Cap3_analisetensõesdeformações_R3

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ETEP FACULDADES ESCOLA DE ENGENHARIA INDUSTRIAL

Processos de Conformação

CAPÍTULO 3 Análises de tensões e deformações

Critérios de escoamento

Prof. Dr. José Eduardo Salgueiro Lima

São José dos Campos

2014

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3. TENSÕES

3.1 Análise de tensões

A análise de tensões para um estado de tensões em um sólido sob a ação de esforços

vem sendo utilizada no projeto de elementos de máquinas, de forma a determinar tensões e

deformações em pontos críticos, por meio de critérios de resistência, levando-se em consideração

a máxima tensão de cisalhamento ou a máxima energia de distorção. Estes critérios trabalham

dentro do limite de escoamento do material considerado, tomando-se coeficientes de segurança

de acordo com as necessidades da aplicação.

Os pontos críticos são tratados como cubos elementares infinitesimais onde atuam

esforços segundo as direções de um sistema ortogonal xyz, em estados tridimensional de tensões

ou bidimensional de tensões, conforme mostrado na figura 1 a seguir.

Figura 1: Estados de tensões representados por cubos elementares: (a) Estado

tridimensional de tensões, (b) estado bidimensional de tensões e (c) vista bidimensional.

O estado de tensão da Figura 1.a não é encontrado com freqüência na prática da

engenharia. Aproximações ou Simplificações das cargas sobre o corpo, a fim de que a tensão

produzida em um sistema estrutural ou mecânico seja analisado em um estado plano de tensões.

Em torno de um ponto, um elemento de superfície podendo assumir uma infinidade

de posições, ensejará o aparecimento de tensões diferentes no mesmo ponto, correspondentes a

cada uma dessas posições. O estado de tensão num ponto é o conjunto de todas as tensões

ocorrendo em todos os planos passando pelo ponto.

É possível demonstrar-se que o estado de tensão num ponto fica definido quando

forem conhecidas as tensões referentes aos três planos ortogonais entre si, que se interceptam no

ponto considerado, desta forma para a análise do estado de tensão num ponto, imagina-se um

cubo situado com vértice no ponto, em cujas facetas supõe-se as tensões conhecidas. Orienta-se

o cubo considerado como um sólido de dimensões infinitesimais, tomando como origem o ponto

em estudo e como eixos de referência as arestas a ele concorrentes.

Nas três faces do cubo que são “visíveis”, ocorrem tensões iguais e de sentidos

opostos. O estado de tensões num ponto, no caso mais geral, ficará então definido conhecendo-se

nove tensões, que são as que atuam nas faces do cubo elementar.

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No entanto, trato da conformação mecânica, trabalha-se com os mesmos critérios

acima do limite de escoamento, ou melhor na região plástica, pois se quer uma conformação

permanente do metal. Desta forma, os critérios de resistência, como por exemplo Tresca e Von

Mises, serão empregados tendo por base a plasticidade do metal que esta sendo conformado,

devido a este fato, alguns conceitos básicos do estudo de análise tensões para um determinado

estado de tensões serão revistos, com o objetivo de aplica-los nos métodos de cálculos para os

diversos processos de conformação mecânica dos metais.

3.1.1 Tensões normais e cisalhantes

Uma dada superfície plana π, é definida pela direção que é dada pela normal a este

plano, as tensões que atuam sobre um plano de um sólido podem ser descritas como:

Normais: Quando a direção de atuação coincide com a direção do plano de atuação.

Tensão atua na direção perpendicular ao plano considerado. (σ)

Cisalhantes: Quando a direção é perpendicular a direção plano de atuação. Tensão atua

paralela ao plano. (τ).

Conforme pode-se observar na figura 2.

Figura 2: Para a superfície plana π a direção normal do vetor n

define o plano π.

3.1.1.1 Nomenclatura

Desta maneira orientam-se as tensões normais e cisalhantes de acordo com as

direções dos planos segundo aos quais estão atuando as tensões, conforme um sistema de

referência xyz,. Assim uma tensão normal ou cisalhante é classificada por dois índices a e b:

σab e τab sendo: a= direção do plano de atuação da tensão, b= direção da tensão em relação ao

sistema de referência, como na Figura 3.

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Figura 3: Detalhe de um elemento de volume em estado triaxial ou tridimensional’ de

tensões, mostrando as tensões positivas em duas faces opostas.

