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Raciocínio Lógico p/ PC-DF

Teoria e exercícios comentados

Prof Marcos Piñon – Aula 04

Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 1 de 83

AULA 04: Princípios de Contagem e Probabilidade

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SUMÁRIO PÁGINA 1. Resolução das questões da Aula 03 1 2. Princípios de Contagem 32 3. Probabilidades 57 4. Exercícios Comentados nesta aula 73 5. Exercícios Propostos 77 6. Gabarito 83 1 - Resolução das questões da Aula 03 128 - (MPE/AM - 2007 / CESPE) Considerando-se como premissas as proposições “Nenhum pirata é bondoso” e “Existem pi ratas que são velhos”, se a conclusão for “Existem velhos que não são bond osos”, então essas três proposições constituem um raciocínio válido. Solução: Construindo os diagramas: P1: Nenhum pirata é bondoso P2: Existem piratas que são velhos

Piratas bondosos

Piratas velhos

Alekys

Lápis





Unindo os diagramas: C: Existem velhos que não são bondosos Vejam que não podemos garantir que o conjunto dos velhos e o conjunto dos bondosos possuem algum elemento em comum. Mas podemos garantir, com certeza, que os velhos da área azul com certeza não são bondosos. Portanto, o raciocínio é válido. Item correto . 129 - (MPE/AM - 2007 / CESPE) Considere como premissas as proposições “Todos os hobits são baixinhos” e “Todos os habitan tes da Colina são hobits”, e, como conclusão, a proposição “Todos os baixinhos são habitantes da Colina”. Nesse caso, essas três propo sições constituem um raciocínio válido. Solução: P1: Todos os hobits são baixinhos P2: Todos os habitantes da Colina são hobits Unindo os diagramas:

Piratas velhos bondosos

baixinhos hobits

Habitantes da Colina

hobits





C: Todos os baixinhos são habitantes da Colina Podemos ver no diagrama acima que uma conclusão válida seria que “todos os habitantes da Colina são baixinhos”, mas o contrário não está correto. Portanto, o raciocínio não é válido. Item errado . 130 - (EMBASA - 2009 / CESPE) Considerando que as proposições “As pessoas que, no banho, fecham a torneira ao se ensa boar são ambientalmente educadas” e “Existem crianças ambien talmente educadas” sejam V, então a proposição “Existem crianças que, no banho, fecham a torneira ao se ensaboar” também será V. Solução: Vamos começar organizando o argumento: P1: “As pessoas que, no banho, fecham a torneira ao se ensaboar são ambientalmente educadas” P2: “Existem crianças ambientalmente educadas” C: “Existem crianças que, no banho, fecham a torneira ao se ensaboar” Na primeira premissa nós devemos entender que todas as pessoas que, no banho, fecham a torneira ao se ensaboar são ambientalmente educadas. Assim, temos: P1: “As pessoas que, no banho, fecham a torneira ao se ensaboar são ambientalmente educadas”

baixinhos hobits

Habitantes da Colina

Pessoas que, no banho, fecham a torneira ao se ensaboar

Pessoas ambientalmente educadas





P2: “Existem crianças ambientalmente educadas” Unindo os diagramas, C: “Existem crianças que, no banho, fecham a tornei ra ao se ensaboar” Vejam, mais uma vez, que não podemos garantir que o conjunto das crianças e o conjunto das pessoas que, no banho, fecham a torneira ao se ensaboar possuem algum elemento em comum. Portanto, o raciocínio não é válido. Item errado . 131 - (SEBRAE - 2008 / CESPE) Considere as proposições a seguir. A: Todo marciano é péssimo jogador de futebol. B: Pelé é marciano. Nessa hipótese, a proposição Pelé é péssimo jogador de futebol é F. Solução: Vamos lá: A: Todo marciano é péssimo jogador de futebol.

Crianças Pessoas ambientalmente educadas

Crianças Pessoas ambientalmente educadas

Pessoas que, no banho, fecham a torneira ao se ensaboar

Marcianos

Péssimos jogadores de futebol





B: Pelé é marciano. Unindo os diagramas, Agora, vamos analisar a conclusão: Pelé é péssimo jogador de futebol Podemos perceber pelo diagrama que a conclusão é verdadeira. Item errado . (Texto para as questões de 132 a 134) Considere as seguintes proposições: I Todos os cidadãos brasileiros têm garantido o dir eito de herança. II Joaquina não tem garantido o direito de herança. III Todos aqueles que têm direito de herança são ci dadãos de muita sorte. Supondo que todas essas proposições sejam verdadeir as, é correto concluir logicamente que 132 - (SEBRAE - 2008 / CESPE) Joaquina não é cidadã brasileira. Solução: Vamos recorrer aos diagramas: I Todos os cidadãos brasileiros têm garantido o dir eito de herança.

Marcianos

Pelé

Marcianos

Péssimos jogadores de futebol

Pelé

Brasileiros

Pessoas com direito de herança





II Joaquina não tem garantido o direito de herança. III Todos aqueles que têm direito de herança são ci dadãos de muita sorte. Agora, vamos unir os diagramas: Por fim, vamos à conclusão sugerida: Joaquina não é cidadã brasileira. Podemos ver no diagrama que realmente Joaquina não é cidadã brasileira, haja vista que ela não tem direito de herança e todos os brasileiros têm direito de herança. Item correto . 133 - (SEBRAE - 2008 / CESPE) Todos os que têm direito de herança são cidadãos brasileiros. Solução: Vamos utilizar o diagrama que fizemos na questão anterior:

Joaquina


Cidadãos de muita sorte




Brasileiros Joaquina





Agora, vamos analisar a conclusão sugerida: Todos os que têm direito de herança são cidadãos br asileiros. Podemos ver no diagrama que essa conclusão não é verdadeira, pois todos os brasileiros têm direito de herança, mas pode existir uma pessoa que tenha direito de herança e não seja brasileira (área verde do diagrama). Item errado . 134 - (SEBRAE - 2008 / CESPE) Se Joaquina não é cidadã brasileira, então Joaquina não é de muita sorte. Solução: Mais uma vez, vamos utilizar o diagrama que fizemos anteriormente: Agora, vamos analisar a conclusão sugerida: Se Joaquina não é cidadã brasileira, então Joaquina não é de muita sorte Essa conclusão é uma proposição condicional (p → q), que nós já vimos diversas vezes que só será falsa se o “p” for verdadeiro e o “q” for falso. Passando para a linguagem simbólica, temos: Se Joaquina não é cidadã brasileira, então Joaquina não é de muita sorte p: Joaquina não é cidadã brasileira q: Joaquina não é de muita sorte p → q: Se Joaquina não é cidadã brasileira, então Joaquina não é de muita sorte







p q





Podemos perceber que o “p” com certeza é verdadeiro, conforme vimos na questão 118. Assim, para que a conclusão seja verdadeira, é necessário que o “q” também seja verdadeiro. Percebam que no diagrama eu posicionei Joaquina no limite entre ter ou não ter muita sorte, pois as premissas não foram suficientes para que nós concluíssemos que ela tinha ou não tinha muita sorte. Assim, o “q” pode assumir os dois valores lógicos (V ou F), fazendo com que a conclusão não seja necessariamente verdadeira. Item errado . (Texto para as questões de 135 a 138) Uma dedução é uma sequência de proposições em que algumas são premissas e as demai s são conclusões. Uma dedução é denominada válida quando tanto as pre missas quanto as conclusões são verdadeiras. Suponha que as seguinte s premissas sejam verdadeiras. I Se os processos estavam sobre a bandeja, então o juiz os analisou. II O juiz estava lendo os processos em seu escritór io ou ele estava lendo os processos na sala de audiências. III Se o juiz estava lendo os processos em seu escr itório, então os processos estavam sobre a mesa. IV O juiz não analisou os processos. V Se o juiz estava lendo os processos na sala de au diências, então os processos estavam sobre a bandeja. A partir do texto e das informações e premissas aci ma, é correto afirmar que a proposição 135 - (TRT- 2009 / CESPE) “Se o juiz não estava lendo os processos em seu escritório, então ele estava lendo os processos na sala de audiências” é uma conclusão verdadeira. Solução: Nessa questão, vamos começar passando as premissas e a conclusão para a linguagem simbólica: I: Se os processos estavam sobre a bandeja, então o juiz os analisou. II: O juiz estava lendo os processos em seu escritório ou ele estava lendo os processos na sala de audiências. III: Se o juiz estava lendo os processos em seu escritório, então os processos estavam sobre a mesa. IV: O juiz não analisou os processos. V: Se o juiz estava lendo os processos na sala de audiências, então os processos estavam sobre a bandeja.





Conclusão: Se o juiz não estava lendo os processos em seu escritório, então ele estava lendo os processos na sala de audiências Batizando as proposições: A: Os processos estavam sobre a bandeja B: O juiz analisou os processos C: O juiz estava lendo os processos em seu escritório D: O juiz estava lendo os processos na sala de audiências E: Os processos estavam sobre a mesa. Assim, I: A → B II: C v D III: C → E IV: ~B V: D → A Conclusão: ~C → D Portanto, podemos escrever o argumento da seguinte forma: [(A → B) ∧ (C v D) ∧ (C → E) ∧ (~B) ∧ (D → A)] → (~C → D) Como temos diversas proposições simples formando esse argumento, o método da tabela-verdade não é indicado nesse caso. Podemos observar que uma das premissas (IV) é formada por uma proposição simples. Assim, sabendo que todas as premissas devem ser verdadeiras, essa premissa também deve ser verdadeira: ~B deve ser verdadeira, logo B deve ser falsa. Reescrevendo o conjunto de premissas: (A → B) ∧ (C v D) ∧ (C → E) ∧ (~B) ∧ (D → A) (A → F) ∧ (C v D) ∧ (C → E) ∧ (~F) ∧ (D → A) (A → F) ∧ (C v D) ∧ (C → E) ∧ (V) ∧ (D → A) Agora, podemos observar que a premissa I é uma condicional a qual possui a segunda proposição com valor lógico falso. Assim, para essa premissa ser verdadeira, a primeira proposição também deve ser falsa:

(A → F) deve ser verdadeira, logo A deve ser falsa.

Reescrevendo o conjunto de premissas: (A → F) ∧ (C v D) ∧ (C → E) ∧ (D → A) (F → F) ∧ (C v D) ∧ (C → E) ∧ (D → F) (V) ∧ (C v D) ∧ (C → E) ∧ (D → F)





Agora, da mesma forma que fizemos para a premissa I, podemos observar que a premissa V também é uma condicional a qual possui a segunda proposição com valor lógico falso. Assim, para essa premissa ser verdadeira, a primeira proposição também deve ser falsa:

(D → F) deve ser verdadeira, logo D deve ser falsa.

Reescrevendo o conjunto de premissas: (C v D) ∧ (C → E) ∧ (D → F) (C v F) ∧ (C → E) ∧ (F → F) (C v F) ∧ (C → E) ∧ (V) Agora, podemos observar que a premissa II é uma disjunção a qual possui uma de suas proposições com valor lógico falso. Assim, para essa premissa ser verdadeira, a outra proposição deve ser verdadeira:

(C v F) deve ser verdadeira, logo C deve ser verdadeira.

Reescrevendo o conjunto de premissas: (C v F) ∧ (C → E) (V v F) ∧ (V → E) (V) ∧ (V → E) Por fim, podemos ver que a premissa III é uma condicional a qual possui a primeira proposição com valor lógico verdadeiro. Assim, para essa premissa ser verdadeira, a segunda proposição também deve ser verdadeira: (V → E) deve ser verdadeira, logo E deve ser verdadeira. Com isso, concluímos que para o conjunto de premissas ser verdadeiro, A deve ser falsa. B deve ser falsa. C deve ser verdadeira. D deve ser falsa. E deve ser verdadeira. Resta, então, verificar se para esses valores lógicos das proposições, a conclusão também é verdadeira: Conclusão: (~C → D) = (~V → F) = (F → F) = V Portanto, a conclusão também é verdadeira, o que nos leva a concluir que essa é uma conclusão verdadeira para o argumento. Item correto .





136 - (TRT- 2009 / CESPE) “Se os processos não estavam sobre a mesa, então o juiz estava lendo os processos na sala de a udiências” não é uma conclusão verdadeira. Solução: Utilizando as informações da questão anterior: A deve ser falsa. B deve ser falsa. C deve ser verdadeira. D deve ser falsa. E deve ser verdadeira. Agora, passando a conclusão sugerida por essa questão para a linguagem simbólica, temos: Conclusão: “Se os processos não estavam sobre a mesa, então o juiz estava lendo os processos na sala de audiências” Conclusão: ~E → D Sabendo que E é verdadeira e D é falsa, temos: Conclusão: ~E → D = ~V → F = F → F = V Portanto, a conclusão também é verdadeira, o que nos leva a concluir que essa é uma conclusão verdadeira para o argumento. Item errado . 137 - (TRT- 2009 / CESPE) “Os processos não estavam sobre bandeja” é uma conclusão verdadeira. Solução: Mais uma vez, vamos utilizar as informações obtidas anteriormente: A deve ser falsa. B deve ser falsa. C deve ser verdadeira. D deve ser falsa. E deve ser verdadeira. Agora, passando a conclusão sugerida por essa questão para a linguagem simbólica, temos: “Os processos não estavam sobre bandeja” Conclusão: ~A





Sabendo que A é falsa, temos: Conclusão: ~A = ~F = V Portanto, a conclusão também é verdadeira, o que nos leva a concluir que essa é uma conclusão verdadeira para o argumento. Item correto . 138 - (TRT- 2009 / CESPE) “Se o juiz analisou os processos, então ele não esteve no escritório” é uma conclusão verdadeira. Solução: Mais uma questão na mesma linha. Sabendo que: A deve ser falsa. B deve ser falsa. C deve ser verdadeira. D deve ser falsa. E deve ser verdadeira. Agora, passando a conclusão sugerida por essa questão para a linguagem simbólica, temos: “Se o juiz analisou os processos, então ele não esteve no escritório” K: o juiz esteve no escritório Conclusão: B → ~K Não sabemos o valor lógico de K, mas sabemos que B é falsa. Assim: Conclusão: B → ~K = F → ~K = V (para qualquer que seja o valor lógico de K) Portanto, a conclusão também é verdadeira, o que nos leva a concluir que essa é uma conclusão verdadeira para o argumento. Item correto . 139 - (Escrivão-PF - 2009 / CESPE) Considere as proposições A, B e C a seguir. A: Se Jane é policial federal ou procuradora de jus tiça, então Jane foi aprovada em concurso público. B: Jane foi aprovada em concurso público. C: Jane é policial federal ou procuradora de justiç a. Nesse caso, se A e B forem V, então C também será V .





Solução: Essa questão está sugerindo que A e B são premissas que levam à conclusão C. Vamos verificar: A: Se Jane é policial federal ou procuradora de jus tiça, então Jane foi aprovada em concurso público. B: Jane foi aprovada em concurso público. C: Jane é policial federal ou procuradora de justiç a. p: Jane é policial federal. q: Jane é procuradora de justiça. r: Jane foi aprovada em concurso público. A: (p v q) → r B: r C: p v q Assim, o argumento fica: {[(p v q) → r] ∧ r} → (p v q) Vimos na aula passada que temos algumas opções para resolver a questão. Nessa, eu vou optar pela tabela-verdade reduzida:

B C A p q r p v q (p v q) → r V V V V V V V F V F V F V V V V F F V F F V V V V F V F V F F F V F V F F F F V

Vamos, agora, arrumar a ordem das colunas e excluir as linhas onde as premissas são falsas:

A B C p q (p v q) → r r p v q V V V V V V F V V V F V V V V F F V V F





Percebam que na última linha da tabela acima, as duas premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa. Portanto, item errado . 140 - (Escrivão-PF - 2009 / CESPE) A sequência de proposições a seguir constitui uma dedução correta. Se Carlos não estudou, então ele fracassou na prova de Física. Se Carlos jogou futebol, então ele não estudou. Carlos não fracassou na prova de Física. Carlos não jogou futebol. Solução: Vamos organizar: P1: Se Carlos não estudou, então ele fracassou na prova de Física. P2: Se Carlos jogou futebol, então ele não estudou. P3: Carlos não fracassou na prova de Física. C: Carlos não jogou futebol. p: Carlos estudou q: Carlos fracassou na prova de Física r: Carlos jogou futebol Agora, vamos montar o argumento: [(~p → q) ∧ (r → ~p) ∧ (~q)] → (~r) Bom, agora que já montamos o argumento, temos algumas opções para resolver a questão. Vamos à análise das premissas: (~p → q) ∧ (r → ~p) ∧ (~q) Percebam que uma das premissas (a terceira) é composta por uma única proposição simples. Assim, lembrando que todas as premissas devem ser verdadeiras: ~q deve ser verdadeira, ou seja, q deve ser falsa . Portanto: (~p → q) ∧ (r → ~p) ∧ (~q) (~p → F) ∧ (r → ~p) ∧ (~F) (~p → F) ∧ (r → ~p) ∧ (V) Agora, podemos perceber que a primeira premissa é uma condicional cujo segundo termo é falso. Com isso: ~p deve ser falso, ou seja, p deve ser verdadeiro . Assim:





(~p → F) ∧ (r → ~p) (~V → F) ∧ (r → ~V) (F → F) ∧ (r → F) (V) ∧ (r → F) Por fim, podemos perceber que a segunda premissa é uma condicional cujo segundo termo é falso. Portanto: r deve ser falsa . Resumindo: p é verdadeiro, ou seja, Carlos estudou. q é falsa, ou seja, Carlos não fracassou na prova de Física. r é falsa, ou seja, Carlos não jogou futebol. Assim, podemos concluir que a dedução está correta, pois, baseando-se nas premissas, Carlos não jogou futebol. Item correto . 141 - (Escrivão-PF - 2009 / CESPE) Considere que as proposições da sequência a seguir sejam verdadeiras. Se Fred é policial, então ele tem porte de arma. Fred mora em São Paulo ou ele é engenheiro. Se Fred é engenheiro, então ele faz cálculos estrut urais. Fred não tem porte de arma. Se Fred mora em São Paulo, então ele é policial. Nesse caso, é correto inferir que a proposição “Fre d não mora em São Paulo” é uma conclusão verdadeira com base nessa se quência. Solução: Vamos começar passando tudo para a linguagem simbólica: P1: Se Fred é policial, então ele tem porte de arma. P2: Fred mora em São Paulo ou ele é engenheiro. P3: Se Fred é engenheiro, então ele faz cálculos estruturais. P4: Fred não tem porte de arma. P5: Se Fred mora em São Paulo, então ele é policial. C: Fred não mora em São Paulo p: Fred é policial q: Fred tem porte de arma r: Fred mora em São Paulo s: Fred é engenheiro t: Fred faz cálculos estruturais





P1: p → q P2: r v s P3: s → t P4: ~q P5: r → p C: ~r Argumento: [(p → q) ∧ (r v s) ∧ (s → t) ∧ (~q) ∧ (r → p)] → (~r) Podemos ver que o argumento possui 5 proposições simples diferentes (p, q, r, s e t), o que nos leva a tentar resolver a questão sem o uso das tabelas-verdade. Podemos perceber que a quarta premissa é formada por apenas uma proposição simples. Vamos começar a análise por ela: P4: ~q Assim, podemos concluir que ~q deve ser verdadeiro, ou seja , q deve ser falso . Com isso: (p → q) ∧ (r v s) ∧ (s → t) ∧ (~q) ∧ (r → p) (p → F) ∧ (r v s) ∧ (s → t) ∧ (~F) ∧ (r → p) (p → F) ∧ (r v s) ∧ (s → t) ∧ (V) ∧ (r → p) Agora, podemos perceber que a premissa 1 é uma condicional que possui a segunda proposição falsa: (p → F) Assim, podemos concluir que o p deve ser falso . Com isso: (p → F) ∧ (r v s) ∧ (s → t) ∧ (V) ∧ (r → p) (F → F) ∧ (r v s) ∧ (s → t) ∧ (V) ∧ (r → F) (V) ∧ (r v s) ∧ (s → t) ∧ (V) ∧ (r → F) Agora, podemos perceber que a premissa 5 também é uma condicional que possui a segunda proposição falsa: (r → F) Assim, podemos concluir que o r deve ser falso . Com isso: (V) ∧ (r v s) ∧ (s → t) ∧ (V) ∧ (r → F) (V) ∧ (F v s) ∧ (s → t) ∧ (V) ∧ (F → F) (V) ∧ (F v s) ∧ (s → t) ∧ (V) ∧ (V) Agora, podemos perceber que a premissa 2 é uma disjunção que possui uma das proposições falsa:





(F v s) Assim, podemos concluir que o s deve ser verdadeiro . Com isso: (V) ∧ (F v s) ∧ (s → t) ∧ (V) ∧ (V) (V) ∧ (F v V) ∧ (V→ t) ∧ (V) ∧ (V) (V) ∧ (V) ∧ (V→ t) ∧ (V) ∧ (V) Por fim, podemos perceber que a premissa 3 é uma condicional que possui a primeira proposição verdadeira: (V → t) Assim, podemos concluir que o t deve ser verdadeiro . Com isso: (V) ∧ (V) ∧ (V→ t) ∧ (V) ∧ (V) (V) ∧ (V) ∧ (V→ V) ∧ (V) ∧ (V) (V) ∧ (V) ∧ (V) ∧ (V) ∧ (V) = V Resumindo: p deve ser falso, ou seja, Fred não é policial q deve ser falso, ou seja, Fred não tem porte de arma r deve ser falso, ou seja, Fred não mora em São Paulo s deve ser verdadeiro, ou seja, Fred é engenheiro t deve ser verdadeiro, ou seja, Fred faz cálculos estruturais Vamos, agora, verificar se a conclusão é válida: C: Fred não mora em São Paulo Podemos ver que, nos baseando nas premissas, a conclusão proposta é verdadeira. Item correto . 142 - (BB - 2007 / CESPE) É correto o raciocínio lógico dado pela sequência de proposições seguintes: Se Antônio for bonito ou Maria for alta, então José será aprovado no concurso. Maria é alta. Portanto José será aprovado no concurso. Solução: Passando tudo para a linguagem simbólica, temos: P1: Se Antônio for bonito ou Maria for alta, então José será aprovado no concurso. P2: Maria é alta.





C: José será aprovado no concurso. p: Antônio é bonito q: Maria é alta r: José será aprovado no concurso P1: (p v q) → r P2: q C: r Argumento: [((p v q) → r) ∧ (q)] → (r) Podemos ver que a segunda premissa é uma proposição simples, o que nos leva a concluir que ela deve ser verdadeira: q deve ser verdadeira Com isso: ((p v q) → r) ∧ (q) ((p v V) → r) ∧ (V) Percebam agora, que qualquer que seja o valor lógico do “p”, a disjunção “p v V” será verdadeira. Assim: p pode possuir qualquer valor lógico ((p v V) → r) ∧ (V) (V → r) ∧ (V) Agora, devemos perceber que o “r” deve ser verdadeiro para que a condicional ”V → r” seja verdadeira. Com isso: r deve ser verdadeira (V → r) ∧ (V) (V → V) ∧ (V) (V) ∧ (V) = V Portanto, p: Antônio pode ou não ser bonito q: Maria é alta r: José será aprovado no concurso Vamos, agora, verificar se a conclusão é válida: C: José será aprovado no concurso





Podemos ver que, nos baseando nas premissas, a conclusão proposta é verdadeira e o raciocínio é correto. Item correto . 143 - (BB - 2007 / CESPE) É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de proposições seguintes: Se Célia tiver um bom currículo, então ela consegui rá um emprego. Ela conseguiu um emprego. Portanto, Célia tem um bom currículo. Solução: Mais uma vez, passando tudo para a linguagem simbólica, temos: P1: Se Célia tiver um bom currículo, então ela conseguirá um emprego. P2: Ela conseguiu um emprego. C: Célia tem um bom currículo. p: Célia ter um bom currículo q: Célia conseguir um bom emprego P1: p → q P2: q C: p Argumento: [(p → q) ∧ (q)] → (p) Como temos apenas duas proposições simples distintas nesse argumento, vamos partir para a tabela-verdade:

C P2 P1 Premissas Argumento p q p → q (p → q) ∧ (q) [(p → q) ∧ (q)] → (p) V V V V V V F F F V F V V V F F F V F V

Portanto, olhando para a tabela-verdade, podemos perceber que o argumento não é válido. Item errado . 144 - (BB - 2007 / CESPE) Considere as seguintes proposições: P: “Mara trabalha” e Q: “Mara ganha dinheiro” Nessa situação, é válido o argumento em que as prem issas são “Mara não trabalha ou Mara ganha dinheiro” e “Mara não trabal ha”, e a conclusão é “Mara não ganha dinheiro”.





Solução: Organizando: P1: Mara não trabalha ou Mara ganha dinheiro P2: Mara não trabalha C: Mara não ganha dinheiro Passando para a linguagem simbólica: P1: ~P v Q P2: ~P C: ~Q Argumento: [(~P v Q) ∧ (~P)] → (~Q) Novamente, como temos apenas duas proposições simples distintas nesse argumento, vamos partir para a tabela-verdade:

P2 C P1 Premissas Argumento P Q ~P ~Q ~P v Q (~P v Q) ∧ (~P) [(~P v Q) ∧ (~P)] → (~Q) V V F F V F V V F F V F F V F V V F V V F F F V V V V V

Portanto, olhando para a tabela-verdade, podemos perceber que o argumento não é válido. Item errado . 145 - (BB - 2007 / CESPE) Considere que as afirmativas “Se Mara acertou na loteria então ela ficou rica” e “Mara não acertou n a loteria” sejam ambas proposições verdadeiras. Simbolizando adequadamente essas proposições pode-se garantir que a proposição “Ela não ficou ri ca” é também verdadeira. Solução: Vamos organizar o raciocínio: P1: Se Mara acertou na loteria então ela ficou rica P2: Mara não acertou na loteria C: Ela não ficou rica p: Mara acertou na loteria q: Mara ficou rica P1: p → q P2: ~p





C: ~q Argumento: [(p → q) ∧ (~p)] → (~q) Mais uma vez, como temos apenas duas proposições simples distintas nesse argumento, vamos partir para a tabela-verdade:

P2 C P1 Premissas Argumento p q ~p ~q p → q (p → q) ∧ (~p) [(p → q) ∧ (~p)] → (~q) V V F F V F V V F F V F F V F V V F V V F F F V V V V V

Portanto, olhando para a tabela-verdade, podemos perceber que o argumento não é válido. Item errado . (Texto para as questões de 146 e 147) O exercício da atividade policial exige preparo técnico adequado ao enfrentamento de situaç ões de conflito e, ainda, conhecimento das leis vigentes, incluindo in terpretação e forma de aplicação dessas leis nos casos concretos. Sabendo disso, considere como verdadeiras as proposições seguintes. P1: Se se deixa dominar pela emoção ao tomar decisõ es, então o policial toma decisões ruins. P2: Se não tem informações precisas ao tomar decisõ es, então o policial toma decisões ruins. P3: Se está em situação de estresse e não teve trei namento adequado, o policial se deixa dominar pela emoção ao tomar deci sões. P4: Se teve treinamento adequado e se dedicou nos e studos, então o policial tem informações precisas ao tomar decisões. Com base nessas proposições, julgue os itens a segu ir. 146 - (Polícia Civil/CE - 2012 / CESPE) A partir das proposições P2 e P4, é correto inferir que “O policial que tenha tido trei namento adequado e tenha se dedicado nos estudos não toma decisões ruins” é uma proposição verdadeira. Solução: Nessa questão, podemos entender que P2 e P4 são as premissas e que “O policial que tenha tido treinamento adequado e tenha se dedicado nos estudos não toma decisões ruins” é a conclusão do argumento. Vamos verificar se esta conclusão é verdadeira, nos baseando nas premissas P2 e P4:





P2: Se não tem informações precisas ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins. P4: Se teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, então o policial tem informações precisas ao tomar decisões. C: O policial que tenha tido treinamento adequado e tenha se dedicado nos estudos não toma decisões ruins. Batizando as proposições simples, temos: p: O policial tem informações precisas ao tomar decisões. q: O policial toma decisões ruins. r: O policial teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos. P2: ~p → q P4: r → p C: r → ~q Assim, o argumento fica: [(~p → q) ∧ (r → p)] ⇒ (r → ~q) Vamos verificar se a conclusão é necessariamente verdadeira, nos baseando nas premissas, a partir da construção da tabela-verdade:

P2 P4 C p q r ~p ~q ~p → q r → p r → ~q V V V F F V V F V V F F F V V V V F V F V V V V V F F F V V V V F V V V F V F F F V F V F V V V F F V V V F F V F F F V V F V V

Eliminando as linhas onde alguma premissa é falsa, temos:

P2 P4 C p q r ~p ~q ~p → q r → p r → ~q V V V F F V V F V V F F F V V V V F V F V V V V V F F F V V V V F V F V F V V V





Agora, percebam que considerando as premissas verdadeiras não podemos garantir que a proposição “O policial que tenha tido treinamento adequado e tenha se dedicado nos estudos não toma decisões ruins” seja verdadeira, pois existe uma possibilidade (a primeira linha da tabela acima) na qual as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa. Item errado . 147 - (Polícia Civil/CE - 2012 / CESPE) Considerando que P1, P2, P3 e P4 sejam as premissas de um argumento cuja conclusão s eja “Se o policial está em situação de estresse e não toma decisões ruins, então teve treinamento adequado”, é correto afirmar que esse argumento é v álido. Solução: Agora, devemos analisar o seguinte argumento: P1: Se se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins. P2: Se não tem informações precisas ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins. P3: Se está em situação de estresse e não teve treinamento adequado, o policial se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões. P4: Se teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, então o policial tem informações precisas ao tomar decisões. C: Se o policial está em situação de estresse e não toma decisões ruins, então teve treinamento adequado. Passando as premissas e a conclusão para a linguagem simbólica, temos: p: O policial se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões. q: O policial toma decisões ruins. r: O policial tem informações precisas ao tomar decisões. s: O policial está em situação de estresse. t: O policial teve treinamento adequado. u: O policial se dedicou nos estudos. P1: p → q P2: ~r → q P3: (s ∧ ~t) → p P4: (t ∧ u) → r C: (s ∧ ~q) → t Argumento: {(p → q) ∧ (~r → q) ∧ [(s ∧ ~t) → p] ∧ [(t ∧ u) → r]} ⇒ [(s ∧ ~q) → t]





Agora, vou ensinar um macete para verificar se esse argumento é válido. O macete consiste em testar se o conjunto de premissas é verdadeiro quando a conclusão é falsa. Se o conjunto de premissas tiver alguma possibilidade de ser verdadeira quando a conclusão é falsa, concluímos que o argumento é inválido. Para que a conclusão (s ∧ ~q) → t seja falsa, é necessário que “s” seja verdadeiro, “~q” seja verdadeira (ou seja, “q” tem que ser falso) e “t” seja falso. Agora, vamos testar como se comporta o conjunto de premissas para esses valores de s, q e t: (p → q) ∧ (~r → q) ∧ [(s ∧ ~t) → p] ∧ [(t ∧ u) → r] (p → F) ∧ (~r → F) ∧ [(V ∧ ~F) → p] ∧ [(F ∧ u) → r] (p → F) ∧ (~r → F) ∧ [(V ∧ V) → p] ∧ [(F ∧ u) → r] (p → F) ∧ (~r → F) ∧ [(V) → p] ∧ [(F ∧ u) → r] Agora, podemos perceber que as premissas 1 e 3 apresentam uma contradição no “p”, pois ele tem que ser falso para que P1 seja verdadeira e tem que ser verdadeiro para que P3 seja verdadeira. Portanto, não há nenhuma possibilidade em que o conjunto de premissas é verdadeiro e a conclusão é falsa, ou seja, sempre que o conjunto de premissas for verdadeiro a conclusão também será verdadeira, o que torna o argumento válido. Item correto . (Texto para a questão 148) Estudo divulgado pelo Instituto de Pesquisas Econômicas Aplicadas (IPEA) revela que, no Brasil, a desigualdade social está entre as maiores causas da violência entre jov ens. Um dos fatores que evidenciam a desigualdade social e expõem a população jovem à violência é a condição de extrema pobreza, que atinge 12,2% dos 34 milhões de jovens brasileiros, membros de famílias com renda per capita de até um quarto do salário mínimo, afirma a pesquisa. Como a violência afeta mais os pobres, é usual faze r um raciocínio simplista de que a pobreza é a principal causadora da violênc ia entre os jovens, mas isso não é verdade. O fato de ser pobre não signifi ca que a pessoa será violenta. Existem inúmeros exemplos de atos violent os praticados por jovens de classe média.

Internet: <http://amaivos.uol.com.br> (com adaptaçõ es).

Tendo como referência o texto acima, julgue os iten s seguintes. 148 - (Polícia Civil/CE - 2012 / CESPE) Das proposições “Se há corrupção, aumenta-se a concentração de renda”, “Se aumenta a concentração de renda, acentuam-se as desigualdades sociais” e “Se se acentuam as desigualdades sociais, os níveis de violência cresc em” é correto inferir que “Se há corrupção, os níveis de violência crescem”.





Solução: Vamos organizar o argumento: P1: “Se há corrupção, aumenta-se a concentração de renda”. P2: “Se aumenta a concentração de renda, acentuam-se as desigualdades sociais”. P3: “Se se acentuam as desigualdades sociais, os níveis de violência crescem”. C: “Se há corrupção, os níveis de violência crescem”. Batizando as proposições, temos: p: Há corrupção. q: Aumenta-se a concentração de renda. r: Acentuam-se as desigualdades sociais. s: Os níveis de violência crescem. P1: p → q P2: q → r P3: r → s C: p → s Argumento: [(p → q) ∧ (q → r) ∧ (r → s)] ⇒ (p → s) Lembrando que (A → B) ∧ (B → C) ⇒ (A → C), temos: [(p → q) ∧ (q → r) ∧ (r → s)] ⇒ (p → s) [(p → r) ∧ (r → s)] ⇒ (p → s) [(p → s)] ⇒ (p → s) Item correto . (Texto para as questões de 149 e 152) Verificando a regularidade da aquisição de dispositivos sensores de presença e mo vimento para instalação em uma repartição pública, os fiscais co nstataram que os proprietários das empresas participantes da licitaç ão eram parentes. Diante dessa constatação, o gestor argumentou da seguinte maneira: P: As empresas participantes do certame foram convi dadas formalmente ou tomaram conhecimento da licitação pela imprensa ofi cial. Q: Os proprietários das empresas convidadas formalm ente não eram parentes.





R: Se os proprietários das empresas convidadas form almente não eram parentes e os proprietários das empresas participan tes da licitação eram parentes, então as empresas participantes não foram convidadas formalmente. Conclusão: As empresas participantes tomaram conhec imento da licitação pela imprensa oficial. A partir das informações acima apresentadas, julgue os itens a seguir. 149 - (TCDF - 2012 / CESPE) Incluindo entre as premissas a constatação da equipe de fiscalização, o argumento do gestor será um argumento válido. Solução: Vamos começar organizando o argumento, incluindo entre as premissas a constatação da equipe de fiscalização: P1: Os proprietários das empresas participantes da licitação eram parentes P2: As empresas participantes do certame foram convidadas formalmente ou tomaram conhecimento da licitação pela imprensa oficial. P3: Os proprietários das empresas convidadas formalmente não eram parentes. P4: Se os proprietários das empresas convidadas formalmente não eram parentes e os proprietários das empresas participantes da licitação eram parentes, então as empresas participantes não foram convidadas formalmente. C: As empresas participantes tomaram conhecimento da licitação pela imprensa oficial. Passando tudo para a linguagem simbólica, temos: p: Os proprietários das empresas participantes da licitação eram parentes. q: As empresas participantes do certame foram convidadas formalmente. r: As empresas participantes tomaram conhecimento da licitação pela imprensa oficial. s: Os proprietários das empresas convidadas formalmente eram parentes P1: p P2: (q v r) P3: ~s P4: (~s ∧ p) → ~q C: r Argumento: [(p) ∧ (q v r) ∧ (~s) ∧ ((~s ∧ p) → ~q)] ⇒ (r)





Podemos perceber de início que as premissas P1 e P3 são proposições simples, o que nos leva a concluir que “p” deve ser verdadeiro e “~s” deve ser verdadeiro, ou seja, “s” deve ser falso. Assim: (p) ∧ (q v r) ∧ (~s) ∧ ((~s ∧ p) → ~q) (V) ∧ (q v r) ∧ (~F) ∧ ((~F ∧ V) → ~q) (V) ∧ (q v r) ∧ (V) ∧ ((V ∧ V) → ~q) (V) ∧ (q v r) ∧ (V) ∧ (V → ~q) Agora, devemos concluir que “~q” deve ser verdadeiro, ou seja, “q” deve ser falso para que P4 seja verdadeira: (V) ∧ (q v r) ∧ (V) ∧ (V → ~q) (V) ∧ (F v r) ∧ (V) ∧ (V → ~F) (V) ∧ (F v r) ∧ (V) ∧ (V) Por fim, devemos concluir que “r” deve ser necessariamente verdadeiro para que P2 seja verdadeira. (V) ∧ (F v r) ∧ (V) ∧ (V) (V) ∧ (F v V) ∧ (V) ∧ (V) (V) ∧ (V) ∧ (V) ∧ (V) Agora, olhando para a conclusão (r), podemos perceber que o argumento é válido, pois considerando o conjunto de premissas verdadeiro, a conclusão só pode ser verdadeira. Item correto . 150 - (TCDF - 2012 / CESPE) A partir da argumentação do gestor é correto inferir que todas as empresas que tomaram conhecime nto do certame pela imprensa oficial participaram da licitação. Solução: Agora, a argumentação não considera a constatação da equipe de fiscalização: P1: As empresas participantes do certame foram convidadas formalmente ou tomaram conhecimento da licitação pela imprensa oficial. P2: Os proprietários das empresas convidadas formalmente não eram parentes.





P3: Se os proprietários das empresas convidadas formalmente não eram parentes e os proprietários das empresas participantes da licitação eram parentes, então as empresas participantes não foram convidadas formalmente. C: As empresas participantes tomaram conhecimento da licitação pela imprensa oficial. Passando tudo para a linguagem simbólica, temos: p: Os proprietários das empresas participantes da licitação eram parentes. q: As empresas participantes do certame foram convidadas formalmente. r: As empresas participantes tomaram conhecimento da licitação pela imprensa oficial. s: Os proprietários das empresas convidadas formalmente eram parentes P1: (q v r) P2: ~s P3: (~s ∧ p) → ~q C: r Argumento: [(q v r) ∧ (~s) ∧ ((~s ∧ p) → ~q)] ⇒ (r) Nesse argumento, vamos usar aquele macete de testar se para a conclusão sendo falsa existe alguma possibilidade de o conjunto de premissas ser verdadeiro: Considerando “r” falso, temos: (q v r) ∧ (~s) ∧ ((~s ∧ p) → ~q) (q v F) ∧ (~s) ∧ ((~s ∧ p) → ~q) Podemos concluir que o “q” deve ser verdadeiro para que P1 seja verdadeira: (q v F) ∧ (~s) ∧ ((~s ∧ p) → ~q) (V v F) ∧ (~s) ∧ ((~s ∧ p) → ~ V) (V) ∧ (~s) ∧ ((~s ∧ p) → F) Agora, devemos concluir que “~s” deve ser verdadeiro para que P2 seja verdadeira, ou seja, “s” deve ser falso: (V) ∧ (~s) ∧ ((~s ∧ p) → F) (V) ∧ (~F) ∧ ((~F ∧ p) → F) (V) ∧ (V) ∧ ((V ∧ p) → F)





Por fim, o “p” deve ser falso para que P3 seja verdadeira. (V) ∧ (V) ∧ ((V ∧ p) → F) (V) ∧ (V) ∧ ((V ∧ F) → F) (V) ∧ (V) ∧ (F → F) (V) ∧ (V) ∧ (V) Assim, podemos concluir que existe a possibilidade de o conjunto de premissas ser verdadeiro e a conclusão ser falsa, o que nos leva a concluir que o argumento não é válido. Item errado . 151 - (TCDF - 2012 / CESPE) Se alguma das premissas, P, Q ou R, for uma proposição falsa, então o argumento apresentado ser á inválido. Solução: Essa é uma questão teórica que exige o conhecimento dos conceitos de argumentação falado na aula passada. Lembram-se quando eu disse que para analisar um argumento não devemos nos preocupar com o conteúdo das proposições, mas devemos observar se, ao considerarmos o conjunto de premissas verdadeiras, a conclusão é uma consequência obrigatória dessas premissas. Item errado . 152 - (TCDF - 2012 / CESPE) O fato de determinado argumento ser válido implica, certamente, que todas as suas premissas sã o proposições verdadeiras. Solução: Novamente o mesmo conceito. Não é necessário saber o conteúdo das premissas, mas sim, a sua construção. Item errado . (Texto para a questão 153) Um jovem, ao ser flagrado no aeroporto portando certa quantidade de entorpecentes, argumentou com o s policiais conforme o esquema a seguir: Premissa 1: Eu não sou traficante, eu sou usuário; Premissa 2: Se eu fosse traficante, estaria levando uma grande quantidade de droga e a teria escondido; Premissa 3: Como sou usuário e não levo uma grande quantidade, não escondi a droga.





Conclusão: Se eu estivesse levando uma grande quant idade, não seria usuário. Considerando a situação hipotética apresentada acim a, julgue os itens a seguir. 153 - (Polícia Federal - 2012 / CESPE) Sob o ponto de vista lógico, a argumentação do jovem constitui argumentação válida . Solução: Vamos começar passando a argumentação para a linguagem simbólica: Premissa 1: Eu não sou traficante, eu sou usuário; Premissa 2: Se eu fosse traficante, estaria levando uma grande quantidade de droga e a teria escondido; Premissa 3: Como sou usuário e não levo uma grande quantidade, não escondi a droga. Conclusão: Se eu estivesse levando uma grande quantidade, não seria usuário. p: Eu sou traficante q: Eu sou usuário r: Estaria levando uma grande quantidade de droga s: Teria escondido a droga P1: ~p ∧ q P2: p → (r ∧ s) P3: (q ∧ ~r) → ~s C: r → ~q Argumentação: [(~p ∧ q) ∧ (p → (r ∧ s)) ∧ ((q ∧ ~r) → ~s)] ⇒ (r → ~q) Nessa questão, vou usar mais uma vez o macete de verificar existe alguma possibilidade do conjunto de premissas ser verdadeiro para a situação em que a conclusão é falsa. Analisando a conclusão (r → ~q) ela só será falsa quando “r” for verdadeira e “~q” for falsa, ou seja, quando tanto “r” quanto “q” forem verdadeiras. Assim, resta testarmos se para esses valores de “r” e “q” o conjunto de premissas pode ser verdadeiro: (~p ∧ q) ∧ (p → (r ∧ s)) ∧ ((q ∧ ~r) → ~s) (~p ∧ V) ∧ (p → (V ∧ s)) ∧ ((V ∧ ~V) → ~s)





(~p ∧ V) ∧ (p → (V ∧ s)) ∧ ((V ∧ F) → ~s) (~p ∧ V) ∧ (p → (V ∧ s)) ∧ (F → ~s) Podemos verificar que das três premissas, as únicas que podem ser falsas são a primeira e a segunda, quando o “p” for verdadeiro e o “s” for falso. Para qualquer outra combinação de valores lógicos de “p” e “s” o conjunto de premissas será verdadeiro. Portanto, existe a possibilidade de o conjunto de premissas ser verdadeiro e a conclusão ser falsa, o que nos leva a concluir que a argumentação não é válida. Item errado .





2 – Princípios de Contagem O princípio fundamental da contagem , também conhecido como princípio multiplicativo, estabelece de quantas maneiras dois ou mais eventos correlacionados podem ocorrer. Este princípio consiste em dividir o acontecimento, ou agrupamento, em etapas e descobrir, para cada etapa, qual a sua possibilidade de ocorrer. Vejamos alguns exemplos: Ex1: Deseja-se marcar, em Brasília, um amistoso de futeb ol envolvendo um time da série A e um time da série B do Campeonato Brasileiro de 2012. Qual o total de possibilidades para esse confronto, sabe ndo que existem 20 times na séria A e 20 times na série B? Séria A: 20 times (Bahia, Flamengo, Corinthians, Internacional, Atlético-MG, ...) Série B: 20 times (Goiás, Avaí, América-MG, Atlético-PR, ...) Vamos tentar relacionar todos os possíveis jogos: Bahia x Goiás Bahia x Avaí Bahia x América-MG Bahia x Atlético-PR Bahia x ... Veja que escolhendo o Bahia entre os times da séria A, teremos 20 possíveis jogos, pois existem 20 times na série B. Agora, vamos escolher o Flamengo, e relacionar os possíveis jogos com sua participação: Flamengo x Goiás Flamengo x Avaí Flamengo x América-MG Flamengo x Atlético-PR Flamengo x ... Veja que escolhendo o Flamengo entre os times da séria A, também teremos 20 possíveis jogos, pois existem 20 times na série B. Isso ocorrerá para cada um dos 20 times da série A. Assim, podemos calcular o total de jogos possíveis: Jogos com o Bahia: 20 jogos Jogos com o Flamengo: 20 jogos Jogos com o Corinthians: 20 jogos Jogos com o Internacional: 20 jogos Jogos com o Atlético-MG: 20 jogos ...

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Total = 20 + 20 + 20 + 20 + 20 + ... 20 = 20 x 20 = 400 possibilidades De forma prática, podemos perceber que o total de possibilidades é dados por: Total de times na série A x Total de times na série B = 20 x 20 = 400 Ex2: Um restaurante oferece em seu cardápio 2 opçoes p ara a entrada (E 1 e E2), 3 opções de prato principal (P 1, P2 e P3) e 2 opções para a sobremesa (S 1 e S2). De quantas maneiras diferentes um cliente pode a lmoçar nesse restaurante, sabendo que ele escolheu uma entrada, um prato principal e sobremesa? Vamos tentar ilustrar todas as possibilidades por meio do diagrama de árvore: E1 E2 Temos, então, 12 opções de escolha para o cliente. De forma direta, podemos perceber que o cliente terá: 2 opções de entrada, 3 opções de prato principal e 2 opções de sobremesa Total = 2 x 3 x 2 = 12 opções Ex3: A senha de um cadeado é composta de três dígitos. Marcos esqueceu qual era a senha e só lembrava que terminava com um número ímpar. Qual o total de possibilidades para a senha de Marcos? Vamos tentar escrever todas as senhas?

