DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE 2009 - Operação de ... · exercícios simples ou complexos ou ainda...
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O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
2009
Versão Online ISBN 978-85-8015-054-4Cadernos PDE
VOLU
ME I
CLIZEIDE VIEIRA DOS SANTOS
ARTIGO FINAL
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: COMO DESENVOLVER A
COMPREENSÃO DA
MATEMÁTICA EM ALUNOS DE 5ª SÉRIE ENVOLVENDO AS
QUATRO OPERAÇÕES.
ARARUNA-PR
2010/2011
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Resolução de Problemas: Como desenvolver a compreensão da
Matemática em alunos de 5ª série envolvendo as quatros operações
Clizeide Vieira dos Santos1
Valdir Alves2
RESUMO
Este artigo apresenta o relato do trabalho desenvolvido na Escola Estadual “29
de Novembro – Ensino Fundamental, numa 5ª série do período matutino no município
de Araruna-PR, no ano de 2010. A resolução de problemas tem sido apontada como
uma metodologia para o ensino da Matemática que pode aumentar o interesse dos
alunos, sua motivação, além de ajudar no desenvolvimento do raciocínio lógico e de
outras habilidades matemáticas. Dessa forma, ao utilizar esta metodologia o aluno
terá a oportunidade de aplicar conhecimentos matemáticos previamente adquiridos
em situações novas de modo que venha solucionar a atividade proposta.
Palavras-chaves: Resolução de Problemas; Operações Fundamentais; Prática
Metodológica.
1 Pós-graduada em Metodologia da Matemática, integrante do Programa de Desenvolvimento da Educação (PDE).
2 Professor Orientador Mestre em Matemática: Métodos Numéricos em Engenharia, Faculdade Estadual Ciências e
Letras de Campo Mourão-FECILCAM
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INTRODUÇÃO
A matemática está presente na vida cotidiana de todo cidadão, por vezes de
forma implícita ou explicita no momento em que abrimos os olhos e olhamos as horas
no relógio, fazemos almoço e ainda andamos na rua para fazer compras, estamos
exercitando nossos conhecimentos matemáticos. Assim constatamos a importância da
matemática que desempenha papel decisivo em nosso cotidiano nos ajudando a
resolver problemas, criando soluções para os mesmos.
A matemática é vista atualmente como uma disciplina que traz grandes
dificuldades no processo ensino-aprendizagem, tanto para os alunos, como para os
professores envolvidos no mesmo. De um lado, observa-se a incompreensão e a falta
de motivação dos alunos em relação aos conteúdos matemáticos ensinados em sala
de aula de forma tradicional, e do outro, está o professor que não consegue alcançar
resultados satisfatórios no ensino de sua disciplina.
Essas deficiências quando falamos da 5ª série, refletem a preocupação que
todo aluno, nessa série deveria ter um considerável domínio das estruturas aditivas.
Visando compreender as dificuldades ainda presentes no domínio das
estruturas aditivas da 5ª série, a presente proposta visa desenvolver o raciocínio
lógico, criatividade e a capacidade de resolver problemas desenvolvendo à adição,
subtração, multiplicação e divisão, assim ajudando os alunos a superarem alguns
obstáculos que comumente estão relacionados a aprendizagem e ensino da
matemática.
Segundo Dante (2000), as rápidas mudanças sociais e o aprimoramento cada
vez maior e mais rápido da tecnologia impedem que se faça uma previsão exata de
quais habilidades, conceitos e algoritmos matemáticos seriam úteis hoje para preparar
um aluno para sua vida futura. Ensinar apenas conceitos e algoritmos que atualmente
são relevantes parece não ser o caminho, pois eles poderão tornar-se obsoletos daqui
a quinze ou vinte anos, quando a criança de hoje estará no auge de sua vida
produtiva. Assim, um caminho bastante razoável é preparar o aluno para lidar com
situações novas, quaisquer que sejam elas. E, para isso, é fundamental desenvolver
nele iniciativa, espírito explorador, criatividade e independência através da resolução
de problemas.
Dessa forma, a resolução de problemas á um recurso que se abre a diversas
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possibilidades de trabalho em sala de aula, exigindo assim certa “postura” e
conhecimento do professor na contemporaneidade. A adoção dessa alternativa
metodológica ajuda a preparar os alunos para enfrentarem situações novas, seja na
sua vida escolar como também no dia-a-dia, e a desenvolverem a autonomia, pois ao
resolver problemas estão sempre tendo que tomar decisões.
A resolução de problemas, segundo Dante (2000), pode contribuir para que o
aluno, em seu processo de formação, não só construa esquemas conceituais, mas
também desenvolva uma visão crítica que lhe permita manipular grandes volumes de
informações, trazidas pelos meios de comunicação de forma tão diversificada, a ponto
de selecionar e compreender as relevantes. Nesse sentido, a escola e o professor são
cada vez mais imprescindíveis, na importante tarefa de preparar o aluno de forma a
desenvolver habilidades que o tornarão capaz de responder à demanda do mundo
globalizado.
De acordo com as Diretrizes Curriculares de Educação Básica do Estado do
Paraná, um dos desafios do ensino de Matemática é a abordagem de conteúdos para
a resolução de problemas, por se tratar de uma metodologia pela qual o estudante
tem a oportunidade de aplicar conhecimentos matemáticos adquiridos em novas
situações, de modo a resolver a questão proposta.
Sendo a Resolução de Problemas uma Tendência em Educação Matemática de
grande importância, se faz uma série de colocações a esse respeito, como por
exemplo:
O que é um problema?
O que é um problema matemático?
Como se classificam os problemas?
Que esquema se pode utilizar para a resolução de problemas?
O que é um problema?
Ás vezes o que parece ser um problema para uma pessoa, parece não ser
para outra, mas o que leva as pessoas a pensarem o que é ou não um problema?
Para Dante (2000) “problema é qualquer situação que exija o pensar do
indivíduo para solucioná-la”.
Segundo Pereira (1980) “problema é toda situação na qual o indivíduo
necessita obter novas informações e estabelecer relações entre elementos
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conhecidos e os conteúdos num objetivo a que se propõe a realizar para atingi-lo”.
Para Azevedo (2002) “problema, para nós, é tudo aquilo que não sabemos
fazer, mas que estamos interessados em fazer. Assim, problemas com enunciados,
exercícios simples ou complexos ou ainda demonstrações, de qualquer natureza, que
não sabemos fazer, constituem em problemas”.
O que é um problema matemático?
Segundo Dante (2000) “é qualquer situação que exija a maneira matemática de
pensar e conhecimentos matemáticos para solucioná-la”.
Como se classificam os problemas?
Segundo Dante (2000), a classificação dos problemas pode ser representada
por: exercícios de reconhecimento; exercícios de algoritmos; problemas-padrão;
problemas-processo ou heurístico; problemas de aplicação e problemas de quebra-
cabeça.
Exercícios de reconhecimento
Seu objetivo é fazer com que o aluno reconheça, identifique ou lembre um
conceito, um fato específico, uma definição, uma propriedade, etc.
Exemplos:
Dados os números 2, 5, 10, 103, 156 e 207, quais são pares?
Uma centena equivale a quantas dezenas?
Exercícios de algoritmos
Seu objetivo é treinar a habilidade em executar um algoritmo e reforçar
conhecimentos anteriores.
Exemplos:
Calcule o valor de [(3 . 4) + 2] : 7
Efetue:
a) 128 + 79
5
b) 101 – 68
Problemas-padrão
O objetivo desses problemas é recordar e fixar os fatos básicos através dos
algoritmos das quatro operações fundamentais, além de reforçar o vínculo existente
entre essas operações e seu emprego nas situações do dia-a-dia. A solução do
problema já está contida no próprio enunciado.
Exemplo:
Numa classe há 17 meninos e 22 meninas. Quantos alunos há na classe?
Um gato tem 4 patas. Quantas patas têm 3 gatos?
Problemas-processo ou heurísticos
São problemas cuja solução envolve operações que não estão contidas no
enunciado. Em geral, não podem ser traduzidos diretamente para linguagem
matemática, nem resolvidos pela aplicação automática de algoritmos, pois exigem do
aluno um tempo para pensar e arquitetar um plano de ação, uma estratégia que
poderá levá-lo à solução. Por isso esses tipos de problemas aguçam a curiosidade do
aluno e permitem que ele desenvolva sua criatividade, sua iniciativa e seu espírito
explorador. E, principalmente, iniciam o aluno no desenvolvimento de estratégias e
procedimentos para resolver situações-problema, o que, em muitos casos, é mais
importante que encontrar a resposta certa.
Exemplo:
Numa reunião de equipe há 6 alunos. Se cada um trocar um aperto de mão
com todos os outros. Quantos apertos de mãos teremos ao todo?
Problemas de aplicação
São aqueles que retratam situações reais do dia-a-dia e que exigem o uso da
Matemática para serem resolvidos. São também chamados de situação-problema.
Através de conceitos, técnicas e procedimentos matemáticos procura-se matematizar
uma situação real, organizando os dados em tabelas, traçando gráficos, fazendo
operações, etc.
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Exemplo:
Para fazer seu relatório, um diretor de escola precisa saber qual é o gasto
mensal, por aluno, que ele tem com a merenda escolar. Vamos ajudá-lo a
fazer esses cálculos?
Podemos levantar as seguintes questões:
a) Quantos alunos comem a merenda por dia? E por mês?
b) Quantos quilos de arroz, macarrão, tomate, cebola, sal, etc. a escola recebe
por mês?
c) Qual o preço atual, por quilo, de cada um desses alimentos?
d) Quanto se gasta de gás?
e) Qual o salário mensal da merendeira?
Problema de quebra-cabeça
São problemas que envolvem e desafiam grande parte dos alunos. Geralmente
constituem a chamada Matemática recreativa, e sua solução depende, quase sempre,
de um golpe de sorte ou da facilidade em perceber algum truque, que é a chave da
solução.
Exemplo:
Com 24 palitos de fósforo, forme 9 quadradinhos, Como fazer para tirar
apenas 4 palitos e deixar 5 quadradinhos?
Que esquema se pode utilizar para a resolução de problemas?
Como sugestão de esquema de resolução de problemas, se pode utilizar o de
Polya (1994), composto de 4 fases, as quais são: compreender o problema; elaborar
um plano; executar o plano; fazer o retrospecto ou verificação.
É claro que essas etapas não são rígidas, fixas e infalíveis. O processo de
resolução de um problema é algo mais complexo e rico, que não se limita a seguir
instruções passo a passo que levarão à solução, como se fosse um algoritmo.
Entretanto, de um modo geral elas ajudam o solucionador a se orientar durante o
processo. Vejamos com mais detalhes cada uma dessas etapas.
1ª etapa: compreender o problema
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Antes de começarmos a resolver o problema, precisamos compreendê-lo. Para
isso, devemos responder a questões como:
a) O que se pede no problema?
b) Quais são os dados e as condições do problema?
c) É possível fazer uma figura, um esquema ou um diagrama?
d) É possível estimar a resposta?
2ª etapa: elaborar um plano
a) Qual é o seu plano para resolver o problema?
b) Que estratégia você tentará desenvolver?
c) Você se lembra de um problema semelhante que pode ajudá-lo a resolver
este?
d) Tente organizar os dados em tabelas e gráficos.
e) Tente resolver o problema por partes.
3ª etapa: executar o plano
a) Execute o plano elaborado, verificando-o passo a passo.
b) Efetue todos os cálculos indicados no plano.
c) Execute todas as estratégias pensadas, obtendo várias maneiras de resolver
o mesmo problema.
4ª etapa: fazer o retrospecto ou verificação
a) Examine se a solução obtida está correta.
b) Existe outra maneira de resolver o problema?
c) É possível usar o método empregado para resolver problemas semelhantes?
Segundo Nogueira (2000) a Resolução de Problemas tem alguns princípios
que precisam ser assumidos incondicionalmente pelo professor:
O ponto de partida para a atividade matemática não é a definição, mas
o problema;
O problema que motiva a aprendizagem não é o exercício de aplicação
quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório;
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Só existe problema quando o aluno se sente desafiado a resolvê-lo e
quando precisa interpretar o resultado da questão;
Aproximações sucessivas ao conceito são construídas para resolver
certos tipos de problemas.
A resolução de problemas não é uma atividade isolada para ser desenvolvida
separadamente das aulas regulares, mas deve ser parte integrante do currículo e
cuidadosamente preparada para ser realizada de modo contínuo e ativo ao longo do
ano letivo, usando as habilidades e os conceitos matemáticos que estão sendo
desenvolvidos. Não se aprende a resolver problemas de repente. É um processo
vagaroso e contínuo, que exige planejamento.
