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3 Probabilidade

INTRODUÇÃO

Para desenvolver o estudo da estatística, é necessário um entendimento do conceito de

probabilidade. Isso não é tão difícil quanto parece, pois a probabilidade se faz presente no dia a dia.

Ouvem-se notícias como, por exemplo: se você é fumante, é maior sua probabilidade de

desenvolver câncer de laringe. Da mesma forma, se você bebe vinho moderadamente, seu risco de

doença cardíaca é reduzido. (Obs: estas afirmações precisam ser testadas estatisticamente para

terem caráter científico).

Qual ocorrência parece ter maior probabilidade: ser atingido por um raio ou ganhar na loteria?

A afirmação “é provável que meu time ganhe a partida hoje” pode resultar em:

a) que meu time perca; b) que meu time empate; c) que meu time ganhe.

Como vimos, o resultado final depende do acaso. Fenômeno como esse, que depende do acaso, é chamado Fenômeno aleatório ou Experimento aleatório.

Desta forma, um experimento será chamado aleatório se pode ser repetido um grande número de vezes sob condições similares e se o resultado de uma observação não pode ser exatamente previsto. Uma variável será chamada de aleatória se descreve os resultados de um experimento aleatório.

Estudaremos, a seguir, a probabilidade ao determinar maneiras específicas de avaliar a ocorrência de vários eventos.

FUNDAMENTOS

a) Experimento: Um experimento é qualquer processo que permite ao pesquisador fazer observações.

b) Evento: Um evento é uma coleção de resultados de um experimento.

c) Espaço amostral (S): O espaço amostral de um experimento consiste em todos os eventos possíveis.

Exemplo 3.1: O arremesso de um dado é um experimento, e o resultado 3 é um evento. O espaço amostral consiste nesses eventos simples: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Então no lançamento de um dado, o espaço amostral dos números voltados para cima é o conjunto:

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } número de elementos de S é n(S) = 6

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Exemplo 3.2: Quando jogamos uma moeda, o espaço amostral da face voltada para cima é o conjunto:

S = { cara, coroa } número de elementos de S é n(S) = 2

A seguir, tem-se a notação básica de probabilidade.

Definição clássica de probabilidade

Definição frequentista de probabilidade

prazolongoaocorremtipomesmodoeventosquevezesdenúmerodoproporção)A(P

ou

Exemplos 3.3: a) Uma companhia de seguros estudou as causas de morte por acidente doméstico e compilou um arquivo que consistia em 160 mortes causadas por quedas, 120 mortes causadas por envenenamento e 70 causadas por fogo e queimaduras. Selecionando aleatoriamente um desses casos, qual é a probabilidade de que a morte tenha sido causada por envenenamento?

b) Lançamos uma moeda duas vezes. Se K indicar cara e C indicar coroa, então um espaço amostral será:

P denota uma probabilidade. A, B, C denotam eventos específicos. P(A) denota a probabilidade de

ocorrência do evento A.

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c) Ao verificarmos se os moradores de certa cidade são favoráveis a um certo projeto social municipal, considerando que todos os moradores têm opinião, o espaço amostral do experimento ao entrevistarmos 3 pessoas será: Expressão de probabilidade

Eventos complementares

Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra

(sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso ou fracasso), para um mesmo

evento existe sempre a relação:

p + q = 1 q = 1- p

Assim, se a probabilidade de se realizar um evento é p = 1/5 , a probabilidade de que ele não ocorra é 4/5.

Exemplo 3.4: Se a probabilidade de uma pessoa ter estresse pós traumático depois de sofrer um assalto é 2/7, a probabilidade de não ter estresse pós traumático é :

Sendo P(A) a probabilidade de um evento ocorrer, tem-se que o menor valor que um

enunciado de probabilidade pode ter é 0 (indicando que o evento é impossível) e o maior é 1

(indicando que o evento certamente irá ocorrer). Então

Em uma dada observação ou experimento, um evento deve “ocorrer ou não ocorrer”.

