CalculoFuncoesdeVariasVariaveisFaleiros

CURSO DE MAT 21

Clculo. Funes vetoriais e campos escalares.

Antonio Cndido Faleiros

Departamento de MatemticaITA - CTA

So Jos dos Campos, SP

2006

Sumrio

1 Conceitos preliminares 11.1 O espao das nuplas ordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Operaes com nuplas ordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Propriedades das operaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 A reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Distncia e norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Desigualdade de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7 Produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.8 ngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.9 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.10 Vizinhana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Funo vetorial com varivel real 172.1 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4 Curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5 Comprimento de uma curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6 Reparametrizao pelo comprimento de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.7 Comprimento em coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Campos Escalares 293.1 Grfico de um campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3 Limite em sub-domnios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.4 Limite ao longo de uma curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.5 Limite ao longo de uma seqncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.6 Limite da composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4 Derivada parcial e direcional 574.1 Derivada Parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.2 Derivada direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

i

ii Notas de aula do Prof. Antonio Cndido Faleiros

5 Diferencial ou derivada total 655.1 Transformao linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.2 Campo diferencivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.3 A diferencial e a derivada direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.4 O gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.5 Roteiro para verificar a diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6 Regra da Cadeia 836.1 Funes reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.2 Campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.3 Frmula de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.4 Derivadas parciais de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.5 Equao de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.6 Teorema do valor mdio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.7 Interpretao geomtrica do gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986.8 Conjunto conexo por caminho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.9 Potencial de um campo vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.10 Plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.11 Reta normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7 Funes implcitas e inversas 1057.1 Teorema da funo implcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.2 Funes reais definidas implicitamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067.3 Campos escalares definidos implicitamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7.3.1 Campos escalares em dimenses maiores . . . . . . . . . . . . . . . 1127.4 Sistemas de equaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.5 Interpretao geomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.6 Funo inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197.7 Curvas de nvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.8 Reta tangente e reta normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297.9 Superfcie de nvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317.10 Plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.11 Reta normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

8 Pontos estacionrios 1338.1 Aproximao polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1338.2 Mximos e mnimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1388.3 Pontos estacionrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1408.4 Classificao do ponto estacionrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418.5 Forma quadrtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1438.6 Natureza do ponto estacionrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1478.7 Mximos e mnimos com vnculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1488.8 Problemas com dois vnculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Notas de aula do Prof. Antonio Cndido Faleiros iii

8.9 Mximos e mnimos na fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

9 Integral Dupla 1619.1 Soma de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1619.2 Integral dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1629.3 Soma superior e inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1649.4 Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1669.5 Integrais iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1679.6 Integral em conjuntos limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1709.7 Teorema de Fubini em conjuntos limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1729.8 Teorema do valor mdio para integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1739.9 Integral a menos de um conjunto de medida nula . . . . . . . . . . . . . . 1749.10 Mudana de varivel na integral dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1759.11 Massa e Centro de Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

iv Notas de aula do Prof. Antonio Cndido Faleiros

Prefcio

Ningum poderia dizer que conhece a histria da humanidade sem conhecer um pouco ahistria da Matemtica. Esta foi, e sempre ser o simbolismo universal desenvolvidopelo homem para representar a natureza e os fenmenos sociais.Existem dois momentos no desenvolvimento da Matemtica, antes e depois do Clculo,

cincia criada por Newton e Leibnitz por volta de 1660. Este possibilitou ao homemdar um salto significativo rumo ao Cosmo. Sua beleza reside em seu poder de sntese.Sob sua linguagem os fenmenos naturais so enunciados com extrema simplicidade egeneralidade. Foi esta ferramenta que possibilitou ao gnero humano desenvolver toda atecnologia moderna, desde a vlvula at o circuito integrado de larga escala.Criado para resolver os problemas cruciais do movimento dos corpos celestes, foi apli-

cado por Maxwell no sculo XIX para resumir todo o conhecimento adquirido em Eletrod-inmica em quatro belssimas equaes, consideradas uma das maiores snteses da mentehumana, possivelmente superada apenas pela sntese promovida por Newton na Mecnica.As aplicaes do Clculo se espraiam pelos variados campos do conhecimento humano.

A Fsica, principalmente, no teria apresentado tamanho desenvolvimento, sem esta fer-ramenta terica, cujo valor inestimvel. A Qumica e a Biologia tambm devem tributoa este ramo da Matemtica. Hoje, existem modelos eficientes para simular os efeitos depolticas econmicas e manuteno do equilbrio ecolgicos de regies submetidas aodo homem. Hoje, o modelamento matemtico dos fenmenos radiativos permitem datarcom grande preciso a idade de documentos e objetos arqueolgicos.Sem o Clculo, nossos automveis seriam menos confortveis. De fato, a anlise da

combusto dos gases no motor e das vibraes da suspenso do veculo, fenmenos mod-elados atravs de equaes diferenciais, emanadas diretamente do Clculo, possibilitou oaperfeioamento dos veculos, tornando-os mais macios e razoavelmente silenciosos.A trajetria, a estrutura, o combustvel, os instrumentos de navegao, comunicao

e controle de um foguete so projetados, estudados, analisados e otimizados atravs dasferramentas que emergiram durante o desenvolvimento do Clculo. Deste modo, sem ele,a conquista espacial seria impensvel. A otimizao de todos os instrumentos, motores eestrutura de um foguete imprescindvel para as incurses interplanetrias.

v

vi Notas de aula do Prof. Antonio Cndido Faleiros

Captulo 1

Conceitos preliminares

Programa

1. O espao das nuplas ordenadas.

2. Funes de vrias variveis.

3. Limite e continuidade.

4. Derivada: parcial, total e direcional.

5. Frmula de Taylor.

6. Mximos e mnimos livres e condicionados.

7. Funes implcitas e inversas.

8. Integrais duplas e triplas.

Bibliografia

1. Guidorizzi, H. L.; Um curso de Clculo, vols. 2 e 3. Livros Tcnicos e Cientficos,Rio de Janeiro.

2. vila, G.; Funes de vrias variveis, vol. 3, Livros Tcnicos e Cientficos, Rio deJaneiro.

3. Vieira, M. C. C.; Gonalves, M. Elizabeth S.; Rabello, Tnia N.; Clculo Diferenciale Integral I, Apostila, ITA.

1.1 O espao das nuplas ordenadas

Seja n 1 um nmero natural. Um conjunto x1, x2, . . . , xn de n nmeros reais, separadospor vrgulas e limitados por parntesis, tal como em

(x1, x2, ..., xn)

1

2 Notas de aula do Prof. Antonio Cndido Faleiros

ser chamado de nupla ordenada de nmeros reais. Duas nuplas ordenadas denmeros reais (x1, x2, ..., xn) e (y1, y2, ..., yn) sero iguais se

x1 = y1, x2 = y2, . . . , xn = yn

quando ento se escreve(x1, x2, ..., xn) = (y1, y2, ..., yn).

Note a diferena que h entre a igualdade entre duas nuplas e entre dois conjuntos.Enquanto os conjuntos {1, 2} e {2, 1} so iguais, as duplas (1, 2) e (2, 1) so diferentes.Assim,

{1, 2} = {2, 1}(1, 2) 6= (2, 1)

O conjunto de todas as nuplas de nmeros reais denotado por Rn, quando se l RN.Usaremos uma letra minscula em negrito e sem ndice para indicar os elementos deRn. Sendo x = (x1, x2, . . . , xn), ento cada um dos nmeros reais x1, x2, . . . , xn umacoordenada de x. Os elementos de Rn tambm so chamados de pontos do Rn.

1.2 Operaes com nuplas ordenadas

Nas operaes que definiremos em seguida,

x = (x1, x2, . . . , xn)

y = (y1, y2, . . . , yn)

representaro nuplas de nmeros reais enquanto ser um nmero real. Define-se aadio entre duas nuplas x e y por

x+ y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)

sendo a nupla resultante denominada de soma de x com y. Define-se a multiplicaode um nmero real pela nupla x por

x = (x1, x2, . . . , xn)

sendo a nupla resultante denominada de produto de por x.

1.3 Propriedades das operaes

As propriedades abaixo podem ser provadas usando as propriedades das operaes comnmeros reais. Sendo

x = (x1, x2, . . . , xn)

y = (y1, y2, . . . , yn)

z = (z1, z2, . . . , zn)

nuplas de nmeros reais e , nmeros reais, valem as propriedades:

Notas de aula do Prof. Antonio Cndido Faleiros 3

1. Comutatividade:x+ y = y+ x

2. Associatividade da adio:

(x+ y) + z = x+ (y + z)

3. Elemento neutro: A nupla 0 = (0, 0, ..., 0) o elemento neutro da soma, isto ,para toda nupla x,

x+ 0 = x

4. Elemento oposto: Para toda nupla x existe a nupla

x = (x1,x2, ...,xn)

tal quex+ (x) = 0

5. Associatividade da multiplicao:

()x = (x)

6. Distributividade 1:

(+ )x = x+ x

7. Distributividade 2:

(x+ y) = x+ y

8. Elemento unitrio: O elemento neutro da multiplicao nos reais, o 1, chamado deelemento unitrio da multiplicao entre reais e nuplas ordenadas e, para ele vale

1x = x

Estas so as propriedades fundamentais das operaes definidas e, a partir das quais,se provam todas as outras. Vale a pena definir

x = xx

= 1x

e observar que 1x = x.Define-se a subtrao de x por y, denotada por x y, atravs da igualdade

x y = x+ (y).


1.4 A reta

Dadas duas nuplas a e b, onde b 6= 0, o conjuntor = { x Rn : x = a+ b t com t R }

chamado de reta. Para cada t real distinto, temos um ponto x diferente da reta. Aequao

x = a+ b t, t R chamada de equao vetorial da reta. Freqentemente, se fala em reta x = a + b tem lugar de: considere a reta r cuja equao vetorial dada por x = a+ b t.

Exemplo 1 No R2, sejam a = (1, 2) e b = (3, 4) . Com estes dois pares ordenados denmeros reais, podemos definir a reta r cuja equao vetorial

x = (1, 2) + t (3, 4)

com t variando em toda a reta. Observe que x = (x1, x2) um par ordenados de nmerosreais.Esta equao vetorial pode ser desmembrada em duas equaes reais, usando a definio

de igualdade entre duas nuplas

x1 = 1 + 3tx2 = 2 + 4t

com t variando em R. Estas so chamadas de equaes paramtricas da reta.

Sejam a = (a1, a2, . . . , an) e b = (b1, b2, . . . , bn) dois pontos do Rn. A equao vetorialx = a+ tb da reta pode ser desmembrada em n equaes escalares

x1 = a1 + tb1x2 = a2 + tb2

xn = an + tbn

onde x = (x1, x2, . . . , xn). Essas n equaes escalares so denominadas de equaesparamtricas da reta, onde t o parmetro. medida que t percorre o conjunto dosnmeros reais, x percorre os pontos da reta.Considere os pontos

e1 = (1, 0, 0, . . . , 0)

e2 = (0, 1, 0, . . . , 0)

en = (0, . . . , 0, 0, 1)


do Rn onde ek tem a ksima coordenada igual a 1, sendo nulas todas as demais. Asretas

r1 = {x = te1 : t R }r2 = {x = te2 : t R }

rn = {x = ten : t R }

onde t o parmetro que percorre R, so chamadas de eixos coordenados.

Exemplo 2 (Reta passando por dois pontos) Dados dois pontos p e q do Rn, a reta

x = p+ t(q p)

com t R, passa pelos pontos p e q, exatamente quando t = 0 e t = 1.

