UNIVERSIDADE METROPOLITANA

Núcleo de Educação a Distância

2 MATEMÁTICA

Aula 1 – O conjunto dos Números Complexos (ℂ)

Assim como os conjuntos numéricos que estudamos até agora, o conjunto dos

Números Complexos é uma extensão de outro conjunto numérico, o conjunto dos Números

Reais.

A título de revisão, temos o conjunto dos números naturais ℕ = {0,1,2,3 … } que

“ganha” números negativos e se estende para o conjunto dos números inteiros ℤ =

{… ,−2,−1, 0, 1, 2, … }. Este, por sua vez, se estende para o conjunto dos números racionais

formado por todos os números da forma 𝑎𝑏 com 𝑎 e 𝑏 inteiros e 𝑏 ≠ 0. A união deste conjunto

com o conjunto de números que não podem ser escritos desta forma (fração) e que se chamam

irracionais, dá origem ao conjunto dos Números Reais.

Por que estender conjuntos numéricos?

No conjunto dos números naturais (ℕ) a subtração nem sempre é possível, por isso

são incorporados a esse conjunto números negativos e, consequentemente, surge o conjunto

dos Números Inteiros (ℤ).

Em ℤ, não podemos dividir sempre, daí surgem os números racionais, onde podemos

fazer todas as divisões possíveis 𝑎𝑏 desde que 𝑏 não seja nulo.

É importante perceber que todo número natural é também um inteiro, assim como todo

inteiro é um racional.

Da mesma forma, não se pode realizar todas as operações com números racionais e

obter como resultado um racional. Por exemplo, √2 = 1,414213562373 … e não pode ser

escrito na forma de fração (procure descobrir o porquê). É, portanto, um número irracional.

A união dos racionais com os irracionais é o conjunto dos números reais. Assim,

podemos concluir que ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

Veremos a seguir que ℝ ⊂ ℂ (conjunto dos Números Complexos).

UNIVERSIDADE METROPOLITANA

Núcleo de Educação a Distância

3 MATEMÁTICA

A unidade imaginária e o conjunto dos Complexos

Sabemos que se 𝑥 é um número real, 𝑥2 é nulo ou positivo. Logo, não existe solução

real para uma equação como, por exemplo, 𝑥2 + 1 = 0.

Com um novo conjunto de números, o dos Números Complexos, podemos ter uma

solução para este tipo de equação.

Importante: apesar de darmos esse exemplo, os números complexos surgem da necessidade

de resolver equações de terceiro grau quando Cardano, resolvendo uma destas equações,

precisou encontrar a raiz quadrada de -121.

Pois bem, para resolver a equação 𝑥2 + 1 = 0 precisamos de um ou mais valores

para 𝑥 tais que 𝑥2 = −1 e esses valores estão em um conjunto mais amplo que o dos reais

chamado conjunto dos números complexos.

Como representar estes valores de 𝑥?

Chamando de 𝑖 o número tal que 𝑖2 = −1 teremos que 𝑥 = 𝑖, já que 𝑖2 = −1 ou que

𝑥 = −𝑖 e assim 𝑥2 = (−𝑖). (−𝑖) = 𝑖2 = −1.

Assim, a equação 𝑥2 + 1 = 0 admite duas soluções, 𝑖 e – 𝑖.

A este número 𝑖 dá-se o nome de unidade imaginária.

Forma algébrica de um número complexo

Todo número complexo 𝑧 pode ser escrito de maneira única como 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 onde 𝑖

é a unidade imaginária e 𝑎 e 𝑏 são números reais chamados de parte real e parte imaginária,

respectivamente, e denotamos por 𝑅𝑒(𝑧) = 𝑎 e 𝐼𝑚(𝑧) = 𝑏.

UNIVERSIDADE METROPOLITANA

Núcleo de Educação a Distância

4 MATEMÁTICA

Quando 𝑎 = 0 e 𝑏 ≠ 0 temos um número da forma 𝑧 = 𝑏𝑖, que chamamos de

número imaginário puro. Quando 𝑏 = 0 temos 𝑧 = 𝑎, que é um número real. Isso justifica o

fato de que ℝ ⊂ ℂ, ou seja, de que todo número real é também um número complexo.

Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1: 𝑧 = 3. 𝑖. Como 𝑎 = 0 e 𝑏 ≠ 0, z é um imaginário puro.

Exemplo 2: 𝑧 = −5. Como 𝑏 = 0, z é um número real.

Adição e multiplicação de complexos

Como vimos, um número complexo é definido por um par de números reais

chamados de parte real e parte imaginária. Assim, podemos definir o conjunto ℂ dos

complexos como um conjunto de pares ordenados (𝑎, 𝑏) para os quais valem:

Igualdade: (𝑎, 𝑏) = (𝑐, 𝑑) ⟺ 𝑎 = 𝑐 𝑒 𝑏 = 𝑑

Adição: (𝑎, 𝑏) + (𝑐,𝑑) = (𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑)

Multiplicação: (𝑎, 𝑏). (𝑐, 𝑑) = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑, 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)

Pensando um pouco mais sobre a igualdade, de fato, dois números complexos são

iguais quando suas partes real e imaginária são iguais, uma a uma.

Exemplo 3: 2 + 3𝑖 não pode ser igual a nenhum outro número complexo que não tenha 2

como parte real e 3 como parte imaginária.

UNIVERSIDADE METROPOLITANA

Núcleo de Educação a Distância

5 MATEMÁTICA

E por que (𝑎, 𝑏) + (𝑐,𝑑) = (𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑)?

Seja (𝑎, 𝑏) o par ordenado que corresponde ao número complexo 𝑎 + 𝑏𝑖, temos

(𝑎, 𝑏) + (𝑐,𝑑) = 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 + 𝑐 + (𝑏 + 𝑑)𝑖 = (𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑).

Exemplo 4: (2 − 5𝑖) + (8 + 𝑖) = 2 − 5𝑖 + 8 + 𝑖 = 10 − 4𝑖.

Exemplo 5: (4 + 𝑖) − (3 − 7𝑖) = 4 + 𝑖 − 3 + 7𝑖 = 1 + 8𝑖.

E na multiplicação temos

(𝑎, 𝑏). (𝑐,𝑑) = (𝑎 + 𝑏𝑖). (𝑐 + 𝑑𝑖) = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 + 𝑏𝑑𝑖2 =

𝑎𝑐 + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖 + 𝑏𝑑. (−1) =

𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖 = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑,𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)

Assim,

(𝑎, 𝑏). (𝑐,𝑑) = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑,𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)

Exemplo 6: (2 − 3𝑖). (1 + 5𝑖) = 2 + 10𝑖 − 3𝑖 − 15𝑖2 =

2 + 10𝑖 − 3𝑖 − 15. (−1) = 2 + 10𝑖 − 3𝑖 + 15 = 17 + 7𝑖

Exemplo 7: Qual o valor de 𝑚 para que o produto (2 + 𝑚𝑖). (3 + 𝑖) seja imaginário puro?

Utilizando a fórmula (𝑎, 𝑏). (𝑐, 𝑑) = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑,𝑎𝑑 + 𝑏𝑐) temos que

(2 + 𝑚𝑖). (3 + 𝑖) = 6 −𝑚 + (2 + 3𝑚). 𝑖

Logo, 6 −𝑚 deve ser nulo e, portanto 𝑚 = 6.

UNIVERSIDADE METROPOLITANA

Núcleo de Educação a Distância

6 MATEMÁTICA

Ainda, para que 6 −𝑚 + (2 + 3𝑚). 𝑖 seja imaginário puro é necessário que sua parte

imaginária não seja nula. De fato, para 𝑚 = 6, sua parte imaginária 2 + 3𝑚 não se anula.

Portanto, 𝑚 = 6 satisfaz as condições do problema.

Exercícios propostos

1) Efetue:

a) (2 + 7𝑖) + (3 − 5𝑖)

b) (−1 − 𝑖) − (8 + 𝑖)

c) (3 − 6𝑖). (3 + 𝑖)

d) (1 + 3𝑖). (1 − 3𝑖)

2) Determine, caso existam, os valores reais de 𝑚 e 𝑛 tais que:

a) (2 + 𝑚𝑖) + (3𝑛 + 𝑖) seja imaginário puro.

b) (2 + 𝑚𝑖) − (3𝑛 + 𝑖) seja imaginário puro.

c) (2 + 𝑚𝑖) + (3𝑛 + 𝑖) seja real.

d) (2 + 𝑚𝑖) − (3𝑛 + 𝑖) seja real.

e) (2 + 𝑚𝑖). (3 + 𝑖) seja real.