www.engenhariafacil.weebly.com

Resumo com exercícios resolvidos do assunto:

Sistemas de Partículas

(I) Conservação do Momento

(II) Centro de Massa

(III) Colisões

(I) Conservação do Momento

Na mecânica clássica, momento linear ou quantidade de movimento é o produto

da massa pela velocidade de um objeto: 𝑝 = 𝑚𝑣 . Por exemplo: um caminhão de grande

massa se movendo rapidamente tem uma grande quantidade de movimento — assim

como é necessário que haja uma grande força atuando sobre o caminhão para fazê-lo

chegar a tal velocidade, é preciso que uma força igualmente elevada aja sobre ele a fim de

pará-lo. Logo, a quantidade de movimento de um corpo é diretamente proporcional à

massa do mesmo. O momento linear é uma grandeza vetorial, cuja direção e sentido são

os mesmos da velocidade.

Antes de avançarmos, mudando um pouco a ordem das explicações dos principais

livros de Física I, vamos estudar o Impulso de uma força.

Impulso de uma força

De forma simples e prática, temos que o impulso é uma grandeza física que relaciona a

força que atua sobre um corpo durante um intervalo de tempo. Temos a seguinte relação,

advinda da Segunda Lei de Newton:

𝐹𝑒𝑥𝑡 =𝑑𝑝

𝑑𝑡→ 𝑑𝑝 = 𝐹𝑒𝑥𝑡 𝑑𝑡 → 𝑑𝑝

𝑝𝑓

𝑝𝑖

= 𝐹𝑒𝑥𝑡 𝑑𝑡𝑡𝑓

𝑡𝑖

Sendo 𝑝 o vetor momento linear de um sistema.

𝑝𝑓 − 𝑝𝑖 = 𝐹𝑒𝑥𝑡 𝑡𝑓 − 𝑡𝑖

∆𝒑 = 𝑰 = 𝑭 𝒆𝒙𝒕∆𝒕

Logo, podemos afirmar que:

Sendo assim, se não houver atuação de forças externas (F=0), temos:

∆𝒑 = 0 → 𝑝𝑓 − 𝑝𝑖 = 0 → 𝑝𝑖 = 𝑝𝑓

𝑝𝑖 = 𝑝𝑓 → 𝑚1𝑣1𝑖 + 𝑚2𝑣2𝑖

+ ⋯+ 𝑚𝑛𝑣𝑛𝑖 = 𝑚1𝑣1𝑓

+ 𝑚2𝑣2𝑓 + ⋯+ 𝑚𝑛𝑣𝑛𝑓

Daí,chegamos a seguinte conclusão:

Além disso, se houver forças internas de uma partícula agindo sobre a outra, porém ambas em

um mesmo sistema, o momento linear também é conservado.

“Cara,guarde isto no seu cérebro trancado a 7 chaves pelo menos até o dia da prova, pois com

certeza cairá mais de uma questão sobre esse tema,além disso exercite bastante para chegar

esperto na prova.” #Fikdik.

Exemplo 1: (UFRJ-2013.1-Modificada) A figura mostra um carrinho de massa m, sobre um trilho de ar, que comprime de x uma mola de constante elástica k. O carrinho está inicialmente preso ao suporte do trilho por um fio. O fio é cortado, e a mola expande-se empurrando o carrinho. Ao passar pela posição de equilíbrio da mola, o carrinho perde contato com a mola. No trajeto até perder contato com a mola,de quanto foi o impulso fornecido ao carrinho?

O Impulso dado pela força no carrinho é justamente o produto da força F pelo tempo. Mas

pelo Teorema anteriormente citado, temos que 𝑰 = ∆𝒑 . Logo, podemos calcular a o impulso pela variação do momento linear.

Temos que,para achar ∆𝑝,temos:

∆𝑝 = 𝑝𝑓 − 𝑝𝑖 = 𝑚 𝑣𝑓 − 𝑣𝑖

Como o movimento partiu do repouso, temos 𝑣𝑖 = 0,logo:

∆𝑝 = 𝑚𝑣𝑓 (𝐼)

Pela conservação da Energia Mecânica, temos:

Sem a ação de forças externas o momento linear é conservado.

