Aula Teórica 8
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Aula Teórica 8
Difusividade, Viscosidade, Fluxo difusivo e Tensões de corte e
Equação de Evolução
Taxa de Acumulação e Equação de Evolução
• A taxa de variação de uma propriedade num sistema material de dimensões infinitesimais é dada pela derivada total.
• Porque variam as propriedades? – Pelas fontes e poços ou porque a propriedade pode deslocar-
se por meios diferentes da velocidade (e.g. difusão, radiação),– Pelas fontes ou poços descritas nos princípios de conservação
(e.g. Forças no caso da quantidade de movimento).
?
j
j xu
tdtd
Equação de evolução
• A derivada convectiva resulta da divergência do fluxo convectivo (ou advectivo).
• Afinal o que é a difusão? É a consequência da definição de velocidade.
iojjj
j SSDxx
utdt
d
Definição de velocidade
• A figura representa moléculas de dois fluidos em repouso. A velocidade mede o volume de moléculas que passa por unidade de área.
• Se a velocidade for nula, o volume que passa num sentido é igual ao que passa no sentido contrário.
Cx Cx+∆x
Difusão
• Mas as moléculas têm movimento browniano e por isso - num fluido - estão sempre a mudar de posição relativa.
• Se as moléculas que estão de um lado da superfície forem iguais às que estão do outro lado, o saldo é estatisticamente nulo.
• Se a concentração for diferente, então existirá um saldo com um fluxo resultante orientado da concentração maior para a menor.
Fluxo difusivo por unidade de área
bllld ucc
lclcc lll
lcul bd
.
xc
dx
Na direcção “x”:
Equação de evolução
iojjj
j SSxxx
utdt
d
iojjj
j SSxxx
utdt
d
Porque motivo a equação da continuidade não tem fluxo difusivo?
Ou:
O caso da quantidade de Movimento
lu
x jj
A taxa de variação da quantidade de movimento é igual ao somatório das forças aplicadas e por isso o fluxo difusivo pode ser visto como uma força: É a força de atrito
A difusividade de quantidade de movimento chama-se viscosidade.
Viscosidade• A força de atrito aparece quando as moléculas que passam de
um lado para o outro da superfície têm velocidade diferente. • O gradiente que gera o atrito é por isso o gradiente de
velocidade. • Existindo gradiente de velocidade, as moléculas têm que ser
aceleradas ou desaceleradas. Como consequência vão alterar a sua quantidade de movimento. A variação da quantidade de movimento implica a existência de aceleração e a foça vai ser proporcional à massa. Por unidade de volume teremos:
•
su
su
Síntese• A tensão de corte é o fluxo difusivo de
quantidade de movimento.• A tensão de corte é tangente à velocidade e
origina um fluxo de quantidade de movimento perpendicular à velocidade, no sentido contrário do gradiente de velocidade.
• A velocidade tem 3 componentes e por isso o seu gradiente tem 9 (cada uma das 3 componentes pode variar nas 3 direcções do espaço).
O tensor das tensões
• A tensão de corte é por isso representada por um tensor com 9 componentes.
• A componente “i” da velocidade pode variar em qualquer das direcções “j” do espaço, dando origem a 3 forças. O conjunto das tensões é o tensor:
•
ji
• Pensemos num volume infinitesimal com a forma de um cubo e na componente “1” da velocidade (representada a verde).
• Esta componente pode varia na direcção “1”, na direcção “2” e na direcção “3”, dando origem respectivamente às tensões
;31;21;11
• Estas tensões actuam nas faces do cubo com normais nas direcções “1”, “2” e “3”. Existem duas faces para cada uma das direcções. A resultante das forças é a diferença entre as tensões que actuam em faces correspondentes, que por unidade de volume dá:
• A convenção de sinais é: o que entra é positivo.
1jjx
Como determinar as tensões?
• São proporcionais ao gradiente de velocidade,• Não pode haver efeito de pressão (a força é
tangencial):
• E o momento resultante sobre um volume de controlo tem que ser nulo (caso contrário teria aceleração angular).
0332211
Caso geral dyyx
O sistema de tensões segundo x criaria um binário. Para o equilibrar tem que haver outro binário equilibrado por tensões iguais segundo y.
yx
xy
dxxy
yxxy
Expressão geral da Tensão de corte
i
j
j
iji x
uxu
k
kij
i
j
j
iji x
uxu
xu
32
Quando i=j esta expressão dá a divergência da velocidade, que se o fluido for compressível tem que ser anulada. A expressão geral fica: