Controlo Estatístico do Processo Introdução às Cartas de Controlo.
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Fundamentos de Controlo
1a Série
Representação Matemática, Modelo Físico, Linearização, Álgebra de Blocos.
S1.1 Exercícios Resolvidos
P1.1 Considere o sistema da Figura 1 em que uma força u é aplicada à massa M a que está ligadauma outra massa m. A ligação entre as duas massas é modelizada através de uma mola de
Figura 1
constante k e um atrito de coeciente b.
a) Escreva as equações que regem o movimento do sistema.
b) Obtenha a função de transferência entre a entrada u e a saída y.
Resolução:
a) Aplicando à massa m a lei de Newton para sistemas mecânicos de translação obtém-se
mx = −b (x− y)− k(x− y) ⇔ mx+ bx+ kx = by + ky (1.1)
em que x representa a aceleração da massa. As forças exercidas pela mola e pelo atritosão, respectivamente, −k(x − y) e −b (x− y). Para determinar o sentido destas forçassobre a massa m, xe-se y = 0 e aumente-se x a partir de 0. Tanto a mola como o atritoirão ser comprimidos e exercer forças sobre a massa m contrárias ao sentido do movimento(segundo −x). Procedendo de igual forma para a massa M obtém-se
My = u+ b (x− y) + k(x− y) ⇔ My + by + ky = u+ bx+ kx (1.2)
b) Determinando, com condições iniciais nulas, a transformada de Laplace da equação (1.1)obtém-se (
ms2 + bs+ k)X(s) = (bs+ k)Y (s) (1.3)
pelo que
X(s) =bs+ k
ms2 + bs+ kY (s) (1.4)
Determinando, com condições iniciais nulas, a transformada de Laplace da equação (1.2)obtém-se (
Ms2 + bs+ k)Y (s)− (bs+ k)X(s) = U(s) (1.5)
1
Substituindo a equação (1.4) em (1.5) resulta[Ms2 + bs+ k − (bs+ k)2
ms2 + bs+ k
]Y (s) = U(s)
obtendo-se a função de transferência
Y (s)
U(s)=
ms2 + bs+ k
(Ms2 + bs+ k) (ms2 + bs+ k)− (bs+ k)2
P1.2 Na Figura 2 representa-se um pêndulo constituido por uma vara na suspensa de um eixo. Avara, com 4 Kg de massa, tem comprimento `.
Figura 2
a) Escreva a equação diferencial que descreve o movimento angular do pêndulo quando lhe éaplicado um binário externo Tc(t).Nota: O momento de inércia em torno do eixo de rotação é 1
3m`2.
b) Assumindo que o ângulo θ é pequeno, obtenha a equação diferencial linear do movimentodo pêndulo.
c) Determine a função de transferência e a resposta impulsional do sistema. Que comprimentodeve ter a vara de modo a que o período de oscilação do pêndulo seja exactamente 2 s?
Resolução:
a) Pela lei de Newton aplicada a sistemas mecânicos de rotação tem-se
Jθ =∑
binarios aplicados
em que J é o momento de inércia e θ a aceleração angular. Os binários aplicados sãoo binário externo Tc e o binário resultante da força da gravidade segundo a tangenteao movimento. A componente da força da gravidade segundo a tangente ao movimento(perpendicular à vara do pêndulo) é −mg sin θ, obtendo-se para equação do movimento
Jθ = Tc −mg`
2sin θ .
Substituindo o momento de inércia J = 13m`2 na equação anterior obtém-se
1
3m`2θ +
1
2mg` sin θ = Tc ⇔ θ +
3g
2`sin θ =
3
m`2Tc . (1.6)
2
b) Para ângulos θ pequenos tem-se sin θ ≈ θ pelo que, substituindo na equação (1.6), se obtém
θ +3g
2`θ =
3
m`2Tc . (1.7)
c) Determinando, com condições iniciais nulas, a transformada de Laplace da equação (1.7)obtém-se (
s2 +3g
2`
)Θ(s) =
3
m`2Tc(s)
pelo que a função de transferência do sistema é
H(s) =Θ(s)
Tc(s)=
3m`2
s2 + 3g2`
. (1.8)
Determinando a transformada de Laplace inversa da equação (1.8) obtém-se a respostaimpulsional
h(t) =1
m`
√6
g`sin
(√3g
2`t
)u−1(t) .
A resposta impulsional do pêndulo oscila com uma frequência fundamental ω0 =√
3g2`.
Para que o período de oscilação do pêndulo seja exactamente 2 s, é preciso que
T0 =2π
ω0
= 2π
√2`
3g= 2 ⇒ ` =
3g
2π2.
Note-se que a frequência de oscilação do pêndulo depende apenas do seu comprimento.
P1.3 Considere o sistema mecânico de translação com uma mola não linear representado na Figura3. A mola é denida por
Figura 3
xs(t) = 1− e−fs(t) ,
em que xs(t) e fs(t) representam, respectivamente, o deslocamento e a força da mola.
a) Obtenha a equação diferencial que rege o movimento do sistema.
b) Para pequenos deslocamentos em torno de f(t) = 1, determine o ponto de equilibrio eobtenha a equação diferencial linear do sistema.
c) Determine a função de transferência∆X(s)
∆F (s)entre os incrementos do deslocamento, δx, e
da força, δf .
3
Resolução:
a) Aplicando a lei de Newton para sistemas mecânicos de translação obtém-se
x = f − fs − x . (1.9)
Resolvendo a relação não linear entre a força e o deslocamento da mola obtém-se
fs = − ln(1− xs) . (1.10)
Substituindo (1.10) em (1.9) e tendo em conta que xs = x resulta
x+ x− ln(1− x) = f . (1.11)
b) Sejaf = f 0 + δf e x = x0 + δx (1.12)
em que (δf, δx) representam pequenos incrementos em torno do ponto de equilíbrio (f 0,x0).Considerando x = x = 0 na equação (1.11) obtém-se
− ln(1− x0) = f 0 ⇒ x0 = 1− e−f0
. (1.13)
Desenvolvendo em série de Taylor o termo não linear em torno de x0 obtém-se
ln(1− x) ' ln(1− x0) +d ln(1− x)
dx
∣∣∣∣x=x0
δx = ln(1− x0)− 1
1− x0δx . (1.14)
Substituindo (1.12) e (1.14) na equação diferencial (1.11) obtém-se
δx+ ˙δx− ln(1− x0) +1
1− x0δx = f 0 + δf (1.15)
Substituindo (1.13) em (1.15) resulta
δx+ ˙δx+ ef0
δx = δf
o que para f 0 = 1 conduz aδx+ ˙δx+ e δx = δf . (1.16)
c) Determinando, com condições iniciais nulas, a transformada de Laplace da equação (1.16)obtém-se (
s2 + s+ e)
∆X(s) = ∆F (s) ⇒ ∆X(s)
∆F (s)=
1
s2 + s+ e.
P1.4 Reduza à forma canónica da realimentação o diagrama de blocos representado na Figura 4.
- - - - - -
6
? G1 G2 G3
U Y
+
+−
−
Figura 4
4
Resolução:
Deslocando o ponto de derivação situado entre os blocos G2 e G3 para a direita do bloco G3,e trocando a ordem dos dois pontos de derivação, obtém-se um conjunto de blocos na formacanónica da realimentação, bloco indicado a tracejado na Figura 5.
- - - - - -
6
? G1 G2 G3
1
G3
U Y
+
+−
−
Figura 5
Substituindo o bloco a tracejado na Figura 5 pela sua função de transferência observa-se apresença de uma ligação série, bloco indicado a tracejado na Figura 6.
- - - -
6
G2G3
1 +G2G3
G1
1
G3
U Y
+−
Figura 6
Finalmente, substituindo o bloco indicado a tracejado na Figura 6 pela sua função de trans-ferência obtém-se o sistema na forma canónica da realimentação como se observa na Figura7.
- - -
6 G1G2G3
1 +G2G3
1
G3
U Y
+−
Figura 7
S1.2 Exercícios Propostos
P1.5 Na Figura 8 representa-se um sistema mecânico de translação em que u1 e u2 são os sinais deentrada e y1 e y2 os sinais de saída.
a) Determine as equações diferenciais que descrevem o sistema.
b) Admitindo u2 = 0, obtenha as funções de transferênciaY1(s)
U1(s)eY2(s)
U1(s).
c) Admitindo u1 = 0, obtenha as funções de transferênciaY1(s)
U2(s)eY2(s)
U2(s).
5
Figura 8
P1.6 Escreva as equações diferenciais que descrevem os sistemas mecânicos da Figura 9.
