DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Representação no Domínio do Tempo de Sistemas...
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Sistemas e Sinais SLITs
Representação no Domínio do Tempo de Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (SLITs)
Representação no Domínio do Tempo de Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (SLITs)
Resposta ImpulsionalDefinição; Resposta no tempo de um SLIT descrito pela resposta impulsional:
soma e integral de convolução;Propriedades dos SLITs e sua relação com a resposta impulsional
Sistema com e sem memória; Causalidade; Estabilidade; Resposta ao escalão unitário vs. resposta impulsional.
Equações Diferenciais e às Diferenças.Resolução de equações diferenciais e às diferenças;Diagrama de blocos.
Modelo de EstadoDefinição; Transformações de semelhança; Diagonalização;Solução da equação de estado;Cálculo da matriz de transição; Resposta impulsional.
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Sistemas e Sinais SLITs
impulso unitário discreto resposta impulsional
Resposta impulsional resposta no tempo do SLIT quando a entrada é um impulso unitário
SLIT discreto n nh
impulso unitário de Dirac resposta impulsional
t SLIT contínuo thSLIT
Exemplo
SLIT nx 1 nxnxny
1 nnnh
n4 02 42
1… …
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Sistemas e Sinais SLITs
Resposta no tempo SLIT discretoSLIT discreto
nx ?ny nh
O SLIT é invariante no tempo
knhknnhn
O SLIT é linear
inteiroknhn kk
k
kkk
kk nhanynanx
k
kk
k knhanyknanx
knhnhknn kk Mas
k
knkxnx
nhnxknhkxnyk
(soma de convolução)
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Sistemas e Sinais SLITs
0n
1n
Resposta no tempo
k
knhkxnhnxny
knhkunhnunyk
11
1;0
0;1
k
k
knhnyk
0
hn
nunx 1 ?ny nh
nunhn
12
1
Exemplo
h
2
1
3 1 0 1 2 3
12
1
u
n
0;2
11;0
0
n
nn
nun
10 2
1
nu
n
1
1
21
1
21
1
nun
1
1
2
112
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Sistemas e Sinais SLITs
Propriedades da soma de convolução
Comutativa:Comutativa: nxnhnhnx
k
knhkxnhnx
hnx
nxh nxnh
Associativa:Associativa: nhnhnxnhnhnx 2121
k
knhknhkxnhnhnx 2121
k
knhhkx
21
m
k m
mnhkmhkx 21
m k
mnhkmhkx 21
m
mnhmhmx 21 nhnhnx 21
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Sistemas e Sinais SLITs
Propriedades da soma de convolução SLITs em sérieSLITs em série
ny nh2 nh1
nw nx nhnhnxnhnwny 212
A convolução é associativa
nhnhnxny 21 nx ny nhnh 21
A convolução é comutativa
nhnhnxny 12 nx ny nhnh 12
A convolução é associativa
nhnhnxny 12 ny nh1 nh2
nz nx
nz
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Sistemas e Sinais SLITs
Propriedades da soma de convolução
Distributiva em relação à adição:Distributiva em relação à adição: nhnxnhnxnhnhnx 2121
nhnxnhnx
knhkxknhkxknhknhkxnhnhnxkkk
21
212121
SLITs em paraleloSLITs em paralelo
ny
nh2
nh1
nx
ny1
ny2
nhnxnhnxnynyny 2121
A convolução é distributiva
nhnhnxny 21 nx ny nhnh 21
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Sistemas e Sinais SLITs
Resposta no tempo SLIT contínuoSLIT contínuo
tx ?ty th
dthxty
dtxtx
integral de convolução
thtx
O integral de convolução é: comutativo; associativo; distributivo em relação à adição.