Exemplo 3 A equao vetorial da reta que passa pelos pontos p = (0, 1, 2) e q =(1, 3, 1)

x = (0, 1, 2) + t (1, 2,1) = (t, 1 + 2t, 2 t)e suas equaes paramtricas so

x1 = tx2 = 1 + 2t

x3 = 2 t

onde t o parmetro que percorre o conjunto dos nmeros reais.

Exemplo 4 Sabendo que a reta x = a + bt passa por p quando t = t1 e por q quandot = t2, vamos determinar a e b em funo de p, q, t1, t2.Usando os dados fornecidos,

p = a+ bt1 ,

q = a+ bt2 .

Subtraindo a segunda equao da primeira e dividindo por t1 t2, segue

b =p qt1 t2

.

Subtituindo na primeira das equaes anteriores vem

p = a+p qt1 t2

t1

e, explicitando a, vem

a =t2p t1qt2 t1


Sejam a, b, p e q pontos do Rn com b e q diferentes de 0. Considere as retas definidaspelas equaes vetoriais

x = a+ bt

ex = p+ qt

onde t o parmetro que percorre o conjunto de nmeros reais. Quando existir um nmeroreal tal que

q = b,

se diz que as retas so paralelas.

Exemplo 5 As retas x = (1, 2) + t (4,1) e x = (7,1) + t (8, 2) com t R soparalelas pois (8, 2) = 2 (4,1) . Neste caso, o = 2.

As retasx = b t

ex = a+ b t

so paralelas.No plano R2, sendo a = (a1, a2), b = (b1, b2) e x = (x1, x2), podemos desmembrar a

equao vetorial da reta x = a+ b t as equaes paramtricas so da forma

x1 = a1 + b1t

x2 = a2 + b2t

com t percorrendo o conjunto dos nmeros reais. Eliminando t dessas duas equaes,obtemos b2(x1 a1) = b2(x2 a2). Reordenando os termos obtemos

Ax1 +Bx2 = C

onde A, B e C so nmeros reais. Esta a equao geral da reta.

Exemplo 6 Se a equao geral de uma reta do R2 for 2x1 3x2 = 6, podemos explicitarx1 e escrever x2 = (2/3)x12. Usando x1 como parmetro, chegamos s seguintes equaesparamtricas

x1 = t e y2 = (2/3)t 2

que resulta na equao vetorial

x = (0,2) + t(1, 2/3)

onde t percorre o conjunto dos nmeros reais.


Figura 1.1:

Figura 1.2:

Exemplo 7 Se a equao geral de uma reta do R2 for x1 = 5, podemos usar o x2 comoparmetro para obter as equaes paramtricas

x1 = 5 e x2 = t com t R,

que geram a equao vetorial

x = (5, 0) + t(0, 1), t R.

Sendo p e q dois pontos do Rn, o conjunto

pq = {x Rn : x = p+ t(q p) com 0 t 1 } chamado segmento de reta com extremidades em p e q. A reta que contm osegmento chamada de reta suporte do segmento.O segmento de reta com extremidades em p e q pode ser percorrido de p para q ou no

sentido contrrio, de q para p. Podemos estabelecer que um desses sentidos de percurso o positivo. Quando se estabelece o sentido de percurso positivo, se diz que o segmentode reta est orientado. Sendo positivo o sentido de percurso de p para q, se diz que p o ponto inicial e que q o ponto final do segmento e neste caso se escreve pq paraindicar que o segmento de reta orientado e o sentido positivo de percurso de p paraq. O segmento de reta orientado pq chamado de vetor deslocamento de p para q.A equao vetorial

x = p+ t(q p) : 0 t 1

percorre o segmento de reta orientado pq no sentido positivo de percurso.O vetor posio de um ponto x do Rn o vetor deslocamento com ponto inicial

em 0 = (0, 0, . . . , 0) e ponto final em x. Em lugar de escrever0x para designar o vetor

posio de x, usaremos freqentemente a notao x , que mais simples.No conjunto de todos os vetores posio noRn podemos definir duas operaes. Sejam

x e y dois pontos do Rn e um nmero real. Sendo x o vetor posio de x e y o vetorposio de y, definimos a adio

x +y


como sendo o vetor posio de x+ y e a multiplicao

ax

como sendo o vetor posio de ax.Usando as propriedades das operaes no Rn, pode-se provar que o conjunto dos

vetores posies, com as operaes de adio e multiplicao acima definidas, um espaovetorial.

1.5 Distncia e norma

Sendo x1 e y1 dois nmeros reais, a distncia entre eles dada por

d(x1, y1) = |x1 y1| =q(x1 y1)2.

Sendo x = (x1, x2) e y = (y1, y2) dois pontos do R2, a distncia entre eles dado peloteorema de Pitgoras

d(x,y) =q(x1 y1)2 + (x2 y2)2.

Sendo x = (x1, x2, x3) e y = (y1, y2, y3) dois pontos do R3, a distncia entre eles, aindaobtida pelo teorema de Pitgoras

d(x,y) =q(x1 y1)2 + (x2 y2)2 + (x3 y3)2.

Podemos agora generalizar para o Rn. Sendo x = (x1, x2, . . . , xn) e y = (y1, y2, . . . , yn)dois pontos do Rn, definimos a distncia entre eles por

d(x,y) =q(x1 y1)2 + (x2 y2)2 + + (xn yn)2.

A norma kxkde um ponto x = (x1, x2, . . . , xn) do Rn , por definio, sua distnciaat a origem do Rn, isto ,

kxk = d(x,0)ou seja,

kxk =qx21 + x

22 + + x2n.

Se observa qued(x,y) = kx yk .

O smbolo de somatrio pode ser usado para escrever as expresses de distncia enorma de modo conciso

d(x,y) =

vuut nXk=1

(xk yk)2

kx yk =vuut nX

k=1

(xk yk)2


A norma apresenta as propriedades que seguem. Sendo x e y dois pontos do Rn e aum nmero real, ento

1. kxk 0 e kxk = 0 se e s se x = 0.2. kaxk = |a| kxk3. kx+ yk kxk+ kykA duas primeiras propriedades so evidentes e a ltima requer a desigualdade de

Schwarz para ser demonstrada. Sendo x = (x1, x2, . . . , xn) um ponto do Rn ento

|xk| kxk n max1kn

|xk| ,

ondemax1kn

|xk| = max {|x1| , |x2| , . . . , |xn|} .A distncia apresenta as propriedades que seguem. Sendo x, y e z pontos do Rn e

um nmero real, ento

1. d(x,y) 0 e d(x,x) = 0 se e s se x = 0.

2. d(x,y) = d(y,x)

3. d(x, z) d(x,y) + d(y, z)

A prova das duas primeiras propriedades so evidentes e a terceira necessita da de-sigualdade de Schwarz.

1.6 Desigualdade de Schwarz

Sejam x1, x2, . . . , xn e y1, y2, . . . , yn nmeros reais. Ento vale a desigualdade deSchwarz

nXk=1

xkyk

!2

nXk=1

x2k

nXk=1

y2k

Prova. Quando y21+y22+ +y2n = 0, ento y1 = y2 = = yn = 0 e tantoPn

k=1 xkykquanto

Pnk=1 x

2k

Pnk=1 y

2k so iguais a zero. Deste modo, vale a igualdade na desigualdade

acima.Quando y21 + y

22 + ...+ y

2n 6= 0, dado qualquer t real, tem-se

0 nX

k=1

(xk + tyk)2 =nX

k=1

(x2k + 2txkyk + t2y2k)

=nX

k=1

x2k + 2tnX

k=1

xkyk + t2nX

k=1

y2k


Sendo

A =nX

k=1

y2k

B =nX

k=1

xkyk

C =nX

k=1

x2k

chegamos inequaoAt2 + 2Bt+ C 0 ,

vlida para todo t real. Com A > 0, isto ocorre se e s se

= 4B2 4AC 0

ouB2 AC

que nos leva desigualdade de SchwarznX

k=1

xkyk

!2

nXk=1

x2k

nXk=1

y2k.

Sejamx = (x1, x2, . . . , xn) e y = (y1, y2, . . . , yn)

duas nuplas de nmeros reais. Definimos o produto interno entre x e y por

x y =nX

k=1

xkyk .

Como

x x =nX

k=1

x2k = kxk2 e y y =nX

k=1

y2k = kyk2

podemos reescrever a desigualdade de Schwarz na forma

(x y)2 kxk2 kyk2

ou, extraindo a raiz quadrada,|x y| kxk kyk


Agora j podemos demonstrar a desigualdade triangular para a norma. De fato,

kx+ yk2 = (x+ y) (x+ y) = x x+ 2x y + y y kxk2 + 2 kxk kyk+ kyk2 = (kxk+ kyk)2

Extraindo a raiz quadrada, chega-se desigualdade triangular.Como d(x,y) = kx yk se prova que

d(x,y) d(x, z)+d(z,y).

De fato, adicionando z e aplicando a desigualdade triangular, vem

d(x,y) = kx yk = kx z+ z yk

kx zk+ kz yk = d(x, z)+d(z,y)

1.7 Produto escalar

Como definimos, dadas duas nuplas de nmeros reais

x = (x1, x2, ..., xn) e y = (y1, y2, ..., yn)

definimos o produto interno ou produto escalar de ambas por

x y = x1y1 + x2y2 + + xnyn =nX

k=1

xkyk

Esta operao leva um par de nuplas num nmero real e possui as seuintes pro-priedades: Sendo a um nmero real e x, y, z trs nuplas de nmeros reais, ento,

1. x x 0 e x x = 0 se e s se x = 0.

2. x y = y x

3. x (y + z) = x y+ x z

4. (ax) y = x (ay) = a(x y)

A prova de todas essas propriedades saem diretamente das propriedades do somatrio.


Figura 1.3:

1.8 ngulo

Dadas duas nuplas de nmeros reais

x = (x1, x2, . . . , xk) e y = (y1, y2, ..., yn)

tem-se, de acordo com a desigualdade de Schwarz,

|x y| kxk kyk .Quando x 6= 0 e y 6= 0 segue que

x ykxk kyk

1,

o que garante a existncia de um nico nmero real no intervalo[0, ] tal que

cos =x ykxk kyk .

Este real chamado de ngulo entre os vetores posies de x e y ou ainda dengulo entre as nuplas x e y.Os vetores posies de x e y so ditos ortogonais se x y = 0, quando ento, = /2.

1.9 Ortogonalidade

Duas retas dadas pelas equaes vetoriais

x = a+ tp

ex = b+ tq

onde t percorre o conjunto dos nmeros reais so ortogonais se

p q = 0 .Exemplo 8 As retas x = (1, 2, 7) + t(1,2, 1) e x = (2, 0, 3) + t(2, 1, 0), onde t oparmetro, so ortogonais. De fato,

(1,2, 1) (2, 1, 0) = 2 2 + 0 = 0


Figura 1.4:

Figura 1.5:

1.10 Vizinhana

O conjunto dos nmeros reais representado geometricamente pela reta euclidiana. Sendox e y dois nmeros reais, a distncia entre eles dada por

d(x, y) = |x y|

onde |x| o mdulo de x. Dados r > 0 e x0 real, o conjunto

{x R : |x x0| < r }

um intervalo aberto com centro em x0 e raio r.O conjunto dos pares ordenados de nmeros reais representado geometricamente pelo

plano euclidiano. Sendo x = (x1, x2) e y = (y1, y2) dois pares ordenados de nmeros reais,a distncia entre eles dada pelo teorema de Pitgoras

d(x,y) =p(x1 y1)2 + (x2 y2)2 = kx yk .

Dados r > 0 e x0 no R2, o conjunto

{x R2 : kx x0k < r }

um crculo aberto com centro em x0 e raio r sem a circunferncia que o limita.O espao euclideano usado para representar o R3. Dados x = (x1, x2, x3) e y =

(y1, y2, y3) no R3, o teorema de Pitgoras fornece a distncia entre eles

d(x,y) =p(x1 y1)2 + (x2 y2)2 + (x3 y3)2 = kx yk .


Figura 1.6:

Figura 1.7:

Dados r > 0 e x0 no R3, o conjunto

{x R3 : kx x0k < r } uma esfera aberta com centro em x0 e raio r sem a superfcie que a limita.De modo geral, sendo x0 uma nupla de nmeros reais, define-se a bola aberta com

centro em x0 e raio r > 0 ao conjunto

B0(x0, r) = {x Rn : 0 < kx x0k < r} .Na reta, as bolas abertas so os intervalos abertos, no plano so os discos sem a circun-ferncia que o limita e no espao R3 so as esferas sem as superfcies que as limitam.Seja A um conjunto do Rn e x0 um ponto de A. O ponto x0 um ponto interior de

A se existir um nmero real r > 0 tal que a B(x0, r) est contida em A.Um conjunto A aberto quando for vazio ou quando todos os seus pontos forem

pontos interiores.Seja A um conjunto do Rn e x0 um ponto do Rn. O ponto x0 um ponto de

acumulao de A se, para todo r > 0, a bola aberta perfurada B0(x0, r) tiver pontos deA. Os pontos de acumulao de um conjunto no precisam pertencer ao conjunto.O ponto p um ponto fronteira de D se toda bola aberta com centro nele tiver

pontos em D e no seu complementar. A fronteira de D o conjunto formado por todosos seu pontos fronteira.Um ponto p um ponto isolado do conjuntoD se pertence a ele mas existe uma bola

aberta com centro em p e raio positivo que no possui ponto de D. Os pontos isolados


Figura 1.8:

pertencem fronteira do conjunto. Todo ponto interior de um conjunto tambm pontode acumulao deste conjunto.

Captulo 2

Funo vetorial com varivel real

Neste captulo vamos estudar as funes com domnio em um conjunto I de nmeros reaise imagem no Rn. Em outras palavras, estudaremos as funes

f : I R Rn

que so chamadas de funes vetoriais de varivel real. Em geral, I um intervalode nmeros reais ou a unio de um nmero finito de intervalos. Como exemplo citamos

f(t) = (cos t, sin t),

com t no intervalo [0, 2],g(t) = (t, t2),

com t no intervalo [2, 2] eh(t) = (2 cos t, 2 sin t, 3t)

com t no intervalo [0, 4].Toda funo

f : I R Rn

pode ser colocada na forma

f(t) = (f1(t), f2(t), ..., fn(t))

onde cada fk(t) uma funo real, com domnio em I. Cada uma das funes fk chamadade componente de f .Quando o domnio no for especificado, entende-se que ele o maior conjunto de

nmeros reais no qual as expresses que definem as componentes de f fazem sentidocomo funes reais. Este domnio ser chamado de domnio natural de f . Dentro desseesprito, o domnio natural de

f(t) =ln t,

1 t2

17


o intervalo (0, 1].Para essas funes definimos a adio e a multiplicao por um nmero real, como

segue. Sejamf(t) e g(t)

duas funes com domnio em um conjunto I de nmeros reais. Definimos a funo f + gcom domnio em I por

(f + g)(t) = f(t) + g(t)

para todo t em I. A operao chamada de adio de f com g e f+g a soma de f comg. Sendo (t) uma funo real com domnio em I, definimos a funo f com domnioem I por

(f)(t) = (t)f(t)

para todo t em I. A operao chamada de multiplicao de por f e f o produto de por f . Sendo um nmero real, temos tambm a funo f definida em I por

(f)(t) = f(t)

para todo t em I. Tambm se define o produto escalar de f com g como sendo a funodefinida em I por

(f g)(t) = f(t) g(t)para todo t em I. Em f(t) g(t) o ponto indica o produto escalar de f(t) por g(t).No caso particular do R3, sendo f = (f1, f2, f3) e g = (g1, g2, g3) duas funes vetoriais

de varivel real, define-se a funo f g por

(f g)(t) = f(t) g(t)

onde f(t) g(t) o produto vetorial de f(t) por g(t) que, de acordo com a definio,

(f g)(t) = ( f2(t)g3(t) f3(t)g2(t),f3(t)g1(t) f1(t)g3(t),f1(t)g2(t) f2(t)g1(t) )

Sendof(t) = (t, t+ 1) , g(t) = (t2, 2t) , (t) = et

funes vetoriais definidas em toda e a reta, ento

(f + g)(t) =t+ t2, 3t+ 1

(f) (t) =

tet, (t+ 1)et

(3f)(t) = (3t, 3t+ 3),

(f g)(t) = t3 + 2t2 + 2t


2.1 Limite

Seja f uma funo com domno em um conjunto I de nmeros reais e imagem no Rn.Ento, para cada t em I,

f(t) = ( f1(t), . . . , fn(t) )

onde fk uma funo com domnio em I e valores em R, para k = 1, 2, . . . , n. Seja t0um ponto de acumulao de I. Se f1, f2, . . . , fn possuirem limite em t0, diremos que ftem limite em t0 e a nupla

( limtt0

f1(t), . . . , limtt0

fn(t) )

ser chamada de limite de f em t0 e ser denotada por

limtt0

f(t).

Figura 2.1:

Em sntese, sef(t) = ( f1(t), f2(t), . . . , fn(t) )

e todas as funes reais fk, com k = 1, 2, . . . , n tiverem limite em t0, ento f tem limiteem t0 e

limtt0

f(t) = ( limtt0

f1(t), limtt0

f2(t), . . . , limtt0

fn(t) ).

Usando as propriedades do limite para funes reais, pode-se provar o teorema quesegue.

Teorema 9 Sejam f e g duas funes vetoriais de varivel real, definidas num conjuntoI de nmeros reais. Seja uma funo real, definida para todo t em I. Se , f e g tiveremlimite em t0 ento f + g, f g e f tero limite em t0 e

limtt0

[f(t) + g(t)] = limtt0

f(t) + limtt0

g(t)

limtt0

[f(t) g(t)] = limtt0

f(t) limtt0

g(t)

limtt0

[(t)f(t)] = limtt0

(t) limtt0

f(t)


Quando n = 3, tambm vale

limtt0

[f(t) g(t)] = limtt0

f(t) limtt0

g(t).

2.2 Continuidade

Uma funo vetorial de varivel real f contnua em um ponto t0 se

limtt0

f(t) = f(t0).

Para que isto ocorra preciso que t0 esteja no domnio da f que, alm disso tem limiteem t0 igual ao valor de f em t0.Se

f(t) = ( f1(t), f2(t), . . . , fn(t) ),

ento f continua em t0 se e s se cada uma de suas componentes fk forem contnuas emt0.Se diz que f contnua em um conjunto se for contnua em todos os pontos deste

conjunto. Se f for contnua em seu domnio, se diz apenas que f contnua.Dentro desse esprito, a funo vetorial

f(t) = (log t,t2 + 2t 3 ),

cujo domnio natural a unio dos intervalos (0, 3) e (3,), contnua, pois cada umadas suas componentes contnua em todos os pontos desses intervalos.

2.3 Derivada

Seja f(t) uma funo vetorial de varivel real t, definida em um conjunto I de nmerosreais. Esta funo derivvel em t0 se o limite

limtt0

f(t) f(t0)t t0

existir. Observe que t0 deve pertencer ao domnio de f e ser um ponto de acumulaodesse conjunto. O limite acima, quando existe, recebe o nome de derivada de f no pontot0, e denotado por

f 0(t0) oudfdt(t0)

Sendo f = ( f1, f2, . . . , fn ), ento f ser derivvel em t0 se e s se cada uma dassuas componentes for derivvel em t0 e

dfdt(t0) =

df1dt(t0),

df2dt(t0), . . . ,

dfndt(t0)


Quando uma funo real derivvel em um ponto t0 ela contnua em t0. Assim, sef for derivvel em t0, ento ser contnua em t0.Usando a propriedade das derivadas das funes reais, pode-se provar o teorema que

segue.

Teorema 10 Sejam f e g duas funes vetoriais com varivel real, ambas definidas emum conjunto I de nmeros reais. Seja uma funo real definida em I. Se f , g e foremderivveis em t0, ento f + g, f e f g sero derivveis em t0 e

d(f + g)dt

(t0) =dfdt(t0) +

dgdt(t0)

d(f)dt

(t0) =ddt(t0)f(t0) + (t0)

dfdt(t0)

d(f g)dt

(t0) =dfdt(t0) g(t0) + f(t0) dgdt (t0)

Em particular, quando (t) for uma funo constante, denotando por o seu valor, temos

d(f)dt

(t0) = dfdt(t0)

Quando as imagens de f e g estiverem no R3, a funo f g tambm ser derivvel ed(f g)

dt(t0) =

dfdt(t0) g(t0) + f(t0) dgdt (t0)

Exemplo 11 Seja f(t) uma funo vetorial de varivel real, definida e derivvel em todoponto de um intervalo I de nmeros reais. Se f(t) tiver mdulo constante, ento

f(t) dfdt(t) = 0.

De fato, sendo kf(t)k =M constante, ento f(t) f(t) =M2. Derivando os dois lados emrelao a t, obtemos

dfdt(t) f(t) + f(t) df

dt(t) = 0.

Como o produto escalar comutativo, obtemos

2f(t) dfdt(t) = 0

ou

f(t) dfdt(t) = 0.

Este exemplo nos mostra que, se o campo vetorial tem norma constante, sua derivada ortogonal ao campo.


2.4 Curva

A imagem de uma funo vetorial com valores reais f(t) definida e contnua num intervaloI de nmeros reais chamada de curva do Rn. A curva parametrizada por f e estafuno uma parametrizao da curva. O argumento t de f o parmetro usado paradescrever a curva.

Exemplo 12 A curva do R2 parametrizada por

f(t) = (1 + 5 cos t, 3 + 5 sen t),

onde t percorre o intervalo [0, 2], uma circunferncia com centro no ponto (1, 3) e raiomedindo 5 unidades de medida.

Exemplo 13 A curva do R2 parametrizada por

f(t) = (2 cos t, 7 sen t),

onde t percorre o intervalo [0, 2], uma elipse com centro no ponto (0, 0) e semi-eixosiguais a 2 e 7.

Exemplo 14 Seja y = g(t) uma funo real, contnua, definida no intervalo [a, b]. Seugrfico uma curva no R2, que pode ser parametrizada por

f(t) = ( t, g(t) ),

com t percorrendo o intervalo [a, b].

Seja f(t) uma parametrizao da curva . Se f(t) for derivvel num ponto t0, a derivada

f 0(t0) = limtt0

f(t) f(t0)t t0

chamada de vetor tangente no ponto f(t0). A reta cuja equao vetorial

x = f(t0) + s f 0(t0),

onde s percorre o conjunto dos nmeros reais, chamada de reta tangente curva noponto f(t0).Uma curva regular se possuir pelo menos uma parametrizao f(t), cuja derivada

existe, contnua e no nula em todos os pontos do seu domnio. Neste caso, f(t) chamada de parametrizao regular. Sendo a derivada contnua, as retas tangentes a em f(t0) tero um coeficiente angular f 0(t0) que varia continuamente com t0, impedindoa existncia de quinas em , quando a direo da reta tangente muda bruscamente.


Exemplo 15 Considere a hlice parametrizada por f(t) = (2 cos t, 2 sin t, 3t). Como

f 0(t) = (2 sin t, 2 cos t, 3),

entof 0(0) = (0, 2, 3).

A equao vetorial da reta tangente hlice no ponto f(0) = (2, 0, 0)

x = f(0) + f 0(0),

onde o parmetro percorre o conjunto dos nmeros reais. Substituindo os valores obtidospara f(0) e f 0(0), obtemos

x = (2, 0, 0) + (0, 2, 3) = (2, 2, 3)

sendo que o parmetro percorre os reais.

