Aula 36 - Racioc- ¦ínio L- ¦ógico - Aula 04.pdf

AFC CGU RACIOCNIO LGICO-QUANTITATIVO PROFESSORA: KARINE WALDRICH

Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 1

1. Aula 4: Combinaes, Arranjos e Permutao. Probabilidade, Variveis Aleatrias, Principais Distribuies de Probabilidade, .......... 2

2. Exerccios comentados Anlise Combinatria ................................ 2

3. Exerccios Comentados Probabilidade ......................................... 33

Aula 4



1. Aula 4: Combinaes, Arranjos e Permutao. Probabilidade, Variveis Aleatrias, Principais Distribuies de Probabilidade, 2. Exerccios comentados Anlise Combinatria Questo 1 ESAF/MPOG/APO/2010 Beatriz fisioterapeuta e iniciou em sua clnica um programa de reabilitao para 10 pacientes. Para obter melhores resultados neste programa, Beatriz precisa distribuir esses 10 pacientes em trs salas diferentes, de modo que na sala 1 fiquem 4 pacientes, na sala 2 fiquem 3 pacientes e na sala 3 fiquem, tambm, 3 pacientes. Assim, o nmero de diferentes maneiras que Beatriz pode distribuir seus pacientes, nas trs diferentes salas, igual a: (A) 2.440. (B) 5.600. (C) 4.200. (D) 24.000. (E) 42.000. Os mais chegados a futebol, ao lerem PFC, devem ter lembrado de um canal de TV a cabo que passa at os jogos de futebol de times muito pequenos (eu j vi jogo do Metropolitano, time de Blumenau, no PFC). Mas, por aqui, PFC outra coisa: um "mecanismo" de clculo de nmero de possibilidades de um evento acontecer. J que estamos falando de futebol, vamos pensar no seguinte. Na Taa Libertadores, por exemplo, temos 38 times. Apenas 2 times chegam final do campeonato, tornando-se ou campeo, ou vice-campeo. Podemos querer saber: qual o nmero de possibilidades diferentes de pdio neste caso? No pdio, h o campeo e o vice. Em 2011, por exemplo, o Santos foi campeo e o Pearol foi vice. Assim, na "vaga" de campeo, "cabem" todos os 38 times, ou seja, todos os 38 times possuem chances iguais de vencerem o campeonato: "Vaga" de campeo = 38 times Para ser vice-campeo, por sua vez, temos 37 times, pois um dos times j se sagrar campeo: "Vaga" de vice-campeo = 37 times



Para saber o nmero total de possibilidades de Campeo+Vice, cada uma das 38 possibilidades de um time ser campeo deve ser combinada com cada uma das 37 possibilidades de um time ser vice-campeo. isso que diz o PFC: um evento que ocorre em n situaes independentes e sucessivas (como um time ser campeo ou vice-campeo da Libertadores), tendo a primeira situao ocorrendo de m1 maneiras (no nosso caso, 38 maneiras), a segunda situao ocorrendo de m2 maneiras (no nosso caso, 37 maneiras) e assim sucessivamente at a n-sima situao ocorrendo de mn maneiras, temos que o nmero total de ocorrncias ser dado pelo produto: m1.m2.m3... Ento, no nosso caso do pdio da Libertadores, temos que o nmero total de possibilidades de final dado por: Nmero total de possibilidades de final = 38.37 = 1406 possibilidades. Quem diria, no ? Quase 1500 maneiras diferentes de haver um pdio da Libertadores. Lembrando que a ordem, aqui, afeta o resultado final. Por exemplo: o pdio "Santos em primeiro e Pearol em segundo" diferente do pdio "Pearol em primeiro e Santos em segundo". No PFC, a ordem dos eventos influencia o resultado final. Vamos ver outro caso. Pensem num casal que deseja filhos. Se o casal tiver apenas 1 filho, temos 1 situao e 2 eventos possveis: Se o casal tiver 2 filhos, teremos 2 situaes (primeiro filho e segundo filho) e 4 eventos possveis (menino + menino, menino + menina, menina + menino e menina + menina).

Possibilidades de primeiro filho de um casal

Menino Menina



Vocs perceberam a nomenclatura? Situao so as etapas (primeiro filho, segundo filho...). Como diz a definio de PFC, elas devem ser independentes e sucessivas... J eventos so as possibilidades diferentes de combinaes de situaes (menino + menino, menino + menina... etc). Agora vamos passar para outro conhecimento importante, o do fatorial. O fatorial apenas uma maneira de escrever uma conta. isso que vocs tem que lembrar. Um nmero fatorial identificado pelo "!" que vem junto a ele. Por exemplo, quando dizemos: 5! Essa apenas uma maneira mais rpida de escrever: 5.4.3.2.1 Ou seja, 5! igual a: 5.4.3.2.1 = 20.3.2 = 120 Falamos sobre as possibilidades de pdio da Libertadores, usando o PFC para clculo. O "Arranjo" nada mais do que um PFC em forma de equao. Quando utilizamos a equao do Arranjo, queremos, no fundo, a mesma coisa: saber o nmero de possibilidades diante de eventos sucessivos. E, o mais importante: a ordem dos eventos influencia na resposta (vocs lembram que Santos em 1o e Pearol em 2o diferente do Santos ser vice, no ?). A equao do Arranjo :

Possibilidades de filhos de um casal

Menino Menina Primeiro Filho

Menino Menina Menino Menina Segundo Filho



An,p = !

( )!n

n p

Por exemplo, quando calculamos o nmero de possibilidades de pdio da Libertadores, usamos o PFC. Podemos tambm calcular por Arranjo, afinal temos 38 times agrupados 2 a 2. A equao fica:

A38,2 = 38! 38!

(38 2)! 36!=

Agora, um vamos expandir o fatorial para calcular o resultado. Vocs vejam que, segundo a definio de fatorial, 38! = 38.37.36!. Isso porque, se 38! = 38.37.36.35.34..., ento 38! = 38.37.36!, j que 36! = 36.35.34.33... Assim:

A38,2 = 38! 38! 38.37.36!

38.37(38 2)! 36! 36!

= = = =

1406

Viram como deu o mesmo resultado, fazendo por Arranjo ou por PFC? Quando falamos do PFC, usamos o exemplo do nmero de possibilidades de pdio numa final de Libertadores. E usamos o exemplo de que Santos em primeiro e Pearol em segundo diferente de Pearol em primeiro e Santos em segundo. Mas, e se quisssemos saber o nmero de possibilidades de final de Libertadores? Percebam que as possibilidades de final so diferentes das possibilidades de pdio. O pdio Santos 1 e Pearol 2 um, e o pdio Pearol 1 e Santos 2 outro. E essas possibilidades so calculadas por PFC ou Arranjo. J a final Santos x Pearol uma s, independentemente do campeo. O independentemente a chave, aqui: temos um caso de Combinao, ao invs de Arranjo. Na Combinao, no importa a ordem dos eventos. Ou seja, se usssemos a equao de Combinao para resolver a questo do pdio da Libertadores (que falamos no PFC), com certeza a resposta seria um nmero menor do que os 1402 tipos diferentes de pdios que poderiam ser formados.



Isso porque a Combinao ignora a "ordem". Ela iria considerar que Santos em primeiro e Pearol em segundo igual a Pearol em primeiro e Santos em segundo. A equao da Combinao :

Cn,p = !

!( )!n

p n p

Nesta questo, temos pacientes distribudos em salas. Ou seja, a ordem deles nas salas no importa, certo? como o caso da equipe ou da comisso... Na primeira sala, teremos um 4 pacientes. Ou seja, Combinao de 10 pacientes, 4 a 4: C10,4 = = = = = 210

Na sala 2, teremos uma combinao dos pacientes restantes, 3 a 3. Sobraram 10 4 = 6 pacientes: C6,3 = = = = 20

Na sala 3, h uma combinao dos trs pacientes que sobraram: C3,3 = = = 1

Aqui, aproveito para passar 2 conhecimentos importantes: Combinao de X elementos X a X igual a 1 (ou seja, C3,3 = 1, no precisamos nem fazer a conta). Lgico: os 3 pacientes s podem ficar acomodados de uma maneira na sala, pois a ordem deles no importa. Se fosse Permutao, importaria, mas no caso de Combinao, pouco importa. 0! = 1 Assim, temos: 210.20.1 = 4200 maneiras diferentes de organizar os pacientes. Resposta: letra C. Questo 2 ESAF/SMF-RJ/Fiscal de Rendas/2010 O departamento de vendas de imveis de uma imobiliria tem 8 corretores, sendo 5 homens e 3 mulheres. Quantas equipes de vendas distintas podem ser formadas com 2 corretores, havendo em cada equipe pelo menos uma mulher?



(A) 15 (B) 45 (C) 31 (D) 18 (E) 25 A questo pede EQUIPE COM 2 CORRETORES. A primeira coisa que devemos pensar : em uma EQUIPE, importa a ordem dos membros? A resposta no. Se fosse uma FILA, por exemplo, a ordem importaria. Ento, temos questo de combinao. Outra informao dada que cada equipe deve conter PELO MENOS uma mulher. Isso significa que podem ser formadas equipes com duas mulheres, certo? Ento, podemos ter dois tipos de equipes: equipes com 1 homem e 1 mulher e equipe de 2 mulheres. A equipe tipo 1 (1 homem e 1 mulher) representa simples de ser encontrada, pois nada mais do que a combinao das 3 mulheres com os 5 homens. 3 x 5 = 15. J o nmero de equipes diferentes formadas pelas 3 mulheres nas duas vagas da equipe so calculadas por Combinao (j que a ordem no importa): C3,2 = = = 3

Assim, podemos ter, no total, 15 + 3 equipes = 18 equipes. Resposta: Letra D. Questo 3 ESAF/MPU/Tc. Adm./2004 Paulo possui trs quadros de Gotuzo e trs de Portinari e quer exp-los em uma mesma parede, lado a lado. Todos os seis quadros so assinados e datados. Para Paulo, os quadros podem ser dispostos em qualquer ordem, desde que os de Gotuzo apaream ordenados entre si em ordem cronolgica, da esquerda para a direita. O nmero de diferentes maneiras que os seis quadros podem ser expostos igual a (A) 20. (B) 30. (C) 24. (D) 120. (E) 360.



