DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Laplace TRANSFORMADA DE LAPLACE...

DEEC/ IST Isabel Lourtie

Sistemas e Sinais Transformada de Laplace

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Motivação. Definição: expressão algébrica e região de convergência. Propriedades da região de convergência. Transformada inversa. Propriedades da transformada de Laplace. Representação de SLITs contínuos usando a transformada de Laplace. Propriedades dos SLITs e sua relação com a região de convergência da função de transferência.



thTL

Motivação

stetx th ?ty

SLIT

sts

ts

edeh

deh

dtxh

txthty

sH

stst esHtyetx

dtetxsX st dsesYj

ty stj

j

21

tx txthty convolução

sX sXsHsY produto

TL TL-1

js



Definição jsdtetxsXtx st

;

Exponencial direita

R;1 tuetx t

1

tx

t

0

0

1lim1

0

01

ts

t

ts

tsstt

ess

e

dtedtetuesX

0 para sRe

)Re(;1

1 ss

tue t



Definição jsdtetxsXtx st

;

0 para sRe

)Re(;1

1 ss

tue t

Exponencial esquerda

R;1 tuetx t

1

tx

t

0

0

ts

t

ts

tsstt

ess

e

dtedtetuesX

lim110

0

1



Definição

)Re(;1

1 ss

tue t

1 tx

t

0

0 sRe

sIm

)Re(;1

1 ss

tue t

1

tx

t

0

0 sRe

sIm



sRe

sIm

1

tue t1

2TL tue t

1TL

Exemplos

Ex. 1

tuetuetx tt1

21

dtetuedtetue

dtetuetuesX

sttstt

sttt

12

1

12

1

2

11

1

ss

sX

2)Re(1)Re( ss

1Re;21

32

sss

s

Mapa polos/zeros

2

23

zero: 23032 ss

21021

sssspolos:



2Re3Replano

24

322

sss

sssX

Exemplos

Ex. 2

tuetuettx tt

12

13 422

ss

tue

ss

tue

st

t

t

Re;1

Re;1plano;1

1

1

Tabela

tuetuetsX tt

12

13 TL4TL2TL2

2Re3;23222

2

ssssssX sRe

sIm

3 2

Mapa polos/zeros

1

j

j



Exemplos

Ex. 3

tuetuetx tt1

21

3 42

tuetuesX tt1

21

3 TL4TL2

ss

tue

ss

tue

t

t

Re;1

Re;1

1

1

Tabela

2Re3Re

24

32

ss

sssX

não tem transformada de Laplace tx



P1 A RC é constituída por faixas do plano s paralelas ao eixo imaginário.

P2 A RC não contém polos.

Propriedades da Região de Convergência (RC)

P3 Se for de duração finita e se existir pelo menos um valor de para o qual a transformada de Laplace converge, então a RC é o próprio plano , exceptuando eventualmente as rectas ou . sRe sRe

tx s

s




P4

Re(s)

Im(s)

Se for um sinal direito e se a recta pertencer à RC, então todos os valores de tais que também pertencem à RC. tx 0Re s

s 0Re s

Re(s)

Im(s)

P5 Se for um sinal esquerdo e se a recta pertencer à RC, então todos os valores de tais que também pertencem à RC.

tx 0Re ss 0Re s




P6

Re(s)

Im(s)

Se for um sinal bilateral e se a recta pertencer à RC, então a RC é uma faixa do plano que contém a recta .

tx 0Re ss 0Re s



Propriedades da Região de Convergência (RC) Exemplo

2j

sRe

sIm

212

2j

1. Quais são as RC que é possível associar a este mapa polos/zeros?

2. Para cada RC, diga se o sinal no tempo é de duração finita, esquerdo, direito ou bilateral.

sinal direitosinalbilateral

sinal esquerdo



02

Transformada de Laplace inversa Funções racionais

1Re;31

2

s

ssssX

1º Expansão em fracções simples de X(s)

