1 Aritmética Representação de números. 2 Representação de inteiros Números inteiros com sinal...

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Aritmética

Representação de números

2

Representação de inteiros

Números inteiros com sinal A representação mais comum é a representação em

complemento para 2 Boas propriedades para adição e subtracção Como já viram em AC I...

No entanto existem outras formas de representar: Magnitude Complemento para 1 Excesso m

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Magnitude 1 bit de sinal seguido do valor absoluto do número Exemplos (em 8 bits)

0 0000 0000 -0 1000 0000

1 0000 0001 -1 1000 0001

41 0010 1001 -41 1010 1001

78 0100 1110 -78 1100 1110

OBS:

A notação não tem boas propriedades para a adição: se fizer N + (-N) o resultado não dá 0...

O ‘0’ pode ter duas representações diferentes...

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Complemento para 1 O simétrico é a negação bit a bit Exemplos (em 8 bits)

0 0000 0000 -0 1111 1111

1 0000 0001 -1 1111 1110

41 0010 1001 -41 1101 0110

78 0100 1110 -78 1011 0001

OBS:

Boas propriedades para adição, mas o ‘0’ pode ter duas representações diferentes...

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Excesso m Representa-se o valor do número acrescido de m O menor número vale –m e é representado por 0’s Exemplo: excesso 128 (8 bits)

0 1000 0000 -0 1000 0000

1 1000 0001 -1 0111 1111

41 1010 1001 -41 0101 0111

78 1100 1110 -78 0011 0010

OBS:

Quando m=2n-1 fica semelhante ao complemento para 2,mas com o bit de sinal trocado

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Apesar de muito utilizada, a notação em complemento para 2 também tem um defeito: Existe mais um número negativo do que o número de positivos No caso da notação excesso-m, esse desequilíbrio pode ainda

ser maior

No entanto, não existe nenhuma notação “ideal”: o zero ter um única representação existirem tantos números negativos como positivos ter boas propriedades para adição/subtracção

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Representação de números reais

Norma IEEE 754 (versão mais recente: Ago/2008) Até meados dos anos 80, a representação de números reais não

estava normalizada... Cada fabricante usava a sua representação

Para ultrapassar problemas de compatibilidade, surgiu em 1985 a primeira versão da norma IEEE 754

A norma define: Os formatos de representação dos números reais Como devem ser feitos os arredondamentos Como devem ser feitas as operações Tratamento de excepções (ex: divisão por zero, underflow, overflow) …

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Formato de um número real (virgula flutuante)

Precisão simples – 32 bits – float 1 bit que define o sinal (0 – positivo; 1 – negativo) 8 bits para o expoente (representado em excesso 127) 23 bits para a mantissa, representada em magnitude

Expoente MantissaBit desinal

1 8 bits 23 bits

32 bits

Valor do número: (-1)sinal 1.mantissa 2expoente

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Exemplo:

Qual será o valor do número real C160 0000(hex)?

00011 100 0110 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

expoente mantissa

sinal

Sinal = 1 número negativo

Expoente = 1000 0010 = 130 o expoente vale 3 (não esquecer que está em excesso 127)

Mantissa = 0.1100 0000 … = 2-1 + 2-2 = 0.5 + 0.25 = 0.75

O valor do número será então:

–1.75 23 = –14.0

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Significados especiais

Expoente Mantissa Valor Obs.

–127 == 0 0

128 == 0 infinito Depende do sinal

128 != 0 NaN (not a number) Valores não reais

–127 != 0 0.mantissa 2-126 Forma desnormalizada

Exemplos:

0000 0000(hex) = 0.0

7F80 0000(hex) = +

FFFF FFFF(hex) = NaN

0040 0000(hex) = 0.5 * 2-126

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Precisão dupla – double Obtêm-se os valores de forma idêntica, mas

os números são representados em 64 bits com 11 bits para o expoente (em excesso 1023) e 52 bits para a mantissa

Gamas de representação (na forma normal) Precisão simples

1.2 10-38 a 3.4 1038

Precisão dupla 2.2 10-308 a 1.8 10308

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Aritmética

Multiplicação binária

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Multiplicação (sem sinal)

1101 multiplicando (A)

× 1010 multiplicador (B)

0000

1101

0000

1101

10000010 produto (P)

1101 (13) × 1010 (10) = 10000010 (130)

Quando se multiplicam dois números de n bits (sem sinal), o resultado terá, no máximo, 2n bits.

