Capítulo 7

Estados de tensão e de deformação

Transformação de tensão para o estado plano

Tensões num plano qualquer

2sen2cos22 xy

yxyxx

2cos2sen2 xy

yxyx

• Máxima/mínima

• Raízes/planos

– Defasagem de 90o entre os planos

• Tensões principais

• Tensões de cisalhamento nulas

Tensões principais

0

d

d x

yx

xytg

22

o9011

0 yxyx

22

2,1 22 xyyxyx

Tensões principais

1

y

xxy

yx

1

2

Tensões principais

Tensões de cisalhamento máxima e mínima

• Máxima/mínima

• Raízes/planos

– A defasagem entre os planos é de 45o

• Tensões de cisalhamento máxima/mínima

0

d

d yx

xy

yxtg

22 2

o9022

12 2

12

tgtg

xyyx

mínmáx2

2

/ 2

221 máx

Tensões de cisalhamento máxima e mínima

• Tensões normais associadas

cte22

' 21

yx

y

xxy

yx

máx

mín

2

Tensões de cisalhamento máxima e mínima

45o

Defasagem entre os planos 1, 2, máx e mín

Tensões principais e de cisalhamento máxima e mínima

Exemplo

a.Determinar e para = -22º 30’.

b.Determinar as tensões principais e mostrar seu sentido num elemento adequadamente orientado.

c.Determinar as tensões de cisalhamento máxima e mínima e respectivas tensões normais, e representar os resultados em um elemento convenientemente orientado.

Exemplo: solução

a)

b)

MPayx 1,2)º45cos(2)º45sen(2

13''

MPa24,422

132

13 22

1

MPa24,022

132

13 22

2

MPax 3,1)º45sen(2)º45cos(2

132

13'

Exemplo: solução

'43º121º90'"

'43º31'2

132.2

211

11

tg

Exemplo: solução

MPa2,2

22,02,4

221 máx

'43º166º9022

º45'' 12

MPa22

13

'43º76

2.213

21

2 arctg

c)

•Os pares (x,’xý) formam uma circunferência:

•Centro

•Raio

Círculo de Mohr para o estado plano de tensão

xyyx

yxyx

x2

2

2

2

22

0,

2yxC

xyyx 2

2

2

• (x,xy) e (y, yx)

1 e 2

1 e 2

• máx e mín

• Invariante:

Círculo de Mohr para o estado plano de tensão

cte21 yxyx

Círculo de Mohr para o estado triplo de tensão

• Tensões principais:

• Tensões de cisalhamento máxima e mínima:

321

raio2

31mínmáx

Círculo de Mohr para o estado uniaxial de tensão

1

máx

2

Compressão

1

máx

2

Tração

x

x

yx

0ou 0 2132

Círculo de Mohr para o estado de tensão de cisalhamento puro

1

máx

2

021 yxyx

yx

xy

x

y

xy

Estado plano de deformação

2sen2

2cos22

xyyxyxx

2cos

2sen

22xyyxyx

• Máxima/mínima

• Raízes/direções

– Defasagem de 90o entre as direções

• Deformações principais

• Distorções nulas

Deformações principais

0

d

d x

yx

xytg

2

o9011

0 yxyx

22

2,1 222

xyyxyx

Deformações principais

1

y

xxy

'yx

1

2

Deformações principais

Distorções máxima e mínima

• Máxima/mínima

• Raízes/direções

– A defasagem entre as direções é de 45o

• Distorções máxima/mínima

0

d

d yx

xy

yxtg

22

o9022

12 2

12

tgtg

22

máx/mín

222

xyyx

221

máx

Distorções máxima e mínima

• Deformações associadas

cte222

21

yxyx

y

x xy

yx

máx

mín

2

Distorções máxima e mínima

Deformações principais e distorções máxima e mínima

45o

Defasagem entre as direções 1, 2, máx e mín

máx

mín

1

2

•Os pares (x,’xý) formam uma circunferência:

•Centro

•Raio

Círculo de Mohr para o estado plano de deformação

2222

2222

xyyxyxyx

x

0,

2yxC

22

22

xyyx

• (x, xy) e ( y, yx)

1 e 2

1 e 2

• máx e mín

• Invariante:

Círculo de Mohr para o estado plano de deformação

cte21 yxyx

Medidas de deformação

• Extensômetro

• Disposição delta

)(3

323

)22(

12060

012060

0

oo

ooo

o

xy

y

x

0o

120o60o

0o

45o

90o

Delta Retangular

x x

yy

Medidas de deformação

• Disposição retangular

)(290045

45

0

ooo

o

o

xy

y

x

Relações entre os estados planos de deformação e tensão

• As direções principais de deformação e de tensão coincidem, pois:

• Relação entre deformações e tensões principais (Lei de Hooke):

xyxy G

)(1

)(1

2122

2121

E

E

Relação entre E, G e

• Para um material isotrópico:

)1(2 E

G

Exemplo

• Em um certo ponto de uma peça de aço, as medidas feitas através de “strain-gages” dispostos retangularmente indicaram 0=-0,0005, 45=0,0002 e 90=0,0003. Admitindo que E=200 GPa e = 0,3, determine as tensões principais no ponto considerado.

Solução

• Determinação de x, y e xy:

• Deformações principais:

0006,0

0003,00005,00002,02

2 º90º0º45

xy

º90

º0

y

x

0006,0

0004,0

26

235

235

222

2

1

22

22

2,1

xyyxyx

Solução

• Tensões principais:

• Direções principais:

MPa 3,480006,03,00004,03,01

10.200

1

2

9

2121

E

MPa 1050004,03,00006,03,01

10.200

1

2

9

1222

E

o1

o1

1

4,108 e 4,18

356

arctg21

arctg21

yx

xy