Nesta questo, aprendemos algo novo, que o que chamo de membro em bloco. Antes veremos o que a Permutao. A Permutao nada mais do que um tipo de Arranjo. J vimos que o Arranjo representa um nmero X de "coisas" (exemplos: times, pessoas, letras, etc) agrupadas em grupos de 2, 3, etc. O pdio da Libertadores, por exemplo, nada mais do que um Arranjo de 38 times, agrupados 2 a 2. Pois bem, a Permutao nada mais do que um Aranho de X "coisas", agrupadas X a X! A equao da Permutao : Pn = n! Percebam que, se eu usar a equao do Arranjo e fizer os elementos X agrupados X a X, chego na mesma equao:

Pn,n = ! !

!( )! 0!

n nn

n n= =

O fatorial de zero (0!) igual a 1. A questo diz que h 6 quadros: 3 de Gotuzo e 3 de Portinari. S que ela diz que os 3 quadros de Gotuso devem ser expostos em ordem cronolgica, e da esquerda para a direita. Se esto em ordem cronolgica, uma ordem fixa (no mudar, o quadro mais velho ser sempre o primeiro da esquerda e o mais novo o mais direita). Na prtica, o que temos pode ser representado na figura abaixo (chamo de Gotuzo 1 o quadro mais velho de Gotuzo, e assim por diante). Portanto, vejam: para fins de ordenamento dos quadros, os quadros do Gotuzo se comportam como se fosse 1 s quadro. Toda vez que mudamos os quadros do Gotuzo de lugar, tem que ser os 3 juntos, pois eles devem estar ordenados entre si, em ordem cronolgica, da esquerda para a direita. Por exemplo, se trazemos estes quadros uma posio direita:

Gotuso 1

Gotuso 2

Gotuso 3

Portinari

Portinari

Portinari

Gotuso 1

Gotuso 2

Gotuso 3

Portinari

Portinari

Portinari



Perceberam a lgica? Diante disso, o que temos, matematicamente falando, uma Permutao de 4 membros, pois os trs quadros do Gotuzo se comportam como se fosse um quadro s: so um membro em bloco. Assim, temos: P4 = 4! = 4.3.2 = 24 Resposta: Letra C. Questo 4 ESAF/MPU/Analista - Administrao/2004 Quatro casais compram ingressos para oito lugares contguos em uma mesma fila no teatro. O nmero de diferentes maneiras em que podem sentar-se de modo a que a) homens e mulheres sentem-se em lugares alternados; e que b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas, so, respectivamente, (A) 1112 e 1152. (B) 1152 e 1100. (C) 1152 e 1152. (D) 384 e 1112. (E) 112 e 384. Aqui temos uma questo de FILA, j sabemos que numa fila a ordem dos membros importa, ou seja, questo de Arranjo ou Permutao (dependendo de quantos forem os membros). Primeiramente resolveremos o caso 1: homens e mulheres sentem-se em lugares alternados. Vamos pensar nos lugares do teatro: _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ Se comearmos com 1 homem, teremos: __4H__ __4M__ __3H__ __3M__ __2H__ __2M__ __1H__ __1M__

Trs quadros

Portinari

Portinari

Portinari



No terceiro lugar, temos 3 possibilidades para homens, pois 1 deles j ocupou o primeiro lugar, e assim por diante. Ento, comeando com homem, temos 4x4x3x3x2x2 = 576 possibilidades. Para saber o TOTAL de possibilidades, no podemos nos esquecer de multiplicar por 2, afinal a fila tambm pode comear por uma mulher, certo? Ou seja, ao final, temos 576x2 = 1152 possibilidades. Agora, resolvendo o caso 2: todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas. Agora, temos uma variao do caso do membro em bloco, que vimos na questo anterior. Isso por que temos (H1 o homem nmero 1, assim por diante): Pensem s: para todos os homens sentarem juntos e todas as mulheres tambm, s h 2 configuraes possveis: ou a fila comea com todos os homens ou comea com todas as mulheres. No podemos separ-los. O que vai acontecer uma permutao dos homens dentro do bloco de homens, e uma permutao de mulheres dentro do bloco de mulheres. Assim, temos: P4 x P4 = 4!.4! = 4.3.2.4.3.2 = 576 Como a fila tambm pode comear com mulheres, multiplicamos esse resultado por 2, ou seja: 576 x 2 = 1152. Resposta: Letra A. Questo 5 ESAF/SMF-RJ/Agente de Trabalhos de Engenharia/2010 O departamento tcnico de uma construtora imobiliria tem 10 tcnicos de nvel superior sendo 7 engenheiros e 3 arquitetos. Quantas equipes tcnicas distintas podem ser formadas por 2 desses tcnicos com a participao de pelo menos um engenheiro em cada equipe? a) 14 b) 35 c) 21 d) 28 e) 42

H2 H3 H4 H1 M1 M2 M3 M4



Queremos a formao de EQUIPES (= ordem no importa), com duas pessoas, sendo um engenheiro no mnimo. Portanto, podemos ter equipes com 1 ou 2 engenheiros. Se a equipe tiver apenas 1 engenheiro, ter tambm 1 arquiteto. Ou seja, temos 7 possibilidades para a vaga de engenheiro e 3 para a de arquiteto. 7x3 = 21. Se a equipe possuir 2 engenheiros, haver uma combinao dos 7 engenheiros, 2 a 2 (usamos combinao por ser EQUIPE). Temos:

C7,2 = ! 7! 7! 7.6.5! 42

21!( )! 2!(7 2)! 2!5! 2!5! 2n

p n p= = = = =

Assim, so 21+21 = 42 possibilidades de equipes. Resposta: Letra E. Questo 6 ESAF/MTE/AFT/2010 O departamento de vendas de uma empresa possui 10 funcionrios, sendo 4 homens e 6 mulheres. Quantas opes possveis existem para se formar uma equipe de vendas de 3 funcionrios, havendo na equipe pelo menos um homem e pelo menos uma mulher? a) 192. b) 36. c) 96. d) 48. e) 60. Questo muito semelhante anterior. Temos que 2 equipes podem ser formadas: - Equipes com 2 homens e uma mulher; - Equipes com 2 mulheres e um homem.

No primeiro caso, temos que os 4 homens vo se combinar (=combinao, porque EQUIPE) nas 2 vagas de homens, e as 6 mulheres vo se combinar na vaga para mulher. Assim: C4,2.C6,1



C4,2 = ! 4! 4.3.2!

6!( )! 2!(4 2)! 2!2!n

p n p= = =

6.6 = 36 equipes. No segundo caso, ocorre o contrrio: os 4 homens disputam a vaga de homem e as 6 mulheres se combinam nas duas vagas para mulheres: C4,1.C6,2

C6,2 = ! 6! 6.5.4!

15!( )! 2!(6 2)! 2!4!n

p n p= = =

4.15 = 60 equipes. 60+36 = 96 equipes. Resposta: Letra C. Questo 7 ESAF/RFB/AFRFB/2009 Sabe-se que os pontos A,B,C, D, E, F e G so coplanares, ou seja, esto localizados no mesmo plano. Sabe-se, tambm, que destes sete pontos, quatro so colineares, ou seja, esto numa mesma reta. Assim, o nmero de retas que ficam determinadas por estes sete pontos igual a: a) 16 b) 28 c) 15 d) 24 e) 32 Vimos (na aula de Geometria) que dois pontos formam uma reta. Assim, poderamos fazer uma combinao dos 7 pontos, 2 a 2, para encontrar o nmero de retas formadas. Seria C7,2:

C7,2 = ! 7! 7.6.5!

21!( )! 2!(7 2)! 2!5!n

p n p= = =

retas possveis.

Ocorre que os 4 pontos que so colineares (sobre a mesma reta) formam as mesmas retas. Ou seja, temos de retirar a combinao destes 4 pontos, 2 a 2, e somar 1, pois a nica reta formada por eles:

C4,2 = ! 4! 4.3.2!

6!( )! 2!(4 2)! 2!2!n

p n p= = =



Assim, o total de retas 21 6 + 1 = 16 retas possveis. Resposta: Letra A. Questo 8 ESAF/RFB/AFRFB/2009 De quantas maneiras podem sentar-se trs homens e trs mulheres em uma mesa redonda, isto , sem cabeceira, de modo a se ter sempre um homem entre duas mulheres e uma mulher entre dois homens? (A) 72 (B) 36 (C) 216 (D) 720 (E) 360 Muita gente pediu a anulao desta questo. No concordo com isso. Vejamos. Temos uma mesa redonda. Muita gente resolveu fazer a questo, portanto, utilizando a equao da Permutao Circular. A permutao circular ocorre em casos de mesas redondas. Vejam a mesa abaixo:

Se eu quiser saber de quantas maneiras posso permutar 4 amigos na mesa acima, vocs concordam que eu poderia pensar em fazer uma permutao, certo? Ocorre que o nmero de jeitos diferentes de organizar meus amigos na mesa diminuir, em relao a uma fila, por exemplo. Isso porque, numa fila, h o 1, 2, 3... na mesa no importa. Portanto, a equao da mesa redonda, ou seja, da Permutao Circular, diferente. Tem-se que: Pcircular = (n 1)!



