Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari

amanda.perticarrari@unesp.br

MATEMÁTICA II

INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS

A integração das funções racionais fracionárias

poderá recair em integrais do tipo:

𝑢′

𝑢= ln 𝑢 + 𝐶

1

𝑢2+𝑎2 𝑑𝑢 =1

𝑎arctg

𝑢

𝑎+ 𝐶, (𝑎 ≠ 0) .

1

𝑢2−𝑎2 𝑑𝑢 =1

2𝑎ln

𝑢−𝑎

𝑢+𝑎+ 𝐶, (𝑢2 > 𝑎2) .

1

𝑎2−𝑢2 𝑑𝑢 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛

𝑢

𝑎+ 𝐶, (𝑢2 < 𝑎2);

𝑔 𝑥

ℎ 𝑥𝑑𝑥 = integral de soma de funções

𝑔 𝑥

ℎ 𝑥𝑑𝑥 = integral de soma de funções

São integrais cujos resultados são alcançados mediante a decomposição

da fração integrando numa soma de outras frações;

A decomposição de frações em parcelas é utilizada sempre que:

Caso 1. O grau do numerador é maior que o grau do denominador;

Exemplo: 𝑥2−1

𝑥+1𝑑𝑥, note que 𝑥2 − 1 = 𝑥 + 1 𝑥 − 1

Caso 2. O grau do numerador é menor que o grau do denominador,

mas o denominador é fatorável:

Exemplo: 2

𝑥2−9𝑑𝑥, note que 𝑥2 − 9 = 𝑥 + 3 𝑥 − 3 .

INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS

CASO 1. “O grau do numerador é maior que o grau do denominador”

Exemplo: Considere a fração 𝑥4−3𝑥2+𝑥+2

𝑥2−2

Trata-se de uma função racional, em que:

o grau do numerador: 𝑚 = 4

o grau do denominador: 𝑝 = 2

Sempre que 𝑚 > 𝑝 ou 𝑚 = 𝑝, efetuamos a divisão.

𝒙𝟒− 𝟑𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟐 𝒙𝟐 − 𝟐

−𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟐 𝒙𝟐 − 𝟏

− 𝒙𝟐 +𝒙 + 𝟐

𝒙𝟐 − 𝟐

𝒙

𝑚 > 𝑝, admite divisão.

INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS

Assim,

𝑥4 − 3𝑥2 + 𝑥 + 2

𝑥2 − 2=

𝑥2 − 2 𝑥2 − 1 + 𝑥

𝑥2 − 2= 𝑥2 − 1 +

𝑥

𝑥2 − 2

Então

𝑥4 − 3𝑥2 + 𝑥 + 2

𝑥2 − 2 𝑑𝑥 = 𝑥2 − 1 +

𝑥

𝑥2 − 2𝑑𝑥

Utilizando as Regras de Integração Imediata, temos que:

𝐼 = 𝑥2 𝑑𝑥 − 1𝑑𝑥 + 𝑥

𝑥2−2𝑑𝑥

𝐼 =𝑥3

3− 𝑥 + 𝐶1 +

𝟏

𝟐

𝟐𝑥

𝑥2 − 2𝑑𝑥

𝐼 =𝑥3

3− 𝑥 +

𝟏

𝟐𝑙𝑛 𝑥2 − 2 + 𝐶

𝑢 = 𝑥2 − 2

𝑢′ = 2𝑥

INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS

𝑢 = 𝑥 𝑛 = 2

𝑢 = 𝑥 𝑛 = 0

CASO 2. “O grau do numerador é menor que o grau do denominador”

2.1. Os fatores do denominador são todos distintos e do 1º. grau

Exemplo: Considere a fração 6

𝑥2−4𝑥−5

Grau do numerador: 𝑚 = 0

Grau do denominador: 𝑝 = 2

Vamos fatorar o denominador

𝑥2 − 4𝑥 − 5 = 0 ⇒ 𝑥1 = −1 e 𝑥2 = 5,

então:

𝑥2 − 4𝑥 − 5 = 𝑥 + 1 𝑥 − 5 .

