(1)

Circuito RC

Processo de carga do capacitor até Vc = .

Como C q/Vc a carga de equilíbrio é C.Como variam Vc, i e q durante a carga?

Aplicando a Lei das Malhas no sentido horário

+

-

i

0C

qiR

RRC

q

dt

dq ou

Equação diferencial linear

não homogênea de primeira

ordem com coeficientes

constantesSolução (particular + homogênea): q = qp + qh

0 qdt

dqVejamos. Solução da equação homogênea:

dtq

dq

t

t

q

q

dtq

dq

00

21ln CtCq

Circuitos elétricos oscilantes

qh = K e-t

(2)

Circuito RC

+

-

i

Uma solução particular pode ser quando

dq/dt =0 ou seja no equilíbrio, com o

capacitor já carregado. Neste caso qp =

C

Agora podemos determinar K substituindo nossas soluções e aplicando a

condição inicial q(t=0) = 0 :

tKeCq KC 0 CK

Logo teremos:

teCq

1 e ?

)exp(1

RC

tCq

(3)

Circuito RC

+

-

i

)exp(1

RC

tCq

Assim na carga do capacitor teremos:

E a tensão?

)exp(1

RC

t

C

qVc

E a corrente?

RC

t

eRdt

dqi

E na descarga do capacitor? Qual é a

equação e como resolver?

+

-

i

(4)

Circuito RC

Na descarga do capacitor a equação é:

0RC

q

dt

dqEquação diferencial linear

homogênea de primeiro

grau com coeficientes

constantes

Solução: q = K e-t

Agora podemos determinar

K da condição inicial e da

substituição:

RC

t

eqq

0

E a tensão? RC

t

c eC

qV

0

E a corrente? RC

t

eRC

q

dt

dqi

0O sinal menos significa que a

carga diminui.

q

t

qo

O

(5)

Circuito RL

Vamos considerar o circuito da figura (na posição b)

e queremos determinar a corrente através do indutor.

Vamos considerar I(t=0) = I0

A solução para a corrente no indutor é:

Aplicando a Lei das Malhas temos: 0 Ridt

diL 0 i

L

R

dt

di

dti

di

t

t

i

i

dti

di

00

21ln CtCi teKi

tL

R

eIi

0 R

L

t

eIi

0

A queda de tensão no resistor é:t

L

R

R eRIiRV

0

A potência dissipada no resistor é:

A energia dissipada no resistor é: )1(21

2

2

0

2

t

R eIRL

W

t

R dtPW

0

𝑃 = 𝑉𝑅𝑖 = 𝑖2𝑅 = 𝐼02𝑅𝑒−

2𝑅𝐿 𝑡

(6)

Circuito RL

Vamos considerar o circuito da figura (na posição a)

e queremos determinar a corrente através do indutor.

A solução para a corrente no indutor é:

Aplicando a Lei das Malhas temos:

0 Ridt

diL 0 i

L

R

dt

di

tL

R

eR

i 1

(7)

Circuito LC

A equação é: 0C

q

dt

diL 0

2

2

LC

q

dt

qd

Esta equação é idêntica à do sistema massa-mola!!!

k

m

Portanto podemos estabelecer uma analogia entre as grandezas elétricas

e as mecânicas!!! (e utilizar todos os resultados já obtidos)

(8)

Circuito LCMassa - Mola

22

2

1

2

1kxmvE

C

qLiE

22

1 22

02

2

kxdt

xdm 0

2

2

C

q

dt

qdL

x q

v i

m L

1/k C

𝜔0 =𝑘

𝑚𝜔0 =

1

𝐿𝐶

Analogias

(9)

Circuito RLC

A equação é: 0C

qRi

dt

diL 0

2

2

LC

q

dt

dqR

dt

qd

Esta equação é idêntica à do sistema massa-mola

com amortecimento b onde R equivale a b/m!!!

02

2

kxdt

dxb

dt

xdm

/ 2 ( ) co sbt m

mx t x e t

Suporte rígido

Elasticidade, k

Massa, m

Palheta

Amortecimento, b

m

bt

mex 2

2

0

02

1'

m

b

(10)

Circuito RLC com fonte AC

Finalmente no caso das oscilações

forçadas temos a equação :

VC

qRi

dt

diL

Esta equação é idêntica à do sistema

massa-mola forçado!!! Agora F é V

Resposta em frequência

Vamos estudar em detalhe o circuito acima, que é equivalente ao massa

mola forçado com amortecimento (mais simples de se trabalhar

experimentalmente).