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Sistemas e Sinais SLITs
0t
0t
Resposta no tempo dthxthtxty
dthuthtuty 11
0;0
0;1
0
dthty
d
d
dh
t
tutx 1 ?ty th
teth
Exemplo
0;
0;0
0tdede
tdet
t
1
dht
h
1
0
e e-
0;2
0;
te
tet
t
tuetue tt11 2
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Sistemas e Sinais SLITs
presente da entrada
passado da entrada
futuro da entrada
Propriedades dos SLITsPropriedades dos SLITs
1. Memória1. Memória
Um sistema diz-se sem memória quando a saída num dado instante de tempodepende apenas da entrada nesse instante de tempo.
x xhy h
1
1
0kk
knxkhnxhknxkh
k
knxkhnxnhny
SLIT discreto sem memóriaSLIT discreto sem memória 0 0
0,00,0 khkknxkhk
nKn
nKnh
0;0
0;
SLIT contínuo sem memóriaSLIT contínuo sem memória
tKth
tv
ti R
tRitv ti
tRthtti
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Sistemas e Sinais SLITs
Propriedades dos SLITsPropriedades dos SLITs x xhy h
0,0 knxkhk
SLIT contínuo causalSLIT contínuo causal
0,0 tht
2. Causalidade2. Causalidade
Um sistema diz-se causal quando a saída num dado instante de tempo dependeapenas da entrada nesse instante de tempo e/ou de instantes anteriores.
0,0 nhn
tv
ti
C
tdi
Ctv 1 ti
t
tuC
dC
thtti 1
11
presente da entrada
passado da entrada
futuro da entrada
1
1
0kk
knxkhnxhknxkh
k
knxkhnxnhny
SLIT discreto causalSLIT discreto causal 0
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Sistemas e Sinais SLITs
Propriedades dos SLITsPropriedades dos SLITs x xhy h
k
knxkhny
xB
3. Estabilidade3. Estabilidade
Um sistema diz-se estável (de entrada limitada/saída limitada) quando qualquer entrada limitada dá origem a uma saída limitada, i.e.,
yyxx BnyBnBnxBn :0,:0,
SLIT discreto estávelSLIT discreto estável
xBnx
k
knxkh
yk
x BkhB
n
nh
A resposta impulsional de um SLIT discreto estável é uma função absolutamente somável, i.e.
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Sistemas e Sinais SLITs
Propriedades dos SLITsPropriedades dos SLITs
n
n
n
nuanh 1
n
nhSLIT discreto estável
nx ny nh
Exemplo
nuanh n1
00
||n
n
n
n aa
1;
1;1
1
a
aanh
n
O SLIT é estável quando |a|<1 porque h(n) é absolutamente somável.
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Propriedades dos SLITsPropriedades dos SLITs x xhy h
3. Estabilidade3. Estabilidade
dtth
A resposta impulsional de um SLIT contínuo estável é uma função absolutamente integrável, i.e.
tx ty th
Exemplo
tueth t1
dttuedtth t
1
0
dte t
0dte t
0
te 1lim1
t
te
0;1
0;
O SLIT é estável quando >0 porque h(t) é absolutamente integrável.
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Resposta ao escalão unitário vs. resposta impulsionalResposta ao escalão unitário vs. resposta impulsional
SLIT discretoSLIT discreto
nu 1 ny ?nh
resposta ao escalão unitário
1 nynynh 111 nunun
Exemplo
y(n)
n320-1-2-3 1
1 1
2
… …
y(n-1)
2
1 1… …
h(n)
n3
2
0-1-2-3
1
1 1… …
-1-1
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Resposta ao escalão unitário vs. resposta impulsionalResposta ao escalão unitário vs. resposta impulsional
SLIT contínuoSLIT contínuo
tu 1 ty ?th
resposta ao escalão unitário
tydt
dth tu
dt
dt 1
Exemplo tuetytu t1
21 5
tuedt
dty
dt
dth t
125 tu
dt
detue tt
12
12 510
t
tetue tt 21
2 510
te 0
ttueth t 510 12
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Equações diferenciais
tvdt
dCti CC
txtvtv CR
tvdt
dRCtiRtv CCR
)(11
txRC
tvRC
tvdt
dCC
Sistema de 1ª ordem
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Resolução de equações diferenciais
Sistemacontínuo
ty tx
)(txtyatydt
d
00 yy
tutKtx 10cos)( Sinal de entrada:
Modelo:
Condição inicial:
?
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Resolução de equações diferenciais
tytyty ph
Solução homogénea Solução particular
0 taytydt
dhh
sth eAty
?
?
tuKe
tutKtxtj
1
10
0Re
cos
tueYty tjpp 1
0Re
?
