Cap 6 - Integração

UFGD / FACET – Prof. Wellington Lima dos Santos – Cálculo Numérico (Notas de Aula 2009/II) Observação: Estas notas de aula não foram suficientemente verificadas, portanto podem conter erros.

1

6 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

Sejam f(x) uma função contínua no intervalo [a, b] e F(x) sua primitiva

(conhecida). Então:

( ) ( ) ( )b

af x F a F b= −∫

em que F’(x) = f(x). Quando a primitiva F(x) tiver expressão analítica muito complexa

ou simplesmente não for conhecida, tal como a primitiva de exp(x2), métodos

numéricos devem ser utilizados para avaliar a integral de f(x). Se apenas valores

discretos de f(x) forem conhecidos, também é necessário o uso destes métodos. Em

qualquer das situações citadas, a idéia básica da integração numérica consiste em

aproximar f(x) por um polinômio interpolador, cuja integral é de obtenção simples. A

escolha deste polinômio e dos pontos utilizados para determiná-lo irão definir os

vários métodos de integração.

6.1 Fórmulas de Newton-Cotes

As fórmulas de Newton-Cotes para a integração numérica utilizam pontos de

integração igualmente espaçados. Dividindo o intervalo [a, b] em n subintervalos de

comprimento h, tem-se:

( )

0, 1, 2,...,j

b ah

n

x a j h j n

−=

= + =

6.1.1 Fórmula dos trapézios

A fórmula dos trapézios corresponde a interpolar f(x) por um polinômio de

primeiro grau, ou seja, por uma reta secante.

y

x0

f (x)

=a x b=1x =a=0x 1x b x

y

P(x)1

f (x)


2

Da geometria, sabe-se que

( )0( ) ( 1)

2

hA f x f x= +

Erro de truncamento da fórmula dos trapézios

Como nos demais métodos numéricos, o valor da integral obtido é uma

aproximação do valor exato da integral, portanto existe um erro, ou seja, uma

diferença entre a integral analítica (exata) e a aproximada. Para cada fórmula de

integração, é possível deduzir a equação que fornece o valor deste erro máximo.

Para a fórmula dos trapézios, tem-se:

3

max"( )

12

hE f a bβ β= − ≤ ≤

Este limite superior para o erro é determinado encontrando-se o valor máximo de

f''(x) dentro do intervalo [a, b].

Exemplo: Dada a integral 0,4

0cos( )x dx∫ , pede-se:

a) Calcular o seu valor aproximado pela fórmula dos trapézios

b) Calcular o valor máximo do erro cometido nesta aproximação

c) Comparar o valor da integral aproximada com o valor da integral analítica

Solução:

a) ( ) ( )0 1

0,4 0,0 0,4

0,4( ) ( ) cos(0,4) cos(0) 0,384212

2 2

h

hI f x f x

= − =

= + = + =

b) 3 3

max

'( ) ( ) "( ) cos( )

0,4"( ) ( cos(0)) 0,005333

12 12

f x sen x f x x

hE f x

= − ⇒ = −

= − = − − =

Utilizou-se –cos(0), porque este é o valor máximo (em módulo) que a segunda

derivada pode assumir no intervalo. Como Emax é positivo, o valor da integral exata é

maior que o valor da integral aproximada, o que já era previsível uma vez que cos(x)

é côncava para baixo no intervalo.

c) 0,4 0,4

00cos( ) sen( ) sen(0,4) sen(0) 0,389418x dx x= = − =∫


3

Portanto, e erro real é:

0,389418 - 0,384212 = 0,005206 ( 0,00533)r

E = ≤

Fórmula dos trapézios composta

y

x0

f (x)

=a x b=nx

1x x2 x3 xn-2 xn-1

h h h h h

0 1 1 2 2 3 1

0 1 2 3 1

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

( 2 2 2 2 )2

n n

n n

h h h hI y y y y y y y y

hI y y y y y y

−

−

= + + + + + + + +

= + + + + + +

�

�

Erro de truncamento da fórmula dos trapézios composta

3

max 2

( )"( )

12

b aE f a b

nβ β

−= − ≤ ≤

Vê-se que o erro é inversamente proporcional ao quadrado do número de

subintervalos; por exemplo, se o intervalo [a, b] for dividido em 10 subintervalos o

erro máximo de integração será 100 vezes menor.