20 vezes

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P2

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P3

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= E1, P1, S1

= E1, P1, S2

= E1, P2, S1

= E1, P2, S2

= E1, P3, S1

= E1, P3, S2

= E2, P1, S1

= E2, P1, S2

= E2, P2, S1

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= E2, P3, S1

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0 0 1 0 0 3 0 0 5 0 0 7 0 0 9 0 1 1 0 1 3 0 1 5 0 1 7 ... Bom, é inviável relacionar todas as possibilidades. Vamos, então, calcular esta quantidade: 1° dígito: 10 possibilidades: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9 2° dígito: 10 possibilidades: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9 3° dígito: 5 possibilidades (trata-se de um número ímpar): 1, 3, 5, 7 ou 9 Assim, o total de possibilidades é dado por: 10 x 10 x 5 = 500 possibilidades A partir desses três exemplos, podemos chegar à definição do princípio fundamental da contagem: Se um determinado evento M ocorre de K maneiras diferentes, chamadas de M1, M2, M3, ..., Mk e se um outro evento N pode ocorrer de J maneiras diferentes, chamadas de N1, N2, N3, ..., Nj, então o número total de maneiras que esses dois eventos podem ocorrer é dado por K x J . Vamos ver uma questão sobre esse assunto. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 154 - (ANAC 2009 - CESPE) O número de rotas aéreas possíveis partindo de Porto Alegre, Florianópolis ou Curitiba com destino a Fortaleza, Salvador, Natal, João Pessoa, Maceió, Recife ou Aracaju, faze ndo uma escala em Belo Horizonte, Brasília, Rio de Janeiro ou São Paulo é múltiplo de 12. Solução:

Nessa questão temos o seguinte:

Ponto de partida : Porto Alegre, Florianópolis ou Curitiba (3 opções) Escala : Belo Horizonte, Brasília, Rio de Janeiro ou São Paulo (4 opções)

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Ponto de chegada : Fortaleza, Salvador, Natal, João Pessoa, Maceió, Recife ou Aracaju (7 opções)

Com isso, o número de rotas possíveis é: (vale observar que elas não se repetem)

3 x 4 x 7 = 12 x 7 (portanto, múltiplo de 12) = 84 opções de rota. Item correto . -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Análise Combinatória Antes de qualquer coisa, gostaria de esclarecer que esse assunto é muito importante para a resolução das questões da prova. Apesar de o edital falar apenas em “Princípios de Contagem e Probabilidade”, devemos entender que a permutação, o arranjo e a combinação estão incluídos no edital, haja vista o que o CESPE já cobrou em outros concursos com o mesmo edital. Assim, feitos os esclarecimentos, vamos começar esse assunto falando um pouquinho sobre a Análise Combinatória . Trata-se de um dos tópicos em que a matemática é dividida, responsável pelo estudo de critérios para a representação da quantidade de possibilidades de acontecer um agrupamento sem que seja preciso desenvolvê-los. Em outras palavras, com o uso das técnicas da Análise Combinatória é possível saber o número de maneiras possíveis de se realizar determinado acontecimento sem que seja necessário listar todas essas maneiras. Permutações, Arranjos e Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos. Descreveremos abaixo como cada um desses agrupamentos funciona. Antes disso, vamos exercitar nossa mente um pouquinho. Suponha que eu tenha uma moeda e a jogue no chão. O número de possibilidades para o resultado dessa jogada é dois (Cara ou Coroa). Agora, suponha que eu jogue duas moedas. Teremos, então quatro possibilidades para o resultado dessa jogada: cara-cara cara-coroa coroa-cara coroa-coroa Teremos essas quatro possibilidades se a ordem dos resultados tiver importância. Caso a ordem dos resultados não importe, teremos apenas 3 resultados possíveis: cara-cara

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cara-coroa ou coroa-cara (dá no mesmo) coroa-coroa Agora, suponha que jogaremos 3 moedas. E então? Será que você sabe me dizer quantas possibilidades nós temos para o resultado dessa jogada? Caso a ordem tenha importância, teremos um total de 8 possibilidades (2 x 2 x 2 = 23 = 8). Caso a ordem não tenha importância, teremos apenas 4 possibilidades: cara-cara-cara cara-cara-coroa ou cara-coroa-cara ou coroa-cara-cara (dá no mesmo) cara-coroa-coroa ou coroa-cara-coroa ou coroa-coroa-cara (dá no mesmo) coroa-coroa-coroa Portanto, na análise das possibilidades de um evento acontecer, a primeira pergunta que devemos fazer é se a ordem dos elementos tem alguma importância. Agora, vamos esquecer um pouquinho as moedas e trabalhar com dados. Ao jogar um dado ao acaso, teremos 6 possibilidades para o resultado (1, 2, 3, 4, 5 ou 6). Agora, ao jogarmos 2 dados, teremos: 6 x 6 = 62 = 36 possibilidades Agora, imaginem que temos dois dados diferentes, um branco e um preto. Quantas possibilidades nós temos para que o resultado dos dois dados seja diferente? Vimos que o total de possibilidades é 36, incluídos os resultados em que os dois dados apresentam o mesmo número. Os casos em que o resultado dos dois dados apresentam o mesmo número são 6 (11, 22, 33, 44, 55 e 66). Assim, para saber a quantidade de possibilidades em que os dois dados apresentam números diferentes, podemos fazer o seguinte: 36 – 6 = 30 possibilidades Outra forma de chegarmos a esse mesmo resultado é considerarmos que primeiro nós iremos considerar o valor obtido no dado preto e em seguida o resultado obtido no dado branco (ou vice-versa). Assim: Nº de possibilidades para o dado preto: 6 (1, 2, 3, 4, 5, ou 6) Nº de possibilidades para o dado branco: 6 – 1 = 5 (pois o resultado do dado branco tem que ser diferente do dado preto) Assim, o total de possibilidades é dado por: 6 x 5 = 30 possibilidades Esse exemplo nos remete às combinações possíveis para os seis números da mega-sena. Sabendo que são 60 números possíveis, o total de possibilidades é: 60 x 59 x 58 x 57 x 56 x 55 = 36.045.979.200 possibilidades

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Bom, agora que vocês já pensaram um pouco sobre a análise combinatória, vamos aprender o que significa a permutação, o arranjo e a combinação. Antes disso, devemos aprender um pouco a respeito de um importante operador matemático, o fatorial de um número natural, simbolizado pela exclamação “ ! ”. Agora, seja “n” um número natural, definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n!) como sendo: n! = n x (n – 1) x (n – 2) x ... x 4 x 3 x 2 x 1, para n > 1. Para n = 0, teremos: 0! = 1 Para n = 1, teremos: 1! = 1 Exemplos: 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3.628.800 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40.320 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 2! = 2 x 1 = 2 Podemos escrever um fatorial em função de outro fatorial. Exemplos: 10! = 10 x 9! = 10 x 9 x 8! = 10 x 9 x 40.320 = 3.628.800 8! = 8 x 7! = 8 x 7 x 6! = 8 x 7 x 6 x 5! = 8 x 7 x 6 x 120 = 40.320 Podemos, também, ter equações com fatorial. Vejamos:

!4!6 =

1.2.3.41.2.3.4.5.6

= 6.5 = 30

ou

!4!6 =

!4!4.5.6 = 6.5 = 30

Permutação Definimos permutação como sendo agrupamentos formados por “n” elementos, de forma que todos os “n” elementos participem dos agrupamentos e sejam distintos

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entre si pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares. Permutação Simples Definimos permutação simples como sendo o número de maneiras de arrumar n elementos em n posições em que cada maneira se diferencia apenas pela ordem em que os elementos aparecem. São agrupamentos com todos os “n” elementos distintos, não há repetição de elementos. Exemplo 1: Deseja-se saber quantos anagramas podem ser formado s com as letras da palavra “PAI” (um anagrama é uma palavra construída com as mesmas letras da palavra original trocadas de posição, tendo sign ificado ou não): Anagramas são os casos mais comuns de questões sobre permutação. Antes de apresentar a “fórmula” para a permutação simples, vamos tentar resolver a questão sem o uso de equações: PAI PIA IAP IPA API AIP Temos, então, 6 possibilidades. Vejam que esse exemplo nós conseguimos resolver sem o uso de equações, pois tínhamos apenas três letras. Vejamos outro exemplo: Exemplo 2: Deseja-se saber quantos anagramas podem ser formado s com as letras da palavra “CHARLES”: Vamos tentar, novamente, sem o uso de equações: CHARLES CHARLSE CHARELS CHARESL CHARSEL CHARSLE CHASLER ...

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Como podemos ver, levará bastante tempo para conseguirmos escrever todos os anagramas e ainda corremos o risco de errar. Assim, aplicando o princípio da multiplicação obtemos a seguinte equação para permutações simples: Ps = n! Vamos voltar e resolver os dois exemplos usando esta equação: Exemplo 1: PAI (três letras distintas, ou seja, n = 3) N° de anagramas = n! = 3! = 3.2.1 = 6 Exemplo 2: CHARLES (sete letras distintas, ou seja, n = 7) N° de anagramas = n! = 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040 Agora vamos ver como isso já foi cobrado em concurso: -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 155 - (SEPLAG/DF 2009 - CESPE) Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 é possível formar 120 números diferentes de 5 algarismos, sem repetição. Solução: Quantidade de algarismos distintos: 5, ou seja, n = 5 Assim, a quantidade de números distintos é dada por: n! = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 Portanto, o item está correto . -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Permutação com repetição Definimos permutação com repetição como sendo o número de maneiras de arrumar n elementos em n posições em que cada maneira se diferencia pela ordem em que os elementos aparecem, e que pelo menos um desses n elementos se repete.

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Exemplo 1: Deseja-se saber quantos anagramas podem ser formado s com as letras da palavra “ASA”: Mais uma vez, vamos tentar resolver a questão sem o uso de equações: ASA AAS SAA Temos, então, 3 possibilidades. Novamente, nós conseguimos resolver a questão sem o uso de equações. Vejamos outro exemplo: Exemplo 2: Deseja-se saber quantos anagramas podem ser formado s com as letras da palavra “ARARAQUARA”: Vamos tentar sem equações novamente? Acho melhor não. Vamos aprender logo a equação: Se entre os n elementos de um conjunto existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente, o número total de permutações que podemos formar é dado por:

Pr = !....c!.b!.a

!n

Vamos voltar aos exemplos: Exemplo 1: ASA (três letras, sendo que uma delas aparece duas vezes, ou seja, n = 3 e a= 2).

N° de anagramas = !....c!.b!.a

!n =

!2!3 =

1.21.2.3

= 3

Exemplo 2: ARARAQUARA (dez letras, sendo que o “A” aparece cinco vezes e o “R” aparece três vezes, ou seja, n = 10, a = 5 e b = 3).

N° de anagramas = !....c!.b!.a

!n =

!3!.5!10

= 1.2.3!.5

!5.6.7.8.9.10 = 10.9.8.7 = 5040

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Vamos ver como isso já foi cobrado em concurso: -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 156 - (SEPLAG/DF 2009 - CESPE) Com 3 letras A e 7 letras B formam-se 120 sequências distintas de 10 letras cada. Solução: Nessa questão nós temos: n = 10 a = 3 b = 7 Assim:

Número de sequências = !b!.a

!n =

!7!.3!10

= !7!.3

!7.8.9.10 =

1.2.38.9.10

= 120

Portanto, o item está correto . -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Permutação Circular A permutação circular não é mais um tipo de permutação, e sim, um caso particular do que já vimos. Trata-se de uma situação em que os elementos do agrupamento formarão uma linha fechada, ou seja, um círculo. Não temos como identificar onde começa ou onde termina o grupo. Vamos ver dois exemplos para clarear as idéias: Exemplo 1: Do grupo de amigos, Paulo, José e Marcel o, deseja-se saber de quantas formas diferentes eles podem formar uma fil a indiana. Aqui, usamos o que já aprendemos, que é a permutação simples. Assim, temos: Quantidade de maneiras = n! = 3! = 3.2.1 = 6 Vamos listar os grupos: 1° Paulo, 2° José e 3° Marcelo 1° Paulo, 2° Marcelo e 3° José 1° José, 2° Paulo e 3° Marcelo 1° José, 2° Marcelo e 3° Paulo 1° Marcelo, 2° José e 3° Paulo 1° Marcelo, 2° Paulo e 3° José

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Exemplo 2: Do mesmo grupo de amigos, Paulo, José e Marcelo, deseja-se saber de quantas formas diferentes eles podem forma r um círculo dando as mãos. Aqui, temos um caso típico da permutação circular. Não sabemos onde começa nem onde termina o grupo. Nesse caso, vamos desenhar as possíveis formações: É importante notar que na figura 1, Paulo está à direita de José e à esquerda de Marcelo, enquanto que na figura 2, Paulo está à esquerda de José e à direita de Marcelo. Não existe outra forma de dispor os três amigos sem que uma dessas duas formações se repita. Podemos, agora, escrever a equação da permutação circular, para uma quantidade n de elementos: Pc = (n – 1)! Voltando ao exemplo 2, temos: Pc = (n – 1)! = (3 – 1)! = 2! = 2.1 = 2 Vamos ver uma questão do Cespe sobre isso: -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 157 - (BB 2007 - CESPE) Uma mesa circular tem seus 6 lugares que serão ocupados pelos 6 participantes de uma reunião. Ness a situação, o número de formas diferentes para se ocupar esses lugares c om os participantes da reunião é superior a 10 2. Solução: Nessa questão, temos 6 pessoas para ocuparem 6 lugares. Assim: n = 6 Como a mesa é circular, temos:

Paulo

Marcelo

José Paulo

José

Marcelo

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Pc = (n – 1)! Pc = (6 – 1)! Pc = (5)! Pc = 120 Portanto, o item está correto ! -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Arranjos Os Arranjos são agrupamentos formados por uma quantidade “p” de elementos de um grupo que possui um total de “m” elementos, de forma que os “p” elementos sejam distintos entre si pela ordem ou pela espécie. Arranjos Simples No arranjo simples não ocorre a repetição dos elementos agrupados e a ordem ou a espécie dos componentes dos agrupamentos tem importância . Vamos a um exemplo: Exemplo 1: Pedro possui 4 latas de tinta, das cores azul, amarela, verde e vermelha, para pintar a sala de sua casa. Ele desej a pintar as paredes de uma cor e as janelas de uma cor diferente da cor us ada nas paredes. De quantas formas diferentes ele poderá pintar sua sal a? Vamos tentar resolver esta questão sem o uso de fórmulas. Vejamos: - Podemos ter as paredes azuis com as janelas amarelas, verdes ou

vermelhas, ou seja, 3 possibilidades. - Podemos ter as paredes amarelas com as janelas azuis, verdes ou

vermelhas, ou seja, 3 possibilidades. - Podemos ter as paredes verdes com as janelas azuis, amarelas ou

vermelhas, ou seja, 3 possibilidades. - Podemos ter as paredes vermelhas com as janelas azuis, amarelas ou

verdes, ou seja, 3 possibilidades. Pedro terá, então, um total de 3 + 3 + 3 + 3 = 12 possibilidades diferentes para pintar a sala de sua casa.

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Exemplo 2: Agora, digamos que Pedro tivesse 10 core s diferentes (azul, amarelo, verde, vermelho, laranja, roxo, preto, cin za, branco e marrom), e que ele quisesse pintar cada uma das quatro paredes e cada uma das 2 janelas de sua sala de uma cor diferente, como farí amos? Vamos tentar mais uma vez sem o uso de fórmulas: - Podemos ter a parede 1 azul, a parede 2 amarela, a parede 3 verde, a

parede 4 vermelha, a janela 1 laranja e a janela 2 roxa, preta, cinza, branca ou marrom , ou seja, 5 possibilidades.

- Podemos ter a parede 1 azul, a parede 2 amarela, a parede 3 verde, a

parede 4 vermelha, a janela 1 roxa e a janela 2 laranja, preta, cinza, branca ou marrom , ou seja, 5 possibilidades.


parede 4 vermelha, a janela 1 preta e a janela 2 laranja, roxa, cinza, branca ou marrom , ou seja, 5 possibilidades.


parede 4 vermelha, a janela 1 cinza e a janela 2 laranja, roxa, preta, branca ou marrom , ou seja, 5 possibilidades.

- ... Podemos ver que é uma conta que levaremos várias páginas desta aula para encontrar o seu resultado. Assim, aprenderemos agora uma equação que resume o que estávamos fazendo. Vamos lá:

As(m, p) = )!pm(

!m−−−−

Onde “m” é total de elementos disponíveis para serem agrupados e “p” é o total de elementos do grupo. Vamos resolver os dois exemplos acima utilizando esta equação: Exemplo 1:

As(m, p) = )!pm(

!m−

As(4, 2) = )!24(

!4−

= !2

!2.3.4 = 4.3 = 12

Exemplo 2:

Alekys

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Alekys

Lápis

Alekys

Lápis

Alekys

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As(m, p) = )!pm(

!m−

As(10, 6) = )!610(

!10−

= !4

!4.5.6.7.8.9.10 = 10.9.8.7.6.5 = 151200

Assim, com a utilização das equações, conseguimos encontrar as respostas dos dois exemplos de maneira muito mais rápida. É importante lembrar que a ordem e a espécie são levadas em consideração na utilização dos arranjos. Agora vamos ver como isso já foi cobrado em concurso. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 158 - (FUB 2009 / CESPE) A quantidade de números naturais de 3 algarismos em que todos os algarismos são distintos é superior a 700 Solução: Nessa questão, temos: A quantidade de algarismos: 3 Todos os algarismos são distintos.

Arranjo (10,3) = )!310(

!10−

= !7

!7.8.9.10 = 10.9.8 = 720

Ocorre que calculando dessa maneira, estamos considerando como números de três algarismos os números começados com zero (045, 066, ...) e não é isso que o Cespe quer que consideremos. Assim, temos: 1º dígito: 9 possibilidades, pois o zero não pode ocupar essa posição 2º dígito: 9 possibilidades, pois já utilizamos um número no primeiro dígito 3º dígito: 8 possibilidades, pois já utilizamos dois números, nos dígitos 1 e 2. Total = 9 x 9 x 8 = 648 Portanto, item errado . -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Arranjo com repetição No arranjo com repetição pode ocorrer a repetição dos elementos agrupados e a ordem e a espécie dos componentes dos agrupamentos tem importância . Vejamos um exemplo:

Alekys

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Alekys

Lápis

Alekys

Lápis

Alekys

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Alekys

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Alekys

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Exemplo 1: Pedro possui 4 latas de tinta, das cores azul, amarela, verde e vermelha, para pintar a sala de sua casa. Ele desej a pintar as paredes e as janelas, podendo suas cores ser iguais ou não. De q uantas formas diferentes ele poderá pintar sua sala? Vamos tentar resolver esta questão sem o uso de fórmulas. Vejamos:

- Podemos ter as paredes azuis com as janelas azuis, amarelas, verdes ou vermelhas, ou seja, 4 possibilidades.

- Podemos ter as paredes amarelas com as janelas azuis, amarelas, verdes

ou vermelhas, ou seja, 4 possibilidades.

- Podemos ter as paredes verdes com as janelas azuis, amarelas, verdes ou vermelhas, ou seja, 4 possibilidades.

- Podemos ter as paredes vermelhas com as janelas azuis, amarelas, verdes

ou vermelhas, ou seja, 4 possibilidades. Pedro terá, então, um total de 4 + 4 + 4 + 4 = 16 possibilidades diferentes para pintar a sala de sua casa. Já podemos ver que, da mesma forma que no arranjo simples, quando tivermos uma quantidade maior de elementos para serem agrupados, o cálculo usando esta metodologia se tornará inviável. Assim, vamos apresentar a equação que simplifica este cálculo: Ar(m, p) = m p Neste exemplo 1, usando a equação acima, teríamos: Ar(m, p) = mp Ar(4, 2) = 42 = 16 Combinações As Combinações são agrupamentos formados por uma quantidade “p” de elementos de um grupo que possui um total de “m” elementos, de forma que os “p” elementos sejam distintos entre si apenas pela espécie. Na combinação não ocorre a repetição dos elementos agrupados e apenas a espécie dos componentes dos agrupamentos tem importância . Vamos a um exemplo:

Alekys

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Alekys

Linha

Alekys

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Alekys

Linha

Alekys

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Alekys

Linha





Exemplo 1: Num grupo de 4 jogadoras de vôlei de pra ia, Clara, Taís, Paula e Juliana, de quantas maneiras diferentes podemos for mar uma única dupla para participar de um torneio? Podemos perceber que uma dupla formada por Paula e Taís é o mesmo que uma dupla formada por Taís e Paula. Portanto, a ordem dos elementos não tem importância nenhuma. Vamos tentar formar essas duplas sem o uso das equações: Clara e Taís Clara e Paula Clara e Juliana Taís e Paula Taís e Juliana Paula e Juliana Conseguimos, rapidamente, descobrir que são 6 as possíveis duplas. Vamos ver um exemplo mais complicado: Exemplo 2: Num grupo de 12 jogadoras de vôlei, Ana, Beatriz, Clara, Diana, Érica, Flávia, Gabriela, Hilda, Ivete, Juliana, Lei la e Márcia, de quantas maneiras diferentes podemos formar um time de seis jogadoras para começar uma partida? Aqui já podemos ver a dificuldade que seria tentar listar todos os possíveis grupos de seis jogadoras que poderiam ser formados pelas 12 mulheres. Vamos, então, aprender mais uma equação:

C(m, p) = )!pm!.(p

!m−−−−

Onde m é o total de elementos a serem agrupados e p é o total de elementos do grupo. Vamos voltar aos dois exemplos: Exemplo 1: m = 4 (Clara, Taís, Paula e Juliana) p = 2 (uma dupla)

C(m, p) = C(4,2) = )!24!.(2

!4−

= )!2.(1.2!2.3.4

= 23.4

= 6





Exemplo 2: m = 12 (Ana, Beatriz, Clara, Diana, Érica, Flávia, Gabriela, Hilda, Ivete, Juliana, Leila e Márcia) p = 6 (Equipe com seis jogadoras)

C(m, p) = C(12, 6) = )!612!.(6

!12−

= )!6.(1.2.3.4.5.6

!6.7.8.9.10.11.12 =

2.3.4.5.67.8.9.10.11.12

= 924

Agora, vamos ver como isso já foi cobrado: -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 159 - (Agente-PF - 2009 / CESPE) Considerando que, em um torneio de basquete, as 11 equipes inscritas serão divididas n os grupos A e B, e que, para formar o grupo A, serão sorteadas 5 equipes. A quantidade de maneiras distintas de se escolher as 5 equipes que formarão o grupo A será inferior a 400. Solução: Essa é uma questão clássica onde utilizamos a combinação (não são utilizados todos os elementos disponíveis para formar o grupo e a ordem dos elementos não importa):

C(m, p) = )!pm!.(p

!m−

C(11, 5) = )!511!.(5

!11−

= )!6.(1.2.3.4.5

!6.7.8.9.10.11 =

2.3.4.57.8.9.10.11

= 11.3.2.7 = 462

Portanto, item errado . -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Princípio da Casa dos Pombos Muitos de vocês já deve ter ouvido falar nesse princípio, outros talvez não. Mas com certeza, vocês verão que ele é bastante intuitivo. Vou explicar esse teorema com uma situação prática. Se eu te perguntasse quantas pessoas precisa haver num estádio de futebol para se ter certeza de que pelo menos duas delas fazem aniversário no mesmo dia? Eu disse certeza (não quer dizer que tenham nascido no mesmo ano, apenas façam aniversário no

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mesmo dia). Para facilitar, ignorem a existência do ano bissexto. Pensem um pouco mais... Antes de responder, vamos pensar numa situação. Digamos que houvesse duas pessoas no estádio. E então, podemos ter certeza que as duas pessoas fazem aniversário no mesmo dia? Bom, até que é possível, mas bem pouco provável. E se houvesse três pessoas? Ainda é possível, mas continua muito pouco provável. Mas além de possível ou provável, queremos ter certeza de que duas pessoas fazem aniversário no mesmo dia, e havendo duas, três, dez, ou até mesmo cinquenta, ainda não teríamos certeza de que duas pessoas fazem aniversário no mesmo dia. Ou até mesmo trezentas pessoas. E por que isso? Bom, porque embora com trezentas pessoas já seja provável que duas pessoas façam aniversário no mesmo dia, ainda não temos certeza, pois podemos ter o “azar” de todos terem nascido em dias diferentes do ano. Estamos chegando onde eu queria, e tenho certeza que você já chegou lá. Mesmo que tivéssemos 365 pessoas, não teríamos certeza de que pelo menos duas delas fazem aniversário no mesmo dia. Isso porque as 365 pessoas podem ter nascido cada uma em um dia diferente do ano. No entanto, se houver 366 pessoas no estádio, não há como fugir, pelo menos duas delas tem de soprar velinhas no mesmo dia. Resumindo, para se ter certeza de que pelo menos duas pessoas fazem aniversário no mesmo dia, devemos ter pelo menos 365 + 1 = 366 pessoas, pois o ano possui 365 dias. Esse é o princípio da casa dos pombos: “se tivermos um número de ninhos (digamos “n”) e um número de pombos (digamos “p”), e o número “p” for maior do que “n”, então tem de haver pelo menos dois pombos em algum ninho ”. Vamos ver uma questão a respeito deste assunto: -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 160 - (MPE-RR - 2008 / CESPE) O arquivo de um tribunal contém 100 processos, distribuídos entre as seguintes áreas: d ireito penal, 30; direito civil, 30; direito trabalhista, 30; direito tributá rio e direito agrário, 10. Nessa situação, ao se retirar, um a um, os processos dess e arquivo, sem se verificar a que área se referem, para se ter a cert eza de que, entre os processos retirados do arquivo, 10 se refiram a uma mesma área, será necessário que se retirem pelo menos 45 processos. Solução: Nessa questão, devemos retirar os processos, sem se verificar a que área se referem, e garantir que pelo menos 10 se referem à mesma área. Assim, é possível que eu retire apenas 10 processos e esses 10 processos sejam da





mesma área. Porém isso é bem pouco provável. Mas eu não quero saber a probabilidade, eu quero ter certeza! Vimos na teoria do “Principio da Casa dos Pombos” que para que eu garanta que algum dos n ninhos tenha mais do que um pombo são necessários n + 1 pombos. Assim, nessa questão, suponha que eu queira retirar 2 processos da mesma área (penal, civil, trabalhista, tributário ou agrário): Retirando-se 2 processos – Não garanto nada, pode ser um de cada área Retirando-se 3 processos – Não garanto nada, pode ser um de cada área Retirando-se 4 processos – Não garanto nada, pode ser um de cada área Retirando-se 5 processos – Não garanto nada, pode ser um de cada área Retirando-se 6 processos – Agora eu garanto que pelo menos dois processos são da mesma área. 5 x 1 + 1 = 5 + 1 = 6 Caso todos os processos tivessem mais do que 10 unidades, para garantir que iríamos tirar pelo menos 10 processos da mesma área, precisaríamos de: 5 x 9 + 1 = 45 + 1 = 46 processos Como as áreas tributária e agrária não possuem 10 processos cada uma, devemos contar que todos os processos dessas duas áreas foram retirados e verificar como iremos garantir 10 processos de alguma das outras três áreas. 3 x 9 + 10 + 1 = 27 + 10 + 1 = 38 processos Item errado . -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Agora, vamos ver mais algumas questões para praticar! (Texto para as questões 161 e 162) Entre os 6 analistas de uma empresa, 3 serão escolhidos para formar uma equipe que elabora rá um projeto de melhoria da qualidade de vida para os empregados da empresa. Desses 6 analistas, 2 desenvolvem atividades na área de ciên cias sociais e os demais, na área de assistência social. Julgue os itens que se seguem, relativos à composiç ão da equipe acima mencionada. 161 - (EBC - 2011 / CESPE) Se os 2 analistas que desenvolvem atividades na área de ciências sociais fizerem parte da equipe, e ntão a quantidade de maneiras distintas de se compor essa equipe será su perior a 6. Solução:





Nessa questão, temos 2 analistas da área de ciências sociais e 4 analistas da área de assistência social. Será formado um grupo de 3 pessoas, com 2 analistas da área de ciências sociais e 1 analista da área de assistência social. Assim, podemos perceber que os dois analistas da área de ciências sociais estarão presentes em todos os grupos. O que irá variar é o representante dos analistas da área de assistência social. Portanto, teremos 4 possíveis grupos para essas condições: Grupo 1:Analista 1 de c. soc. ; Analista 2 de c. soc.; Analista 1 de assist. soc.; Grupo 2:Analista 1 de c. soc. ; Analista 2 de c. soc.; Analista 2 de assist. soc.; Grupo 3:Analista 1 de c. soc. ; Analista 2 de c. soc.; Analista 3 de assist. soc.; Grupo 4:Analista 1 de c. soc. ; Analista 2 de c. soc.; Analista 4 de assist. soc.; Portanto, item errado . 162 - (EBC - 2011 / CESPE) Se a equipe for formada por 2 analistas da área de assistência social e 1 analista da área de ciências sociais, então ela poderá ser composta de 12 maneiras distintas. Solução: Agora, será formado um grupo de 3 pessoas, com 2 analistas da área de assistência social e 1 analista da área de ciências sociais. Assim: Para as duas vagas de analista de assistência social: Combinação dos 4 analistas, dois a dois. Para a vaga de analista de ciências sociais: 2 opções. Assim, o total de opções para os grupos é dado por: Total = C(4, 2) x 2

Total = !2)!.24(

!4−

x 2

Total = !2!.2!2.3.4 x 2

Total = 1.23.4

x 2





Total = 2

12 x 2 = 12

Item correto . (Texto para as questões 163 a 165) Considerando que, em uma empresa, haja 5 candidatos, de nomes distintos, a 3 vagas de um m esmo cargo, julgue os próximos itens. 163 - (EBC - 2011 / CESPE) Considere todas as listas possíveis formadas por 3 nomes distintos dos candidatos. Nesse caso, se Al berto, Bento e Carlos forem candidatos, dois desses nomes aparecerão em m ais de 5 dessas listas. Solução: Nessa questão, primeiramente devemos entender que as listas deverão conter 2 dos três nomes. Se a lista contiver 1 nome, não serve, assim como, se a lista contiver os três nomes, também não serve. Nós vamos começar calculando a quantidade total de listas possíveis. Como na lista nós não usaremos todos os nomes possíveis e a ordem das pessoas na lista não importa, usaremos a combinação de cinco elementos, três a três:

C(5, 3) = !3)!.35(

!5−

C(5, 3) = !3!.2!3.4.5

C(5, 3) = 1.24.5

C(5, 3) = 2

20 = 10

Pronto, sabemos agora que o total de listas possíveis é igual a 10. Agora, devemos eliminar desse total as listas que contêm apenas um dos três nomes e a lista que contém os três nomes. Com isso, vamos, escrever essas listas que não atendem nossa necessidade: Candidato 4 Candidato 5 Alberto_ Candidato 4 Candidato 5 Bento_ Candidato 4 Candidato 5 Carlos_ Alberto Bento Carlos_





Portanto, a quantidade total de listas que contém 2 dos três nomes citados na questão é igual a 10 – 4 = 6. Item correto . 164 - (EBC - 2011 / CESPE) Considere todas as listas possíveis formadas por 3 nomes distintos dos candidatos. Nessa situação, s e Alberto, Bento e Carlos forem candidatos, 3 dessas listas conterão a penas um desses nomes. Solução: Vimos na questão anterior que apenas 3 dessas listas conterão apenas um dos nomes citado no enunciado: Candidato 4 Candidato 5 Alberto_ Candidato 4 Candidato 5 Bento_ Candidato 4 Candidato 5 Carlos_ Portanto, item correto . 165 - (EBC - 2011 / CESPE) A quantidade de maneiras distintas de se escolher 3 pessoas entre os 5 candidatos é igual a 20. Solução: Vimos anteriormente que essa quantidade é dada pela combinação dos 5 candidatos, três a três:

C(5, 3) = !3)!.35(

!5−

= 10

Portanto, item errado . (Texto para as questões 166 a 170) O estafe de uma nova instituição pública será composto por 15 servidores: o diretor-geral, s eu secretário executivo e seus 2 subsecretários — 1 de assuntos administrativ os e 1 de fomento —, 4 diretores — de administração e finanças, de infraes trutura, executivo e de pessoal — e, ainda, sete assessores ligados a esses cargos. Para a composição desse estafe, dispõe-se de 20 pessoas, t odas igualmente qualificadas para assumir qualquer um dos cargos va gos. Entretanto, por motivos internos, apenas 5 delas podem assumir carg os de direção. As pessoas escolhidas para os cargos de assessoria des empenham funções similares. Considerando a situação acima, julgue os itens que se seguem.





166 - (EBC - 2011 / CESPE) Supondo que já tenham sido preenchidos todos os cargos de direção, de secretário executivo e de subsecretários, a quantidade de maneiras distintas de se escolherem a s pessoas para preencher os sete cargos de assessores é superior a 700. Solução: Nessa questão, devemos perceber que das 20 pessoas inicialmente disponíveis, restaram apenas 12, pois 8 delas já foram escolhidas para os cargos de direção, secretário executivo e subsecretários. Assim, temos 12 pessoas para preencherem 7 cargos iguais. Percebam que os sete cargos são iguais, o que faz com que a ordem da escolha não tenha importância. Por isso, iremos fazer uma combinação das doze pessoas, sete a sete:

C(12, 7) = !7)!.712(

!12−

C(12, 7) = !7!.5

!7.8.9.10.11.12

C(12, 7) = 1.2.3.4.5

8.9.10.11.12

C(12, 7) = 11 x 9 x 8 = 792 Item correto . 167 - (EBC - 2011 / CESPE) A quantidade de maneiras distintas de se escolhem as pessoas para preencher os 15 cargos de modo que as restrições internas sejam respeitadas é igual a 15! /7!. Solução: Agora, devemos entender que 5 dos 20 candidatos concorrem às vagas de diretores e os 15 restantes concorrem às vagas de secretário executivo, subsecretários e assessores. Assim, temos: Para os diretores: 5 pessoas concorrendo a 5 cargos diferentes. Como utilizaremos todos os elementos disponíveis e a ordem importa, utilizaremos a permutação: P5 = 5! Para os cargos de secretário executivo e subsecretá rios:





15 pessoas concorrendo a 3 cargos diferentes. Como não utilizaremos todos os elementos disponíveis e a ordem importa, utilizaremos o arranjo:

A(15, 3) = )!315(

!15−

A(15, 3) = !12!15

Para os demais cargos de assessores: Como 3 pessoas já preencheram os cargos de secretário executivo e subsecretários, restaram 12 para preencherem os cargos de assessores. Esse cálculo nós já fizemos na questão anterior:

C(12, 7) = !7!.5

!12

Assim, o total de possibilidades é:

Total = 5! x !12!15 x

!7!.5!12

= !7!15

Vejam que nem precisamos fazer as contas. Item correto . 168 - (EBC - 2011 / CESPE) Se os “motivos internos” não existissem, a quantidade de maneiras distintas de se escolherem a s pessoas para preencher os 15 cargos seria igual a 20!/7!. Solução: Agora, as 20 pessoas concorrem aos 15 cargos disponíveis. Assim, primeiro vamos preencher os cargos diferenciados: Para os 8 cargos diferenciados (diretores, secretár io e subsecretários): 20 pessoas concorrendo a 8 cargos distintos. Como não utilizaremos todos os elementos disponíveis e a ordem importa, utilizaremos o arranjo:

A(20, 8) = )!820(

!20−

A(20, 8) = !12!20





Para os demais cargos de assessores: Como 8 pessoas já preencheram os cargos diferenciados, restaram 12 pessoas para preencherem os cargos de assessores. Esse cálculo nós já fizemos anteriormente:

C(12, 7) = !7!.5

!12

Assim, o total de possibilidades é:

Total = !12!20 x

!7!.5!12

= !7!.5!20

Vejam que sobrou a divisão por 5!. Item errado . 169 - (EBC - 2011 / CESPE) A quantidade de maneiras diferentes de serem preenchidos os cinco cargos de direção é superior a 100. Solução: Como para preencher os 5 cargos de direção só podemos utilizar 5 candidatos (por “motivos internos”), teremos 5 candidatos para cinco vagas distintas. Assim, como todos os elementos participam e a ordem importa, utilizaremos a permutação: P5 = 5! P5 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 Item correto . 170 - (EBC - 2011 / CESPE) Supondo que já tenham sido preenchidos os cargos de direção, a quantidade de maneiras distint as de se escolherem as pessoas para preencher os cargos de secretário e de subsecretário é superior a 3.000. Solução: Já vimos que para essa escolha nós temos 15 pessoas concorrendo a 3 cargos diferentes. Como não utilizaremos todos os elementos disponíveis e a ordem importa, utilizaremos o arranjo:

A(15, 3) = )!315(

!15−





A(15, 3) = !12

!12.13.14.15

A(15, 3) = 15.14.13 = 2730 Item errado . -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 - Probabilidades Vamos começar o estudo das probabilidades com uma definição simplória (que serve para o que nos é exigido nesse concurso) do que vem a ser probabilidade: A probabilidade de que ocorra um evento resulta do quociente entre os casos favoráveis à ocorrência desse evento sobre os casos possíveis.

Probabilidade = PossíveisCasos

FavoráveisCasos

Assim, a probabilidade de que, ao jogarmos uma moeda, o resultado seja cara é

21

, pois temos um caso favorável (cara) e dois casos possíveis (cara ou coroa). Já

a probabilidade de jogarmos um dado e o resultado ser o número 6 é 61

, pois

temos apenas um caso favorável (o número 6) e seis casos possíveis (os números 1, 2, 3, 4, 5 ou 6). Devemos lembrar que essas probabilidades podem aparecer de outras formas,

como porcentagens (21

= 50%) ou na forma decimal (21

= 0,5).

Uma observação que precisamos fazer é o que ocorre quando todos os casos possíveis são favoráveis. Nesse caso nós teremos:

P = PossíveisCasos

FavoráveisCasos =

PossíveisCasosPossíveisCasos

= 1 = 100%

Vejam que isso é bem lógico, mas nós precisamos ter isso em mente. Chamamos de espaço amostral o conjunto de todos os resultados possíveis. No caso do lançamento de uma moeda, o espaço amostral é {cara, coroa}, no caso do lançamento de um dado, o espaço amostral é {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Alekys

Retângulo

Alekys

Linha

Alekys

Linha

Alekys

Linha

Alekys

Linha

Alekys

Linha

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Alekys

Lápis





Percebam que os casos favoráveis são subconjuntos do espaço amostral. No caso do lançamento de uma moeda sair cara, o caso favorável {cara} é um subconjunto do espaço amostral {cara, coroa}. No caso do lançamento do dado sair o número 6, o caso favorável {6} é um subconjunto do espaço amostral {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Vejamos um exemplo: Ex1: Numa urna há 10 bolas semelhantes, o que as disti nguem é que 5 bolas são vermelhas, numeradas de um a cinco, e 5 bolas s ão azuis, numeradas de 6 a 10. Qual a probabilidade de retirarmos uma bol a dessa urna e ela ser ímpar e vermelha? Bom, conforme vimos acima, a probabilidade é a razão entre os casos favoráveis e os casos possíveis: Casos Favoráveis: Bolas 1, 3 ou 5 (3 opções) Casos Possíveis: Bolas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ou 10 (10 opções) Assim, a probabilidade é:

P = PossíveisCasos

FavoráveisCasos =

103

= 0,3 = 30%

Outro exemplo: Ex2: Numa urna há 10 bolas semelhantes, o que as disti nguem é que 5 bolas são vermelhas, numeradas de um a cinco, e 5 bolas s ão azuis, numeradas de 6 a 10. Qual a probabilidade de retirarmos duas bol as dessa urna, com reposição, e elas serem ímpares e vermelhas? Para retirar cada bola, vimos que a probabilidade de ela ser ímpar e vermelha é

103

. Agora, como queremos que as duas bolas sejam ímpares e vermelhas,

usamos o princípio multiplicativo, e a probabilidade total é dada por:

Pt = P1.P2 = 103

.103

= 100

9 = 0,09 = 9%

Ex3: Numa urna há 10 bolas semelhantes, o que as disti nguem é que 5 bolas são vermelhas, numeradas de um a cinco, e 5 bolas s ão azuis, numeradas de 6 a 10. Qual a probabilidade de retirarmos duas bol as dessa urna, sem reposição, e elas serem ímpares e vermelhas?

Alekys

Lápis

Alekys

Lápis

Alekys

Lápis

Alekys

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Retângulo

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Alekys

Lápis

Alekys

Lápis

Alekys

Lápis

Alekys

Lápis

Alekys

Lápis





Para retirar a primeira bola, vimos que a probabilidade de ela ser ímpar e vermelha

é 103

. Agora, vamos calcular a probabilidade de a segunda bola também ser ímpar

e vermelha: Casos Favoráveis: Bolas 1, 3 ou 5, menos uma bola já retirada (3 – 1 = 2 opções) Casos Possíveis: Bolas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ou 10, menos uma bola já retirada (10 – 1 = 9 opções)

P = PossíveisCasos

FavoráveisCasos =

92

Como queremos que as duas bolas sejam ímpares e vermelhas, a probabilidade total é dada por:

Pt = 103

.92

= 906

= 6,67%

Probabilidade Complementar

Vimos que a probabilidade de sair o número 6 ao lançarmos um dado é igual 61

.

Agora, e a probabilidade de que o resultado do lançamento do dado não seja o número 6? Temos cinco casos favoráveis (1, 2, 3, 4 ou 5) e seis casos possíveis (1, 2, 3, 4, 5 ou 6).

P = PossíveisCasos

FavoráveisCasos =

65

Percebam que soma da probabilidade de sair o número 6 com a probabilidade de não sair o número 6 é:

61

+ 65

= 6

51+ =

66

= 1 = 100%

Podemos definir que dois eventos são complementares quando a união entre seus casos favoráveis resulta em todos os casos possíveis e eles não possuem nenhum caso favorável em comum. Com isso, chamando de “A” a probabilidade de um evento ocorrer, chamaremos de “ A ” a probabilidade desse evento não ocorrer. Assim: P(A) + P( A ) = 1 Ou

Alekys

Lápis

Alekys

Lápis

Alekys

Lápis

Alekys

Lápis

Alekys

Lápis

Alekys

Lápis

Alekys

Retângulo

Alekys

Lápis

Alekys

Lápis

Alekys

Lápis

Alekys

Lápis

Alekys

Lápis

Alekys

Lápis

Alekys

Lápis

Alekys

Lápis

Alekys

Lápis

Alekys

Lápis





P( A ) = 1 – P(A) Vejamos um exemplo: Ex4: Num baralho completo, com 52 cartas, 13 de cada n aipe, deseja-se saber qual a probabilidade de se retirar ao acaso u ma carta do naipe copas. Casos Favoráveis: 13 cartas Casos Possíveis: 52 cartas

P(copas) = 5213

= 0,25 = 25%

Agora, e se eu quisesse saber a probabilidade de, ao retirar uma carta, ela não ser do naipe copas? Casos Favoráveis: 39 cartas Casos Possíveis: 52 cartas

P(não copas) = 5239

= 0,75 = 75%

Outra forma de se chegar ao mesmo resultado é lembrando que retirar uma carta de copas e retirar uma carta que não seja de copas são eventos complementares. Assim: P(não copas) = 1 – P(copas) P(não copas) = 1 – 0,25 P(não copas) = 0,75 Probabilidade Condicional Outro ponto importante que devemos saber é a probabilidade condicional. O que veremos aqui é a probabilidade de um segundo evento acontecer, dado que um primeiro evento já aconteceu. Vamos ver um exemplo: Ex5: Numa urna há 10 bolas semelhantes, o que as disti nguem é que 5 bolas são vermelhas, numeradas de um a cinco, e 5 bolas s ão azuis, numeradas de 6 a 10. Qual a probabilidade de retirarmos uma bola ímpar dessa urna, sabendo que ela é vermelha?

Alekys

Retângulo

Alekys

Lápis

Alekys

Lápis

Alekys

Lápis

Alekys

Lápis

Alekys

Lápis

Alekys

Lápis





Não há nenhuma novidade aqui, só devemos ficar atentos aos casos possíveis, pois com a informação de que a bola é vermelha essa quantidade sofre uma alteração: Casos Favoráveis: Bolas 1, 3 ou 5 (3 opções) Casos Possíveis: Bolas 1, 2, 3, 4 ou 5 (5 opções) Assim, a probabilidade é:

P = PossíveisCasos

FavoráveisCasos =

53

= 0,6 = 60%

Vejam que ao informar que a bola é vermelha, a questão tirou a possibilidade da bola ser 6, 7, 8, 9 ou 10, pois essas bolas são azuis. Nós costumamos representar a probabilidade de um evento A ocorrer, dado que um evento B já ocorreu por P(A | B). Outra forma de calcularmos a probabilidade condicional é por meio da seguinte equação.

P(A | B) = )B(P

)BA(P ∩∩∩∩

Voltemos ao nosso último exemplo. Vamos separar os dois eventos, a bola ser ímpar (A) e a bola ser vermelha (B): Casos Favoráveis à bola ser ímpar (A): {1, 3, 5, 7, 9} Casos Favoráveis à bola ser vermelha (B): {1, 2, 3, 4, 5} A ∩ B = {1, 3, 5} Assim, temos as seguintes probabilidades:

P(B) = 105

P(A ∩ B) = 103

Utilizando a equação, podemos encontrar a probabilidade de A, dado que B ocorreu:

P(A | B) = )B(P

)BA(P ∩ =

105

103

= 53





Vamos construir um diagrama semelhante ao que vimos na aula sobre conjuntos para entendermos melhor essa probabilidade condicional: No diagrama acima o retângulo representa o espaço amostral, enquanto que o circulo vermelho representa as bolas vermelhas e o círculo preto as bolas ímpares. Como é dito que a bola retirada é vermelha, tratamos esse caso como se nosso espaço amostral passasse a ser o círculo vermelho, pois só nos interessa as bolas vermelhas. Dentro desse “novo” espaço amostral, os caso favoráveis que nos interessa são justamente aqueles que se encontram na interseção dos conjuntos Bolas Vermelhas e Bolas Ímpares, representada pela área verde {1, 3, 5}. Quando os eventos A e B não possuem qualquer relação, P(A | B) = P(A), pois não importa se o evento B ocorreu ou não, já que ele não tem nenhuma influência no evento A. Assim, podemos perceber que para eventos independentes a probabilidade da interseção de A e B é igual ao produto P(A).P(B).

P(A | B) = )B(P

)BA(P ∩

P(A ∩ B) = P(A | B).P(B) P(A ∩ B) = P(A).P(B) Para finalizar a teoria, vamos ver agora como calcular a probabilidade da união de dois conjuntos. Lembram na aula sobre conjuntos quando eu pedi para vocês decorarem a equação que nos dá a quantidade de elementos da união de dois conjuntos? Pois a equação para a probabilidade da união de dois conjuntos é muito semelhante: P(A ∪∪∪∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩∩∩∩ B) Vamos ver um exemplo: Ex6: Numa urna há 10 bolas semelhantes, o que as disti nguem é que 5 bolas são vermelhas, numeradas de um a cinco, e 5 bolas s ão azuis, numeradas de

1

3

5

2

4

7

9

6

8

10

Espaço Amostral

Vermelhas Ímpares





6 a 10. Qual a probabilidade de retirarmos uma bola que seja ímpar ou vermelha? Vamos resolver essa questão diretamente por meio da equação:

P(Vermelha) = 105

P(Ímpar) = 105

P(Vermelha ∩ Ímpar) = 103

Assim, utilizando a equação, temos: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

P(A ∪ B) = 105

+ 105

– 103

P(A ∪ B) = 107

Vamos, agora, representar o que calculamos por meio do diagrama: Percebam que a probabilidade de escolhermos bolas ímpares ou vermelhas é dada por:

P(Vermelha ∪ Ímpar) = PossíveisCasos

FavoráveisCasos =

107

Pronto, acabamos com a teoria! Vamos às questões! ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (Texto para as questões 171 a 173) Para jogar o Yathzee, jogo de dados criado em 1956, os jogadores lançam simultaneamente , em turnos, 5 dados

1

3

5

2

4

7

9

6

8

10

Espaço Amostral

Ímpares Vermelhas





de 6 faces numeradas de 1 a 6, buscando obter a mai or pontuação possível, de acordo com as regras estipuladas. Dois exemplos de combinações pontuadas no jogo são a sequência máxima — o jogado r obtém as faces de números 1, 2, 3, 4 e 5 — e a chance — a pontuação d o jogador é a soma dos números das faces dos 5 dados. A combinação Yathzee , que dá nome ao jogo, ocorre quando as faces dos 5 dados apresentam o mesmo número.

Internet: <www.hasbro.com> (com adaptações). Com base no texto acima e considerando um único lan çamento simultâneo dos cinco dados, julgue os itens a seguir. 171 - (MEC - 2011 / CESPE) A probabilidade de se obter a sequência máxima

é inferior a 776.7

750.

Solução: Nessa questão, para calcular a probabilidade de ocorrência da sequência, temos: 1º dado: pode ser qualquer um dos cinco elementos da sequência (1, 2, 3, 4 ou 5).

P1 = 65

2º dado: pode ser qualquer um dos cinco elementos da sequência, exceto o número que sair no dado 1.

P2 = 6

15 − =

64

3º dado: pode ser qualquer um dos cinco elementos da sequência, exceto os números que saírem nos dados 1 e 2.

P3 = 6

25 − =

63

4º dado: pode ser qualquer um dos cinco elementos da sequência, exceto os números que saírem nos dados 1, 2 e 3.

P4 = 6

35 − =

62

5º dado: pode ser qualquer um dos cinco elementos da sequência, exceto os números que saírem nos dados 1, 2, 3 e 4.

P5 = 6

45 − =

61





Assim, a probabilidade total é:

Pt = 65

.64

.63

.62

.61

= 7776120

Item correto . 172 - (MEC - 2011 / CESPE) A probabilidade de se obter um Yathzee é igual a

296.11

.

Solução: Nessa questão, vamos calcular o número de casos favoráveis ao Yathzee e o número de casos possíveis para o lançamento dos cinco dados: Casos favoráveis: (1, 1, 1, 1, 1) (2, 2, 2, 2, 2) (3, 3, 3, 3, 3) (4, 4, 4, 4, 4) (5, 5, 5, 5, 5) (6, 6, 6, 6, 6) Total = 6 casos favoráveis Casos possíveis: Total = 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 65 casos possíveis Assim, a probabilidade de se obter um Yathzee é:

P = 56

6 =

461

= 1296

1

Item correto . 173 - (MEC - 2011 / CESPE) Se o resultado do lançamento não apresentar faces com números iguais, então a maior pontuação p ossível na combinação chance será inferior a 18 pontos. Solução: Se o resultado do lançamento pudesse apresentar faces com números iguais, a maior pontuação possível seria:





6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30 Como o resultado não apresenta faces com números iguais, a maior pontuação possível será: 6 + 5 + 4 + 3 + 2 = 20 Item errado . (Texto para as questões 174 e 175) As entrevistas e as análises dos currículos dos candidatos Carlos e Sérgio, realizad as pelo setor de recursos humanos de uma empresa, revelaram que a probabilida de de Sérgio ser

contratado é igual a 21

; que a probabilidade de apenas Carlos ser contrata do

é igual a 41

; que a probabilidade de Carlos não ser contratado é igual a 127

.

Nessa situação hipotética, a probabilidade de 174 - (EBC - 2011 / CESPE) os dois candidatos serem contratados é igual a

61

.

Solução: Nessa questão, para facilitar o entendimento, vamos desenhar o seguinte diagrama: Assim, temos:

A probabilidade de Sérgio ser contratado é igual a 21

A área azul do diagrama abaixo tem 21

de chances de acontecer.

Sérgio Carlos





a probabilidade de apenas Carlos ser contratado é i gual a 41

A área laranja do diagrama abaixo tem 41

de chances de acontecer.

A probabilidade de Carlos não ser contratado é igua l a 127

.

A área verde do diagrama abaixo tem 127

de chances de acontecer. Também

podemos concluir que a probabilidade de a área branca do diagrama abaixo

acontecer é dada por 1 – 127

= 125

.

Sérgio Carlos

Sérgio Carlos

Sérgio Carlos

125

41

21





O que nós queremos calcular é a probabilidade de tanto Sérgio quanto Carlos serem contratados, representada pela área amarela abaixo. Vimos que: e Portanto, a probabilidade da área amarela é:

125

– 41

= 12

35 − =

122

= 61

Item correto . 175 - (EBC - 2011 / CESPE) nenhum dos dois candidatos ser contratado é

igual a 31

.

Solução: Nessa questão, vamos utilizar os diagramas da questão anterior.

Sérgio Carlos

Sérgio Carlos

125

Sérgio Carlos

41





Assim, sabendo que a probabilidade da área azul é 21

e da área laranja é 41

,

podemos concluir que a probabilidade da área branca é:

1 – 21

– 41

= 4

124 −− =

41

Item errado . (Texto para as questões 176 a 178) Uma pesquisa de opinião, para verificar a viabilidade das candidaturas de um candidato a pref eito e de um candidato a vereador de determinado município, entrevistou 2.00 0 pessoas: 980 responderam que votariam apenas no candidato a pref eito; 680 responderam que votariam apenas no candidato a vereador ou que não votariam em nenhum dos dois candidatos. Considerando essa situação, julgue os itens seguint es. 176 - (EBC - 2011 / CESPE) A probabilidade de um entrevistado, escolhido ao acaso, ter respondido que votaria nos dois candidat os é igual a 0,17. Solução: Nessa questão, vamos desenhar o diagrama para visualizarmos melhor o que a questão está querendo:

Sérgio Carlos

21

41

Prefeito Vereador





980 responderam que votariam apenas no candidato a prefeito Esses eleitores estão representados pela área azul do diagrama 680 responderam que votariam apenas no candidato a vereador ou que não votariam em nenhum dos dois candidatos Esses eleitores estão representados pela área branca do diagrama Para calcular o total de pessoas na área amarela, sabendo que o total de entrevistados é 2.000, temos: 2.000 – 980 – 680 = 340 Portanto, a probabilidade de um entrevistado, escolhido ao acaso, ter respondido que votaria nos dois candidatos é igual a:

P = possíveiscasosfavoráveiscasos

= 000.2

340 = 0,17

Item correto . 177 - (EBC - 2011 / CESPE) A probabilidade de um entrevistado, escolhido ao acaso, ter respondido que votaria no candidato a pr efeito é superior a 0,68.

Prefeito Vereador

980

Prefeito Vereador

980 680





Solução: A quantidade de pessoas que disseram que votaria no prefeito esta representada pelas áreas azul e amarela: Portanto, a probabilidade de um entrevistado, escolhido ao acaso, ter respondido que votaria no candidato a prefeito é:

P = possíveiscasosfavoráveiscasos

= 000.2

340980 + =

000.21320

= 0,66

Item errado . 178 - (EBC - 2011 / CESPE) Se a probabilidade de um entrevistado, escolhido ao acaso, ter respondido que votaria no candidato a vereador for igual a 0,40, então 220 dos entrevistados responderam que não vot ariam em nenhum dos dois candidatos. Solução: Essa questão quer que encontremos o total de elementos da área verde abaixo: Supondo que a probabilidade de as áreas amarela ou branca (x) ocorrerem seja de 0,4. temos:

Prefeito Vereador

980 680

340

Prefeito Vereador

980 680

340 x

y





P(vereador) = 000.2340x +

= 0,4

x + 340 = 0,4.2000 x + 340 = 800 x = 800 – 340 = 460 Como o total de elementos das áreas branca (x) e verde (y) é igual a 680, temos: x + y = 680 460 + y = 680 y = 680 – 460 = 220 Item correto .





4 - Questões comentadas nesta aula 154 - (ANAC 2009 - CESPE) O número de rotas aéreas possíveis partindo de Porto Alegre, Florianópolis ou Curitiba com destino a Fortaleza, Salvador, Natal, João Pessoa, Maceió, Recife ou Aracaju, fazendo uma escala em Belo Horizonte, Brasília, Rio de Janeiro ou São Paulo é múltiplo de 12. 155 - (SEPLAG/DF 2009 - CESPE) Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 é possível formar 120 números diferentes de 5 algarismos, sem repetição. 156 - (SEPLAG/DF 2009 - CESPE) Com 3 letras A e 7 letras B formam-se 120 sequências distintas de 10 letras cada. 157 - (BB 2007 - CESPE) Uma mesa circular tem seus 6 lugares que serão ocupados pelos 6 participantes de uma reunião. Nessa situação, o número de formas diferentes para se ocupar esses lugares com os participantes da reunião é superior a 102. 158 - (FUB 2009 / CESPE) A quantidade de números naturais de 3 algarismos em que todos os algarismos são distintos é superior a 700 159 - (Agente-PF - 2009 / CESPE) Considerando que, em um torneio de basquete, as 11 equipes inscritas serão divididas nos grupos A e B, e que, para formar o grupo A, serão sorteadas 5 equipes. A quantidade de maneiras distintas de se escolher as 5 equipes que formarão o grupo A será inferior a 400. 160 - (MPE-RR - 2008 / CESPE) O arquivo de um tribunal contém 100 processos, distribuídos entre as seguintes áreas: direito penal, 30; direito civil, 30; direito trabalhista, 30; direito tributário e direito agrário, 10. Nessa situação, ao se retirar, um a um, os processos desse arquivo, sem se verificar a que área se referem, para se ter a certeza de que, entre os processos retirados do arquivo, 10 se refiram a uma mesma área, será necessário que se retirem pelo menos 45 processos. (Texto para as questões 161 e 162) Entre os 6 analistas de uma empresa, 3 serão escolhidos para formar uma equipe que elaborará um projeto de melhoria da qualidade de vida para os empregados da empresa. Desses 6 analistas, 2 desenvolvem atividades na área de ciências sociais e os demais, na área de assistência social.





Julgue os itens que se seguem, relativos à composição da equipe acima mencionada. 161 - (EBC - 2011 / CESPE) Se os 2 analistas que desenvolvem atividades na área de ciências sociais fizerem parte da equipe, então a quantidade de maneiras distintas de se compor essa equipe será superior a 6. 162 - (EBC - 2011 / CESPE) Se a equipe for formada por 2 analistas da área de assistência social e 1 analista da área de ciências sociais, então ela poderá ser composta de 12 maneiras distintas. (Texto para as questões 163 a 165) Considerando que, em uma empresa, haja 5 candidatos, de nomes distintos, a 3 vagas de um mesmo cargo, julgue os próximos itens. 163 - (EBC - 2011 / CESPE) Considere todas as listas possíveis formadas por 3 nomes distintos dos candidatos. Nesse caso, se Alberto, Bento e Carlos forem candidatos, dois desses nomes aparecerão em mais de 5 dessas listas. 164 - (EBC - 2011 / CESPE) Considere todas as listas possíveis formadas por 3 nomes distintos dos candidatos. Nessa situação, se Alberto, Bento e Carlos forem candidatos, 3 dessas listas conterão apenas um desses nomes. 165 - (EBC - 2011 / CESPE) A quantidade de maneiras distintas de se escolher 3 pessoas entre os 5 candidatos é igual a 20. (Texto para as questões 166 a 170) O estafe de uma nova instituição pública será composto por 15 servidores: o diretor-geral, seu secretário executivo e seus 2 subsecretários — 1 de assuntos administrativos e 1 de fomento —, 4 diretores — de administração e finanças, de infraestrutura, executivo e de pessoal — e, ainda, sete assessores ligados a esses cargos. Para a composição desse estafe, dispõe-se de 20 pessoas, todas igualmente qualificadas para assumir qualquer um dos cargos vagos. Entretanto, por motivos internos, apenas 5 delas podem assumir cargos de direção. As pessoas escolhidas para os cargos de assessoria desempenham funções similares. Considerando a situação acima, julgue os itens que se seguem. 166 - (EBC - 2011 / CESPE) Supondo que já tenham sido preenchidos todos os cargos de direção, de secretário executivo e de subsecretários, a quantidade de maneiras distintas de se escolherem as pessoas para preencher os sete cargos de assessores é superior a 700.