O Impulso gerado por uma força F durante certo tempo ∆𝑡 ocasiona e é igual

a variação no vetor momento linear do sistema.

1

2𝑘𝑥𝑖² +

1

2𝑚𝑣𝑖² =

1

2𝑘𝑥𝑓 +

1

2𝑚𝑣𝑓²

0

1

2𝑘𝑥𝑖

2 =1

2𝑚𝑣𝑓

2

𝑣 = 𝑥 𝑘

𝑚 (𝐼𝐼)

Aplicando (II) em (I), temos:

∆𝑝 = 𝑚𝑣𝑓 = 𝑥 𝑘𝑚

Exemplo 2: (UFRJ-2013.2)Uma granada encontra-se em repouso sobre uma mesa horizontal lisa (sem atrito) e explode em três fragmentos. Os fragmentos adquirem momentos lineares 𝑝1 ,𝑝2 𝑒𝑝3 de módulos diferentes de zero, cujas direções formam ângulos diferentes entre si. O diagrama correto que representa a relação entre os momentos lineares destes fragmentos é:

Como não há atuação de força externas, temos: Pela conservação do momento linear, temos:

𝑝𝑖 = 𝑝𝑓

Como 𝑝𝑖 = 0 ,𝑝𝑓 = 0, ou seja, a soma dos vetores é igual a zero.No caso, a alternativa 5, letra

E.

Outro exemplo bastante conhecido e cobrado em provas, é o que um pai puxa seu filho (ambos de patins de gelo sem atrito) com uma corda, sendo a massa do pai maior que a do filho, quem chega primeiro no centro?

Neste caso, estando ambos inicialmente parados, temos, pela conservação do momento linear,pois a única força que existe é interna(do pai no filho) :

𝑝𝑖 = 𝑝𝑓

0 = 𝑚𝑝𝑎𝑖 𝑣𝑝𝑎𝑖 + 𝑚𝑓𝑖𝑙𝑕𝑜𝑣𝑓𝑖𝑙𝑕𝑜

Logo: 𝑣𝑓𝑖𝑙𝑕𝑜 = −𝑚𝑝𝑎𝑖 𝑣𝑝𝑎𝑖

𝑚𝑓𝑖𝑙 𝑕𝑜

Sendo 𝑚𝑝𝑎𝑖 > 𝑚𝑓𝑖𝑙𝑕𝑜 |𝑣𝑓𝑖𝑙𝑕𝑜| > |𝑣𝑝𝑎𝑖 |

Logo, o filho chegará antes no meio do percurso.

(II) Centro de Massa

Centro de massa é o ponto de um sistema onde se pode considerar, para efeitos de

translação, que está concentrada toda sua massa. Consequentemente, é nele que está sendo

realizada a força resultante no sistema, e usa-se o movimento do centro de massa para

descrever o movimento do sistema como um todo.

Vamos começar pelo caso mais simples. Se tivermos três objetos, por exemplo, no espaço, a

sua posição pode ser calculada por:

𝑥𝐶𝑀 =𝑚1𝑥1 + 𝑚2𝑥2 + 𝑚3𝑥3

𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3

𝑦𝐶𝑀 =𝑚1𝑦1 + 𝑚2𝑦2 + 𝑚3𝑦3

𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3

𝑧𝐶𝑀 =𝑚1𝑧1 + 𝑚2𝑧2 + 𝑚3𝑧3

𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3

Sendo 𝑥𝑛 ,𝑦𝑛 𝑒 𝑧𝑛 as posições do Centro de Massa dos corpos, pontuais ou rígidos.

Obs: A posição do centro de massa de objetos com massa homogênea em toda sua extensão é exatamente no meio, como por exemplo o centro de massa de uma reta de comprimento L é em L/2,e o de um quadrado de lado a, considerando seu vértice inferior esquerdo na origem

de um sistema cartesiano, está localizando no ponto 𝑥,𝑦 = (𝑎

2,𝑎

2).

Podemos generalizar afirmando que a posição do centro de massa rcm pode ser dada por:

𝑟𝑐𝑚 = 𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑖=1

𝑚𝑖𝑛𝑖=1

(1)

Exemplo: (UFRJ-2013.2-Modificada)Uma chapa homogênea quadrada de lado 2a tem um

canto quadrado de lado a retirado. A chapa restante está disposta no plano OXY como

indicado na figura. Em relação à origem O, qual o vetor posição 𝑟𝐶𝑀 do centro de massa?

Para determinar a posição do centro de massa, temos:

𝑥𝐶𝑀 =𝑚1𝑥1 + 𝑚2𝑥2

𝑚1 + 𝑚2

Sendo 𝛽 a densidade superficial (ou areolar) da placa, temos:

𝛽 =𝑚

𝐴 ,𝑚 = 𝛽𝐴

Sendo A a área da placa.

Logo:

𝑥𝐶𝑀 =𝛽𝐴1𝑥1 + 𝛽𝐴2𝑥2

𝛽𝐴1 + 𝛽𝐴2=

𝐴1𝑥1 + 𝐴2𝑥2

𝐴1 + 𝐴2

Se 𝐴2 for retirada de 𝐴1, consideramos 𝐴2 negativa. Logo, temos:

𝑥𝐶𝑀 =𝐴1𝑥1 + 𝐴2𝑥2

𝐴1 + 𝐴2=

4𝑎². 𝑥1 − 𝑎²𝑥2

4𝑎² − 𝑎²=

4𝑥1 − 𝑥2

3=

4𝑎 −𝑎2

3=

7

6𝑎𝑖

A mesma conta é feita para o 𝑦𝐶𝑀(verifique). Logo, temos:

𝑃𝑜𝑠𝑖çã𝑜 𝑑𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 =7

6(𝑖 + 𝑗 )

Derivando a equação 1 em função do tempo, temos:

𝑣𝑐𝑚 =𝑑𝑟𝑐𝑚𝑑𝑡

= 𝑚𝑖 𝑑𝑟𝑖/𝑑𝑡𝑛𝑖=1

𝑚𝑖𝑛𝑖=1

Logo, podemos calcular a velocidade do Centro de Massa pela relação:

𝑣𝑐𝑚 =𝑚1𝑣1 + 𝑚2𝑣2 + 𝑚3𝑣3 + ⋯

𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 + ⋯

Com a ausência de forças externas podemos utilizar conservação do momento linear para o centro de massa, temos que:

𝑝𝑖 = 𝑝𝑓 = 𝑚 𝑣 𝑐𝑚 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙= 𝑚 𝑣 𝑐𝑚 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙

Logo, temos que:

𝑣 𝑐𝑚 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙= 𝑣 𝑐𝑚 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙

(III) Colisões

Se a velocidade inicial for nula, temos que a posição do centro de massa está parada, e

com ausência de forças externas sempre permanecerá parada. Isto é muito comum em

cair nas provas, principalmente como no exemplo abaixo:

Exemplo: (Moyses Nussenzveig)

Um remador de 75kg, sentado na popa de uma canoa de 150kg de 3m de comprimento,

conseguiu trazê-la para uma posição que está parada perpendicularmente à margem de um

lago, que nesse ponto forma um barranco, com a proa encostada numa estava onde o

remador quer amarrar a canoa. Ele se levanta e caminha até a proa, o que leva a canoa a

afastar-se da margem. Chegando à proa, ele consegue, esticando o braço, alcançar até uma

distância de 80cm da proa. Conseguirá agarrar a estaca?Caso contrário, quanto falta?

Sem a presença de forças externas a velocidade do centro de massa é

conservada.

Considere o centro de massa da canoa como localizado em seu ponto médio e despreze a

resistência da água.

