Aula 6 - ESCOAMENTO DE FANNO e COM TROCA DE CALOR...
Transcript of Aula 6 - ESCOAMENTO DE FANNO e COM TROCA DE CALOR...
Teoria do Escoamento Compressivel J. R. Simões Moreira 77
Aula 6 - ESCOAMENTO DE FANNO e COM TROCA DE CALOR
ESCOAMENTO DE FANNO
O escoamento de Fanno refere-se ao escoamento unidimensional em dutos de seção
transversal constante e adiabático (T0=const.) em que o atrito do fluido com a tubulação
não pode ser desprezado. O atrito superficial altera os estados termodinâmicos do fluido.
Para dar início ao estudo, as equações unidimensionais para o escoamento de Fanno podem
ser deduzidas considerando um volume de controle adiabático com atrito na parede, como
ilustrado no esquema abaixo.
A influência do atrito é analisada a partir da definição do fator de atrito, f, definido por
2
2
1V
fp
, onde é a tensão de cisalhamento na parede do duto, é a densidade do
fluido e V é a velocidade média. O fator de atrito é geralmente empregado para escoamento
de líquidos incompressiveis. De uma forma geral, f depende do número de Reynolds, Re, e
da razão /D, onde é a rugosidade média absoluta e D, o diâmetro da tubulação. A função
f =f(Re, D) constitui o diagrama de Moody. Para escoamento supersônico existe discussão
a respeito da validade completa, ou melhor, da validade de extrapolar os resultados
subsônicos para supersônicos. Isto devido à grande variação das propriedades no caso
supersônico.
Usando o volume de controle diferencial e unidimensional indicado na figura acima, pode-
se realizar o seguinte balanço de forças e quantidade de movimento para um tubo circular
(após algumas manipulações):
Teoria do Escoamento Compressivel J. R. Simões Moreira 77
dxD
uddP p 4)( 2 (6.1a)
mas, da lei da conservação de massa, sabe-se que u = const., de forma que
.)()( 2duuduuuudud Agora, substituindo na equação da conservação da
quantidade de movimento acima, vem:
dxD
duudP p 4)( (6.1b)
Agora, usando a definição do coeficiente de atrito, vem
D
fdxuduudP
4
2
1)( 2 (6.1c)
Essa expressão agora pode ser manipulada para o caso de gás perfeito e número de Mach.
Fica como exercício mostrar que a seguinte expressão será obtida para essa situação
M
dM
M
M
MD
fdx
2
2
2
12
11
124
(6.2a)
Finalmente, após integração entre duas seções de interesse, obtém-se:
2
1
2
12
2
2
2
11
12
114
M
M
x
x M
Mn
MD
fdx
(6.2)
Uma vez que o escoamento é adiabático, as relações de propriedades entre dois pontos do
escoamento são dadas por:
2
2
2
1
2
0
1
0
1
2
12
12
M
M
TT
TT
T
T
(6.3)
Teoria do Escoamento Compressivel J. R. Simões Moreira 77
21
2
2
2
1
2
1
1
2
12
12
M
M
M
M
P
P
(6.4)
21
2
2
2
1
2
12
12
12
M
M
M
M
, e (6.5)
12
1
2
1
2
2
2
1
01
02
12
12
M
M
M
M
P
P (6.6)
seja 1 a condição de reservatório, de forma que M1=0 e 2 uma condição qualquer, então:
h
hM
T
T 020
2
11
(6.7)
Na condição sônica 2
1
*
0
T
T
A segunda lei pode ser escrita como:
2
1
0
2
1
2
1
2
1
0
2
1
1
21
T
T
T
TIn
C
s
p
, (6.8)
mas lembrando ainda que ,000 T
T
TC
TC
h
h
p
p conclui-se que a expressão acima é a chamada
linha de Fanno no diagramas sh ou ,sT dependendo de qual variável se deseja na
ordenada.