2.5 Comprimento de uma curva

Seja f(t) a parametrizao de uma curva suave, onde o parmetro t percorre o intervalo[a, b]. Para chegar a uma definio adequada para o comprimento da curva parametrizadapor f , definimos uma partio

P = {a = t0 < t1 < < tm = b}do intervalo [a, b] que define na curva uma linha poligonal com vrtices sobre os pontos

f(a), f(t1), . . . , f(tm1), f(b)

da curva. Nota-se que essa poligonal se aproxima mais da curva quando se refina apartio. Para calcular o comprimento da linha poligonal, basta calcular o comprimentode cada segmento e som-los todos.O comprimento do ksimo segmento da poligonal dado por

kf(tk) f(tk1)k =q[f1(tk) f1(tk1)]2 + + [fn(tk) fn(tk1)]2

onde fi, i = 1, 2, . . . , n, so as componentes da parametrizao f . Supondo que essascomponentes satisfaam s hipteses do teorema do valor mdio,

kf(tk) f(tk1)k =q[f 01(pk1)]

2 + + [f 0n(pkn)]2tkonde tk = tk tk1 e pk1, pk2, . . . , pkn so pontos do intervalo [tk1, tk].O comprimento da poligonal dada por

mXk=1

kf(tk) f(tk1)k =mXk=1

q[f 01(pk1)]

2 + + [f 0n(pkn)]2tk (a)


A soma Riemann da funo

kf 0(t)k =q[f 01(t)]

2 + + [f 0n(t)]2

em relao partio P

mXk=1

kf 0(pk)ktk =mXk=1

q[f 01(pk)]

2 + + [f 0n(pk)]2tk (b)

onde pk pertence ao intervalo [tk1, tk]. Esta soma de Riemann difere do comprimentoda poligonal apenas pelo fato de que, ao calcular o comprimento da poligonal, cada umadas parcelas sob a raiz calculada em um ponto distinto, embora todos permaneam nointervalo [tk1, tk]. Como a soma de Riemann em (b) converge paraZ b

a

kf 0(t)k dt,

medida que se refina a partio P, de se esperar que os comprimentos das poligonaisexpressos em (a) convirjam para a mesma integral, medida que se refina a partioP. Logo, vamos definir o comprimento L da curva parametrizada por f como sendo onmero real

L =Z ba

kf 0(t)k dt.

Pode-se provar que o comprimento de uma curva no depende de sua parametrizao.

Exerccio 16 Vamos tomar a circunferncia do R2 com centro no ponto (x0, y0) e raior > 0, que pode ser parametrizada por

f(t) = (x0 + r cos t, y0 + r sen t)

com t percorrendo o intervalo [0, 2]. Para esta parametrizao temos

f 0(t) = (r sen t, r cos t)

e

kf 0(t)k =q(r sen t)2 + (r cos t)2 = r

de modo que o comprimento da circunferncia igual a

L =Z 20

kf 0(t)k dt =Z 20

rdt = 2r ,

coincidindo com o valor fornecido pela Geometria Euclidiana.


Exemplo 17 Seja g : [a, b] R uma funo real contnua. O seu grfico uma curva doR2. Tal curva pode ser parametrizada por f(t) = ( t, g(t) ), com t percorrendo o intervalo[a, b].Sendo f 0(t) = (1, g0(t)), o comprimento dessa curva igual a

L =Z ba

p1 + [g0(t)]2dt

Tomando, por exemplo, g(t) = t2, com t [0, 1], o comprimento do seu grfico igual a

L =Z 10

1 + 4t2dt =

1

2

5 +

1

4ln2 +

5.

2.6 Reparametrizao pelo comprimento de arco

Seja uma curva parametrizada por f(t), com t percorrendo o intervalo [a, b]. O compri-mento do segmento de curva que vai de f(a) at f(t)

s(t) =Z ta

kf 0()k d.

Quando a parametrizao for regular, kf 0()k > 0 para todo no intervalo [a, b], de modoque a funo s = s(t) estritamente crescente e, portanto, bijetora sobre [0, L], onde

L =Z ba

kf 0()k d

o comprimento de . Uma funo real bijetora inversvel. Sendo t = t(s) a inversa des = s(t), a funo g definida em [0, L] por

g(s) = f( t(s) ),

parametriza a mesma curva pois, tanto f quanto g possuem a mesma imagem. A funog chamada de parametrizao de pelo comprimento de arco.

Exemplo 18 Sejam x, y e r > 0 nmeros reais. Consideremos a circunferncia

f(t) = (x+ r cos t, y + r sen t)

onde t [0, 2]. Vamos reparametriz-la pelo comprimento de arco. Calculamos

s = s(t) =Z t0

kf 0()k d =Z t0

r d = r t.

A inversa da funo s = r t t =

sr.


Logo,

g(s) = fsr

=x+ r cos

sr, y + r sen

sr

a parametrizao da circunferncia pelo comprimento de arco. Nela, s percorre o inter-valo [0, 2r].

Exemplo 19 Vamos reparametrizar o segmento de reta definido por

f(t) = (2 + 3t, 5 7t)

com t [0, 1] pelo comprimento de arco. Calculamos

s = s(t) =Z t0

kf 0()k d =Z t0

p32 + (7)2d = t

58

que pode ser invertidat = t(s) = s/

58

e a parametrizao pelo comprimento de arco

g(s) = f

s58

=

2 + 3

s58

, 5 7 s58

onde s pertence ao intervalo

0,58.

2.7 Comprimento em coordenadas polares

Em lugar de especificar um ponto no plano mediante suas coordenadas cartesianas (x, y),podemos especific-lo atravs de suas coordenadas cartesianas (r, ), onde r sua distnciaat a origem e o ngulo que o vetor posio do ponto forma com o semi-eixo positivohorizontal. Este ngulo medido a partir do semi-eixo positivo, at o vetor posio,no sentido anti-horrio. Deste modo, pertence ao intervalo [0, 2). A relao entre ascoordenadas polares (r, ) de um ponto e suas coordenadas cartesianas (x, y)

x = r cos

y = r sen

Do mesmo modo que se pode fornecer uma curva relacionando as coordenadas x e y deseus pontos mediante uma funo y = f(x), pode-se estabelecer a curva relacionando ascoordenadas polares r e de seus pontos mediante uma funo

r = ()

com percorrendo algum intervalo [a, b].


Tal curva pode ser parametrizada por , mediante as frmulas

x = r cos = () cos

y = r sen = () sen

que leva parametrizao

() = (() cos , () sen )

com [a, b]. Para calcular o comprimento da curva, precisamos calcular

0() = (0() cos () sen , 0() sen + () cos ).

Calculando

k0(t)k =q[0() cos () sen ]2 + [0() sen + () cos ]2

=

q[0()]2 + [()]2

obtemos o comprimento da curva

L =Z ba

p[0()]2 + [()]2d.

Exemplo 20 Vamos calcular o comprimento da curva definida pela relao entre as co-ordenadas polares (r, ) de seus pontos, sendo

r = 2

com [0, 4]. Esta curva uma espiral que d duas voltas em torno da origem e que sedistancia da origem com . Neste caso, () = 2 + 1 e assim,

L =Z 40

p4 + 42d

= 4p(1 + 162) + ln

4 +

1 + 162

.

Captulo 3

Campos Escalares

Vamos nesse captulo, estudar os conceitos de limite e continuidade dos campos es-calares, assim chamadas as funes com domnio em um conjunto do Rn e imagem nareta.Os campos escalares deste captulo sero funes com domnio em um conjunto D do

Rn e imagem no conjunto de nmeros reais

f : D Rn R .

Se (x, y) designar um par ordenado de nmeros reais, ento

f(x, y) = x+ y,

g(x, y) = x2 + cosx

so campos escalares definidos em todo o R2. Sendo ainda (x, y) um par ordenado denmeros reais,

f(x, y) = ln(1 x2 y2)

um campo escalar definido em

D = {(x, y) R2 : x2 + y2 < 1}.

Sendo (x, y, z) um terno ordenado de nmeros reais, um exemplo de campo escalar definidono R3

f(x, y, z) = |x|+ |y|+ exp(x+ y + z) .Quando no se especifica o domnio de um campo, entende-se que se est considerandoo seu domnio natural, formado por todos os pontos do Rn nos quais a expresso quedefine f fornece um nmero real.Na Fsica, surgem campos escalares no estudo da presso e temperatura em uma

regio do espao. Se (x, y, z) forem as coordenadas de um ponto da regio considerada et designar o tempo, ento a temperatura T e a presso p sero funes de (x, y, z, t), isto,

29


Figura 3.1:

T = T (x, y, z, t) e p = p(x, y, z, t),

sendo assim campos escalares, cujos domnios esto contidos no R4. Aqui, como usual em Fsica, usamos a mesma letra para designar a funo e o seu valor em um ponto.Tambm lembramos que dois corpos puntiformes, de massas m1 e m2, situados nos

pontos de coordenadas p1 = (x1, y1, z1) e p2 = (x2, y2, z2) induzem num ponto de coorde-nadas p = (x, y, z) um campo gravitacional, cujo potencial

V (x, y, z, x1, y1, z1, x2, y2, z2) = Gm1

kp p1k Gm2

kp p2k .

O domnio deste campo escalar est contido em R9.

3.1 Grfico de um campo escalar

Dado um campo escalar f definido em um conjunto D do R2, a representao em R3 dospontos do conjunto

G = { (x, y, z) R3 : (x, y) D e z = f(x, y) }

chamada de grfico de f. Tambm se d ao conjunto G o nome do grfico de f.O conjunto G resulta no que se entende por superfcie do R3. Para efetuar a visualiza-

o manual desta superfcie, o melhor caminho consiste em fazer a interseo da superfciescom planos, que resultam em curvas cuja visualizao propicia a formao visual da su-perfcie. Os planos auxiliares mais usados so os horizontais, os verticais paralelos aoeixo x e paralelos ao eixo y. Quando o grfico do campo uma superfcie de revoluoem torno do eixo z, os planos que inteseccionados com o grfico de f fornece informaesteis so aqueles que contm o eixo z.

Exemplo 21 Considere o campo escalar z = f(x, y) = x2 + y2. A interseco do grficode f com o plano x = 0 resulta na parbola z = y2. A interseco do grfico de f com o


Figura 3.2:

Figura 3.3:

plano y = 0 resulta na parbola z = x2 e a interseco do grfico de f com o plano z = 1resulta na circunferncia x2 + y2 = 1. Estas curvas fornecem uma visualizao do grficoda funo, que um parabolide.

Exemplo 22 A interseco do grfico do campo z =p1 x2 y2 com os planos x = 0,

y = 0 e z = 0, resultam, respectivamente, nas circunferncias z2 + y2 = 1, z2 + x2 = 1 ex2 + y2 = 1. O grfico deste campo uma semi-esfera.

Exemplo 23 As interseces do grfico do campo z = f(x, y) =px2 + y2 com os planos

y = 0, x = 0 e z = 1, resultam, respectivamente, nas retas z = x, z = x, z = y, z = ye na circunferncia x2 + y2 = 1.

3.2 Limite

Seja f um campo escalar com domnio em uma regio D do Rn e p0 um ponto deacumulao de D. Um nmero real L o limite de f em p0 se, para cada nmero real > 0 dado, possvel encontrar um nmero real > 0 (que pode depender de e p0) talque, para todo ponto p em D, com 0 < kp p0k < , tem-se |f(p) L| < .O limite L do campo escalar f no ponto p0 e ser denotado por

limpp0

f(p).


Figura 3.4:

Figura 3.5:

Exemplo 24 Seja f(x, y) = x para todo (x, y) do R2. Vamos mostrar que

lim(x,y)(x0,y0)

f(x, y) = x0.

De fato, dado > 0, seja = > 0. Assim, para todo (x, y) no R2 com 0 < |(x, y) (x0, y0)| < temos

|f(x, y) x0| = |x x0| k(x, y) (x0, y0)k < = ,provando o que havamos preconizado.Do mesmo modo se prova que, sendo f(x, y) = y para todo (x, y) do R2, ento

lim(x,y)(x0,y0)

f(x, y) = y0.

Exemplo 25 Vamos mostrar, usando apenas a definio, que o limite de f(x, y) = 2xy+y2 no ponto (x0, y0) = (2, 1) igual a 5. Devemos provar que, para cada > 0 dado, possvel apresentar um > 0 tal que, para todo (x, y) do R2, com 0 < k(x, y) (2, 1)k < se tem |2xy + y2 5| < . Para executar essa tarefa, supondo 0 < k(x, y) (2, 1)k < ,analisa-se que valor se deve atribuir a para obter |2xy + y2 5| < .Faamos o rascunho: Observamos que, se k(x, y) (2, 1)k < , ento |x 2| < e

|y 1| < . Assim,2xy + y2 5

=2(x 2)(y 1) + (y 1)2 + 2x+ 6y 10

=2(x 2)(y 1) + (y 1)2 + 2(x 2) + 6(y 1)

< (2 + + 2 + 6) = (3 + 8).


Colocamos o polinmio em termos de x 2 e y 1, que so as diferenas sobre as quaistemos controle. Para tanto, definimos duas novas variveis, z = x 2 e w = y 1.Substitumos x por z+2 e y por w+1. Desenvolvemos os produtos e voltamos s variveisx e y. Para continuar, dentre os valores possveis para , vamos nos restringir quelesmenores do que ou iguais a 1, isto , 1. Esta escolha foi arbitrria, feita baseadaapenas no fato de que fcil operar com o nmero 1. Desta forma, 3+8 11 e chegamosa

2xy + y2 5< 11.

Para se ter 2xy + y2 5

<

basta que /11.

Temos duas restries sobre que so 1 e /11. Para que ambas sejam satisfeitas,basta tomar

= min{1, /11}.Exemplo 26 Vamos mostrar, usando a definio que

lim(x,y)(1,2)

2xyx+ y

=4

3.

Devemos provar que, para cada > 0, possvel mostrar que existe > 0 tal que, paratodo x+ y 6= 0 com 0 < k(x, y) (1, 2)k < , obtemos

2xyx+ y

43

< .

Para tanto, devemos partir do pressuposto de que o tal existe. Se 0 < k(x, y) (1, 2)k 3 1 1 = 1.Voltando ao mdulo original,

2xyx+ y

43

0.Provamos que, a cada > 0 existe = min{1, 3/16} > 0 tal que, para todo x + y 6= 0com 0 < k(x, y) (1, 2)k < , obtemos

2xyx+ y

43

< ,

que a tese pretendida.

Seja L um nmero real, f(p) um campo escalar com domnio em um conjunto Dcontido no Rn e p0 um ponto de acumulao de D. So equivalentes os trs limites abaixo

limpp0

f(p) = L,

limpp0

( f(p) L ) = 0,

limpp0

| f(p) L | = 0.

Para ver esta equivalncia, basta escrever os limites em termos de epsilons e deltas e verque as definies so perfeitamente equivalentes.A definio de limite, crua e nua, no informa o procedimento que deve ser seguido

para determin-lo. Para facilitar esta tarefa, precisamos de resultados adicionais que seroprovados a seguir.

Teorema 27 Se um campo escalar f tiver limite em um ponto, ento o limite nico.

Prova. Se f possuisse dois limites distintos L1 e L2 em p0, a distncia d = |L1 L2|entre eles seria maior do que zero. Dado = d/3 > 0, existiria > 0 tal que, para todop em D, com 0 < kp p0k < teramos

|f(p) L1| < e |f(p) L2| < .

Se assim fosse, para qualquer p em D com 0 < kp p0k < teramos

d = |L1 L2| |L1 f(p)|+ |f(p) L2| < 2 = 2d/3 < d.

Ora, a desigualdade d < d absurda. Logo, L1 = L2.

Os limites de campos escalares da forma

f1(x, y) = x3, f2(x, y) = cosx

num ponto (x0, y0) podem ser calculados atravs do resultado mostrado no exemplo quesegue.


Exemplo 28 Seja I um conjunto de nmeros reais e g : I R uma funo real, contnuano ponto x0. Seja f : I R R o campo escalar definido por

f(x, y) = g(x),

que, como se observa, depende apenas de x. Sob essas hipteses, f(x, y) tem limite em(x0, y0) e

lim(x,y)(x0,y0)

f(x, y) = g(x0).

De fato, sendo g contnua em x0, para cada > 0, existe > 0 tal que, para todo xem I, com |x x0| < tem-se |g(x) g(x0)| < . Assim, para todo (x, y) em I R, com0 < k(x, y) (x0, y0)k < , tambm vale a desigualdade |x x0| < de modo que

|f(x, y) g(x0)| = |g(x) g(x0)| < ,provando o que havamos proposto.

Agora podemos escrever, por exemplo, que

lim(x,y)(x0,y0)

x3 = x30 , lim(x,y)(x0,y0)

cosx = cosx0.

No podemos usar este resultado para calcular os limites dos campos

f1(x, y) =senxx

e f2(x, y) = (1 + x)1/x

no ponto (0, 1), dado que as funes envolvidas senx/x e (1 + x)1/x so descontnuas emx = 0. Todavia, pode-se modificar levemente o exemplo anterior para obter um resultadoque se aplica aos campos f1 e f2.

Exemplo 29 Seja x0 um ponto de acumulao de um conjunto I de nmeros reais masque no pertence a I.Seja g : I R uma funo real que possui limite em x0.Seja f : I R R o campo escalar definido por

f(x, y) = g(x).

Como se nota, este campo depende apenas de x.Sob estas condies, f(x, y) tem limite em (x0, y0) e

lim(x,y)(x0,y0)

f(x, y) = limxx0

g(x) .

De fato, sendo L = limxx0 g(x), dado > 0, existe > 0 tal que, para todo x em I,com 0 < |x x0| < tem-se |g(x) L| < . Observando que x0 no pertence a I, paratodo (x, y) em I R, com 0 < k(x, y) (x0, y0)k < , tem-se 0 < |x x0| < e assim

|f(x, y) L| = |g(x) L| < ,provando o que havamos proposto.


Usando este exemplo podemos escrever, para qualquer y0 real,

lim(x,y)(0,y0)

senxx

= limx0

senxx

= 1

elim

(x,y)(0,y0)(1 + x)1/x = lim

x0(1 + x)1/x = e .

Valem resultados anlogos se o campo f(x, y) for dependente apenas da varivel y.

Teorema 30 Sejam f e g dois campos escalares definidos em um conjunto D do Rn.Seja p0 um ponto de acumulao de D. Se f e g possurem limite em p0, ento f + g efg tero limites em p0, valendo ainda as igualdades

limpp0

[f(p) + g(p)] = limpp0

f(p) + limpp0

g(p)

limpp0

[f(p)g(p)] = limpp0

f(p) limpp0

g(p)

Se limpp0 g(p) 6= 0, ento f/g tem limite em p0 e vale igualdade

limpp0

f(p)g(p)

=limpp0 f(p)limpp0 g(p)

.

Este teorema pode ser generalizado para um nmero finito de parcelas ou fatores.Assim, se todos os campos escalares f1, f2, . . . , fk possuirem o mesmo domnio e limitesno ponto p0, ento

f1 + f2 + + fk e f1f2 fkpossuiro limites em p0, valendo ainda as igualdades

limpp0

[f1(p) + + fm(p)] = limpp0

f1(p) + + limpp0

fm(p)

elimpp0

[f1(p)f2(p) fm(p)] = limpp0

f1(p) limpp0

f2(p) limpp0

fm(p).

Exemplo 31 Os resultados obtidos nos permitem escrever

lim(x,y)(1,2)

(7xy2 + 4x2) = 7 lim(x,y)(1,2)

x lim(x,y)(1,2)

y2 + 4 lim(x,y)(1,2)

x2

= 7 4 + 4 = 32.

Um campo escalar do tipo

f(x, y) =X

i+jmai,jxiyj


onde ai,j, com i, j = 0, 1, . . . m, so nmeros reais chamado de campo polinomial noR2. Um campo dado pela razo de dois polinmios chamado de campo racional. Ageneralizao para dimenses maiores imediata. O campo

f(x, y) = 4xy2 3x2y + 7x 6 um exemplo de campo polinomial no R2 e

g(x, y) =x2 + 2yx2 + y4

um exemplo de campo racional.Sendo f(x, y) um campo polinomial nas variveis reais x e y, o teorema anterior garante

quelim

(x,y)(x0,y0)f(x, y) = f(x0, y0).

Quando f(x, y) e g(x, y) forem campos polinomiais e g(x0, y0) 6= 0, o teorema anteriorgarante ainda que

lim(x,y)(x0,y0)

f(x, y)g(x, y)

=f(x0, y0)g(x0, y0)

.

Quando o denominador de um campo racional for diferente de zero em um ponto, entoo seu limite neste ponto ser o seu valor neste ponto.Um campo escalar f contnuo em um ponto p0 do Rn se

limpp0

f(p) = f(p0).

Pelos teoremas provados, se f e g forem dois campos escalares contnuos em p0, entof + g e fg sero contnuos em p0. Quando g(p0) 6= 0, ento f/g tambm ser contnuoem p0.Se o campo f for contnuo em todos os pontos de um conjunto A, se diz que f

contnuo emA. Sendo f contnuo no seu domnio, diz-se simplesmente que f contnuo.Os campos polinomiais no Rn so contnuos em todo o Rn e os campos racionais no

Rn so contnuos em todos os pontos do Rn onde o denominador no se anula.

Exemplo 32 O clculo do limite

lim(x,y)(0,1)

x2 3xy2 + 4x 2xy + 6

imediato. Pelo que vimos, ele igual ao valor do campo no ponto (0, 1), que, para ocaso em questo, 4/6.

No podemos aplicar o teorema anterior para calcular ou mesmo verificar se o campoescalar

f(x, y) =x4 y4x2 + y2

tem limite no ponto (0, 0) pois o denominador se anula neste ponto.Entretanto, como o valor do limite de uma funo f em um ponto p0 s depende do

valor de f numa bola perfurada com centro em p0, natural o seguinte teorema.


Teorema 33 Sejam f e g dois campos escalares tais que f(p) = g(p) para todo p per-tencente a uma bola perfurada com centro em p0. Se

limpp0

g(p) = L

ento f tem limite em p0 elimpp0

f(p) = L .

Exemplo 34 Comox4 y4x2 + y2

= x2 y2

para todo (x, y) 6= (0, 0), podemos usar o teorema anterior para calcular o limite de

f(x, y) =x4 y4x2 + y2

no ponto (0, 0) pois

lim(x,y)(0,0)

x4 y4x2 + y2

= lim(x,y)(0,0)

x2 y2

= 0.

Definio 35 Sejam B e D dois subconjuntos do Rn com interseo no vazia. Umcampo escalar f : D R limitado em B se existir um nmero real M > 0 tal que|f(p)| M para todo p que est na interseo de D com B.

Exemplo 36 Vamos mostrar que as funes

f(x, y) =x2

x2 + y2e g(x, y) =

y2

x2 + y2

so limitadas em toda bola perfurada com centro em (0, 0).Sendo x e y nmeros reais, valem as desigualdades

x2 x2 + y2 e y2 x2 + y2.

Dividindo os dois membros por x2 + y2, segue

x2

x2 + y2 1 e y

2

x2 + y2 1

para todo (x, y) 6= (0, 0), provando que as funes em pauta so limitadas em toda bolaperfurada com centro em (0, 0).


Exemplo 37 Vamos mostrar que os campos escalares

f(x, y) =xy

x2 + y2, g(x, y) =

xy2

x2 + y4e h(x, y) =

x2yx4 + y2

so limitados em toda bola perfurada com centro em (0, 0).Para todo x e y reais, valem as desigualdades

(|x| |y|)2 0 , |x| y22 0 e x2 |y|2 0.Desenvolvendo os quadrados e reagrupando os termos adequadamente, seguem as de-

sigualdades|xy|

x2 + y2 12,

|x| y2x2 + y4

12

ex2 |y|x4 + y2

12,

vlidas para todo (x, y) 6= (0, 0).

Outro teorema que segue permite concluir que o limite em p0 do produto de doiscampos f(p) e g(p) nulo se um deles for limitado numa vizinhana perfurada comcentro em p0 e a outra possuir limite nulo neste mesmo ponto.

Teorema 38 Seja p0 um ponto de acumulao de um conjunto D contido no Rn. Sejamf e g dois campos escalares definidos em D. Se f for limitado numa bola aberta perfuradacom centro em p0 e

limpp0

g(p) = 0,

entolimpp0

f(p)g(p) = 0

Prova. Sendo f limitada numa bola perfurada com centro em p0 ento existemnmeros reais r > 0 e M > 0 tais que |f(p)| < M para todo p em D satisfazendo0 < kp p0k < r.Tendo g limite zero em p0, para todo > 0, existe > 0 para o qual

|g(p)| < /M

sempre que p D e 0 < kp p0k < . Desta forma, para todo p D que pertence auma bola perfurada com centro em p0 e raio igual ao mnimo entre r e , temos

|f(p)g(p)| = |f(p)| |g(p)| < M M= ,

provando assim o teorema.


Exemplo 39 Usando o resultado que acabamos de provar, mostra-se que

lim(x,y)(0,0)

xy2

x2 + y2= 0

pois

f(x, y) =xy

x2 + y2

limitado numa vizinhana perfurada de (0, 0) e g(x, y) = y tem limite nulo em (0, 0).

Da mesma forma,

lim(x,y)(0,0)

x3

x2 + y2= lim

(x,y)(0,0)

x2

x2 + y2x = 0

pois o primeiro fator limitado numa vizinhaa perfurada de (0, 0) e x tem limite igual azero neste ponto.Pode-se usar a mesma tcnica para mostrar que

lim(x,y)(0,0)

x2yx2 + y2

= 0 ,

lim(x,y)(0,0)

x2y2

x2 + y2= 0 ,

lim(x,y)(0,0)

x2y2

x2 + y4= 0 ,

lim(x,y)(0,0)

x2 sen(y)x2 + y2

= 0 ,

lim(x,y)(0,0)

x sin1

x2 + y2= 0 ,

lim(x,y)(0,0)

xypx2 + y4

= 0.

Como desafio, o leitor poder provar que realmente o zero o limite das funes envolvidas,usando a tcnica que acabamos de utilizar nos exemplos anteriores.

Teorema 40 Seja p0 um ponto de acumulao de um conjunto D contido no Rn. Umcampo escalar f(p) definido em D ter limite em p0 se e s se o campo f(p0+y) possuirlimite em 0 e vale a igualdade

limpp0

f(p) = limy0

f(p0 + y).


Exemplo 41 Mediante a mudana de varivel (x, y, z) = (0, 0, 1) + (x, y, w), obtemos

lim(x,y,z)(0,0,1)

(z 1)y2 + x3(z 1)2 + x2 + y2

= lim(x,y,w)(0,0,0)

wy2 + x3

w2 + x2 + y2.

Este limite igual a zero pois

y2

w2 + x2 + y2 1 e x

2

w2 + x2 + y2 1

e tanto w quanto x tendem a zero quando (x, y, w) tende a (0, 0, 0).

Um teorema importante para se calcular limite o do confronto.

Teorema 42 Seja p0 um ponto de acumulao de um conjunto D contido no Rn. Sejamf, g e h trs campos escalares com domnio em D. Se para todo p em D situado numavizinhana perfurada de p0 valerem as desigualdades

f(p) g(p) h(p).

e

limpp0

f(p) = limpp0

h(p) = L,

ento g tem limite em p0 e

limpp0

g(p) = L .

Prova. Como f e h possuem limite L em p0 e considerando-se as desigualdadesf(p) g(p) h(p) vlidas numa vizinhana perfurada de p0, para cada > 0 dado,existe > 0 tal que, para todo p emD para o qual 0 < kp p0k < , tem-se |f(p) L| < e |g(p) L| < . Dessas desigualdade se extrai

< f(p) L g(p) L h(p) L < ,

acarretando na desigualdade

|g(p) L| < ,o que prova ser L o limpp0 g(p).


3.3 Limite em sub-domnios

Seja f um campo escalar com domnio em um subconjunto D do Rn. Seja p0 um pontode acumulao de A que, por sua vez um subconjunto de D.Seja L um nmero real. Diremos que L o limite de f em p0 restrito ao conjunto

A se para cada > 0, for possvel exibir um > 0 tal que, para todo p A, com0 < kp p0k < , se tem |f(p) L| < .Usaremos a notao

L = limpp0pA

f(p)

para indicar que L o limite de f em p0 restrito ao conjunto A.Quando f possui limite L em p0, isto , quando

limpp0

f(p) = L,

evidente que f ter limite em p0 restrito ao conjunto A e

limpp0pA

f(p) = L.

Exemplo 43 Considere o campo escalar f(x, y) definido para todo ponto (x, y) do R2 doseguinte modo: quando |x| + |y| 3, ento f(x, y) = x2 + xy2 e, quando |x| + |y| > 3,ento f(x, y) = 0. Seja

A = {(x, y) R2 : |x|+ |y| 3}e B o seu complementar no R2. O ponto (1, 2) um ponto de acumulao do quadradoA e

lim(x,y)(1,2)(x,y)A

f(x, y) = lim(x,y)(1,2)(x,y)A

(x2 + xy2) = lim(x,y)(1,2)

(x2 + xy2) = 5.

No complementar B temos

lim(x,y)(1,2)(x,y)B

f(x, y) = lim(x,y)(1,2)(x,y)B

0 = lim(x,y)(1,2)

0 = 0.

Como os limites de f em (1, 2) restrito aos conjuntos A e B so diferentes, seque que fno possui limite em (1, 2).

O prximo teorema interessante para provar a existncia de limite de um campoque possui expresses diferentes em subconjuntos de seu domnio. Desafiamos o leitor aprovar este teorema, uma vez que ela imediata.

Teorema 44 Seja p0 um ponto de acumulao de dois conjuntos A e B contidos no Rn.Seja f um campo escalar com domnio na unio de A com B. Se existir um nmero realL tal que

limpp0pA

f(p) = limpp0pB

f(p) = L


ento f tem limite em p0 elimpp0

f(p) = L.

Exemplo 45 Seja f(x, y) definida em todo o plano R2 por f(x, y) = 2xy3x2+1 quandox < 2 e f(x, y) = 1 quando x 2. O par (2, 3) um ponto de acumulao dos conjuntos

A = {(x, y) R2 : x < 2}e

B = {(x, y) R2 : x 2}que so disjuntos e cuja unio o R2. Sendo

lim(x,y)(2,3)(x,y)A

f(x, y) = lim(x,y)(2,3)(x,y)A

2xy 3x2 + 1

= lim

(x,y)(2,3)

2xy 3x2 + 1

= 1

elim

(x,y)(2,3)(x,y)B

f(x, y) = lim(x,y)(2,3)(x,y)B

1 = lim(x,y)(2,3)

1 = 1,

conclumos que f tem limite no ponto (2, 3) e este limite igual a 1.

3.4 Limite ao longo de uma curva

Consideremos o campo f definido em todo ponto (x, y) do R2 por f(0, 0) = 0 e, quando(x, y) 6= (0, 0),

f(x, y) =xy

x2 + y2.

Consideremos a curva 1(t) = (t, t) que passa por (0, 0) quando t = 0. Para t 6= 0, acomposta

f(1(t)) = f(t, t) =t2

2t2=1

2 constante e, portanto,

limt0

f(1(t)) =1

2.

Consideremos agora a curva 2(t) = (t, t2) que passa por (0, 0) quando t = 0. Quandot 6= 0,

f(2(t)) = f(t, t2) =t3

t2 + t4=

t1 + t2

cujo limite em t = 0

limt0

f(2(t)) = limt0

t1 + t2

= 0.

Como os limites das funes compostas f(1(t)) e f(2(t)) em t = 0 so diferentes,podemos concluir que f(x, y) no possui limite no ponto (0, 0). Este o teor do prximoteorema.


Figura 3.6:

Teorema 46 Seja L um nmero real e p0 um ponto de acumulao um conjunto Dcontido no Rn.Seja f : D R um campo escalar com

limpp0

f(p) = L.

Seja I um intervalo de nmeros reais e : I Rn uma curva com as seguintespropriedades:1. Para algum t0 em I, (t0) = p0.2. Para todo t em I distinto de t0, (t) D.3. Para todo t em I distinto de t0, (t) 6= p0.Sob tais hipteses, a funo composta f((t)) tem limite em t0 e

limtt0

f((t)) = limpp0

f(p).

Prova. SejaL = lim

pp0f(p).

Assim, para todo > 0 dado, existe > 0 tal que, para qualquer p em D com 0 0, cuja existncia foi garantida no pargrafoanterior, existe > 0 tal que, para todo t em I com 0 < |t t0| < tem-se (t) em D e0 < k(t) p0k < . Pela concluso do pargrafo anterior, |f((t)) L| < , mostrandoque limtt0 f((t)) = L.

O limitelimtt0

f((t)),

quando existir, ser chamado de limite de f em p0 ao longo da curva .


Observe que f((t)) uma funo real de varivel real e, dessa forma, podemos lanarmo de todas as ferramentas nossa disposio para calcular o limite de tais funes.Quando sabemos que f possui limite em p0 mas no sabemos o seu valor, uma boa

providncia consiste em calcular o limite de f ao longo de uma curva. Se (t) passa umanica vez por p0 quando t = t0, ento

L = limtt0

f((t))

o limite de f em p0.Todavia, nem sempre sabemos de antemo que f tem limite em p0. Neste caso, o

limite L de f em p0 ao longo de (t) o nico candidato para ser o limite de f em p0.Todavia, se o limite de f em p0 ao longo de outra curva possuir um valor distinto de L,podemos afirmar que f no possui limite em p0.

Exemplo 47 A funo

f(x, y) =x2 y2x2 + y2

no possui limite no ponto (0, 0). De fato, tomando a curva 1(t) = (t, 0), que passa por(0, 0) quando t = 0, verificamos que a funo composta f(1(t)), para todo t 6= 0,

f(1(t)) = f(t, 0) =t2 02t2 + 02

= 1

tem limite 1 em t0 = 0. Em seguida, considerando a curva 2(t) = (0, t) que passa peloponto (0, 0) quando t = 0. Verificamos que a funo composta f(2(t)), para todo t 6= 0,

f(2(t)) = f(0, t) =02 t202 + t2

= 1

que tem limite 1 em t = 0. Como os limites ao longo das duas curvas so diferentes,conclumos que f no possui limite em (0, 0).

Exemplo 48 O campo escalar do R2 definido para todo (x, y) 6= (0, 0) por

f(x, y) =xy2

x2 + y4

no tem limite no ponto (0, 0). Para verificar esse fato, basta tomar as curvas 1(t) = (t, 0)e 2(t) = (t2, t) que passam pelo ponto (0, 0) quando t = 0. Para t 6= 0, as funescompostas

f(1(t)) = f(t, 0) =t 02t2 + 04

= 0

e

f(2(t)) = f(t2, t) =t2t2

t4 + t4=1

2.


possuem limites iguais a 0 e 1/2, respectivamente, no ponto t = 0. Como os limites aolongo das duas curvas so diferentes, conclumos que f no tem limite no ponto (0, 0).Uma curiosidade: Se a e b forem nmeros reais, com pelo menos um deles diferente

de zero, a curva (t) = (at, bt) passa pelo ponto (0, 0) quando t = 0. O limite de f em(0, 0) ao longo de qualquer reta desta famlia zero. Mesmo assim, f no tem limite noponto (0, 0).

Exemplo 49 O campo escalar do R2 definido para todo (x, y) 6= (0, 0) por

f(x, y) =xy

x y2

no tem limite no ponto (0, 0). Para verificar esse fato, basta considerar as curvas

1(t) = (t, 0) e 2(t) = (t2 + t3, t)

que passam pelo ponto (0, 0) quando t = 0. Para t 6= 0,f(1(t)) = 0 e f(2(t)) = 1 + t,

que possuem limites iguais a 0 e 1, respectivamente, no ponto t = 0. Conclumos que fno possui limite no ponto (0, 0)

Exemplo 50 O campof(x, y) =

xyx y3

no tem limite no ponto (0, 0). De fato, a reta 1(t) = (t, 0) e a curva 2(t) = (t3 + t4, t)passam pela origem quando t = 0. Calculando os limites de f em (0, 0) ao longo destascurvas obtemos

limt0

f(1(t)) = limt0

f(t, 0) = limt0

t 0t 03 = 0

e

limt0

f(1(t)) = limt0

f(t3 + t4, t) = limt0

(t3 + t4) tt3 + t4 t3

= limt0

(1 + t)t4

t4= lim

t0(1 + t) = 1.

Como o limite de f ao longo de duas curvas passando por (0, 0) so diferentes, conclumosque f no tem limite em (0, 0).

Exemplo 51 Considere o campo escalar

f(x, y) =xy

x+ y

definido para todo (x, y) do R2 tal que x+ y 6= 0. Este campo no possui limite no ponto(0, 0) pois

limt0

f(t, t) = limt0

t2

t+ t= 0


e

limt0

f(t,t t2) = limt0

t2 t3t2 = limt0(t+ 1) = 1.

Exerccio 52 Analise a existncia dos limites das funes abaixo nos pontos especifica-dos.

1. f(x, y) = xx2+y2

, no ponto (x0, y0) = (0, 0)

2. xy(xy)x4+y4

, no ponto (x0, y0) = (0, 0)

3. x2

x2+y2, no ponto (x0, y0) = (0, 0)

4. xy2

x2y2 , no ponto (x0, y0) = (0, 0)

5. xyx2+y2

, no ponto (x0, y0) = (0, 0)

6. xyyx3 , no ponto (x0, y0) = (0, 0)

7. x+yxy , no ponto (x0, y0) = (1, 1)

8. x1y2 , no ponto (x0, y0) = (1, 2)

3.5 Limite ao longo de uma seqncia

Uma funos : N Rn

cujo domnio o conjunto dos nmeros naturais

N = { 0, 1, 2, 3, 4, . . . }

e cuja imagem est no Rn, chamada de seqncia no Rn.Num sentido mais amplo, o domnio de uma seqncia pode ser qualquer subconjunto

infinito de nmeros inteiros limitado inferiormente.

Exemplo 53 A funo s(k) = (2k3, k2+2), definida para k = 0, 1, 2, 3, 4, . . . , umasequncia no R2.

Exemplo 54 A funo s(k) = (k, k + 1, k + 2), definida para k = 2, 1, 0, 1, 2, . . . , uma sequncia no R3.

Exemplo 55 A funo s(k) = (sen k, k2, k + 1, ln k) , definida para k = 4, 6, 8, 10, . . . , uma seqncia no R4.


O valor da seqncia s no inteiro k poder ser denotado tanto por s(k) como porsk. Ele ser chamado de k-simo elemento da seqncia ou, simplesmente, elemento daseqncia. A seqncia como um todo poder ser denotada por (sk)k=0,1,2,... ou (sk).Se as imagens sk pertencerem a um conjunto D do Rn, se diz que (sk)k=0,1,2,... uma

seqncia em D.

Definio 56 Seja (sk)k=0,1,2,... uma seqncia no Rn e p um elemento do Rn. A sequn-cia (sk)k=0,1,2,... converge para p se, para cada > 0, existir umM > 0 tal que, para todointeiro k > M vale a desigualdade ksk pk < .Usa-se a notao

sk pou

sk p quando k para indicar que a seqncia (sk) converge para p. A nupla p chamada de limite daseqncia (sk) e indicada por

p = limk

sk ou p = lim sk.

Pelos exemplos vistos, cada elemento sk de uma seqncia (sk) no Rn da forma

sk = (s1k, s2k, . . . , snk),

onde (s1k), (s2k), . . . , (snk) so seqncias de nmeros reais. O prximo teorema afirmaque a seqncia (sk) converge para p = (p1, p2, . . . , pn) se e s se s1k p1, s2k p2, . . .e snk pn.

Teorema 57 Seja (sk) uma seqncia no Rn tal que

sk = (s1k, s2k, . . . , snk),

onde (s1k), (s2k), . . . , (snk) so seqncias de nmeros reais.A seqncia (sk) converge para o ponto

p = (p1, p2, . . . , pn)

se e s se s1k p1, s2k p2, . . . , e snk pn.

Prova. Se a seqncia (sk) convergir para

p = (p1, p2, . . . , pn),

dado > 0, existe M > 0 tal que, para todo k > M inteiro, temos ksk pk < e,portanto,

|sjk pj| ksk pk < ,


para todo j = 1, 2, . . . , n, provando a primeira parte do teorema.Por outro lado, se s1k p1, s2k p2, . . . , e snk pn, dado > 0, existem Mj > 0

tais que, para todo k > Mj, temos |sjk pj| < /n. Seja M o maior dentre os Mj. Paratodo k > M, segue |sjk pj| < /n. Da,

ksk pk nX

j=1

|sjk pj| 0 dado, existe > 0 tal que, paratodo p em D com 0 < kp p0k < tem-se |f(p) L| < .Como sk 6= p0 para todo inteiro k 0 e sk p0, para o > 0 obtido no pargrafo

anterior, existe M > 0 tal que, para todo inteiro k > M tem-se 0 < ksk p0k < .De acordo com o pargrafo anterior, obtemos |f(sk) L| < , provando que limk f(sk) =

L.

Seja p0 um ponto de acumulao de um conjunto D. Seja f : D R um campoescalar. Seja (sk) uma seqncia em D que converge para p0, cujos elementos so todosdistintos de p0. O limite da seqncia

limk

f(sk)


chamado de limite de f em p0 ao longo da seqncia (sk). O teorema anterior garanteque f possui limite L em p0, ento f(sk) possui limite L. A recproca no verdadeira.Quando f(sk) L, no podemos afirmar que limpp0 f(p) = L.Se encontrarmos duas seqncias (rk) e (sk) satisfazendo as hipteses do teorema, com

ambas convergindo para p0, se

limk

f(rk) 6= limk

f(sk)

podemos concluir que f no possui limite em p0.Por vezes difcil decidir se f tem ou no limite em p0. quando f tem limite em p0,

pode ser difcil determinar este limite. Neste caso, o limite ao longo de uma seqnciapode ajudar. Sendo (sk) uma seqncia que converge para p0 e satisfaz s hipteses doteorema, se f(sk) L, ento L o nico candidato para ser o limite de f em p0.

Exemplo 60 O campo escalar com domnio no R2 definido por f(0, 0) = 0 e

f(x, y) = sen

1

x2 + y2

para todo (x, y) 6= (0, 0) no possui limite em (0, 0). De fato, as seqncias

rk =

12k

, 0, k = 1, 2, . . .

e

sk =

1p

2k + /2, 0

!, k = 1, 2, . . .

convergem para (0, 0). Os elementos das seqncias (f(rk)) e (f(sk)) so

f(rk) = sen (2k) = 0

ef(sk) = sen (2k + /2) = 1,

para k = 1, 2, 3, . . . . Logo, f(rk) 0 e f(rk) 1. Este resultado indica que o campoescalar f no possui limite no ponto (0, 0).

3.6 Limite da composta

Para calcular limite do tipo

lim(x,y)(0,0)

sen(x2 + y2)x2 + y2

observamos que o campo escalarsen(x2 + y2)x2 + y2


definido para todo (x, y) 6= (0, 0), a composio do campo escalarf(x, y) = x2 + y2,

definido para todo (x, y) 6= (0, 0) com a funo real

g(t) =sen tt

definida para todo t > 0. Sabe-se que

lim(x,y)(0,0)

f(x, y) = 0

e quelimt0

g(t) = limt0+

g(t) = 1.

O prximo teorema ir garantir que

lim(x,y)(0,0)

g(f(x, y)) = limt0

g(t) = 1.

A prova do teorema que segue ser deixada por conta do leitor, posto que ela idntica prova do teorema que tratou de limites ao longo de curvas, com poucas modifies.

Teorema 61 Seja L um nmero real e t0 um ponto de acumulao de um conjunto I denmeros reais. Seja g : I R uma funo real com

limtt0

g(t) = L.

Seja p0 um ponto de acumulao de um conjunto D contido no Rn e f : D R umcampo escalar que, para todo p 6= p0, tem-se f(p) I e f(p) 6= t0. Se

limpp0

f(p) = t0,

a funo composta g f tem limite em p0 e

limpp0

g(f(p)) = L.

Esse teorema garante as condies sob as quais se pode efetuar uma mudana devarivel no limite.Para calcular o limite

L = limpp0

g(f(p)),

efetua-se a mudana de varivelt = f(p)

e calcula-set0 = lim

pp0f(p).


Se as hipteses do teorema forem satisfeitas,

L = limtt0

g(t).

H uma outra verso deste teorema obtida ao se introduzir a hiptese de continuidadede g em t0, enquanto se retira a exigncia de f(p) ser distinta de t0 para todo p em D.

Teorema 62 Seja L um nmero real e t0 um ponto de um conjunto I de nmeros reais.Seja g : I R uma funo real contnua em t0.Seja p0 um ponto de acumulao de um conjunto D contido no Rn. Seja f : D R

um campo escalar cuja imagem est contida em I e que

limpp0

f(p) = t0.

Sob essas hipteses, a funo composta g f tem limite em p0 e

limpp0

g(f(p)) = g(t0).

Sendot0 = lim

pp0f(p)

esse teorema permite escrever

limpp0

g(f(p)) = glimpp0

f(p).

Isto significa que, se g for contnua no ponto t0 = limpp0

f(p), pode-se passar o limite da

funo composta g(f(p)) para o interior do argumento de g, no caso dela ser contnua.Ainda se pode atribuir a este teorema a mesma interpretao dada ao anterior, qual

seja, a de uma mudana de varivel.Nesta interpretao, para calcular

L = limpp0

g(f(p))

pode-se usar a mudana de varivel

t0 = limpp0

f(p)

e calcularL = g(t0) = lim

tt0g(t).

Corolrio 63 Seja g(t) uma funo real, contnua em t0. Seja f(p) um campo escalarcuja imagem est contida no domnio de g. Se f for contnua em p0, ento f g contnuaem t0.


Exemplo 64 Consideremos o campo escalar f(x, y) = x2+y2 , definido para todo (x, y) 6=(0, 0) que, neste ponto, tem limite 0. Consideremos a funo real

g(t) =sin tt,

definida para t > 0, que tem limite 1 em t = 0. A imagem de f est no domnio da g e,para todo (x, y) 6= (0, 0),

sin(x2 + y2)x2 + y2

= g(f(x, y).

Pelo teorema anterior,

lim(x,y)(0,0)

sin(x2 + y2)x2 + y2

= limt0

sen(t)t

= 1.