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Multiplicação (sem sinal)

A3 A2 A1 A0

× B3 B2 B1 B0

B0A3 B0A2 B0A1 B0A0

B1A3 B1A2 B1A1 B1A0

B2A3 B2A2 B2A1 B2A0

B3A3 B3A2 B3A1 B3A0

P7 P6 P5 P4 P3 P2 P1 P0

ANDs entre os bits de A e os bits de B

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Utilizando vários adicionadores...A3 A2 A1 A0

× B3 B2 B1 B0

0 B0A3 B0A2 B0A1 B0A0

+ B1A3 B1A2 B1A1 B1A0

cout1 S13 S12 S11 S10

+ B2A3 B2A2 B2A1 B2A0

cout2 S23 S22 S21 S20

+ B3A3 B3A2 B3A1 B3A0

cout3 S33 S32 S31 S30

P7 P6 P5 P4 P3 P2 P1 P0

Somadores

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B3

A3 A2 A1 A0

B2

A3 A2 A1 A0

B1

A3 A2 A1 A0

B0

A3 A2 A1 A0

0

P7 P6 P5 P4 P3 P2 P1 P0

Cout

Cout

Cout

X Y

S

ADD

X Y

S

ADD

X Y

S

ADD

Pode-se seguir esta estrutura

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Utilização de vários adicionadores Se os números a multiplicar são compostos por n bits

então são necessários n – 1 adicionadores de n bits cada um

Eventuais problemas: Excesso de material

por exemplo, para multiplicar dois números de 32 bits seriam necessários 31 somadores de 32 bits

Demasiado consumo de tempo durante um ciclo Num processador, ter um multiplicador deste género pode

aumentar de forma significativa a duração de cada ciclo, devido aos tempos de propagação dos somadores

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Alternativa: usar um único somador e registos O adicionador efectua todas as adições necessárias

em n ciclos É necessário:

Um registo para acumular as somas – RP Um registo de deslocamento para a esquerda e outro para a

direita – RA e RB RP e RA são registos de 2n bits para RB, um registo de n bits é suficiente

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Algoritmo básico (para inteiros sem sinal)

Inicialização:RP ← 0, RA ← A, RB ← B

Ciclo (n iterações)se ( RB0 == 1 ) // bit menos significativo em RB

RP ← RP + RA

RA ← RA << 1, RB ← RB >> 1

No final, o resultado da multiplicação está em RP

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Hardware para o algoritmo básico

RAShift left

RPLoad

ADD

A

RBShift right

B

RB0

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Exemplo – multiplicar 1010 por 1001 (i.e. 109)

Inicialização:RP: 0000 0000RA: 0000 1010RB: 1001

Ciclo 1 (RB0 = 1)RP: 0000 1010RA: 0001 0100RB: 0100

Ciclo 2 (RB0 = 0)RP: 0000 1010RA: 0010 1000RB: 0010

Ciclo 3 (RB0 = 0)RP: 0000 1010RA: 0101 0000RB: 0001

Ciclo 4 (RB0 = 1)RP: 0101 1010RA: 1010 0000RB: 0000

O resultado será então:

RP: 01011010 = 21+23+24+26 = 2+8+16+64 = 90

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Aritmética

Aceleração da adição

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Adição básica (Ripple-carry)

Um circuito full adder (dado em AC1)

AB

Cin

Cout

S

Soma os bits A e B com o transporte anterior (Cin), dando o resultado da soma (S) e o transporte que sai (Cout)

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Adicionador Ripple-carry de n bits

FA

A0 B0

S0

FA

A1 B1

FA

A2 B2

FA

A3 B3

C1 C2C0

C3

S1 S2 S3

C4

Problema: Os transportes (Ci’s) têm que se propagar entre os full adders

Admitindo que cada full adder impõe um atraso, o tempo necessário para ser feita a soma será proporcional a n

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Outra maneira de ver

AB

Cin

Cout

S

PFA

PFA – Partial Full Adder

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Outra maneira de ver

ABG

BAP

Em que:

Propagação de carry

Geração de carry

PFA

A B

S

P G Cout

Cin

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Para um ripple adder de 4 bits

P’s e G’s podem ser calculados em paralelo (ao mesmo tempo)

As somas (os S’s) têm que esperar que chegue o Ci respectivo

PFA

A0 B0

S0

P0 G0

PFA

A1 B1

S1PFA

A2 B2

S2PFA

A3 B3

S3

P1 G1C1 C2

C0

P2 G2 P3 G3

C4C3

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Para um ripple adder de 4 bits

