PERFIL LONGITUDINAL

Estradas e Aeroportos

Perfil longitudinal

Pontos singulares do greide:

PCV: Ponto de curva vertical;

PIV: Ponto de intersecção vertical;

PTV: Ponto de tangente vertical.

Exemplo

Considerando que, no greide

esquematizado na figura anterior, o PIV1

esteja localizado na estaca 7 + 0,00 m e o

PIV2 localizado na estaca 18 + 10,00 m,

qual é a declividade do trecho reto do

greide ente o PTV1 e o PCV2, sabendo-se

que a cota do ponto correspondente ao PIV1

é 97,985 m e que a cota do ponto

correspondente ao PIV2 é 89,935 m?

Exemplo – Resolução

A diferença de cotas (dV) entre os pontos singulares PIV1 ePIV2 é igual a:

dV = 89,935 m – 97,985 m = -8,050 m.

A distância (dH) entre esses mesmos pontos singulares é:

dH = (18 + 10,00 m) – (7 + 0,00 m) = 11 + 10,00m = 230 m.

Portando, a declividade (i2) do trecho reto entre essespontos será igual a:

𝑖2 =−8,050 𝑚

230,00 𝑚,

Logo, i2 = - 0,035 ou – 3,500%

Perfil Longitudinal

Rampas

Veículos de passageiros conseguem vencer

rampas de 4% a 5% com perda de velocidade

pequena.

Para os caminhões, a perda de velocidade em

rampas é bem maior. A velocidade desenvolvida

depende de vários fatores: inclinação e

comprimento da rampa, peso e potência do

caminhão e velocidade de entrada na rampa.

Inclinações máximas das rampas

Fonte: DNIT (1999)

Classe do

projeto

Relevo

Plano Ondulado Montanhoso

Classe 0 3 4 5

Classe I 3 4,5 6

Classe II 3 5 7

Classe III 4 6 8

Classe IV A 4 6 8

Classe IV B 6 8 10 (limitada a

300m)

Comprimento da curva

Comprimento da curva

𝐿𝑉 = 𝑅𝑉 . 𝛿𝑖 ,

em que:

𝐿𝑉 = comprimento da curva (m) (projeção

horizontal);

𝑅𝑉 = raio no vértice da parábola (m);

𝛿𝑖 = diferença algébrica de rampas (número

decimal).

Exemplo

Conhecidos os dados constantes na figura, calcule asestacas dos PCVs e PTVs. Adote os raios (emmódulo) R1 = 6.000,m e R2 = 4.000 m.

Utilize:

𝛿𝑖 = 𝑖2 − 𝑖1

𝐿𝑉 = 𝑅𝑉 . 𝛿𝑖

PCV = PIV - 𝐿𝑉/2

PTV = PIV + 𝐿𝑉/2

Exemplo – Resolução

Cota do PIV1:

745,23 + 0,01.1642 = 761,65m

Cota PIV2:

761,65 – 0,045.766 = 727,18 m.

Inclinação i3:

𝑖3 =773,05 −727,18

880= 0,052121 = 5,2125%

Exemplo – Resolução

Sinais das curvas:

Côncava: + Convexa: -

Curva 1:

i1 = 0,01

i2 = -0,045

𝛿𝑖 = i2 – i1 = -0,045 – 0,01 = - 0,055

R1 = - 6.000 m

𝐿𝑉 = 𝑅𝑉 . 𝛿𝑖 = -6.000.(-0,055) = 330,00m

𝐿𝑉/2 = 165,00m

PIV1 = [82 + 2,00] = 1.642m

PCV1 = 1.642 - 165 = 1.477 = [73 + 17,00]

PTV1 = 1.642 + 165 = 1.807 = [90 + 7,00]

Exemplo – Resolução

Sinais das curvas:

Côncava: + Convexa: -

Curva 2:

i2 = -0,045

i3 = 0,052125

𝛿𝑖 = i3 – i2 = 0,05215 – (-0,045) = 0,097125

R2 = + 4.000 m

𝐿𝑉 = 𝑅𝑉 . 𝛿𝑖 = +4.000 . (0,097125) = 388,50 m

𝐿𝑉/2 = 194,25 m

PIV2 = [120 + 8,00] = 2.408m

PCV2 = 2.408 – 194,25 = 2.213,75 m = [110 + 13,75]

PTV2 = 2.408 + 194,25 = 2.602,25 m = [130 + 2,25]

Exercício – Resposta

Curva 1 2

i2 -0,045 0,052125

i1 0,01 -0,045

𝛿𝑖 -0,055 0,097125

R -6.000,00 4.000,00

LV 330,00 388,50

LV/2 165,00 194,25

PIV [82 + 2,00] [120 + 8,00]

PCV [73 + 17,00] [110 + 13,75]

PTV [90 + 7,00] [130 + 2,25]

Curvas verticais de concordância

Curvas verticais de concordância

Curvas verticais parabólicas:

Equações para a curva: parábola

Equações para a curva

A partir da parábola, 𝑦 = 𝑎. 𝑥2 + 𝑏. 𝑥 + 𝑐, pode-se obter sua derivada, dada pela equação:

𝑦 = 𝑎. 𝑥 + 𝑏

Impondo-se a condição de que a parábolaconcorde com as rampas, ou seja, que astangentes à curva nos pontos PCV e PTVtenham a mesma inclinação das rampas 𝑖1 e 𝑖2,temos:

Equações para a curva

No PCV, 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑖1 = 2.a.0 + b → b = 𝑖1

no PTV, 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑖2 = 2.a. 𝐿𝑉 + b → 𝑎 =

𝑖2 −𝑖1

2.𝐿𝑉=

𝛿𝑖

2.𝐿𝑉

Logo,

𝑦 =𝛿𝑖

2.𝐿𝑉𝑥2 + 𝑖1. 𝑥 ,

A equação obtida fornece a ordenada y em qualquer ponto

P da curva, sendo 𝑥 = distância do PCV ao P e 𝑦 =

diferença de cota entre o P e o PCV.

Coordenadas, em relação ao PCV, de

alguns pontos singulares da curva

Cotas dos pontos da curva

Com as equações 𝑦 =𝛿𝑖

2.𝐿𝑉𝑥2 + 𝑖1. 𝑥 e y = 𝑖1. 𝑥,

pode-se calcular o valor da flecha f para

qualquer ponto da curva:

f = 𝑖1. 𝑥 −𝛿𝑖

2.𝐿𝑉𝑥2 + 𝑖1. 𝑥 = −

𝛿𝑖

2.𝐿𝑉𝑥2,

f = −𝛿𝑖

2.𝐿𝑉𝑥2,

a partir da primeira rampa.

Cotas dos pontos da curva

Para o PIV ( x = 𝐿𝑣/2), temos:

F = −𝛿𝑖.𝐿𝑣

8,

ou seja, f =4.𝑥2

𝐿𝑣2 . 𝐹

Exemplo

Dado o trecho de perfil da figura, calcular as cotas

do greide (perfil de referência) da estaca 103 à

estaca 125.

Exemplo - Resolução

Cotas do PTV1 e PCV2 a partir da cota do PIV2.

PCV2 = 542,48 – (-0,02).(115-109).20 = 544,88

PTV1 = 542,48 – (-0,02).(115-103).20 = 547,28m

Na rampa, o incremento de cota

entre uma estaca e a seguinte é

constante. Neste caso, é igual a

– 0,02.20 = - 0,40 m.

Logo, cada cota é igual à anterior

menos 0,40 m.

Estaca Cota

103 547,28

104 546,88

105 546,48

106 546,08

107 545,68

108 545,28

109 544,88

Exemplo - Resolução

Cálculo da curva vertical 2.

𝐿𝑣 = [121 + 0,00] – [109 + 0,00] = 240m

𝑦 = 𝑎. 𝑥2 + 𝑏. 𝑥 + 𝑐; 𝑎 =𝛿𝑖

2.𝐿𝑉; 𝑏 = 𝑖1

Então, temos:

𝑦 =0,06

2.240𝑥2 − 0,02. 𝑥

𝒚 = 𝟏, 𝟐𝟓. 𝟏𝟎−𝟒𝒙𝟐 − 𝟎, 𝟎𝟐. 𝒙

Exemplo - Resolução1

Estaca

2

x3

0,02.x4

𝒙𝟐5

1,25.𝟏𝟎−𝟒. 𝒙𝟐6

y = 5 - 3

7Cota=544,88+ y

109 0 0 0 0 0 544,88

110 20 0,40 400 0,05 -0,35 544,53

111 40 0,80 1.600 0,20 -0,60 544,28

112 60 1,20 3.600 0,45 -0,75 544,13

113 80 1,60 6.400 0,80 -0,80 544,08

114 100 2,00 10.00 1,25 -0,75 544,13

115 120 2,40 14.400 1,80 -0,60 544,28

116 140 2,80 19.600 2,45 -0,35 544,53

117 160 3,20 25.600 3,20 0,00 544,88

118 180 3,60 32.400 4,05 0,45 545,33

119 200 4,00 40.000 5,00 1,00 545,88

120 220 4,40 48.400 6,05 1,65 546,53

121 240 4,80 57.600 7,20 2,40 547,28

Exemplo - Resolução

Trecho entre PTV2 e a estaca 125 (2ª rampa):

O incremento em cada estaca é 0,04.20 = 0,80m

Portanto:

Estaca Cota

121 547,28

122 548,08

123 548,88

124 549,68

125 550,48

Comprimento mínimo das curvas

Comprimento mínimo das curvas verticais convexas:

critério da distância de visibilidade

1°) Veículo e obstáculo sobre a curva convexa (S = Df ≤ LV):

𝐿𝑣𝑚í𝑛 =𝛿𝑖 .𝐷𝑓

2

4,04,

com 𝐿𝑣𝑚í𝑛 e 𝐷𝑓 em metros.

Obs.: h1 = 1,07m e h2 = 0,15, de acordo valores recomendados pelaAASHTO.

Comprimento mínimo das curvas verticais convexas:

critério da distância de visibilidade

2°) Veículo e obstáculo sobre rampas (S = Df ≥ LV):

𝐿𝑣𝑚í𝑛 = 2. 𝐷𝑓 −4,04

|𝛿𝑖|,

com 𝐿𝑣𝑚í𝑛 e 𝐷𝑓 em metros.

Obs.: h1 = 1,07m e h2 = 0,15, de acordo valores recomendados pelaAASHTO.

Comprimento mínimo das curvas verticais côncavas:

critério da distância de visibilidade

1°) Veículo e obstáculo sobre a curva côncava (S = Df ≤ LV):

𝐿𝑣𝑚í𝑛 =𝛿𝑖 .𝐷𝑓

2

1,2+0,035.𝐷𝑓,

com 𝐿𝑣𝑚í𝑛 e 𝐷𝑓 em metros.

Obs.: h3 = 0,6 m e 𝛼 = 1°, de acordo valores recomendados pela AASHTO.

Comprimento mínimo das curvas verticais côncavas:

critério da distância de visibilidade

2°) Veículo e obstáculo sobre rampas (S = Df ≥ LV):

𝐿𝑣𝑚í𝑛 = 2. 𝐷𝑓 −1,2+0,035.𝐷𝑓

|𝛿𝑖|,

com 𝐿𝑣𝑚í𝑛 e 𝐷𝑓 em metros.

Obs.: h3 = 0,6 m e 𝛼 = 1°, de acordo valores recomendados pelaAASHTO.