Utiliza-se xx= x logo:

yy= y e zz= z

ab a= direção do plano de atuação da

tensão,

b= direção da tensão em relação

ao sistema de referência.

xx

x= direção do plano de atuação da tensão

x= direção da tensão relativa ao sistema xyz

xy

x= direção do plano de atuação da tensão

y= direção da tensão relativa ao sistema xyz.

xy yz

yx

zy

zx

zx

zy

xy

xz

yx

yz

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3.1.1.2 Convenção de sinais

As tensões também têm sinais de acordo com o sistema de referência xyz, o

componente das tensões normal ou de cisalhamento será positivo caso atue na direção positiva

da coordenada da face mais positiva do elemento, ou caso atue na direção mais negativa da

coordenada da face negativa do elemento.

3.1.2 ANÁLISE DE TENSÕES NO ESTADO BIAXIAL DE TENSÕES

Dado um certo estado de tensões num ponto, associado a um dado sistema de coordenadas, é

importante que se determine os valores destas mesmas tensões caso o sistema de coordenadas

associado seja alterado. Na figura 4 representada através de um “quadrado infinitesimal”, que é a

vista superior de um “cubo elementar infinitesimal” associado a um sistema de coordenadas xy.

Figura4: Cubo elementar infinitesimal a esquerda e vista superior (vista bidimensional) a

direita, para um estado plano de tensões.

3.1.2.1 Equações de transformação de tensões

Considerando-se um sistema rotacionado de um ângulo θ, x’y’, conforme pode ser

observado na figura 5. A pergunta que deve ser feita aqui é quanto devem valer as tensões

normais, σx e σy, e tangenciais, τxy, originalmente associadas ao quadrado infinitesimal do

sistema de coordenadas xy quando o quadrado infinitesimal estiver associado ao sistema de

coordenadas x’y’, rotacionado de um ângulo θ.

y

x

y

x

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Figura 5: Sistema rotacionado de um ângulo θ, x’y’, para um estado plano de tensões.

De forma a responder esta questão, ao invés de se trabalhar com o quadrado (cubo) infinitesimal,

é mais conveniente cortar um triângulo como abaixo, ou seja, tendo-se a sua hipotenusa alinhada

com a direção y’ do sistema de coordenadas rotacionado, no sentido anti-horário, do ângulo θ.

Nesta face, devem estar associadas a tensão normal σx’ e a tensão tangencial x’y’. Como o estado

de tensões está em equilíbrio, as forças associadas a todas as tensões têm que se equilibrar

também nas direções x’ e y’. É necessário, portanto, que se passe as tensões para forças,

multiplicando-as por suas áreas de atuação. Sendo a área da hipotenusa do triângulo adotada

como ΔA, a área dos catetos devem valer, por conseguinte, ΔAcosθ e ΔAsinθ, conforme

figura 6.

Figura 6: Decomposição de forças no plano rotacionado de um ângulo

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Sabendo-se as forças que atuam em cada face do triângulo (prisma de base triangular), pode-se

proceder com a determinação das equações de equilíbrio em cada direção transformada. Para a

direção x’ tem-se que:

Fx’=0

0coscoscos)cos( AsensenAsenAsenAA xyxyyxx

Eliminando-se A

cos2cos 22 sensen xyyxx

Fy’=0

0cos)(cos)cos()cos( AsenAsenAsenAsenA yxyxxyyx

Eliminando-se A

22 coscoscos sensensen xyyxyxyx

Logo

)(coscos)( 22 sensen xyxyyx

Sabe-se da trigonometria que:

2

2cos1cos;

2

2cos1;cos22 22

sensensen

Substituindo-se tem-se:

22cos22

' senxy

yxyx

x

(I)

2cos22

'' xy

yx

yx sen

(II)

Substituindo-se em (I) x=y+90° tem-se:

22cos22

' senxy

yxyx

y

(III)

É IMPORTANTE NOTAR QUE:

x'+ y’ = x+ y. Assim, a soma das tensões normais em dois planos perpendiculares é uma

quantidade invariante, ela independe da orientação e do ângulo .

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Regras Práticas para a Identificação do Ângulo θ

1) Quando é fornecido o ângulo de rotação do elemento.

Existem exercícios em que o ângulo ϴ é fornecido diretamente, em geral o enunciado diz “o

ângulo de rotação do elemento vale tanto no sentido horário(-) ou anti-horário(+) ”, assim basta

colocar o ângulo fornecido nas fórmulas I, II e III, com o devido sinal.

2) Quando se pede as tensões normais e cisalhante no plano da solda.

Sentido de rotação de θ: do cateto vertical para a hipotenusa sobre plano inclinado.