Figura 9
P1.7 Na Figura 10 representa-se o diagrama de um acelerómetro. Admita que a caixa do aceleró-metro está presa à fuselagem de um avião. No diagrama, x e y representam, respectivamente,os deslocamentos da massa m e da caixa do acelerómetro. Assume-se que o ângulo θ medidoem relação à linha horizontal se mantém constante durante o período de medida. A equaçãodo movimento deste sistema é
mx+ b(x− y) + k(x− y) = mg sin θ .
Considerando que o sinal de entrada é a aceleração da caixa do acelerómetro, y, e que o sinalde saída é
z = x− y − mg
ksin θ
determine a função de transferência entre z e y.
6
Figura 10
P1.8 A Figura 11 mostra um sistema pendular simples constituido por um cordel enrolado em tornode um cilindro xo. O movimento angular do sistema é descrito pela equação diferencial
(`+Rθ)θ + g sin θ +Rθ2 = 0
em que
` = comprimento do cordel na posição vertical,
R = raio do cilindro.
Figura 11
Linearize a equação diferencial em torno do ponto θ = 0, e mostre que para pequenos valoresde θ a equação do sistema se reduz à equação de um pêndulo simples, i.e.,
θ +g
`θ = 0 .
P1.9 O circuito da Figura 12 tem uma condutância não-linear G tal que
iG = g(vG) = vG(vG − 1)(vG − 4) .
As equações diferenciais que regem o circuito são
di
dt= −i+ v ,
dv
dt= −i+ g(u− v) ,
em que i e v são, respectivamente, a corrente na bobine e a tensão no condensador, e u a tensãode entrada.
7
Figura 12
a) Para u = 1 existem 3 pontos de equilíbrio. Determine os três pares de valores de v e i queconduzem ao equilíbrio.
b) Determine as equações diferenciais lineares do sistema em torno do ponto de equilíbrio(u0,v0,i0) = (1,0,0).
c) Determine a função de transferência∆V (s)
∆U(s)entre as variáveis incrementais δv e δu em torno
do ponto de equilíbrio (u0,v0,i0) = (1,0,0).
P1.10 Considere o circuito da Figura 13, em que u1 e u2 são, respectivamente, fontes de tensão ede corrente, e R1 e R2 são resistências não lineares com as seguintes características:
Resistência 1: i1 = G(v1) = v31,
Resistência 2: v2 = r(i2),
em que a função r está denida na Figura 14.
Figura 13
-
6
i2
v2
•2
1
0−1
declive = Ω
declive = 1
Figura 14
8
a) Mostre que as equações que regem o circuito são
x1 = G(u1 − x1) + u2 − x3 ,
x2 = x3 ,
x3 = x1 − x2 − r(x3) .
Suponha que se tem uma fonte de tensão constante de 1 volt em u1 e uma fonte de correnteconstante de 27 amperes em u2 (i.e. u0
1 = 1, u02 = 27). Determine o estado de equilíbrio
x0 = (x01, x
02, x
03) do circuito.
b) Determine as equações diferenciais lineares que regem o circuito em torno do ponto deequilíbrio determinado na alínea anterior.
P1.11 Numa experiência de levitação magnética um objecto metálico é mantido suspenso no arsobre um electroíman. O deslocamento vertical do objecto é descrito pela equação diferencialnão linear
md2h
dt2= mg − k i
2
h2,
em que h é a distância entre o electroíman e o objecto metálico (sinal de saída), i é correnteno electroíman (sinal de entrada), m = 0.04 Kg é a massa do objecto metálico, g = 10 m/s2 éa aceleração da gravidade e k = 0.1 Nm2/A2 é um factor de conversão electromecânico.
a) Suponha que se pretende controlar o sistema de modo a manter o objecto metálico a umadistância de 0.5 m do electroíman (i.e. h0 = 0.5 m). Determine o valor i0 da corrente queconduz a este ponto de equilíbrio.
b) Determine a equação diferencial linear que relaciona os incrementos δh e δi em torno doponto de equilíbrio determinado na alínea anterior.
c) A partir da equação diferencial linear obtida na alínea anterior, determine a função de
transferência,∆H(s)
∆I(s), do sistema.
P1.12 Os seres humanos são capazes de se manter em pé sobre as 2 pernas através de um complexosistema com realimentação que inclui diversas entradas sensoriais - equilíbrio e visão em con-junto com actuação muscular. Admitindo que a dinâmica da postura corporal do ser humanoé semelhante à de um pêndulo invertido, esta pode ser descrita pelas duas seguintes equações:
Jd2θ(t)
dt2= mg` sin θ(t) + Tbal(t) + Td(t)
Tbal(t) = −mg` sin θ(t)− kJθ(t)− ηJθ(t)− ρJ∫ t
0
θ(τ)dτ
em quem é a massa da pessoa, ` é a altura do centro de gravidade da indivíduo, g é a aceleraçãoda gravidade, J é o momento de inércia equivalente da pessoa, η, ρ e k são constantes dadaspelo sistema que controla a postura do corpo, θ(t) é o ângulo do indivíduo em relação à vertical,Tbal(t) é o binário gerado pelos músculos do corpo para manter o equilíbrio e Td(t) é o binário
da perturbação externa de entrada. Determine a função de transferênciaΘ(s)
Td(s).
9
P1.13 Considere o SLIT contínuo causal representado na Figura 15. Por simplicação sucessiva dodiagrama de blocos, obtenha a função de transferência do sistema.
- - - - - - - -
-
?
6
?
6
G1 G2 G3
G4
G5
U(s) Y (s)+
−
+
−
+−
++
Figura 15
P1.14 Considere o SLIT contínuo causal representado na Figura 16. Por simplicação sucessiva dodiagrama de blocos, obtenha a função de transferência do sistema.
- - - - - -
?
6 6
6
G3
G1 G2
G4
U(s) Y (s)+
−
+
−
++
+
+
Figura 16
S1.3 Soluções dos Exercícios Propostos
P1.5
a) m1y1 = u1 − b1 (y1 − y2)− k1y1
m2y2 = u2 + b1 (y1 − y2)− k2y2.
b)Y1(s)
U1(s)=
m2s2 + b1s+ k2
(m1s2 + b1s+ k1)(m2s2 + b1s+ k2)− b21s
2
Y2(s)
U1(s)=
b1s
(m1s2 + b1s+ k1)(m2s2 + b1s+ k2)− b21s
2.
c)Y1(s)
U2(s)=
b1s
(m1s2 + b1s+ k1)(m2s2 + b1s+ k2)− b21s
2
Y2(s)
U2(s)=
m1s2 + b1s+ k1
(m1s2 + b1s+ k1)(m2s2 + b1s+ k2)− b21s
2.
P1.6 a) m1x1 = −b1x1 − k1x1 − k2(x1 − x2)m2x2 = −b2x2 + k2(x1 − x2) + k3(y − x2).
b) m1x1 = −b1x1 − k1x1 − k2(x1 − x2)m2x2 = k2(x1 − x2)− k3x2.
c) m1x1 = −b1(x1 − x2)− k1x1 − k2(x1 − x2)m2x2 = F + b1(x1 − x2) + k2(x1 − x2).
10
P1.7 H(s) =Z(s)
s2Y (s)=
−mms2 + bs+ k
.
P1.8 Para θ ' 0: `+Rθ ' `, sin θ ' θ e θ2 ' 0.
P1.9 a) (u0,v0,i0) = (1,0,0); (1,− 1−√
3,− 1−√
3); (1,− 1 +√
3,− 1 +√
3).
b) δi = −δi+ δvδv = −δi+ 3δv − 3δu.
c)∆V (s)
∆U(s)=−3(s+ 1)
s2 − 2s− 2.
P1.10 a) x0 = (x01, x
02, x
03) = (4,2,0).
b) ˙δx1 = −27δx1 − δx3 + 27δu1 + δu2˙δx2 = δx3˙δx3 = δx1 − δx2 − δx3
P1.11 a) (i0,h0) = (1,0.5).
b)d2δh
dt2− 40δh = −20δI.
c)∆H(s)
∆I(s)= − 20
s2 − 40.
P1.12Θ(s)
Td(s)=
s
J(s3 + ηs2 + ks+ ρ).
P1.13Y (s)
U(s)=
G1(G2G3 +G4)
1 +G1G2 + (G2G3 +G4)(1 +G1G5).
P1.14Y (s)
U(s)=
1 +G2 +G1G2
1 +G2 +G1(G3 +G2G3 +G2G4).
Bibliograa
1. Gene F. Frankline, J. David Powell, Abbas Emami-Naeini, Feedback Control of Dynamic Sys-
tems, Sixth edition.
2. Isabel Lourtie, Sinais e Sistemas, 2a edição.
3. Norman S. Nise, Control Systems Engineering, Sixth edition.
4. Katsuhiko Ogata, Modern Control Engineering, Second edition.
11