Vamos considerar a força externa (tensão externa) harmônica e sua

amplitude complexa:

𝑉 𝑡 = 𝑉0cos(𝜔𝑡 − 𝛾) 𝑉 𝜔 = 𝑉0𝑒𝑗𝛾

(11)

Circuito RLC com fonte AC

Vamos considerar, para simplificar, que =0,

portanto:

Vamos considerar que a amplitude da tensão AC (V0) é constante e que

podemos variar a frequência () e vamos estudar como variam a

amplitude e a fase da corrente induzida no circuito por esta tensão

alternada.

No caso do oscilador mecânico em geral, a corrente corresponde á

velocidade do oscilador. Separadamente vamos estudar a carga no

capacitor que corresponde ao deslocamento no sistema mecânico.

A equação da amplitude complexa para o circuito elétrico é:

−𝑗𝜔𝐿𝐼 + 𝑅𝐼 + 𝑗1

𝜔𝐶𝐼 = 𝑉0 = 𝑉

𝑉 𝜔 = 𝑉0

Onde colocamos todo em função de I (e não de q).

(12)

Circuito RLC com fonte AC

−𝑗𝜔𝐿𝐼 + 𝑅𝐼 + 𝑗1

𝜔𝐶𝐼 = 𝑉0 = 𝑉

Esta equação diz que a o produto da amplitude complexa da corrente e

de certo numero complexo Z é igual á tensão externa, onde Z pôde ser

escrito como:

𝐼(−𝑗𝜔𝐿 + 𝑅 + 𝑗1

𝜔𝐶) = 𝑉0 = 𝑉

𝑅 − 𝑗(𝜔𝐿 −1

𝜔𝐶) = 𝑍

Assim definimos a impedância: 𝑍(𝜔) =𝑉(𝜔)

𝐼(𝜔)

Sua inversa é a admitância 𝑌 𝜔 =𝐼 𝜔

𝑉 𝜔=

1

𝑍(𝜔)

(13)

Circuito RLC com fonte AC

−𝑗𝜔𝐿𝐼 + 𝑅𝐼 + 𝑗1

𝜔𝐶𝐼 = 𝑉0 = 𝑉

Nos estamos interessados na amplitude e na fase da corrente

𝐼(−𝑗𝜔𝐿 + 𝑅 + 𝑗1

𝜔𝐶) = 𝑉0 = 𝑉

𝐼 = 𝐼0𝑒𝑗𝛽

Considerando a impedância

neste caso como sendo: 𝑍 = 𝑍0𝑒𝑖𝜙

E a fase será:

𝑍0 = 𝑅2 + 𝜔𝐿 −1

𝜔𝐶

2

𝜙 = 𝑡𝑔−1 −𝜔𝐿 −

1𝜔𝐶

𝑅

Assim para a amplitude e fase da corrente temos:

𝐼0 =𝑉0𝑍0

=𝑉0

𝑅2 + 𝜔𝐿 −1𝜔𝐶

2𝛽 = −𝜙 = 𝑡𝑔−1

𝜔𝐿 −1𝜔𝐶

𝑅

(14)

Circuito RLC com fonte AC

Vamos analisar a resposta do circuito

𝐼0 =𝑉0𝑍0

=𝑉0

𝑅2 + 𝜔𝐿 −1𝜔𝐶

2 𝛽 = −𝜙 = 𝑡𝑔−1𝜔𝐿 −

1𝜔𝐶

𝑅

Quando temos =0 a corrente é I0=0 (o capacitor interrompe o circuito)

Quando temos =∞ a corrente é I0=0 (o indutor bloqueia o circuito)

Entre estes dois valores teremos um máximo!

Este máximo é Im=V0/R e acontece quando: 𝜔 =1

𝐿𝐶≡ 𝜔0

A frequência na qual acontece o máximo de amplitude é chamada de

frequência de ressonância (é a mesma frequência das oscilações livres

sem amortecimento)

(15)

Circuito RLC com fonte AC

Vamos analisar a resposta da circuito

𝐼0 =𝑉0𝑍0

=𝑉0

𝑅2 + 𝜔𝐿 −1𝜔𝐶

2𝛽 = −𝜙 = 𝑡𝑔−1

𝜔𝐿 −1𝜔𝐶

𝑅

A corrente está defasada respeito da tensão por β

Na ressonância β=0

Nos limites de =0,∞ temos que β=-/2 e /2

Portanto a corrente corre atrás da tensão para 0 e corre afrente da

tensão para >0

Vamos ver graficamente estes comportamentos. Para isso primeiro

normalizamos a frequência /0 e resistência D R0C = R/0L

(esta resistência normalizada é interpretada como a relação entre a

amplitude da tensão no resistor, capacitor e indutância na ressonância)

(16)

Circuito RLC com fonte AC

O inverso desta resistência normalizada é o fator de qualidade Q !!!