Sentido horário ângulo positivo

Sentido anti-horário negativo

3) É necessário lembrar que ϴ é o ângulo entre x e x’, e que o traço do plano inclinado

é y’.

Θ>0

Ponto mais alto que plano encontra o cubo elementar

Traço do Plano Inclinado

A

B C

Θ<0

x

y x’( normal ao traço do

plano inclinado)

y’ (traço do plano

inclinado)

ϴ>0

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3.1.2.2 Tensões normais principais

Existem infinitos planos em torno de um ponto sendo que existirá um plano com tensão máxima

e outro com tensão mínima, estes planos são denominados planos principais sendo σ1 a tensão

máxima e σ2 a tensão mínima, defasados entre si em 90°. Para se obter a expressão de cálculo da

tensão máxima deriva-se a equação de transformação (I) em função de θ e iguala-se a zero para

se obter o valor máximo da tensão principal.

0

d

d x

Logo:

yx

xy

yx

xyptg

2

2

2

e θp2= θp1+90º (IV)

Os valores calculados nas equações (IV) devem ser substituídos na expressão (I) para

se verificar qual valor se refere ao ângulo p1 referente ao maior valor (p1) e p2 referente ao

menor valor (p2), a expressão acima fornece apenas a tangente de θp, as expressões do seno e

do cosseno de θ associadas à expressão acima podem ser facilmente obtidas se interpretarmos

esta expressão como se observa na Figura 7 a seguir. Isto é, a expressão dá a inclinação da

tangente ao ângulo 2θp num sistema τ-σ,

Figura 7: A equação da tangente de 2p expressa graficamente num sistema

O seno ou o cosseno de 2p podem ser dados como a seguir:

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2

21

2

2

xy

yx

xypsen

;

2

21

2

22cos

xy

yx

yx

p

2

22

2

2

xy

yx

xypsen

2

22

2

22cos

xy

yx

yx

p

Substituindo-se em (I) obtém-se a equação que permite o cálculo de 1 e σ2:

1

2

2

2 2

x y x y

xy (V)

2

2

2

2 2

x y x y

xy (VI)

Nestes planos a tensão cisalhante é nula, basta substituir as expressões de seno e cosseno para

2ϴp1 e 2ϴp2, na expressão (II).

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3.1.2.3 Círculo de Mohr em 2D

A figura 9 mostra um círculo de MOHR para um estado plano de tensões

Figura 9: Círculo de Mohr em um estado plano de tensões.

No círculo de Mohr pontos representam planos desta maneira tem-se:

Ponto X = plano X que é representado no círculo de Mohr pelas coordenadas (σx,xy)

Ponto Y= plano Y que é representado no círculo de Mohr pelas coordenadas (σy,yx)

O centro do círculo é dado por:

0;0;2

med

yxCouC

Tensões Principais são:

1=abscissa do centro + raio

1

2

2

2 2

x y x y

xy

2=abscissa do centro – raio

2

2

2

2 2

x y x y

xy

Raio=2

2

2xy

yx

máx

Y X

τ

y

x

σy

σx

τxy

τyx

(σy,yx)

σy

(σy,yx)

R

2θ

X

Y

θ

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Convenção de sinais no círculo de MOHR

O ângulo θ do plano de rotação do elemento em relação ao sistema de referência (xy) será:

Positivo se girar anti-horário

Negativo se girar horário

No ponto X ---- θ = 0

No ponto Y ----- θ =90°

Esta é a mesma convenção do ÂNGULO θ no cubo elementar,

Tensão de cisalhamento horária negativa.

3.2 ANÁLISE DE TENSÕES EM 3D

3.2.1 Introdução

Considere o estado triaxial de tensões em um ponto obtido no sistema de eixos x, y e z, conforme

Figura 1. Estes eixos, por conveniência, são normalmente adotados sendo paralelos às cargas

externas às quais estão submetidas as estruturas. No entanto, é necessário conhecer o estado de

tensão deste ponto num sistema de eixos qualquer, isto é, as máximas tensões atuantes (normais

e cisalhantes.)

Figura 10: Detalhe de um elemento de volume em estado triaxial de tensões, mostrando as

tensões positivas em duas faces opostas.

