Teorema da Amostragem

• Considere um sinal arbitrário g(t). Suponhamos que o sinal é amostrado instantaneamente a uma taxa uniforme, a cada segundos.

• Obtemos então uma sequência infinita de amostras espaçadas de segundos, representados por

• Essa forma ideal de amostragem é denominada amostragem instantânea.

• Fazendo a transformada de Fourier do sinal amostrado, temos

• A equação acima afirma que o processo de amostrar uniformemente um sinal de tempo contínuo de energia finita resulta em um espectro periódico com um período igual a taxa de amostragem.

• Outra forma de escrever a transformada de Fourier é

• Um sinal limitado em banda com energia finita, o qual não possui componentes de frequência mais elevadas do que W Hz, pode ser completamente recuperado a partir do conhecimento de suas amostras tomadas à taxa de 2W amostras por segundo.

• Essa taxa é chamada de taxa de Nyquist, ou frequência de Nyquist.

• Na prática, um sinal não é totalmente limitado em banda, o que resulta na subamostragem do sinal.

• Consequentemente, algum aliasing é produzido no processo de amostragem.

• Medidas para se combater o efeito do aliasing:

– Antes da amostragem, um filtro anti-aliasing é usado para atenuas as componentes de alta frequência do sinal que não são essenciais para a informação contida nele.

– O sinal filtrado é amostra a uma taxa mais elevada que a taxa de Nyquist.

• A utilização de uma taxa de amostragem mais elevada que a taxa de Nyquist também tem o efeito benéfico de facilitar o projeto do filtro de reconstrução usado para recuperar o sinal.

• O filtro de reconstrução, também chamado de filtro interpolador, é um filtro passa-baixa.

• Caso o espectro G(w) não possua impulso na frequência de 2 B Hz, ele pode ser recuperado como demonstrado acima.

• Caso contrário, o sinal deve ser amostrado acima de 2 B Hz. Por exemplo,

– g(t) = sen(2πBt).

Reconstrução do Sinal - Interpolação

• Examinando o processo no domínio do tempo.

• Considere o seguinte filtro interpolador, cuja resposta impulsiva é

• Portanto, cada amostra do sinal gera um pulso de altura equivalente à força da amostra.

• A função de transferência do filtro, assumindo a taxa de Nyquist , é dada por

• Este filtro é chamado de zero-order hold. Ele é uma aproximação pobre do filtro passa-baixa ideal.

• Utilizando filtro passa-baixa ideal como filtro interpolador

• A resposta impulsiva do filtro passa-baixa ideal é

• Assumindo a taxa de amostragem de Nyquist, ou seja, . Então

• Portanto, o sinal reconstruído é

• Esta fórmula é chamada de fórmula de interpolação.

Exemplo

• Encontre um sinal g(t) que é limitado em banda em B Hz, e cujas amostras são

e a taxa de amostragem é a taxa de Nyquist.

Aliasing

• O teorema da amostragem foi provado utilizando-se um sinal limitado em banda, porém todos os sinais práticos são limitados no tempo.

• Um sinal não pode ser limitado em banda e no tempo simultaneamente.

• Solução: usar um filtro anti-aliasing antes da amostragem.

Máxima taxa de informação

• “um máximo de 2B amostras independentes por segundo podem ser transmitidas sem erros, sobre um canal sem ruído com largura de banda B Hz”.

• Em outras palavras, podemos transmitir um sinal livre de erros ao máximo de dois “pedaços” de informação por segundo por hertz de largura de banda.