31312

sB

sA

ssssX

313

ss

BAsBA

31

032

BA

BABA

1Re;3

31

1

sss

sX



3Re s 1Re s


2º Identificação da RC associada a cada uma das fracções

1Re;3

31

1

sss

sX

sIm

sRe 3 1

3º Determinação, por simples inspecção, da transformada de Laplace inversa de cada um dos termos

tuetuetx tt1

31 3



3Re s


E se…

obtém-se…

tuetuetx tt1

31 3

1Re s

1Re3;3

31

1

sss

sX

sIm

sRe 3 1



YR

3Re; s

P1: Linearidade

sXtx

sXtx22

11

Se

2

1

RRCRRC

então sbXsaXtbxtax 2121 21 RRRC

Propriedades da transformada de Laplace

Ex.

2Re;2

111

s

ssXtx

2Re;32

122

s

sssXtx

txtxty 21 3

132

232

1332

12

1

sss

sss

ssss

sY

2

21 RR

sRe3

sIm




P2: Translação no Tempo

sXtx Se RRC

então sXettx st00

RRC excepto para a possível inclusão/exclusão de sRe

Ex.

0Re;11 s

stu

;10

01 settu st

0Re:00 st

t

01 ttu 1

0t

s

stReexcepto,0Re:00

t

01 ttu

0t

1



P3: Translação no Domínio da Transformada

sXtx Se RRC

então 00 ssXtxe ts 0Re sRRC


Ex.

0Re;1111 s

ssXtutx

;1

001212

0

ssssXsXtuetx ts

00 ReRe0Re ssss



P4: Mudança de Escala


sXtx Se RRC

então

asX

aatx 1

aRRC

Ex.

2Re;2

111

21

ss

sXtuetx t

;6

1

23

131

3313 1212

sssXsXtxtx 6Re2

3Re

ss

tue

tuet

t

16

16 3



YR

2Re; s


P5: Convolução

sXtx

sXtx22

11

Se

2

1

RRCRRC

então sXsXtxtx 2121 21 RRRC

Ex.

2Re;21

11

ssssXtx

1Re;1

122

s

ssXtx

txtxty 21

1

21 RR

2

11

121

sss

ssY

sRe2

sIm



P6: Diferenciação no Domínio do Tempo

sXtx Se RRC

então ssXdt

tdx RRC


Ex. 1

0Re;11 s

stu

studtdt plano;11

Ex. 2

2Re;2

ss

ssX

tuess

t1

22Re;2

1

ttuetetuetuedtdtx tttt

1

221

21

2 22

Tabela:



sdsdsXtuettx t 1

1

Ex.


P7: Diferenciação no Domínio da Transformada

sXtx Se RRC

então ds

sdXttx RRC

s

sRe;1

2

sssds

dsXtuettx t Re;21321

2



P8: Integração no Domínio do Tempo

sXtx Se RRC

então sXs

dxt 1

0Re sRRC


Nota: pela propriedade da convolução

0Re;1)(1 sRRCs

sXtutxdx X

t

Ex.

0Re;11 s

sdtu

t st plano;1



Diferenciação no domínio da transformada Translação no domínio da transformada

Translação no tempo

Exemplos

Ex. 1 Sabendo que , determine a transformada de Laplace de tuetx t 13

55 2 txetty tj

55 22

txettwety tjtj

tuetx t 13

ttxtz

555

txttztw

3Re;3

1

s

ssX

3Re;3

12

s

ssX

dsdsZ

;3

12

55

sesZesW ss

ss Re.excl3Re

;