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Sistemas e Sinais SLITs
Resolução de equações diferenciais Solução homogéneaSolução homogénea
sth eAty
stst aAeAedt
d stst aAeAse
0 stAeas
0 taytydt
dhh
0 as as
ath eAty
?
equação característica
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Resolução de equações diferenciais Solução particularSolução particular
tuKetx tj1
0Re
tueYty tjpp 1
0Re txtayty
dt
dpp
KYaj p 0 aj
KYp
0
tjtjp
tjp KeeaYeY
dt
d000
0t
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Sistemas e Sinais SLITs
Resolução de equações diferenciais Solução particularSolução particular
tueYty tjpp 1
0Re
aj
KYp
0
tuea
Kty tj
p 120
2
0Re
a
j
p ea
KY
0arctan
20
2
tuta
Kty p 102
02
cos
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020
2cos0 y
a
KAy
Resolução de equações diferenciais Resposta completaResposta completa
tytyty ph tuta
KAe at
1020
2cos
?Condição inicial + continuidade da solução
00 yAy
0
0
;
;cos
0
20
20
t
t
ya
Ky
A
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regime estacionário
devido a x(t)devido
a y0
tuta
K
tuea
Keyty atat
1020
2
120
20
cos
cos
Resolução de equações diferenciais Resposta completaResposta completa
regime transitório
a0arctan
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Resolução de equações diferenciais
tuta
Ktue
a
Keyty atat
1020
2120
20 coscos
rad/s; ; .
10 1.0a 10 y
t
ty
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Sistema contínuo de ordem N
txdt
dbty
dt
da
k
kN
k
M
kkk
k
k
0 0
Condições iniciais: 0
1
1
0
,...,,0
t
N
N
t
tydt
dty
dt
dy
Propriedades - sistema invariante no tempo e causal Condições iniciais:
nulas – sistema linear não nulas – sistema incrementalmente linear
MN Solução: tytyty ph
N
k
tskh
keAty1
mesma forma dosinal de entrada
N
k
kk sa
0
0 Equação característica
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Condições iniciais
28
11
4
11200 yyxxy
Sistema de 2ª ordem
Equações às diferençasSistemadiscreto
ny nx
1228
11
4
1 nxnxnynyny
Cálculo de para : ny 0n
18
10
4
10211 yyxxy
08
11
4
11222 yyxxy
etc
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Resolução de equações às diferenças
Sistemadiscreto
ny nx
1228
11
4
1 nxnxnynyny
021 yy
nunx 1)( Sinal de entrada:
Modelo:
Condição inicial:
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Resolução de equações às diferenças
nynyny ph
Solução homogénea Solução particular
nnh zAzAny 2211
nunx 1
nuYny pp 1
?
028
11
4
1 nynyny hhh
?
Equação característica: 08
1
4
12 zz2
1;
4
121 zz
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Solução particularSolução particularResolução de equações às diferenças
nunx 1
nuYny pp 1 122
8
11
4
1 nxnxnynyny
218
1
4
1 ppp YYY
2n
3
8pY
nuny p 13
8
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Sistemas e Sinais SLITs
nynyny ph
Resolução de equações às diferenças Resposta completaResposta completa
3
80 21 AAy
3
8
2
1
4
11 21 AAy
0;3
8
2
1
4
121
nAA
nn
021;
1228
11
4
1
1
yynunx
nxnxnynyny
1
4
11
11 A
3
22 A
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Resolução de equações às diferenças
nunynn
13
8
2
1
3
2
4
1
ny
n
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Sistema discreto de ordem N
knxbknyaN
k
M
kkk
0 0
Condições iniciais: Nyy ,...,1
Propriedades - sistema invariante no tempo e causal Condições iniciais:
nulas – sistema linear não nulas – sistema incrementalmente linear
MN ,Solução: nynyny ph
N
k
nkkh zAny
1mesma forma dosinal de entrada
N
k
kNk za
0
0 Equação característica
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Diagrama de blocos
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Sistemas e Sinais SLITs
nwDiagrama de blocos
1228
11
4
1 nxnxnynyny
nx ny
1nx
A
2
nw
A
1ny
A
2ny81
41
Forma directa IForma directa I
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Diagrama de blocos
A
2
ny
A
A
81
41
nx
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A2
ny
A
A
81
41
nx
Diagrama de blocos
Forma directa IIForma directa II
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Equações de estado:
Modelo de Estado
nxnsnsns 211 8
1
4
11
nsns 12 1 2
ny
A
A
81
41
nx
ns1
ns2
11 ns
12 ns
Variáveis de estado 12 11 nsnsny
Equação de saída nxnsnsny 21 8
1
4
7
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Sistemas e Sinais SLITs
Modelo de Estado
nxnsnsns 211 8
1
4
11
nsns 12 1
Equações de estado:
nxnsnsny 21 8
1
4
7Equação de saída:
Vector de estado:
ns
nsns
2
1
nxnsns
0
1
018
1
4
11
nxnsny 18
1
4
7
TDTC
BA
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Sistemas e Sinais SLITs
Diagrama de blocos
txtxdt
dtyty
dt
dty
dt
d 223
2
2
,3,2,1,1
0
ndvtv
tvtvt nn
txtxtytytydt
d 11 223
txtxtytyty 2121 223
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tw
Diagrama de blocos
txtxtytyty 2121 223
tv n 1 tv n
ty
tx 1
tx
tx 2
2
tw
ty 1
2
ty 2
3
Forma directa I
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Diagrama de blocos
tx
2
3
2
ty
Forma directa II
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Equação de saída
2
3 2
tx
ty
Modelo de Estado dttds ts
ts2
ts1
tsdt
d2
tsdt
d1
tststy 212
Equações de estado:
txtststsdt
d 211 23
tstsdt
d12
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Modelo de Estado
Equação de saída:
Vector de estado:
ts
tsts
2
1
txtstsdt
d
0
1
01
23
txtsty 012
TDTC
BAEquações de estado:
txtststsdt
d 211 23
tstsdt
d12
tststy 212
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Sistemas e Sinais SLITs
Modelo de Estado
tBxtAstsdt
d nBxnAsns 1
txDtsCty TT nxDnsCny TT
Equação de Estado
Equação de Saída
LMN estados, entradas, saídas.
MNB
NNA
- matriz da dinâmica
- matriz de entrada
MLD
NLCT
T
- matriz de saída
DCBA ,,, constantes Sistema invariante no tempo
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Modelo de Estado
3
2
1
11
tx ty tz1
tz2
tz1
tz2
tz
tztz
2
1
Vector de estado txtztz
dt
d
1
1
20
01
tzty 31
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Sistemas e Sinais SLITs
Equação diferencial
txtztzdt
d
1
1
20
01
tzty 31
txtztzdt
d 11
txtztzdt
d 22 2
tztzty 21 3
tzdt
dtz
dt
dty
dt
d21 3 txtztz 26 21
txtydt
dtytz 221
txty
dt
dtytz 2
3
12
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Sistemas e Sinais SLITs
txdt
dtz
dt
dtz
dt
dty
dt
d26 212
2
Equação diferencial
txtztztydt
d26 21
?2
2
tydt
d
txtztzdt
d 11
txtztzdt
d 22 2
txtxdt
dtztz 5212 21
txtydt
dtytz 221
txty
dt
dtytz 2
3
12
txtxdt
dtyty
dt
dty
dt
d 223
2
2
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Sistemas e Sinais SLITs
Equação Diferencial vs. Modelo de Estado
txtxdt
dtyty
dt
dty
dt
d 223
2
2
txtstsdt
d
0
1
01
23
tsty 12
txtztzdt
d
1
1
20
01
tzty 31
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Sistemas e Sinais SLITs
