industriais, as

forças verticais nos pilares são de pequena intensidade, predominando as forças horizontais

devidas ao vento. Nesses casos, o esforço principal é o momento fletor, com os pilares

funcionando como contrafortes.

Junto com as vigas, os pilares formam os pórticos, que resistem às ações verticais e

horizontais e garantem a estabilidade global da estrutura. As ações verticais são transferidas aos

pórticos pelas estruturas dos pavimentos e as ações horizontais decorrentes do vento são levadas

aos pórticos pelas paredes externas.

Figura 2 – Pórtico formado por vigas e pilares (GIONGO, 2002)

Outros elementos de contraventamento podem ser associados aos pórticos para dar maior

rigidez à estrutura. Os principais são os pórticos entreliçados, as paredes estruturais e os núcleos,

estes, em geral, situados no contorno da abertura para os elevadores, como mostra a Figura 3. As

lajes, com rigidez praticamente infinita no plano horizontal, dão travamento ao conjunto,

promovendo a distribuição dos esforços entre os elementos de contraventamento.

As estruturas dos edifícios podem ser classificadas, segundo sua rigidez, em

contraventadas e não-contraventadas.

As estruturas contraventadas são as que dispõem de uma subestrutura de

contraventamento suficientemente rígida para absorver praticamente todas as ações horizontais.

Os nós dessas estruturas em geral apresentam pequenos deslocamentos, podendo-se, assim,

Pilares 5

dispensar a consideração dos efeitos globais de segunda ordem, constituídos pelos esforços

adicionais advindos desses deslocamentos. Neste caso, a estrutura é dita indeslocável ou de nós

fixos. Os pilares abordados neste trabalho são admitidos de nós indeslocáveis.

As estruturas não-contraventadas, ao contrário, não possuem capacidade de resistir às

ações horizontais sem que os nós apresentem deslocamentos significativos. Portanto, os efeitos

globais de segunda ordem, sendo bastante expressivos, precisam ser levados em consideração no

dimensionamento das peças. As estruturas não-contraventadas são também conhecidas como

estruturas deslocáveis ou de nós móveis. A verificação da estabilidade da estrutura e a

consideração dos efeitos de segunda ordem serão apresentados oportunamente.

Figura 3 - Elementos de contraventamento (FUSCO, 1986)

Parede estrutural

Núcleo

Pórtico entreliçado

Pilares 6

Os esforços solicitantes nos pórticos podem ser determinados pelos processos conhecidos

da Estática das Estruturas, inclusive utilizando programas para computador.

2. CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS

2.1. COMPRIMENTO DE FLAMBAGEM

Denomina-se comprimento de flambagem el a distância entre os pontos de inflexão da

deformada do pilar, cujas posições dependem das condições de apoio. Os casos mais usuais estão

indicados na Figura 4.

N N

Ponto deInflexão

N

lePontos deInflexão

N

0,25l

l

le = 2l le = l le = 0,5 lle = 0,7 l

le

Figura 4 - Comprimento de flambagem (SCADELAI, 2004)

Segundo SCADELAI (2004), o comprimento equivalente de flambagem do pilar (le),

suposto vinculado em ambas extremidades, é o menor dos seguintes valores:

⎩⎨⎧ +

≤l

ll

h0e

lo é a distância entre as faces internas dos elementos estruturais, supostos horizontais, que

vinculam o pilar (Figura 5 5);

h é a altura da seção transversal do pilar, medida no plano da estrutura;

l é a distância entre os eixos dos elementos estruturais aos quais o pilar está vinculado.

Pilares 7

h l0

h/2

h/2

ll0 + h

Figura 5 - Distâncias lo e l (SCADELAI, 2004)

No caso de pilar engastado na base e livre no topo, le = 2l.

2.2. RAIO DE GIRAÇÃO

Sendo I o momento de inércia e A a área da seção transversal, o raio de giração é dado pela

expressão: AIi =

Para seções retangulares e circulares, que são as mais comuns, tem-se, respectivamente:

12hbI

3ret

⋅= ; hbAret ⋅=

64DI

4cir

⋅π= ;

4DA

2cir

⋅π=

resultando nos raios de giração:

12hiret = ;

4Dicir =

Pilares 8

2.3. ÍNDICE DE ESBELTEZ

O índice de esbeltez λ de um pilar não cintado é dado por: iel=λ .

Pode-se dizer que, quanto maior a esbeltez, maior a possibilidade do elemento comprimido

flambar.A convenção adotada para a determinação do índice de esbeltez, neste trabalho, está

mostrada na figura 6, onde é apresentado um exemplo para a determinação do índice de esbeltez

de uma seção retangular com relação à direção x. Sendo assim, xλ é a esbeltez relacionada à

possibilidade do pilar flambar e se deslocar na direção x. Resumindo: o índice x representa a

direção na qual o pilar vai se deslocar em decorrência da flambagem.

Figura 6 – Convenção adotada para o cálculo do índice de esbeltez

Com base na figura 6, tem-se que:

Analogamente, tem-se que: e

Portanto, com os valores dos raios de giração dados no item anterior, os índices de esbeltez

para seções retangulares e circulares são dados, respectivamente, por:

12hx

12hx

hx.hy

12hx.hy

i2

3

x ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

( ) 12.hx12hxi

ee

x

ex

lll===λ

12hy

i y = 12.hyi

e

y

ey

ll==λ

Pilares 9

12he

ret ⋅=λl

; D

4 ecir

l⋅=λ

onde h é dimensão da seção transversal paralela à direção em que o pilar vai se deslocar

pelo efeito da flambagem”.

2.4. DIMENSÕES MÍNIMAS

Este item foi inteiramente adaptado do trabalho de SCADELAI (2004)

Com o objetivo de evitar um desempenho inadequado e propiciar boas condições de

execução, a NBR 6118:2003, no seu item 13.2.3, estabelece que a seção transversal dos pilares,

qualquer que seja a sua forma, não deve apresentar dimensão menor que 19 cm. Em casos

especiais, permite-se a consideração de dimensões entre 19 cm e 12 cm, desde que no

dimensionamento se multipliquem as ações por um coeficiente adicional γn, indicado na

Tabela 1, onde:

xn h05,095,1 ⋅−=γ ,

sendo hx a menor dimensão da seção transversal do pilar, em cm (figura 7).

Tabela 1. Valores do coeficiente adicional γn em função de hx (NBR 6118:2003)

hx (cm) ≥ 19 18 17 16 15 14 13 12 γn 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35

Portanto, o coeficiente γn deve majorar os

esforços solicitantes finais de cálculo nos pilares,

quando de seu dimensionamento.

Todas as recomendações referentes aos pilares

são válidas nos casos em que a maior dimensão da

seção transversal não exceda cinco vezes a menor

dimensão (hy ≤ 5hx). Quando esta condição não for

satisfeita, o pilar deve ser tratado como pilar-parede.

Figura 7 – Notação adotada

Em qualquer caso, não se permite pilar com seção transversal de área inferior a 360 cm².

Pilares 10

3. CLASSIFICAÇÃO DOS PILARES

Os pilares podem ser classificados conforme as solicitações iniciais e com relação à

esbeltez .

3.1. CLASSIFICAÇÃO CONFORME AS SOLICITAÇÕES INICIAIS

Os pilares podem ser classificados de acordo com a solicitação inicial a que estão

submetidos.

Serão considerados pilares internos (ou interiores) aqueles submetidos a compressão

simples, ou seja, que não apresentam excentricidades iniciais. Estes pilares localizam-se no

interior do edifício, de modo que as lajes e as vigas que neles se apoiam têm continuidade nas

duas direções. Admite-se que as reações sobre os pilares sejam centradas e que os momentos

fletores a eles transmitidos sejam desprezíveis (figura 8).

Figura 8 – Pilar interno (BASTOS, 2005)

Nos pilares de borda (ou de extremidade), as solicitações iniciais são constituídas por

uma força normal de compressão e um momento fletor atuando no plano perpendicular à borda,

caracterizando uma flexão composta normal (Figura 9). Portanto, há uma excentricidade inicial

na direção perpendicular à borda. Este fato ocorre porque as lajes e a viga perpendiculares a esta

borda são interrompidas no pilar.

Pilares 11

Figura 9 – Pilar de borda ou de extremidade (BASTOS, 2005))

Pilares de canto são submetidos a flexão composta oblíqua. As excentricidades iniciais

ocorrem nas direções das bordas. As vigas e a laje são interrompidas no pilar nas duas direções,

nas quais são gerados momentos fletores, além da força normal de compressão, conduzindo a

uma situação inicial de flexão composta oblíqua (Figura 10). As excentricidades iniciais,

portanto, ocorrem nas direções das bordas.

Figura 10 – Pilar de canto (BASTOS, 2005)

3.2. CLASSIFICAÇÃO CONFORME A ESBELTEZ

De acordo com o índice de esbeltez (λ), os pilares podem ser classificados em:

Pilares 12

• pilares robustos ou pouco esbeltos → λ ≤ λ1

• pilares de esbeltez média → λ1 < λ ≤ 90

• pilares esbeltos ou muito esbeltos → 90 < λ ≤ 140

• pilares excessivamente esbeltos → 140 < λ ≤ 200

Segundo a NBR 6118:2003, os pilares devem ter índice de esbeltez menor ou igual a 200

(λ ≤ 200). Apenas no caso de postes com força normal menor que 0,1 fcd Ac, o índice pode ser

maior que 200.

Segundo a NBR 6118:2003, item 15.8.2, os esforços locais de 2a ordem em elementos

isolados podem ser desprezados quando o índice de esbeltez λ for menor que o valor limite λ1 .

O modo como se obtém o valor de λ1 será mostrado nos próximos itens.

4. EXCENTRICIDADES DE 1ª. ORDEM

4.1. EXCENTRICIDADE INICIAL

As excentricidades iniciais são provenientes da transmissão de momentos das vigas aos

pilares, uma vez que a ligação desses elementos estruturais é monolítica. Nos casos usuais,

admite-se que as excentricidades iniciais surgem nos pilares de extremidade e de canto, em

função da falta de continuidade das vigas (figura 11).

Com os diagramas de esforços de Força Normal e de Momento Fletor em cada tramo do

pilar, calculam-se as excentricidades iniciais no topo e na base, dividindo-se o valor do momento

fletor (M) pelo valor da força normal (N), conforme mostrado na figura 12:

NM

e topotopo,i = e

NMe base

base,i =

Para o estudo das cargas verticais, a NBR 6118:2003 permite o uso do modelo clássico de

viga contínua, simplesmente apoiada nos pilares.

O cálculo do momento atuante no topo e na base do pilar é realizado segundo esquema

estático apresentado na Figura 13.