Por exemplo, se ao invs da mesa, tivssemos um balco (formato de fila), poderamos organizar nossos 4 amigos de 4! = 24 maneiras. Como uma mesa redonda, o nmero de maneiras diminui para (4 1)! = 3! = 6 maneiras. Ocorre, pessoal, que a questo cobrou uma restrio. Deveria ser mulher-homem-mulher-homem-etc. Primeiramente, vamos pensar nos 3 homens. Eles estaro na mesa assim:

E haver uma permutao entre eles. P3 = 3! = 3.2 = 6. O mesmo ocorrer com as mulheres, e, assim, P3 = 6.



6 jeitos diferentes de combinar os meninos e 6 jeitos diferentes de combinar as meninas. 6 x 6 = 36. SE FOSSE uma fila, como no caso da fila do teatro na questo 3, deveramos multiplicar esse resultado por 2, pois, onde comeamos por um homem, deveramos comear tambm por uma mulher:

MAS, no uma fila, uma mesa circular! Tanto faz por onde comea. Por exemplo, vejam as duas mesas abaixo:

Reparem como, aparentemente, todos os membros mudaram de posio. S que as duas mesas esto exatamente iguais, como se todos os membros tivessem simplesmente pulado uma cadeira no sentido horrio. Portanto, no h sentido para multiplicar o 36 por 2, achando existem mais maneiras diferentes de organizar as pessoas.



Resposta: Letra B Questo 9 CESGRANRIO/PETROBRS/Administrador/2011 O gerente de um projeto quer dividir sua equipe, que composta de 12 pessoas, em trs grupos de quatro pessoas cada um. Entretanto, duas dessas pessoas, Joo e Maria, por questes de perfil profissional, sero colocadas em grupos diferentes. O nmero de maneiras distintas que esse gerente tem para dividir sua equipe segundo a forma descrita (A) 930 (B) 3.720 (C) 4.200 (D) 8.640 (E) 12.661 Nesta questo, basta fixar as pessoas que no podem ficar juntas em grupos diferentes. Vamos l. Teremos 3 grupos de 4 pessoas, certo? No primeiro grupo, vamos fixar Joo: Grupo 1: Joo + X + X + X No grupo 2, fixamos Maria: Grupo 2: Maria + X + X + X No terceiro grupo, ficam os 4 que sobraram: Grupo 3: X + X + X + X Assim, iniciamos no grupo 1, tendo que distribuir 10 pessoas em 3 vagas. So 10 porque so 12 ao todo, menos Joo e Maria, que j tem lugar fixo: C10,3 = = = 120

No grupo 2, teremos uma combinao dos pacientes restantes, 3 a 3. Sobraram 10 3 = 7 pacientes: C7,3 = = = 35

No ltimo grupo, teremos 4 pessoas para 4 vagas, o que resulta em C4,4, cujo resultado j sabemos ser 1. Assim, temos: 120x35x1 = 4200.



Resposta: letra C Questo 10 CESGRANRIO/PETROBRS/Administrador/2010 Um posto de combustvel comprou 6 bombas (idnticas) de abastecimento, que sero pintadas, antes de sua instalao, com uma nica cor, de acordo com o combustvel a ser vendido em cada uma. O posto poder vender etanol (cor verde), gasolina (cor amarela) e diesel (cor preta). De quantas maneiras as bombas podem ser pintadas, considerando a no obrigatoriedade de venda de qualquer tipo de combustvel? (A) 20 (B) 28 (C) 56 (D) 216 (E) 729 Nesta questo, veremos a Combinao e a Permutao com Repetio. Pensem no seguinte exemplo: tenho 10 carros iguais, e gostaria de pintar cada carro de uma das seguintes cores: preto, branco, e prata. Qual o nmero de variaes possveis? Neste caso, a ordem no importa (pois todos os carros so iguais). Mas eu tenho que combinar as cores (3) em carros (10). Ou seja, em alguns dos casos poder haver 2 ou mais carros pintados com a mesma cor. Qual o nome disso? Combinao com Repetio. No nada demais. Uma frmula a mais para decorarmos (vou coloc-la no Memorex para vocs verem logo antes da prova). A frmula : CRepetida de n,p = Cn + p 1, p

Assim, no exemplo acima, temos que n o nmero de cores (que vo se repetir), e p a quantidade de carros. n + p 1 = 3 + 10 1 = 12.

C12,10 = = = 66 Assim, temos 66 maneiras diferentes de pintar os carros. A Permutao com Repetio possui a mesma lgica da Combinao com Elementos Repetidos.



A Permutao com Elementos Repetidos muito frequente quando falamos de anagramas (que so as diferentes palavras que podem ser formadas a partir de certa quantidade de letras. Por exemplo: um anagrama de CAFE EFAC). O nmero de anagramas da palavra CAFE obtido por Permutao (so as letras variando de posio). Ou seja, temos P4 = 4! = 24 anagramas. No entanto, pensem na palavra CASA. Ela possui duas letras A. Se eu inverter a 2 e a 4 letra de posio, chego na palavra CASA, novamente. Ou seja, a palavra CASA possui menos do que 24 anagramas possveis, pois ela possui 2 letras iguais (A). Como calcular a quantidade de anagramas da palavra CASA, portanto? Devemos usar a equao da Permutao com Elementos Repetidos, que a seguinte:

PRepetida, n, a, b, c... = !

! ! !...n

a b c

Nesta equao, a, b, c... so os elementos repetidos. No nosso exemplo, temos, ento:

PRepetida, 4, 2 = ! 4! 4.3.2!

4.3 12! ! !... 2! 2!n

a b c= = = =

Como podem ver, por ter duas letras repetidas, a palavra CASA tem menos anagramas do que a palavra CAFE. Algo que chamo a ateno de vocs para o fato de a questo dizer que as bombas so pintadas antes da instalao. Isso importante, pois, se a bomba j estivessem instaladas, haveria uma ordem entre elas, e seria caso de Permutao com Repetio. Como as bombas so pintadas antes, h Combinao com Repetio. Bem, vamos ao clculo: CR de n,p = Cn + p 1,p

CR de 3,6 = C3 + 6 1,6 = C8,6

C8,6 = = = 28



Assim, temos 28 maneiras diferentes de pintar as bombas. Resposta: letra B. Questo 11 CESGRANRIO/PETROBRS/Administrador/2010 Quantos nmeros naturais de 5 algarismos apresentam dgitos repetidos? 27.216 59.760 62.784 69.760 (E) 72.784 Essa questo facilmente resolvida de forma inversa. Ou seja, primeiro descobrimos o total de nmeros com 5 algarismos existentes. Depois, descobrimos quantos desses possuem algarismos distintos. Por fim, diminumos um do outro, e teremos o nmero de nmeros com algarismos repetidos. Primeiramente, o total de nmeros com 5 algarismos existentes. Lembrando que existem 10 algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), mas um nmero de 5 algarismos no pode comear com 0, seno vira um nmero de 4 algarismos, certo? Os demais algarismos podem ser qualquer um dos 10. Por PFC, temos: ___ ___ ___ ___ ___ 9 x 10 x 10 x 10 x 10 = 90000 nmeros no total Para sabermos o nmero de algarismos distintos, devemos pensar: o segundo algarismo pode ser qualquer 1, menos aquele que j foi utilizado como primeiro algarismo. O terceiro no pode ser nenhum dos anteriores. Assim por diante. Temos, novamente por PFC: ___ ___ ___ ___ ___ 9 x 9 x 8 x 7 x 6 = 27216 nmeros com algarismos distintos A diferena (90000 27216 = 62784) representa a quantidade de nmeros com algarismos repetidos. Resposta: letra C. Questo 12 CESGRANRIO/PETROBRS/Administrador/2010 Quantos so os anagramas da palavra PETROBRAS que comeam com as letras PE, nesta ordem? (A) 720 (B) 2.520 (C) 5.040



(D) 362.880 (E) 3.628.800 Nossa primeira questo de anagramas. Temos que as palavras formadas devem comear com PE nesta ordem, ou seja, o que nos resta fazer o anagrama com as letras restantes, que so 7. No entanto, reparem que a letra R aparece duas vezes, ou seja, temos que utilizar a Permutao com Elementos Repetidos. Temos:

PR, 7, 2 = = = = 2520

Resposta: letra B. Questo 13 CESGRANRIO/BB/Escriturrio/2010 Uma artes de bijuterias fabrica um colar de contas no qual utiliza 16 contas pequenas e duas contas grandes, cujo modelo apresentado abaixo.

Os critrios que ela utiliza para montar cada colar so os seguintes: . as contas pequenas so todas da mesma cor; . contas grandes devem ter cores diferentes; . se as contas pequenas forem da cor "x", nenhuma conta grande pode ser da cor "x". Sabendo-se que a artes dispe de contas pequenas brancas, pretas, azuis e laranjas e de contas grandes brancas, vermelhas, verdes, azuis e rosas, de quantos modos distintos ela pode escolher as cores das contas que iro compor um colar? (A) 28 (B) 30 (C) 32 (D) 40 (E) 42 Essa questo envolve vrios conhecimentos que j vimos. Temos um colar feito de vrias contas pequenas e 2 grandes.