Critério do mínimo valor absoluto

Curvas verticais devem atender, também, a

seguinte condição:

𝐿𝑣𝑚í𝑛 = 0,6. 𝑉𝑝,

em que:

𝐿𝑣𝑚í𝑛 = comprimento mínimo (m);

𝑉𝑝 = velocidade de projeto (km/h).

Concordância vertical

Em uma concordância vertical com uso de parábolasimples, define-se o valor do parâmetro de curvaturaK da parábola pelo quociente:

𝐾 =𝐿

|𝐴|,

em que:

K= parâmetro de curvatura (m/%);

L = comprimento da parábola;

A (ou 𝛿𝑖) = diferença algébrica entre as declividades nos extremos daparábola (%).

Critério da máxima “aceleração centrífuga” admissível

Em curvas verticais, a “força centrífuga” vertical não deve

ultrapassar determinada porcentagem da aceleração g da

gravidade, para não causar desconforto aos passageiros e

ao motorista.

Assim, o DNIT define os valores dos parâmetros de

curvatura Kmín (m/%):

V.Diretriz

(km/h)

30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

Elevado a

= 1,5% g4,72 8,39 13,1 18,88 25,69 33,56 42,47 52,44 63,45 75,51

Reduzidoa = 5,0% g

1,42 2,52 3,93 5,66 7,71 10,07 12,74 15,73 19,03 27,65

Critério da drenagem

É recomendável que as declividades longitudinais sejam iguais ou

superiores a 1,000% para as sarjetas (e, consequentemente, para o

greide nos trechos que incluem sarjetas).

As declividades longitudinais devem ter no mínimo 0,500%, onde não

for possível manter as declividades desejáveis, com um mínimo

absoluto de 0,350%.

Valores menores que 0,350% são limitados a uma extensão de até

30,00 m, o que pode ocorrer, por exemplo, no entorno do vértice de

curvas convexas, em concordâncias de trechos retos de greide com

declividades de sinais contrários.

Exemplo

Qual o comprimento mínimo de parábola a ser

usado na concordância de dois trechos retos de

greide, com declividades i1 = +6,000% e i2 = -

4,000%, respectivamente, para uma rodovia com

elevado padrão de projeto, considerando uma

velocidade de projeto de 100km/h?

Exemplo – Resolução

a) Mínimo valor absoluto:

Lmín = 0,6.100 = 60,00 m;

b) Máxima aceleração centrífuga admissível:

Lmín = |A|.Kmín = 10,000.52,5 = 525,00 m;

Exemplo – Resolução

c) Distância de visibilidade para frenagem:

𝐷𝑓= 0,7.V + 0,0039.𝑉2

𝑓+𝑖= 0,7.100 + 0,0039.

1002

0,29= 204,5 m;

Supondo-se, por hipótese, 𝐷𝑓 ≥ 𝐿𝑚í𝑛:

𝐿𝑚í𝑛 = 2. 204,50 −4,04

−0,04−0,06= 368,60 𝑚 (maior que a distância de

frenagem, o que não confirma a hipótese);

Supondo-se, por hipótese, 𝐿𝑚í𝑛 ≥ 𝐷𝑓:

𝐿𝑚í𝑛 =−0,04 − 0,06 . 204,502

4,04= 1.035,15 𝑚.

Logo, 𝐿𝑚í𝑛 = 1.035,15 m.

Resposta: o comprimento mínimo a ser utilizado será de 1.040,00 m(valor arredondado por questões práticas).

Bibliografia

ANTAS, P. M.; VIEIRA, A.; GONÇALO, E. A.; LOPES, L. A. S.. Estradas:

projeto geométrico e de terraplenagem. Capítulo 9. Rio de Janeiro:

editora Interciência, 2010.

LEE, S. H.. Introdução ao projeto geométrico de rodovias: Capítulo 8.

Florianópolis: editora UFSC, 2013.

PIMENTA, C. R T.; OLIVEIRA, M. P.. Projeto Geométrico de

Rodovias: Capítulo 7. São Carlos: editora RIMA, 2004.