Pilares 13

a)Carregamento b) Diagrama de momento fletor

c) Estrutura deformada

Figura 11 – Esquema da transmissão de momentos das vigas aos pilares

Figura 12 - Excentricidades iniciais no topo e na base do pilar (SILVA & PINHEIRO, 2002)

M N N

e = M / N

Pilares 14

lvig

l sup

2

2l inf

Figura 13 - Esquema estático

O valor do vão efetivo da viga ( vigal ) é dado pela seguinte expressão (figura 14):

21oviga aa ++= ll , onde

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎩⎨⎧

≤

⎩⎨⎧

≤

=

h3,02/t

a

h3,02/t

a

apoiosdosernasintfacesentredistância

22

11

ol

Pilar de Extremidade ou de Canto

Pilares 15

Figura 14 – Vão efetivo

Quando não for realizado o cálculo exato da influência da solidariedade dos pilares com a

viga, deve ser considerado, nos apoios extremos, momento fletor igual ao momento de

engastamento perfeito multiplicado pelos coeficientes estabelecidos na NBR 6118:2003 pelas

seguintes relações:

• na viga: supinfvig

supinfrrr

rr++

+ (1)

• no tramo superior do pilar:: supinfvig

suprrr

r++

(2)

• no tramo inferior do pilar: supinfvig

infrrr

r++

(3)

sendo ri a rigidez do elemento i no nó considerado, avaliada conforme indicado na Figura 13,

dada por:

i

ii

Ir

l=

Segundo SCADELAI (2004), deve-se atentar para o fato de que as eq. (1), (2) e (3),

dados pela NBR 6118:2003, não são válidos para o esquema estático apresentado na Figura 13,

presente na norma. Apesar de estar a favor da segurança, os coeficientes são os mesmos

utilizados pela NBR 6118:1978, quando os apoios extremos dos pilares eram considerados como

engaste e utilizava-se no cálculo todo o comprimento do pilar. Portanto, com essas alterações, os

coeficientes corretos seriam:

a) Apoio de vão extremo b) Apoio de vão intermediário

Pilares 16

• na viga: supinfvig

supinfr3r3r4

r3r3++

+

• no tramo superior do pilar:: supinfvig

supr3r3r4

r3++

• no tramo inferior do pilar: supinfvig

infr3r3r4

r3++

Nestas notas de aula, embora o alerta feito por SCADELAI (2004), serão adotadas as

expressões (1), (2) e (3), por estarem presentes na norma.

Resumindo, tem-se que:

a) Calcular o momento de engastamento perfeito (Meng) supondo a viga bi-engastada

(figura 15).

Figura 15 – Cálculo do Momento de engastamento perfeito da viga

Pilares 17

b) Distribuir o valor do Meng para a viga e para os pilares superior e inferior (Figura 16).

supinfvig

infenginfpilar rrr

rMM

++⋅=

supinfvig

supengsuppilar rrr

rMM

++⋅=

supinfvig

infinfengviga rrr

rrMM

+++

⋅=

Figura 16 – Cálculo dos momentos transferidos para o pilar (trechos superior e inferior)

Observação: quando a extremidade oposta do pilar for engastada (fundações), o

momento fletor nessa extremidade será suposto igual ao valor calculado por uma das fórmulas

anteriores dividido por (2).

As limitações relacionadas à aplicação deste modelo de cálculo encontram-se no

item 14.6.7. da NBR 6118:2003.

Os momentos topoM e baseM que atuam nas extremidades de um tramo do pilar

correspondem, respectivamente, ao .infpilarM do nó do topo e ao .suppilarM do nó da base do

pilar (figura 17).

Pilares 18

Figura 17 - Excentricidades iniciais no topo e na base do pilar

Entre as excentricidades topo,ie e base,ie , a maior delas é denominada iAe e é suposta

sempre positiva. A menor é denominada iBe e é negativa se elas forem de sentidos contrários

(Figura 18). A excentricidade inicial na seção central (ou intermediária) do pilar iCe , à meia

altura do tramo, é obtida por meio da seguinte expressão:

⎩⎨⎧

⋅

⋅+⋅≥

iA

iBiAiC e4,0

e4,0e6,0e

Pilares 19

Figura 18 – Excentricidade inicial no meio do vão

4.2. EXCENTRICIDADE ACIDENTAL

Segundo a NBR 6118:2003, na verificação do estado limite último das estruturas reticuladas,

devem ser consideradas as imperfeições do eixo dos elementos da estrutura descarregada. Essas

imperfeições podem ser divididas em dois grupos: imperfeições globais e imperfeições locais.

4.2.1. Imperfeições globais (item 11.3.3.4.1 da NBR 6118:2003)

Na análise global das estruturas reticuladas, sejam elas contraventadas ou não, deve ser

considerado um desaprumo dos elementos verticais, conforme Figura 19.

H1001

1 =θ

2n

111a

+θ=θ

H é a altura total da estrutura em

metros;

n é o número total de elementos

verticais contínuos; Figura 19 - Imperfeições geométricas globais

Pilares 20

θ1min = 1/400 para estruturas de nós fixos ou 1/300 para estruturas de nós móveis e

imperfeições locais.

θ1max = 1/200

Esse desaprumo não precisa ser superposto ao carregamento de vento. Entre os dois,

vento e desaprumo, pode ser considerado apenas o mais desfavorável (que provoca o maior

momento total na base de construção).

4.2.2. Imperfeições locais (item 11.3.3.4.2 da NBR 6118:2003)

Na análise local de elementos dessas estruturas reticuladas, devem também ser levados

em conta efeitos de imperfeições geométricas locais. Para a verificação de um lance de pilar

deve ser considerado o efeito do desaprumo ou da falta de retilinidade do eixo do pilar (figura

20). Admite-se que, nos casos usuais, a consideração da falta de retilinidade seja suficiente.