PFA

A0 B0

S0

P0 G0

PFA

A1 B1

S1PFA

A2 B2

S2PFA

A3 B3

S3

P1 G1C1 C2

C0

P2 G2 P3 G3

C4C3

Caminho crítico – corresponde ao pior caso na propagação dos sinais

Tipicamente é o que atravessa mais portas lógicas

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Acelerar a adição

Genericamente tem-se:

0012012122

0001122

11122

2223

CPPPGPPGPG

CPGPGPG

CPGPG

CPGC

001011

00011

1112

CPPGPG

CPGPG

CPGC

0001 CPGC

iii

iii

iiii

BAP

BAG

CPGC

1

...C 4

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Acelerar a adição

Com base nessas equações obtém-se:

PFA

A0 B0

S0

P0 G0

PFA

A1 B1

S1PFA

A2 B2

S2PFA

A3 B3

S3

P1 G1C1

C2

C0

P2 G2 P3 G3

C4

C3

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Adicionador Carry Lookahead

Este tipo de adicionador designa-se por carry lookahead adder (CLA) Repare no atraso associado à propagação do carry

neste caso corresponde ao de 2 portas lógicas

E se quisesse construir um CLA de 8 bits ? Problema com o desenho anterior:

para calcular carrys de ordem elevada (e.g. C7) precisaria de portas lógicas com muitas entradas...

...difícil de implementar na prática

Uma abordagem mais realista seria usar portas com 2 entradas

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PFA

A0 B0

PFA

A1 B1

PFA

A2 B2

PFA

A3 B3

S0 S1 S2 S3

G01P01

G03P03

G23P23

P0 G0 P1 G1 P2 G2 P3 G3

C0

C1

C2

C3

C4

33


PFA

A0 B0

PFA

A1 B1

PFA

A2 B2

PFA

A3 B3

S0 S1 S2 S3

G01P01

G03P03

G23P23

P0 G0 P1 G1 P2 G2 P3 G3

C0

C1

C2

C3

C4

O caminho crítico está representado a vermelho

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PFA

A0 B0

PFA

A1 B1

PFA

A2 B2

PFA

A3 B3

S0 S1 S2 S3 PFA

A4 B4

PFA

A5 B5

PFA

A6 B6

PFA

A7 B7

S4 S5 S6 S7C0

C8

35


Comparação entre os adicionadores:(supondo que apenas são utilizadas portas lógicas com 2 entradas)

Nº de bitsRipple-carry CLA

Tempo Nº de portas Tempo Nº de portas

4 9tPD 20 7tPD 29

8 17tPD 40 11tPD 61

16 33tPD 80 15tPD 125

32 65tPD 160 19tPD 253

64 129tPD 320 23tPD 509

128 257tPD 640 27tPD 1021

36

Outros adicionadores

Carry select adder A ideia consiste em preparar somas parciais para

ambas as hipóteses de carry in O carry out do bloco anterior irá seleccionar qual dos

2 resultados é válido

Carry skip adder Composto por vários blocos onde são calculados os

P’s, mas não os G’s Os P’s são utilizados para propagar o carry ao bloco

seguinte

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Carry select adder (8 bits)

4-bitadder

S0...S3 S4...S7

Sel.

A0...A3

0 14-bit

adder

Mux

4-bitadder

A4...A7B0...B3 B4...B7

Sel

Cout Cin Cin

0 1

Cin0

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Carry skip adder (16 bits)

C16C0

4-bitadder

S0..S3

A0..A3 B0..B3

Ci Co

4-bitadder

S4..S7

A4..A7 B4..B7

Ci Co

4-bitadder

S8..S11

A8..A11 B8..B11

Ci Co

4-bitadder

S12..S15

A12..A15 B12..B15

Ci Co

P4,7 P8,11

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Síntese

Evolução do tempo necessário para fazer uma soma de dois números representados com n bits

Adicionador Tempo

Ripple O(n)

Carry lookahead O(log2 n)

Carry skip O(√n)

Carry select O(√n)

n – número de bits

O(x) – significa “evolui proporcionalmente com a grandeza x”

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Síntese

Adicionadores (tempos)

0

50

100

150

200

250

300

0 32 64 96 128

Número de bits

Tem

po (

x t P

D)

Ripple

CLA

Select

Skip

41

Adicionadores (número de portas)

0

500

1000

1500

2000

0 32 64 96 128

Número de bits

Núm

ero

de p

orta

s ló

gica

s

Ripple

CLA

Select

Skip

Síntese

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