Colisões USP - Texto de Aprofundamento de Conceitos Estudados.

8/19/2019 Colisões USP - Texto de Aprofundamento de Conceitos Estudados.

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Colisões


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Mecânica » Colisões 1

Do cotidiano à investigação científica

Colisões estão entre os fenômenos mais comuns em nosso mundo físico e no Universo. Sempre queum objeto cai em direção ao solo, colide com a terra. No trânsito, infelizmente, ocorrem muitas colisõesindesejadas. Nos jogos de bilhar, a intenção é provocar colisões entre duas bolas. Assim, só no planeta

Terra ocorrem milhões de colisões ao longo do dia. Portanto, esse fenômeno é muito comum.O estudo das colisões é de grande relevância e nem sempre nós nos damos conta disso. Colisões

formam a base para o nosso entendimento da estrutura da matéria.Todo o conhecimento básico a respeito dos constituintes da matéria e da radiação foi, e é, inferido

a partir de processos de colisões. Os aceleradores e os detectores são equipamentos cientícos

utilizados para promover as colisões e registrar tais eventos para posterior análise. Realizamosexperiências de relevância envolvendo colisões tanto de partículas como os prótons, elétrons eantiprótons, quanto de aglomerados delas, como os íons dos átomos.

Como resultado do interesse pela aplicação dessa técnica de entender o mundo subatômico,um consórcio de países decidiu investir alguns bilhões de dólares na construção de um grandeacelerador de partículas. Trata-se do grande colisor de Hádrons (o LHC). Nos grandes aceleradoresde partículas elementares o objetivo é acelerar partículas dotadas de grande velocidade para, emseguida, observar as colisões entre elas – a partir das colisões nós podemos fazer inferências sobrea estrutura da matéria.

Figura 1

Figura 2: O maior acelerador de partículas,localizado no Centro Europeu para Pesquisas

Nucleares - CERN.

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Uma das aplicações das leis físicas para entender colisões de veículos se dá no processo de

perícia policial. Ela tem o intuito de descobrir o culpado, ou apenas de entender o que se passou.É um tema relevante para a polícia cientíca.

Abordaremos apenas colisões de partículas, de pontos materiais. No entanto, podemos tratarde colisões de objetos extensos. Por exemplo, quando uma partícula em movimento atinge umabarra que se encontra inicialmente em repouso. No caso de um objeto extenso, como a barra,

devemos levar em conta, além do movimento de translação, o movimento de rotação. Portanto,colisões entre objetos extensos são mais complexas. Neste caso, devemos utilizar o princípio daconservação da quantidade de movimento e o princípio da conservação do momento angular.

O fato é que o estudo das colisões reveste-se de grande importância. Hoje mais que nunca, pois

se constitui no único mecanismo para entender a estrutura da matéria no nível mais fundamentalpossível: descobrir os constituintes últimos da matéria. É, portanto, um tema extremamente rele-vante do ponto de vista cientíco.

Etapas do Processo de ColisãoComo regra geral, o processo de colisão pode ser pensado como ocorrendo em três etapas. Na primeira etapa, temos um conjunto de partículas, com massas m

i, momentos pi e energias

E i, sendo que as duas últimas grandezas geralmente são util izadas para caracterizar o estado inicial

do sistema de partículas.Na etapa nal, defrontamo-nos com a situação na qual temos outro conjunto de partículas

(ou eventualmente o mesmo conjunto) com massas mi′ , momentos

p

i′ e energias E

i′. Em geral,

caracterizamos o estado nal do sistema a partir dos valores das energias e momentos lineares das

partículas. O sistema encontra-se, portanto, em um outro estado, dito estado nal. Esse estágio é,usualmente, identicado como aquele para o qual o tempo decorrido, desde o início do processode colisão, é muito grande. Utilizamos, formalmente, o limite quando o tempo tende a innito.