Primeiramente, reparem que as contas pequenas so membros em bloco, pois, como elas devem ter sempre a mesma cor, podem ser consideradas como se fossem uma s. Alm disso, no pode haver repetio de cores nas contas. Existem duas cores de contas pequenas possveis que tambm so possveis nas contas grandes: branco e azul. Vamos, ento, analisar os trs casos: contas pequenas nas cores preta ou laranja (que no se repetem nas maiores), contas pequenas brancas e contas pequenas azuis. Caso 1: contas pequenas pretas ou laranjas. Aqui, temos: _Contas pequenas_ x _Conta grande 1_ x _Conta grande 2_ _______ 2________ x _Conta grande 1_ x _Conta grande 2_

2 x C5,2 = 2 x = 20

Reparem que fizemos Combinao das 5 contas grandes, 2 a 2, porque a ordem das contas no importa. Caso 2: contas pequenas brancas. Neste caso: _Contas pequenas brancas_ x _Conta grande 1_ x _Conta grande 2_ _______ 1________ _Conta grande 1_ _Conta grande 2_

1 x C4,2 = 1 x = 6 Neste caso, temos apenas 1 opo de conta pequena (a branca). E, para as contas grandes, deve haver a Combinao de 4 contas 2 a 2, pois uma das contas grandes (a branca) no pode mais ser utilizada. Caso 3: contas pequenas azuis. A lgica a mesma do caso anterior: 6 combinaes diferentes. Total: 32 variaes de colares.



Resposta: Letra C. Questo 14 CESGRANRIO/PETROBRS/Analista de Sistemas Jr/2008 Quantos so os nmeros naturais pares que se escrevem (na base 10) com trs algarismos distintos?

(A) 256 (B) 288 (C) 320 (D) 328 (E) 360

Pessoal, essa uma questo de PFC (ou Arranjo), pois a ordem dos nmeros importa, certo. Ela parece simples, mas tem vrios detalhezinhos. Vejam s: - Os nmeros devem ser pares, ou seja, podem terminar com 0, 2, 4, 6, 8. - Para terem 3 algarismos, devem comear com 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (0 no, como vimos em questo anterior). Ou seja, podemos dividir os nmeros pedidos em 3 grupos: - Comeam com par e terminam com 0; - Comeam com par e terminam com qualquer outro algarismo par diferente de 0; - Comeam com impar e terminam com par. Assim, temos: - Comeam com par e terminam com 0: ____ ____ 0 O primeiro nmero deve ser um dos 4 pares possveis: 2, 4, 6, 8. O nmero do meio pode ser qualquer um, menos os 2 j utilizados: _4_ _8_ 0 = 32 nmeros possveis. - Comeam Comeam com par e terminam com qualquer outro algarismo par diferente de 0; O ltimo nmero deve ser 2, 4, 6 ou 8. O primeiro nmero deve ser um dos 4 pares possveis, menos o que j foi utilizado na ltima posio. Ou seja, 3 possibilidades. O nmero do meio pode ser qualquer um, menos os 2 j utilizados: _3_ _8_ _4_ = 96 nmeros possveis.



- Comeam com impar e terminam com par. O ltimo nmero deve ser 0, 2, 4, 6 ou 8. 5 possibilidades. O primeiro nmero deve ser impar. 5 possibilidades. O nmero do meio pode ser qualquer um, menos os 2 j utilizados: _5_ _8_ _5_ = 200 nmeros possveis. Somando todas as possibilidades, temos 328. Resposta: letra D. Questo 15 FCC/BB/Escriturrio/2010 Na sala de reunies de uma empresa h uma mesa de formato retangular com 8 cadeiras dispostas da forma como mostrado na figura abaixo.

Sabe-se que, certo dia, seis pessoas reuniram-se nessa sala: o Presidente, o Vice-Presidente e 4 Membros da Diretoria. Considerando que o Presidente e o Vice- Presidente sentaram-se nas cabeceiras da mesa, de quantos modos podem ter se acomodado nas cadeiras todas as pessoas que participaram da reunio? (A) 720 (B) 360 (C) 120 (D) 72 (E) 36 Essa questo parece difcil e muita gente a errou, mas ela no assim. Ela til para mostrar que s vezes precisamos inverter a lgica do que a gente pensa. Temos a mesa retangular. Pessoal, nem pensem em fazer Permutao Circular, viu? A mesa tem dois cantos!



Em cada canto, senta-se ou o presidente, ou o vice. Assim, podemos nos preocupar apenas com os diretores, e depois multiplicar por 2 (trocando o presidente e o vice de lugar). E, por fim, temos 4 diretores e 6 cadeiras. Nessa hora, teve gente que pensou em Combinao/Permutao com repetio, s porque havia mais objetos que pessoas (normalmente fazemos 6 pessoas combinadas em 4 cadeiras, etc). Ento, o que muda, neste caso? Ora, NADA! Se normalmente selecionaramos, dentre 6 pessoas, 4 a 4 delas para acomodar nas cadeiras, aqui vamos selecionar, dentre 6 cadeiras, 4 a 4 para acomodar as pessoas. Percebam que no nada com repetio, pois algumas cadeiras vo ficar vazias mesmo. Outro ponto importante que estamos tratando de Arranjo, pois a ordem das pessoas nas cadeiras importa. Assim, temos: Arranjo de 6 cadeiras para 4 pessoas = A6,4 A6,4 = = 360

Vamos multiplicar o resultado por 2, pois h a possibilidade de inverter o presidente e o vice presidente de posio: 360 x 2 = 720. Resposta: Letra A. Questo 16 ESAF/MPOG/EPPGG/2008 Marcos est se arrumando para ir ao teatro com sua nova namorada, quando todas as luzes de seu apartamento apagam. Apressado, ele corre at uma de suas gavetas onde guarda 24 meias de cores diferentes, a saber: 5 pretas, 9 brancas, 7 azuis e 3 amarelas. Para que Marcos no saia com sua namorada vestindo meias de cores diferentes, o nmero mnimo de meias que Marcos dever tirar da gaveta para ter a certeza de obter um par de mesma cor igual a: (A) 30 (B) 40 (C) 246 (D) 124 (E) 5 Essa questo parece ser de Anlise Combinatria.



Muitos autores chamam o conhecimento usado aqui de Princpio da Casa dos Pombos. Vejamos. Primeiramente, a nomenclatura: durante todo o enunciado, a banca fala em meia, meia e meias. Estamos acostumados a pensar que meias so sempre aos pares. Mas no. Reparem que no final ela explica que Marcos deve selecionar as meias direito, para ter certeza de pegar um par da mesma cor. Ou seja, as meias so apenas um p, e os pares de meias so os dois ps. Finalmente, temos: 5 pretas, 9 brancas, 7 azuis e 3 amarelas. Quantas, no mnimo, Marcos deve tirar da gaveta, para pegar com certeza 2 da mesma cor? Ora, simples. Vamos pensar no pior cenrio: ele tira cada hora uma de cor diferente da gaveta. Tira a primeira, preta. Tira a segunda, preta. Tira a terceira, azul. Tira a quarta, amarela. A quinta meia que Marcos for tirar com certeza ser de uma cor repetida. Assim, ele ter o par que deseja. Portanto, so necessrias 5 meias para que ele forme o par desejado. Resposta: letra E. Questo 17 - CEPERJ/Pref. So Gonalo/Professor/2011 No quadro abaixo, cada linha deve conter as letras a, b, c, em qualquer ordem, de forma que qualquer coluna no pode ter duas letras iguais.

O nmero de formas diferentes que pode ser feita a arrumao desse quadro : A) 3 B) 4 C) 6 D) 8 E) 12 Temos duas linhas, que formam trs colunas. As letras a, b e c no podem estar iguais na mesma coluna. Vamos analisar o que pode acontecer em cada quadradinho, seguindo o esquema abaixo:



Quadradinho A: neste quadrado, podem estar as 3 letras. Quadradinho B: neste quadrado, podem estar 2 letras (pois uma j estar sendo usada no quadrado A acima, e no pode repetir no quadrado B). Quadradinho C: neste quadrado, podem estar as 2 letras (pois uma j estar no quadrado A). Quadradinho D: neste quadrado, pode estar apenas 1 letra (uma a menos do que no quadrado C, pois no pode repetir a mesma letra do quadrado C). Quadradinho E: neste quadrado, podem estar apenas 1 letra (pois outras duas j foram usadas nos quadrados A e C). Quadradinho F: neste quadrado, podem estar apenas 1 letra (as outras duas j foram utilizadas nos quadrados B e D). Portanto, fazemos PFC das opes possveis em A, B, C, D, E e F: 3*2*2*1*1*1 = 12 Resposta: Letra E. Questo 18 - CEPERJ/FESP/Professor/2008 Marcelo possui tintas de quatro cores e deseja pintar a bandeira abaixo.

Considerando que no necessrio usar sempre todas as cores, e que duas regies vizinhas no podem ter a mesma cor, o nmero de maneiras diferentes com que Marcelo pode pintar essa bandeira : A) 36 B) 48 C) 72 D) 96 E) 144



Questo semelhante anterior. Da mesma forma, vamos dar nome a cada regio da bandeira:

Agora, vamos ver quantas opes so possveis para cada regio: Regio A: como so 4 cores, as 4 podem ser utilizadas. Regio B: podemos utilizar 3 cores, uma a menos pois regies vizinhas no podem ter a mesma cor. Regio C: podemos utilizar 2 cores, 2 a menos, pois a regio C vizinha das regies A e B. Regio D: podemos utilizar 2 cores, 2 a menos, pois a regio D vizinha das regies A e C. Regio E: podemos utilizar 3 cores, pois a regio E s vizinha da regio D. Ou seja, fazemos PFC das opes possveis para as regies A, B, C, D e E: 4*3*2*2*3 = 144 Portanto, so 144 opes possveis. Resposta: letra E. Questo 19 - CEPERJ/Pref. Itabora/Professor/2011 Numa escola, foram construdas 6 novas salas de aula, sendo 2 para o quinto ano, 2 para o sexto ano e 2 para o stimo ano. Pretende-se distribuir as salas para as referidas turmas. Sabe-se que: As salas esto dispostas segundo o desenho abaixo. Cada uma das seis turmas citadas ocupa uma sala. As turmas de sexto ano ocupam as salas 1 e 4, as do quinto ano ocupam as salas 2 e 5, e as do quarto ano ocupam as salas 3 e 6.



