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Cinemática de corpos rígidos Estudamos as relações existentes entre o tempo, as posições, as velocidades e as acelerações das várias partículas que formam um corpo rígido. Tipos de movimento: Translação – O movimento é dito de translação se qualquer linha recta no interior do corpo se mantiver na mesma direcção durante o movimento. Se as trajectórias forem linhas rectas, o movimento chama-se translação rectilínea; se forem linhas curvas, o movimento é dito translação curvilínea. (Fig. 15.2) Tendo em conta que a posição relativa entre A e B se mantêm constante. Num corpo rígid o em movimento de translação todos os pontos têm a mesma velocidade e aceleração. Rotação em torno de um eixo fixo Neste tipo de movimento, as partículas que for mam o corpo rígido movem-se em planos paralelos e segundo circunferências em torno do mesmo eixo fixo, denominado por eixo de rotação. As partículas localizadas sobre este eixo terão velocidade e aceleração nulas. Vector velocidade: onde o vector velocidade angular é definido por k é a direcção perpendicular ao plano em que se dá o movimento do corpo. Vector aceleração: onde o vector aceleração angular é dado por O vector aceleração pode ser definido pelas componentes escalares normal e tangencial.
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Cinemática de corpos rígidos
Estudamos as relações existentes entre o tempo, as posições, asvelocidades e as acelerações das várias partículas que formam umcorpo rígido.
Tipos de movimento:
Translação – O movimento é dito de translação se qualquer linharecta no interior do corpo se mantiver na mesma direcção durante omovimento. Se as trajectórias forem linhas rectas, o movimentochama-se translação rectilínea; se forem linhas curvas, o movimentoé dito translação curvilínea. (Fig. 15.2)
Tendo em conta que a posição relativa entre A e B se mantêmconstante.
Num corpo rígido em movimento de translação todos os pontos têma mesma velocidade e aceleração.
Rotação em torno de um eixo fixo
Neste tipo de movimento, as partículas que formam o corpo rígidomovem-se em planos paralelos e segundo circunferências em torno domesmo eixo fixo, denominado por eixo de rotação. As partículas
localizadas sobre este eixo terão velocidade e aceleração nulas.
Vector velocidade:
onde o vector velocidade angular é definido por
k é a direcção perpendicular ao plano em que se dá o movimentodo corpo.
Vector aceleração:
onde o vector aceleração angular é dado por
O vector aceleração pode ser definido pelas componentes escalaresnormal e tangencial.
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Equações que definem a rotação de um corpo rígido em tornode um eixo fixo.
Movimento plano geral
Qualquer movimento que não seja de translação ou de rotação emtorno de um eixo fixo considera-se um movimento plano geral.
Velocidade absoluta e velocidade relativa no movimento planogeral.
Onde a velocidade de B relativamente a A é dada por
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Aceleração absoluta e aceleração relativa no movimento planogeral.
Escolhendo A como ponto de referência, a aceleração do ponto B édada pela soma da aceleração do ponto A com a aceleração de Brelativamente a A.
Centro instantâneo de Rotação (CIR)
O centro instantâneo de um corpo corresponde ao ponto onde o eixoinstantâneo de rotação intersecta o plano onde o corpo está inserido. Oponto correspondente ao CIR tem velocidade e aceleração nulas etodas as partículas do corpo se deslocam na direcção perpendicular àlinha que as une ao CIR.
Casos particulares:
No caso em que um corpo roda sem escorregar numa superfície fixa, oponto de contacto entre o corpo e a superfície é, nesse instante, ocentro instantâneo de rotação.
Sempre que dois pontos de um corpo tenham a mesma velocidade(direcção e intensidade), consideramos que o C.I.R. está situado eminfinito. Neste caso a velocidade angular é nula, o mesmo quer dizerque o corpo considerado apenas tem movimento de translação.
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Como analisar o movimento plano geral em termos de umparâmetro.
Diferenciando em ordem ao tempo obtemos:
Substituindo e ficamos com
Por exemplo se quisermos conhecer o valor da velocidade dos pontosA e B para t = 0.1 s tendo em conta que a barra roda com umavelocidade angular constante de 2 rad/s no sentido anti-horário.
Considere
Exercício ( Beer 15.141)
Um disco de raio r rola para a direita com uma velocidade constante v.Tendo em conta que o ponto P está em contacto com o chão para t=0,derive a expressão da componente vertical e horizontal da velocidadedo ponto P para qualquer tempo t.
Tendo em conta que o CIR corresponde ao ponto C
Definir a posição de P em termos do parâmetro θ .
Derivar em ordem ao tempo
r v A r x A .
rsenr rsen x x A p cosr r y p
)(. t r
vvsensenr v
P
y
t
r
vvr r v
P
X cos1cos
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Exercício ( Beer 15.25)
Um anel C tem um raio interior de 55 mm e um raio exterior de 60mm, encontrando-se posicionado entre duas rodas A e B, ambas com24 mm de raio. Sabendo que a roda A rola sem escorregar com umavelocidade angular constante de 300 rpm.
a) Determine a velocidade angular do anel C e da roda Bb) A aceleração dos pontos A e B que estão em contacto com C
Resolução:
a)
Tendo em conta que não existe escorregamento podemosdeterminar a velocidade angular do anel C a partir da velocidade doponto de contacto entre A e C.
Analogamente, podemos determinar a velocidade angular da rodaB a partir da velocidade de contacto entre C e B.
b)
A expressão da aceleração de qualquer ponto da roda A pode serdeterminada a partir da seguinte expressão.
Como a aceleração do centro da roda A é nula e a velocidadeangular constante.
Analogamente, podemos determinar a aceleração do ponto decontacto da roda B com o anel C
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Exercício ( Beer 15.54)
O braço ACB roda em torno do ponto C com uma velocidadeangular de 40 rad/s no sentido anti-horário. Dois discos de atrito A e Bestão pinados em seus centros ao braço ACB como demonstrado nafigura. Sabendo que os discos rolam sem escorregar nas superfícies decontacto, determine:
a) Velocidade angular do disco A
b) Velocidade angular do disco B
Sabemos que o ponto B roda em torno do ponto C
Tendo em conta que o disco B rola sem escorregar na superfície Do ponto de contacto tem velocidade nula, sendo assim é um CIR
(centro instantâneo de rotação).
Para determinarmos a velocidade angular do disco A temos queconhecer primeiro a velocidade de dois pontos. No presente caso serávantajoso determinar a velocidade de contacto entre os dois discos(ponto E) e a velocidade do centro A.
Podemos determinar a velocidade do ponto E a partir da velocidade doponto B.
A velocidade do ponto A pode ser determinada a partir da velocidadeangular do braço ABC.
Para determinar a velocidade angular basta utilizar a expressão davelocidade relativa.
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Exercício ( Beer 15.132)
O mecanismo ABDE possui apoios fixos em A e E e rótulas nospontos B e D.
Sabendo que para o instante representado a barra AB roda com umavelocidade angular constante de 4 rad/s no sentido horário, determinea aceleração angular (a) da barra BD, (b) da barra DE.
Tendo em conta que o CIR de rotação da barra BD coincide com oponto A, a velocidade angular da barra BD é também de 4 rad/s.
A velocidade angular da barra DE pode ser obtida a partir davelocidade do ponto B.
Escolhendo a componente vertical da velocidade de D
Sabendo que a barra AB roda com velocidade angular constante de 4rad/s no sentido horário.
Podemos definir a aceleração de D a partir do movimento da barraBD.
Da mesma forma podemos determinar a aceleração de D a partir domovimento da barra DE.
Igualando as componentes segundo x e y.
srad DE DE AB / 67.6150.0250.04150.0250.0