Teoria do Escoamento Compressivel J. R. Simões Moreira 77
Observando a curva h – s, acima, as seguintes observações podem ser traçadas:
Tendências M>1
(supersônico)
M<1
(subsônico)
Número de Mach Diminuir Aumentar
Pressão Aumentar Diminuir
Temperatura Aumentar Diminuir
Pressão de estagnação Diminuir Diminuir
Velocidade Diminuir Aumentar
Outra observação importante, é que, sendo o atrito inerentemente irreversível, a tendência
de todos os estados termodinâmicos é de se aproximar da condição sônica (*) ou de M = 1,
como ilustrado pelas setas na figura acima.
Voltando à eq. (6.2), seja 0x na seção em que M1 = M e M2 a condição sônica, então,
usando essa nova nomenclatura, tem-se:
2
2
2
2
max
2
112
1
2
114
M
MIn
M
M
D
Lf
(6.9)
onde, o fator médio de atrito é dado por max
0max
1L
fdxL
f .
O valor Lmax indica o tamanho máximo do duto para que um dado escoamento a um certo
número de Mach (subsônico ou supersônico) se torne sônico. Olhando no diagrama h – s
acima, seria o comprimento correspondente ao caso em que a entropia se torna máxima,
como indicado.
Ainda da eq. (6.9), pode-se determinar o comprimento de duto necessário para que um
dado escoamento com número de Mach igual a M1 atinja M2, qual seja:
21
maxmax 444
MMD
Lf
D
Lf
D
Lf
(6.10)
Teoria do Escoamento Compressivel J. R. Simões Moreira 77
A função da eq. (5.9) encontra-se tabelada em muitos livros de escoamento compressivel.
Uma tabela dessa expressão encontra-se na seção de anexos.
Atrito se torna muito sério para escoamento supersônico. Assumindo o valor médio do
fator de atrito igual a 0025,0f , a seguinte tabela indica o número de diâmetros
necessários para que o escoamento atinja a condição sônica a partir de um certo número de
Mach. Por exemplo, para M = 0,25, o comprimento máximo é de 850 diâmetros. Já para
um M =1,5, em apenas 15 diâmetros o escoamento se torna blocado ou sônico. De uma
forma mais geral, verifica-se que qualquer um escoamento supersônico vai se tornar sônico
em algo de no máximo 82 diâmetros (para esses dados). Assim, verifica-se que o atrito é
substancialmente mais sentido no caso supersônico. Como conseqüência cuidados
especiais devem ser tomados quando se estiver trabalhando com escoamento supersônico
interno a dutos.
M 0,0 0,25 0,50 0,75 1 1,5 2 3
Lmax/D 850 110 12 0 14 31 52 82
A pergunta natural seguinte é: O que acontece quando acrescenta-se um comprimento de
duto adicional ao valor máximo Lmax? Abaixo analisam-se os dois regimes de escoamento.
Subsônico – o número de Mach inicial M1 vai ser diminuído de forma que a condição
sônica seja atendida à saída do tubo. Isto é, o tubo estará blocado por atrito.
Supersônico – Uma onda de choque é formada no duto que se movimenta à montante na
medida que o comprimento do tubo é aumentado. Em continuando o aumento do tubo, o
choque encontra a entrada do mesmo e faz com que ele se movimente para dentro do bocal
que o alimenta. Em se atingindo essa situação, o tubo inteiro se torna subsônico. Qualquer
Teoria do Escoamento Compressivel J. R. Simões Moreira 77
aumento do tamanho do duto faz com que a onda de choque se movimente para a garganta
do bocal. Finalmente, um aumento adicional torna o escoamento completamente subsônico
com redução de vazão mássica.
APLICAÇÕES DO ESCOAMENTO DE FANNO COM BOCAIS
Em muitas situações práticas, tubos ou dutos operam em conjunto com bocais. Por
exemplo, o escoamento supersônico na entrada de um duto é geralmente estabelecido com
a ajuda de um bocal de Laval ou convergente-divergente. Assim, é importante se
analisarem os efeitos do bocal acoplado com tubo. No fim da seção acima já se apresentou
de uma forma muito breve os possíveis efeitos. Agora, se estudam com mais detalhes esses
fenômenos. Deve-se fazer uma distinção se o bocal é só convergente ou se é um bocal
convergente-divergente. Primeiramente vai se estudar o caso anterior e depois o segundo
caso.
Sistema bocal convergente isoentrópico e duto com atrito
O esquema de um desses arranjos está ilustrado abaixo. Nesse sistema, um bocal
convergente isoentrópico alimenta um duto.
Teoria do Escoamento Compressivel J. R. Simões Moreira 77
O comportamento da operação do sistema bocal-duto acima pode ser descrito como segue.
Se a pressão ambiente, Pamb, for igual a pressão de reservatório, P0, não deverá ocorrer
escoamento no bocal. Na medida que a pressão que a pressão ambiente é reduzida,
verifica-se o escoamento no sistema. Em continuando a diminuição da pressão ambiente,
vazões crescentes de massa e de velocidade (e número de Mach) do fluido são observados.
Esse processo continuará até que a condição sônica seja atingida na seção de saída do duto,
quando a máxima entropia do sistema terá sido alcançada. Isso é ilustrado nos diagramas
abaixo para o caso sônico ou blocado. No diagrama de distribuição de pressões, a pressão
cai continuamente e se estabelece num dado valor na seção de saída correspondente ao
caso blocado. Já analisando o diagrama h – s, vê-se que o escoamento interno ao bocal
desde a linha de reservatório, h0 é uma vertical (reta 0 – a), depois o escoamento segue a
linha de Fanno até a condição de blocagem (M = 1). No caso subsônico o escoamento na
seção de saída corresponderia a condição de que a pressão nessa mesma saída seria a
pressão ambiente e um número de Mach menor que a unidade seria alcançado.
Teoria do Escoamento Compressivel J. R. Simões Moreira 77
EXEMPLO (exemplo 7-4 extraído do Hodge e Koenig, p 267)
Um bocal convergente é alimentado por ar de um reservatório a 100 psia e 500R é
acoplado a um duto de seção reta constante. O diâmetro do duto vale 0,1 pé, e o fator de
atrito médio é de 0,0025. Para os comprimentos de duto de 0, 10 e 100 pés, determine a
máxima pressão ambiente (back pressure) para a qual o escoamento é blocado. Qual a
porcentagem de redução de vazão mássica causada pela inserção dos dois pedaços de
dutos?
Teoria do Escoamento Compressivel J. R. Simões Moreira 77
Teoria do Escoamento Compressivel J. R. Simões Moreira 77
Teoria do Escoamento Compressivel J. R. Simões Moreira 77
Sistema bocal convergente-divergente isoentrópico e duto com atrito
O esquema abaixo ilustra o caso de um arranjo de bocal convergente-divergente com um
duto. Diferentemente do caso anterior, tanto escoamento subsônico e supersônico podem
estar presentes. Além disso, ondas de choque também podem aparecer. De forma que há
diversas possibilidades.
Deve-se distinguir se o comprimento do duto é maior ou menor que o máximo valor
admissível para o caso sem choque. Os dois casos devem ser analisados em separado.
Primeiramente, considere o caso em que L < Lmax e a pressão ambiente vai sendo
diminuída a partir da pressão de reservatório. Os esquemas das próximas figuras ilustram
as diversas possibilidades. A figura (1) no topo indica o arranjo bocal conv.-div. e duto
com L < Lmax. As distribuições de pressão para diversas pressões ambientes estão
indicadas na figura (2). Na medida que a pressão ambiente vai sendo reduzida, as curvas de
distribuição de pressão no arranjo vão de “a” para “e”, como mostrado. No caso “a”, o
escoamento permanece inteiramente supersônico, como indicado no diagrama h – s da
figura (3). O caso “b” indica a situação em que o escoamento se torna sônico na garganta
do bocal, porém continua supersônico no resto do sistema e corresponde à figura (4). No
caso seguinte, “c”, uma onda de choque é formada na porção divergente do bocal, como
indicado pela linha pontilhada na figura (2) e também na figura (5). Para pressões
ambientes ainda menores, a onda de choque normal da região divergente se movimenta
para a saída do bocal, como é o caso da curva “d”, também representada na figura (6).
Finalmente, para pressões ambientes suficientemente baixas, a onda de choque vai se
movimentar para a seção de saída do duto como esquematizado pelo caso “e”. Note que
essa é a única condição que permite um escoamento supersônico interno ao duto. Em
termos do diagrama h – s correspondente, o ramo inferior supersônico é atingido e o
escoamento segue esse caminho até a saída quando ocorre uma onda de choque normal (3
– 3 na figura 7). Note que em nenhum caso ocorreu blocagem na seção de saída (M = 1).
Teoria do Escoamento Compressivel J. R. Simões Moreira 77
Diversas figuras indicando as condições de L < Lmax para um arranjo bocal convergente-
divergente e duto.
Teoria do Escoamento Compressivel J. R. Simões Moreira 77
As próximas figuras indicam o caso em que L > Lmax . O mesmo comportamento ocorre até
a situação “d” quando a onda de choque se encontra na saída da seção divergente do bocal.
A partir daí, a situação muda, já que uma onda de choque pode ser formada dentro do duto,
como indicado na situação “e”. Nesses casos, uma porção do duto será supersônica, enquanto que a outra será subsônica, separadas por uma onda de choque normal. Para
pressões ambiente muito baixas, a condição de M = 1 poderá também ser alcançada na
seção de saída do duto.
Diversas figuras indicando as condições de L > Lmax para um arranjo bocal
convergente-divergente e duto.
(J [q E. b ni ix f'Ll-
3.8 0NE-DIMENSIONALFLOW WITHIH=ATADDI'HON
Piut ' Pzuz
PI + Ptzz? ' Pz + Pzuz
(3.2)
(3.5)
«: ... g -- . - «: -'- :;-(3.9)
9\r-
''Ü
ã
g80
>h
8
êaã
.0
0
eHd
gQ0
00ã
..a
H
'-+ gd
.0
8'3
1 1
« 'E
-'i g.n
>. Q.
B0Jh.J
<
Z0
áEQÜZ0
k« a').
''a
ã
a'= e,
Rh ...a
'a
ã0
$E0
Bad
0
3
Q.«0
00d
.ab
+
a'o [U
g 2 ã.g'8à
3.ã.- H ,--.
''-g Pl:nn dX y .a
>
..a
':\
> dH-'- l.-
31*+
+ l >"'.1+
B0
q3 .-{
a)
d8 'B
»
a0()
a=d
8
B
€«gb
E
nllrq .
»>-
X>-
.Ld \ '
g+ l +-< 1 .-<
1 111 il.o H ' ê5
Q a .oouo 8.K'.g
f.g é'ã.e 11'x g't:e 11
0a
>-
>-
nll>-
+ l +-< 1 -{
.-1+
»1 1
Lh
Xl*?'-l ++ l.-.
-1»
+
»
+
>-
»>-
+
*1»+ l >'-..-l+
1 1
>-1(:- L. ,. q) "'"'' '-i-i 0 "z .-.!
e,'ü
.fló e'la'1 1
-.I'b.1 1 1 1
cl'k1 1
cln'1 1
dZ
qah
0Ê' g00
1 1 8ede g
''aac6
.a
l
â=
€a0
Ea)
..a
a'
a
B ..aQ. .-i
-'a
..- .:s
8
S
=
8B
,0 cn
'Ê}'a acü
a'
eQ.
xl~+
J
»R1 1
»glu
1 1
)qQ.
1 1
3
g3a
..aN20a0
\
KnlK' glg4'g
.aên
("q ..{
»R1 1
3Q.
C'q ...i3Q.
1 1
q.
Q.
gg
«
0a0'3d$«
àbQ.
€E
g
i'l s'ylx>- 1 >'-
<1<1 1 g'lg'
0a
''aa
a'm
aH
'3
.0
g
Kq.
1 1
..a>
=
a'n
!E
1 1
!
b
'H Q.(
q) --./
'g ã
+ +
Tl~+
#?1 1
Cla"B
1 1
8'&
<1< B ++
€l<KnlK'
glg-< 1 --{
Q) ..l
€»>0.Jhn.J
m
ndE00Zdg0E
'aa bgã
d(.d
''0
.q
="1 s'1 1
1 1
'a
ã0
gg
.a
Q.
Q.
8a
acü
8)
8Q)
gaE
9qt-
H
.E -ü
bi'u'g
B ã bB
a
ã,.g
'a«
8 g'88H
1 1
+éã8
1 1
1 1
gã<
â6e
.g
g
>0d.J
<
Z0
áEQÜZ0
ga a
0-
Q8 .g
« .. Õ
= "'Q)
« É58g
a0
B
..<D 0
:''gN ll a
$€
e
BdB0
8'a
ãgaB 1 1
+ea.
8
11
#.a
g g EN
g1 1
ã
0
1 1
Q.
0
1 1
€
y
#
81 1
ül«ç'l-
11
'11 l>-
1 1
1 1
0oln51S
1 1
a'lk'«l#'
1 1
ü'ln'
0r''{ ,,..<
B0a00
€y
1 1
8
1 1
8
1 1
n- .
r.ã r-<S .2' a
g -i
1 1
+
.-41.nx18o l-"'
1 1
+
0
8
.ú..l .HB
Ba) g«
«8€
1 1
líg
809g0
ê
<
âh80
i'ãdS .õ
0.s
a
ã
Q. Oa
Q.
,: g2
g$ «
n Q.
A
Ü
a)
« .g ã 'ã0 g ' .- E'n 80
Ê
€
«ã
.a
g
.g .â
g€.B o
0ã
aQ
a - óN .B ãE
''aS N 0
r).
ÉB
Q)
Q.
B [ > *.€ a .g
'a
Q)
e
B0a
ê
gE0
Rb-i t"-. r«
m c;< 11
g
g g .ã ê é.g0-a
''a
. q)
>
0aa0«B .g?S
3 9.0 }''q
8=
3
d.a
.a
8
Ê
qa0g8B
gÊ
ãE
g'3
ã3a'
'a
5
B0dN.1n
gE0U
ã0E
0
a
ã
g.a
dgBl
8
g )0 0 bQ)>
g
0 5
ÕB0.Jh
dZ0
ãEQÓZ0
g0
Q)
'a
'a
N
.0B0aa
l
Q)
5
8Q.
81 1
ga0-
g8 <
g.gã.g
cO«6 Õ
g
0-
?g'-+
1 1
EJ
g'Ü
80B
8«
g«E
8'a
.!g
06B0a
.a
a.a
B
aB3
cü
..a y
1 1
Q)
a
8.d
>
ãD
y
1 1
k1 1
f
81 1
B
«
R0.a
8g8
B0.a
g g
'a
80-a
88
g
9.s
1 1
D '
0=''gg
9ã
1 1
k
8s €
g
cüB c-.
1 1H
a .n l
g J;=\
.B .g5.cn ' '
cO cO q) 0
;'= ã'g
g
r/)
'U).o ..o .a
g :ãb
0.g n :
ea
a ..: ..a 90 'p
}-' ''aQ)
bE
g
E
ã>...:3
Bá
'ã üoao.H
]
g9 -- n .' 'â' B
w 9 q
a 8âB
«0
0Q)
8a0
a8
05q)a
0Ü
..=ã -+...a
a« Edg
a0a)-'
>
0
0
a
3cd
8.D '- B
9
8
a
B
3
gcg q...-{bo o
a w'''(
>
€g.g:ã
a
a0
>
cd t-<
a9 .9
Í:
a0g
'ã
gnb
a>
c)
8 a)
8
.ll '-'{
Q).0
B)
0.]
n.]
m
BdE0UZ6Q0E
-'0g''a
'3
c/) f.«Q)
e,'g8
N0« ã
a0 ,a
3