Entre essas duas etapas, a inicial e a nal, ocorrem as interações entre as várias partículas. Note-seque tanto na etapa inicial quanto na etapa nal consideramos as interações entre elas como sendodesprezíveis. Essa etapa intermediária é a mais complexa do ponto de vista do entendimento dascolisões, pois agora devemos levar em conta a dinâmica das interações. Isso pode ser feito a partir doconceito de secção de choque.

Figura 3

Figura 4

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O estudo das colisões que faremos a seguir é extremamente simplicado. Estudamos, neste

nível de complexidade, apenas a cinemática das colisões, deixando de levar em conta a dinâmicada interação entre as partículas.

Consideremos o caso de colisões envolvendo duas partículas. O seu estudo pode ser muitosimples, quando no estágio nal temos as mesmas duas partículas (Figura 000), ou muito complexo.

Casos complexos são as colisões ocorrendo, por exemplo, no grande colisor de Hádrons. Nesse

grande laboratório, fazemos colisões de prótons com antiprótons, duas partículas não elementares.No estágio nal, podemos observar, no caso mais simples, as mesmas duas partículas (o próton eo antipróton), bem como, em função da energia do próton e do antipróton, um número grande departículas (até mesmo a milhares delas).

O uso das leis de conservação

Para resolver problemas envolvendo colisões de partículas, devemos lançar mão das leis deconservação. Fazemos uso de três leis de conservação, as quais são sempre válidas em todos osprocessos de colisão. No entanto, o uso de conservação da energia é muito sutil.

A primeira Lei de Conservação é a Conservação do Momento Linear. Isso implica que:

( 1 )

Figura 5

Figura 6

P P = '

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Essa é a principal equação, quando não lidamos com a dinâmica das colisões, porque a

conservação do momento linear não depende da dinâmica da interação entre as partículas queparticipam do processo de colisão. Portanto, a equação fundamental das colisões é:

( 2 )

Na realidade, temos três equações. Uma equação para cada componente. Ou seja, uma equaçãopara a componente x

( 3 )

E duas outras equações para as demais componentes

( 4 )

Novamente aqui enfatizamos que a equação (000) não depende do choque ser relativístico ounão relativístico.

Outra grandeza que é conservada durante a colisão é o Momento Angular, que pode ser escritocom a seguinte expressão:

( 5 )

L é a soma dos momentos angulares de cada uma das partículas ou dos corpos que participam

da colisão:

( 6 )

Veremos que o dado mais relevante envolvendo o momento angular é o parâmetro de impacto.Assim, de acordo com a denição de momento angular:

( 7 )

…

…

p p p p p pn n1 2 1 2

+ + + = + + +' ' '

p p p p p p x x nx x x nx1 2 1 2

+ + = + + ' ' '

p p p p p p

p p p p p p

y y n y y y n y

z z nz z z n z

1 2 1 2

1 2 1 2

+ + = + +

+ + = + +

' '

'

'

' '

'

'

L L= '

…

…

L L L Ln n1 1

+ + = + +' '

L r p mr v= × = ×

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A componente z do mesmo módulo do momento angular (que, admitindo forças centrais, é

conservado) é dado, em função da velocidade inicial v e do parâmetro de impacto, por:

( 8 )

b é o parâmetro de impacto da colisão (Figura 000).

Finalmente, temos a questão da Energia. Quando as partículas estão muitodistantes umas das outras, a única energia disponível no início da colisão é a energiacinética. A energia é sempre conservada, no entanto, muitas vezes acontece que aenergia cinética é convertida em energia potencial elástica. Por exemplo, em umacolisão de veículos, a energia cinética é utilizada para deformar os veículos ou para

quebrar postes, e assim por diante.Assim, muitas vezes a análise da conservação da energia pode ser bastante complexa.

No entanto, um caso simples é aquele no qual temos colisões de partículas elementares(objetos destituídos de uma estrutura). Neste caso, pode-se escrever:

( 9 )

E é a energia total das partículas antes da colisão e E ′ é a energia total depois da colisão. Ou seja,sendo n o número de partículas, escrevemos:

( 10 )

A energia de cada uma das partículas é dada por:

( 11 )

A seguir, vamos abordar alguns tipos de colisões.

