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7/23/2019 aulasEstatMedPosic

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Estatstica - exEstatMedPosic.doc 25/02/09

Medidas de Posio

Introduo

Vimos anteriormente que, atravs de uma distribuio de freqncias seestabelece um sistema de classificao que descreve o padro de variaode um determinado fenmeno estatstico.

Ocorre, todavia, que poderia ser muito difcil trabalhar com a distribuio defreqncias completa, razo pela qual costuma-se lanar mo dedeterminadas medidas. Essas medidas sumarizam certas caractersticasimportantes da distribuio de freqncias.

Temos diversas medidas que possibilitam condensar as informaes dentroda fase analtica da Estatstica Descritiva. Concentraremos nossa ateno,

de forma mais enftica, em dois tipos mais importantes:

1. Medidas de posio (especialmente as de tendncia central)

2. Medidas de disperso ou de heterogeneidade.

Medidas de Posio

As medidas de posio podem ser apresentar de vrias formas,dependendo daquilo que se pretende conhecer a respeito dos dadosestatsticos.

As medidas de posio mais importantes so as medidas de tendnciacentral ou promdias. Nossa pretenso aqui a determinao e o clculode medidas que ofeream o posicionamento da distribuio dos valores deuma varivel que desejamos analisar. Estas medidas so assimdenominadas em virtude da tendncia dos dados observados se agruparemem torno desses valores centrais.

As trs medidas de tendncia central ou promdias mais utilizadas pararesumir o conjunto de valores representativos do fenmeno que se desejaestudar so a moda, a mdia aritmtica e a mediana.

E Nemer 1 / 18


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Mdia ou mdia aritmtica ou mdia amostral: x

a medida de tendncia central mais comumente usada para descreverresumidamente uma distribuio de freqncias.

A mdia aritmtica de um conjunto de nmeros pode ser de dois tipos:simples ou ponderada.

Mdia aritmtica simples

obtida calculando-se o quociente entre a soma dos valores de umconjunto de dados e o nmero total de elementos desse conjunto.

Para uma amostra com n observaes x1, x2,...,xn -, a mdia aritmticasimples calculada por:

Valor genrico da observao

r 2 / 18

nsobservaedenmero

xdevaloresdossomax

n

iix

=== 1__

____

Nmero de observaes

Exemplo 1: Encontrar a mdia aritmtica para o conjunto de observaes 5,1, 6, 2, 4.

Soluo:

6,35

18

5

42615

5

5

1 ==++++

===i

ixx

Exemplo 2: Suponha que cinco funcionrios em um escritrio recebam osseguintes salrios: R$ 800,00; R$ 780,00; R$ 820,00; R$ 810,00; R$

790,00. Calcule a mdia aritmtica dos salrios.Soluo:

00,8005

00,79000,81000,82000,78000,800

5

5

1 =++++

===i

ixx

E Neme


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Obs:A mdia aritmtica simples ser calculada sempre que os valores noestiverem tabulados, ou seja, quando aparecerem representadosindividualmente, como o caso, por exemplo, dos dados brutos.

Mdia aritmtica ponderada

A mdia aritmtica considerada ponderada quando os valores do conjuntotiverem pesos diferentes. No caso da mdia aritmtica simples, todos osvalores apresentam peso igual.

O clculo da mdia aritmtica ponderada executado atravs do quocienteentre o produto dos valores da varivel pelos respectivos pesos e a somados pesos.

Exemplo 3: Um professor realiza quatro provas por ano em sua matria,atribuindo a cada uma delas os seguintes pesos: 1, 2, 3, 4. Se um alunotiver recebido as notas 8, 7, 9 e 9, nessa ordem, sua nota final ser a mdiaaritmtica ponderada obtida da seguinte maneira:

Soluo:

5,84321

)49()39()27()18(=

+++

+++=x

Obs: No exemplo apresentado, os pesos dos valores da varivel sofixados previamente, para efeito de clculo. Contudo, tratando-se dedistribuies de freqncias, os pesos dos valores da varivel no soatribudos arbitrariamente, mas correspondem ao nmero de vezes quecada valor ocorre.

Exemplo 4: Imagine que tenhamos o quadro abaixo com a nota de 20alunos.

Soluo:

4 5 5 5 55 6 6 6 66 6 7 7 77 7 8 8 8

i. Calculando a mdia aritmtica dos dados brutos: Para este clculovamos usar a frmula da mdia aritmtica simples. Logo, temos:

2,620

888766555554

20

20

1 =++++++++++++

=== Ki

ixx

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ii. Calculando a mdia aritmtica a partir dos dados com suasfreqncias absolutas: Para este clculo, vamos montar uma tabelacom as observaes e suas freqncias absolutas.

Nota Fi4 15 56 67 58 3

Usando o clculo da mdia aritmtica ponderada, temos que:

2,635651

)38()57()66()55()14(=

++++

++++=x

Observe no exemplo anterior os dois clculos para a mdia aritmtica.Verifique que indiferente somar o nmero 7 cinco vezes ou multiplicar onmero 7 por cinco.

Genericamente, se os valores x1, x2,..., xk ocorrerem f1, f2,..., fk vezes,respectivamente, ou seja, se os valores de xi esto agrupados com suasrespectivas freqncias absolutas Fi, a mdia aritmtica ou mdia amostralser expressa por:

n

iix

n

ii

n

ii

n

ii

Fx

F

Fx

=

=

= == 1

1

1

Obs:Quando os valores esto agrupados em classes, a tabela requer maisuma coluna, necessria para dispor os pontos mdios de classes.

Exemplo 5: Determinar a idade mdia para o conjunto dos 50 funcionriosconsiderados no exemplo da tabela de distribuio de freqncias.

Soluo: Da tabela de distribuio de freqncias, temos:

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Classes Intervalos das classes Bloco Fi fi fi% Fac fac fac% Xi

1 18 |----- 25 17 6 0,12 12 6 0,12 12 21,02 25 |----- 32 24 10 0,20 20 16 0,32 32 28

3 32 |----- 39 31 13 0,26 26 29 0,58 58 354 39 |----- 46 38 8 0,16 16 37 0,74 74 42,55 46 |----- 53 45 6 0,12 12 43 0,86 86 48,56 53 |----- 60 51 5 0,10 10 48 0,96 96 55,57 60 |----- 66 58 2 0,04 4 50 1,00 100 63,5

50 100Somas

r 5 / 18

ogo, temos que:L

44,3850

19221 ====n

ix

n

iiFx

Obs:O resultado de 38,44 anos aproximado, uma vez que utilizamos ospontos mdios xicom representantes das classes em que foram agrupadasas 50 idades. Se voltssemos tabela original e desconsiderssemos oagrupamento em classes, o valor da mdia aritmtica seria:

ever utilizar a frmula comum para o clculo da mdiaaritmtica.

32,3850

1916

50

65202018

__

__==

++++==

K

sobservaedenmero

idadesdassomax

A diferena entre os resultados foi de 38,22 38,44 = -0,12. Assim, quandoo analista dispuser da tabela de distribuio de freqncias, e admitir queuma aproximao do clculo da mdia no vai comprometer suasconcluses, poder usar a frmula para os dados agrupados. Casocontrrio, d

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Moda

Dentre as principais medidas de posio, destaca-se a Moda.

Considerando um conjunto ordenado de valores, a moda ser o valor

predominante, o valor mais freqente desse conjunto.

Um conjunto de valores pode no apresentar moda, sendo, ento,denominado conjunto amodal, caso em que todos os valores da varivel emestudo ocorreram com a mesma intensidade (freqncia). Por outro lado,podemos ter conjuntos plurimodais, quando houver mais de um valorpredominante.

