Planejamento e Anlise de Experimentos

Modelo de Processo

EntradasControladas

Sadas ( y )

Fatores controlveis

Fatores no controlveis

Fatores controlveisSo aqueles fatores em que seus nveis podem ser estabelecidosdurante um processo produtivo. ( Preservando os requisitos econmicos, tcnicos e financeiros) .So aqueles em que a mo do homem que determina.

Fatores no controlveis So aqueles fatores em que seus nveis no podem ser estabelecidosdurante um processo produtivo. Podem ser controlados experimentalmente es desejado..So aqueles em que ocorrem independente da vontade do homem.

Objetivos do planejamentoexperimental

Melhorar as sadas do processo Reduzir custos Reduzir variao Domnio Tecnolgico

Domnio tecnolgico = know how + know why

Projeto de experimentos Experimento : conjunto planejado de operaes,

com o objetivo de descobrir novos fatos,confirmar ou negar resultados

Resultados ou respostas: Observaesquantitativas ou qualitativas resultantes de umexperimento ( varivel dependente)

Fator : Causa assinalvel que pode afetar osresultados de um experimento ( varivelindependente)

Projeto de experimentos Nvel de um fator: Valor especfico de um fator. Tratamento : Combinao de nveis de dois ou mais

fatores. Repetio ou replicao: So novas observaes em

unidades de amostras com o mesmo tratamento. Aleatorizao: Ao sobre uma amostra experimental

que a torna igualmente provvel a qualquer outra derepresentar as caractersticas do universo estudado.

Projeto de experimentos Bloqueamento: Procedimento que visa eliminar o

efeito de um ou mais fatores das observaes. Blocos: Conjuntos homogneos de unidades

experimentais EXEMPLO: Uma padaria tem por objetivo fazer bolos com

baixa densidade para isso ela conta com :Fermentos : F1 e F2Farinhas de trigo : FT1 e FT2Tipo de leite : L1 e L2

Projetos de experimentos

Fatores : Farinha de trigo, fermento, leite Nveis : F1, F2 - FT1 , FT2- L1, L2 Tratamentos :F1 : FT1: L1F1:FT1:L2F2: FT1: L2 etc. Resposta: densidade do bolo.

Etapas de um projeto deexperimentos

Reconhecimento e formulao do problema Escolha da varivel resposta Escolha dos fatores e nveis. Planejar o experimento. Conduo do experimento. Anlise dos dados. concluses e recomendaes.

Classificao de experimentos( resumida)

Fator nico Experimento com fator bloqueado

Um fator bloqueado: completamentealeatorizado.

Quadrados Latinos ( 2 fatores bloqueados) Quadrados greco - latinos( 3 fatores

bloqueados) Fatoriais 2k e 3k

Experimento a Fator nico( completamente aleatorizado)

Aplicao : Um nico fator precisa ser estudadoExemplo : Dentre as gasolinas tipo comumdos diversos postosqual a que fornece o melhor rendimento?Fator a gasolinaNveis : Os postos que fornecem a gasolina

Anlise de Varincia ( ANOVA)Teste de hipteseH0 : 1 = 2 = 3 = ..... = aH1 : Pelo menos um par w e k , so diferentesCalcular a varincia entre os tratamentos ( S2e )e Varincia dentro dos tratamentos ( S2r )Calcular Fcalculado = ( S2e )/ ( S2r )Comparar Fcalculado com Fe, r, Fe, r, : Valor da tabela de distribuio F- Snedecor: Nvel de significncia( 1- ) : Nvel de Confianae = graus de liberdade entre os tratamentos = ( a -1)r= graus de liberdade residual = a( n-1)n : nmero de observaes dentro dos tratamentos

Regra de Deciso

Se Fcalculado > Fe, r,

concluir com ( 1- )100% de confiana que :existe diferena entre mdias

Formulao

Observaes Nvel 1 Nvel 2 Nvel 3 Nvel a 1 Y11 Y12 Y13 Y1a 2 Y21 Y22 Y23 Y2a 3 Y31 Y32 Y33 Y3a ::::: ::::: ::::: n Yn1 Yn2 Yn3 Yna

