Conic As
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Secções Cônicas
José Antônio Araújo Andrade Graziane Sales Teodoro
Ana Paula Pedroso
![Page 2: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/2.jpg)
Secções Cônicas
![Page 3: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/3.jpg)
Elipse
Se o plano secante não é paralelo a uma geratriz e corta só uma das duas folhas do cone, a cônica é uma elipse.
Definição: Dados dois pontos e do plano, chama-se elipse ao conjunto dos pontos P do plano tais que
1F 2F
1 2, ,d P F d P F é constante.
![Page 4: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/4.jpg)
ANIMAÇÕES
ouFazendo o esboço com um lápis...
Verificando a soma...
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Simetria: Pela própria definição a elipse é uma curva simétrica em relação à reta e também à mediatriz do segmento conforme mostra a figura.
1 2 ,FF
1 2 ,FF
O.
2F.
1F.
Mediatriz de 1 2FF
P.P.
P.
![Page 6: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/6.jpg)
Equações de Elipses na posição-padrão
..
a a
cc
b
b
![Page 7: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/7.jpg)
.. 2 2b cb
cc.P
.Q2 2b c
a c
a c 2 2 2 2b c b c a c
2a 2 22 b c
a 2 2b c
1,dist F Q a
2 ,dist F Q a
1 2, , 2dist F Q dist F Q a
2 2 2a b c
![Page 8: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/8.jpg)
1 ,0F c .
1,d F P
1 2, , constantedist P F dist P F
y
x
,P x y.
2 ,0F c.
1 2, , 2dist P F dist P F a
2 2x c y
2 ,d F P 2 2x c y
sabemos que
2 22 2 2x c y x c y a
![Page 9: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/9.jpg)
2 2
2 22 2 2x c y x c y a
22 2 2 2 2 2( ) 4 4 ( )x c y a a x c y x c y
2 2
2 2 2 22 ( )x c y a x c y
22 2 2 2 2 22 4 4 ( ) 2x xc c a a x c y x xc c
2 2 2( )a x c y a xc
222 2 4 2 22a x c y a a xc x c
2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 22 2a x a xc a c a y a a xc x c
2 2 2 2 2 2 2 2a c x a y a a c
2 2 2 2 2 2 4 2 2a x x c a y a a c
![Page 10: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/10.jpg)
2 2 2 2 2 2b x a y a b 2 2 2 2 2 2a b a b a b
2 2 2 2 2 2b x a y a b
lembrando que resulta 2 2 2 ,a b c
2 2
2 21
x y
a b
com focos em centro
,Ox 0,0 . e b a
2 2 2 2 2 2 2 2a c x a y a a c
![Page 11: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/11.jpg)
ELIPSES EM POSIÇÃO-PADRÃOy
x
y
x ,0c.
,0c.
aa
b
b
,0c
.
,0c.
a
a
bb
2 2
2 21
x y
a b
2 2
2 21
y x
a b
![Page 12: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/12.jpg)
Uma técnica para esboçar elipses
Determinar se o eixo maior está sobre o eixo x ou o eixo y. Isso pode ser verificado a partir do tamanho dos denominadores na equação. Tendo em mente que a2 > b2 (uma vez que a > b), o eixo maior está ao longo do eixo x se x2 tiver o maior denominador, e está ao longo do eixo y se y2 tiver o maior denominador. Se os denominadores forem iguais, a elipse é um círculo.
Determine os valores de a e b e desenhe uma caixa estendida a unidades em cada lado a partir do centro ao longo do eixo maior, e b unidades em cada lado a partir do centro ao longo do eixo menor.
Usando a caixa como guia, esboce a elipse de modo que seu centro está na origem e toca os lados da caixa onde os lados interseccionam os eixos coordenados.
![Page 13: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/13.jpg)
Exemplo 1: Esboce os gráficos das elipses.
2 2
19 16
x y (a) 2 22 4x y (b)
![Page 14: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/14.jpg)
Exemplo 2: Determine uma equação para a elipse com focos e o eixo maior com extremos 0, 2 0, 4 .
![Page 15: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/15.jpg)
Se o plano secante não é paralelo a uma geratriz e corta ambas as folhas do cone, a cônica é uma hipérbole.
Definição: Dados dois pontos e do plano, chama-se hipérbole ao conjunto dos pontos do plano tais que
1F 2F
1 2, ,d P F d P F é constante.
P
Hipérbole
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Equações da hipérbole na posição-padrão
c c
a a1F 2F
![Page 17: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/17.jpg)
1F 2F
a
c
Do triângulo retângulo obtido no esquema ao lado, chamaremos de b o cateto ainda indefinido e escreveremos que
2 2 2b c a b
2 2b c a
2 2c a b
![Page 18: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/18.jpg)
a a
c a c a
Pela definição de hipérbole
1 2, , constante:dist P F dist P F
1 2, , 2dist P F dist P F a
para 1 2, ,dist P F dist P F
P
V
2c a a c a 2a
daí
![Page 19: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/19.jpg)
a a
,P x y
V ,0c ,0c
1 2, , 2 ,dist P F dist P F a
sabemos que
então vale que
2 22 2 2x c y x c y a
![Page 20: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/20.jpg)
2 2
2 22 2 2x c y x c y a
22 2 2 2 2 2( ) 4 4 ( )x c y a a x c y x c y
2 2
2 2 2 22 ( )x c y a x c y
22 2 2 2 2 22 4 4 ( ) 2x xc c a a x c y x xc c
2 2 2( )a x c y xc a
22 2 2 2 2 2 2 2 2 42 2a x a xc a c a y x c a xc a
2 2 2 2 2 2 2 2a c x a y a a c
2 2 2 2 2 2 4 2 2a x x c a y a a c
![Page 21: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/21.jpg)
2 2 2 2 2 2b x a y a b 2 2 2 2 2 2a b a b a b
2 2 2 2 2 2b x a y a b
lembrando que resulta 2 2 2 ,c a b
2 2
2 21
x y
a b
2 2 2 2 2 2b x a y a b
2 2 2 2 2 2 2 2a c x a y a a c
![Page 22: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/22.jpg)
y
x.
HIPÉRBOLES EM POSIÇÃO-PADRÃO
0,c
0, c
a
a
bb
2 2
2 21
x y
a b
2 2
2 21
y x
a b
aa
b
b
. ,0c ,0c
y
x
.
.b
y xa
by x
a
ay x
b
ay x
b
...
.
![Page 23: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/23.jpg)
Uma técnica para esboçar hipérboles
Determine se o eixo focal está sobre o eixo ou eixo .
Determine os valores e e desenhe um retângulo...
Desenhe as assíntotas ao longo das diagonais do retângulo.
Usando o retângulo e as assíntotas como guia, esboce o gráfico da hipérbole.
x y
a b
![Page 24: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/24.jpg)
Exemplo 3: Esboce os gráficos das hipérboles
mostrando os vértices, focos e assíntotas.
2 2
14 16
x y (a) 2 2 1y x (b)
![Page 25: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/25.jpg)
Exemplo 4: Determine a equação da hipérbole com vértice
e assíntotas 0, 8 4.
3y x
![Page 26: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/26.jpg)
Se o plano secante é paralelo a uma geratriz do cone, a cônica é uma parábola.
Definição: Dados um ponto e uma reta (diretriz) de um plano, chama-se parábola ao conjunto dos pontos do plano que equidistam do ponto e da reta Ou seja,
dF
, ,dist P F dist P DF .d
Parábola
![Page 27: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/27.jpg)
Equações de parábolas na posição-padrão
Diretriz
Eixo de Simetria. .p p2p
2p
![Page 28: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/28.jpg)
y
x
y
x. ,0p
x p x p
. ,0p
PARÁBOLAS EM POSIÇÃO-PADRÃOCom vértice na origem e eixo de simetria a reta Ox
.
2 4y px 2 4y px
.
![Page 29: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/29.jpg)
y
x
y
x
. 0, p
y p
y p
. 0, p
PARÁBOLAS EM POSIÇÃO-PADRÃOCom vértice na origem e eixo de simetria a reta Oy
.
2 4x py 2 4y px
.
![Page 30: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/30.jpg)
y
x.
,0F p
. ,D p y ,P x y.
Pela definição de parábola, sabemos que
dist PF dist PD
PF PD
dito de outra forma
2 22x p y x p
2 2PF x p y
2PD x p
considerando que
![Page 31: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/31.jpg)
2 22x p y x p 2 2
2 22x p y x p
2 2 22x xp p y 2 22x xp p
22 2xp y xp
2 4y px
![Page 32: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/32.jpg)
Uma técnica para esboçar parábolasDetermine se o eixo de simetria está ao longo do eixo x ou eixo y. O eixo de simetria está ao longo do eixo x se a equação tiver um termo y2, e está ao longo do eixo y se tiver um termo x2.Determine de que maneira a parábola se abre. Se o eixo de simetria estiver ao longo do eixo x, então a parábola abre-se à direita se os coeficientes de x forem positivos, e abre-se à esquerda se os coeficientes forem negativos. Se o eixo de simetria estiver ao longo do eixo y, então a parábola abre-se para cima se os coeficientes de y forem positivos, e abre-se para baixo se forem negativos.Determine o valor de p e desenhe uma caixa que se amplie p unidades da origem ao longo do eixo de simetria em direção na qual a parábola abre e se estende 2p unidades, em cada lado do eixo de simetria.Usando a caixa como guia, esboce a parábola de forma que seu vértice esteja na origem e passa nos cantos da caixa.
![Page 33: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/33.jpg)
Exemplo 5: Esboce o gráfico das parábolas.
e mostre o foco e a diretriz de cada um.
2 12x y(a) 2 8 0y x (b)
![Page 34: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/34.jpg)
Exemplo 6: Determine uma equação da parábola que é simétrica em relação ao eixo , tem vértice na origem e passa no ponto .
y 5,2
![Page 35: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/35.jpg)
CÔNICAS TRANSLADADAS
![Page 36: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/36.jpg)
Parábolas com vértice e eixo paralelo ao eixo Parábolas com vértice e eixo paralelo ao eixo 2
4y k p x h
24y k p x h
,h k x
[aberta à direita]
[aberta à esquerda]
Parábolas com vértice e eixo paralelo ao eixo Parábolas com vértice e eixo paralelo ao eixo 2
4x k p y h
24x k p y h
,h k y
[aberta para cima]
[aberta para baixo]
![Page 37: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/37.jpg)
Elipse com centro e eixo maior paralelo ao eixo Elipse com centro e eixo maior paralelo ao eixo
,h k x
2 2
2 21
x h y k
a b
b a
Elipse com centro e eixo maior paralelo ao eixo Elipse com centro e eixo maior paralelo ao eixo
,h k y
2 2
2 21
x h y k
b a
b a
![Page 38: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/38.jpg)
Hipérbole com centro e eixo focal paralelo ao eixo Hipérbole com centro e eixo focal paralelo ao eixo
,h k x
2 2
2 21
x h y k
a b
Hipérbole com centro e eixo focal paralelo ao eixo Hipérbole com centro e eixo focal paralelo ao eixo
,h k y
2 2
2 21
y k x h
a b
![Page 39: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/39.jpg)
Exemplo 7: Determine uma equação para a parábola que tenha seu vértice em e o foco em . 1,2 4,2
![Page 40: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/40.jpg)
Exemplo 8: Determine o gráfico da equação
2 8 6 23 0y x y
![Page 41: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/41.jpg)
Exemplo 9: Descreva o gráfico da equação
2 216 9 64 54 1 0x y x y
![Page 42: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/42.jpg)
Exemplo 10: Descreva o gráfico da equação
2 2 4 8 21 0x y x y
![Page 43: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/43.jpg)
CÔNICAS ROTACIONADAS
Uma equação da forma
É chamada de uma equação de segundo grau em e . O termo nesta equação é chamado de termo misto. Se o termo misto estiver ausente da equação , então a equação se reduz a e, neste caso, o gráfico é uma secção cônica (possivelmente degenerada) que esta ou na posição-padrão ou transladada. Pode ser provado que se o termo misto estiver presente , então o gráfico é uma cônica (possivelmente degenerada) rodada de sua orientação-padrão.
2 2 0ax bxy cy dx ey f
x ybxy
0b 2 2 0ax cy dx ey f
![Page 44: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/44.jpg)
PROPRIEDADES DA REFLEXÃO
DAS
SEÇÕES CÔNICAS
![Page 45: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/45.jpg)
TEOREMA I (Propriedade de Reflexão da Parábola): A reta tangente em um ponto sobre a parábola faz ângulos iguais com a reta que passa por paralela ao eixo de simetria e com a reta que passa por e o foco.
PP
P
P
Eixo de simetria
Reta tangente em P
Foco
![Page 46: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/46.jpg)
...P
Reta tangente em P
TEOREMA II (Propriedade de Reflexão da Elipse): Uma reta tangente a uma elipse em um ponto faz ângulos iguais com as retas que unem aos focos.P
P
![Page 47: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/47.jpg)
TEOREMA III (Propriedade de Reflexão da Hipérbole): Uma reta tangente à hipérbole em um ponto P faz ângulos iguais com as retas que unem P aos focos.
..
Reta tangente em P
P.
![Page 48: Conic As](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022020919/55cf8f8e550346703b9d67a7/html5/thumbnails/48.jpg)
ANIMAÇÕES
Propriedade de Reflexão da Elipse
Propriedade de Reflexão da Hipérbole
Propriedade de Reflexão da Parábola