Esses eventos são chamados eventos complementares. Por isso, a probabilidade da ocorrência

mais a probabilidade da não ocorrência será sempre igual a 1.

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Exemplo 3.5: Um laboratório deseja testar um novo medicamento e, para isso tem uma amostra de 40 mulheres adultas até 50 anos, 65 homens adultos até 50 anos e 58 pessoas com mais de 50 anos. Qual a probabilidade de sortearmos um elemento da amostra e ele não ter mais de 50 anos?

Eventos mutuamente excludentes

Assim, no lançamento de uma moeda, o evento "tirar cara" e o evento "tirar coroa" são mutuamente excludentes, já que, ao se realizar um deles, o outro não se realiza.

Se dois eventos são mutuamente excludentes, a probabilidade de que um ou outro se realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize.

p = p1 + p2

Exemplo 3.6: Lançamos um dado. A probabilidade de se tirar o 3 ou o 5 é:

p = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

pois, como vimos, os dois eventos são mutuamente excludentes.

Exemplo 3.7: Em um estudo do comportamento de pessoas que utilizam avião, as pessoas foram classificadas como aquelas que “apresentam” ou “não apresentam” ansiedade antes de embarcar. Ainda, são classificadas de acordo com a idade: até 25 anos ou mais de 25 anos. Os dois eventos, ou classificações, ‘apresentam’ e ‘não apresentam’ ansiedade são mutuamente excludentes. Da mesma forma ‘até 25 anos’ e ‘mais de 25 anos’ também são mutuamente excludentes. Contudo, os eventos ‘apresentam ansiedade’ e ‘mais de 25 anos’ não são mutuamente excludentes.

Dois ou mais eventos são mutuamente excludentes, se os mesmos não podem ocorrer

simultaneamente. Isto é, a ocorrência de um evento automaticamente impede a ocorrência do

outro evento (ou eventos).

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REGRA DA ADIÇÃO PARA PROBABILIDADES

A regra da adição é utilizada quando desejamos determinar a probabilidade P(A ou B) de ocorrer o evento A ou o evento B (ou ambos) como resultado de um experimento. A palavra-chave aqui é a conjunção ou. Na linguagem da teoria dos conjuntos, isto é conhecido como união de A e B e a probabilidade.

B)eP(A(B)P)(AP)BouA(P

Exemplo 3.8: Ao retirar uma carta de um baralho, os eventos “ás” e “rei” são mutuamente excludentes. A probabilidade de tirar um ás ou um rei numa única tentativa é:

Solução: 13

2

52

8

52

0

52

4

52

4K)eP(AP(K)P(A)

Exemplo 3.9: Ao retirar uma carta de um baralho, os eventos “ás” e “espadas” não são mutuamente excludentes. A probabilidade de retirar um ás ou espada (ou ambos) em uma só tentativa é:

Solução: 13

4

52

16

52

1

52

13

52

4E)eAP(P(E)P(A)E)ouP(A

Exemplo 3.10: Em um teste com o antidepressivo ATDP apresentou os resultados descritos na tabela abaixo:

Teste de ATDP*

ATDP Placebo

Grupo de controle

Total

Sonolência

Não-sonolência

49

732

49

616

24

602

122

1950

Total 781 665 626 2072

*Nome e dados fictícios

a) Se um dos 2072 indivíduos é escolhido aleatoriamente, determine a probabilidade de se obter alguém que fez uso de um placebo ou estava no grupo de controle.

b) Escolhido aleatoriamente um dos 2072 indivíduos da tabela acima, determine a probabilidade de obter alguém que tenha usado ATDP ou que não teve sonolência.

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EXERCÍCIOS

1) Quais dos valores abaixo não podem ser probabilidades?

