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- UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

ESCOLA DE ENGENHARIA INDUSTRIAL METALÚRGICA DE VOLTA REDONDA PROFESSORA: SALETE SOUZA DE OLIVEIRA BUFFONI DISCIPLINA: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Transformação de Tensão ou Análise de Tensão Objetivos: Transformar os componentes de tensão, associados a um sistema de coordenadas particular, em componentes associados a um sistema de coordenadas que tenha orientação diferente.

1- Equações de Transformação 2- Obtenção das tensões normal máxima 3- Tensões de cisalhamento máxima num ponto 4- Orientação do elemento sobre o qual essas tensões atuam

Figura 1 - As pás desta turbina estão sujeitas a um padrão de tensões complexo, ilustrado pelas faixas sombreadas que aparecem nas pás quando são feitas de material transparente e vistas através de luz polarizada. Para um projeto adequado, os engenheiros devem ser capazes de determinar onde e em que direção ocorre às tensões máximas. (Cortesia do Measurements Group, Inc., Raleigh, Carolina do Norte, 27611,EUA)

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Transformação no Estado Plano de Tensões

Introdução:

Figura 2- Estado de tensão em um ponto. O estado de tensão da Figura 2.a não é encontrado com freqüência na prática da engenharia. Aproximações ou Simplificações das cargas sobre o corpo, a fim de que a tensão produzida em um sistema estrutural ou mecânico seja analisado em um plano simples Observações gerais: 1- Em torno de um ponto, um elemento de superfície podendo assumir uma infinidade de

posições, ensejará o aparecimento de tensões diferentes no mesmo ponto, correspondentes a cada uma dessas posições.

2- O estado de tensão num ponto é o conjunto de todas as tensões ocorrendo em todos os planos passando pelo ponto.

Observações sobre o paralelepípedo de tensões:

1- Demonstra-se que o estado de tensão num ponto fica definido quando forem conhecidas as tensões nesse ponto referentes aos três planos ortogonais entre si, que se interceptam no ponto considerado.

2- Para analisarmos o estado de tensão num ponto, imaginamos um paralelepípedo tri-retângulo situado com vértice no ponto, em cujas facetas supõe-se as tensões conhecidas.

3- Orientamos o nosso paralelepípedo considerado como um sólido de dimensões infinitesimais, tomando como origem o ponto em estudo e como eixos de referência as arestas a ele concorrentes.

4- Nas três faces do paralelepípedo que são “visíveis”, ocorrem tensões iguais e de sentidos opostos.

5- O estado de tensões num ponto, no caso mais geral, ficará então definido conhecendo-se nove tensões, que são as que atuam nas faces do paralelepípedo elementar.

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Os diferentes estados de tensão num ponto 1- Tipos

Estado Triplo ou Tri-Axial – As tensões que atuam nas faces do paralelepípedo elementar admitem componentes nas direções de todas as suas arestas. Estado Plano, Duplo, ou Bi-Axial – As tensões no paralelepípedo apresentam componentes paralelas a apenas dois eixos. Estado Simples ou uniaxial – Nas faces do paralelepípedo atuam tensões na direção de uma única aresta Estado de Cisalhamento Puro - Nas faces do paralelepípedo atuam apenas tensões tangenciais. O simples valor yxxy ττ = é suficiente para definir o estado de tensão no ponto.

Análise das tensões no Estado Plano O problema da análise das tensões consiste em determinar as componentes da tensão num plano qualquer, a partir das componentes da tensão que atuam em três planos ortogonais passando pelo ponto e supostas previamente conhecidas. Estado Geral Plano de tensões em um ponto: Dois componentes de tensão normal, xσ , yσ e um componente de tensão de cisalhamento, xyτ , que atuam sobre as quatro faces do elemento. Convenção : Estado de tensão no plano x-y, Figura 2.c

Figura 3- Estado plano de tensão. Objetivo: Supondo que o estado de tensão seja definido pelos componentes xσ , yσ , xyτ orientados ao longo dos eixos x, y, como na Figura 2.a, mostraremos como obter os

4

componentes 'xσ , 'yσ e 'y'xτ , orientados ao longo dos eixos x’, y’, Figura 3.b, de modo que representem o mesmo estado de tensão no ponto. Procedimento para determinar os componentes 'xσ , 'y'xτ que atuam sobre a face x’do elemento. 1- Secionar o elemento da Figura 4.a (Figura 4.c). Área secionada ( AΔ ). 2- Desenhar o diagrama de corpo livre do segmento, mostrando as forças que atuam sobre o

elemento, ou seja, multiplicam-se os componentes de tensão de cada face pela área sobre a qual atuam.