A Figura10 mostra as tensões atuantes em um sistema de coordenadas x, y, z, onde:

As faces normais às direção “y” recebem o nome de faces “y”;

A face “y” situada em um ponto mais positivo do eixo “y” é a face “y” positiva;

yy: tensão atuando na face “y”, na direção “y” (tensão normal);

xy yz

yx

zy

zx

zx

zy

xy

xz

yx

yz

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yx: tensão atuando na face “y”, na direção “x” (cisalhamento);

Na face “y +”, as tensões que apontam na direção dos eixos x

+, y

+ e z

+ são positivas;

Na face “y - ”, as tensões que apontam na direção dos eixos x

-, y

- e z

- são positivas;

Consideremos que a nova face (oblíqua) seja uma face principal (não há tensões

tangenciais);

é a tensão normal, atuando na face oblíqua, que mantém o elemento de volume em

equilíbrio.

Tomando-se o Tetraedro de Cauchy, conforme a figura 11,

A

Nota:

xy=xy, yz=yz, yx=yx, zy=zy, zx=zx, xz=xz

Figura 11: Equilíbrio de forças no elemento de volume, tomando-se o Tetraedro Cauchy.

considera-se:

Seja ΔA a área da face oblíqua.

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Sejam , e os ângulos que a face oblíqua faz com o sistema de coordenadas original

x, y e z (, e são ângulos que a direção normal à face A faz com os eixos x, y e z,

respectivamente).

Fazendo o equilíbrio de forças na direção x :

)(.)(.)(.cos.. JOKareaJOLareaKOLareaA zxyxx

cos..cos..cos..cos.. AAAA zxyxx

cos.cos.cos.cos. zxyxx

0cos.cos.cos).(0 zxyxxxF

0cos.cos).(cos.0 zyyxyyF

0cos).(cos.cos.0 zyzxzzF

onde cos , cos , cos são os cossenos diretores da direção (que define também a direção da

face obliqua A, pois é normal à A).

Designando:

cos

cos

cos

l

m

n

sabemos que l m n2 2 2 1

0).(..

0...

0...

nml

nml

nml

zyzxz

zyyxy

zxyxx

I

Que é um sistema linear homogêneo de 3 equações e 3 incógnitas (l, m, n cossenos

diretores da direção ou da face oblíqua A).

Esse sistema pode apresentar solução trivial (l, m, n simultaneamente nulos).

Essa solução não é possível pois os cossenos diretores de uma direção qualquer nunca são

simultaneamente nulos, ainda: l m n2 2 2 1

Ex.: direção z, mostrada na figura 12.

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Figura 12: Cossenos diretores para a direção “z”.

l

m

n

l m

cos cos

cos cos

cos cos

90 0

90 0

0 1

1 0 0 1 12 2 2 2

Outra solução, diferente da trivial, será possível se o determinante da matriz dos

coeficientes tem que ser nulos, ou seja:

0

zyzxz

zyyxy

zxyxx

Resolvendo :

0......2..

.....

222

22223

xyzzxyyzxzxyzxyzyx

zxyzxyxzzyyxzyx

II

Que é uma equação do 3 grau, cujas raízes são 1, 2 e 3 (tensões principais nas três

faces principais).

As direções de cada uma dessas tensões são determinadas substituindo o valor de cada

tensão no conjunto de equações I e utilizando também l m n2 2 2 1 .

Ex.: Para determinar as direções de 1 substituímos 1 em I e determinamos l1, m1 e

n1.

Repete-se o processo para 2 l2, m2 e n2.

Repete-se o processo para 3 l3, m3 e n3.

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3.2.2 Círculo de Mohr para o estado triaxial de tensões

Qualquer estado de tensão tridimensional pode ser transformado em três tensões principais que

atuam em três direções ortogonais, Figura13.

Figura 13:Tensões principais num elemento solicitado triaxialmente

Pode-se construir um diagrama de Mohr, para um estado triplo de tensões conforme figura 14 a

seguir:

Figura 14: Círculo de tensões de Mohr para num elemento solicitado triaxialmente

As tensões cisalhantes são o raio de cada círculo logo tem-se (máxima) e

respectivamente para os planos 12; 13 e 23, analiticamente pode-se deduzir que:

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20

2

20

2

20

2

32

23

2

32

23

31

13

2

31

13

2112

2

2112

A figura 15 mostra os planos de tensões principais cisalhantes

Figura 15: Planos de tensões principais cisalhantes

3.3 Aplicações do Círculo de Mohr na conformação mecânica

3.3.1 Considerando o processo de laminação de uma barra metálica:

Considere um barra de metal, de seção retangular, submetida à conformação plástica por

laminação, conforme mostrado na figura 16.

𝜏1 2 =𝜎1− 𝜎2 2

𝜏𝑚á𝑥 = 𝜏1 3 =𝜎1− 𝜎3 2

𝜏2 3 =𝜎2− 𝜎3 2

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Figura 16: Processo de laminação com destaque para o elemento de volume do metal

situado na região instantânea de deformação.

Na figura 17 tem-se o círculo de Mohr construído para as tensões sobre o metal em laminação

Figura 17: Círculo de Mohr 3D para um elemento de volume de um metal em laminação.

Adicionando o esforço de tração F, conforme figura 15, tem-se o círculo de Mohr para o metal

em laminação, sob a ação de uma força na região já laminada, conforme se pode observar na

figura 18.

Figura 18: Círculo de Mohr 3D para um elemento de volume de um metal em laminação,

com a adição de uma força de tração à região do metal já laminada.

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3.3.2 Considerando um processo de trefilação.

Quando se deseja alongar uma barra cilíndrica, é possível tracioná-la, como em um

ensaio de tração. No entanto, se a desformação desejada exigir uma aplicação de tensão acima da

máxima e a barra sofrerá estricção e o produto obtido não é mais satisfatório. Nestes casos, é

possível impor a deformação desejada, através da trefilação, que consiste na passagem da barra

através de uma ferramenta cônica, chamada de fieira, conforme se pode observar na figura 19.

Note que a tensão necessária para trefilar deverá ser menor ou igual a tensão após a passagem

pela fieira.

Figura19: Círculo de Mohr num elemento no instante da deformação durante a trefilação.

1

1 3

2

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Exercício Resolvido 1:

Em determinado processo de conformação plástica, na região de deformação instantânea do

metal, foram encontradas as tensões descritas pela seguinte matriz:

MPa

ZZYZX

YZYYX

XZXYX

1002000

2003000

00500

a) Determinar suas tensões principais e suas direções.

b) Determinar as suas direções (co-senos diretores)

c) Determinar as tensões principais cisalhantes

Resolução

A equação cúbica que irá fornecer as tensões principais é dada pela equação II, que pode ser

escrita:

3

1

2

2 30 I I I. . III

onde:

Ix y z1

Ix y y z z x xy yz zx2

2 2 2 . . .

222

3 ......2.. xyzzxyyzxzxyzxyzyxI

2

1 10.7I 4

2 10.3I 6

3 10.35I

ou:

010.3510.3.10.7 64223

Analisando-se o tensor de tensões verifica-se que as tensões cisalhantes xy e yx são iguais a

zero, logo estamos num plano principal, sendo a maior tensão 500 MPa, uma das tensões

principais do estado geral de tensões, logo, fazendo-se a divisão do trinômio do terceiro grau,

010.3510.3.10.7 64223 pelo binômio do segundo grau, 500 :

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0

___________________________

3500000070000

3500000070000

___________________________

100000200

3500000030000200

__________________________

70000200500

500-|3500000030000700

2

2

223

__________

23

Pode-se escrever que:

070000.200.500 2

Resolvendo-se a equação do segundo grau temos as duas raízes ou as outras tensões principais,

que ordenadas ficam:

MPa

MPa

MPa

84,182

84,382

10.5

3

2

2

1

1 2 3

Para determinar l1, m1 e n1:

0.500100.200.0

0.200.500300.0

0.0.0.500500

nml

nml

nml

00

0.400

0.60000.2

0.200.200

mn

n

nm

nm

usando:

l m n1

2

1

2

1

2 1

l

l

1

2

1

1

1

cos l 1 0

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cos m 0 90

cos n 0 90

direção de 1 é a direção x

Utilizar o mesmo método para determinar os co-senos diretores de e 3.

Exercício Resolvido 2

Calcule os componentes das tensões principais e as direções principais.

O tensor tensão é dado por:

(kg/cm2)

Determinação dos invariantes

determinação das raízes da equação do terceiro grau:

(a) Estimativa de uma das raízes através do Método de redução de polinômios Briot Ruffini

561

634

142

ij

105321 zyxI

22

)6()1()4()5.2()5.3()3.2( 222

222

2

xzyzxyzxzyyxI

77

)4(5)1(3)6(2)1.6.4(2)5.3.2(

2

222

222

3

xyzxzyyzxxzyzxyzyxI

032

2

1

3 III iii

0772210 23 iii

77,22

10,1

dc

ba

0001,012,3898,71

49,006,3899,71

04,459,389,71

02,2

01,2

1,2

13881

524371

463191

7722101

2

3

1

1°chute

2° chute

refinamento

23/33


(b) determinação das raízes da equação do segundo grau, obtida pela redução da equação

anterior através de Briot Ruffini

Exercício Resolvido 3

O estado de tensões num ponto é representado pelo seguinte tensor de tensões:

MPa

ZZYZX

YZYYX

XZXYX

1120

1260

005

a) Determine as tensões normais principais.

b) Proceda à representação do estado de tensão no plano de Mohr e determine a tensão

máxima absoluta de cisalhamento.

Resolução

015055

00012.12165

0120

60.0

10

120.0

112

126).5(

1120

1260

005

2

Tem-se portanto uma equação do terceiro grau, resolvendo-se:

(-5-

ou

(²+5-150)=0

Daí tem-se as seguintes raízes

MPa; =10MPa e =-15MPa

012,3898,72 ii

1.2

)12,38.(1.4)98,7(98,7 2 i

}34,11;4,3{ i

4,3,02,2,34,11 321

24/33


Colocando-se as tensões normais principais em ordem decrescente de intensidade:

=10MPa, MPa; e =-15Mpa

Tensão Máxima absoluta de cisalhamento ( raio do círculo vermelho

MPa

Tensão de cisalhamento entre os planos 1 e 2 de cisalhamento (raio do círculo verde

MPa

Tensão de cisalhamento entre os planos 2 e 3 de cisalhamento (raio do círculo azul

Mpa

-15

-10

-5

0

5

10

15

-10-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415

Te

ns

ão

de

Cis

alh

am

en

to (

tha

o)

Tensão Normal (sigma)

Círculos de Mohr

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3.4. CRITÉRIOS DE ESCOAMENTO.

3.4.1 Decomposição em componentes do tensor de tensões

A matriz de tensões pode ser decomposta em duas componentes, uma chamada hidrostática e

outra chamada desviatória, segundo mostrado pela equação 1.6, ou graficamente pela figura 1.

Desviadora é o termo usualmente empregado pelos profissionais da área para designar a

componente de um estado de tensões que causa somente variação da forma do material, mas

nenhuma variação do seu volume.

onde m é a tensão normal média, definida pela equação:

33

321

zyx

m

Figura 1. Decomposição do estado de tensões em componentes hidrostático e desviatório a

partir do tensor de tensões principais.

Estes componentes mostram a capacidade do estado de tensões em provocar mudança de

volume, através da componente hidrostática (ou variação de forma) ou deformação plástica,

através da componente desviatória. As tensões normais não produzem deformação plástica;

apenas variações elásticas no volume. As tensões de cisalhamento são responsáveis pela

deformação plástica.

3.4.2 Critérios de escoamento

Diz-se que um dado material escoa quando ocorre deformação plástica sem praticamente

aumento da tensão aplicada, ou seja, a partir de um determinado ponto com a aplicação de uma

pequena carga consegue-se grandes deformações.

26/33


Não existe uma dedução analítica que permita determinar quando o material irá entrar no campo

plástico, submetido a um estado complexo de tensões. O início do escoamento plástico só é bem

determinado para tensão uniaxial (tração simples). Qualquer critério de escoamento a ser

estabelecido deverá ser confirmado por um número adequado de experimentos e não deverá ser

dependente da orientação do sistema de coordenadas utilizado para efetuar a análise de tensões.

Desta maneira, a capacidade de um material resistir à deformação plástica é medida pela tensão

de escoamento, que é determinada pela relação entre a força que inicia a deformação e a área da

secção.

As teorias de escoamento foram desenvolvidas inicialmente considerando, simplificadamente,

que todo o elemento material permanece isotrópico. Na prática esta suposição torna-se pouco

funcional à medida que a deformação continua, já que os grãos cristalinos individuais são

alongados na direção da maior deformação de tração a textura da amostra se parece com uma

fibra, desta forma o material deixa de ser isotrópico e torna-se anisotrópico durante a deformação

plástica.

A idéia é utilizar um critério, que possua fundamentação mecânica e que possa ser aplicado para

o caso simplificado do ensaio de tração de modo a se obter parâmetros para sua aplicação. Serão

vistos os três critérios descritos a seguir.

1. Critério de máxima tensão cisalhante ou de Tresca.

2. Critério de máxima energia de distorção ou de von Mises

3.4.2.1 Critério de máxima tensão cisalhante ou critério de Tresca (1863)

A deformação plástica está diretamente associada à presença de componentes de tensão

cisalhante. Por isso, criou-se um critério de escoamento que define a ocorrência de deformação

plástica, mesmo em estados complexos de tensão, quando o valor do componente de tensão de

cisalhamento máximo alcance um valor mínimo, que pode ser obtido diretamente do ensaio de

tração. O valor do componente de tensão de cisalhamento máximo (2) é dado pela equação:

2

31

13

(2)

Onde 1 é a maior tensão principal e 3 é a menor.

Observar que:

10 (=0)

2=3=0

o que oferece o critério de escoamento, conforme a equação 3:

2

0

13

máx (3) ou 031 )( (4)

Este critério não prediz a ocorrência de deformação plástica em um estado de tensões

hidrostático. Ponto interessante é que o parâmetro de comparação deste critério é a máxima

tensão de cisalhamento, que por acaso define, matematicamente, o valor do raio de um círculo de

Mohr. Assim, quanto maior for o círculo de Mohr, maior a probabilidade de ocorrer escoamento.

3.4.2.2 Critério da máxima energia de deformação ou Critério de Von Mises (1913)

Antes de entrar neste critério, deve-se fazer referência ao cálculo da energia de deformação

elástica de um material. Esta energia pode ser calculada, para um corpo sob solicitação uniaxial

27/33


de tensões, pela clássica equação que relaciona força versus distância, conforme citada abaixo

(5):

dU = Fdl (5)

Sabendo-se que lii = l0(1+ε1) e A

F , calcula-se, a partir da equação (5):

li = l0(1+ε1) dl = l0ε1

A

F F=1A0 (6)

Neste caso utiliza-se A0, pois a alteração da área da secção reta é muito pequena para considerar

as correções. Agrupando os termos da equação (6) e integrando-a, por unidade de volume,

obtêm-se:

ff

dlAdlFU

l

l

total

0

1100

0

. (7)

considerando o cálculo da equação (1.51) por unidade de volume (divide-se por A0l0) e

considera-se válida a lei de Hooke, faz-se a integração, obtendo-se:

ftotal dU

f

11

0

12

1 (8)

Somando as respectivas energias nos outros dois eixos, considerando que estas não causem

interferência mútua, pode-se obter:

33221111

0

1 ..2

1

2

1

ftotal dU

f

(9)

Pode-se demonstrar, matematicamente que a equação acima (9) pode ser expressa como sendo a

soma de um termo correlacionado somente com as tensões hidrostáticas e outro termo

correlacionado com as tensões desviatórias.

Neste caso, a expressão fica:

Energia hidrostática (UoH):

2

3210 )(6

21

EU H (10)

Energia desviatória (UoD):

2

32

2

31

2

210 )()()(6

1

EU D (11)

O critério elaborado por von Mises admite que o material inicie deformação plástica quando a

energia elástica de distorção por unidade de volume (UoD – equação 11) atinge um valor limite

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que é característico do material. Considerando o ensaio de tração e aplicando-se os valores de

tensão de escoamento na equação (11), vêm:

EU D

6

)1(2 2

00

Igualando esta equação à expressão da energia de distorção, obtêm-se a expressão para o critério

de escoamento de von Mises:

0

2

32

2

31

2

21 )(2

1 VM

3.4.3 Comparação entre os critérios de Tresca e Von Mises.

Quando 1 = 2 ou 2 = 3, então os critérios de von Mises e Tresca coincidem. Os dois

critérios apresentam uma diferença máxima em um estado plano de deformação, quando:

3122

1

Neste caso a diferença é de 2/(3)0,,5

1,155 ( .

A figura 2 apresenta um gráfico demonstrando que os dois critérios de tensão coincidem para 1

= 2 ou 2 = 3 e que divergem no máximo de 1,155 para deformação plana.

Figura 2 – Representação gráfica das curvas limite de escoamento (fora das quais existem

tensões atuando que provocam deformação plástica). Nota-se a combinação de tensões que

levam aos dois critérios estabelecer a mesma condição de escoamento (1 = 3) e a condição

de máxima diferença (1 = 23 ou 1 = ½3), Dieter (1988).

Os reais valores de tensão, onde ocorre o escoamento dos materiais metálicos, situam-se, em

média, entre as regiões definidas pelos critérios de Tresca e de von Mises, de acordo com o

gráfico apresentado por Dowling (figura 2) e por Meyers e Chawla (figura 3).

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Figura 3:Comportamento sob escoamento de alguns materiais comparando com os três

critérios de escoamento, Meyers & Chawla (1984).

Deve-se perceber que os critérios de escoamento são todos baseados nos valores de tensões,

conforme conceito de estado de tensões em um ponto (cubo elementar de Cauchy). Portanto, é

possível que um material possua uma distribuição de tensões que causa escoamento (deformação

plástica) somente em algumas regiões ou pontos de seu volume.

Na prática Von Mises é mais utilizado que Tresca, já que este último apresenta a desvantagem

de possuir descontinuidade nas condições de contorno, além disso não existe uma equação

que ligue as três tensões principais. A vantagem de Von Mises é que ele é baseado em fatos

matemáticos enquanto que Tresca se baseia em hipóteses, no entanto é mais prudente que Von

Mises, por isso é mais utilizado em estruturas mais pesadas, onde é necessário maior

segurança e/ou resistência, como por exemplo foguetes, enquanto que o critério de Von Mises

é utilizado em cálculos de estruturas mais leves, tais como botijões de gás.

3.4.4 Relações tensão-deformação na zona plástica

Um aspecto fundamental que aparece na determinação de relações tensão-deformação, em se

tratando de zona plástica, é o fato de que as deformações finais de um corpo deformado

plasticamente, não dependem unicamente do estado final de dimensões de um corpo

deformado plasticamente. Precisam-se obter os diferenciais, ou incrementos, de deformação

plástica e então integrá-los ao longo do processo de carregamento.

Para uma situação particular de carregamento, quando todas as tensões aumentam a uma

razão constante, ou seja:

3

3

2

2

1

1

ddd

Tem-se, neste caso, que as deformações são independentes do processo de carregamento,

dependendo somente do estado final de tensões; pode-se, então relacionar o estado de tensões

com a deformação plástica.

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3.4.4.1 Coeficiente de Poisson na zona plástica

Da lei generalizada de Hooke tem-se:

2133

3122

3211

1

1

1

E

E

E

Somando-se as equações obtém-se:

211

321321 E

Sabe-se que: V

V 321

Mas V=0 na zona plástica, obtém-se:

211

0 321 E

Como 1+2+ deduz-se que (1-2 = 0, e logo:

para todos os materiais na zona plástica.

3.4.4.2 Equações de Lévy-Mises

Na zona plástica não há linearidade na relação tensão deformação, mas sabemos que o

coeficiente de Poisson é igual a 0,5 (

Considerando os incrementos de deformação principal d1 em um processo de deformação

plástica, obtém-se:

3211

2

11

pEd

Onde Ep é o módulo de elasticidade para aquele valor de deformação, analogamente pode-se

escrever:

31/33


2133

3122

2

11

2

11

p

p

Ed

Ed

Graficamente, pode-se avaliar o valor de Ep:

Figura 4: Curva tensão deformação verdadeira.

Tem-se então:

dEtgE pp

Obtém-se assim as equações de Lévy-Mises:

)(2

1

)(2

1

)(2

1

2133

3122

3211

dd

dd

dd

ou

m

m

m

dd

dd

dd

33

22

11

2

3

2

3

2

3

1

2d

1 2

d

32/33


Onde 3

321

0

m , média aritmética das tensões principais.

As relações completas de Levy-Mises, em função das deformações e tensões normais x,y,z

ficam:

mzyxz

p

z

myzxy

p

y

mxzyx

p

x

d

Ed

d

Ed

d

Ed

2

3

2

11

2

3

2

11

2

3

2

11

yzyz

xzxz

xyxy

dd

dd

dd

2

3

2

3

2

3

Exercício1

Um componente estrutural entra em deformação plástica quando é submetido a um estado de

tensão definido por intermédio do seguinte tensor das tensões

MPa

150050

01000

500100

Calcular por von Mises o valor da tensão de escoamento do material que foi utilizado na

fabricação do componente.

Exercício 2

Dado o estado de tensões de um processo de conformação conforme a seguir:

E a tensão de escoamento do material que está sendo conformado é 0=725 MPa. Verificar se

ocorre escoamento segundo critério de Tresca e von Mises.

-70 MPa

700 MPa

345 MPa

33/33


Exercício 3

As relações entre deformação e tensões de Levy-Mises ajudam a calcular as deformações

conseguidas pelas tensões aplicadas, conforme a seguir:

Num processo de deformação de um cubo metálico de lado 10”, que segue a expressão

= 2 , é submetido a uma tensão principal máxima de 90 MPa.

Sabe-se que:

=

1

2 e

=

1

3 e que nos planos em atuam não há cisalhamento, utilizando o critério de

von Mises, e as equações de Levy-Mises, pede-se:

a) A maior dimensão em polegadas (L1)

b) A dimensão do lado 2

c) A dimensão do lado 3

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