Somatrios( Ti) T1 T2 T3 Ta

Mdias __ ( yi )

_ Y1

_ Y2

_ Y3

_ Ya

Quadrado dossomatrios ( T2i)

T21 T22 T23 T2a

Soma dosQuadrados ( Qi )

Q1 Q2 Q3 Qa

Soma Quadrtica Entre os Tratamentos : SQE

SQE = ( T2i)/n - T2/(a . n)

T = Ti

Graus de liberdade entre tratamentos : e = ( a -1)

Varincia entre os tratamentos ( S2e )

S2e = SQE / e

Soma Quadrtica Dentro dos Tratamentos : SQR

SQR = [ Q ( T2i)/n ] / r

Graus de liberdade entre tratamentos : r = a( n -1)

Varincia residual (S2r )

S2r = SQR / r

Quadro de Anlise de Varincia ( ANOVA)

Fonte deVariao

Soma dosquadrados

Graus deLiberdade

Mdia quadrtica Fcalculado

Entretratamentos

SQE a -1 S2e = SQE/( a-1) S2e / S2r

Dentro dostratamentos

SQR a ( n-1) S2r = SQR/a( n -1)

Total SQT an -1

Exerccio 1

Varivel resposta : Y

Y : Litros consumido por quilometro rodado

Dentre a gasolina fornecida por tres postos qual a que apresenta melhor desempenho.

Observaes Posto A Posto B Posto C1 8,7 8,0 7,32 10,9 8,4 7,03 10,7 7,3 6,34 10,8 8,8 7,75 9,6 8,9 7,26 9,2 9,5 6,27 10,8 7,3 8,58 10,0 8,0 7,89 9,2 7,7 7,5

Somatorio Ti 89,9 73,9 65,5Mdias ym= Ti/n 9,99 8,21 7,28Quadrado dos somatrios (Ti) 2^ 8082,01 5461,2 4290,25Soma dos quadrados dos elementos Qi 903,71 611,33 480,89

Nmero de nveis ( a ) 3numero de elementos por nvel ( n ) 9Media geral 8,49SQE ( soma quadratica entre os tratamentos) 34,15SQR( soma quadratica residual( dentro) 14,43333Variancia entre ( Se ) 17,07259Varincia dentro ( Sr ) 0,601389Fcalc 28,38861Ftabelado( 5%,2,24) 3,4

Exerccio 1Como Fcalc > Ftabelado , rejeita-se a hiptese de igualdade das mdia

Existe Pelo menos um par significativamente diferentes.

Efeitos dos TratamentosGasolina Posto A:A = A - =

Gasolina Posto BB = A - =

Gasolina Posto CC = C - =

Efeito dos TratamentosEfeito dos tratamentos

-1,50-1,00-0,500,00

0,501,001,502,00

A B C

Tratamentos

D

i

f

e

r

e

n

a

d

a

m

d

i

a

g

l

o

b

a

l

Efeito dostratamentos

Teste t ou LSD de FisherUtilizado para comparar mdias duas a duas.

dms: diferena mnima significativa

dms = t a(n-1), /2 . [ 2S2r / n]1/2

t a(n-1), /2 : : tirado da tabela de distribuio de StudentCritrio de Rejeio de H0 :

w - k> dms ( Existe diferena significativa)

Continuao do exerccio 1| A- B | = 10- 8,21= 1,79 | A- C | = 10- 7,3 = 2,7

| C- B | = 8,21-7,3 = 0,91

dms = t 2,5%,16 [ 2( 0,60)/9]1/2 = 2,12[1,2/9]1/2

dms = 0,77

H diferena no rendimento entre a gasolina detodos os postos

Experimento fatorialK - fatores2 - nveis Fatorial completo :nmero total de experimentos = 2k