0,0001 -0,2 3/2 2/3 2 2,0

2) Antes de incluir a cobertura para certos tipos de problemas dentais em apólices de seguro-saúde para empregados adultos, uma companhia de seguros deseja determinar a probabilidade de ocorrer tais problemas, para estabelecer a taxa de seguro. Portanto, o estatístico coletou dados para 10.000 adultos na faixa de idade adequada e observou que 100 pessoas tiveram o problema dental particular no ano passado. Qual a probabilidade de ocorrência dessa doença?

3) Determine o espaço amostral para cada caso: a) O sexo de um bebê no primeiro mês de gestação da mãe. b) O resultado de uma eleição com 3 candidatos A, B, C a um só cargo. c) Dois lançamentos sucessivos de uma moeda. 4) Um casal planeja ter 2 filhos.

a) Relacione os diferentes resultados, de acordo com o sexo de cada criança. Suponha que esses resultados sejam igualmente prováveis. b) Determine a probabilidade de o casal ter 2 meninas. c) Determine a probabilidade de exatamente uma criança de cada sexo. 5) Um casal planeja ter 3 filhos. Relacione os diferentes resultados, de acordo com o sexo de cada criança. Suponha que esses resultados sejam igualmente prováveis.

6) Um estudo de hábitos de fumantes compreende 200 casados (54 dos quais fumam), 100 divorciados (38 dos quais fumam) e 50 adultos que nunca se casaram (11 dos quais fumam). Escolhido aleatoriamente 1 indivíduo dessa amostra, determine a probabilidade de obter alguém divorciado ou fumante.

Respostas

1) -0,2 3/2 2 2) 0,01 3) a) 2 b) 3 c) 4

4) a) 4 possibilidades b) 0,25 c) 0,50 5) 8 possibilidades 6) 0,471

REGRAS DA MULTIPLICAÇÃO PARA PROBABILIDADE

As regras de multiplicação se relacionam com a determinação da probabilidade da ocorrência conjunta de A e B. Temos, então, a intersecção de A e B. Existem duas variações da regra de multiplicação, conforme os eventos sejam independentes ou dependentes.

)(.)()( BPAPBeAP

Exemplo 3.11: Uma moeda é lançada duas vezes. A probabilidade de que ambos os resultados sejam “cara” é:

Solução: 4

1

2

1

2

1)( xcaraecaraP

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Exemplo 3.12: Na extração de duas cartas de um baralho bem misturado, determine a probabilidade de que a primeira carta seja um ás e a segunda seja um rei. (Admita que a primeira carta extraída não seja reposta antes da extração da segunda carta.)

Solução: P(A) = probabilidade da 1° carta ser um ás.

P(B) = probabilidade da 2° carta ser um rei

52

4)( AP

51

4)( BP

00603,051

4

52

4)( xreieásP

Exemplo 3.13: (baseado no exemplo 3.10)

Teste de ATDP

ATDP Placebo Grupo de controle

Total

Sonolência

Não- sonolência

49

732

49

616

24

602

122

1950

Total 781 665 626 2072

a) Se um dos 2072 indivíduos é escolhido aleatoriamente, determine a probabilidade de se obter alguém que fez uso de um placebo e teve sonolência.

b) Escolhido aleatoriamente um dos 2072 indivíduos da tabela acima, determine a probabilidade de obter alguém que tenha usado ATDP e não teve sonolência.

EXERCÍCIOS

1) Numa escola de ensino fundamental, 30% dos estudantes são do primeiro ciclo, 35% do segundo, 20% do terceiro e os restantes, do quarto ciclo. Um dos estudantes ganhou uma bolsa de estudos. Determine as seguintes probabilidades: a) de o estudante ser do quarto ciclo. b) de ser do primeiro ou do segundo ciclo. c) de não ser do quarto ciclo.

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2) As probabilidades de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ou 7 acidentes num dia de semana entre 13 e 18 horas são, respectivamente, 0,08, 0,15, 0,20, 0,25, 0,18, 0,07, 0,04 e 0,01. Determine as seguintes probabilidades para um dia qualquer da semana naquele horário: a) menos de 3 acidentes. b) 3 ou menos acidentes. c) exatamente 3 acidentes. d) nenhum acidente. e) mais de 7 acidentes.