3212 2

25

jsejsWsY js

ss Re.excl3Re



Translação no tempo

Diferenciação no tempoExemplos

Ex. 2 Sabendo que , determine o sinal . ty 2Re;2

3

ss

sesY s

2Re;2

1

s

ssX

2Re;2

ss

sssXsZ

2Re;2

133

ss

sesZesY ss

tuetx t1

2

ttue

tetuetxdtdtz

t

tt

12

21

2

2

2

332

3

132

ttue

tzty

t




P9: Teorema do Valor Inicial

Se para e se não contiver impulsos ou singularidades de ordem superior na origem , o limite de quando por valores positivos é

ssXxs

lim0

0tx 0t tx 0t tx 0t

P10: Teorema do Valor Final

Se para e se convergir para um valor constante quando , então

ssXtxst 0limlim

0tx 0t txt



Exemplo ssXxs

lim0TVI:

ssXtxst 0limlim

TVF: 0Re;2

107

sssssX

721

107lim

2107lim

2107lim0

s

sss

ssssx

sss

52107lim

2107limlim

00

s

ssssstx

sst

tuetutxsssss

ssX t1

21 250Re;

21215

2107



2Re: sRH

Resposta Impulsional Função de Transferência

txthty tx th XHY RRRsXsHsY , XRsX , HRsH ,

HRsHth ,TL

2Re0,232

213

ssss

sssY

0)Re(,1 s

ssX

Ex.SLIT

tutx 1 tuetuty t 12

13

??, HRsH

sXsYsH

2321

232

ss

s

sss

)Re(s

)Im(s

32

XHY RRR

2Re0 s 0)Re( s



tuetuety tt

12

12 34

31

tuetuety tt1

211 3

431

2Re;21

21

sss

ssY

Resposta no Tempo

XHY RRR

sXsHsY

Exemplo

HRsH , tx ?ty

1Re;12

ssssH

tuetx t1

21 1. 2Re;

21

1

ss

sX

tuetx t 12

22.

2Re;2

12

s

ssX

2Re1;21

22

sss

ssY

2Re1;23

4

13

12

s

sssY

2Re;2

34

13

11

s

sssY



tetx 23 tt eeHty 22

3 342 x3(t) não tem transformada de Laplace

Resposta no Tempo

XHY RRR

sXsHsY

Exemplo

HRsH , tx ?ty

1Re;12

ssssH

tuetuety tt1

211 3

431

tuetx t

12

1 1.

tuetuety tt

12

12 34

31 tuetx t 1

222.

tetx 23 3. txtxtuetue tt

2112

12 tetytyty 2

213 34

sistema linear

HRsH , tsetx 0 tsesHty 0

0

Alternativa: HRs 0

2Re2Re:

02

12

13

ssRCss

sX



SLITs em série – propriedade da convolução


ty tx th2 th1 thth 21 tx ty

XRsX , 11 , RsH 22 , RsH YRsY , 21

21RRRC

sHsH

XRsX , YRsY ,




SLITs em paralelo – propriedade da linearidade

thth 21 tx ty ty tx

th2

th1

11 , RsH

22 , RsH

XRsX , YRsY , 21

21RRRCsHsH

XRsX , YRsY ,



Função de Transferência Realimentação

Analisar o SLIT no domínio do tempo não é simples;

Obter a expressão algébrica da função de transferência entre a entrada e a saída é imediato.

sX sY

sZ

sE sX sY sH1

sH 2

sYsHsZ 2

sYsHsXsZsXsE 2

sYsHsXsHsEsHsY 211

sXsHsYsHsH 1211

sHsH

sHsXsYsH

21

1

1



Equação Diferencial Função de Transferência

tySLIT

tx

M

kk

k

k

N

kk

k

k txdtdbty

dtda

00

M

kk

k

k

N

kk

k

k txdtdbty

dtda

00

TLTL

M

kk

k

k

N

kk

k

k txdtdbty

dtda

00

TLTLLinearidade

Diferenciação no tempo sXsbsYsa kM

kk

N

k

kk

00

sXsbsYsa kM

kk

N

k

kk

00

N

k

kk

kM

kk

sa

sb

sXsYsH

0

0



3

1

ssX

sYsH

Equação Diferencial Função de Transferência

tySLIT

tx

M

kk

k

k

N

kk

k

k txdtdbty

dtda

00

N

k

kk

kM

kk

sa

sbsH

0

0

A equação diferencial não dá informação sobre a região de convergência de . sH

É necessário informação adicional, nomeadamente sobre a estabilidade ou causalidade do SLIT, para inferir a região de convergência de . sH

E a região de convergência de ? sH

Ex.SLIT

tx ty txtytydtd

3

sXsYssY 3

TL



Propriedades dos SLITs SLIT causal: 0,0 tht

1. th de duração limitada com 0iT

t

th

iT fT

A região de convergência de é todo o plano incluindo a recta

sHs sRe

Ex. 1

0;Re0;Re

excluindoplano;0

00

0

tsts

sesHttth st

t

th

00 tsistema causal:

0tt

HRs Re

00 t

0tt

sistema não causal: HRs Re





t

th

iT fT


sHs sRe

Ex. 2 fi TtuTtuth 11

0e0;Re0e0;Re0e0;Re

excluindoplano;1

fi

fi

fi

sTsT

TTsTTsTTs

ss

eesH fi

t

th

sistema causal: HRs Re

iT fT

1

sistema não causal: HRs Re

iT fTiT fTsistema não causal: HRs Re





t

th

iT fT


sHs sRe

ssRH Reexcluindoplano:

sRe

sIm

ssXsYsH

sistema não causal

Ex. 3 txdtdty

SLIT tx



2Re s

ss

Reexcl. plano

21

sss


A região de convergência de é a região do plano para a direita de uma recta paralela ao eixo imaginário, incluindo .

sHs

sRe

2. th de duração ilimitada com 0iT

t

th

iT

…

Quando é uma função racional e a região de convergência é direita, incluir na região de convergência é equivalente a .

sH sRe zeros nº polosnº

Sistema não causal

Sistema causalEx 1.

ss

ssssH

Re excl. 2Re

2132

2Re21

sss

tx ty

sss

Reexcl. plano




A região de convergência de é a região do plano para a direita de uma recta paralela ao eixo imaginário, incluindo .

sHs

sRe

2. th de duração ilimitada com 0iT

t

th

iT

…

Quando é uma função racional e a região de convergência é direita, incluir na região de convergência é equivalente a .

sH sRe zeros nº polosnº

Ex 2.

)Re(s

)Im(s

Sistema não causal

)Re(s

)Im(s

Sistema causal

)Re(s

)Im(s

Sistema não causal



condição necessária para que o sistema seja estável

1

dteeth tjt

js

Propriedades dos SLITs SLIT estável:

dtth

dtethsH st

dteeth tjt

dteth t

Para , i.e., 0 js

dtthjH quando o SLIT é estável.

HR imaginário eixo

HR imaginário eixo e zeros nº polos nºestável SLIT

Para racional, a condição anterior é também condição suficiente desde que ,i.e.

sH zeros nº polos nº



tem 1 zero mas não tem polos sH

sistema instável


dtth


Ex 1. txdtdty

SLIT tx

sRe

sIm

ssXsYsH




dtth


Ex 2.

)Re(s

)Im(s

Sistema estável

)Re(s

)Im(s

Sistema instável

)Re(s

)Im(s

Sistema instável



3Re s

Propriedades dos SLITs

3Re s

SLIT causal

sRe

sIm

3 sRe

sIm

3

SLIT estável

Exemplo:

SLIT tx ty txtyty

dtd

3 3

1

ssX

sYsH

equação diferencial função de transferência



Propriedades dos SLITs

Exemplo tySLITcausal

tx

Valor final da resposta à entrada escalão unitário: 5lim

tyt

Função de transferência do sistema:

1. Sistema causal: 1Re: sRH

2. Mapa polos/zeros: 222

112

2

sssK

jsjssKsH

Mapa polos/zeros

sRe

sIm

1

j

j

2

3. Teorema do valor final: 55221limlimlim

00

KK

sssHssYty

sst

1Re;22

25 2

s

ssssH

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