Figura 20 – Imperfeições geométricas locais

Assim, as excentricidades acidentais (ea) podem ser obtidas pelas expressões:

2e 1a l⋅θ= (falta de retilinidade, na região central do pilar) (4a)

l⋅θ= 1ae (desaprumo, no topo do pilar) (4b)

Pilares 21

A norma admite que, nos casos usuais, a consideração da falta de retilinidade é suficiente.

Conforme colocado por Puel e Banki (2004), a NBR 6118:2003 não utiliza a denominação

"excentricidade acidental", mas, como o meio técnico está habituado a essa abordagem, pode-se

facilmente definir ea como conseqüência das imperfeições geométricas locais calculadas de

acordo a expressão (4), conforme o item 11.3.3.4.2 da norma.

4.3. MOMENTO MÍNIMO (excentricidade mínima)

Em estruturas reticulares, a NBR 6118:2003 permite que o efeito das imperfeições

geométricas locais nos pilares seja substituído pela consideração de um momento mínimo de 1ª

ordem, conforme o item 11.3.3.4.3:

( )h03,0015,0NM dmin,d1 += , onde: (5)

h = altura total da seção transversal na direção considerada, em metros.

Segundo PUEL & BANKI (2004), ainda não há consenso total sobre a consideração do

momento mínimo de 1ª ordem em estruturas reticulares, cabendo ao projetista interpretar as

prescrições da NBR 6118:2003.

A esse momento mínimo devem ser acrescidos os momentos de 2a ordem.

5. ESBELTEZ LIMITE ( λ 1 )

A esbeltez limite corresponde ao valor da esbeltez a partir do qual os efeitos de 2a ordem

provocam uma redução da capacidade resistente do pilar no estado limite último, quando

comparada com a capacidade resistente obtida de acordo com a teoria de 1a ordem. Essa redução

é definida arbitrariamente, não devendo ser superior a 10%, segundo a NBR 6118:2003. Os

principais fatores que influenciam essa redução da capacidade resistente são:

• a excentricidade relativa de 1a ordem (e1/h);

• a vinculação dos extremos do pilar isolado;

• a magnitude e a forma do diagrama de momentos de 1a ordem.

Pilares 22

O valor da esbeltez limite é dado pela expressão: b

11

h/e5,1225α

+=λ (6)

com a restrição: 9035 1 ≤λ≤ , onde:

h/e1 é a excentricidade relativa de 1° ordem (não inclui a excentricidade acidental);

αb é um coeficiente que depende da distribuição de momentos no pilar.

A NBR 6118:2003 não deixa claro como se obtém o valor de e1, utilizado no cálculo

de λ1.

Com base no trabalho desenvolvido pelo engenheiro Leonardo Araújo dos Santos, o valor

de e1, utilizado no cálculo de λ1, deve ser tomado como sendo igual a eic.

Já segundo o eng. Murilo Scadelai, na dúvida, pode-se admitir o valor de e1, utilizado no

cálculo de λ1, como sendo igual ao menor valor da excentricidade de 1a ordem no trecho

considerado.

Neste trabalho, será adotada a recomendação do eng. Leonardo Araújo dos Santos.

O valor de αb deve ser obtido de acordo com as seguintes situações:

a) Para pilares biapoiados ou em balanço com momentos menores (ou iguais) que o momento

mínimo, estabelecido pela expressão (5): 0,1b =α (7)

b) Para pilares biapoiados sem cargas transversais, com pelo menos um dos momentos que

atuam nas extremidades do pilar sendo maior que o momento mínimo:

40,0MM

40,060,0A

Bb ≥+=α , onde: (8)

Pilares 23

MA e MB são os momentos solicitantes de 1° ordem nas extremidades do pilar, gerados a partir

das excentricidades iniciais. Adota-se para MA o maior valor absoluto entre os dois momentos de

extremidade. Adota-se o sinal positivo para MB, se este tracionar a mesma face que MA

(curvatura simples), e negativo em caso contrário (curvatura dupla), conforme mostrado na

figura 21.

MA

MB

MB

MA= positivo

MM

M

Anegativo

A

=B

BM

Figura 21: Curvaturas simples e dupla dos pilares – cálculo de αb

c) Para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo da altura: 0,1b =α (8)

d) Para pilares em balanço: 85,0MM20,080,0

A

Cb ≥+=α (9)

onde MA é o momento de 1° ordem no engaste e MC é o momento de 1° ordem no meio do pilar

em balanço.

6. EXCENTRICIDADE DE 2ª. ORDEM

Nos pilares considerados isoladamente (consideração válida para estruturas de nós fixos),

a excentricidade de 2a ordem varia ao longo da reta que liga os seus extremos, nestes se

anulando. A Figura 22 mostra a variação desta excentricidade para os pilares com curvatura

única e reversa.

Pilares 24

e1b

e1a

e2

Nd

Nd

Nd

Nd

e1a

e1b

e2

Figura 22 - Pilar com efeito de 2a ordem

em curvatura única ( 0ee

ia

ib > ) e reversa ( 0ee

ia

ib < )

A NBR 6118:2003, em seu item 15.8.3.3 afirma que “a determinação dos efeitos locais

de 2ª ordem pode ser feita por métodos aproximados, como o do pilar padrão e do pilar padrão

melhorado”. Para tal, explicita dois processos:

• Método do pilar padrão com curvatura aproximada (15.8.3.3.2)

• Método do pilar padrão com rigidez κ aproximada (15.8.3.3.3)

Conforme colocado por BANKI (2004), ambos são válidos dentro dos mesmos limites,

mas o método da rigidez aproximada pressupõe seção retangular constante, o que o torna válido

em uma faixa mais restrita que o método da curvatura aproximada.

Por outro lado, no item 15.8.3.3.5 da NBR 6118:2003, (que trata da flexão composta

oblíqua), a norma afirma que “quando a esbeltez de um pilar de seção retangular submetido à

flexão composta oblíqua for menor que 90 nas duas direções principais, permite-se aplicar o

processo aproximado descrito em 15.8.3.3.3 simultaneamente em cada uma das duas direções”.

Assim, na situação geral de flexão composta oblíqua, à qual estão submetidos, em maior ou

Pilares 25

menor grau, todos os pilares de uma edificação, o processo a utilizar deve ser o da rigidez

aproximada.

6.1. MÉTODO DO PILAR PADRÃO COM CURVATURA APROXIMADA

Pode ser empregado no dimensionamento de pilares com λ ≤ 90, com seção constante e

armadura simétrica e constante ao longo do seu eixo. Este método aplica-se somente ao caso de

flexão composta normal.

A não-linearidade geométrica é considerada de forma aproximada, supondo-se que a

deformada da barra possa ser representada por uma curva senoidal. A não-linearidade física é

considerada por uma expressão aproximada da curvatura na seção crítica.

O momento total máximo no pilar, ou seja, a soma dos momentos de 1° ordem com os

momentos de 2° ordem, deve ser calculado pela expressão:

A,d12e

dA,d1btot,d Mr1

10NMM ≥+α=

l (11)

com

( ) h005,0

5,0h005,0

r1

≤+ν

= ; cdc

dfA

N=ν ; min,d1A,d1 MM ≥

onde

αb é o mesmo coeficiente definido no item 5;

A,d1M é o valor de cálculo do momento de 1° ordem MA, definido no item 5;

h é a altura da seção do pilar na direção analisada;

ν é a força normal adimensional;

fcd é a resistência a compressão de cálculo do concreto;

min,d1M possui o mesmo significado da expressão (5).

Pilares 26

6.2. MÉTODO DO PILAR PADRÃO COM RIGIDEZ ( κ) APROXIMADA

Pode ser empregado no dimensionamento de pilares com λ ≤ 90, com seção

RETANGULAR constante e armadura simétrica e constante ao longo do seu eixo. Este método

pode ser aplicado em pilares submetidos à flexão composta oblíqua, analisando-se cada uma das

duas direções principais, simultaneamente.

A não-linearidade geométrica é considerada de forma aproximada, supondo-se que a

deformada da barra seja senoidal. A não-linearidade física é considerada por uma expressão

aproximada da rigidez.

O valor de cálculo do momento total máximo no pilar (soma do momento de 1° ordem

com o momento de 2° ordem) deve ser calculado pela expressão:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≥

νκλ

−

α=

,mind1

A,1d2

A,1dbtot,d M

M

1201

MM (12)

sendo:

• Md1,A o valor de cálculo do momento MA

• κ a rigidez adimensional, calculada aproximadamente por:

ν⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=κ

d

tot,dN.h

M5132 (13)

As demais variáveis possuem o mesmo significado do método anterior. Usualmente, 2 ou 3

iterações são suficientes quando se optar por um processo iterativo.

Para evitar o processo iterativo, o eng. Leonardo de Araújo dos Santos apresenta a

formulação mostrada a seguir.

A equação que fornece o valor do momento total é:

( ) ( ) 0cM.bM.a tot,d2

tot,d =++ , onde:

Pilares 27

• a = 5 h, onde h é a altura da seção do pilar na direção analisada;

• ( ) ( )c

2ed

d2 M.h.5

320.N

N.hb −⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=

l

onde Mc = momento a ser amplificado pelo

efeito de 2ª. ordem = )M(M. min,1dAb ≥α

• c2

d M.h.Nc −=

Resolvendo a equação do segundo grau, tem-se, como raiz positiva, o seguinte valor:

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎩⎨⎧

≥−+−

=min,d1

A2

tot,d MM

a.2

c.a.4bbM

6.3. SITUAÇÕES DE CÁLCULO

Neste item, serão mostradas as situações que devem ser consideradas no dimensionamento da

seção transversal do pilar.

6.3.1 Considerando Momentos Mínimos

a) Direção x:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=λ>λ

⎩⎨⎧

==

λ≤λ

0M

MMentãoSe

0MMM

entãoSe

y

total,dxxx1x

y

xmind1xx1x

(1ª situação de cálculo)

b) Direção y:

⎩⎨⎧

==

λ>λ

⎩⎨⎧

==

λ≤λ

total,dyy

xy1y

ymind1y

xy1y

MM0M

entãoSe

MM0M

entãoSe

(2ª situação de cálculo)

Obs.: neste item, Md,total é calculado em função de M1dmin

Pilares 28

6.3.2 Considerando as Solicitações Iniciais

a) Compressão Simples → dimensionar usando momentos mínimos.

b) Flexão Composta Normal

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

λ>λ

λ≤λ

>

≤

)cálculodesituação3(

MpeloensionardimentãoSe)cálculodesituação3(

MpeloensionardimentãoSe

entãoMMSe

MínimosMomentosusandoensionardimentãoMMSe

atotal,d1

aA1

mind1A

mind1A

c) Flexão Composta Oblíqua

)cálculodesituação3(MM

MMentãoouSe

.)cálcde.sit5(e.NMM

e.NMM)central(ermediáriaintSeção

)cálculodesituação4(MM

MMbasedeSeção

)cálculodesituação3(MM

MMtopodeSeção

:situações3analisarentãoeSe

a

total,dyy

total,dxx1yy1xx

a

y,icdint,dyy

x,icdint,dxx

a

base,dyy

base,dxx

a

topo,dyy

topo,dxx

1yy1xx

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=λ>λλ>λ

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

==

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

λ≤λλ≤λ

Pilares 29

7. EXCENTRICIDADE CAUSADA PELA FLUÊNCIA (ec)

A excentricidade causada pela fluência do concreto ec deve ser considerada em pilares

com λ > 90. Esta excentricidade deve ser somada à excentricidade de 1° ordem. Os efeitos da

fluência podem ser desprezados em pilares com índices de esbeltez menores que 90.