Exemplo:

Calcular o valor da integral do exemplo anterior dividindo o intervalo em 4 partes

iguais

Solução:

Neste caso é conveniente montar uma tabela dos valores (xi, yi).

xi yi

0,0 1,000000

0,1 0,995004

0,2 0,980067

0,3 0,955336

0,4 0,921061


4

3

max 2

0, 4 00,1

4 4

0,1(1,000000 2 0,995004 2 0,980067 2 0,955336 0,921061) 0,389094

2

(0, 4 0)( cos(0)) 0,000333

12 4

0,389418 0,389094 0,000324 ( 0,000333)r

b ah

I

E

E

− −= = =

= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + =

−= − − =

⋅

= − = ≤

6.1.2 Fórmula do 1/3 de Simpson

Esta fórmula aproxima f(x) por um polinômio P2(x), ou seja, por uma parábola,

portanto são necessários três pontos, o que exige um número par de subintervalos

de integração:

y

x0

f (x)

=a x b=2xx1

hh

=0x a 21x x b= x

y

P(x)2

h h

f (x)

0 1 2( 4 )

3

hI y y y= + +

Erro de truncamento da fórmula do 1/3 de Simpson

5

(4)

max( )

90

hE f a bβ β= − ≤ ≤

Pela equação do erro, verifica-se que a fórmula do 1/3 de Simpson fornece valores

exatos para integral de polinômios de grau igual ou inferior a 3, uma vez que a

derivada de quarta ordem dos mesmos é nula.

Exemplo:

Calcular o valor da integral do exemplo anterior, utilizando a fórmula do 1/3 de

Simpson


5

Solução:

Como são necessários três pontos, o intervalo será dividido em dois subintervalos

de mesmo comprimento:

xi yi

0,0 1,000000

0,2 0,980067

0,4 0,921061

(3) (4)

5

0, 4 00, 2

2 2

0, 2(1,00000000 4 0,98006658+0,92106099)=0,38942182

3

" cos( ) sen( ) cos( )

0, 2cos(0) 0,00000356

90

0,38941834 - 0,38942182 = -0,00000348 ( 0,00000356)

x

r

b ah

I

f x f x f x

E

E

− −= = =

= + ⋅

= − ⇒ = ⇒ =

= − = −

= ≤

Fórmula do 1/3 de Simpson composta

y

x0

f (x)

=a x b=nx

1x x2 x3 xn-2 xn-14x

hh h h h h

0 1 2 3 4 2 1( 4 2 4 2 ... 2 4 )

3n n n

hI y y y y y y y y− −= + + + + + + + +

Erro de truncamento da fórmula do 1/3 de Simpson composta

5

(4)

max 4

( )( )

180

b aE f a b

nβ β

−= − ≤ ≤

Exemplo:

Calcular o valor da integral do exemplo anterior, utilizando a fórmula do 1/3 de

Simpson com a precisão 8 casas decimais após a vírgula.


6

Solução:

O primeiro passo é determinar o número de subintervalos através da fórmula:

1

5 5 4(4) (4)

max 4

max

( ) ( )( ) ( )

180 180

b a b aE f n f

n Eβ β

− −= − ⇒ = −

8

max10E

−= é dado do problema e já se sabe que para 0β = , ( )(4)1f β = (valor

máximo da quarta derivada), logo

1

5 41/4

8

(0, 4 0,0)1,0 5688,88 8,8

180 10n

−

−= − = =

Como n deve ser par, adota-se n = 10.

0, 4 00,04

10

b ah

n

− −= = =

Os valores de yi da fórmula 0 1 2 8 9 10

/ 3 ( 4 2 ... 2 4 )I h y y y y y y= ⋅ + + + + + + podem ser

colocados na tabela abaixo, em que c são os fatores 1, 4 e 2.

assim,

0,0429,2063760886 0,3894183478

3 3i

hI c y= = =∑

Er = sen(0,4)– 0,3894183478 = –0,0000000055 (< 10–8

)

xi yi = cos(xi) c c x yi 0,00 1,0000000000 1 1,0000000000

0,04 0,9992001067 4 3,9968004266

0,08 0,9968017063 2 1,9936034126

0,12 0,9928086359 4 3,9712345434

0,16 0,9872272834 2 1,9744545668

0,20 0,9800665778 4 3,9202663114

0,24 0,9713379749 2 1,9426759497

0,28 0,9610554383 4 3,8442217532

0,32 0,9492354181 2 1,8984708362

0,36 0,9358968237 4 3,7435872947

0,40 0,9210609940 1 0,9210609940

ic y∑ = 29,2063760886


7

Exercícios propostos

1) Dada a integral dxx∫5,1

3,0, pede-se:

a) Determinar o seu valor aproximado utilizando três trapézios.

b) Calcular o erro máximo cometido na aproximação anterior.

c) Calcular a diferença entre a integral exata e a aproximada, comparando esta

diferença com o erro máximo calculado anteriormente.

d) Quantas subdivisões seriam necessárias para calcular (pela fórmula dos

trapézios) a integral com erro igual ou inferior a 0,0001?

2) Determine o valor da integral 2

1

xe dx

−

∫ , pela da fórmula do 1/3 de Simpson, com

um erro inferior a 10-5.

Cap 6 - Integração

Documents

Transcript of Cap 6 - Integração