Modelo IIModelo I
Transformação de semelhança
txBtsAtsdt
d11
txDtsCty TT11
txBtzAtzdt
d22
txDtzCty TT22
ty tx
tsTtz 1 tTztsNNT :
não singular
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Sistemas e Sinais SLITs
Transformação de semelhança
txBtsAtsdt
d11
txDtsCty TT11
txBtzAtzdt
d22
txDtzCty TT22
tsTtz 1
tTzts
tsdt
dTtz
dt
d 1
txBTtsAT 11
11
txBTtTzAT 11
11
11
2
11
2
BTB
TATA
txDtTzC TT11
TTTT DDTCC 1212 ;
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Sistemas e Sinais SLITs
Transformação de semelhança tzTT
TTts
2221
1211
TCC TT12
2221
12111231TT
TT 22122111 22 TTTT
32
12
2212
2111
TT
TT
32
12
1222
1121
TT
TT
3212 1211
1211
TT
TTT
tzty 31
TC2
tsty 12
TC1
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Sistemas e Sinais SLITs
Transformação de semelhança
3212 1211
1211
TT
TTT
11
2 BTB 12 BTB
0
1
1
1
3212 1211
1211
TT
TT
0
1
222 1211
1211
TT
TT
1211 1 TT
3232
1
1212
1212
TT
TTT
txtstsdt
d
0
1
01
23
1B
txtztzdt
d
1
1
20
01
2B
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Sistemas e Sinais SLITs
Transformação de semelhança
txtstsdt
d
0
1
01
23 txtztzdt
d
1
1
20
01
TATA 11
2 TATA 12
3232
1
01
23
20
01
3232
1
1212
1212
1212
1212
TT
TT
TT
TT
1212
1212
1212
1212
1
63
6432
21
TT
TT
TT
TT
3232
1
1212
1212
TT
TTT
212 T
11
21T
1A 2A
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Sistemas e Sinais SLITs
Transformação de semelhança
txtstsdt
d
0
1
01
23 txtztzdt
d
1
1
20
01
11
21T
tTzts
tz
tz
ts
ts
2
1
2
1
11
21
tztzts
tztzts
212
211 2
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Sistemas e Sinais SLITs
Diagonalização
Dada uma matriz da dinâmica A, qual a transformação de coordenadas, T, que conduz a uma matriz da dinâmica diagonal?
txBtAstsdt
d1 txBtDztz
dt
d2
Que condição deve satisfazer A para que exista uma transformação de coordenadas
s(t)= Tz(t)
com T não singular, tal que D=T-1AT seja uma matriz diagonal?
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Sistemas e Sinais SLITs
A matriz A é diagonalizável sse for de estrutura simples, i.e., os vectores próprios de A são linearmente independentes.
Diagonalização
01
23A Valores próprios: 0det AI
0231
23det
2;1 21 Vectores próprios: 2,1; ivAv iii
2
1
2
1
01
23
i
i
ii
i
v
v
v
v
21 iii vv
1i
iv
1
11v
1
22v
DEEC/ IST Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais SLITs
matriz de transformação de coordenadas
Diagonalização
;1
11
v
1
22v
vectores próprios linearmente independentes
11
2121 vvT 01det T
2;1 21
20
01
0
0
2
11
ATTD
txtstsdt
d
0
1
01
23
tsty 12
txtztzdt
d
1
1
20
01
tzty 31
DEEC/ IST Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais SLITs
Diagonalização
os valores próprios de A são todos distintos
A é de estrutura simples sempre que:
A é simétrica, i.e., A=AT
TAA
21
11
DEEC/ IST Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais SLITs
Solução da equação de estado
nBxnAsns 1 0n
001 BxAss
112 BxAss 1002 BxABxsA
223 BxAss 2100 23 BxABxBxAsA
1
0
10n
k
knn kBxAsAns
DEEC/ IST Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais SLITs
nxnsns
0
1
018
1
4
11
kxsnsn
k
knn
0
1
018
1
4
10
018
1
4
1 1
0
1
Solução da equação de estado
1
0
10n
k
knn kBxAsAns
?
DEEC/ IST Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais SLITs
4
10
02
1
0
0
2
11
ATTD
Cálculo de An
018
1
4
1A é de estrutura simples?
08
1
4
1
18
1
4
1detdet
AI
4
12
1
2
1
A é diagonalizável:
2,1; ivAv iii
2
1
2
1
018
1
4
1
i
i
ii
i
v
v
v
v
21 vvT
21 iii vv
1i
iv
114
1
2
1T
DEEC/ IST Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais SLITs
1123 TDTTTDA
112 TDTTDTA
Cálculo de An
4
10
02
1
D
114
1
2
1T
ATTD 1 1TDTA12 TTD
13 TTD
1 TTDA nn
1
114
1
2
1
4
10
02
1
114
1
2
1
n
nA
3
2
3
43
1
3
4
4
10
02
1
114
1
2
1
n
n
nA
nnnn
nnnn
nA
4
1
3
2
2
1
3
1
4
1
3
4
2
1
3
4
4
1
6
1
2
1
6
1
4
1
3
1
2
1
3
2
DEEC/ IST Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais SLITs
Solução da equação de estado
kxsnsn
k
knn
0
1
018
1
4
10
018
1
4
1 1
0
1
nnnn
nnnn
nA
4
1
3
2
2
1
3
1
4
1
3
4
2
1
3
4
4
1
6
1
2
1
6
1
4
1
3
1
2
1
3
2
kx
sns
n
kknkn
knkn
nnnn
nnnn
1
011
11
4
1
3
4
2
1
3
4
4
1
3
1
2
1
3
2
0
4
1
3
2
2
1
3
1
4
1
3
4
2
1
3
4
4
1
6
1
2
1
6
1
4
1
3
1
2
1
3
2
DEEC/ IST Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais SLITs
Resposta no tempo do sistema
nxDkBxACsACny Tn
k
knTnT
1
0
10
nxDnsCny
nBxnAsnsTT
1
1
0
10n
k
knn kBxAsAns
0n
DEEC/ IST Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais SLITs
nxnsny 201 Resposta no tempo do sistema
)0(24
1
3
1
2
1
3
2
04
1
6
1
2
1
6
1
4
1
3
1
2
1
3
2
1
0
11
nnxkx
sny
n
k
knkn
nnnn
kxsnsn
kknkn
knkn
nnnn
nnnn
1
011
11
4
1
3
4
2
1
3
4
4
1
3
1
2
1
3
2
0
4
1
3
2
2
1
3
1
4
1
3
4
2
1
3
4
4
1
6
1
2
1
6
1
4
1
3
1
2
1
3
2
DEEC/ IST Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais SLITs
Resposta impulsional
nxDkBxACsACny Tn
k
knTnT
1
0
10
nnx nhny
00 sSistema inicialmente em repouso:
nDkBACnh Tn
k
knT
1
0
1
kBAC nT 1
nDkBACnh Tn
k
nT
1
0
1
0;0
1;1
n
n
nDnBuACnh TnT 111
DEEC/ IST Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais SLITs
Solução da equação de estado
tBxtAstsdt
d 0t
t tAAt dBxesets0
0
txtstsdt
d
0
1
01
23
t tt
dxesets0
01
23
01
23
0
10
?
DEEC/ IST Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais SLITs
Cálculo de eAt
01
23A é de estrutura simples
20
01
0
0
2
11
ATTDA é diagonalizável:
11
21Tcom
1 TTDA nn 3322
!3
1
!2
1tAtAAtIeAt
Expansão em série de Taylor de eAt
13322
!3
1
!2
1
TtDtDDtIT 1 TTee DtAt
t
tDt
e
ee
2
1
0
0
tttt
ttttAt
eeee
eeeee
22
22
2
222
DEEC/ IST Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais SLITs
Solução da equação de estado
tttt
ttttAt
eeee
eeeee
22
22
2
222
t tt
dxesets0
01
23
01
23
0
10
t
tt
tt
tttt
tttt
dxee
ees
eeee
eeeets
0 2
2
22
22 20
2
222
0t
DEEC/ IST Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais SLITs
Resposta no tempo do sistema
txDdBxeCseCty Tt tATAtT
00
txDtsCty
tBxtAstsdt
d
TT
t tAAt dBxesets0
0
0t
DEEC/ IST Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais SLITs
tsty 12Resposta no tempo do sistema
0303230
222 tdxeeseeeetyt tttttt
t
tt
tt
tttt
tttt
dxee
ees
eeee
eeeets
0 2
2
22
22 20
2
222
DEEC/ IST Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais SLITs
Resposta impulsional ttx thty
00 sSistema inicialmente em repouso:
BeC AtT
0;0
0;1
t
t
tDtBueCth TAtT 1
txDdBxeCseCty Tt tATAtT
00
tDdBeCth Tt tAT
0
tDdBeCth TtAtT 0