3- Aplicar as equações de equilíbrio de força nas direções x’e y’para obter os componentes de tensão desconhecidos 'xσ , 'y'xτ .

4- Se 'yσ , que atua sobre a face +y’do elemento da Figura 4.b, tiver de ser determinado, considere um elemento como na Figura 4.d e depois é seguir o procedimento já descrito. Note que a tensão de cisalhamento não precisará ser determinada se ela já tiver sido calculada, visto que ela atende a propriedade complementar de cisalhamento.

Figura 4-

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Ex: O estado plano de tensões em certo ponto da superfície da fuselagem de um avião é representado em um elemento, cuja orientação é a ilustrada na Figura 5.a. Representar o estado de tensão no ponto de um elemento orientado a 30º no sentido horário em relação à posição mostrada.

Figura 5-

Resposta: Equações Gerais de Transformação de Tensão para o Estado Plano. Convenção de Sinal:

Figura 6- Convenção de sinais. O componente das tensões normal ou de cisalhamento será positivo caso atue na direção positiva da coordenada da face positiva do elemento, ou caso atue na direção negativa da coordenada da face negativa do elemento como na Figura 6.a. Para lembrar a convenção de sinais: A tensão normal é positiva quando atua para fora de todas as faces e a tensão de cisalhamento é positiva quando atua para cima na face direita do elemento.

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Ângulo θ : Orientação do plano inclinado no qual devem ser determinados os componentes das tensões normal e de cisalhamento (Positivo no sentido anti-horário), Figura 6.b. Componentes das tensões normal e de cisalhamento.

Figura 7- Elemento no estado plano de tensões. Dedução: Aula Aplicam-se as equações de equilíbrio de força para se determinar os componentes desconhecidos das tensões normal e de cisalhamento, 'xσ , 'y'xτ . Cálculo de 'yσ

Figura 7.d. Equações Gerais de Transformação de tensão para o estado plano.

( ) ( )θτθσσσσ

σ 2sen2cos22 xy

yxyx'x +

−+

+= (1)

( ) ( )θτθσσ

τ 2cos2sen2 xy'

yx'ý'x +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−= (2)

Para determinar 'yσ , basta substituir θ por ( )90+θ , Figura 7.d em (1) e assim tem-se:

( ) ( )θτθσσσσ

σ 2sen2cos22 xy

yxyx'y −

−−

+= (3)

7

Tensões Principais e Tensão de Cisalhamento Máxima no Plano. Prática da Engenharia: é importante determinar a orientação dos planos que fazem a tensão normal chegar ao máximo e ao mínimo, bem como a orientação dos planos que fazem a tensão de cisalhamento chegar ao máximo. Observações: 1- Posição Principal: Posição para a qual as tensões tangenciais nas faces do paralelepípedo

elementar são todas nulas, restando apenas tensões normais. Estado Triplo de Tensões - Direções principais - Direções 1 -2-3 Tensões Principais - 321 σσσ −− Planos Principais- Planos 1-2-3 Estado Plano de Tensões - Direções principais - Direções 1 -2 Tensões Principais - 21 σσ − Planos Principais- Planos 1-2 Tensões Principais no Plano Determinação da tensão normal máxima e mínima.

0d

d 'x =θσ (4)

( ) ( ) ( ) 02cos22send

dpxypyx

p

'x =+−−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

θτθσσθ

σ

θθ

(5)

Lembrando que:

( ) ( )θτθσσ

τ 2cos2sen2 xy'

yx'ý'x +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−= (6)

Dessa forma, de (5) e (6) tem-se:

02 p =θτ ⇒ 0p =θτ (7)

Nos planos em que agem os valores máximo e mínimo das tensões normais, a tensão de cisalhamento é nula.

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Importante: 1- Tensões Principais - Tensões normais máxima e mínima

2min

1max

σσσσ

==

2- Planos Principais – Planos de atuação das tensões principais 3- Direções Principais – Definem os planos principais

Posição dos Planos Principais

Resolvendo a eq. (5), obtemos a orientação pθθ = dos planos de tensões normais máxima e mínima.

( ) ( ) 22tg

yx

xyp σσ

τθ

−= (8)

pθ - ângulo que define o plano de tensão normal extrema. Solução de (8)

K3,2,1,0nn2

arctg2yx

xyp =+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−= π

σστ

θ (9)

K3,2,1,0n2

n2arctg

21

yx

xyp =+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

πσσ

τθ (10)

Duas menores determinações

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=⇒=

yx

xy1p

2arctg

210n

σστ

θ (11)

21n 1p2p

πθθ +=⇒= (12)

Os eixos principais são definidos por 1pθ e 2pθ através dos quais os planos principais ficam determinados. Os planos principais são ortogonais entre si, como apresenta a Figura 8.b.

Figura 8 - Planos principais.

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Cálculo das Tensões Principais

Figura 9 – Orientação dos planos de tensões normais máxima e mínima. Solução : Duas raízes 1pθ e 2pθ . Os valores de 1p2θ e 2p2θ estão defasados de 180º. 1pθ e 2pθ estarão defasados de 90º.

Para calcularmos as tensões principais devemos substituir os valores de 1p2sen θ e 1p2cos θ , nas equações (1) e (3). Dessa forma, encontraram-se os valores do seno e co-seno a partir do triângulos apresentados na Figura 9. A montagem dos triângulos da Figura 9 se baseia na equação (8). Supondo-se que xyτ e yx σσ − são quantidades positivas ou ambas as quantidades negativas, temos: Para 1pθ

( ) 2xy

2yx

xy1p 22sen τ

σστθ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= (13)

( ) 2xy

2yxyx

1p 222cos τ

σσσσθ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= (14)

Para 2pθ

( ) 2xy

2yx

xy2p 22sen τ

σστθ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−= (15)

10

( ) 2xy

2yxyx

2p 222cos τ

σσσσθ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−= (16)

Substituindo-se um dos conjuntos de equações (13) e (14) ou (15) e (16) nas equações (1) e (3) teremos:

2xy

2yxyx

2,1 22τ

σσσσσ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −±

+= (17)

A equação (17) nos dá a tensão normal máxima ou mínima no plano a qual atua sobre um ponto em que 21 σσ ≥ . As trincas na viga de concreto da Figura 10 foram provocadas por tensões de tração, apesar de ela está submetida tanto a momento interno como a cisalhamento. As equações de transformação de tensão são usadas para prever a direção das trincas, bem como as tensões normais principais que as provocaram.

Figura 10 - Trincas numa viga de concreto.

Tensões Tangenciais Extremas e seus Planos Planos de Tensões Tangenciais Extremas

Deriva-se a expressão (6) ( ) ( )θτθσσ

τ 2cos2sen2 xy'

yx'ý'x +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−= em relação a θ e iguala-se esta

derivada a zero.

cθ - Ângulo que define aqueles planos. Dessa forma tem-se

( ) ( ) ( ) ( )xy

yxccxy'cyx

c

'ý'x

22tg2sen22cos

dd

τ

σσθθτθσσ

θ

τ

θθ

−−=⇒−−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

(18)

11

A Solução da eq. (18) é da seguinte forma:

K2,1,0nn2

arctg2xy

yxc =+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−= π

τσσ

θ (19)

Para as menores determinações

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=⇒=

xy

yx1c 2

arctg210n

τσσ

θ (20)

21n 1c2c

πθθ +=⇒= (21)

Planos Principais x Planos de Tensões Tangenciais Extremas

yx

xyp

22tg

σστ

θ−

= e ( )xy

yxc 2

2tgτσσ

θ−

−= (22)

As Conclusões obtidas a partir das expressões (22) são as seguintes:

1 - ( ) ( )cp 2tg

12tgθ

θ −=

2- Os ângulos c2θ e p2θ diferem de 90º ( )opc 9022 =− θθ

3- Os ângulos cθ e pθ diferem de 45º ( )opc 45=−θθ

4- O par de eixos ortogonais relativos às tensões de cisalhamento máximas, no plano xy, é obtido pela rotação de 45º nos eixos principais. Tensões Tangenciais Extremas Para calcularmos as tensões de cisalhamento máximas devemos substituir os valores de c2sen θ e

c2cos θ , na equação (2). Dessa forma, encontram-se os valores do seno e co-seno a partir do triângulos apresentados na Figura 11. A montagem dos triângulos da Figura 11 se baseia na equação 18. O ângulo sθ

Figura 11- Triângulos formados a partir da expressão 18.

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Supondo-se que xyτ e yx σσ − são quantidades positivas ou ambas as quantidades negativas, temos: Para 1cθ

( ) ( ) 2xy

2yx

yx1c 22/2sen τ

σσσσθ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−= (23)

( ) 2xy

2yx

xy1c 22cos τ

σστθ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= (24)

Substituindo-se as expressões (23) e (24) na eq. (2) teremos:

2xy

2yx

minmax 2

τσσ

τ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −±= (25)

maxτ é chamada de tensão máxima no plano, por que atua sobre o elemento no plano x-y. Substituindo-se os valores de c2sen θ e c2cos θ , na equação (1), verificamos que há uma tensão normal nos planos da tensão de cisalhamento máximo dada por:

2yx

méd

σσσ

+= (26)

Como no caso das equações de transformação de tensão, é conveniente programar as equações anteriores de tal forma que sejam usadas numa calculadora de bolso. Conclusões: 1- As tensões tangenciais extremas diferem apenas em sinal. Seus valores absolutos são iguais. Isto, aliás, está de acordo com a lei da reciprocidade das tensões, visto que maxτ e minτ agem em planos perpendiculares conforme demonstrado anteriormente. O sinal indicará o sentido da tensão tangencial, conforme convenções estabelecidas anteriormente. 2- Tensões Principais

2xy

2yxyx

2,1 22τ

σσσσσ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −±

+=

3- Tensões tangenciais extremas

2xy

2yx

minmax 2

τσσ

τ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −±=

Donde

max21

maxyx

2min

maxyx

1max

22

2

τσσ

τσσ

σσ

τσσ

σσ

=−

−+

==

++

==

13

221

maxσσ

τ−

= (27)

4- É constante a soma das tensões normais que agem em dois planos ortogonais quaisquer passando no ponto.

Suponha as tensões θσ e

2π

θσ

± agindo em dois planos ortogonais entre si e dadas por

( ) ( )θτθσσσσ

σθ 2sen2cos22 xy

yxyx +−

++

= (28)

( ) ( )θτθσσσσ

σ πθ

2sen2cos22 xy

yxyx

2

−−

−+

=±

(29)

Somando as expressões (28) e (29) chega-se a:

yx2

σσσσ πθ

θ +=+±

(30)

5- Cada ponto admitirá, pois um invariante característico de seu estado de tensões, dado por:

21yx2

I σσσσσσ πθ

θ +=+=+=±

(31)

Exercícios:

1- Em um ponto de um membro estrutural sujeito a tensões planas há tensões sobre os planos horizontal e vertical através do ponto, como apresenta a Figura 12.

(a) Determine as tensões principais e as tensões tangenciais extremas no ponto. (b) Localize os planos sobre os quais estas tensões atuam e mostre as tensões num esboço

completo

Figura 12- Ponto de um membro estrutural.

Resposta: ( )( )CMPa5,88TMPa5,108

2

1

−==

σσ

, MPa5,98minmax ±=τ , o

1 12−=θ

100 MPa

40 Mpa

80 Mpa

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2- Quando a carga de torção é aplicada à barra da Figura 13, produz um estado de tensão de cisalhamento puro no material. Determinar: a) A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média; e b) A tensão principal.

Figura 13- Carga de torção aplicada a uma barra

Resposta: o

2po

1p2,1

méd

planonomax

45,135,

0

==±=

=

±=

θθτσ

σ

ττ

3- Resolver os exercícios resolvidos do Hibbeler em casa.

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Círculo de Tensões de Mohr 1- Conceito Obter graficamente uma solução mais rápida para os problemas de transformação de tensões (Análise das tensões no ponto) Embora tenha sido inicialmente imaginado para soluções gráficas, o método se presta muito bem para soluções com calculadoras. Base Teórica: Repetindo-se aqui as expressões (1) e (3) na seguinte forma

( ) ( )θτθσσσσ

σ 2sen2cos22 xy

yxyx'x +

−=

+− (32)

( ) ( )θτθσσ

τ 2cos2sen2 xy'

yx'ý'x +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−= (33)

Elevando-se os dois membros das equações (32) e (33) ao quadrado tem-se

( ) ( )2

xyyx

2yx

'x 2sen2cos22 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +− θτθ

σσσσσ (34)

( ) ( )2

xy'yx2

'ý'x 2cos2sen2 ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−= θτθ

σστ (35)

Expandindo-se as expressões (34) e (35) e eliminando-se o parâmetro θ chega-se a:

2xy

2yx2

'ý'x

2yx

'x 22τ

σστ

σσσ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +− (36)

Sabe-se que a equação cartesiana do círculo é dada por:

( ) ( ) 222 Rcyax =−+− (37) Fazendo-se uma relação da equação (36) com a equação (37) tem-se que:

xσ , yσ , xyτ são constantes conhecidas

'xσ e 'y'xτ são as variáveis

médyx

2a σ

σσ=

+=

c=0

2xy

2yx

2R τ

σσ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

Dessa forma a expressão (36) torna-se:

( ) 22'ý'x

2méd'x R=+− τσσ (37)

Se estabelecermos eixos coordenados em que σ seja positivo para a direita e τ positivo para baixo e representarmos a equação (37), teremos um círculo de raio R com centro em ( )0,médσ no eixo σ . Esse círculo é chamado de círculo de Mohr e está ilustrado na Figura 14.

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Figura 14- Círculo de Tensões de Mohr.

Traçado do Círculo de Mohr 1- Estabelecer um sistema de coordenadas tal que a abscissa represente a tensão normal σ ,

com sentido positivo para a direita, e a ordenada represente a tensão de cisalhamento τ , com sentido positivo para baixo. Figura 15.a

Figura 15.a – Círculo de Mohr.

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2- Usando a convenção de sinal positiva para xσ , yσ e xyτ , como mostra a Figura 15.b,

marcamos o centro do círculo, localizado no eixo σ a uma distância 2

yxméd

σσσ

+= da

origem.

Figura 15.b – Plano físico.

3- Marcar o “ponto de referência” A de coordenadas ( )xyx ,A τσ . Esse ponto representa os

componentes das tensões normal e de cisalhamento na face vertical direita do elemento e, como o eixo x’coincide com o eixo x, isso significa que o0=θ .

4- Unir o ponto A ao centro C e determinar CA usando trigonometria. Essa distância representa o raio R do círculo.

5- Traçar o círculo Tensões principais 1- Pontos B e D da Figura 15.a - Definem as tensões normais extremas, 1σ e 2σ ( 21 σσ ≥ ). Observe as tensões de cisalhamento que são nulas nesses pontos. 2- Essas tensões atuam sobre os planos definidos pelos ângulos 1pθ e 2pθ , como na Figura 15.c.

Eles sã representados no círculo pelos ângulos 1p2θ (mostrado) e 2p2θ e medidos da linha de referência radial CA para as linhas CB e CD, respectivamente.

Figura 15.c – Planos principais.

3- Apenas um desses ângulos precisa ser calculado pelo círculo, usando-se trigonometria, uma vez que 1pθ e 2pθ , estão 90º afastados. A direção de rotação no círculo p2θ (nesse caso no

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sentido anti-horário) representa a mesma direção de rotação pθ a partir do eixo de referência (+x) para o plano principal (+x’) como apresenta a Figura 15.c.

Tensão de Cisalhamento Máxima no Plano 1- Coordenadas do Ponto E e F (Figura 16.a). 2- Os ângulos 1cθ e 2cθ dão a orientação dos planos que contém os componentes, Figura 15.d.

O ângulo 1c2θ é determinado por trigonometria a partir da Figura 15.a.

Figura 15.d- Tensão de cisalhamento máxima

3- Nesse caso a rotação ocorre no sentido horário e, desse modo, 1cθ deve estar no sentido horário no elemento.

Tensões num Plano Qualquer 1- Os componentes das tensões normal e de cisalhamento '

xσ e 'y'xτ que atuam sobre um plano especificado definido pelo ângulo θ , como na Figura 15.e são obtidos no círculo usando-se trigonometria para determinar as coordenadas do ponto P na Figura 16.a.

Figura 15.e – Tensões num plano qualquer.

2- Para localizar P, o ângulo conhecido para o plano θ (nesse caso no sentido anti-horário), Figura 15.e deve ser medido no círculo na mesma direção de θ2 (sentido anti-horário), da linha de referência CA para a linha radial CP, Figura 15.a.

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Exercício 1- A carga de torção T produz, no eixo, o estado de tensão mostrado na Figura 16.a. Desenhar

o circulo de Mohr para esse caso.

Figura 16 – Barra submetida a torção.

2- Devido à carga aplicada, o elemento no ponto A do cilindro maciço da Figura 17.a está sujeito ao estado de tensão mostrado. Determinar as tensões principais que atuam nesse ponto.

Figura 17-Barra submetido a carregamento.

Resposta: ksi49,21 =σ , ksi5,142 −=σ

Figura 17.c –

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3- Estudar os exercícios resolvidos do Hibbeler. Trabalho Entregar até o dia 20 de outubro os exercícios do HIBBELER capítulo 9, na seção problemas: 9.1, 9.7, 9.8, 9.9 e 9.14 e 9.66. Entregar os exercícios com seus respectivos enunciados.

Referências Bibliográficas:

1. BEER, F.P. e JOHNSTON, JR., E.R. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Makron Books, 1995. 2. Gere, J. M. Mecânica dos Materiais, Editora Thomson Learning 3. HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Editora Livros Técnicos e Científicos, 2000.

Observações:

1- O presente texto é baseado nas referências citadas.

2- Todas as figuras se encontram nas referências citadas.