3) Os dados da tabela a seguir resumem resultados de um estudo de 1.000 mortes, selecionadas aleatoriamente, de homens com idade de 45 a 64 anos.

Causa da morte

Câncer Doença Cardíaca Outros

Fumante

Não fumante

135

55

310

155

205

140

a) Se, dos 1000 indivíduos, 1 é selecionado aleatoriamente, determine a probabilidade de se obter

um fumante.

b) Se, dos 1000 indivíduos, 1 é selecionado aleatoriamente, determine a probabilidade de se obter

um fumante ou alguém que tenha morrido em consequência de doença cardíaca.

c) Escolhidos aleatoriamente dois indivíduos, determine a probabilidade de ambos terem morrido de

câncer.

d) Escolhidos aleatoriamente um indivíduo, determine a probabilidade de obter um não fumante que

tenha morrido de câncer.

e) Escolhidos aleatoriamente três indivíduos diferentes, determine a probabilidade de serem todos

fumantes.

4) Seja uma família sorteada de uma população de 120 famílias, as quais se distribuem conforme a seguinte tabela.

Distribuição conjunta de frequências do grau de instrução do chefe da casa e uso de programas de alimentação popular, num conjunto de 120 famílias.

Uso de programas

Grau de instrução do chefe da família

Nenhum Ensino

fundamental Ensino médio Total

Sim 31 22 25 78

Não 7 16 19 42

Total 38 38 44 120

Calcule a probabilidade de a família sorteada ser:

a) Usuária de programa de alimentação popular.

b) Tal que o chefe da casa tenha o ensino médio.

c) tal que o chefe da casa não tenha o ensino médio.

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d) usuária de programas de alimentação popular e o chefe da casa ter o ensino médio.

e) usuária de programas de alimentação popular e o chefe da casa não ter o ensino médio.

Respostas

1) a) 0,15 b) 0,65 c) 0,85

2) a) 0,43 b) 0,68 c) 0,25 d) 0,08 e) 0,02

3) a) 0,65 b) 0,805 c) 0,0359 d) 0,055 e) 0,273

4) a) 0,65 b) 0,367 c) 0,633 d) 0,208 e) 0,442

DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE E O MODELO NORMAL

Estudaremos a seguir o modelo de probabilidades mais conhecido da Estatística: a chamada

distribuição normal de probabilidades. Diversas aplicações desse modelo estarão presentes em

outros itens do conteúdo a ser trabalhado.

Distribuições contínuas

Para variáveis aleatórias contínuas, não existe interesse em atribuir probabilidades a cada

particular valor, mas sim, para eventos formados por intervalos de valores. Por exemplo, ao observar

a estatura de um indivíduo, tomado ao acaso, não importa a probabilidade de ele medir 1,682333...

metro; mas o interesse pode estar, por exemplo, na probabilidade de ele ter estatura no intervalo de

1,60 a 1,80 m, ou acima de 1,90 m, e assim por diante.

A especificação da distribuição de probabilidades de uma variável aleatória contínua é

realizada por um modelo matemático, que permite calcular probabilidades em qualquer intervalo de

números reais. O exemplo a seguir ilustra a construção de um modelo para uma variável aleatória

contínua.

O ponteiro da figura abaixo ilustra o conceito de variável contínua. Uma vez que tenha sido

posto a girar, o ponteiro pode parar em qualquer posição ao longo do círculo. Não se pode esperar

que venha a parar exatamente num dos valores do círculo. Mesmo levando-se em conta as

limitações na mensuração feita ao longo do círculo, ainda assim há um número extremamente

grande de pontos de paradas possíveis.

Figura 1: Círculo para exemplificar uma distribuição contínua

1

2

3

4 5

6

7

8

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A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória contínua pode ser representada por

certa função não negativa, com uma área formada entre os eixos das abcissas e a curva dessa

função igual 1 (um). Os eventos podem ser representados por intervalos no eixo das abcissas (eixo

x), enquanto as correspondentes probabilidades, por áreas sob a curva.

Para a situação na qual queremos selecionar aleatoriamente um estudante do sexo masculino

e analisar sua estatura. Temos, novamente, uma variável aleatória contínua, mas, desta vez, não é

razoável atribuir a mesma probabilidade para diferentes faixas de estatura. Por exemplo, é intuitivo

que a probabilidade do estudante acusar estatura no intervalo de 165 cm e 175 cm é bem maior do

que no intervalo de 190 cm a 200 cm, mesmo que ambos os intervalos tenham a mesma amplitude.

A Figura 2 sugere um modelo mais adequado para a situação. Por este modelo, conhecido

como distribuição Normal de probabilidades, existe um valor típico, ou valor médio, que no caso das

estaturas de homens adultos, deve estar em torno de 170 cm. Intervalos em torno desse valor médio

têm altas probabilidades de ocorrência, mas as probabilidades diminuem na medida em que nos

afastamos deste valor médio, indiferentemente se do lado esquerdo (para valores menores) ou do

lado direito (para valores maiores).

Figura 2: Modelo de estatura para homens adultos

Distribuição Normal

A distribuição Normal é caracterizada por uma função, cujo gráfico descreve uma curva

em forma de sino. Esta distribuição depende de dois parâmetros:

- média (µ) – este parâmetro especifica a posição central da distribuição de probabilidades.

- desvio padrão (σ) – este parâmetro especifica a variabilidade da distribuição de probabilidades.

A curva Normal (ou curva de Gauss) apresenta as seguintes características:

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A média, a mediana e a moda coincidem;

A curva é simétrica em torno da média;

As extremidades da curva, em ambos os lados da média, se estendem cada vez mais

próximas do eixo x, sem jamais tocá-la.

A área total entre o eixo horizontal e a curva é igual a 100% dos dados considerados.

Figura 3: Número de combinações de média e desvio padrão é ilimitado

Valores padronizados e a distribuição Normal padrão

Com o objetivo de facilitar a obtenção de determinadas áreas sob uma curva Normal,

podemos fazer uma transformação na variável, levando-a para uma distribuição Normal com média 0

(zero) e desvio padrão 1 (um), também conhecida como distribuição Normal padrão ou distribuição

Normal padronizada.

Para que um dado valor x, de uma distribuição Normal com média µ e desvio padrão σ,

transforme-se num valor z da distribuição Normal padrão, basta fazer a seguinte operação:

xz

O valor z é conhecido como valor padronizado. Ele fornece uma medida relativa do valor

de x, em termos de distribuição da variável aleatória em estudo.

Figura 4: Comparação entre a escala real e a padronizada

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Sendo a média igual a zero(0) e o desvio padrão igual a um (1) constantes, as áreas sob a

curva Normal padrão podem ser calculadas e tabeladas, pois dependem exclusivamente do valor da

variável z.

Nessa tabela, a primeira coluna e a primeira linha dão o valor de z, sendo que a coluna dá

valores de z, com primeiro dígito decimal e a linha, com o segundo dígito decimal. Nas intersecções

da coluna com linha, encontramos a área sob a curva, que é a probabilidade da variável situar-se

entre zero (0) e o valor de z procurado.

Figura 5 – Área sob uma curva Normal em escala padronizada

Observação: A distribuição Normal é simétrica em torno de sua média, a metade esquerda da área

sob a curva é a imagem reflexa da metade direita. Desta forma, por exemplo, a área sob a curva

Normal padronizada entre z = 0 e z = 1 é igual à área sob a curva padronizada entre z = -1 e z =0.

Exemplo 3.14:

a) Qual a área sob a curva normal de z = 0 a z = 1 ?

b) Qual a área sob a curva normal padrão de z = -1 a z = 1 ?

c) Qual a área entre z = -0,56 e z = 1,20?

d) Qual a área entre z = 1,1 e z = 2,8?

e) Qual a área entre z = - 2,4 e z = -0,9?

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f) Qual a área à esquerda de z = - 0,75 ?

g) Qual a área à direita de z = 1,56 ?

h) Admitindo que a distribuição do quociente de inteligência (Q.I.) de crianças de certa escola seja

normal com média 100 pontos e desvio padrão 10 pontos, determinar:

- a probabilidade de uma criança, tomada ao acaso desta escola, acusar Q.I. superior a 120 pontos.

- a porcentagem esperada de crianças com Q.I. na faixa de 90 a 115 pontos.

Supondo que na escola tenhamos 487 alunos, quantos podemos esperar com Q.I. na faixa de

90 e 115 pontos?

EXERCÍCIOS

1) Suponha que a renda média de uma comunidade possa ser razoavelmente aproximada por uma distribuição normal, com média de R$ 750,00 e desvio padrão R$ 120,00. Qual a porcentagem da população que terá renda superior a R$ 980,00? 2) Numa amostra de 80 assalariados, (com as condições do problema 1), quantos podemos esperar que tenham menos de R$ 800,00 de renda? 3) Numa prova final de Estatística, as notas dos alunos tiveram uma distribuição normal com média 6 e desvio padrão 1,5. Sendo 5 a nota mínima de aprovação, qual a proporção de alunos reprovados? 4) A experiência tem mostrado que o tempo médio de tratamento fisioterápico para idosos é 30 sessões (com 45 min cada) com desvio padrão 6 sessões. Qual a probabilidade de determinado idoso ter tratamento com mais de 40 sessões?

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5) Os salários dos operários industriais são distribuídos normalmente, em torno da média de R$ 1.200,00, com desvio padrão de R$ 200,00. Calcule a probabilidade de um operário ter um salário semanal situado entre R$ 1.000 e R$1.250. 6) Determinado teste de avaliação escolar apresenta média 500 e desvio padrão 100. Sabendo que o resultado do teste distribui-se normalmente, qual o percentual de estudantes com resultado: a) entre 700 e 800 pontos? b) mais que 600 pontos? c) menos que 650 pontos? d) Menos de 400 pontos? 7) Se o tempo necessário para realizar uma anamnese é uma variável aleatória normal com µ = 25

minutos e σ = 8 minutos, quais são as probabilidades de a anamnese ser completa em: a) menos de 30 minutos? b) em um tempo entre 20 e 40 minutos? c) em um tempo entre 15 e 20 minutos?

8) Suponha que numa certa região o peso dos homens adultos tenha distribuição normal com média 70 kg e desvio padrão 16 kg. E o peso das mulheres adultas tenha distribuição normal com média 60 kg e desvio padrão 12 kg. Ao selecionar uma pessoa ao acaso, o que é mais provável: uma mulher com mais de 75 kg ou um homem com mais de 85 kg?

Respostas

1) 2,74% 2) 53 assalariados

3) 25,14% de reprovados 4) 4,75%

5) 44,00% 6) a) 2,15% b) 15,87% c) 93,32% d) 15,87%

7) a) 73,57% b) 70,56% c) 15,87% 8) Homem.

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ÁREA SOB A CURVA NORMAL PADRONIZADA

Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359

0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0577 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0754

0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141

0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517

0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879

0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224

0,6 0,2258 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2518 0,2549

0,7 0,2580 0,2612 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852

0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2996 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133

0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389

1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621

1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830

1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015

1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177

1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319

1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441

1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545

1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633

1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706

1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767

2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817

2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857

2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890

2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916

2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936

2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952

2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964

2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974

2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981

2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986

3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990

3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993

3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995

3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997

3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998

3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998

3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999

3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999

3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999

3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000