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CSD5 – Álgebra de Blocos

Controle de Sistemas Dinâmicos

Prof. Adolfo BauchspiessENE/UnB

(Material de aula Complementar, adaptado parcialmente de Nise – Eng. de Sist. de Controle)

CSD5: Álgebra de Blocos 2Adaptado de Nise – Eng. de Sist. de Controle, 3ª Ed. © LTC S.A. - © John Wiley, Inc.

Fig. 5.1O ônibus espacial é constituído de diversos subsistemas. Você consegue identificar quais são do sistema controlado x sistema de controle?

© NASA-Houston.


Fig. 5.2Componentes de um diagrama de blocos de um sistema linear e invariante no tempo

Sinais

(a)

Junção somadora(c)

Entrada Saída

Sistema

(b)

Ponto de distribuição de sinais(d)

5.1 Introdução• subsistemas simples - um bloco com entrada e saída

• sistemas mais complexos - interligação de muitos subsistemas.

5.2 Diagramas de BlocosAo se interligar subsistemas:

• junções de soma

• pontos de coleta de sinal


Fig. 5.3a. Subsistemas em cascata;b. Função de transferência equivalente

Assume-se que os subsistemas interconectadosnão afetam os subsistemas adjacentes.Isto é, a saída de um subsistema não é afetadapelo subsistema subsequente.

Caso contrário há carregamento,e a função de transferência equivalente não é maiso produto das funções de transferência individuais.O circuito da Figura seguinte demonstra este conceito.

ZL


Fig. 5.4 Efeito de carga em sistemas em cascata

!"($)!&($)

= 1$")*)"+*+" + $()*+* + )"+" + )*+") + 1

Diagrama de blocos com carregamento?


Diagrama de blocos com carregamento

Scope

SignalGenerator

1s

Integrator

1/R1

Gain

1/C2

Gain1

1s

Integrator1

1/L3

Gain3

1s

Integrator2

1/C4

Gain2

1s

Integrator4

1/L5

Gain7

R6

Gain6

V0 V2I1 I3 V4 I5 V6

Fluxografo ou grafo de fluxo de sinal (ver adiante…)

Low-pass ladder filter


Fig. 5.5a. Subsistemas em paralelo;b. Função de transferência equivalente


Transdutorde entrada

Fig. 5.6a. Sistemas de controle com retroação;b. modelo simplificado;c. função de transferência equivalente

Controlador Processo

SinalAtuante(erro)

Retração Transdutorde saída

SaídaEntrada

Processo econtrolador

(a)

Entrada

SaídaSinalAtuante(erro)

Retração

Entrada

Saída

(c)

(b)

Mas como C(s) = G(s)E(s),

Substituindo teremos:

O produto. G(s)H(s). é chamado defunção de transferência a malha aberta,ou ganho de malha

Pelo diagrama de blocos,


Fig. 5.7

Álgebra de diagrama de blocos

junções de soma –formas equivalentes de deslocar um blocoa. à esquerda da junção somadora;b. à direita da junção somadora


Fig. 5.8Álgebra de diagrama de blocos

junções de aquisição de sinais –formas equivalentes de deslocar um bloco

a. à esquerda da junção de aquisição de sinais;b. á direita da junção de aquisição de sinais


Fig. 5.9Diagramas de blocos para o Exemplo5.1


Fig. 5.10Etapas na solução do Exemplo:a. reunir as junções desoma em uma única;b. formar o sistema em cascata equivalente no canal de ação à frente e o sistema paralelo equivalente no canal de retroação;c. formar o sistema como retroação equivalente e multiplicar por G1(s) em cascata.


Fig. 5.11Diagrama de blocos para o Exemplo 5.2


Fig. 5.12Etapas na redução do diagrama de blocos para o Exemplo 5.2


Construção de diagramas de blocos1. Identificar os sinais

(correntes, tensões, deslocamentos, velocidades, forças ou análogos) como:

i. Entradas

ii. Saídas

iii. Sinais Intermediários:

Dar preferência a voltagem em capacitores, corrente em indutores, velocidade de

massas, compressão de molas ou análogos.

2. Escrever as equações dos componentes utilizando apenas os sinais já definidos. Todas as

saídas e sinais intermediários devem ser gerados a partir destes.

3. Tomar a transformada de Laplace admitindo condições iniciais nulas

4. Montagem dos blocos representativos iniciando pelas entradas à esquerda, sinais

intermediários, pela ordem de geração até as saídas à direita. Fazer todas as

interconexões.


