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INTEGRAO DE CLCULO E FSICA NOS CURSOS DEENGENHARIA DA UFSCar

Jos Antonio Salvador, * D. Sc.,Cesar Constantino, ** D. Sc.,

Nelio Baldin, * D. Sc. ,Jos Marques Pvoa, ** D. Sc.

CCET - UFSCar*Departamento de Matemtica ** Departamento de Fsica

Via Washington Lus, km 23513565-905 So Carlos SP

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Resumo

Os conceitos de Fsica geralmente no so explorados no Clculo e a potencialidade doClculo no aproveitada suficientemente na Fsica a no ser algebricamente. No temexistido uma homogeneidade na linguagem empregada e nem continuidade nodesenvolvimento dos tpicos abordados. Consequentemente, na maioria das vezes, o alunoadquire uma postura mental perniciosa considerando a Fsica e o Clculo como matriastotalmente distintas e apresenta grande dificuldade de resolver problemas.O ensino fica comprometido com a perda da viso histrica comum destas disciplinas.Nosso projeto propem uma volta s origens integrando Clculo e Fsica para as turmas deEngenharia de Materiais e Engenharia Qumica da UFSCar e est sendo testado para os alunosrecm ingressados na universidade. As disciplinas Clculo Diferencial e Integral 1 e Fsica 1funcionam como se fossem nicas, com os professores de ambas participandosimultaneamente das aulas das duas disciplinas, o que permite homogeneizar a linguagem eadequar a seqncia dos tpicos, evitando lacunas e/ou duplicaes. Alm desta integraoutilizamos os recursos computacionais do Maple V no Laboratrio REENGE para explorarconceitos matemticos e fsicos, como j vnhamos fazendo nas turmas de Clculo. Nestetrabalho apresentamos alguns resultados, avaliao e discusso desta experincia.

1. Introduo

Temos constantemente questionado e discutido muito sobre o modo como estamosensinando Clculo e Fsica nas universidades. Mesmo as experincias mais recentes com aintroduo do uso de computadores no ensino destas disciplinas ainda so tentativas que notem levado em considerao a interdisciplinaridade que inerente a elas.A idia de unificar os estudos de Clculo Diferencial e Integral 1 e a Fsica 1 nos ocorreumuito tempo atrs, quando observamos o descontentamento de alunos e professores. Namaioria dos cursos das cincias exatas alguns alunos chegam mesmo desistncia dessasdisciplinas e s vezes at do prprio curso escolhido. Geralmente eles no conseguem usar os

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conceitos e as ferramentas convenientes do Clculo para explorar os problemas fsicos e nemaproveitam suficientemente os conceitos da Fsica para melhor compreenso do Clculo.

Os professores destas disciplinas geralmente deixam de explorar ou duplicam aapresentao de conceitos, muitas vezes com linguagens diferentes, levando os alunos incompreenso ou confuso. Muitas vezes o professor de uma dessas disciplinas reclama queos alunos ainda no aprenderam algum conceito da outra disciplina, que ele precisava usarnaquele momento, constrangendo de certa forma os alunos que ficam no meio de um processoem que eles no tem participao. Reconhecemos que no uma prtica comum discutir oplanejamento dos cursos em conjunto com os professores envolvidos e / ou com acoordenao dos mesmos, e em alguns casos isto s ocorre no incio da elaborao doscurrculos. Estes, depois de aprovados pelos rgos competentes das instituies, geralmenteso esquecidos e os detalhes e enfoques mais adequados das ementas no so preparados enem discutidos suficientemente em conjunto quando de sua aplicao em sala de aula.

O questionamento do modo como ministramos estas disciplinas e vrias tentativas nosentido de seu aprimoramento, com novas metodologias, foram utilizadas por ns mesmos epor diversos professores nas mais variadas universidades. A introduo das novas tecnologiasno ensino que implementamos na UFSCar nas disciplinas bsicas de Matemtica do CCET daUFSCar de certo modo trouxe uma grande e significativa melhora (Paterlini [7] , Moreira eSalvador [1], Salvador e Baldin [11]), principalmente na motivao dos alunos. Mas aindasentamos que faltava a interdisciplinaridade, que at tentvamos fazer isoladamente,introduzindo exemplos, problemas e exerccios da Fsica resolvidos com os recursos doscontedos do Clculo, ou aplicando conceitos de Clculo na resoluo de problemas nadisciplina de Fsica. Eram sempre tentativas isoladas, sem uma ligao histrica e oaprofundamento necessrio dos conceitos para a perfeita compreenso dos mesmos.

No recente a idia de nosso projeto, mas s nestes ltimos dois anos tivemos umaexperincia concreta inicialmente com os professores de Ensino Mdio da regio de SoCarlos oferecendo atividades de cinemtica em conjunto com a matemtica, que tiverambastante aceitao. As discusses interessantes que mantivemos nos fizeram refletir ainda maise estender a experincia para as disciplinas de Clculo e Fsica para os alunos da universidade,um sonho antigo.

Nosso projeto para a integrao do Clculo e da Fsica se tornou realidade, graas aoempenho e iniciativa dos autores deste trabalho para coloc-lo em prtica, discutindo cada umdos tpicos abordados nas duas disciplinas para intercal-los convenientemente de modo aobter uma ementa otimizada, permitindo a passagem da aula de uma disciplina para outrasuavemente e visando o melhor aproveitamento global do aluno. Melhor ainda o empenhoque temos feito no sentido de que ambos os professores de Clculo e Fsica participem dasaulas das duas disciplinas, um intervindo na aula do outro no momento exato das discussesde tpicos interdisciplinares, o que na realidade ocorre frequentemente.

2. Caractersticas dos nossos alunos

Na nossa experincia foram escolhidas duas turmas piloto, uma deEngenharia de Materiais e outra de Engenharia Qumica da UFSCar com 45

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alunos cada, de forma que os mesmos alunos participassem das mesmas turmasde Clculo 1 e de Fsica 1.

Aprofundamos nosso conhecimento sobre o perfil destes alunos, analisandodocumentos e relatrios de anos anteriores das turmas de Clculo 1 e Fsica 1 do CCET daUFSCar, Ferreira Filho e Bereta [4, 5, 6], e questionrios formais e informais de sondagemdistribudos aos alunos serviram para a coleta de dados pessoais e socioeconmicos, formaoacadmica, interesses diversos, informaes acerca de conhecimentos computacionais eperspectivas futuras relativas ao curso, entre outros, num total de 38 questes como havamosfeito no ano passado Moreira e Salvador [1] com os alunos da disciplina de ClculoDiferencial e Integral 1 para a turma de Engenharia Qumica.

No curso de Engenharia Qumica no h predominncia de alunos do sexo masculinocomo nos anos anteriores, 50% so de sexo feminino e 50% do sexo masculino, enquanto quena turma de Engenharia de Materiais 25% so do sexo feminino; a maioria dos alunos deambas as turmas ingressaram na UFSCar na faixa etria situada entre 17 e 18 anos, oriundosprincipalmente das cidades de So Carlos e do interior do estado, todos solteiros, residindoem pensionato ou repblica. A escolaridade da maioria dos chefes de famlia dos alunos superior, com renda familiar predominantemente acima de 10 salrios mnimos.

Grande parte dos alunos aprendeu a usar computador sozinho ou em cursos livres, e amaioria deles j possui computador em casa. Tambm a maioria dos alunos utiliza transportecoletivo, no exerce atividades acadmicas extracurriculares e no trabalha.

Cerca de 90% dos alunos freqentou no 2o. Grau o curso de Educao Geral, emescola privada, no perodo diurno, e concluram-no h menos de 2 anos. Durante o curso dosegundo grau os alunos praticaram atividades esportivas e freqentaram cursos de lnguainglesa. O curso de segundo grau concludo pelos alunos tambm no utilizava recursoscomputacionais, exceto 4 deles que utilizaram. Cerca de 75% dos alunos fizeram curso pr-vestibular de um semestre a um ano. Nenhum deles concluiu outro curso superioranteriormente. A maioria deles no trabalhou enquanto cursava o segundo grau e pretende semanter na universidade durante o curso com recursos dos pais ou bolsas de estudo. Aqualidade e a gratuidade do ensino foram os motivos que os levaram a escolher a UFSCar e adeciso pelo curso se deve essencialmente s afinidades e aptides pessoais, possibilidadede realizao pessoal e ao mercado de trabalho. Aps a concluso do curso, a maioria dosalunos pretende fazer cursos de Aperfeioamento, Mestrado e/ou Doutorado e procuraremprego na mesma rea.

3. Estratgias Didticas e Metodolgicas

Decididos pela integrao das disciplinas, uma primeira etapa para a elaboraoconcreta do projeto foi iniciar pela discusso dos tpicos de cada disciplina e reorden-los demodo obter uma ementa suave. Deste modo verificamos que alguns tpicos de Clculo eFsica se complementariam caso fossem ministrados simultaneamente ou com a interfernciade um professor na aula do outro no momento exato, ou logo na aula seguinte da outradisciplina, usando a mesma notao e linguagem. Verificamos que tpicos da disciplina deClculo poderiam ser antecipados em relao ao que geralmente apresentado num cursoclssico.

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Um exemplo claro disto foi a introduo nas primeiras aulas de Clculo do conceito dederivada e o clculo da derivada das funes polinomiais logo no incio do curso, usando adefinio e introduzindo a o conceito de limite ao invs de trabalha-lo de forma isolada. Oconceito de derivada foi explorado abordando inicialmente o coeficiente angular de retassecantes ao grfico de uma funo, e dos coeficientes angulares das tangentes ao grfico deuma funo num ponto como limite dos coeficientes angulares das secantes. Exploramosassim o limite das retas secantes convergindo para as tangentes ao grfico de funes.

Enquanto isso, em Fsica se introduzia o conceito de velocidade mdia e instantnea, oque reforava os conceitos de derivada e limite vistos na aula de Clculo.

No laboratrio de computao usamos os recursos do software Maple V para simulargraficamente o limite das secantes ao grfico de uma funo convergindo para a tangente mesma num ponto e a anlise da taxa de variao da funo, crescimento, decrescimento dafuno, pontos extremos, concavidade etc.. Tambm exploramos a resoluo de problemasfsicos com os recursos do clculo e o conceito de diferenas finitas, para melhor compreensodas noes de limites e derivadas, usufruindo das facilidades computacionais.

Vejamos um exemplo bastante simples do movimento de uma bolinha de massa mlanada verticalmente para cima com velocidade inicial v0. O movimento ao longo de umeixo y vertical orientado para cima. Em t = 0 a bolinha est na posio y = 0 e com velocidadev = v0. A acelerao da bolinha ser constante e igual a da gravidade -g. Estamos interessadosem determinar a velocidade v e a posio y da bolinha como funo do tempo t. Sabemos quea acelerao a derivada da funo velocidade em relao ao tempo, e para a acelerao dagravidade atuando apenas numa partcula de massa unitria, temos> dv/dt = - g;Pela definio de derivada, a equao acima no limite em que h -> 0, equivalente > (v(t+h) - v(t) ) / h = - g;Para h finito esta equao uma equao a diferenas finitas. Rearranjando-a, obtemos aequao afim:> v(t+h) = v(t) - g * h;Esta equao nos permite calcular a velocidade da partcula num instante t+h, se conhecermosv(t). Aplicando-a sucessivamente aos instantes t = 0, h, 2h, 3h, ... poderemos determinar avelocidade em funo do tempo para um tempo arbitrrio, como mostra a Figura 01.

Figura 01. A linha contnua a soluo analtica v(t) e os pontos a soluo calculada.

Ressaltamos que os valores de h escolhidos no influem na melhor aproximao uma vez quea funo obtida afim.

Podemos tambm calcular a posio y em funo do tempo t, pois : dy/dt = v(t);Pela definio de derivada, a equao acima equivalente, no limite em que h -> 0

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( y(t+h) - y(t)) / h = v(t); E da mesma forma, para h finito temos uma equao a diferenasfinitas dada por y(t+h) = y(t) + v(t)*h;Esta equao nos permite calcular a posio no instante t+h, se conhecermos y(t). Aplicando-asucessivamente aos instantes t = 0, h, 2h, 3h, ... poderemos determinar a funo posio y dotempo t. Neste caso observamos que o mtodo empregado de aproximao da soluo melhoraquando diminumos o valor do passo h. Exploramos ento o conceito de limite da razoincremental que nos leva a derivada de uma funo.O clculo da funo posio fica bastante simples e fcil de visualizar usando Maple V comomostram os grficos com valores de h diferentes:

Figura 02. A soluo analtica contnua e a soluo calculada pontilhada com h = 0,2 e h = 0,1

Simulaes usando o Maple V e fazendo animaes quando h -> 0, os alunos podem verclaramente a soluo aproximada por diferenas finitas converge para a soluo analtica doproblema.

Na introduo dos conceitos de Clculo e Fsica estamos sempre procurando motiv-los atravs de problemas.

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Outro exemplo o caso do conceito de trabalho que usado logo na Fsica 1 e oconceito de integral de linha que s apresentado num curso mais avanado de Clculo. Esteproblema foi apresentado de modo que a integral de linha pudesse ser tratada como umaintegral simples. Neste caso, partimos do conceito de trabalho realizado por uma foraconstante na mesma direo do deslocamento de um corpo em uma dimenso na aula deFsica. Em seguida na aula de Clculo interpretamos geometricamente como rea sob o grficode uma funo fora constante e introduzimos a noo de integral definida. A seguirapresentamos o caso de foras variveis e calculamos a integral do produto escalar da forapelos deslocamentos infinitesimais, para alguns caminhos onde isto era possvel.

No laboratrio fizemos com que os alunos explorassem o conceito de integral definidacomputacionalmente usando o processo de limite de somas no clculo de trabalho e reas sobo grfico de uma funo, usando os recursos grficos de animao do Maple V.

Nos demais tpicos das disciplinas tambm procuramos explor-los conjuntamente, demodo que os alunos adquirissem uma melhor compreenso e desenvolvessem o raciocniolgico aumentando a capacidade de resolver problemas.

4. Anlise preliminar do projeto

Sabemos da dificuldade de fazer uma anlise comparativa do rendimento dos alunosparticipantes deste projeto com os alunos dos anos anteriores, pois isto envolve muitasvariveis (professores diferentes, turmas diferentes, avaliaes diferentes, condies adversasdos perodos e outras). Mostramos como exemplo, o comportamento das turmas deEngenharia Qumica ao longo dos ltimos anos.

Figura 03. Evoluo das mdias dos alunos de Engenharia Qumica em Clculo 1 e Fsica 1 de1994 a 1999

No caso de Clculo Diferencial e Integral 1 conclumos que apesar das variaes dasmdias ao longo dos ltimos anos, a mdia das notas em 1999 da turma de EngenhariaQumica foi de 6,8 e a mdia dos anos anteriores de 1994 at 1998 foi de 6,1. Isto no nossurpreendeu pois observamos uma queda da mdia dos alunos em 1997 e em 1998 j

Evoluo das Mdias EQ

0

2

4

6

8

94 95 96 97 98 99ano

mdia Clculo 1

Fsica 1

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recomeamos a usar de modo mais intenso o Laboratrio de Computadores/REENGE e aintroduo de novas metodologias conforme [1].

Na nossa experincia de integrao no primeiro perodo letivo de 1999, observamosuma interao muito maior alunos alunos, alunos professores, professores professores.Notamos que nosso mtodo de trabalho conjunto influenciou e motivou os alunos atrabalharem cooperativamente e de uma forma natural. Eles espontaneamente se reuniram emgrupos para a resoluo de exerccios, problemas e desafios propostos tanto de fsica quantode clculo.

Nas discusses em sala de aula destacamos a participao ativa dos alunos com muitomais perguntas interdisciplinares, para ambos os professores, do que acontece nas outrasturmas, o que provavelmente colaborou para aumentar a correlao entre as notas de Fsica eClculo, o que parece indicar que os alunos conseguiram efetivamente sentir a integrao entreas duas disciplinas. O grfico abaixo ilustra as notas de nossa turma Experimental E, comcoeficiente de correlao igual a 0,7. Nas turmas onde no houve interao entre osprofessores de Clculo e Fsica o coeficiente de correlao foi bem menor, em torno de 0,4.

Figura 04. Correlao entre as notas de Clculo 1 e Fsica 1 para os alunos da turmaexperimental de Engenharia Qumica.

No podemos deixar de ressaltar tambm que a interao entre os professores tem nosproporcionado um enriquecimento mtuo e de grande valor para o aprimoramento de nossasatividades como educadores e foi muito gratificante.

Notas EQ - Turma ECorrelao = 0,7

02468

10

0 5 10 Fsica 1

Clc

ulo

1

1000

5. Concluses

Os resultados preliminares que obtivemos nesta experincia nos indicamque demos um passo importante na formao de nossos alunos com a integraodas disciplinas de Clculo e Fsica. J vnhamos comprovando que o uso docomputador um recurso didtico motivador e importante na construo doconhecimento dos processos infinitesimais do Clculo e agora ficou maisevidente na integrao com a Fsica.

O interesse despertado pelos alunos ao ver os professores de ambas asdisciplinas na sala de aula, desde o incio do curso nos incentivaram a continuar adesenvolver nossas atividades didticas em conjunto tambm no laboratriocomputacional.

evidente que para a integrao do ensino de Clculo e Fsica osprofessores envolvidos devem adotar o mesmo procedimento e estar preparadospara um grande envolvimento nas diversas fases do projeto, abertos para novosquestionamentos tanto do currculo como da sua prpria prtica pedaggica, paraa participao crtica dos alunos, e do colega que o observa e interfere na sua aulano momento conveniente, o que certamente um grande passo para oenriquecimento do processo de ensino aprendizagem significativo para todos.

tambm uma mostra de como podemos incentivar o trabalhocooperativo partindo de nossa prpria prtica pedaggica cooperativa, de modoque os estudantes possam captar tais experincias fsicas, matemticas ecomputacionais.

Com tal experincia, acreditamos que os departamentos de Matemtica eFsica esto dando uma valiosa contribuio s disciplinas bsicas da UFSCar,que poder ser estendida para as demais disciplinas oferecidas pelosdepartamentos de Matemtica e Fsica para os cursos de Engenharia.

Esta tentativa de mudana poder ser aperfeioada continuamente com oacompanhamento e observaes mais detalhadas das experincias para reflexessobre a prtica docente e discente, adequao do currculo, etc. Tais reflexescontnuas podero indicar os caminhos mais convenientes a serem trilhados nabusca de um processo de ensino-aprendizagem significativo do Clculo e daFsica integrados, resgatando de fato as suas origens.

6. Referncias

[1] Moreira, D. T. & Salvador, J. A., Ensino de Clculo para a Engenharia Qumicautilizando o Maple V, COBENGE98, SP (1998)[2] Cordeiro, J. S., Baldin, N., Malagutti, P. L. A ., Pvoa, J. M., ProjetoREENGE - UFSCar: Ensino de Matrias Bsicas para o Engenheiro do Futuro,XXIV COBENGE96, UA, AM (1996).

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[3] Costa, I. M. , Salvador, J. A., Malagutti, P. L. A., Paterlini, R. R., Rodrigues,S., Furuya, Y. K e Baldin, Y. Y., O Uso do aplicativo Maple V para o Ensino dasDisciplinas Bsicas de Matemtica, XXV COBENGE, UFBA (1997).[4] Ferreira Filho., P., Bereta, E. M. P., Perfil dos alunos ingressos na UFSCar noano de 1997, Relatrio do Laboratrio de Estatstica Aplicada, UFSCar (1997).[5] Ferreira Filho., P., Bereta, E. M. P., Um estudo comparativo dos alunosingressos na UFSCar no perodo 1994 - 1997, Relatrio do Laboratrio deEstatstica Aplicada, UFSCar (1997).[6] Ferreira Filho., P., Bereta, E. M. P., Viola, D. N., Perfil scioeconmico ecultural dos alunos da UFSCar, Relatrio do Laboratrio de Estatstica Aplicada,PROGRAD/ SAC, UFSCar (1997).[7] Paterlini, R. R., Modificaes no Ensino do Clculo em Cursos deEngenharia, XXV COBENGE, 860-871,UFBA (1997).[11] Salvador, J. A. e Baldin, N., As Inovaes Tecnolgicas e o Processo deEnsino - Aprendizagem na UFSCar, CLATE98, UTN - Faculdad Regional SanNicols, San Nicols, Argentina (1998).[12] http://www.ufscar.br