3 nveis nmero de experimentos = 3k

Exemplo: 2 nveis 10 fatores1024 experimentos

Fatorial fracionado( Mtodo de Taguchi)

Vantagens Uso de arranjos ortogonais Reduz o nmero de experimentos Ganho econmico e tempoDesvantagens: Confundimento entre fatores Despreza interao entre mais de dois fatores

Fatorial Completo( 2 nveis trs fatores)

Experimentos Fator A Fator B Fator C Resposta 1 + + + y1 2 + - - y2 3 - + - y3 4 - - + y4 5 - - - y5 6 - + + y6 7 + - + y7 8 + + - y8

+ : primeiro nvel- : segundo nvel

Arranjos ortogonais( Balanceados)

Experimentos Fator A Fator B Fator C Resposta 1 + + + y1 2 + - - y2 3 - + - y3 4 - - + y4 5 - - - y5 6 - + + y6 7 + - + y7 8 + + - y8

Srie ortogonal

Nmero de nveis em cada fator o mesmo Combinaes entre os nveis de cada fator

em igual nmeroExpreimento Fator A Fator B Fator C Resposta 1 + + + y1 2 + - - y2 3 - + - y3 4 - - + y4

Exemplo 1

2 carros : X e Y 2 motoristas : Pedro e Joo 2 tipos de pneus : A e B Varivel Resposta : menor tempo em um

percurso definido (em minutos).Fatores: carro, motorista , pneusNveis: ( X e Y), ( Pedro e Joo), ( A e B) ( + - ) ( + - ) ( + - )

Experimento

Experimento Fator A fator B Fator CExpreimento Fator A Fator B Fator C Resposta

1 + + + y1 2 + - - y2 3 - + - y3 4 - - + y4

Experimento Carro Motorista Pneu Tempo(s) 1 x Pedro A 7,5 2 x Joo B 8,0 3 y Pedro B 7,5 4 y Joo A 9,0

Avaliao dos fatores

Carro x: ( y1 + y2)/2 = 7,75 Carro y : ( y3+y4)/2 = 8,25

Motorista Pedro: ( y1+y3)/2 = 7,5 motorista Joo : ( y2+ y4)/2 = 8,5

Pneu A : ( y1+y4)/2 = 8,25 pneu B : ( y2+y3)/2 = 7,75

Grfico respostasCarro

MotoristaPneu

+ - + - + -

t ( s )t ( s ) t ( s )

Concluses:Carro x mais rpidoPedro mais hbilpneu B mais eficiente

Predio

Qual a resposta esperad para a combinao: X, Pedro, B ?

Ytima = M + ( C- M) + ( M- M) + ( P- M)

Y tima = 8 + ( 7,75-8)+( 7,5-8,0)+( 7,75-8,0) = 7,0 s

Fazer um experimento comprobatrio !

Constataes

Quanto maior a inclinao da reta mais influncia tem o fatorQuanto menor a inclinao da reta menos influncia tem o fatorEscolher nveis mais econmicos para obter a resposta desejada

Analisar o efeito das interaes

InteraesMelhor carro X , Melhor motorista Pedro

Pedro dirigindo o carro X o melhor?

Joo

Pedro

X Y X Y

( sem interao) ( com interao)

Graficos lineares

Fator principal

Interao

Grficos lineares : contribuio de TaguchiPermite determinar a partir do estudo desejado qual o arranjo ortogonal mnimo necessrio.

Exemplo Grfico linear1

2 4

3 5

6

7

Fatores controlveisObjetivos do planejamento experimentalProjeto de experimentosProjeto de experimentosProjetos de experimentosEtapas de um projeto de experimentosClassificao de experimentos( resumida)Experimento fatorialFatorial fracionado( Mtodo de Taguchi)Fatorial Completo( 2 nveis trs fatores)Arranjos ortogonais( Balanceados)Srie ortogonalExemplo 1ExperimentoAvaliao dos fatoresGrfico respostasPredioConstataesInteraesGraficos linearesExemplo Grfico linear