• 7 - INDUTÂNCIA, REATANCIA INDUTIVA E CIRCUITO INDUTIVOS

•  •  • 7 - 1 -INDUÇÃO•  • A capacidade que um condutor possui de induzir

tensão em si mesmo quando a corrente' varia é. a sua auto-.indutância ou simplesmente indutância O símbolo da indutância é L, e a sua unidade é o henry (H) Um henry é a quantidade de indutância que permite uma indução de um volt quando a corrente varia na razão de um ampere por segundo (Fig. 12.1). A fórmula para indutância é '

Onde L -= indutância, H VL = tensão induzida através da

bobina, Vi /t = taxa de variação da corrente,

A/s

• Figura 1 A indutância de uma bobina é de 1 H quando uma variação de 1 A/s induz 1 V na bobina

•  

• A tensão auto-induzida vL da Eq. (1.1) é

dada por

•  

• vL =L i / t

equação 1-2

• Exemplo1.1 • Qual a indutância do uma bobina que induz 20 V

quando a corrente que passa pela bobina varia de 12 para 20 A em 2s

• O enunciado fornece os seguintes dados '•  

• vL = 20v i = 20 –18 = 8 A t = 2

s• i /t = 8/2 = 4 A/s

• L = vL = 20/4 = 5 H

• i /t•  

• Exemplo l-2• Uma bobina tem uma indutância de 50 s. H. Qual a

tensão induzida na bobina quando a taxa de variação da corrente for de 10.000 A/s ?

• vL = L i /t• = ( 50 x 10-6) (104) = 0,5 V•  •  • Quando a corrente num condutor ou numa bobina

varia, esse fluxo variável pode interceptar qualquer outro condutor ou bobina localizado nas vizinhanças, induzindo assim tensões em ambos. Uma corrente variável em L1 induz portanto tensão através de L1 e de L2 (Fig. 1.2). Quando a tensão

• induzida vL2 produz corrente em L2, o seu

campo magnético variável induz tensão em L1.

Logo, as duas bobinas L1 e L2 possuem

indutância mútua, pois uma variação de corrente numa bobina induz uma tensão na outra. A unidade de indutância mútua é o henry, e o símbolo, LM. Duas bobinas

apresentam LM de 1 H, quando uma variação

de corrente de 1 A/s numa bobina Induz urna tensão de 1 V na .,outra..

•  

• A Fig, 1.3 mostra o símbolo esquemático de duas bobinas com indutância mútua.

"-fig.1 –2 Indutância mútua entre L1 e L2

fig.1 –3 Símbolos esquemáticos de duas bobinas com indutância mútua

• AS CARACTERÍSTICAS DAS BOBINAS .•  • Característica Físicas•  • A indutância de uma bobina depende de como ela é

enrolada, do material do núcleo em torno do qual é enrolada, e do número de espiras que formam o enrolamento.

• 1 - A indutância L aumenta com o número de espiras N em torno do núcleo. A indutância aumenta com o quadrado do número de espiras. Por exemplo, se o número de espiras dobrar (2X), a indutância aumenta de 22 ou de 4X, supondo que a área e o comprimento da bobina permaneçam os mesmos.

• 2. A indutância aumenta com a permeabilidade relativa r do material de que é feito núcleo. .

• 3. À medida que a área A abrangida em cada espira aumenta, a Indutância aumenta. Como a área é uma função do quadrado do diâmetro da bobina, a indutância aumenta com o quadrado do diâmetro. '

• 4. . A indutância diminui à medida que o comprimento da bobina aumenta (admitindo que o número de espiras permaneça constante).

•  • Exemplo 1.3 Uma fórmula aproximada no SI para a

indutância do uma bobina onde o comprimento é -pelo menos l0 vezes maior que o diâmetro é dada por

• L = N2 A/ l (1,26 x 10 –6) , H•  • Observe que esta fórmula segue a

proporcionalidade descritas.• . Calcule L quando = 200, N = 200 espiras,

A= 1 x 10-4 m2 e l = 0,1 m•  • L = 200 2002 (1 X 10 –6) / 0,1 X (1,26 X 10 –6)

= 10 X 10-3 H = 10 mH•  • Perdas no núcleo

• As perdas no núcleo magnético se devem às perdas por efeito de correntes parasitas e perdas por histerese. As correntes parasitas seguem uma trajetória circular dentro do próprio material do núcleo e se dissipam na forma de calor pelo núcleo. A perda é igual a PR, onde R é a resistência da trajetòria percorrida através do núcleo. Quanto mais alta a frequência da corrente altemada na indutância, maiores as correntes parasitas e maior a perda por corrente parasita.

• As perdas por histerese decorrem da potência adicional necessária para inverter o campo magnético nos materiais magnéticos com corrente altemada. As perdas por histerese geralmente são menores do que as perdas produzidas por correntes parasitas. Para reduzir as perdas por efeito de correntes parasitas, enquanto se mantém a densidade de fluxo, o núcleo de feno deve ser feito de lâminas isoladas umas das outras ou de grânulos de ferro isolados prensados formando um sólido, ou ferrite. As bobinas com núcleo de ar praticamente não apresentam perdas por correntes parasita ou por histerese

• REATÂNCIA INDUTIVA .•  

• A reatância indutiva XL é a oposição à

corrente ca devida à indutância do circuito. A unidade da reatância indutiva é o ohm. A fórmula para a reatância indutiva é:'

•  

• XL = 2 L

•  • Como 2 = 2(3.14) = 6,28 , a Equação 1-3

torna-se

•   XL = 6,28 L equa 1-3

• Onde XL = reatância indutiva,

• f = frequência, Hz• L = indutância, H•  • Se forem conhecidas quaisquer duas quantidades

da Eq. Pode-se determinar a terceira.

• L = XL / 6,28 x equa 1-4

• = XL / 6,28 x L eq. 1-5

•  • Num circuito formado apenas por indutância (Fig.

4),pode-se aplicar a Lei de Ohm para se calcular a corrente e tensão, bastando para isso substituir XL,

por R.

Fig..4 Circuito com XL apenas

• IL = VL /XL eq 1-6

• XL = VL / IL eq. 1-7

• VL = IL / XL eq. 1-8

•  

• onde IL = corrente através da

indutância, A

• VL = tensão através da

indutância, V

• XL = reatância indutiva,

• Exemplo.4• Um circuito tanque ressonante é formado por uma

bobina de 20 mH que funciona a uma frequência de 950 kHz. Qual a reatância indutiva da bobina?

• XL = 6,28 L

• = 6,28 ( 950 x 10 –3 )(20 x 10-3) = 11,93 x 104 = 119300

• Exemplo 5 • Qual deve ser a indutância de urna bobina a fim de

que ela tenha uma reatância de 942 a uma frequência de 60 KHz.

• L = XL /6,28

• = 942 / 6,28(60 x 103) = 2,5 x 10-3 = 2,5 mH

•  • Exemplo.6 • A bobina de sintonia de um radio transmissor tem

uma indutância de 300H Para que frequência ela terá uma reatância indutiva de 3.768

= XL / 6,28 L• = 3768 / 6,28 ( 300 x 10-6) = 2 x 106 = 2 MHz•  • Exemplo 7-• Uma bobina de choque (ou de reatância) de

resistência desprezível serve• Para limitar a corrente através dela em 50 mA, ao

ser aplicada aos seus terminais uma tensão de 25 V em 4O klHz. Calcule a sua indutância.

• .Calcule XL pela lei de Ohm e a seguir calcule L

• XL = VL / IL

• = 25 / 50 x 10-3 = 500 • L = XL /6,28 • 500 / 6,28 (400 x 103) = 0,199 x 10-3 =

0,20 mH•  • Exemplo 8 • A bobina do primário de um transformador de

potência tem uma indutância de 30 mH com reatância desprezível (Fig. 5). Calcule a sua reatância indutiva a uma frequência de 60 Hz e a corrente que ela retirará de uma linha de 120 V.

• Calcule XL utilizando a equação e a seguir IL aplicando a lei de

 

Figura 5 Circuito XL

• XL = 6,28 L

• = 6,28 (60)(30 x 10-3) = 11,3•  

• IL = VL /XL = 120/11,3 = 10,6 A

 Figura 6 Indutâncias em série

sem acoplamento mútuo

 INDUTORES EM SÉRIE E EM PARALELO

• Se os indutores forem dispostos suficientemente afastados um do outro de modo que não interajam eletromagneticamente entre si, os seus valores podem ser associados exatamente como se associam os resistores. Se um certo número de indutores for ligado em série (fig. 6). indutância total LT será a soma das indutâncias individuais, ou

•  • Série:• LT = L1 + L2 + L3 + .......+ Ln eq. 1-9•  • LT = L1 + L2 2 LM Equação 10•  

•  • Se duas bobinas ligadas em série forem colocados

muito próximas uma da outra de tal forma que suas linhas de campo magnético se interliguem, a sua indutância mútua produzirá um efeito no circuito, Neste caso, a indutância total será

• onde LM é a indutância mútua entre as bobinas. O sinal mais (+) na Eq. (10) é usado se as bobinas forem dispostas em série aditiva, enquanto o sinal menos (-) é usado quando as bobinas são dispostas em série subtrativa. A série aditiva indica que a corrente comum produz o mesmo sentido de campo magnético para as duas bobinas. A ligação em série subtrativo produz em campos opostos.

•  

• A Fig. 7 mostra uma representação descritiva e esquemática de três formas diferentes de se arranjar as bobinas L1 e L2. Na Fig.7a, as bobinas são colocadas muito distantes uma da outra, o que impede uma interação eletromagnética, Não há .indutância mútua, portanto LM é zero. A indutância total é LT = L1 + L2 Na Fig.7b, as bobinas são colocadas bem próximas e possuem enrolamentos no mesmo sentido, como indicam as pintas pretas, As bobinas estão dispostas na forma de série aditiva, logo LT = L1 + L2 + 2LM. Na Fig.7c, os enrolamentos das bobinas têm sentidos opostos, portanto as bobinas estão dispostas na forma de série subtrativa, e L T = L1 + L2 - 2LM.

• As pintas grandes acima da bobina (Fig.7b e c) indicam a polaridade do enrolamento sem ter que mostrar a construção física real. As bobinas com pintas na mesma extremidade (Fig.7b) têm a mesma polaridade ou o mesmo sentido de enrolamento. Quando a corrente entra pelas extremidades onde estão as pintas em L1 e L2, os seus campos estão se somando e LM tem o mesmo sentido de L,

• Se os indutores forem colocados suficientemente afastados um do outro, de modo que a sua indutância mútua seja desprezível (LM = 0), as regras paras associação de indutores em paralelo serão as mesmas que para os resistores, Se um certo número de indutores for ligado em paralelo (fig. 8), a sua Indutância total LT será

•  •  

• Paralelo:

•  

• 1/LT = 1/L1 + 1/L2 + 1/L3 + .......+ 1/Ln

Equação 11

Figura 7 L1 e L2 em série com

acoplamento mútuo LM

Figura 8 indutância em paralelo sem acoplamento

mútuo

• A indutância total de duas bobinas ligadas em paralelo é dada por

• LT = L1L2 / L1 + L2 eq. 12

•  • Todas as indutâncias devem ser dadas nas

mesmas unidades. As formulas simples usadas para o cálculo de R em paralelo podem ser usadas para L em paralelo, Por exemplo, se dois indutores de 8 mH forem associados em paralelo, a indutância total será L = L/n = 8/2 = 4 mH

•  

• Exemplo.9• Duas bobinas de choque de 10 e de 12

H, usadas para limitar a corrente num circuito, estão associadas em série, Inicialmente elas estão bem afastadas uma da outra. Qual a indutância total ?

• LT = L1 + L2

• = 10 + 12 = 22 H

• Exemplo 10 • As duas bobinas de choque do Exemplo 9 são agora

colocadas próximas• uma da outra de modo a se acoplarem através do

uma indutância mútua de 7H. Qual o valor da indutância total se (a) as bobinas forem enroladas no mesmo sentido, e (b) os bobinas foram enroladas em sentidos opostos?

•  • (a) Série aditiva:•  • LT = L1 + L2 + 2 LM

• = 10 + 12 + 2(7) = 22 + 14 = 36H• . (b) Série subtrativa:

• (b) Série subtrativa:

• LT = L1 + L2 - 2 LM

• = 10 + 12 – 2(7) = 22 – 14 = 8 H

•  Exemplo l1

• Qual a indutância total de dois indutores em paralelo com valores de 8 e 12H

• LT = L1L2 / L1 + L2

• = 8 (12) / 8 + 12 = 4,8 H

•  

• Exemplo 12. • Um indutor de 6 H e outro de 22 H estão ligados

em série e conectados a uma tomada de 120 V ca e 60 Hz. Suponha que as suas resistências sejam desprezíveis e que eles não possuam indutância mútua. Quais as suas reatâncias indutivas e que corrente eles consomem?

• LT = L1 + L2 = 6 + 22 = 28 H

• XL = 6,28 L = 6,28 (60)(28) = 10550

• IL = VL /XL = 120 / 10550 = 0,0114 A ou 11,4 mA

•  

• Circuitos Indutivos• Somente Indutância• Se numa tensão ca, v foi- aplicada a um circuito que

tenha somente indutância (Fig..9a), a corrente ca resultante que passa pela indutância, iL, estará atrasada com relação à tensão da indutância, vL, de 90° (Fig. 9b e c). As tensões v e vL são iguais porque a tensão total aplicada sofre urna queda somente através da indutância. Tanto iL quanto vL são senóides de mesma freqüência. Os valores instantâneos são representados por letras minúsculas como i e v; as letras maiúsculas como I e V indicam valores de rms cc ou ca.

A ) Diagrama esquemático

(b) diagrama de tempo : iL atrás de 90°de vL

c) diagrama de fasoresfigura 9 Circuito somente com L

• RL em Série

• Quando uma bobina tem urna resistência em série (Fig. 10 a), a corrente rms I é limitada tanto por XL quanto por R. O valor, de I é o mesmo em XL e em R, uma vez que as duas estão em série. A queda de tensão através de R é VR = IR, e a queda de tensão através de XL é VL = I XL. A corrente I através de XL deve estar 90° atrasada em relação a VL, pois este é o ângulo de fase entre . corrente através da Indutância e a sua auto-indutância (figura 10 b) A corrente I através de R e a sua queda de tensão IR estão em fase, portanto o ângulo de fase é 0°

Figura 10 R e XL em série

• Para associar duas formas de onda fora de fase, Somamos seus fasores equivalentes. .O método consiste em se acrescentar a extremidade de um fasor à ponta da seta do outro utilizando o ângulo para indicar a sua fase relativa, A soma dos fasores produz um fasor resultante que parte da base de um fasor e vai até a extremidade da seta do outro. Como os fasores VR e VL formam um ângulo reto, o fasor resultante é a hipotenusa de um triângulo retângulo (Fig.11). Da geometria de um triângulo retângulo, o teorema de Pitágoras afirma que a hipotenusa é igual à raiz quadrada da soma dos quadrados dos catetos. Portanto, a resultante fica

• VT = V2R + V2L eq. 1-13

• Onde a tensão total VT é o fasor soma das duas tensões VR e VL que estão 90 fora de fase Todas as tensões devem ser expressas nas mesmas unidades, sejam valores de rms, valores e pico, ou valores instantâneos Por exemplo, quando VT for um valor de rms, VR e VL também serão de valores rms. A maioria dos circuitos em ca será dado era unidades de rms.

• O ângulo de fase entre VT e VR (fig. 11) é

•

• tg = VL / VR

• = arctg VL / VR eq. 1-14

Figura 1=11 Triângulo de fasores de tensão

• Como VL está em fase com I, também é o ângulo de fase entre VT e I, onde I está atrasado, em relação à VT.

• Exemplo 13 Um circuito ca com RL em série tem uma corrente de 1 A de pico com R = 50 e XL = 50 (Fig. 12a). Calcule VR, VL, VT e Faça o diagrama de tempo entre i, vR, vL e vT .

• VR = IR= 1 (50) = 50 V de pico

• VL = IXL = 1 (50) = 50 V de pico

• Como (fig. 12b) • VT = V2R + V2L• 502 + 502 = 2500 + 2500 =

5000 = 70,7 V de pico• = arctg VL / VR = arctg 50/50 =

arctg 1 = 45• Num circuito série como I é a mesma em R

e em XL é conveniente representar I como . o fasor do referência em 0º O digrama de fasores está representado na Fig. 12c e o diagrama de tempo na fig. 12d.

• Diagrama de Tempo figura 1-12

• Impedância RL série

• A resultante da adição dos furtes R e XL é chamada de impedância O símbolo que representa a impedância é Z. A impedância é a reação total ao fluxo da corrente, expressa em ohms. O triângulo de impedância (Fig. 13) corresponde ao triângulo de tensão (Fig. ll), mas o fator comum I se cancela. As equações para a impedância e para o ângulo de fase são deduzidas da seguinte forma

• V2T = V2R + V2L

• (IZ)2 = (IR)2 + (IXL )2

• Z2 = R2 + X2L

• Z = R2 + X2L eq. 1-15

• Tg = XL / R

• = arctg XL / R

Fig. 13 Soma dos fasores R a XL para se determinar Z

• Exemplo 14 Se um R de 50 e um XL de 70

estiverem em série ao se aplicar 120 V aos seus terminais (Fig.14a), quais serão os valores de: Z, , I, VR e VL ? Qual o ângulo de fase de VL, VR e VT

com relação a I ? Prove que a sorna das quedas de tensão em série é igual à tensão aplicada VT. '

• 1o Passo Calcule Z e (veja fig. 14b)

• Z = √R2 + XL2

• = √502 + 702 = √2500 + 4900 = √ 7400 = 86

• = arctg XL/ R

• = arctg 70/50 = arctg 1,40 = 54,5o

VT está adiante de I de 54,5o

( ver figura 14c)

• 2o Passo Calcule I, VR, e VL

• I = VT / Z = 120 /86 = 1,40 A•  • VR = IR = 1,4 (50) = 70 V•  • VL I XL = 1,4 (70) = 98 V•  • I e VR estão em fase. VL está adiantado de I de

90° (veja a Fig.14d).•  • 3o Passo Mostre que VT é o fasor soma de VR e

VL

• fig.-14e)• VT = V2

R + V2L

• = (70)2 + (98)2 = 14,504 = 120 V

•  • (A resposta não dá exatamente 120 V em

virtude do arredondamento de I.) Consequentemente, a soma das quedas de tensão é igual à tensão aplicada.

•  

• RL Paralelo• Para circuitos paralelo contendo R e XL (Fig.15 a), a mesma

tensão aplicada VT passa através de R e de XL pois ambas estão em paralelo com VT. Não há diferença de fase entre estas tensões. Portanto, VT será usado como o fasor de referência. A corrente no ramo resistivo IR = VT/R está em fase com VT. A corrente no ramo indutivo IL = VT/XL está atrasada em relação a VT de 90° (Fig. 15b) porque a corrente numa indutância está atrasada em relação à tensão através dela de 90°. O fasor soma de IR e IL é igual à corrente total da linha IT (Fig.15C), Ou

• IT = I2R + I2L equa 17•• Tag = -Il / IR •• = arctg ( - IL/ IR) equa 18

• c) Triângulo de fasores da corrente• Figura 15 R e XL paralelo• Exemplo l5 Um circuito ca com RL

paralelo têm uma tensão de pico de 100 V aplicada através de R = 20 e XL = 20 (Fig. 16a). Calcule, IR, IL e . (fig.-16b) Desenhe os diagramas de fasores e de tempo de vT, iR, iL.e iT.

a) Circuito RL paralelo (b)

c) diagrama de fasoresFigura -16

• Como VT é o mesmo através de todo o circuito em paralelo, VT aparece como o fasor de referência em 0º IT está atrás de VT de 45°. (Veja a Fig. 16.c). Para diagrama de tempo, observe a Fig. 16d. ;

• Impedância em RL Paralelo• Para o caso geral do cálculo da impedância total ZT de R

e XL em paralelo, suponha um número qualquer para a tensão aplicada VT, pois no calculo de ZT em função das correntes de ramo, o valor de VT se cancela. Um valor conveniente a ser admitido para VT é o valor ou de R ou de XL, independentemente de qual seja o número mais alto. Este constitui apenas um método entre outros, que dão o valor no ZT. ,

• Exemplo 16 • Qual a impedância de ZT de um R de 200 em paralelo com XL de

400 ? Suponha que a tensão aplicada VT seja de 400 V. • IR = VT / R = 400/200 = 2 A• IL = VT / XL = 400/400 = 1 A• IT = √ IR2 + IL2 = 4 + 1 = 5 = 2,24 A• ZT = VT /IT = 400/2,24 = 178,6• A impedância da associação de R de 200 em paralelo com XL de

400 é igual a 178,6 independentemente do valor da tensão aplicada. A impedância da associação deve ser menor do que o número de ohms dos ramos em paralelo. A impedância total de um circuito RL paralelo não é igual à do circuito RL série; isto é, ZT R2 + X2L, porque a resistência e a reatância indutiva se combinam para apresentar uma condição de carga diferente com relação á fonte de tensão

• Q DE UMA BOBINA•• O fator qualidade Q de uma bobina é dado pela equação•• Q = XL/ Ri = 6,28 L / Ri eq.19• onde Ri é a resistência interna da bobina igual á resistência do fio da

bobina (Fig. 17). Q é um valor numérico sem unidade, uma vez que os ohms se cancelam na razão entre a reatância e a resistência. Se o valor de Q de uma bobina for de 200, isto quer dizer que o XL, da bobina é 200 vezes maior do que o seu Ri.

• O Q de urna bobina pode variar de menos de l0 para uma bobina de baixo Q até 1.000 para uma bobina de Q muito alto. As bobinas de radiofrequência (Rf) têm um Q de cerca de30 a 300. .

• Como exemplo, se uma bobina tiver um XL de 300 e um Ri de 3 , ela terá um Q de 300/3 = 100.

Figura.17 Diagrama esquemático do Q de um bobina XL e Ri são distribuídos uniformemente

ao longo do comprimento da bobina

• POTÊNCIA EM CIRCUITOS RL• 'Num circuito ca com reatância indutiva, a corrente da linha

I segue atrás da tensão aplicada V. A potência real P é igual à tensão multiplicada somente por aquela parte da corrente da linha que está em fase com a tensão. Portanto,

• Potência Real P = V ( I cos ) VI cos eq. 20

• onde é o ângulo de fase entre V e I e cos é o fator de potência (FP) do circuito. Além disso,

• Potência Real P = I2 R eq. 21

• Onde R é a componente resistiva total do circuito.

• A potência aparente Q em voltampéres reativos (VAR), é expressa da seguinte forma:

• Potência reativa Q = VI sen eq.22

• A potência aparente S é o produto de V X I. A unidade é voltampéres (VA). Na forma de equação

• Potência aparente S = VI eq.23

• Em todas as fórmulas de potência, V e I são dados por valores de rms. A relações entre potência real, reativa e aparente podem ser ilustradas através de diagrama de fasores de potência (Figura 18).

 Figura 18 Triângulo de

potência para um circuito RL

• Figura 18 Triângulo de potência para um circuito RL• exemplo.17 O circuito ca (Fig. 19 .a) tem 2 A através de

um R de 173 em série com um XL de 100 . Calcule o fator. de potência, a tensão aplicada V, a potência real P, a potência reativa Q e a potência aparente S.

• 1o Passo Calcule o ângulo de fase , cos , e a impedância Z pelo triângulo de impedância. Figura 19b

• = arctg XL / R = arctg 100 / 173 = arctg 0,578 = 30

• FP = cos = cos 30 = 0,866• Z = R / cos = 173 / cos 30 = 200• Uma forma alternativa de se calcular Z é através da

aplicação de equação Z = R2 + X2L

a) Potência em circuito RL série b) Triângulo de impedância

• figura 19•  • 2o Passo Calcule V• V = IZ = 2 x 200 = 400V•  • 3o Passo Calcule P•  • P = I2R• P = 22 x 173 = 692 W• Ou P = VI cos• P = 400 x 2 x cos 30 = 692 W•  • (equação 21 ) ( equação 20)•  

• Nos dois cálculos de P, a potência real é a mesma porque esta é .a quantidade de potência fornecida pela fonte de tensão e é dissipada na resistência . A reatância indutiva simplesmente transforma a potência do volta para o circuito. Pode-se usar qualquer das duas fórmulas para P, dependendo apenas de qual for a mais conveniente.

•  • 4o Passo Calcule Q e S• Q = VI sen• = 400(2)(sem 30o )= 400 VAR• (equação 22)•  • Num circuito indutivo, a potência reativa está atrasada

porque I segue atrás de V.

• S=VI

• =400(2)= 800 VA

• (equação –23)

• Veja a Fig 19c.

• Tabela Resumida para CircuitosRL Série e Paralelo

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