Exemplo 6: Calcular a moda dos seguintes conjuntos de valores:

{ }= 8,8,7,7,6,6,6,5,5,4x Mo=6

{ }= 6,6,5,5,4,4x Con unto amodal

{ }= 6,6,5,5,5,4,3,3,2,2,2,1x Conjunto bimodal com Mo1=2 e Mo2= 5

{ }= 5,4,3,2,1x Con unto amodal

Os valores da varivel dispostos em uma tabela de freqncias podemapresentar-se individualmente ou agrupados em classes. No primeiro caso,a determinao da moda imediata, bastando, para isso, consultar atabela, localizando o valor que apresenta a maior freqncia.

Assim, para a distribuio, temos que:

xi 243 245 248 251 307Fi 7 17 23 20 8

r 6 / 18

Classe modal (classe com maior freqncia)A moda ser 248 e indica-se : Mo= 248

E Neme


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No caso de uma tabela de freqncias com valores tabulados e agrupadosem classes, o procedimento no imediato, sendo disponveis algunsmtodos de clculos distintos.

Qualquer que seja o mtodo adotado, o primeiro passo para determinar a

moda localizar a classe que apresenta a maior freqncia, comumentechamada de classe modal.

Dentre os mtodos existentes, destacaremos o clculo da moda por meioda frmula de Czuber.

hlM moo ++=

21

1

Onde:

lmo

= limite inferior da classe modal.1 = diferena entre a freqncia da classe modal e a freqncia da

classe imediatamente anterior.2 = diferena entre a freqncia da classe modal e a freqncia da

classe imediatamente posterior.h = amplitude da classe modal.

Exemplo 7: Calcular a moda para a distribuio abaixo:

Classes 0 |----- 1 1 |----- 2 2 |----- 3 3 |----- 4 4 |----- 5 F

i 3 10 17 8 5 43

r 7 / 18

Classe modal

Soluo:

1opasso: Indica-se a classe modal. No caso, trata-se da 3aclasse.2opasso: Calcula-se cada elemento da frmula, da seguinte maneira:

lmo= 21= 17 10 = 72= 17 8 = 9h = 1

3opasso: Aplica-se a frmula:

44,2197

72 =

++= MM oo

E Neme


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Classes 10 |----- 20 20 |----- 30 30 |----- 40 40 |----- 50 50 |----- 60 Fi 2 3 10 9 4 28

r 8 / 18

Class odale mSoluo:

1opasso: Indica-se a classe modal. No caso, trata-se da 3aclasse.2opasso: Calcula-se cada elemento da frmula, da seguinte maneira:

lmo= 301= 10 3 = 72= 10 9 = 1h = 10

3

o

passo: Aplica-se a frmula:

75,381017

730 =

++= MM oo


Salrios (US$) 80 |----- 180 180 |----- 250 250 |----- 300 300 |----- 500No de empregados 70 140 140 60

Soluo: Observe que as amplitudes das classes no so iguais.Nesse caso, preciso calcular as densidades das classes atravs dafrmula Fi / h, para identificar qual a classe modal (aquela com maiordensidade). Logo, temos que:

Salrios (US$) h Fi Fi/ h80 |----- 180 100 70 0,7180 |----- 250 70 140 2250 |----- 300 50 140 2,8300 |----- 500 200 60 0,3

C lasse modal

1o passo: A classe modal a terceira classe, pois a que apresentamaior densidade.

2o passo: Calcula-se cada elemento da frmula, da seguinte maneira:lmo = 2501 = 2,8 2,0 = 0,82 = 2,8 0,3 = 2,5h = 50

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3o passo: Aplica-se a frmula:

12,262505,28,0

8,0250 =

++= MM oo

Portanto, o salrio mais freqente para esse grupo de 410empregados US$ 262,12.