167 - (EBC - 2011 / CESPE) A quantidade de maneiras distintas de se escolhem as pessoas para preencher os 15 cargos de modo que as restrições internas sejam respeitadas é igual a 15!/7!. 168 - (EBC - 2011 / CESPE) Se os “motivos internos” não existissem, a quantidade de maneiras distintas de se escolherem as pessoas para preencher os 15 cargos seria igual a 20!/7!. 169 - (EBC - 2011 / CESPE) A quantidade de maneiras diferentes de serem preenchidos os cinco cargos de direção é superior a 100. 170 - (EBC - 2011 / CESPE) Supondo que já tenham sido preenchidos os cargos de direção, a quantidade de maneiras distintas de se escolherem as pessoas para preencher os cargos de secretário e de subsecretário é superior a 3.000. (Texto para as questões 171 a 173) Para jogar o Yathzee, jogo de dados criado em 1956, os jogadores lançam simultaneamente, em turnos, 5 dados de 6 faces numeradas de 1 a 6, buscando obter a maior pontuação possível, de acordo com as regras estipuladas. Dois exemplos de combinações pontuadas no jogo são a sequência máxima — o jogador obtém as faces de números 1, 2, 3, 4 e 5 — e a chance — a pontuação do jogador é a soma dos números das faces dos 5 dados. A combinação Yathzee, que dá nome ao jogo, ocorre quando as faces dos 5 dados apresentam o mesmo número.

Internet: <www.hasbro.com> (com adaptações). Com base no texto acima e considerando um único lançamento simultâneo dos cinco dados, julgue os itens a seguir. 171 - (MEC - 2011 / CESPE) A probabilidade de se obter a sequência máxima é

inferior a 776.7

750.

172 - (MEC - 2011 / CESPE) A probabilidade de se obter um Yathzee é igual a

296.11

.

173 - (MEC - 2011 / CESPE) Se o resultado do lançamento não apresentar faces com números iguais, então a maior pontuação possível na combinação chance será inferior a 18 pontos. (Texto para as questões 174 e 175) As entrevistas e as análises dos currículos dos candidatos Carlos e Sérgio, realizadas pelo setor de recursos humanos de





uma empresa, revelaram que a probabilidade de Sérgio ser contratado é igual a

21

; que a probabilidade de apenas Carlos ser contratado é igual a 41

; que a

probabilidade de Carlos não ser contratado é igual a 127

.

Nessa situação hipotética, a probabilidade de

174 - (EBC - 2011 / CESPE) os dois candidatos serem contratados é igual a 61

.

175 - (EBC - 2011 / CESPE) nenhum dos dois candidatos ser contratado é igual a

31

.

(Texto para as questões 176 a 178) Uma pesquisa de opinião, para verificar a viabilidade das candidaturas de um candidato a prefeito e de um candidato a vereador de determinado município, entrevistou 2.000 pessoas: 980 responderam que votariam apenas no candidato a prefeito; 680 responderam que votariam apenas no candidato a vereador ou que não votariam em nenhum dos dois candidatos. Considerando essa situação, julgue os itens seguintes. 176 - (EBC - 2011 / CESPE) A probabilidade de um entrevistado, escolhido ao acaso, ter respondido que votaria nos dois candidatos é igual a 0,17. 177 - (EBC - 2011 / CESPE) A probabilidade de um entrevistado, escolhido ao acaso, ter respondido que votaria no candidato a prefeito é superior a 0,68. 178 - (EBC - 2011 / CESPE) Se a probabilidade de um entrevistado, escolhido ao acaso, ter respondido que votaria no candidato a vereador for igual a 0,40, então 220 dos entrevistados responderam que não votariam em nenhum dos dois candidatos.





5 - Questões para praticar! A solução será apresent ada na próxima aula (Texto para as questões 179 a 181) De acordo com o primeiro lema de Kaplansky, a quantidade de subconjuntos de {1, 2, 3,..., n} com p elementos, em que não há números consecutivos, é dada pela fórmula abaixo.

)!1p2n(!p)!1pn(

+−+−

Uma das aplicações desse lema é a contagem do número de maneiras de se sentar 4 meninas e 6 meninos em uma fila de 10 cadeiras, de modo que 2 meninas não fiquem em posições adjacentes. A estratégia para se realizar essa contagem compreende quatro passos. Em primeiro lugar, deve-se contar o número de maneiras de se escolher 4 cadeiras sem que haja cadeiras consecutivas; esse procedimento deve ser feito utilizando-se o lema de Kaplansky. Em seguida, deve-se contar o número de maneiras de organizar as meninas nessas cadeiras. O próximo passo consiste em contar o número de maneiras de se distribuir os meninos nas cadeiras restantes. Por fim, deve-se usar o princípio multiplicativo. Com base nessas informações, julgue os itens subsecutivos. 179 - (TRE/ES - 2010 / CESPE) Diante dos dados acima, é correto afirmar que o número de maneiras de se sentar 4 meninas e 6 meninos em uma fila de 10 cadeiras, de modo que não fiquem 2 meninas em posições adjacentes, é superior a 600.000. 180 - (TRE/ES - 2010 / CESPE) Em face dos dados apresentados, é correto afirmar que o número de maneiras de se escolher as 4 cadeiras entre as 10 disponíveis sem que haja cadeiras consecutivas é superior a 40. 181 - (TRE/ES - 2010 / CESPE) A partir dos dados acima, é correto concluir que o número de maneiras de se organizar as 4 meninas nas 4 cadeiras escolhidas é igual a 16. (Texto para as questões 182 a 184) Alberto, Bruno, Sérgio, Janete e Regina assistirão a uma peça de teatro sentados em uma mesma fila, lado a lado. Nessa situação, julgue os itens subsequentes. 182 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) Caso Janete e Regina sentem-se nas extremidades da fila, então a quantidade de maneiras distintas de como essas 5 pessoas poderão ocupar os assentos é igual a 24.





183 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) A quantidade de maneiras distintas de como essas 5 pessoas poderão ocupar os assentos é igual a 120. 184 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) Considere que Sérgio e Janete sentem um ao lado do outro. Nesse caso, a quantidade de maneiras distintas de como as 5 pessoas poderão ocupar os assentos é igual a 48. (Texto para as questões 185 e 186) Julgue os itens seguintes, considerando que planos previdenciários possam ser contratados de forma individual ou coletiva e possam oferecer, juntos ou separadamente, os cinco seguintes tipos básicos de benefícios: renda por aposentadoria, renda por invalidez, pensão por morte, pecúlio por morte e pecúlio por invalidez. 185 - (PREVIC - 2010 / CESPE) Para se contratar um plano previdenciário que contemple três dos cinco benefícios básicos especificados acima, há menos de 12 escolhas possíveis. 186 - (PREVIC - 2010 / CESPE) Suponha que os funcionários de uma empresa se organizem em 10 grupos para contratar um plano previdenciário com apenas um benefício em cada contrato, de modo que a renda por invalidez seja contratada por 3 grupos, a pensão por morte, o pecúlio por morte e o pecúlio por invalidez sejam contratados por 2 grupos cada, e a renda por aposentadoria seja contratada por 1 grupo. Nessas condições, a quantidade de maneiras em que esses 10 grupos poderão ser divididos para a contratação dos 5 benefícios básicos será inferior a 7 × 104. (Texto para as questões 187 e 188) Entre 3 mulheres e 4 homens, 4 serão escolhidos para ocupar, em uma empresa, 4 cargos de igual importância. Julgue os itens a seguir, a respeito das possibilidades de escolha dessas 4 pessoas. 187 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) A proposição “Se 2 mulheres e 2 homens forem os escolhidos, então a quantidade de maneiras distintas de se ocupar os cargos é igual a 12” é uma proposição falsa. 188 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) A proposição “Se todas as mulheres forem escolhidas, então a quantidade de escolhas distintas para a ocupação das vagas é igual a 3” é uma proposição verdadeira. (Texto para as questões 189 e 190) Considere que, em uma amostra composta por 210 pessoas atendidas em unidade de atendimento do DETRAN, 105 foram ao DETRAN para resolver pendências relacionadas à documentação de veículos; 70, para resolver problemas relacionados a multas; e 70, para resolver problemas não relacionados à documentação de veículos ou a multas. A respeito dessa situação hipotética, julgue os itens seguintes.





189 - (DETRAN/ES - 2010 / CESPE) Caso se selecionem, ao acaso, duas pessoas, entre as 210 da amostra, a probabilidade de que ambas tenham procurado a unidade do DETRAN para solucionar pendências relacionadas à documentação de veículos ou que a tenham procurado para resolver problemas

relacionados a multas será superior a 61

.

190 - (DETRAN/ES - 2010 / CESPE) Entre as 210 pessoas da amostra, para se selecionar, ao acaso, ao menos duas que tenham procurado a unidade do DETRAN para solucionar pendências relacionadas à documentação de veículos ou ao menos duas que a tenham procurado para resolver problemas relacionados a multas, o menor número de pessoas que devem ser selecionadas será igual a 73. (Texto para as questões 191 e 192) Em uma cidade, uma emissora de televisão inaugurou os programas A e B. Posteriormente, para avaliar a aceitação desses programas, a emissora encomendou uma pesquisa, cujo resultado mostrou que, das 1.200 pessoas entrevistadas, 770 pretendem assistir ao programa A; 370 pretendem assistir apenas ao programa B e 590 não pretendem assistir ao programa B. Escolhendo-se ao acaso uma das pessoas entrevistadas, julgue os próximos itens, com base no resultado da pesquisa. 191 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) A probabilidade de essa pessoa pretender assistir

aos dois programas é superior a 41

.

192 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) A probabilidade de essa pessoa pretender assistir a

apenas um dos programas é igual a 43

.

(Texto para as questões 193 a 195) Célia e Melissa são candidatas ao cargo de presidente de uma empresa. A escolha será decidida na assembléia de acionistas e cada acionista poderá votar nas duas candidatas, em apenas uma ou em nenhuma delas. Uma pesquisa entre os 100 acionistas da empresa revelou a seguinte tendência: • 16 acionistas não votariam em nenhuma dessas 2 candidatas; • 28 acionistas votariam apenas em Melissa; • 65 acionistas votariam apenas em Célia ou apenas em Melissa. Nesse caso, escolhendo-se um acionista ao acaso, a probabilidade de ele votar





193 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) apenas em Célia é inferior a 0,4. 194 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) nas duas candidatas é igual a 0,2. 195 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) em Melissa é superior a 0,45. (Texto para as questões 196 a 198) Considerando que, em uma concessionária de veículos, tenha sido verificado que a probabilidade de um comprador adquirir um carro de cor metálica é 1,8 vez maior que a de adquirir um carro de cor sólida e sabendo que, em determinado período, dois carros foram comprados, nessa concessionária, de forma independente, julgue os itens a seguir. 196 - (PREVIC - 2010 / CESPE) A probabilidade de que ao menos um dos dois

carros comprados seja de cor sólida é igual a 784460

.

197 - (PREVIC - 2010 / CESPE) A probabilidade de que os dois carros comprados sejam de cor metálica é 3,24 vezes maior que a probabilidade de que eles sejam de cor sólida. 198 - (PREVIC - 2010 / CESPE) A probabilidade de que somente um dos dois carros comprados seja de cor metálica é superior a 50%. (Texto para a questão 199) Estimou-se que, na região Norte do Brasil, em 2009, havia 1.074.700 analfabetos com 15 anos de idade ou mais, em uma população total de, aproximadamente, 10.747.000 habitantes, e que na região Centro-Oeste, no mesmo ano, havia 840.433 analfabetos com 15 anos de idade ou mais, em uma população total de, aproximadamente, 10.505.415 habitantes. A partir dessas informações, julgue o item subsequente. 199 - (PREVIC - 2010 / CESPE) A probabilidade de uma pessoa com 15 anos de idade ou mais escolhida ao acaso em 2009, na região Norte ou na região Centro-Oeste, ser analfabeta é inferior a 20%. (Texto para a questão 200) Estudo divulgado pelo Instituto de Pesquisas Econômicas Aplicadas (IPEA) revela que, no Brasil, a desigualdade social está entre as maiores causas da violência entre jovens. Um dos fatores que evidenciam a desigualdade social e expõem a população jovem à violência é a condição de extrema pobreza, que atinge 12,2% dos 34 milhões de jovens brasileiros, membros de famílias com renda per capita de até um quarto do salário mínimo, afirma a pesquisa.





Como a violência afeta mais os pobres, é usual fazer um raciocínio simplista de que a pobreza é a principal causadora da violência entre os jovens, mas isso não é verdade. O fato de ser pobre não significa que a pessoa será violenta. Existem inúmeros exemplos de atos violentos praticados por jovens de classe média.

Internet: <http://amaivos.uol.com.br> (com adaptações).

Tendo como referência o texto acima, julgue o item seguinte. 200 - (Polícia Civil/CE - 2012 / CESPE) Selecionando-se ao acaso dois jovens brasileiros, a probabilidade de ambos serem atingidos pela condição de extrema pobreza será inferior a 1,5%. (Texto para as questões 201 e 202) Dos 420 detentos de um presídio, verificou-se que 210 foram condenados por roubo, 140, por homicídio e 140, por outros crimes. Verificou-se, também, que alguns estavam presos por roubo e homicídio. Acerca dessa situação, julgue os itens seguintes. 201 - (Polícia Civil/CE - 2012 / CESPE) A quantidade de maneiras distintas de se selecionarem dois detentos entre os condenados por outros crimes, que não roubo ou homicídio, para participarem de um programa destinado à ressocialização de detentos é inferior a 10.000. 202 - (Polícia Civil/CE - 2012 / CESPE) Selecionando-se ao acaso dois detentos desse presídio, a probabilidade de que ambos tenham sido condenados por roubo

ou ambos por homicídio será superior a 61

.

(Texto para a questão 203) Em um conjunto E de empresas, indica-se por Ex o subconjunto de E formado pelas empresas que já participaram de pelo menos x procedimentos licitatórios, em que x = 0, 1, 2, ..., e por Nx a quantidade de elementos do conjunto Ex. Julgue o item seguinte, a respeito desses conjuntos. 203 - (TCDF - 2012 / CESPE) A probabilidade de uma empresa selecionada ao acaso no conjunto E já ter participado de exatamente 10 procedimentos licitatórios

é igual a 0

1110

N

NN − .

(Texto para as questões 204 a 206) Dez policiais federais — dois delegados, dois peritos, dois escrivães e quatro agentes — foram designados para cumprir mandado de busca e apreensão em duas localidades próximas à superintendência regional. O grupo será dividido em duas equipes. Para tanto, exige-se que cada uma seja composta, necessariamente, por um delegado, um perito, um escrivão e dois agentes.





Considerando essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem. 204 - (Polícia Federal - 2012 / CESPE) Se todos os policiais em questão estiverem habilitados a dirigir, então, formadas as equipes, a quantidade de maneiras distintas de se organizar uma equipe dentro de um veículo com cinco lugares — motorista e mais quatro passageiros — será superior a 100. 205 - (Polícia Federal - 2012 / CESPE) Há mais de 50 maneiras diferentes de compor as referidas equipes. 206 - (Polícia Federal - 2012 / CESPE) Se cinco dos citados policiais forem escolhidos, aleatoriamente e independentemente dos cargos, então a probabilidade de que esses escolhidos constituam uma equipe com a exigência inicial será superior a 20%.





6 - Gabarito 154 - C 155 - C 156 - C 157 - C 158 - E 159 - E 160 - E 161 - E 162 - C 163 - C 164 - C 165 - E 166 - C 167 - C 168 - E 169 - C 170 - E 171 - C 172 - C 173 - E 174 - C 175 - E 176 - C 177 - E 178 - C 179 - C 180 - E

181 - E 182 - E 183 - C 184 - C 185 - C 186 - E 187 - C 188 - E 189 - E 190 - C 191 - E 192 - C 193 - C 194 - E 195 - C 196 - C 197 - C 198 - E 199 - C 200 - C 201 - C 202 - E 203 - C 204 - C 205 - E 206 - E

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