8. EXCENTRICIDADE DE LOCAÇÃO (OU DE FORMA)

Muitas vezes, para adequar a posição dos

elementos estruturais em função do projeto

arquitetônico, os projetistas estruturais são

obrigados a coincidir as faces internas ou externas

das vigas com as faces dos pilares que as apóiam.

Quando tal procedimento é adotado, os eixos das

vigas não passam pelo centro de gravidade da

seção do pilar (figura 23), surgindo assim

excentricidades denominadas excentricidades de

locação (ou excentricidades de forma).

Figura 23: Excentricidades de forma em

pilares – AGUIAR (2000).

As excentricidades de forma, de maneira geral, não são consideradas no

dimensionamento dos pilares. O momento fletor produzido pelas excentricidades no nível de

cada andar é equilibrado por um binário, produzindo, em cada piso, pares de forças de sentidos

contrários e de mesma ordem de grandeza, que tendem a se anular (figura 24).

Ao nível da fundação, a não

consideração da excentricidade de forma se

justifica pelas elevadas forças normais

atuantes, cujos acréscimos de excentricidades

são pequenos, não alterando os resultados do

dimensionamento. No nível da cobertura, os

pilares são poucos solicitados e dispõem de

uma armadura mínima capaz de absorver o

acréscimo de esforços causados pelas

excentricidades de forma, não sendo

necessário portanto considerá-la.

a) b)

Figura 24 - Excentricidades de forma e

binários correspondentes

Pilares 30

9. DETALHAMENTO DE PILARES DE CONCRETO ARMADO

9.1 DIMENSÕES MÍNIMAS DOS PILARES

Conforme já visto no item 2.4, a menor dimensão da seção transversal do pilar não deve

ser inferior a 19 cm. Esta recomendação visa evitar um comportamento inaceitável para os

elementos estruturais e propiciar condições adequadas de execução.

Em casos especiais, permite-se que a menor dimensão do pilar esteja compreendida entre

19 cm e 12 cm. Neste casos, deve-se multiplicar os esforços finais de cálculo empregados no

dimensionamento dos pilares por um coeficiente adicional γn, de acordo com a tabela 1, já

mostrada no item 2.4.

9.2 COBRIMENTO DA ARMADURA

A Norma recomenda que as armaduras tenham um determinado cobrimento nominal,

obtido por meio de um cobrimento mínimo (cmin) acrescido de uma tolerância de execução (∆c).

Assim, as dimensões das armaduras e os espaçadores devem respeitar os cobrimentos nominais,

estabelecidos na Tabela 2, para ∆c = 10 mm.

nom minc c c= + ∆

Tabela 2 -. Valores de cnom em pilares de concreto armado para ∆c = 10 mm. (NBR 6118:2003)

Classe de agressividade I II III IV

cnom ( mm) 25 30 40 50

As classes de agressividade, que segundo a NBR 6118:2003 estão relacionadas às ações

físicas e químicas que atuam sobre as estruturas de concreto, independentemente das ações

mecânicas, das variações volumétricas de origem térmica, da retração hidráulica e outras

previstas no dimensionamento das estruturas de concreto podem ser avaliadas segundo a

Tabela 3.

Pilares 31

Tabela 3 - Classes de agressividade ambiental (NBR 6118:2003)

Classe de agressividade

ambiental

Agressividade Classificação geral do tipo de

ambiente para efeito de projeto

Risco de deterioração

da estrutura

Rural I Fraca Submersa

Insignificante

II Moderada Urbana Pequeno MarinhaIII Forte Industrial

Grande

IndustrialIV Muito forte Respingos de maré

Elevado

Quando houver um adequado controle de qualidade e rígidos limites de tolerância da

variabilidade das medidas durante a execução, pode ser adotado o valor ∆c = 5 mm, mas a

exigência de controle rigoroso deve ser explicitada nos desenhos de projeto. Permite-se, então,

redução de 5 mm dos cobrimentos nominais prescritos na Tabela 2.

Os cobrimentos são sempre referidos à superfície da armadura externa, em geral à face

externa do estribo.

O cobrimento nominal deve ser maior que o diâmetro da barra.

A dimensão máxima característica do agregado graúdo utilizado não pode superar em

20% o cobrimento nominal, ou seja:

nomcd ⋅≤ 2,1max

9.3 ARMADURAS LONGITUDINAIS

As armaduras longitudinais colaboram para resistir à compressão, diminuindo a seção do

pilar, e também resistem às tensões de tração. Além disso, têm a função de diminuir as

deformações do pilar, especialmente as decorrentes da retração e da fluência.

Pilares 32

9.3.1 Taxa geométrica mínima e máxima

Inicialmente, define-se taxa geométrica de armadura longitudinal do pilar pela seguinte

relação: c

s

AA

=ρ , onde As é a soma das áreas das seções transversais das barras

longitudinais e Ac é a área da seção transversal do pilar.