Mediana : Md ou x~

a terceira medida de tendncia central e pode ser definida como o valor

que divide uma srie ordenada (uma amostra ou uma populao) em duaspartes iguais, de tal forma que pelo menos a metade ou 50% dos itenssejam iguais ou maiores do que ele, e que haja pelo menos outra metade

ou 50 % dos itens menores do que ele. Por ser uma separatriz, ou seja, por separar um conjunto de dados em

partes iguais de tal sorte que uma frao (0,5 ou ) de valores lhe sejainferior e os restantes superiores, podemos concluir que essa medidaapresenta um nmero de ordem.

Assim que, ordenando os valores da srie, a mediana um valor queocupa uma determinada ordem ou posio na srie ordenada. O nmeroque indica a ordem em que se encontra o valor correspondente mediana denominado elemento mediano, cujo smbolo EMd.

Mediana a partir de dados no tabulados

calculada a partir de um rol ou lista ordenada dos dados. Podem ocorrerduas hipteses com relao ao nmero de observaes n: que ele sejampar ou par.

1. Nmero de observaes mpar

Este clculo requer primeiro que se determine a ordem em que se encontraa mediana na srie. Deve-se, ento, encontrar o valor do elementomediano, o que feito da seguinte forma:

2

1+=

nEMd

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O passo seguinte ser localizar a mediana na lista de valores, de acordocom o resultado obtido no clculo do elemento mediano.

Exemplo 10: Calcular a mediana do seguinte conjunto de nmeros:

{ }30,23,15,12,6,3,2=x

Soluo:

A primeira providncia a ser adotada seria a de ordenar os valores.Neste exemplo, os valores da srie j se encontram ordenados.

Em seguida, determinaremos o valor do elemento mediano para umconjunto mpar de observaes (observe que n=7).

42

17

2

1=

+=

+=

nEMd

Observe que o valor 4 um nmero ordinal. Assim, EMd= 4 indica quea mediana o valor que se encontra na quarta posio da listaordenada de valores, o quarto nmero da srie.

Finalmente, procuraremos no conjunto qual o valor que se encontrano quarto lugar da lista. Esse nmero corresponder mediana doconjunto. No nosso exemplo, temos:

12=Md

2. Nmero de observaes par

O procedimento para calcular a mediana de um nmero par deobservaes ligeiramente diferente do adotado para o caso em que n mpar. Primeiro calculamos o elemento mediano, conforme a frmulaabaixo:

2

nEMd =

No podemos usar o mesmo procedimento usado para um nmero mparde observaes pois, neste caso, temos dois valores centrais. Seusssemos o valor de Emd acima para obter a mediana estaramoscontrariando a definio de mediana que determina que deva existir umamesma proporo de valores menores e maiores do que ela.

Portanto, toda vez que houver um nmero par de observaes, a listaapresentar dois valores centrais e a mediana ser determinada calculando

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a mdia aritmtica entre os elementos da ordem n/2 e (n+1)/2, conforme oexemplo abaixo:

Exemplo 11: Calcular a mediana do seguinte conjunto de nmeros:

{ }20,17,15,14,12,9,6,3=x

Soluo:

Observe que n=8. O elemento mediano ser:

42

8

2===

nEMd

Logo, o elemento de ordem n/2 12 e o elemento de ordem (n+1)/2 14. Logo, a mediana ser dada por:

132

1412=

+=Md

Observe que agora temos a ocorrncia de igual nmero de valoresmaiores (14, 15, 17, 20) e menores (3, 6, 9, 12) do que a mediana.

Mediana a partir de dados tabulados mas no agrupados em classes

Quando os valores j estiverem agrupados, o procedimento serpraticamente o mesmo do item anterior.

1. Nmero de observaes mpar

Exemplo 12: Calcular mediana para a distribuio abaixo:

xi Fi Fac1 1 12 3 43 5 94 2 11 11

Soluo:

O conjunto de observaes neste caso mpar: n = 11.

E Nemer 11 / 18


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O elemento mediano ser:

62

111

2

1=

+=

+=

nEMd

A mediana dever ser o sexto elemento do conjunto. Para identific-lo,fica mais fcil se abrirmos uma coluna com as freqnciasacumuladas, conforme mostrado na tabela.

Por meio da Facencontra-se o valor (xi) correspondente mediana.Neste exemplo, ser o 3 ( Md = 3 ). Observe: o x icorrespondente classe que contiver a ordem calculada, no caso o sexto elemento.

2. Nmero de observaes par

Exemplo 13: Calcular mediana para a distribuio abaixo:

xi Fi Fac82 5 585 10 1587 15 3089 8 3890 4 42 42

Soluo:

O conjunto de observaes neste caso par: n = 42. O elementomediano ser:

212

42

2===

nEMd

Logo, o elemento de ordem n/2 21 e o elemento de ordem (n+1)/2 22. Como no exemplo anterior, identificamos os elementos de ordem21 e 22 pela Fac. Assim, temos que o elemento 21 corresponde a 87 e

o elemento 22 tambm corresponde a 87.Logo, a mediana ser dada por:

872

8787=

+=Md

E Nemer 12 / 18


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Mediana a partir de dados tabulados agrupados em classes

Quando os valores da varivel estiverem agrupados em classes, o clculoda mediana ser realizado por interpolao. Tratando-se de dadosagrupados, admite-se que os valores da varivel na distribuio de

freqncias distribuam-se continuamente. O procedimento para o clculo da mediana apresenta os seguintes passos:

o Passo 1: Calcula-se a ordem n/2. A varivel contnua,independentemente se n par ou mpar.

o Passo 2: Pela Fac, identifica-se a classe que contm a mediana (classeMd).

o Passo 3: Utiliza-se a frmula:

h

fn

MdF

lMd

Md

+= 2

Onde:

lMd= limite inferior da classe Md.n = tamanho da amostra ou nmero de elementos.f = soma das freqncias anteriores classe Md.h = amplitude da classe Md.FMd= freqncia da classe Md.

Exemplo 14: Dada a distribuio amostral, calcular a mediana:

Intervalos das classes Fi Fac

35 |----- 45 5 545 |----- 55 12 17

Classe Md55 |----- 65 18 3565 |----- 75 14 4975 |----- 85 6 5585 |----- 95 3 58

Soma 58

Soluo:

1o passo: Calcula-se a ordem n/2. A varivel contnua,independentemente se n par ou mpar. Como n=58, temos que oelemento n/2=29.

E Nemer 13 / 18


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2opasso: Identifica-se a classe Md pela Fac. Nesse caso, a classe Md a 3aclasse.

3opasso: Calcula-se cada elemento da frmula e aplica-se a frmula:

lMd= 55

n = 58f = 17h = 10FMd= 18

Logo, temos que:

57,611018

172

58

55 =

+=Md

Ento, 50% das observaes tm medidas abaixo de 61,57 e 50%acima desse valor

Quartis

H uma outra medida de posio semelhante mediana, embora no sejauma medida de tendncia central.

Como vimos anteriormente, a mediana divide a distribuio em duas partesiguais quanto ao nmero de elementos de cada parte. Temos agora o

quartil, que permite dividir a distribuio em quatro partes iguais quanto aonmero de elementos de cada uma.

0% 25% 50% 75% 100%

Q2= MdQ1 Q3

Com relao figura acima, temos que:

o Q1= 1oquartil, apanha 25% dos elementoso Q2 = 2

o quartil, coincide com a mediana, apanha 25% doselementos

o Q3= 3oquartil, apanha 75% dos elementos

E Nemer 14 / 18


15/18


Determinao do 1oquartil:

Passo 1: Calcula-se a ordem n/4. Passo 2: Identifica-se a classe Q1pela Fac. Passo 3: Aplica-se a frmula:

h

Q

fn

Q FlQ

+=

1

1

41

Determinao do 3oquartil:

Passo 1: Calcula-se a ordem 3n/4. Passo 2: Identifica-se a classe Q

3pela Fac.

Passo 3: Aplica-se a frmula:

h

Q

fn

Q FlQ

+=

3

3

4

3

3

Exemplo 15: Dada a distribuio amostral, determinar os quartis (Q1 e Q3)e mediana:


7 |----- 17 6 6

15 / 18

Soluo:

1opasso: n = 56

17 |----- 27 15 2127 |----- 37 20 4137 |----- 47 10 5147 |----- 57 5 56

Soma 56

Classe Md (contm o 28oelemento)

Classe Q1(contm o 28oelemento)

Classe Q3(contm o 28oelemento)

424

)56(3

4

3==

n14

4

56

4=

n28

2

56

2==

n=

E Nemer


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2opasso: Pela Facidentificam-se a classe Q1(2a), a classe Md (3a) e a

classe Q3(4a).

3opasso: Aplica-se, ento, a frmula:

Para Q1, temos: lQ1=17; n=56; f = 6; h=10; FQ1=15Para Md, temos: lQ1=27; n=56; f = 21; h=10; FMd=20Para Q3, temos: lQ3=37; n=56; f = 41; h=10; FQ1=10

Logo:

33,221015

64

56

171

=

+=Q

5,301020

212

5627 =

+=Md

381010

414

)56(3

373

=

+=Q

Diante desses resultados, pode-se afirmar que, nessa distribuio,

tem-se:

25% 25% 25% 25%

7 22,33 30,5 38 57

Logo, observamos que:- 25% das observaes esto entre 7 e 22,33- 25% das observaes esto entre 22,33 e 30,5

- 25% das observaes esto entre 30,5 e 38- 25% das observaes esto entre 38 e 57

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Decis

Continuando o estudo das medidas separatrizes: mediana e quartis, tem-seos decis. So os valores que dividem a srie em 10 partes iguais.

O clculo para um decil (Di) dado por :

Passo 1: Calcula-se a ordem in/10, em que: i=1,2,3,4,5,6,7,8 e 9. Passo 2: Identifica-se a classe Dipela Fac. Passo 3: Aplica-se a frmula:

h

D

fin

D FlD

i

ii

+=10

Em que:

LDi= limite inferior da classe Di i=1,2,3, ..., 9n = tamanho da amostraf = soma das freqncias anteriores classe Di.h = amplitude da classe Di.FDi= freqncia da classe Di.

Percentis

So as medidas que dividem a srie em 100 partes iguais.

O clculo de um percentil (Pi) dado por:

Passo 1: Calcula-se a ordem in/100, em que: i=1,2,3,...,98 e 99. Passo 2: Identifica-se a classe Pipela Fac. Passo 3: Aplica-se a frmula:

h

P

fin

P FlP

i

ii

+=100

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18/18


E Nemer 18 / 18

Em que:

LDi= limite inferior da classe Di i=1,2,3, ..., 9n = tamanho da amostraf = soma das freqncias anteriores classe Di.

h = amplitude da classe Di.FDi= freqncia da classe Di.

Exemplo 16: Determinar o 4odecil e o 72opercentil da seguinte distribuio:


4 |----- 9 8 8

Soluo:

Clculo de D4: Clculo de P72:

1opasso: n = 56

2opasso: Pela Facidentificam-se a classe D4e P72.

3opasso: Aplica-se, ento, a frmula:

Para D4, temos: lD4=9; n=40; f = 8; h=5; FD4=12Para P72, temos: lP72=14; n=40; f = 20; h=5; FP72=17

Logo:

Portanto, nessa distribuio, o valor 12,33 divide a distribuio emduas partes: uma ( esquerda) com 40% dos elementos e a outra com60%. O valor 16,89 indica que 72% dos elementos da distribuioesto abaixo de 16,89 e 28% acima.

9 |----- 14 12 2014 |----- 19 17 3719 |----- 24 3 40

Soma 40

Classe P72 Classe D4

1610

)40(4

10==

in 8,28

100

)40(72

100==

in

33,12512

810

)40(4

89,16517

20100

)40(72

1472

=

+=P94 =

+=D

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