Baseando-se nas informaes dadas, correto afirmar que as seis turmas podem ser distribudas, nas salas descritas acima, de: A) 90 maneiras diferentes B) 36 maneiras diferentes C) 20 maneiras diferentes D) 10 maneiras diferentes E) 8 maneiras diferentes Essa questo tem um pouco mais de detalhes que as questes anteriores, mas resolvida da mesma maneira. Como a questo j trouxe o desenho com cada sala, vamos ver as opes possveis para cada uma, tendo em mente que as turmas de sexto ano ocupam as salas 1 e 4, as do quinto ano ocupam as salas 2 e 5, e as do quarto ano ocupam as salas 3 e 6: Sala 1: Apenas para as turmas do 6 ano. 2 opes possveis. Sala 2: Apenas para as turmas do 5 ano. 2 opes possveis. Sala 3: Apenas para as turmas do 4 ano. 2 opes possveis. Sala 4: Apenas para a turma do 6 ano que no ficou na sala 1. Uma opo possvel. Sala 5: Apenas para a turma do 5 ano que no ficou na sala 2. Uma opo possvel. Sala 6: Apenas para a turma do 4 ano que no ficou na sala 3. Uma opo possvel. Por PFC: 2*2*2*1*1*1 = 8 So 8 as opes possveis. Resposta: Letra E. Questo 20 - CEPERJ/SEEDUC/Professor/2011 As letras B, R, A, S, I, L devem ser escritas nas faces de um cubo, com uma letra em cada face. O nmero de maneiras diferentes em que essas letras podem ser colocadas nas faces do cubo : A) 18 B) 24 C) 30 D) 60



E) 72 Nessa questo temos um cubo. Primeiramente, precisamos entender como a montagem de um cubo. Vejamos na figura abaixo:

importante perceber que sempre podemos rotacionar o cubo, ento fundo pode virar tampa, lado 1 pode virar lado 2, etc. O que no muda com a rotao so as faces opostas. O lados em amarelos sempre sero opostos, assim como os azuis e os vermelhos. Primeiramente, escolhemos uma letra para a tampa e para o fundo, que podem estar na mesma posio (basta inverter o cubo, fazendo fundo virar tampa e tampa virar fundo). Portanto, para a tampa, podemos pegar qualquer letra, desde que na face oposta (o fundo) haja alguma das 5 letras que no esto na tampa.

Fundo Tampa

Lado 1

Lado 2

Lado 3 Lado 4



Portanto, temos 5 opes para a dupla tampa-fundo. Nas laterais do cubo, temos uma permutao circular os outros 4 elementos (temos de retirar os outros dois que esto na tampa e no fundo): PCircular = (n 1)! = (4 1)! = 3! = 3.2 = 6 Finalmente, como todas as combinaes de laterais do cubo podem estar combinadas com todas as combinaes de tampa-fundo, multiplicamos um valor pelo outro: 5*6 = 30 Portanto, so 30 opes possveis. Resposta: Letra C. Questo 21 - CEPERJ/Pref. Resende/Professor/2007 No retngulo quadriculado abaixo, deseja-se ir do ponto A ao ponto B andando sobre as linhas do desenho, somente para a direita ou para cima.

Desse modo, o nmero de caminhos possveis que partem de A e chegam a B : A) 180 B) 210 C) 240 D) 270 E) 320 Esse um tipo de questo que sempre assusta. Quem no sabe resolver por Anlise Combinatria comea a contar os quadradinhos no meio da prova do concurso... Percebam que, para ir de A at B, a pessoa tem que andar 10 quadradinhos, para a direita ou para cima:



Pensando em termos de Anlise Combinatria, temos 10 elementos que se permutam entre si: D, D, D, D, D, D, C, C, C, C Ocorre que 6 destes elementos esto repetidos. So os 6 para a direita. E outros 4 elementos tambm esto repetidos. So os 4 para cima. Portanto, para calcular o nmero de maneiras, fazemos uma Permutao de 10 elementos, com elementos repetidos:

PRepetida, 4, 2 = ! 10! 10.9.8.7.6!

210! ! !... 6!4! 6!4.3.2n

a b c= = =

Assim, temos 210 maneiras diferentes. Resposta: Letra B. Questo 22 - CEPERJ/Pref. Belford Roxo/Professor/2011 Em um curso de espanhol estudam vinte alunos, sendo doze rapazes e oito moas. O professor quer formar uma equipe de quatro alunos para intercmbio em outro pas. O nmero de equipes de dois rapazes e duas moas que podem ser formadas : A) 625 B) 1848 C) 1787 D) 648 E) 878 Temos EQUIPE. Portanto, temos caso de Combinao. A equipe deve possuir 2 rapazes e duas moas. Para as opes de rapazes, temos 12 rapazes combinados 2 a 2:

Cn,p = !

!( )!n

p n p



C12,2 = 12! 12.11.10!

662!(12 2)! 2.10!

= =

Para as opes de moas, temos 8 moas combinadas 2 a 2:

C8,2 = 8! 8.7.6!

282!(8 2)! 2.6!

= =

Por fim, temos que multiplicar as opes de rapazes pelas opes de moas, pois cada 2 rapazes diferentes formam equipes diferentes com as diferentes opes de moas: 66*28 = 1848 Resposta: Letra B.



3. Exerccios Comentados Probabilidade Questo 23 ESAF/SMF-RJ/Agente da Fazenda/2010 Em uma determinada cidade, 25% dos automveis so da marca A e 50% dos automveis so da marca B. Ademais, 30% dos automveis da marca A so pretos e 20% dos automveis da marca B tambm so pretos. Dado que s existem automveis pretos da marca A e da marca B, qual a percentagem de carros nesta cidade que so pretos? a) 17,5% b) 23,33% c) 7,5% d) 22,75% e) 50% Vimos na aula sobre Porcentagem que, em questes em que o enunciado traz apenas dados percentuais, o melhor delimitar um valor absoluto para o total. Nesta questo, por exemplo, vamos delimitar que haja 100 carros na cidade. Se h 100 carros na cidade, e 25% so da marca A, 25 so da marca A. Se 50% so da marca B, 50 so da marca B. 30% dos automveis da marca A so pretos. Ou seja, 30% de 25, 0,3x25 = 7,5. 20% dos automveis da marca B tambm so pretos. Ou seja, 20% de 50, 0,2x50 = 10. Assim, num universo de 100 carros, temos 7,5+10 = 17,5 pretos. A probabilidade dada por:

P(E) = ( ) 17,5

0,175( ) 100n E

n S= = =17,5%.

Resposta: Letra A. Questo 24 ESAF/MPOG/Agente de Planejamento e Oramento/2010 Em uma urna existem 200 bolas misturadas, diferindo apenas na cor e na numerao. As bolas azuis esto numeradas de 1 a 50, as bolas amarelas esto numeradas de 51 a 150 e as bolas vermelhas esto numeradas de 151 a 200. Ao se retirar da urna trs bolas escolhidas so acaso, com reposio, qual a probabilidade de as trs bolas serem da mesma cor e com os respectivos nmeros pares? a) 10/512.



b) 3/512. c) 4/128. d) 3/64. e) 1/64. Nesta questo, veremos P(A E B) e P(A OU B). Queremos a probabilidade de 3 bolas pares azuis OU a probabilidade de 3 bolas pares amarelas OU a probabilidade de 3 bolas pares vermelhas. Chamando: 3 bolas pares azuis = A 3 bolas pares amarelas = B 3 bolas pares vermelhas = C Queremos P(A OU B OU C). Vou explicar o raciocnio para as 3 bolas azuis, mas o mesmo vale para as 3 amarelas ou vermelhas. Para 3 bolas pares azuis, o que queremos : primeira bola par azul E segunda bola par azul E terceira bola par azul. So trs eventos independentes e sucessivos, assim: P(3 bolas pares azuis) = P(primeira bola par azul).P(segunda bola par azul).P(terceira bola par azul) O nmero de bolas pares azuis de metade das bolas azuis, que so 50. Ou seja, so 25 bolas pares azuis, num contexto de 200 bolas. Ou seja, a probabilidade de a bola ser par e azul de 25/200. Como h reposio (o enunciado fala isso), o valor no muda. Ento: P(A) = P(3 bolas pares azuis) = P(primeira bola par azul).P(segunda bola par azul).P(terceira bola par azul) = (25/200).(25/200).(25/200) = (25/200) O mesmo raciocnio vale para as demais cores. So 50 bolas pares amarelas e 25 bolas pares vermelhas. Temos: P(B) = P(3 bolas pares amarelas) = P(primeira bola par amarela).P(segunda bola par amarela).P(terceira bola par amarela) = (50/200).(50/200).(50/200) = (50/200)



P(C) = P(3 bolas pares vermelhas) = P(primeira bola par vermelha).P(segunda bola par vermelha).P(terceira bola par vermelha) = (25/200).(25/200).(25/200) = (25/200) Assim, P(A OU B OU C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A E B E C) No tem como as 3 bolas azuis, amarelas e vermelhas sarem ao mesmo tempo, ento P(A E B E C) = 0. Portanto: P(A OU B OU C) = P(A) + P(B) + P(C) = (25/200) + (50/200) + (25/200) = (1/8) + (2/8) + (1/8) = 1/512 + 8/512 + 1/512 = 10/512. Resposta: Letra A. Questo 25 ESAF/MPOG/Agente de Planejamento e Oramento/2010 As apostas na Mega-Sena consistem na escolha de 6 a 15 nmeros distintos, de 1 a 60, marcados em volante prprio. No caso da escolha de 6 nmeros tem-se a aposta mnima e no caso da escolha de 15 nmeros tem-se a aposta mxima. Como ganha na Mega-sena quem acerta todos os seis nmeros sorteados, o valor mais prximo da probabilidade de um apostador ganhar na Mega-sena ao fazer a aposta mxima o inverso de: a) 20.000.000. b) 3.300.000. c) 330.000. d) 100.000. e) 10.000. Qual a probabilidade de ocorrncia de um evento?

P(E) = ( )( )n E

n S

Qual o nmero de eventos possveis (n(S))? Ora, o nmero de combinaes possveis a serem feitas no carto da mega sena. Se so 60 nmeros, e 6 nmeros sorteados, temos uma combinao de 60, 6 a 6 (no importa a ordem, certo?).

C60,6 = ! 60! 60!

!( )! 6!(60 6)! 6!54!n

p n p= =



E qual o evento que queremos? Queremos que um apostador que faa a aposta mxima ganhe. Na aposta mxima so escolhidos 15 nmeros, e 6 so sorteados. Ou seja, o nmero de possibilidades dado por C15,6:

C15,6 = ! 15! 15!

!( )! 6!(15 6)! 6!9!n

p n p= =

Assim, a probabilidade :

P(E) =

15!( ) 15!54! 15.14.13.12.11.10.9!54!6!9!

60!( ) 60!9! 60.59.58.57.56.55.54!9!6!54!

n E

n S= = =

Agora temos de simplificar essa coisa enorme. Temos: 15/60 = 1/4 11/55 = 1/5 15.14.13.12.11.10 1.14.13.12.1.10 1.14.13.3.1.260.59.58.57.56.55 4.59.58.57.56.5 59.58.57.56

= =

3/57 = 1/19 2/56 = 1/28 1.14.13.3.1.2 14.1359.58.57.56 59.58.19.28

=

14/28 = 1/2

14.13 1359.58.19.28 59.58.19.2

=

Finalmente, multiplicamos o denominador. Encontramos 130036. Temos:

13 1359.58.19.2 130036

=

Dividindo 130036 por 13, resulta em 10000:



13 1130036 10000

=

Portanto, fazendo a aposta mxima, a chance de sairem os 6 nmeros o inverso de 10000. Resposta: Letra E. Questo 26 ESAF/SUSEP/Analista Tcnico/2010 Admita que a probabilidade de uma pessoa de um particular grupo gentico ter uma determinada doena de 30%. Um custoso e invasivo exame para diagnstico especfico dessa doena tem uma probabilidade de um resultado falso positivo de 10% e de um resultado falso negativo de 30%. Considerando que uma pessoa desse grupo gentico com suspeita da doena fez o referido exame, qual a probabilidade dela ter a doena dado que o resultado do exame foi negativo? a) 30%. b) 7,5%. c) 25%. d) 15%. e) 12,5%. Mais uma vez, vamos determinar um nmero absoluto de exames. Estipulamos que sejam 100 exames. Se 30% tm a doena, 30 so doentes e 70 no. O resultado falso positivo indica que uma pessoa que no tem a doena recebe o exame com resultado positivo. Ou seja, dos 70 que no tm a doena, 10% recebero o exame dizendo que sim, esto doentes. Isso representa 0,1x70 = 7 pessoas. J dos 30 que tm a doena, 30% recebero o exame dizendo que no, ou seja, 0,3x30 = 9 pessoas. A questo pede a probabilidade de a pessoa ter a doena, sendo que recebeu o resultado negativo. Das 100 pessoas, 70 7 + 9 = 72 receberam o resultado negativo. As 70 que no esto doentes, menos as 7 do falso positivo, e mais as 9 do falso negativo. E, das mesmas 100, 9 tm a doena mas receberam o exame negativo. Assim, a probabilidade de 9/72 = 0,125 = 12,5%.



Resposta: Letra E. Questo 27 ESAF/ANA/Contador/2009 Uma urna possui 5 bolas azuis, 4 vermelhas, 4 amarelas e 2 verdes. Tirando-se simultaneamente 3 bolas, qual o valor mais prximo da probabilidade de que as 3 bolas sejam da mesma cor? a) 11,53% b) 4,24% c) 4,50% d) 5,15% e) 3,96% As bolas so tiradas de maneira simultnea. Ou seja, h uma combinao de 15 bolas, 3 a 3, que o nmero total de eventos:

C15,3 = ! 15! 15.14.13.12! 15.14.13.12!

5.7.13 455!( )! 3!(15 3)! 3!12! 3.2.12!n

p n p= = = = =

Queremos os eventos com bolas da mesma cor. Para as 5 bolas azuis, temos uma combinao de 5, 3 a 3. Para as 4 vermelhas, temos combinao de 4, 3 a 3. Para as 4 amarelas, temos combinao de 4, 3 a 3. As duas verdes nem entram no clculo, porque no conseguem somar 3. Assim, os eventos que queremos so C5,3 + C4,3 + C4,3.

C5,3 = ! 5! 5! 5.4.3!

10!( )! 3!(5 3)! 3!2! 3!2!n

p n p= = = =

C4,3 = ! 4! 4.3!

4!( )! 3!(4 3)! 3!n

p n p= = =

Os eventos que queremos somam 10 + 4 + 4 = 18. E o total 455. P(E) = 18/455 = 0,0396. Resposta: Letra E. Questo 28 ESAF/SEFAZ-SP/APOFP/2009 Considere que numa cidade 40% da populao adulta fumante, 40% dos adultos fumantes so mulheres e 60% dos adultos no-fumantes so mulheres. Qual a probabilidade de uma pessoa adulta da cidade escolhida ao acaso ser uma mulher? a) 52% b) 48%



c) 50% d) 44% e) 56% J sabemos o que fazer em questes com percentual, certo? Chutar 100 como nmero para o valor total. Se temos 100 pessoas adultas, 40%, ou seja, 40, fumam. Desses 40 que fumam, 40% so mulheres, ou seja 0,4.40 = 16. Dos 60 que no fumam, 60% so mulheres, ou j, 0,6.60 = 36. Assim, temos 36 + 16 mulheres = 52. Do total, temos 52/100 = 52%. Resposta: Letra A. Questo 29 ESAF/SEFAZ-SP/APOFP/2009 Considerando os dados da questo anterior, qual a porcentagem das mulheres adultas que so fumantes? a) 7/13 b) 40% c) 4/13 d) 60% e) 9/13 Vimos que so 16 mulheres fumantes. Se so 52 mulheres, temos 16/52 = 4/13. Resposta: Letra C. Questo 30 ESAF/MF/ATA/2009 Ao se jogar um determinado dado viciado, a probabilidade de sair o nmero 6 de 20%, enquanto as probabilidades de sair qualquer outro nmero so iguais entre si. Ao se jogar este dado duas vezes, qual o valor mais prximo da probabilidade de um nmero par sair duas vezes? a) 25% b) 23% c) 20% d) 50% e) 27% J fizemos questes parecidas com esta.



P(nmero par) = P(2) OU P(4) OU P(6) Se a probabilidade de o 6 sair igual a 20%, a probabilidade dos demais sarem igual a 80%/5 para cada, ou seja 0,8/5 = 0,16. P(2) OU P(4) OU P(6) = 0,16 + 0,16 + 0,2 = 0,52. Para o nmero par sair 2x, temos: P(nmero par E nmero par) = 0,52.0,52 = 0,2704 = 27,04%. Resposta: Letra E. Questo 31 ESAF/RFB/ATRFB/2009 Para acessar a sua conta nos caixas eletrnicos de determinado banco, um correntista deve utilizar sua senha constituda por trs letras, no necessariamente distintas, em determinada sequncia, sendo que as letras usadas so as letras do alfabeto, com exceo do W, totalizando 25 letras. Essas 25 letras so ento distribudas aleatoriamente, trs vezes, na tela do terminal, por cinco teclas, em grupos de cinco letras por tecla, e, assim, para digitar sua senha, o correntista deve acionar, a cada vez, a tecla que contm a respectiva letra de sua senha. Deseja-se saber qual o valor mais prximo da probabilidade de ele apertar aleatoriamente em sequncia trs das cinco teclas disposio e acertar ao acaso as teclas da senha? a) 0,001. b) 0,0001. c) 0,000125. d) 0,005. e) 0,008. O enunciado confuso, mas vejamos. Existem 25 letras possveis, distribudas em 5 grupos de 5 letras. Ou seja, a cada tela, h 5 teclas que podem ser apertadas. Para acertar a senha, o cliente deve apertar a tecla correta na primeira tela E apertar a tecla correta na segunda tela E apertar a tecla correta na terceira tela. Apertar a tecla correta na primeira tela: se so 5 teclas, ele deve escolher 1. A chance de ser a certa de 1/5. O mesmo ocorre nas outras 2 telas. Portanto:



P(apertar a tecla correta na primeira tela E apertar a tecla correta na segunda tela E apertar a tecla correta na terceira tela) = (1/5).(1/5).(1/5) = 1/125 = 0,008. Resposta: Letra E. Questo 32 ESAF/MPOG/EPPGG/2008 Uma urna contm 5 bolas pretas, 3 brancas e 2 vermelhas. Retirando-se, aleatoriamente, trs bolas sem reposio, a probabilidade de se obter todas da mesma cor igual a: (A) 1/10 (B) 8/5 (C) 11/120 (D) 11/720 (E) 41/360

Nessa questo, o examinador quer saber a probabilidade de ocorrncia do evento A OU do evento B OU do evento C. Vejamos: Evento A = retirar-se trs bolas de cor preta Evento B = retirar-se trs bolas de cor branca Evento C = retirar-se trs bolas de cor vermelha O evento C nunca poder ocorrer, pois s existem 2 bolas vermelhas. Como ele poder tirar 3 bolas vermelhas? Assim, o que temos que encontrar P(A OU B). P(A OU B) = P(A) + P(B) P(A E B) P(A E B) igual a zero, certo? No h como se retirar 3 bolas na cor preta e SIMULTANEAMENTE se retirar 3 bolas de cor branca. Alm disso, percebam que: P(Evento A = retirar-se trs bolas de cor preta) = P(retirar uma bola preta na primeira retirada E retirar uma bola preta na segunda retirada E retirar uma bola preta na terceira retirada) Como as retiradas no possuem reposio, inicia-se com 10 bolas, depois tem-se 9, 8, etc Assim, temos que P(Evento A = retirar-se trs bolas de cor preta) = P(retirar uma bola preta na primeira retirada E retirar uma bola preta na segunda



retirada E retirar uma bola preta na terceira retirada) = P(retirar uma bola preta na primeira retirada x retirar uma bola preta na segunda retirada x retirar uma bola preta na terceira retirada) = 5/10 x 4/9 x 3/8 = 1/12 Da mesma forma, tem-se: P(Evento B = retirar-se trs bolas de cor branca) = P(retirar uma bola branca na primeira retirada E retirar uma bola branca na segunda retirada E retirar uma bola branca na terceira retirada) = P(retirar uma bola branca na primeira retirada x retirar uma bola branca na segunda retirada x retirar uma bola branca na terceira retirada) = 3/10 x 2/9 x 1/8 = 1/120 Por fim, temos que: P(A OU B) = P(A) + P(B) P(A E B) = 1/12 + 1/120 = 11/120 Resposta: letra C.

Questo 33 ESAF/SMF-RJ/Fiscal de Rendas/2010 Em cada um de um certo nmero par de cofres so colocadas uma moeda de ouro, uma de prata e uma de bronze. Em uma segunda etapa, em cada um de metade dos cofres, escolhidos ao acaso, colocada uma moeda de ouro, e em cada um dos cofres restantes, uma moeda de prata. Por fim, em cada um de metade dos cofres, escolhidos ao acaso, coloca-se uma moeda de ouro, e em cada um dos cofres restantes, uma moeda de bronze. Desse modo, cada cofre fi cou com cinco moedas. Ao se escolher um cofre ao acaso, qual a probabilidade de ele conter trs moedas de ouro? (A) 0,15 (B) 0,20 (C) 0,5 (D) 0,25 (E) 0,7 Mais uma questo sobre probabilidade da ocorrncia de dois eventos. Queremos o cofre com 3 moedas de ouro. Assim, na primeira etapa, queremos o cofre em que foi colocado ouro. Na segunda etapa, tambm queremos o cofre em que foi colocado ouro. Temos: P(cofre em que foi colocado ouro nas duas etapas) = P(cofre em que foi colocado ouro na etapa 1 E cofre em que foi colocado ouro na segunda etapa) P(cofre em que foi colocado ouro na etapa 1) = metade dos cofres = P(cofre em que foi colocado ouro na etapa 2) = metade dos cofres =



Por fim: P(cofre em que foi colocado ouro nas duas etapas) = P(cofre em que foi colocado ouro na etapa 1 E cofre em que foi colocado ouro na segunda etapa) = P(cofre em que foi colocado ouro na etapa 1) x P(cofre em que foi colocado ouro na etapa 2) = x = Resposta: letra D. Questo 34 ESAF/SUSEP/Analista Tcnico/2010 Considere um grupo de 15 pessoas dos quais 5 so estrangeiros. Ao se escolher ao acaso 3 pessoas do grupo, sem reposio, qual a probabilidade de exatamente uma das trs pessoas escolhidas ser um estrangeiro? a) 45/91. b) 1/3. c) 4/9. d) 2/9. e) 42/81. Queremos, em 3 escolhas, que saia exatamente 1 estrangeiro. Ou seja, existem 3 possibilidades: - A = sair um estrangeiro na primeira escolha, e 2 nacionais nas demais; - B = sair um nacional, um estrangeiro e outro nacional; - C = sair dois nacionais e um estrangeiro.

P(A) = (5/15).(10/14).(9/13) P(B) = (10/15).(5/14).(9/13) P(C) = (10/15).(9/14).(5/13) As trs probabilidades do o mesmo resultado, 45/273. Temos que a probabilidade : P(A OU B OU C) = P(A) + P(B) + P(C) = 3.45/473 = 45/91. Resposta: Letra A. Questo 35 ESAF/MPOG/APO/2010 Em uma pequena localidade, os amigos Arnor, Bruce, Carlo, Denlson e Eleonora so moradores de um bairro muito antigo que est comemorando 100 anos de existncia. Dona Matilde, uma antiga



moradora, ficou encarregada de formar uma comisso que ser a responsvel pela decorao da festa. Para tanto, Dona Matilde selecionou, ao acaso, trs pessoas entre os amigos Arnor, Bruce, Carlo, Denlson e Eleonora. Sabendo-se que Denlson no pertence comisso formada, ento a probabilidade de Carlo pertencer comisso , em termos percentuais, igual a: 30 %. 80 %. 62 %. 25% 75%

D. Matilde quer formar uma comisso com 3 pessoas, dentre 5 disponveis. Ento, o nmero de possibilidades seria dado por C5,3 = 10. No entanto, a questo j informa que Denlson no pertence comisso. Ela afirma isso. Assim, nosso universo muda. Precisamos nos ater apenas s comisses em que Denlson no participa. Para isso, mais fcil saber quantas ele participa, e diminuir do total. Temos, ento, que uma comisso que contivesse Denlson seria uma comisso com Denilson + uma combinao dos 4 restantes nas 2 outras vagas. Ou seja, C4,2 = 6. No entanto, como queremos as comisses sem Denlson, temos que nosso universo de 10 6 = 4. Nosso universo, o espao amostral, portanto, se restringiu s comisses em que Denlson no participa. Precisamos, dentre essas 4 comisses, saber a probabilidade de Carlo participar tambm. Ento, temos, na comisso, Carlo + uma combinao dos 3 restantes nas 2 vagas residuais. Sabemos que C3,2 = 3, ento, so 3 as possibilidades de comisso contendo Denlson e Carlo. Assim, temos: P( ) = = = 3/4 = 0,75.

Assim, a probabilidade de Carlo tambm pertencer comisso de 75%. Resposta: Letra E. Questo 36 ESAF/RFB/ATRFB/2009 Trs amigas participam de um campeonato de arco e flecha. Em cada tiro, a primeira das amigas tem uma probabilidade de acertar o alvo de 3/5, a segunda tem uma probabilidade de acertar o alvo de 5/6, e a terceira tem uma probabilidade de acertar o alvo de 2/3. Se cada uma das amigas der um tiro de maneira independente dos tiros das outras



duas, qual a probabilidade de pelo menos dois dos trs tiros acertarem o alvo? a) 90/100 b) 50/100 c) 71/100 d) 71/90 e) 60/90 As possibilidades so: - Nenhum tiro acertar o alvo; - Um tiro acertar o alvo; - Dois tiros acertarem o alvo; - Trs tiros acertarem o alvo;

Sabemos que a soma das probabilidades sempre de 1. Ento, podemos fazer esta questo de maneira inversa. muito mais fcil calcular a probabilidade de nenhum tiro acertar o alvo do que 2 ou 3, pois, como as probabilidades so diferentes para cada uma das amigas, teramos que calcular a probabilidade de uma dupla acertar (e outra errar), de outra, de outra... Enfim, guardem isso: sempre mais fcil calcular a probabilidade de menos acertos do que de mais, portanto, sempre que puderem, calculem a probabilidade de menos acertos e depois diminuam o resultado de 1. Portanto, se queremos que pelo menos dois tiros acertem o alvo, podemos calcular a chance de nenhum tiro acertar o alvo, e de 1 tiro acertar o alvo, diminuindo a probabilidade de 1. Assim, para nenhum tiro acertar o alvo, temos que a amiga um no pode acertar, a dois tambm no e a trs tambm no. O enunciado diz: Em cada tiro, a primeira das amigas tem uma probabilidade de acertar o alvo de 3/5, a segunda tem uma probabilidade de acertar o alvo de 5/6, e a terceira tem uma probabilidade de acertar o alvo de 2/3. Assim, a probabilidade de a primeira amiga NO acertar o alvo de 1-3/5 = 2/5, a probabilidade de a segunda amiga NO acertar de 1-5/6 = 1/6, e a probabilidade de a terceira NO acertar de 1-2/3 = 1/3. O que queremos que a primeira no acerte E a segunda no acerte E a terceira no acerte: P(noA E noB E noC) = P(noA).P(noB).P(noC) = (2/5).(1/6).(1/3) = 2/90.



Para apenas um tiro acertar o alvo, temos 3 possibilidades: a primeira acertar e as outras no OU a segunda acertar e as outras no OU a terceira acertar e as outras no. Primeira acertar e as outras no: X = P(A E noB E noC) = P(A).P(noB).P(noC) = (3/5).(1/6).(1/3) = 3/90. Segunda acertar e as outras no: Y = P(noA E B E noC) = P(noA).P(B).P(noC) = (2/5).(5/6).(1/3) = 10/90. Terceira acertar e as outras no: Z = P(noA E noB E C) = P(noA).P(noB).P(C) = (2/5).(1/6).(2/3) = 4/90. Apenas 1 tiro acertar o alvo = P(X OU Y OU Z) = 3/90 + 10/90 + 4/90 = 17/90. Ento, a probabilidade de pelo menos 2 tiros acertarem o alvo de: P(pelo menos 2) = 1 P(0) P(1) = 1 2/90 17/90 = 71/90. Resposta: Letra D. Questo 37 - CEPERJ/DEGASE/CONTADOR/2012 Considere um dado no viciado, com 6 faces numeradas de 1 a 6. A probabilidade de sair um nmero maior do que 4 ao se lanar esse dado : A) 1/6 B) 1/3 C) 1/2 D) 4/5 E) 1 A questo fala que o nmero deve ser maior que 4. Ou seja, o nmero deve ser 5 ou 6. Reparem que ela no disse maior ou igual, disse simplesmente maior. Como so seis opes possveis:

P(E) = ( ) 2 1( ) 6 3n E

n S= =

Resposta: Letra B.



Questo 38 - CEPERJ/FESP/Professor/2008 Em uma sala h quatro casais marido-mulher. Escolhendo ao acaso trs dessas pessoas, a probabilidade que esse grupo contenha um casal marido-mulher : A) 1/4 B) 1/3 C) 2/5 D) 3/7 E) 3/8 Primeiramente, vamos descobrir n(S), que o nmero total de eventos possveis. Em seguida, calculamos n(A), em que A = casal. Se h 4 casais (8 pessoas), escolhendo 3 a 3 temos caso de combinao (pois a ordem no importa):

Cn,p = !

!( )!n

p n p

C8,3 = 8! 8! 8.7.6.5!

8.7 563!(8 3)! 3!5! 3.2.5!

= = = =

Agora, vamos analisar o caso de um casal estar entre as trs pessoas escolhidas. O casal vai se comportar como se fosse uma pessoa s. Vimos, em questo anterior, o caso do membro em bloco. a mesma coisa. Cada casal como se fosse uma pessoa. Ento, temos, na primeira vaga, 4 opes (que so os 4 casais, ocupando uma vaga). Na outra vaga restante, podem estar quaisquer das 6 pessoas que no so do casal. Portanto, temos que n(A) = 4.6 = 24 pessoas. Assim, a probabilidade :

P(A) = 24 356 7

=

Resposta: Letra D. Questo 39 - CEPERJ/Pref. Itabora/Professor/2011



Na biblioteca de uma escola h uma estante onde esto 10 livros didticos, sendo seis de matemtica, e o restante, de fsica. Trs desses livros so selecionados aleatoriamente por um estudante. A probabilidade de serem escolhidos 3 livros da mesma matria : A) 35% B) 30% C) 25% D) 20% E) 15% Mais uma vez, temos de n(S), que o nmero total de eventos possveis. No caso, o nmero total de combinaes dos 10 livros nos 3 selecionados pelo estudante. Em seguida, calculamos n(A + B), em que A = livros de matemtica e B = livros de fsica. Por fim, a probabilidade ser dada por:

P(A + B) = ( )

( )n A B

n S

+

Se h 10 livros combinados 3 a 3, temos:

Cn,p = !

!( )!n

p n p

C10,3 = 10! 10! 10.9.8.7!

8.3.4 963!(10 3)! 3!7! 3.2.7!

= = = =

Agora, precisamos calcular o nmero de possibilidades dos 6 livros de matemtica serem escolhidos, 3 a 3:

C6,3 = 6! 6! 6.5.4.3!

203!(6 3)! 3!3! 3.2.3!

= = =

Tambm precisamos calcular o nmero de possibilidades dos 4 livros de fsica serem escolhidos, 3 a 3:

C4,3 = 4! 4! 4.3!

43!(4 3)! 3!1! 3!.1

= = =

Portanto, temos 20 possibilidades de 3 livros de matemtica serem escolhidos e mais 4 possibilidades dos livros de fsica serem escolhidos. Somando, temos:



P(A + B) = 20 4 24 1

96 96 4+

= =

A probabilidade de 1/4, ou 25%. Resposta: Letra C. Questo 40 CESGRANRIO/TJ-AP/Engenheiro Jr/2008 Um candidato far uma prova com 5 questes de mltipla escolha. Cada questo possui 4 alternativas, sendo apenas uma destas a correta. O candidato marcar apenas uma alternativa em cada questo e no deixar questo em branco. A figura ilustra duas maneiras diferentes de o candidato pre- encher cartes-respostas dessa prova.

Se o candidato decidir assinalar as alternativas dessa prova de forma totalmente aleatria, qual a probabilidade de que ele acerte exatamente 4 questes?

(A)

(B)

(C)

(D)

(E) Nesta questo, o principal observar a diferena entre o nmero de alternativas da questo e o nmero de questes da prova. A questo quer que encontremos a probabilidade de acertar exatamente 4 questes. Ento, devemos pensar que nosso objetivo acertar 4 questes e errar 1 questo.



Temos: P(A E B E C E D E E) = P(A).P(B).P(C).P(D).P(E) Vamos fazer o clculo inicial pensando na possibilidade de que acertamos as 4 primeiras questes e erramos a ltima. No final, basta multiplicarmos o resultado por 5, afinal existem outras 5 possibilidades (errar a primeira, ou a segunda, ou a terceira, ou a quarta, ou a quinta). Na primeira questo (P(A)), portanto, temos de chance de acert-la. Nas demais (P(B), P(C), P(D)), at a quarta questo, tambm temos de chance em cada uma. Na ltima questo (P(E)), contudo, queremos errar, e a chance de isso acontecer de (afinal a questo tem 3 alternativas erradas, dentre as 4). Portanto, temos: P(A E B E C E D E E) = P(A).P(B).P(C).P(D).P(E) = ....3/4 = 3/1024 Como a prova tem 5 questes, as chances de acertar quintuplicam: 5 x 3/1024 = 15/1024 Resposta: letra A. Questo 41 CESGRANRIO/BNDES/Tc. Adm./2010 Em uma caixa h 4 balas de mel, 3 balas de tamarindo e 3 balas de anis. Duas balas sero retiradas aleatoriamente dessa caixa, sucessivamente e sem reposio. Qual a probabilidade de que, pelo menos, uma das balas seja de mel?

(A)

(B)

(C)

(D)

(E) Essa questo muito boa para vocs pescarem um macete na hora de resolver questes de probabilidade.



Percebam que a questo diz: Qual a probabilidade de que, pelo menos, uma das balas seja de mel? Quando a questo diz pelo menos, ao menos, no mnimo... porque, para ela, podem ser retiradas 1 ou 2 balas de mel. A quantidade no importa. O que ela no quer que nenhuma bala de mel seja retirada. Portanto, fiquem espertos: se a questo no exata, fala em no mnimo ou algo assim, a maneira de resolver calculando a probabilidade de acontecer o que ela no quer, pois isso sim exato. E, lembrem-se: Probabilidade de acontecer um evento + Probabilidade de no acontecer um evento = 1. Portanto, se a probabilidade de acontecer um evento no exata, melhor calcularmos a probabilidade de no acontecer esse evento e diminuir este resultado de 1, pois a acharemos a soma de todas as probabilidades deste evento acontecer (no nosso caso, de se retirar 1 ou 2 balas de mel). Assim, temos que: Probabilidade de no se retirar uma bala de mel na primeira tentativa = 6/10. Probabilidade de no se retirar uma bala de mel na segunda tentativa = 5/9 (aqui, temos que assumir que na primeira tentativa no retiramos a bala de mel e no repusemos a bala retirada). Probabilidade de no se retirar uma bala de mel na primeira tentativa E na segunda tentativa = (6/10)x(5/9) = 1/3. Probabilidade de se retirar uma bala de mel em qualquer das tentativas + Probabilidade de no se retirar uma bala de mel em nenhuma das tentativas = 1 Probabilidade de se retirar uma bala de mel em qualquer das tentativas + 1/3 = 1 Probabilidade de se retirar uma bala de mel em qualquer das tentativas = 2/3 Resposta: Letra C. Questo 42 CESGRANRIO/PETROBRS/Tc. Biocombustveis/2010 Paulo e Raul pegaram 10 cartas de baralho para brincar: A, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, J e Q, todas de copas. Paulo embaralhou as 10 cartas, colocou-as aleatoriamente sobre a mesa, todas voltadas para baixo, e pediu a Raul que escolhesse duas. Considerando-se que todas as cartas tm a mesma chance de serem escolhidas, qual a probabilidade



de que, nas duas cartas escolhidas por Raul, esteja escrita uma letra (A, J ou Q)?

(A)

(B)

(C)

(D)

(E) Coloquei essa questo aqui para vocs verem a diferena para o caso anterior. Nesta questo, o enunciado diz: qual a probabilidade de que, nas duas cartas escolhidas por Raul, esteja escrita uma letra (A, J ou Q)? Ou seja, aqui, temos que as letras devem ser escolhidas em todas as retiradas, e no s no mnimo em uma retirada, como no caso anterior. Assim, temos que, na primeira retirada, temos 3 chances de retirar letras, dentre as 10 cartas: P(retirar A, J ou Q na primeira retirada) = n(A, J ou Q na primeira retirada)/n(S) = 3/10 Na segunda retirada, presumimos que retiramos a letra na primeira retirada, e no houve reposio. Temos: P(retirar A, J ou Q na segunda retirada) = n(A, J ou Q na segunda retirada)/n(S) = 2/9 P(retirar A, J ou Q na primeira retirada E retirar A, J ou Q na segunda retirada) = P(retirar A, J ou Q na primeira retirada) x P(retirar A, J ou Q na segunda retirada) = (3/10) x (2/9) = 1/15 Resposta: Letra C.



8. Memorex

Arranjo An,p =

Combinao Cn,p =

Permutao Pn = n!

Permutao com Elementos Repetidos

PR, n, a, b, c... =

Permutao Circular Pc = (n 1)!

Arranjo Combinao Permutao FILA A ordem

dos membros importa

EQUIPE/COMISSO A ordem dos

membros no

importa

ANAGRAMA A ordem

das letras

importa

Probabilidade de Ocorrncia de um Evento

Onde:

P(E) = probabilidade de um evento E ocorrer;

n(E) = nmero de eventos em que E ocorre;

n(S) = espao amostral.

Probabilidade de Ocorrncia de Dois Eventos

P(A OU B) = P(A) + P(B) P(A E B)

Lembrando que:

P(A OU B) = P(A) + P(B) P(A E B)

P(A E B) = P(A) x P(B).

Probabilidade Condicional

P( ) = =

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