L mvb z

=

Figura 7

E = E′

E E E E i

i

n

i

i

n

= ′ = ′= =

∑ ∑1 1

E p c m c= +2 2 2 4

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Colisões com alvo fixo

Muitas vezes partículas são dirigidas para atingir um alvo. Se este alvo estiver em repouso,dizemos que se trata de uma colisão cujo alvo é xo.

Ora, o alvo que nós consideramos xo, no sentido de estar em repouso (v = 0), pode, depois

da colisão, se colocar em movimento ou não. Se ele não se colocar em movimento este alvo é xoe também imóvel. Em uma colisão, a rigor, se houver uma interação entre os dois objetos, certa-mente o alvo desloca-se ligeiramente. Mas em alguns casos, esse deslocamento é praticamenteimperceptível. Por exemplo, no caso da colisão de uma bola de bilhar com um dos lados da mesa,a mesa praticamente não se desloca. Portanto, neste caso (tratando o lado da mesa como alvo), ele

é xo e imóvel.Rutherford foi o precursor dessa linha de investigação. No início do século passado, ele estudou a

colisão de partículas alfa com uma lâmina de ouro. A rigor, a colisão acontece entre essas partículas,compondo a radiação alfa e o núcleo de átomos de ouro (Figura 000)

A partir dessas experiências, percebeu que o átomo era oco. O núcleo do átomo estaria concen-trado em uma região muito pequena do mesmo.

Outro exemplo de colisão com um alvo xo e imóvel é aquele no qual um objeto cai em relaçãoà superfície terrestre. Outro exemplo, igualmente bom, é a colisão de uma bola de bilhar com umdos lados da mesa – trata-se, novamente, da colisão de uma partícula com um alvo xo e imóvel.

Figura 8: Rutherford contava o número departículas em função da direção. Deduziu,assim, que o átomo era oco.

Figura 9

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Colisões Decorrentes de Contato:O papel da dinâmica

A seguir, analisaremos para casos relativamente simples, em que os objetos cam em contatopor um lapso de tempo muito curto, o papel da dinâmica da interação entre os objetos que colidem.

Há casos de colisões nas quais os objetos cam em contato. É o que ocorre, por exemplo,quando um veículo atinge o guardrail de uma estrada: ele não se move e se torna um alvo xo parao automóvel. O mesmo acontece com uma bola de bilhar ao atingir um canto da mesa de bilhar.

Em quaisquer dos casos considerados a seguir, admitiremos que, inicialmente, a velocidade dapartícula era

v (automóvel no caso anterior) e que, depois da colisão, sua velocidade é

′v , o problema

tanto pode ser o de determinar v a partir do conhecimento de

′v (velocidade depois da colisão) ou,em alguns casos, o problema inverso.

No caso de acidentes nas estradas, o problema mais interessante é determinar a velocidadeantes do choque (a velocidade v) a partir da velocidade

′v . Esta última, por outro lado, pode ser

determinada, em princípio, a partir da distância percorrida pelo carro que bateu.O fato é que nem sempre é fácil determinar v′ a partir do conhecimento de v ou determinar v a

partir do conhecimento de v′. Isso porque temos aqui um problema de dinâmica, ou seja, de deter-minar as forças que agem sobre a partícula.

Quando falamos de colisões nas quais os objetos se tocam, haveria a necessidade de se deter-minar a força que age, por alguns milésimos de segundo, sobre a partícula que toca outro objeto.A seguir, admitiremos que essa força depende apenas do instante de tempo F t ( ) enquanto osobjetos estão em contato. Ora, se determinarmos essa força, podemos relacioná-la com a taxa devariação instantânea do momento da partícula, pois, de acordo com a lei de Newton:

( 12 )

A partir disso concluímos que a variação innitesimal do momento, para uma variação innite -simal do tempo, é dada por:

( 13 )

Figura 10

dp

dt F t

= ( )

dp F t dt

= ( )

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Integrando os dois lados da equação (000), obtemos que a diferença de momentos:

( 14 )

O intervalo de tempo, denido por:

( 15 )

É o tempo decorrido desde o início da colisão até o seu nal. É um intervalo de tempo muitocurto na maioria das colisões, porquanto este é o intervalo de tempo durante o qual os objetosestão em contato.

Denimos a grandeza impulso como sendo dada pela integral:

( 16 )

Concluímos, portanto, que o momento nal depende do momento inicial e do impulso:

( 17 )

Temos então uma forma de determinar o momento nal uma vez conhecida a força e, admitindoque esta força só depende do tempo, ou seja, essa força é do tipo impulsiva, temos como determinar,por exemplo, a velocidade nal como função da velocidade inicial e o impulso:

( 18 )

O fato é que podemos determinar

′v a partir da expressão para a força impulsiva. Assim,entendemos o papel da dinâmica e sua relevância na etapa em que ocorrem as interações. Essaetapa tem uma duração muito pequena quando os objetos se tocam.

No caso da colisão envolvendo uma bola de bilhar com um lado da mesa, a força que age sobrea bola é uma força normal à mesa. Consequentemente, o ângulo de incidência é igual ao ângulo dereexão. De acordo com a Figura 000, podemos escrever:

( 19 )

p p F t dt t

t

i

f

' ' '− = ( )∫

∆ = −t t t f i

I F t dt t

t

i

f

= ( )∫ ' '

p p I ' = +

v v I

m

' = +

Figura 11α = β

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Colisões elásticas e Inelásticas

Quando os objetos estão muito distantes uns dos outros, no caso não relativístico, nas etapasinicial e nal, a única energia que conta é a energia cinética. No entanto, essa energia pode serutilizada no processo de colisão para realizar tarefas. Por exemplo, deformar um guardrail.

Dizemos que uma colisão é elástica se a energia cinética total (a energia cinética do conjunto departículas que participa da colisão) for igual à energia cinética total depois da colisão. Ou seja, se aenergia cinética total for conservada.

No caso de uma colisão elástica, devemos lançar mão de uma equação que muitas vezes éextremamente útil:

( 20 )

Por exemplo, no caso de duas partículas antes e depois da colisão, escrevemos:

( 21 )

A denição de colisões elásticas não faz referência ao caráter da colisão. Ou seja, é a mesmano caso de colisões não relativísticas ou relativísticas. No entanto, a denição de energia cinética édiferente em cada caso.

No caso das colisões de objetos ocorrendo no cotidiano, isto é, objetos descritos pela dinâmicanão relativística, escrevemos

( 22 )

No caso relativístico, a energia cinética é denida como sendo igual à energia subtraída daenergia de repouso.

( 23 )

E E E E E E c c c

n

c c c

n1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ + + = + + + ' ' '

'

E E E E c c c c

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )+ = +

' '

E mv pm

c = =

2 2

2 2

E c = E − mc2

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Assim, a energia cinética de uma partícula de momento p é dada por

( 24 )

No entanto, nem sempre a energia cinética se conserva, pois essa é uma forma de energia quepode ser convertida facilmente em outra forma de energia.

Consideremos o caso da colisão de uma bola de bilhar com o lado de uma mesa ou ainda o casoda colisão de um objeto com a superfície terrestre. A questão que se coloca é se é verdade que aenergia cinética antes da colisão é igual à velocidade depois da colisão. Isto é:

( 25 )

Suponhamos que a velocidade deste objeto colide um pouquinho antes da colisão, quando ele

toca o solo, tenha uma velocidade v e, depois que ele toca o solo, sai com uma velocidade v′.Para responder a essa questão, vamos denir um coeciente denominado coefciente de resti-

tuição. Ele é denido pela relação entre as velocidades depois e antes da colisão

( 26 )

Como sabemos, nem sempre v′ = v. Ou seja, o coeciente de restituição é menor que 1. Escre-vendo v′ = λ v, obtemos uma relação entre as energias cinética antes e depois da colisão:

( 27 )

Assim, de acordo com (000), quando o coeciente de restituição é igual a 1, o choque é elástico.De outra forma, o choque é inelástico. Portanto, concluímos que o coeciente de restituição, λ , dáuma medida da inelasticidade do choque. É claro que podemos até mesmo considerar o caso emque λ = 0. Neste caso, a partícula cai sobre a terra, por exemplo, e não volta mais. Ela ca grudadana superfície terrestre. É um choque, portanto, totalmente inelástico.

E E mc p c m c mcc

= − = + −2 2 2 2 4 2

E E c c= ′

λ ≡v

v

'

E E c c

'= λ

2

Figura 12

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Para determinarmos experimentalmente o coeciente de elasticidade, basta medir a altura da

bola quando solta e a altura máxima que ela atinge depois de chegar ao solo. Se a bola é soltade uma altura H , quando ela bate na superfície terrestre, volta até atingir uma altura máxima h,medida a partir da superfície terrestre de forma que a bola volta e atinge a altura h. A partir damedida dessas duas alturas, podemos determinar o coeciente de restituição. Pode-se mostrar,utilizando a conservação da energia total, que o coeciente de restituição é dado por:

( 28 )

Colisões totalmente inelásticas

Nós denimos uma colisão como sendo totalmente, ou perfeitamente, inelástica como sendo aquelas

para as quais a energia cinética é convertida, de maneira máxima, em outras formas de energia.Isso ocorre, por exemplo, no caso de uma colisão entre duas partículas quando as mesmas se

fundem numa só.

Quando duas partículas se fundem, quando cam grudadas, produzindo uma partícula

única em movimento, o choque é inelástico. Sempre imaginamos que a massa M dessenovo bloco é igual à soma das massas das duas partículas que se fundem. No entanto,especialmente em colisões ditas colisões relativísticas, esse não é o caso.

Um caso nada incomum de choque perfeitamente inelástico ocorre quando duaspartículas têm a mesma massa e estão em movimento em sentido contrário. Ao colidirem,se juntam, daí resultando que esse único objeto se encontra em repouso. Nesse caso, todaa energia cinética foi perdida.

Figura 13

λ = =v

v

h

H

'

Figura 14

Figura 16

Figura 15: Choque perfeitamente inelástico.

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Colisões Frontais

Denimos um choque como sendo frontal quando o movimento se dá ao longo de uma dimensão.Ou seja, quando o choque é unidimensional.

Essa situação ocorre quando uma partícula incide sobre outra de forma (Figura 000) e depois da

colisão as duas seguem na mesma direção de incidência.Ou seja, estas mesmas duas partículas movimentam-se ao longo da linha que é comum às duas.

As trajetórias são retilíneas antes e depois, e ao longo da mesma reta. É como se o movimento fosseunidimensional, tanto antes quanto depois.

Em uma bola de bilhar, reconhece-se facialmente uma colisão frontal. Tendo em vista que ambas

têm a mesma massa, a característica do choque frontal é que quando uma bola em repouso éatingida pela outra, então aquela que é atingida sai em movimento enquanto aquela que atingiu abola em repouso ca no lugar dela.

Bolas de bilhar são objetos extensos, não são pontos materiais. Nessas colisões, durante

o contato, os objetos que colidem são deformados. No entanto, essa deformação é passageira.As bolas voltam ao seu estado inicial depois de um breve instante de tempo. O resultado é quepodemos considerar o choque como sendo frontal e elástico.

Figura 17

Figura 18

Figura 19

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Colisões relativísticas e não relativísticas

As partículas que participam do processo de colisão podem ter velocidades pequenas. Nessecaso, dizemos que a colisão é não relativística. Se as partículas forem dotadas de grandes veloci-dades, dizemos que o choque é relativístico. A questão é denir o que é uma velocidade grande ou

pequena. Ou seja, como é possível distinguir um caso do outro.A distinção não é muito precisa, pois dizemos que um choque é não relativístico se a velocidade

de qualquer uma das partículas que participam da colisão for tal a satisfazer a condição:

( 29 )

Em que v é a velocidade da partícula e c a velocidade da luz (cerca de 300.000 Km/s). Ou seja, se

a velocidade for pequena em relação à velocidade da luz.De outra forma, dizemos que o choque é relativístico. Por exemplo, choques relativísticos

ocorrem quando partículas são dotadas de velocidades muito próximas da velocidade da luz:

( 30 )

Por exemplo, quando

( 31 )

Essa distinção é importante. Isto porque, em ambos os casos, fazemos uso de grandezas como

velocidade, momento, energia e energia cinética, cujas expressões são diferentes em um caso e nooutro. No caso não relativístico, por exemplo, a relação entre o momento linear e a velocidade dapartícula é:

( 32 )

Ao passo que a relação entre momento e energia é

( 33 )

v

c

1

v ≈ c

v = 0,9999c

p mv=

E p

m

c =

2

2

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No caso relativístico, o momento de uma partícula relaciona-se de forma diferente do caso não

relativístico. A relação entre momento linear e velocidade da partícula, no caso relativístico, é:

( 34 )

Assim, no caso relativístico, a relação entre o momento e a velocidade é diferente do caso nãorelativístico.

Ademais, no caso relativístico, a energia da partícula nas etapas em que elas não interagemenvolve dois termos: a energia de movimento e a energia intrínseca da mesma, ou seja:

( 35 )

pmv

v

c

=

−1

2

2

Figura 20

E pc mc= ( ) + ( )2 2

2

M â i C li õ 15

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Assim, a energia é dada, em função da velocidade, no caso relativístico, pela expressão:

( 36 )

Ainda no caso relativístico, denimos a energia cinética de acordo com a expressão (000).

Colisões Envolvendo Feixes de Partículas

No caso de colisores de partículas elementares, não se produz exatamente um próton eantiprótons; é produzido um feixe, um número muito grande de partículas, e essas partículas semovem em uma direção, resultando em um outro feixe de partículas no caso de anti prótons que

se movem na direção oposta.Existe, portanto, uma colisão de um feixe de partículas por outro feixe de partículas. Esta é uma

possibilidade.Finalmente nós podemos fazer de colisões de objetos extensos, por exemplo, tenho uma barra

e uma partícula que atinge esta barra. Ora o que acontece é que no caso de um objeto extenso estabarra, por exemplo, vai iniciar a partir da colisão um movimento de rotação. Portanto, colisão porobjetos extensos são mais complexas e, neste caso, vamos utilizar o princípio da conservação domomento angular para entender este tipo de colisão.

O Que é Espalhamento

Em um acelerador de partículas, produzimos não uma ou duas partículas, mas um feixe departículas. O que caracteriza tal feixe é a sua intensidade I .

A intensidade do feixe é denida como o número de partículas por unidade de área e por unidadede tempo.

Muitas vezes temos interesse no estudo de uma situação física que pode ser resumida daseguinte forma:

E mc

v

c

=

−

2

2

21

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A taxa com que partículas atravessam uma área dA é:

( 38 )

Para uma superfície perpendicular ao feixe, a intensidade é simplesmente:

( 39 )

O número de partículas que atravessa uma superfície de área dA em um intervalo de tempoinnitesimal é:

( 40 )

No que segue, consideraremos partículas colidindo com um alvo xo localizado na origem dosistema de coordenadas. Admitiremos o sistema de referência no alvo xo e tomamos o eixo z ao

longo da direção do feixe.

Podemos descrever a colisão com o alvo xo da seguinte forma: imaginando o feixe incidentena direção z , cada partícula contida nele será desviada em uma direção bem denida. O feixe, noentanto, se espalhará nas mais diversas direções. Considerando-o com certa intensidade, pode-semedir experimentalmente o número de partículas espalhadas por unidade de tempo em umadeterminada direção. Utilizamos as coordenadas (θ, φ) para caracterizar uma direção no espaço.

dN

dt J dA= ⋅

.

I = J.

dN = JdAdt.

Figura 22: Ilustração, a partir de diferentes ângulos de visão, do desvio de um feixe de partículas por um centro de forças,neste caso, hipoteticamente localizado na origem do sistema de coordenadas. O feixe incide ao longo do eixo y. O ângulosólido é identificado em amarelo. Quantas sairão em determinado ângulo sólido?

Figura 23: Espalhamento é um problemaque envolve a dinâmica da interação.


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Mecânica Colisões 18

Consideremos as direções delimitadas pelos ângulos:

( 41 )

Denimos o ângulo sólido como uma medida da abertura das direções acima. O ângulo sólidodé denido como:

( 42 )

É fácil vericar que o ângulo sólido associado à abertura de todo o espaço é:

( 43 )

θ e θ + d θφ e φ + d φ

Figura 24

d Ω = senθd θd φ

d d d Ω∫∫ ∫ ∫≡ =θ θ ϕ ππ π

sen

0 0

2

4 .


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O número de partículas por unidade de tempo que são espalhadas em uma determinada direção

(θ, φ), por unidade de tempo, será designado por:

( 44 )

É mais viável, no entanto, medir o número de partículas por unidade de tempo que são espalha-

das em um determinado ângulo sólido (dN Ω /dt). Essa é a informação que é acessível experimen-talmente. Em muitos laboratórios, fazemos isso variando o ângulo continuamente, deslocando oaparato de medida.

O número de partículas espalhadas ao longo de um determinado ângulo sólido é diretamenteproporcional à medida do mesmo. Assim, escrevemos:

( 45 )

Apesar da contagem do número de partículas que emergem de um determinado ângulo sólido

ser viável, experimentalmente, é mais interessante determinar o número daquelas espalhadas emrelação ao número das que incidiram. A maneira usual de fazê-lo é denir a seção de choque dife-rencial, d σ como sendo dada pela relação

( 46 )

Em que I é a intensidade do feixe. Utilizando (44) obtemos que a seção de choque diferencial édada por:

( 47 )

A Seção de Choque de Espalhamento

A seção de choque de espalhamento é igual ao número de partículas espalhadas por unidadede ângulo sólido e por unidade de tempo na direção θ e φ dividido pela intensidade do feixe. Isto é:

( 48 )

dN

dt

dN

dt

e e= ( , )

.θ ϕ

dN

dt

dN

dt d

eΩ = Ω( , )

.θ ϕ

Figura 25: A seção de choque é determinadapor meio de métodos sofisticados. CERN.

d y I

dN

dt σ θ( , ) ,=

1Ω

d y I

dN

dt d e

σ θ θ ϕ( , ) ( , )= Ω

1

d

d I

dNe

dt

σθ ϕ

Ω=

1( , )


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Em geral, a seção de choque depende apenas do ângulo de espalhamento. Nesse caso, integramos

o ângulo sólido em relação ao ângulo φ e obtemos:

( 49 )

Denimos a seção de choque total como sendo a integral:

( 50 )

Qualquer que seja a seção de choque, ela tem a dimensão de área:

( 51 )

Nas condições de incidência ao longo do eixo z , as partículas têm, a uma distância muito grandedo alvo, uma velocidade dA, a qual só tem componente ao longo do eixo z . Assim, escrevemos:

( 52 )

Cada uma das partículas no feixe incide a uma certa distância do eixo z (posicionado no centrodo alvo). A essa distância, da partícula até o eixo z , damos o nome de parâmetro de impacto (b).

