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UFSCar { C¶alculo 2. Turma C. Sexta lista de exerc¶³cios.

2o semestre de 2006. Prof. Jo~ao C.V. Sampaio

1. Escreva uma express~ao para dudx, se u = f(x; y; z), com y = '(x), e z = Ã(x; y).

Resposta. dudx= fx(x; y; z) + fy(x; y; z) ¢ '

0(x) + fz(x; y; z) ¢ (Ãx(x; y) + Ãy(x; y) ¢ '0(x)),

sendo, nesta express~ao y = '(x) e z = Ã(x;'(x)).

2. Mostre que se w = f(u; v) ¶e diferenci¶avel, e se u = x+at, v = y+bt, ent~ao wt = awx+bwy.

3. Sendo z = (senx)cosx, calcule dzdx, por deriva»c~ao em cadeia, tomando z = uv e ent~ao

u = senx, v = cosx. Resposta. dzdx= (senx)cosx( cos

2 xsenx

¡ senx ¢ ln(senx)).

4. Mostre que se z = xy + x ¢ f( yx), (f deriv¶avel) ent~ao x ¢ @z

@x+ y ¢ @z

@y= xy + z.

5. A fun»c~ao diferenci¶avel z = f(x; y) ¶e homogenea de grau n se f(tx; ty) = tnf(x; y). Mostreque uma tal fun»c~ao satisfaz a equa»c~ao x@f

@x+ y @f

@y= nf(x; y). Sugest~ao. Derive ambos os

membros em rela»c~ao a t e depois fa»ca t = 1.

6. Considere a equa»c~ao diferencial parcial

@2z

@x2¡ 5

@2z

@x@y+ 6

@2z

@y2= 0

Mostre que, fazendo-se s = y + 2x, t = y + 3x, a equa»c~ao torna-se@2z

@s@t=. Determine

ent~ao a forma de uma solu»c~ao geral z = '(x; y), supondo ' diferenci¶avel com derivadasparciais de ordem 2 cont¶³nuas. Resposta. z = f(y + 2x) + g(y + 3x)

7. Como no problema anterior, determine a solu»c~ao geral da equa»c~ao

2@2z

@x2+@2z

@x@y¡ 10

@2z

@y2= 0

fazendo a mudan»ca de vari¶aveis u = 5x¡ 2y, v = 2x+ y.

8. Suponha que w = f(x; y) ¶e solu»c~ao geral de wxx ¡ wyy = 1. Fa»ca x = u+ v, y = u¡ v, e

mostre que a equa»c~ao se torna@2w

@u@v= 1. Resolva ent~ao a equa»c~ao dada.

Resposta. w = x2¡y2

4+ f(x+ y) + g(x¡ y).

9. Se z = f(x; y), e x = r cos µ, y = r sen µ, mostre que

(a)

@z

@r= cos µ

@z

@x+ sen µ

@z

@y

@z

@µ= ¡r sen µ

@z

@x+ r cos µ

@z

@y

2

e ent~ao que

@z

@x= cos µ

@z

@r¡sen µ

r

@z

@µ@z

@y= sen µ

@z

@r+cos µ

r

@z

@µ

(b) ( @z@x)2 + (@z

@y)2 = (@z

@r)2 + 1

r2(@z@µ)2.

10. Escreva a equa»c~ao de Laplace@2f

@x2+@2f

@y2= 0, em termos de coordenadas polares r e µ,

sendo x = r cos µ, y = r sen µ. Resposta.@2r

@r2+1

r

@f

@r+1

r2@2f

@µ2= 0.

11. Se x = es cos t, y = es sen t, mostre que@2u

@x2+@2u

@y2= e¡2s

µ@2u

@s2+@2u

@t2

¶.