Segundo o item 17.3.5.3 da NBR 6118:2003, a taxa de armadura longitudinal mínima

deve ser igual a %4,0ff15,0yd

cdmin ≥ν=ρ , com

cdc

d

fAN

=ν

A tabela 4 fornece os valores para ρmin , no caso de aço CA-50 e coeficientes de

ponderação da resistência 4,1c =γ e 15,1s =γ .

Tabela 4: Valores de ρmin em pilares (%)

Valores de fck 20 25 30 35 40 45 50

Valores de ν

0,1 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400

0,2 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400

0,3 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400

0,4 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,444 0,493

0,5 0,400 0,400 0,400 0,431 0,493 0,554 0,616

0,6 0,400 0,400 0,444 0,518 0,591 0,665 0,739

0,7 0,400 0,431 0,518 0,604 0,690 0,776 0,863

0,8 0,400 0,493 0,591 0,690 0,789 0,887 0,986

Aço CA-50; 4,1c =γ e 15,1s =γ

A taxa máxima de armadura em pilares, considerando-se inclusive a sobreposição de

armadura em trechos de emenda, deve ser de 8%. Assim, tem-se que: %8min ≤≤ ρρ

Para regiões fora da região dos trechos das emendas: %4min ≤ρ≤ρ

Pilares 33

9.3.2 Diâmetro mínimo das barras

O diâmetro das barras longitudinais não deve ser inferior a 10 mm e nem superior a 1/8

da menor dimensão da transversal (item 18.4.2.1 da NBR 6118:2003):

8h

mm10 x≤φ≤ l

9.3.3 Quantidade mínima de barras

A NBR 6118:2003, no item 18.4.2.2, estabelece que as armaduras longitudinais devem

ser dispostas de forma a garantir a adequada resistência do elemento estrutural. Em seções

poligonais, deve existir pelo menos uma barra em cada vértice dos estribos; em seções circulares,

no mínimo seis barras distribuídas ao longo do perímetro. A figura 25 apresenta o número

mínimo de barras para alguns tipos de seção.

Figura 25 - Número mínimo de barras

9.3.4 Espaçamento das barras longitudinais

Para garantir boa concretagem, é necessário que o concreto tenha um mínimo de espaço

para passar entre as armaduras longitudinais. Por esse motivo impõem-se limitações ao

espaçamento livre entre as barras da armadura longitudinal (a), o qual deve ser igual ou superior

ao maior dos seguintes valores:

Pilares 34

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅φ≥

agregado) do máximo (diâmetro d1,2

mm 20a

max

l

Esses valores se aplicam também às regiões de emenda por traspasse (figura 26).

a

a a

Øl

Sem em endas por traspasse

lb

a Øl

Com em endas por traspasse

Figura 26 - Espaçamento entre as barras da armadura longitudinal

Quando estiver previsto no plano de execução da concretagem o adensamento através de

abertura lateral na face da fôrma, o espaçamento das armaduras deve ser suficiente para permitir

a passagem do vibrador.

O espaçamento máximo sl entre os eixos das barras deve ser menor ou igual a duas vezes

a menor dimensão da seção no trecho considerado, sem exceder 40 cm, ou seja:

⎩⎨⎧

≤cm40

h2s xl

Para LEONHARDT & MÖNNIG (1978) esse espaçamento máximo não deve ser maior

do que 30 cm. Entretanto, para pilares com dimensões até 40 cm, basta que existam as barras

longitudinais nos cantos.

Pilares 35

9.4 ARMADURAS TRANSVERSAIS

A armadura transversal de pilares geralmente é constituída por estribos e deve ser

colocada em toda a altura do pilar, sendo obrigatória sua colocação na região de cruzamento com

vigas e lajes (item 18.4.3 da NBR 6118:2003).

Os estribos devem ser fechados, geralmente em torno das barras de canto, ancorados com

ganchos que se transpassam, colocados em posições alternadas.

Os estribos têm as seguintes funções:

a) garantir o posicionamento e impedir a flambagem das barras longitudinais;

b) garantir a costura das emendas de barras longitudinais;

c) confinar o concreto e obter uma peça mais resistente ou dúctil.

9.4.1 Diâmetro dos estribos

De acordo com a NBR 6118:2003, o diâmetro dos estribos em pilares não deve ser

inferior a 5 mm nem a 1/4 do diâmetro da barra isolada ou do diâmetro equivalente do feixe que

constitui a armadura longitudinal, ou seja:

⎩⎨⎧

≥44

5

nt ou

mmφφ

φl

Permite-se adotar o diâmetro dos estribos 4t lφ<φ , desde que as armaduras sejam

constituídas do mesmo tipo de aço e o espaçamento longitudinal entre estribos, medido na

direção do eixo do pilar, seja igual ou inferior a:

2t

maxyk

1s 90.000f

⎛ ⎞φ= ⋅ ⋅⎜ ⎟φ⎝ ⎠l

, com fyk em MPa

9.4.2 Espaçamento longitudinal entre estribos

O espaçamento longitudinal entre estribos, medido na direção do eixo do pilar, deve ser

igual ou inferior ao menor dos seguintes valores:

Pilares 36

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−φ−φ

≤

25CA para 25 50CA para 12

seção da dimensãomenor cm 20

st

l

l

Em pilares com momentos nas extremidades (portanto, nos pilares em geral), e nos pré-

moldados, LEONHARDT & MÖNNIG (1978) recomendam que se disponham, nas suas

extremidades, 2 a 3 estribos com espaçamento igual a st/2 e st/4 (Figura 27).