O módulo do momento angular (que, admitindo forças centrais, é conservado) é dado, em funçãoda velocidade inicial e do parâmetro de impacto, por:

( 53 )

b, na equação acima, é o parâmetro de impacto da colisão.A taxa com que partículas atravessam uma área perpendicular ao feixe compreendida pelos

círculos de raios b e b + db:

( 54 )

Por unidade tempo, é:

( 55 )

d I

dN

dt d σ θ

θπ θ θ( )

( ).=

12 sen

σ θ π θ θ θπ

= Ω =∫ ∫1 2

0 I

dN

dt d

I

dN

dt e d

e e( ) ( ) s n

σ[ ] = [ ] A .

V v k = −0 .

L = mv0b

dA = 2πbdb.

dN

dt I bdb= + 2π .


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No contexto de uma descrição clássica, as partículas que incidirem na área ( 000) emergirão do

processo de colisão em uma direção entre os ângulos θ e θ + d θ. Isto é:

( 56 )

A partir disso, conclui-se que:

( 57 )

e, portanto, a seção de choque é dada por:

( 58 )

Dessa forma, o problema da determinação da seção de choque se reduz àquele de determinar adependência do parâmetro de impacto como função do ângulo de espalhamento.

Forças Centrais – Espalhamento Rutherford

No caso do espalhamento devido a uma força repulsiva e central, a trajetória da partícula é tal queela atinge um ponto de máxima aproximação do alvo. Esse ponto é representado na Figura 000 comoo ponto A da trajetória.

Utilizando coordenadas polares, esse ponto terá coordenadas (ρm, φm).

dN

dt

dN

dt =

Ω

I bdb dN

dt d

d

d I d

e2 2 2π θ π θ σ

π θ θ= =Ω

sen sen,

d

d

b

e

db

d

σ θ

θ

θ

θΩ=

( )

s n

( ).

Figura 26


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O ângulo de espalhamento θ relaciona-se a esse ângulo por meio da relação:

( 59 )

O ponto de máxima aproximação, por outro lado, é aquele para o qual a velocidade radial é nula.Nesse ponto podemos escrever:

( 60 )

Esse ponto ρm depende, portanto, do parâmetro de impacto e da energia,

( 61 )

O ângulo φm, por outro lado, é dado pela integral:

( 62 )

Lembrando que, nas condições descritas anteriormente, a energia é dada por:

( 63 )

O ângulo φm será agora dado pela integral:

( 64 )

Para um potencial repulsivo da forma:

( 65 )

θ π ϕ= − 2 m

E L

mU

mb vU

m

m

m

m= + = +

²( ) ( ).

α ρρ

ρρ

1

2

12

202

ρm = ρm(b, E ).

ϕ

ρ

ρ ρ α ρρm

Ld

m E U L mm

= − −

∞

∫ 2 2 2

2 ( ( ) / ) .

E mv

= 0

2

2.

ϕ

ρ ρ

ρρm

b

b bd

b U mvm

( )

/

/ / .( )= − −

∞

∫

2

2 2

0

21 2

U k

( ) .ρρ

=


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A integral (000) pode ser realizada explicitamente. O resultado é:

( 66 )

Invertendo essa relação e lembrando que ϕ π θ

02

= −

, obteremos:

( 67 )

E, utilizando (000), obtemos

( 68 )

Essa expressão para a seção de choque de espalhamento, válida para um potencial repulsivo que

varia com o inverso da distância, é conhecida como Seção de choque de espalhamento Rutherford.

ϕm

mv b

k =

+

−

arccos .

/

0

2 2

1 2

1

b k

mv=

2

0

22

cotan θ

.

d

d

k

mv

Ω

Ω =

( )

1

4

1

2

2

0

2

2

4

senθ .

Figura 27: Seção de choque de espelhamento de Rutherford.


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Créditos

Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP).

Autoria: Gil da Costa Marques.

Revisão Técnica e Exercícios Resolvidos: Paulo Yamamura.

Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro.

Revisão de Texto: Marina Keiko Tokumaru.

Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira.

Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino,Maurício Rheinlander Klein e Thiago A. M. S.

Animações: Celso Roberto Lourenço e Maurício Rheinlander Klein.

Colisões USP - Texto de Aprofundamento de Conceitos Estudados.

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