Exemplo 65 O campo escalar f(x, y) = x2 + y2 definido para todo (x, y) 6= (0, 0) tem,neste ponto, limite 0. Como veremos abaixo, funo real

g(t) =1

texp

1t

,

definida para t > 0 tem, no ponto t = 0, limite zero. Se (x, y) 6= (0, 0), ento1

x2 + y2exp

1x2 + y2

= g(f(x, y))

e o teorema anterior assegura que

lim(x,y)(0,0)

1

x2 + y2exp

1x2 + y2

= lim

t0

1

texp

1t

=

limt0+

1

texp

1t

= lim

u

uexp(u)

=

limu

1

exp(u)= 0.

Realizamos acima a mudana de varivel t = 1/u e aplicamos LHospital para calcular oltimo limite.

Exemplo 66 *** Seja h(x, y) o campo escalar definido em todo R2 por h(x, y) = 0quando x2 + y2 1 e

h(x, y) =1

x2 + y2 1 exp1

x2 + y2 1

quando x2+y2 < 1. Para calcular o limite de h no ponto (a, a) onde a =2/2, observamos

queh(x, y) = g(f(x, y))


onde f(x, y) = x2 + y2 1, definido para todo (x, y) do R2 e

g(t) =(1/t) exp(1/t) se t < 0

0 se t 0

Sabemos quet0 = lim

(x,y)(a,a)f(x, y) = lim

(x,y)(a,a)

x2 + y2 1

= 0.

O leitor poder mostrar que a funo g contnua em t = 0 calculando separadamenteo limite esquerda e direita de g em t = 0. Para calcular o limite esquerda, faaa mudana de varivel u = 1/t, caindo numa indeterminao que pode ser levantadamediante a aplicao da regra de LHospital. Desta forma,

lim(x,y)(a,a)

h(x, y) = limt0

g(t) = 0.

Para encerrar o captulo, vamos considerar trs campos escalares praticamente idnti-cos no R2e analisar a existncia de limite no ponto (0, 0). Considere inicialmente o campoescalar

f(x, y) =senxx

definido para todo (x, y) com x 6= 0. Neste caso,

lim(x,y)(0,0)

f(x, y) = lim(x,y)(0,0)

senxx

= limx0

senxx

= 1.

Vamos modificar levemente o campo f atribuindo-lhe o valor 0 ao longo da reta x = 0.Seja g o campo assim obtido. Ele ser definido em todo o R2 por g(0, y) = 0 para todo yreal e

g(x, y) =senxx

para todo x 6= 0 e todo y real. O campo g no possui limite em (0, 0) pois os limites de gneste ponto, ao longo de duas retas, so diferentes. De fato,

limt0

g(0, t) = limt00 = 0

elimt0

g(t, 0) = limt0

sen tt= 1.

Vamos novamente modificar levemente o campo f e atribuindo-lhe o valor 1 na retax = 0. Seja h o campo escalar obtido com esta modificao. Este campo est definido emtodo o R2 por h(0, y) = 1 para todo y real e

h(x, y) =senxx

para todo x 6= 0 e todo y real. Este campo h tem limite 1 em (0, 0) e, para demonstrareste fato, separamos o R2 em dois conjuntos

A = {(x, y) R2 : x 6= 0} e B = {(x, y) R2 : x = 0},


que reunidos formam o R2. Temos

lim(x,y)(0,0)(x,y)A

h(x, y) = lim(x,y)(0,0)(x,y)A

senxx

= limx0

senxx

= 1

elim

(x,y)(0,0)(x,y)B

h(x, y) = lim(x,y)(0,0)(x,y)B

1 = lim(x,y)(0,0)

1 = 1.

Como os limites de h em (0, 0) nos conjuntos A e B so iguais, conclumos que h possuilimite 1 em (0, 0).

Captulo 4

Derivada parcial e direcional

Quando estudamos funes reais f : I R onde I um intervalo de nmero reais,definimos a derivada de f em um ponto t0 de I por

f 0(t0) = limtt0

f(t) f(t0)t t0

.

Veremos que h diversos modos de extender este conceito para campos escalares.

4.1 Derivada Parcial

Seja (x0, y0) um ponto do domnio D de um campo escalar f(x, y). Suponha ainda queexiste um r > 0 tal que pelo menos um dos segmentos

{ (x, y0) : x0 x < x0 + r }ou

{ (x, y0) : x0 r < x x0 }est contido em D. Quando o limite

limxx0

f(x, y0) f(x0, y0)x x0

existir, ele ser chamado de derivada parcial de f em relao a x no ponto (x0, y0) eser denotado por

fx(x0, y0) oufx(x0, y0) ou Dxf(x0, y0) ou D1f(x0, y0)

Suponha agora que existe um r > 0 tal que pelo menos um dos segmentos

{ (x0, y) : y0 y < y0 + r }ou

{ (x0, y) : y0 r < y y0 }

57


est contido em D. Quando o limite

limyy0

f(x0, y) f(x0, y0)y y0

existir, ele ser chamado de derivada parcial de f em relao a y no ponto (x0, y0) eser denotado por

fy(x0, y0) oufy(x0, y0) ou Dyf(x0, y0) ou D2f(x0, y0).

Quando se deriva f em relao a x, a varivel y mantida constante e igual a y0.Desta forma, o campo se comporta como uma funo real, de uma nica varivel x.Conseqentemente, para derivar f(x, y) em relao a x, podemos usar todos os resultadosvlidos para as derivadas de funes de uma varivel real. Um raciocnio anlogo se aplica derivada parcial em relao a y.Na derivada parcial em relao a x, o y se comporta como uma constante e, na derivada

parcial em relao a y, o x se comporta como uma constante.

Exemplo 67 Sendo f(x, y) = x3y2+ 2xy, ento

fx(x, y) = 3x2y2 + 2y

efy(x, y) = 2x3y + 2x.

Exemplo 68 Para o campo f(x, y) = (1 + y/x), definido para todo x 6= 0, temos

fx(x, y) = yx2

e fx(2, 3) = 3

4.

Exemplo 69 Sendo g(t) uma funo real, derivvel em toda a reta, para derivar o campoescalar f(x, y) = g(5x23y2) em relao a x e a y, usamos a regra da cadeia para funesreais para obter

fx(x, y) = g0(5x2 3y2) (10x) = 10x g0(5x2 3y2)

efy(x, y) = g0(5x2 3y2) (6y) = 6y g0(5x2 3y2).

Desta forma,fx(1, 0) = 10g0(5) e fy(1, 0) = 0g0(5) = 0

A existncia de derivadas parciais em um ponto no garante a continuidade da funo,como nos mostra o exemplo que segue.


Exemplo 70 Seja f o campo escalar definido em todo o R2 por f(0, 0) = 0 e, quando(x, y) 6= (0, 0),

f(x, y) =xy + x3

x2 + y2

Derivando parcialmente em relao a x e a y no ponto (0, 0) obtemos

fx(0, 0) = limt0

f(t, 0) f(0, 0)t

= limt0

1

tt3

t2= 1

e

fy(0, 0) = limt0

f(0, t) f(0, 0)t

= limt0

1

t0

t2= 0.

As derivadas parciais existem em (0, 0) mas f no contnua em (0, 0). De fato, parat 6= 0,

f(t, t) =t2 + t3

2t2=1

2(1 + t)

que tem limite1

2em t = 0. Como o limite ao longo da reta (t, t) no ponto (0, 0) diferente

de f(0, 0), conclui-se que f descontnua neste ponto.

Exemplo 71 O campo escalar f definido no R2 por f(0, 0) = 0 e, quando (x, y) 6= (0, 0),

f(x, y) =xy

x2 + y2,

possui derivadas parciais no ponto (0, 0) mas no contnuo neste ponto. De fato,fx(0, 0) = 0 e fy(0, 0) = 0. Para todo t 6= 0,

f(t, t) =t2

2t2=1

2

cujo limite em t = 0 1/2. Se o limite de f no ponto (0, 0) existir, ele no ser igual af(0, 0) = 0. Na verdade, f no possui limite no ponto (0, 0) pois, para todo t 6= 0,

f(t, 0) =0

t2= 0.

O limite de f no ponto (0, 0) ao longo da curva (t) = (t, t) igual a zero. Se os limitesnum ponto ao longo de curvas diferentes, forem diferentes, ento se pode concluir que fno possui limite no ponto.

4.2 Derivada direcional

Seja f um campo escalar definido em um conjunto D do Rn e p um ponto de D. Seja vum ponto do Rn tal que p+ tv est contido em D para todo t num intervalo que contmo zero. Quando existir o

limt0

f(p+ tv) f(p)t


ele ser chamado de derivada direcional de f em p na direo de v e ser denotado por

f 0(p,v).

Observe que f(p + tv) f(p) fornece a variao de f quando passamos do ponto p aoponto p+ tv.Quando v tem norma unitria, ktvk = |t| e, portanto, o mdulo de t a distncia

entre os pontos p e p+ tv. Ao dividimos f(p+ tv) f(p) por t, obtemos a variao def ao passarmos do ponto p para o ponto p+ tv, por unidade de comprimento, conhecidacomo taxa de variao de f ao longo da direo v, ao passarmos de p para p+tv. Quandocalculamos f 0(p,v), tomamos o limite em t = 0, obtendo assim a taxa de variao de fao passarmos de p para um p+ tv bem perto de p. a taxa de variao de f em p.

Exemplo 72 Vamos considerar o campo f definido no R2 por

f(x, y) = 3x2 4xy.

Tomando (x, y) = (1, 2) e (a, b) = (1, 3), ento

f 0((x, y), (a, b)) = limt0

f((x, y) + t(a, b)) f(x, y)t

= limt0

1

t[f(x+ at, y + tb) f(x, y)]

= limt0

1

t

3(x+ at)2 4(x+ at)(y + bt) 3x2 + 4xy

= lim

t0

1

t

6axt 4xbt 4ayt+ 3a2t2 4abt2

de modo que

f 0((x, y), (a, b)) = (6x 4y)a+ (4x)b .Observe que, neste caso, a derivada direcional em (x, y) na direo de (a, b) dada por

f 0((x, y), (a, b)) = afx(x, y) + bfy(x, y) .

Fazendo (x, y) = (1, 2) obtemos

f 0((1, 2), (a, b)) = 2a 4b,

que uma transformao linear em (a, b).

O prximo exemplo mostra que nem sempre a derivada direcional linear em v.

Exemplo 73 Seja f o campo definido no R2 por f(0, 0) = 0 e, quando (x, y) 6= (0, 0),

f(x, y) =x3

x2 + y2


Para qualquer (a, b) 6= (0, 0) temos

f 0((0, 0), (a, b)) = limt0

1

t[f(at, bt) f(0, 0)]

= limt0

1

ta3t3

a2t2 + b2t2=

a3

a2 + b2,

e esta funo no linear em (a, b).

Exemplo 74 Seja f o campo escalar definido no Rn por f(p) = p p. Neste caso,

f 0(p,v) = limt0

1

t[(p+ tv) (p+ tv) p p]

= limt0

1

t

2tp v+ t2v v = 2p v .

Exemplo 75 Seja w um ponto do Rn e f um campo escalar definido no Rn por f(p) =w p. Assim,

f 0(p,v) = limt0

1

t[w (p+ tv)w p] = w v = f(v)


f(x, y) =x2y

x2 + y2

Para todo par (a, b) 6= (0, 0),

f 0((0, 0), (a, b)) = limt0

1

t[f(at, bt) f(0, 0)]

= limt0

1

ta2bt3

a2t2 + b2t2=

a2ba2 + b2

= f(a, b) .


f(x, y) =xy2

x2 + y4.

Para todo par (a, b) 6= (0, 0),

f 0((0, 0), (a, b)) = limt0

1

t[f(at, bt) f(0

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