Figura 27 - Estribos adicionais nos extremos e ganchos alternados

(LEONHARDT & MÖNNIG, 1978)

9.4.3 Proteção contra a flambagem das barras longitudinais

Sempre que houver possibilidade de flambagem das barras da armadura, situadas junto à

superfície, devem ser tomadas precauções para evitá-la. A NBR 6118:2003 (item 18.2.4)

considera que os estribos poligonais garantem contra flambagem as barras longitudinais situadas

em seus cantos e as por eles abrangidas, situadas no máximo à distância de 20φt do canto, se

nesse trecho de comprimento 20φt não houver mais de duas barras, não contando a do canto

(Figura 28).

Pilares 37

tt t t t t

Figura 28 - Proteção contra a flambagem das barras longitudinais

(LEONHARDT & MÖNNIG, 1978)

Quando houver mais de duas barras no trecho de comprimento 20φt ou barras fora dele,

deve haver estribos suplementares, conforme figura 29.

Se o estribo suplementar for constituído por uma barra reta, terminada em ganchos, ele

deve atravessar a seção do pilar e os seus ganchos devem envolver a barra longitudinal.

(um estribo poligonal e uma barra com ganchos)

(dois estribos poligonais)

Figura 29 - Estribos suplementares para proteção contra flambagem das barras longitudinais

Se houver mais de uma barra longitudinal a ser protegida junto à extremidade do estribo

suplementar, seu gancho deve envolver um estribo principal em um ponto junto a uma das

barras, o que deve ser indicado no projeto de modo bem destacado (Figura 30). Essa amarra

garantirá contra a flambagem essa barra encostada e mais duas no máximo para cada lado, não

distantes dela mais de 20φt. No caso da utilização dessas amarras, para que o cobrimento seja

respeitado, é necessário prever uma distância maior entre a superfície do estribo e a face do pilar.

Pilares 38

20φ t 20φ tt20φ

tφ φtφttφ

Gancho envolvendo a barra longitudinal

Gancho envolvendo um estribo principal

Figura 30 - Formas de proteger barras intermediárias contra a flambagem

Na Figura 31 são mostrados alguns exemplos de arranjos de estribos que podem ser feitos

para satisfazer as exigências da Norma.

Figura 31 - Exemplos de arranjos dos estribos

Pilares 39

É oportuno comentar que a presença de estribos suplementares pode dificultar a

concretagem. Uma alternativa seria concentrar as barras nos cantos, para evitar os estribos

suplementares.

A NBR 6118:2003 comenta ainda que, no caso de estribos curvilíneos cuja concavidade

esteja voltada para o interior do concreto, não há necessidade de estribos suplementares. Se as

seções das barras longitudinais se situarem em uma curva de concavidade voltada para fora do

concreto, cada barra longitudinal deve ser ancorada pelo gancho de um estribo reto ou pelo canto

de um estribo poligonal.

9.5 EMENDA DAS BARRAS LONGITUDINAIS DO PILAR

A emenda por traspasse é largamente empregada por seu menor custo, além da facilidade

de execução. Entretanto, o projeto de revisão da NBR 6118:2003 recomenda que a emenda por

traspasse seja evitada para diâmetros de barras maiores que 32 mm, e também para elementos

estruturais com seção transversal totalmente tracionada, como os tirantes.

O comprimento de traspasse nas barras longitudinais comprimidas é determinado pela

seguinte expressão:

min,ocnec,boc lll ≥=

onde

nec,bl é o comprimento de ancoragem necessário;

min,ocl é o maior valor entre b6,0 l , 15φ e 200mm;

bl é o comprimento de ancoragem básico.

A figura 32 contém um exemplo de emenda por traspasse em pilares de seção constante,

onde as barras longitudinais do pilar inferior devem ser interrompidas a uma altura acima do piso

igual ao comprimento de traspasse.

Pilares 40

oc

trasp

asse

AA

Seção A-A

Figura 32 - Emendas por traspasse das barras longitudinais dos pilares

Pilares 41

RESUMO - SITUAÇÕES DE CÁLCULO

66..33..11 CCoonnssiiddeerraannddoo MMoommeennttooss MMíínniimmooss

a) Direção x:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=λ>λ

⎩⎨⎧

==

λ≤λ

0M

MMentãoSe

0MMM

entãoSe

y

total,dxxx1x

y

xmind1xx1x

(1ª situação de cálculo)

b) Direção y:

⎩⎨⎧

==

λ>λ

⎩⎨⎧

==

λ≤λ

total,dyy

xy1y

ymind1y

xy1y

MM0M

entãoSe

MM0M

entãoSe

(2ª situação de cálculo) Obs.: neste item, Md,total é calculado em função de M1dmin 66..33..22 CCoonnssiiddeerraannddoo aass SSoolliicciittaaççõõeess IInniicciiaaiiss

a) Compressão Simples → dimensionar usando momentos mínimos.

b) Flexão Composta Normal

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

λ>λ

λ≤λ

>

≤

)cálculodesituação3(

MpeloensionardimentãoSe)cálculodesituação3(

MpeloensionardimentãoSe

entãoMMSe

MínimosMomentosusandoensionardimentãoMMSe

atotal,d1

aA1

mind1A

mind1A

c) Flexão Composta Oblíqua

)cálculodesituação3(MM

MMentãoouSe

.)cálcde.sit5(e.NMM

e.NMM)central(ermediáriaintSeção

)cálculodesituação4(MM

MMbasedeSeção

)cálculodesituação3(MM

MMtopodeSeção

:situações3analisarentãoeSe

a

total,dyy

total,dxx1yy1xx

a

y,icdint,dyy

x,icdint,dxx

a

base,dyy

base,dxx

a

topo,dyy

topo,dxx

1yy1xx

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=λ>λλ>λ

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

==

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

λ≤λλ≤λ