Q = 1/D = 0L/R

Em termos destas grandezas normalizadas teremos:

𝑍 ≡ −𝑗𝜔𝐿 + 𝑅 + 𝑗1

𝜔𝐶= 𝑅

𝑗

𝐷Ω1 − Ω2 − 𝑗𝐷Ω

/0

D R0C = R/0L (esta igualdade a menos do

sinal, é valida na ressonância).

𝐼 = 𝐼0𝑒𝑗𝛽 = 𝐼𝑚

−𝑗𝐷Ω

1 − Ω2 − 𝑗𝐷Ω

𝐼0𝐼𝑚

=𝐷Ω

1 − Ω2 2 + (𝐷Ω)2

𝛽 = 𝑡𝑔−1Ω2 − 1

𝐷Ω

Todo isto é valido para o sistema massa-mola considerando as

correspondências entre as grandezas.

Vamos ver agora o gráfico do comportamento...

(17)

Circuito RLC com fonte AC

No eixo y teremos a razão das

amplitudes (Io/Im ou v0/vm) vs

para diferentes valores de D (de

0,125 até 4).

Para frequências muito menores que a de ressonância (<<1) a amplitude

é proporcional à frequência (Io/ImD) . Neste caso a constante elástica k

é quem fornece a principal força de oposição (pois C está correlacionado

com k!).

No outro limite, (>>1) a massa inercial M é quem controla a resposta e

a amplitude é inversamente proporcional à frequência (Io/ImD/) (pois L

está correlacionado com M).

E na ressonância?

𝐼0𝐼𝑚

=𝐷Ω

1 − Ω2 2 + (𝐷Ω)2

𝐼0 =𝑉0𝑍0

=𝑉0

𝑅2 + 𝜔𝐿 −1𝜔𝐶

2

(18)

Circuito RLC com fonte AC

Na ressonância as forças reativas

da mola e da massa inercial se

cancelam! E somente a resistência

limita a velocidade! (ao valor

vm=F0/R), senão a velocidade (ou

corrente) vai para ∞

Perto da ressonância teremos que

Ω ≈ 1 e

𝑣0𝑣𝑚𝑎𝑥

≈𝐷

1 − Ω2 2 + 𝐷2

Este valor da amplitude é reduzido

de 1 (na ressonância) para1

2

quando (1 − Ω2) = ∓𝐷Na figura de baixo temos a

dependência da fase da velocidade.

(19)

Circuito RLC com fonte ACExercícios (do K. Ingard, páginas 53-64)

1. Desenvolver a mesma análise feita para a velocidade, agora para o

deslocamento (equivalente da carga no capacitor) de um sistema

massa-mola forçado com amortecimento R. Obter a dependência da

amplitude e da fase das oscilações do deslocamento em função da

frequência . Utilize como ponto de partida a equação do

movimento 𝑀 ሷ𝜉 + 𝑅 ሶ𝜉 + 𝑘𝜉 = 𝐹0 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 .Encontre as equações normalizadas, para a variável , utilizando

seu valor para a frequência =0 como fator de normalização

(/=0) e utilizando a frequência normalizada Ω ≡𝜔

𝜔0onde 𝜔0 =

𝑘

𝑀

Desenhe e analise qualitativamente o comportamento da amplitude

normalizada do deslocamento e da sua fase com a variação da

frequência normalizada da força externa.

Orientações no livro Waves and oscillations de K. Ingard página

58.

(20)

Circuito RLC com fonte ACExercícios

2. No caso da análise da velocidade (corrente) do sistema massa-mola

forçado, sem amortecimento, desenhar num gráfico𝑣

𝑣0𝑣𝑠 Ω (um

gráfico no plano complexo) no lugar de fazer dois gráficos no

plano real (um para a amplitude e outro para a frequência, como

fizemos na nossa análise durante a aula).

Demonstrar que o caminho percorrido partindo de =0 até =∞ é

um circulo de diâmetro unidade centrado no eixo x

3. Repetir a análise do exercício 2 para o caso do deslocamento

normalizado /=0.