Diante do que propõe os pesquisadores Dante e Polya, no qual está
fundamentada esta pesquisa, procurei elaborar um rol de problemas interessantes
que levassem os alunos a debruçarem sobre os mesmos de maneira significativa,
levando-os a passar pelas fases que os mesmos propõe.
METODOLOGIA
A implementação do projeto foi desenvolvida através da abordagem de uma
Tendência em Matemática, que é a Resolução de Problemas envolvendo as quatro
operações básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão).
No primeiro contato com a turma foi exposto para eles o trabalho a ser
desenvolvido durante um certo período, e a respeito da metodologia que seria
aplicada. Foi feito uma breve explanação do projeto e sua finalidade, a princípio eles
se mostraram interessados por se tratar de algo diferente.
No primeiro dia falando com os alunos sobre o método que ia ser utilizado na
aplicação na Resolução de Problemas seria fundamentada na teoria de Pólya (2006):
compreender o problema, elaborar um plano, executar o plano e o retrospecto.
Durante a aplicação das atividades os alunos foram divididos em grupos para
resolverem os problemas propostos, escolhendo e registrando as estratégias
utilizadas, os procedimentos desenvolvidos e a resposta encontrada. Em todo
momento a professora enfatizou a importância da leitura, tendo que ser feita se
preciso mais de uma vez. Sempre encorajando os alunos a trocarem de idéias com os
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demais integrantes do grupo e a registrarem todos os passos utilizados até chegarem
ao resultado final.
Apresentamos a seguir dois problemas utilizados na implementação do
projeto:
Problema Escondido
Procedimentos: Dividir a turma em 5 ou 6 grupos, cada grupo escolhe um aluno para
representá-los, esse aluno escolhe a cor do envelope e a pontuação que o grupo
deseja. Um problema seria desvendado do envelope escolhido e todos os grupos
resolveriam a questão. Se o grupo que escolheu a questão não conseguir resolvê-la,
outro grupo que primeiro apresentar a questão no quadro corretamente marca a
pontuação. E vence o grupo que marcar mais pontos.
FOTO CLIZEIDE
Problemas dos envelopes
ROSA (1 ponto)
1) Numa fazenda há 6525 laranjeiras, 2968 mangueiras e 1024 abacateiros. O dono
da fazenda quer que ela tenha 12000 árvores. Quantas faltam plantar?
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2) Dezenove andorinhas voavam, juntaram-se mais três casais. Quantas andorinhas
Ficaram ao todo?
3) Quantos carros se podemos formar com 186 pneus? Sobra algum pneu?
4) Quantos apertos de mão 5 pessoas podem trocar entre si, se cada uma
cumprimenta todas as outras?
VERDE (2 pontos)
1) Quantos anos tem uma pessoa que nasceu em 1929?
2) Quais os algarismos que estão faltando na conta ao lado: 9 # 4
x 8
7<3<
3) Dois casais de namorados vão sentar-se em um banco de uma praça. Em
quantas ordens diferentes os quatro podem sentar-se no banco, de modo que cada
namorado fique ao lado de sua namorada?
4) Um vendedor de brinquedos quer lucrar R$ 2,00 na venda de cada carrinho de ferro
e R$ 1,00 na venda de cada carrinho de plástico. Ele comprou 12 carrinhos de
ferro por R$ 120,00 e 6 carrinhos de plástico por R$ 30,00. Por quanto será
preciso vender cada carrinho de ferro e cada carrinho de plástico?
AMARELO (3 pontos)
1) Pensei num número, multipliquei por 4 e ao resultado somei 5. Resultou 41. Em
que número pensei?
2) A mãe de Maria saiu de casa com R$ 87,00. Pagou uma conta de R$ 59,00 e
passou no Caixa Eletrônico, onde retirou R$ 100,00. Depois foi ao supermercado,
onde gastou R$ 79,00. Voltando para casa, uma vizinha lhe pagou uma dívida de
R$ 25,00. Com quanto dinheiro ela chegou em casa?
3) Uma sorveteria tem sorvetes de 3 sabores diferentes: chocolate, morango e creme.
Quais são tipos de sorvete de 2 bolas que podem ser formados? Quantos são
esses tipos?
4) Um ramo de flores com 4 rosas e 2 tulipas custou 70 reais. Sabendo que cada
tulipa custou mais 5 reais do que uma rosa. Qual será o preço de cada rosa e de cada
tulipa.
AZUL (4 pontos)
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1) A classe de Serginho tem 6 fileiras. Cada fileira tem 5 carteiras. Uma carteira
está sempre vazia. Quantos alunos há na classe dele?
2) A prefeitura de uma certa cidade fez uma campanha que permite trocar 4
garrafas de 1 litro vazias por uma garrafa de 1 litro cheia de leite. Até quantos litros
de leite pode obter uma pessoa que possuir 43 dessas garrafas vazias?
3) Imagine as cidades A, b e C, que localizam à beira de uma rodovia. Da cidade A
até B, há 132Km e, da cidade A até C, há 85 Km. Qual a distância da cidade B até
C?
Observação: há mais de uma resposta.
4) Um fazendeiro comprou 1128 cabeças de gado, mas terá que levá-los até sua
fazenda. Contratou uma frota de caminhões para fazer o transporte. Cada
caminhão pode levar 36 cabeças. Para transportar todos, quantos caminhões, no
mínimo, serão necessários?
Ao iniciar a atividade os alunos estavam muito ansiosos, fui conversando com
eles relembrando os passos que teriam que seguir para facilitar a resolução, quando
tinham dificuldades achando que era difícil e impossível a resolução, questionavam
fazendo perguntas como resolver, respondia com perguntas a eles para
desenvolverem o raciocínio para chegarem à solução, o que achavam impossível se
tornava fácil ao conseguirem o resultado final. Percebe-se que alguns alunos não
conseguiam chegar ao resultado devido a razão de falta de leitura e interpretação. Ao
fazer o retrospecto foi interessando a participação e as maneiras como chegaram a
solução. Ao realizar a atividade, os alunos almejavam encontrar as soluções corretas
para as situações-problemas, assim, precisavam se comunicar entre si. Em virtude
disso o clima de amizade entre eles foi visível no decorrer das atividades. No término
dessa atividade a ansiedade era grande por parte dos alunos para saberem qual dos
grupos foi o vencedor.
Pesquisando os preços
Procedimentos: Divide-se os alunos em dois grupos. Um grupo será os vendedores e
o outro os compradores, e vice-versa. Cada aluno comprador receberá uma lista para
fazer compras no supermercado, terá duas opções: Supermercado Tio João e
Supermercado Vendo Bem. Será entregue para cada aluno duas folhas de cheque
para ir as compras. Depois inverte vendedores e compradores. Para finalizar será feito
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uma plenária para ver quem gastou menos.
FOTO CLIZEIDE
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FOTO CLIZEIDE
Lista da Compra
PRODUTO
PREÇO UNITÁRIO
QUANTIDADE
TOTAL
Arroz 2
Feijão 3
Óleo 3
Leite 4
Macarrão 3
Carne 5kg
Refrigerante 2
Extrato de tomate 3
Frango 2Kg
Sabão em pó 2
Linguiça 1kg
Café 1
Farinha trigo 1
Peixe 2Kg
Margarina 1
Sabão em pó 3
Total gasto : R$ ______________
Após as compras responder:
a) Qual supermercado você mais comprou?
b) Quantos reais foi gasto no Supermercado Tio João?
c) Quantos reais foi gasto no Supermercado Vendo Bem?
d) Compare o valor com seus colegas quem gastou menos? E qual foi o valor?
e) Por que ele gastou menos?
No decorrer da semana os alunos esperavam ansiosos pela próxima aula.
Antes de começarem à compra, foi passado para os alunos que teriam dois mercados
para fazerem a mesma compra e ao final seria visto qual grupo gasto menos para
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fazer a mesma compra. A maioria dos grupos, primeiramente observaram os preços e
depois começaram as compras sempre fazendo suas anotações e as contas
necessárias para saber o preço que estava pagando pela mercadoria, teve um grupo
que se preocupou em terminar primeiro escolhendo um mercado e fazendo sua
compra. No retrospecto fazendo a análise dos resultados foi muito interessante à
participação e a discussão, do porque um dos grupos fez a mesma compra mas
gastou menos, e a relação que fizeram com o dia-a-dia quando sua família vai as
compras muitos falaram que os pais fazem pesquisa de preços antes de comprar,
outros só compram em um determinado local.
No decorrer da intervenção os alunos se sentiam desafiados a resolver os
problemas a partir de seus conhecimentos prévios, especialmente quando estavam
relacionados com seu cotidiano. Na atividade em que os alunos tiveram que formular
seu próprio problema, ocorreu um elo da linguagem verbalizada com a linguagem
matemática da situação. Ao produzir situações-problemas o aluno pode relacionar
informações da sua realidade cotidiana com os conteúdos trabalhados em sala de
aula, e também essa atividade contribuiu no reforço da resolução usando as quatro
operações. Assim pude constatar que os alunos se apropriaram de diversos tipos de
conhecimentos, alguns usaram mais de uma operação.
Desse modo, ao propor situações-problemas o professor possibilita à
produção do conhecimento onde o aluno busca a participação ativa e compartilha
resultados analisando reflexões e respostas que promovem uma aprendizagem com
significado e compreensão de todos.
CONCLUSÃO
A resolução de Problemas não é uma atividade isolada para ser desenvolvida
separadamente das aulas regulares, mas deve ser parte integrante do currículo e
cuidadosamente preparada para ser realizada de modo contínuo e ativo ao longo do
ano letivo, usando as habilidades e os conceitos matemáticos que estão sendo
desenvolvidos. Não se aprende a resolver problemas de repente. É um processo
vagaroso e contínuo, que exige planejamento.
O professor deve mostrar ao aluno a necessidade de resolver problemas na
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vida diária, o valor de enfrentar desafios que exigem grande esforço e dedicação,
mesmo que não os solucione corretamente, pois o ato de tentar resolvê-los com
empenho já é um grande aprendizado.
Não devemos dizer ao aluno aquilo que ele pode descobrir por si só. Suas
sugestões em pontos críticos devem ser incentivos para mantê-los interessados em
resolver o problema. Ao incentivar os alunos na resolução de problema, devemos
apresentar sugestões e insinuações, mas nunca apontar o caminho a ser seguido. É
melhor transformar as informações que porventura forneceríamos em descobertas do
aluno orientadas por nós. Alguns segundos de prazer da descoberta valem mais do
que mil informações que possam transmitidas ao aluno.
Desta forma, o trabalho com a metodologia da resolução de problemas com
alunos da 5ª série, se destaca como um mecanismo a mais para despertar no aluno a
motivação e, desta forma, atualizar o ensino da matemática aos padrões modernos,
mais agradáveis a todos.
A implementação proporcionou melhoras na compreensão dos conceitos das
operações básicas, pois é notória a evolução dos alunos ao comparar os resultados
dos problemas diagnosticados.
Todavia os alunos demonstraram interpretar com mais clareza os problemas
aplicados ás operações corretamente e se mostraram mais seguros de si tendo a
certeza do que queriam e da solução que apresentavam.
Mais do que nunca precisamos de pessoas ativas e participantes, que deverão
tomar decisões rápidas e, tanto quanto possível e precisas. Assim, é necessário
formar cidadãos matematicamente alfabetizados, que saibam como resolver, de modo
inteligente seus problemas de comércio, economia, administração, engenharia,
precisão do tempo e outras da sua vida diária.
E para isso, é preciso que a criança tenha, em seu currículo de Matemática
elementar, a resolução de problemas com parte substancial, para que desenvolva
desde cedo sua capacidade de enfrentar situações problema. Se durante a vida
escolar forem dadas oportunidades ao aluno de se envolver com diferentes situações
problemas, quando adulto agirá com inteligência e maturidade ao ter que enfrentar
seus problemas da vida diária, sejam elas de ordem econômica, política e social.
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REFERÊNCIAS
ANDRADE, Doherty; NOGUEIRA, Clélia Maria Ignatius (org). Educação
matemática e as operações fundamentais. Mariguá: Eduem, 2005.
DANTE, Luiz Roberto. Didática da resolução de problemas de matemática. São
Paulo: Ática, 2000.
PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares de
Matemática da Rede Pública de Educação Básica do Paraná. Curitiba, 2008.
POLYA, George. A arte de resolver problemas: um novo enfoque do método
matemático. 2ª ed. Rio de Janeiro: Interciência, 1994.