Construção de diagramas de blocos

Exemplo 1: Circuito RLC

1) Sinais:• Entrada: v(t)

• Saída: vc(t)

• S. Intermediários: i(t) (observe que a tensão no capacitor já foi considerada)

2) Equações e T. de Laplace (1 equação para cada S. Intermediário, 1 equação para cada saída)

))()((1)(

)()()()(

)()()()(

sVsVRLs

sI

sVsVsRIsLsI

tvtvtRidttdiL

C

C

C

-+

=

=++

=++

)(1)(

)()(0

1

sIsC

sV

ditv

C

t

CC

=

= ò tt

4) Montagem

V(s) +

1

Ls + R

I(s) 1

Cs

Vc(s)

_



Exemplo 2: Sistema Mecânico

1) Sinais:

• Entrada: f(t)

• Saída: x(t)

• S. Intermediários: v(t) (velocidade da massa)

2) Equações e T. de Laplace (1 equação para

cada S. Intermediário, 1 equação para cada

saída)

{ }

)(1)(

)()(

)()(1)(

)()()()(

0

sVs

sX

dvtx

sKXsFbsM

sV

tKxtbvtfdttdvM

t

=

=

-+

=

--=

ò tt

4) Diagrama

F(s) +

V(s) 1

s

1

sM + b

K

X(s)

-



Exemplo 3: Circuito R2CL

1) Sinais:• Entrada: vi(t)

• Saída: v0(t)

• S. Intermediários: vC1(t), iR(t), iL(t)

2) Equações e T. de Laplace (1 equação para cada S.

Intermediário, 1 equação para cada saída)

4) Diagrama [ ]ò

ò

+=

=

++-=

+=

t

RLC

t

R

RL

LCi

diiC

tv

diC

tv

tvtRidttdiL

dttdiLtvtv

011

020

0

1

)()(1)(

)(1)(

)()()(0

)()()(

ttt

tt

[ ]

[ ]

[ ])()(1)(

)(1)(

)()(1)(

)()(1)(

11

20

0

1

sIsIsC

sV

sIsC

sV

sVssLIR

sI

sVsVsL

sI

RLC

R

LR

CiL

+=

=

-=

-=

_

1

sL IL(s) +

+ 1

sC1

VC1(s) _

1

R IR(s)

1

sC2

V0(s) + Vi(s) +

Onde IR(s) foi gerado pela junção das duas primeiras equações[ ])()()(1)(

)()()(

01

1

sVsVsVR

sI

sVsVssLI

CiR

CiL

--=

-=



Exemplo 4: Sistema de Nível

R1

~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~

R2

q

q1 q2 h1 h2

Utilize os princípios acima para desenhar um diagrama de blocos e o correspondente modelo em espaço de estados do sistema hidráulico abaixo


Fig. 5.13Diagrama de blocos para o Exercício de Avaliação 5.1


Fig. 5.14Sistema de controle com retroação, de segunda ordem


Fig. 5.15Sistema com retroação para o Exemplo 5.3


Fig. 5.16Sistema com retroação para o Exemplo 5.4


Fig. 5.17Componentes de um diagrama de fluxo de sinal:

a. sistema;b. sinal; c. interconexão de sistemas e sinais


Fig. 5.18Construindo diagramas de fluxo de sinal:

a. nós de sistemas em cascatab. diagrama de fluxo de sinal com sistemas em cascatas;

c. nós de sistemas em paralelod. diagrama de fluxo de sinal com sistemas em paralelo;

e. nós de sistemas com retroaçãof. diagrama de fluxo de sinais de sistema com retroação


Fig. 5.19Desenvolvimento de diagramas de fluxo de sinal:a. nós de sinal; b. diagrama de fluxo de sinal;c. diagrama de fluxo de sinal amplificado


Onde

k - número de percursos diretos, entre R(s) e C(s).

Tk = ganho do k-ésimo percurso direto

Δ = 1 - Σ ganhos de malha

+ Σ ganhos de malhas disjuntas duas a duas

- Σ ganhos de malhas disjuntas três a três

+ Σ ganhos de malhas disjuntas quatro a quatro - ...

Δk = Δ - Σ ganhos de malha em Δ que tocam o k-ésimo percurso avante.

Em outras palavras Δk é formado eliminando-se de Δ

os ganhos de malha que tocam o k-ésimo percurso à frente.

Regra de Mason

! " = $(&)((&) = ∑* +*∆*∆


Ganho de malhas:O produto dos ganhos dos ramosobtidos ao longo de um percursoque começa em um nó e terminano mesmo nó sem passar pornenhum outro nó mais de uma veze segue o sentido do fluxo de sinal.

Regra de Mason

1. G2(s)H1(s),

2. G4(s)H2(s),

3. G4(s)G5(s)H3(s),

4. G4(s)G6(s)H3(s)

! " = $(&)((&) = ∑* +*∆*∆

Ganhos de percurso avante: 1, G1(s)G2(s)G3(s)G4{s)G5(s)G7(s). 2. G1(s)G2(s)G3(s)G4{s)G6(s)G7(s)

Ganho de malhas disjuntas: Oproduto dos ganhos de malha demalhas disjuntas consideradasduas a duas, três a três, quatro aquatro, etc.


Fig. 5.21Diagrama de fluxo de sinal para o Exemplo 5.7

Solução1) Percurso avante:G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G5(s)2) Malhas.

1. G2(s)Hl(s) 2. G4(s)H2(s)3. G7(s)H4(s) 4. G2(s)G3(s)G4(s)G5(s)G6(s)G7(s)G8(s)

3) identifique as malhas disjuntas duas a duas.

Malha 1 e malha 2:Malha 1 e malha 3:Malha 2 e maiha 3:

4) malhas disjuntas três a três são:

Malhas 1,2 e 3: G2(s)Hl(s)G4(s)H2(s)G7(s)H4(s)


Fig. 5.21Diagrama de fluxo de sinal para o Exemplo 5.7

Agora, com base nas definições,

produzindo a função de transferência:


Fig. 5.22Estágios de desenvolvimento de um diagrama de fluxo de sinal para o sistema dasEqs. 5.36:a. posicionar os nós;b. interligar as variáveis de estado e suas derivadas;c. formar dx1/dt;d. formar dx2/dt;

(a figura continua)


Fig. 5.22(Continuação)e. formar dx2/dt ;f. formar a saída y


Fig. 5.23Representação do sistema da Fig. 3.10 com sistemas de primeira ordem em cascata


Fig. 5.24a. Subsistemas de primeira ordem;b. diagrama de fluxo de sinal para o sistema da Fig. 5.23


Fig. 5.25Representação em diagrama de fluxo de sinal da Eq. (5.45)


Fig. 5.26Representação em diagrama de fluxo de sinal da Eq. (5.52)


Fig. 5.27Diagramas de fluxo de sinal para obter formas de representação no espaço de estados relativas aG(s) = C(s)/R(s) = (s2 + 7s + 2)/(s3 + 9s2 + 26s + 24):a. forma em variáveis de fase;b. forma canônica do controlador


Fig. 5.28Diagramas de fluxo de sinal para as variáveis da forma canônica do observador:a. planejamento;b. implementação


Fig. 5.30Criando um diagrama de fluxo de sinal para o sistema da Fig. 5.29:a. função da transferência à frente;b. sistema completo

Fig. 5.29Sistema de controle com retroação para o Exemplo 5.8


Fig. 5.31Forma no espaço de estados para C(s)/R(s)=(s+3)/[(s+4)(s+6)]Nota: y = c(t)

Função deTransferência

Diagrama defluxo de sinal

Equaçõesde estado

Variáveisde fase

Paralelas

Cascata

Canônica docontrolador

Canônica doobservador

Forma

CSD5: Álgebra de Blocos 41Adaptado de Nise – Eng. de Sist. de Controle, 3ª Ed. © LTC S.A. - © John Wiley, Inc.Copyright © 2003 LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. Copyright © 2000 John Wiley, Inc.

Fig. 5.32Transformações no espaço de estados

ou


Fig. 5.33Para ser um autovetor, a transformação Ax deve ser colinear com x; portanto em (a), x não é um autovetor; em (b), é


Fig. 5.34Alvin, um submersível tripulado, explorou os destroços do Titanic com o Jason Júnior, um robô teleguiado por meio de um cabo

© Rob Catanach, Woods Hole Oceanographic Institution.


Fig. 5.35Redução de diagramade blocos relativo ao sistema de controle de posição da antena em azimute:a. original;b. empurrando o potenciômetro da entrada para a direita da junção somadora;c. mostrando a função de transferência equivalente do percurso à frente;d. função de transferência a malha fechada final

Potenciômetrode entrada Pré-amplificador

Amplificadorde potência

Motor, cargae transmissão

Potenciômetrode saída

(a)Pré-amplificador epotenciômetros

Amplificadorde potência

Motor, cargae transmissão

(b)

(c)

(d)

0,20831,171

0,20831,171

1,1716,63

6,636,63101,71


Fig. 5.36Diagrama de fluxo de sinal relativo ao sistema de controle de posição da antena em azimute


Fig. 5.37Diagramas de blocos do profundor e da dinâmica do veículo UFSS, do qual pode ser extraído um diagrama de fluxo de sinal

Atuadordo profundor Dinâmica do veículo


Fig. 5.38Representação em diagrama de fluxo de sinal do sistema de controle em arfagemdo veículo UFSS:a. sem retroação de posição e de velocidade;b. com retroação de posição e develocidade (Nota: As variáveis necessárias explicitamente são:x1 = q, x2 = dq/dt,e x4 =de)


Fig. 5.39Diagrama de blocos do sistema de controle de rumo do veículo UFSS.

Comandode rumo

DeflexãoComandadado leme

Deflexãodo leme

Velocidadede rumo(guinada) Rumo

Ganhode rumo

Atuadordoleme

Dinâmicado veículo

Sensor develocidadede guinada


Fig. P5.1


Fig. P5.2


Fig. P5.3


Fig. P5.4


Fig. P5.5


Fig. P5.6


Fig. P5.7


Fig. P5.8


Fig. P5.9


Fig. P5.10


Fig. P5.11


Fig. P5.12


Fig. P5.13


Fig. P5.14


Fig. P5.15


Fig. P5.16


Fig. P5.17


Fig. P5.18

28.900


Fig. P5.19

Gerador

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