Como não há a ação de forças externas, a única força feita no sistema é pelo pé do pescador

para andar para frente, porém ela é uma força interna e não muda a velocidade nem a posição

P do centro de massa. Logo, podemos calcular a posição do centro de massa no inicio e no final

e dizer que a diferença (𝑥𝐶𝑀𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙− 𝑥𝐶𝑀𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

) foi justamente o que o barco andou para trás,

sendo assim, temos:

Sendo a popa a parte traseira e a proa a dianteira do barco e sendo o centro de massa do garoto na posição 0 e do

barco (corpo extenso) no seu centro, temos:

Xcm = mx + MX

𝑚+𝑀

Sendo m e x a massa e a posição do homem e M e X a massa e a posição do centro de massa do barco, temos:

No inicio:

Xcm= (75.0 + 150.1,5)/(150+75) =1m

No fim:

Xcm= (75.3+150.1,5)/(225)=2m

Pela conservação da posição do centro de massa, o barco se desloca (𝑥𝐶𝑀𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙− 𝑥𝐶𝑀𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

) =

1 metro atrás para permanecer na posição do centro de massa inicial. Logo, a proa do barco fica a 1 metro de distância da estaca. Logo, o pescador não alcança a estaca, pois seu braço tem 80cm, faltando 20cm para alcança-la.

(III) Colisões

Dando prosseguimento ao conteúdo vamos estudar as colisões. Uma colisão é o ato de

duas ou mais partículas ou corpos macroscópicos entrarem em contato podendo trocar

momento e energia ou não.É um evento isolado onde dois ou mais corpos exercem fortes

forças de contato entre si durante um curto espaço de tempo.O resultado de uma colisão

pode ser extremamente variado, desde os corpos ficarem grudados ou entrar em

espalhamento(velocidades e direções distintas), como na figura abaixo.

Aplicando todos estes conhecimentos às colisões ,estudaremos agora dois tipos possíveis de

colisões , elásticas, e inelásticas.Mas antes de abordar os dois tipos de colisões podemos

afirmar que o momento linear é conservado em todos os tipos de colisões,basta apenas não

haver atuação de forças externas agindo sobre o sistema. Estudaremos de uma forma objetiva

em que você não tenha que ficar decorando fórmulas para cada caso.

Colisão Elástica:

É um caso ideal, em que na colisão são conservados o vetor momento linear (como em toda

colisão sem forças externas) e a energia cinética.

Na maioria das questões envolvendo colisões elásticas,devemos fazer um sistema utilizando a

conservação dos dois fatores, como abaixo:

𝑝𝑖 = 𝑝𝑓 → 𝑚1𝑣1𝑖 + 𝑚2𝑣2𝑖

+ ⋯+ 𝑚𝑛𝑣𝑛𝑖 = 𝑚1𝑣1𝑓

+ 𝑚2𝑣2𝑓 + ⋯+ 𝑚𝑛𝑣𝑛𝑓

𝐾𝑖 = 𝐾𝑓 →𝑚1𝑣1𝑖

²

2+𝑚2𝑣2𝑖

²

2+ ⋯+

𝑚𝑛𝑣𝑛 𝑖 ²

2=

𝑚1𝑣1𝑓 ²

2+𝑚2𝑣2𝑓

²

2+ ⋯+

𝑚𝑛𝑣𝑛𝑓 ²

2

Exemplo 1: (IF-UFRJ)

Uma pequena esfera de massa m está verticalmente acima de uma bola maior de massa M.

As duas bolas são deixadas de uma altura h (suponha que os raios das bolas) são desprezíveis

em confronto com h. Se a bola maior ricocheteia elasticamente com o chão e a menor

ricocheteia elasticamente na maior, que valor de m faz com que a bola maior pare no instante

em que colide com a menor?

Resposta:

Temos que imediatamente após a bola de massa M entrar em contato com o chão a bola volta

com a mesma velocidade só que para cima, entrando em colisão com a bola de massa m e

depois permanecendo parada.

Temos a seguinte situação:

Utilizando o sistema com o caso 2 e 3, temos:

Sendo v a velocidade dos dois antes do choque e V a velocidade de m após o choque.

𝑝 𝑖 = 𝑝 𝑓 → 𝑚𝑣 + 𝑀 −𝑣 = 0 + 𝑚𝑉

𝑉 =𝑣 𝑚 −𝑀

𝑚 (𝐼)

𝐾𝑖 = 𝐾𝑓 →𝑚𝑣2

2+𝑀𝑣2

2=

𝑚𝑉2

2

𝑉² =𝑣2 𝑚 + 𝑀

𝑚 ,𝑉 = 𝑣

𝑚 + 𝑀

𝑚 (𝐼𝐼)

Substituindo II em I, temos:

𝑣 𝑚 −𝑀

𝑚= 𝑣

𝑚 + 𝑀

𝑚

𝑚 −𝑀 = 𝑚(𝑚 + 𝑀)

Elevando ambos ao quadrado, temos:

𝑚2 − 2𝑀𝑚 + 𝑀2 = 𝑚2 + 𝑀𝑚

𝑀2 = 3𝑀𝑚 , 𝑙𝑜𝑔𝑜:

𝑴 = 𝟑𝒎

Colisão Inelástica:

São colisões em que o momento linear é conservado, todavia a energia cinética não. Podem

ser divididas em colisões parcialmente e totalmente inelásticas.

Colisões Totalmente Inelásticas: São colisões do tipo “bate-gruda”, ou seja, depois da

colisão entre as partículas, ambas passam a se locomover com uma mesma velocidade

vetorial 𝑣𝑓 . Sendo assim conservado o momento linear, mas não a energia cinética,

sendo dissipada por energia sonora ou térmica.

Temos:

Momento Linear

𝑝 𝑖 = 𝑝 𝑓 → 𝑚1𝑣1𝑖 + 𝑚2𝑣2𝑖

+ ⋯+ 𝑚𝑛𝑣𝑛𝑖 = (𝑚1 + 𝑚2 + ⋯+ 𝑚𝑛)𝑣 𝑓

Energia

𝐾𝑖 = 𝐾𝑓 + 𝜏𝑑𝑖𝑠𝑠𝑖𝑝 .

Sendo 𝜏𝑑𝑖𝑠𝑠𝑖𝑝 . o trabalho dissipado pela energia sonora ou térmica.

Colisões Parcialmente Inelásticas: São colisões que dissipam energia cinética e também

conservam o momento linear, todavia, as velocidades das partículas são diferentes

após a colisão, não sendo uma colisão do tipo “bate-gruda”.

Lembramos também, que o vetor momento linear que é conservado, tendo a conservação em

cada eixo. Podemos afirmar também que:

𝑝𝑖 𝑖 = 𝑝𝑓 𝑖

𝑝𝑖𝑗 = 𝑝𝑓𝑗

𝑝𝑖𝑘 = 𝑝𝑓𝑘

Encontramos muito facilmente, principalmente em questões discursivas de provas antigas

questões no caso bidimensional. Para resolver, basta resolver os mesmos sistemas utilizando,

desta vez, a igualdade dada anteriormente para cada eixo.

Exemplo: (UFRJ-2013.1)

a)

Não há forças externas agindo sobre o sistema, logo temos conservação do momento linear.

Temos:

𝑝 𝑖 = 𝑝 𝑓 ⟶ 𝑚 2𝑣 + 𝑚 −3𝑣 𝑖 = 𝑚 −𝑣𝑖 + 𝑣𝑗 + 𝑚𝑣2

Logo, 𝑣2 = −𝑣𝑗

b)

Pronto!Agora você pode resolver qualquer tipo de questão envolvendo este tema. Acho que

isto é mais que necessário para você fazer muitas questões e mandar muito bem nas provas.

Aconselho que tente fazer a maior quantidade de exercícios possíveis, inclusive os abaixo e

#partiusambarnacaradafisica1.

Exercícios Recomendados

1) (ITA) 2)(ITA)

3) (ITA) 4) (UFRJ-2013.1)

5)(UFRJ-2012.2) 6)(UFRJ-2014.1)

7) (UFRJ-2014.1) 8)(UFRJ-2014.1)

Gabarito 1) 𝑕 = 𝑀 + 𝑚 𝑎. 𝑡𝑔𝜃/𝑀 |2) d |3) 2𝑔𝑕

3 |4) d |5) c |6) a |7) b |8) a

Bons Estudos!!

Dúvidas?

Acesse o Solucionador na página www.engenhariafacil.weebly.com ou mande email para

contatoengenhariafacil@gmail.com .