O denominador se decompõe em dois fatores diferentes, ambos do

primeiro grau, então:

6

𝑥2 − 4𝑥 − 5=

6

𝑥 + 1 𝑥 − 5=

𝑨

𝑥 + 1+

𝑩

𝑥 − 5

𝑚 < 𝑝, não admite divisão

INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS

6

𝑥2−4𝑥−5=

6

𝑥+1 𝑥−5=

𝑨

𝑥+1+

𝑩

𝑥−5=

𝑨 𝑥−5 +𝑩 𝑥+1

𝑥+1 𝑥−5

Note que o mmc é 𝑥 + 1 𝑥 − 5 , então

6 = 𝑨 𝑥 − 5 + 𝑩 𝑥 + 1

6 = 𝑨𝑥 − 5𝑨 + 𝑩𝑥 + 𝑩

0𝑥 + 6 = 𝑨 + 𝑩 𝒙 + −5𝑨 + 𝑩

Da identidade dos dois membros

𝑨 + 𝑩 = 0−5𝑨 + 𝑩 = 6

⟹ 𝑨 = −1𝑩 = 1

Assim,

6

𝑥2−4𝑥−5=

−𝟏

𝑥+1+

𝟏

𝑥−5

então:

6

𝑥2−4𝑥−5𝑑𝑥 = −

𝟏

𝑥+1𝑑𝑥 +

𝟏

𝑥−5𝑑𝑥

INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS

6

𝑥2−4𝑥−5𝑑𝑥 = −

𝟏

𝑥+1𝑑𝑥 +

𝟏

𝑥−5𝑑𝑥

(I) Vamos determinar 𝟏

𝑥+1𝑑𝑥

Note que se 𝑢 = 𝑥 + 1 então 𝑢′ = 1, assim:

𝟏

𝑥+1𝑑𝑥 = ln 𝑥 + 1 + 𝐶1

(II) Vamos determinar 𝟏

𝑥−5𝑑𝑥

Note que se 𝑢 = 𝑥 − 5 então 𝑢′ = 1, assim:

𝟏

𝑥−5𝑑𝑥 = ln 𝑥 − 5 + 𝐶2

INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS

6

𝑥2−4𝑥−5𝑑𝑥 = −

𝟏

𝑥+1𝑑𝑥 +

𝟏

𝑥−5𝑑𝑥

6

𝑥2−4𝑥−5𝑑𝑥 = − ln 𝑥 + 1 + 𝐶1 + ln 𝑥 − 5 + 𝐶2

6

𝑥2−4𝑥−5𝑑𝑥 = ln 𝑥 − 5 − ln 𝑥 + 1 + 𝐶, sendo 𝐶 = 𝐶1 + 𝐶2

6

𝑥2−4𝑥−5𝑑𝑥 = ln

𝑥−5

𝑥+1+ 𝐶

INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS

CASO 2. “O grau do numerador é menor que o grau do denominador”

2.2.“Os fatores do denominador são todos do 1º. grau mas com repetição”

Exemplo: Seja a fração 6𝑥2−1

𝑥4+2𝑥3+𝑥2

Grau do numerador: 𝑚 = 2

Grau do denominador: 𝑝 = 4

• Vamos fatorar o denominador

𝑥4 + 2𝑥3 + 𝑥2 = 𝑥2 𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 𝑥2 𝑥 + 1 2.

• Todos os fatores são do 1º. Grau, pois temos

𝑥4 + 2𝑥3 + 𝑥2 = 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 + 1 ∙ 𝑥 + 1 ,

então:

6𝑥2 − 1

𝑥4 + 2𝑥3 + 𝑥2 =6𝑥2 − 1

𝑥2 𝑥 + 1 2 =𝑨

𝑥2 +𝑩

𝑥+

𝑪

𝑥 + 1 2 +𝑫

𝑥 + 1

𝑚 < 𝑝, não admite divisão.

INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS

6𝑥2−1

𝑥4+2𝑥3+𝑥2 =6𝑥2−1

𝑥2 𝑥+1 2 =𝑨

𝑥2 +𝑩

𝑥+

𝑪

𝑥+1 2 +𝑫

𝑥+1=

𝑨 𝑥+1 2+𝑩 𝑥 𝑥+1 2+𝑪𝑥2+𝑫𝑥2 𝑥+1

𝑥2 𝑥+1 2

Note que o mmc é 𝑥2 𝑥 + 1 2, então

6𝑥2 − 1 = 𝑨 𝑥 + 1 2 + 𝑩 𝑥 𝑥 + 1 2 + 𝑪𝑥2 + 𝑫𝑥2 𝑥 + 1

6𝑥2 − 1 = 𝑨𝑥2 + 2𝑨𝑥 + 𝑨 + 𝑩𝑥3 + 2𝑩𝑥2 + 𝑩𝑥 + 𝑪𝑥2 + 𝑫𝑥3 + 𝑫𝒙𝟐

0𝑥3 + 6𝑥2 + 0𝑥 − 1 = 𝑩 + 𝑫 𝑥3 + 𝑨 + 2𝑩 + 𝑪 + 𝑫 𝑥2 + 2𝑨 + 𝑩 𝑥 + 𝑨

Da identidade dos membros obtemos

𝑩 + 𝑫 = 0𝑨 + 2𝑩 + 𝑪 + 𝑫 = 6

2𝑨 + 𝑩 = 0𝑨 = −1

⟹

𝑨 = −1𝑩 = 2𝑪 = 5𝑫 = −2

Assim:

6𝑥2−1

𝑥4+2𝑥3+𝑥2 =−𝟏

𝑥2 +𝟐

𝑥+

𝟓

𝑥+1 2 +−𝟐

𝑥+1

e

6

𝑥2−4𝑥−5𝑑𝑥 = −

𝟏

𝑥2 𝑑𝑥 + 𝟐

𝑥𝑑𝑥 +

𝟓

𝑥+1 2 𝑑𝑥 − 𝟐

𝑥+1𝑑𝑥

INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS

6

𝑥2−4𝑥−5𝑑𝑥 = −

𝟏

𝑥2 𝑑𝑥 + 𝟐

𝑥𝑑𝑥 +

𝟓

𝑥+1 2 𝑑𝑥 − 𝟐

𝑥+1𝑑𝑥

6

𝑥2−4𝑥−5𝑑𝑥 = − 𝑥−2 𝑑𝑥 + 𝟐

𝟏

𝑥𝑑𝑥 + 𝟓 𝑥 + 1 −2 𝑑𝑥 − 𝟐

𝟏

𝑥+1𝑑𝑥

6

𝑥2−4𝑥−5𝑑𝑥 = −

𝑥−2+1

−2+1+ 𝟐 ln 𝑥 + 𝟓

𝑥+1 −2+1

−2+1− 𝟐 ln 𝑥 + 1 + 𝐶

6

𝑥2−4𝑥−5𝑑𝑥 = −

𝑥−1

−1+ 𝟐 ln 𝑥 + 𝟓

𝑥+1 −1

−1− 𝟐 ln 𝑥 + 1 + 𝐶

6

𝑥2−4𝑥−5𝑑𝑥 =

1

𝑥+ 𝟐 ln 𝑥 − 𝟓

1

𝑥+1− 𝟐 ln 𝑥 + 1 + 𝐶

6

𝑥2−4𝑥−5𝑑𝑥 =

1

𝑥−

5

𝑥+1+ 𝟐 ln

𝑥

𝑥+1+ 𝐶

𝑢 = 𝑥 + 1, 𝑛 = −2

𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑢 = 𝑥

𝑢′ = 1 𝑢 = 𝑥, 𝑛 = −2

𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

𝑢 = 𝑥 + 1

𝑢′ = 1

INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS