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1 JURO E MONTANTE JURO ocustodocrditoouaremuneraodocapitalaplicado.Isto,ojuroo pagamento pelo uso do poder aquisitivo por um determinado perodo de tempo.O custo da unidade de capital no perodo a conhecida TAXA. TAXAS DE JUROS O juro determinado atravs de um coeficiente referido a um dado intervalo de tempo.Talcoeficientecorresponderemuneraodaunidadedecapitalempregadopor um prazo igual quele da taxa. Exemplos: 15%ao ano =15% a.aEm um ano o capital empregado render 15 partes de 100 deste capital. Observao As taxas de juros so apresentadas de dois modos: Percentual ou unitria. Isto 15% a.a (15/100)0,15 a.a 8% a.t (8/100)0,08 a.t 2% a.m (2/100)0,02 a.m CLCULO DE JUROComo: -Simples -Composto JUROS SIMPLES (j) Quandooregimedejurossimples,aremuneraopelocapitalinicialaplicado (tambmchamadodeprincipal)diretamenteproporcionalaoseuvaloreaotempode aplicao.O fator de proporcionalidade a taxa de juros. Supondo que um capital C apresenta um rendimento der% ao perodo.Qual seria o juro ganho em n perodos? j1 = C.i.1 j2 = C.i.1 j3 = C.i.1 . . .jn = C.i.1 j = C.i.n Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

2 Observaes: 1-i = r% / 100 2-A taxa e os perodos tm que estar na mesma unidade de tempo Exemplo: Quantorendeumcapitalinicial(principal)deR$5.000,00aplicadotaxade3%ao trimestre por um prazo de 2 anos? ou Soluo C = 5.000 C = 5.000 i= 0,03 a.ti = 0,03x4 = 0,12 a.a n = 2 anos = 8 trim.n = 2 a Logo Logo j = C.i.nj = 5.000x0,12x2 j = 5.000x0,03.x j = R$1.200,00 j = R$1.200,00 MONTANTE Define-secomomontantedeumcapital,aplicadotaxaiepeloprazodenperodos, como sendo a soma do juro mais o capital inicial. Sendo C o principal, aplicado por n perodos e taxa de juros i, teremos o montante (N) como sendo: N = C + J N = C + C.i.n Poderamos ter: 1 1.NCn=+

1NCin=

1NCni= N = C( 1 + i.n) N = C( 1 + i.n) Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

3 Exemplo Qual o montante de um capital de R$2.000,00 aplicado taxa de 8% a.a. pelo prazo de 2 anos? Soluo:ou N = C + J C = 2.000 N = C + C.i.n i= 0,08 (=8/100) N = 2.000 + 2.000x0,08x2 n = 2 anos N = 2.000 + 320 N = R$2.320,00 Logo N = C( 1 = i.n) N = 2.000( 1 + 0,08x2)N = 2.000( 1 + 0,16) N = 2.000x1,16 N = R$2.320,00 TAXAS PROPORCIONAIS Consideremosduastaxasdejurosarbitrriasi1ei2,relacionadasrespectivamenteaos perodos n1 e n2, referidos unidade comum de tempo das taxas. Estas taxas se dizem proporcionais se houvera igualdade de quocientedas taxas com o quociente dos respectivos perodos i1.n2= i2.n1 1 21 2i in n= Exemplo Sendo dada a taxa de juros de 18% a.a., determinar a taxa proporcional mensal. Soluo:

18 1218 = i2 == 1,5% a.m. i2112 Esteproblema(achar-seataxaproporcionalaumafraodeperodo)mereceser estudadocomumpoucomaisdecuidado.Sendoiataxadejuroscorrespondentea1 perodoeadmitindo-sequequeremosdeterminarataxaproporcionalimcorrespondente frao 1 / m de um perodo, tem-se: 1 12 2i ni n= 1 12 2i ni n= Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

4 1 1/m 1/m 1/m Ouseja,ointervalodetempounitriocorrespondetaxadejurosifoidivididoemm partes iguais. Teremos ento: i1 = i i2 = im = ? n1 = 1 n2 = 1 / m Como i 1 i =im = im 1 / mm Exerccio Sendodada a taxa de 18% ao ano, determinar: a)a taxa semestral b)a taxa trimestral c)a taxa bimestral d)a taxa quadrimestral TAXA EQUIVALENTE Duastaxassedizemequivalentesse,aplicadoummesmocapitalsduastaxasepelo mesmo intervalo de tempo, ambas produzem o mesmo juro. ExemploSeja um capital de R$3.000,00 que pode ser aplicado alternativamente taxa de 2% a.m. ou 24% a.a.A um prazo de aplicao de 3 anos, verifique se as taxas so equivalentes. Soluo j1 = 3.000x0,02x36 =R$2.160,00 j2 = 3.000x0,24x3=R$2.160,00 1 12 2i ni n= Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

5 Logo as taxas: 2% a.m. e 24% a.a. so taxa equivalentes. Daconclui-seque:EMJUROSSIMPLESTAXASEQUIVALENTESSO PROPORCIONAIS. PERODOS NO INTEIROS Exemplo Qual o juro do capital de R$2.000,00 que aplicado taxa de juros simples de 9% ao semestre, pelo prazo de 2 anos e 3 meses? Soluo ou C = 2.000 i= 0,09 a.s. j = 2.000x0,09x4,5 n = 2 anos e 3 m eses = 4,5s. j = R$810,00 j1 = 2.000x0,09x4=R$720,00 j2 = 2.000x0,09x1/2 =R$90,00 logo j = j1 + j2 = 720,00 + 90,0=R$810,00 JURO EXATO E JURO COMERCIAL JURO EXATO:Chama-sejuroexatoaquelequeobtidoquandooperodonestexpressoemdiase quando adotada a conveno de ano civil (365 dias) JURO COMERCIAL: Chama-sejurocomercial(ouordinrio)ojuroquecalculadoquandoseadotacomo base o ano comercial(360 dias) e que o perodo n est expresso em dias: Exemplo Dada a taxa de 24% a.a.,calcule o juro exato e o comercial de um capital de R$800,00 aplicado por 50 dias. Soluo . .365eCi nj =. .360cCi nj = Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

6 C.i.n800x0,24x50 Je = == R$26,67 360360 C.i.n800x0,24x50 Jc= =R$26,30 365365

VALOR NOMINAL E VALOR ATUAL (PRESENTE) VALOR NOMINAL (N) quantovaleumcompromissonadatadoseuvencimento.Seapsovencimentoo compromissonoforsaldado,entendemosqueomesmocontinuartendoseuvalor nominal acrescido de juros e de eventuais multas por atraso. VALOR ATUAL OU PRESENTE ( C ou An) o valor que um compromisso tem em uma data que antecede seu vencimento. Exemplos1-ConsiderequeumapessoapossuihojeaquantiadeR$4.000,00.Qualserovalor futuro se a pessoa aplicar esta importncia taxa de 2% a.m., daqui a 5 meses? SoluoN 4.000 05 meses N = C( 1 + i.n) =4.000(1 + 0,02x5)=4.000(1 + 0,1)= 4.000x1,1=R$4.400,00 2-Vamosadmitirqueumapessoaaplicouhojeumacertaquantiaequerecebeu,pela aplicao,umttuloqueirvalerR$24.000,00daquia12meses.Qualseriaestevalor, hoje, sabendo que a taxa de mercado de 5% a.m? N = 24.000 Soluo C 012 meses Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

7 Temos que: N = C(1 + i.n) 24.000=C(1 + 0,05x12) 24.000=C(1 + 0,6) 24.000=Cx1,6 24.000 =C C=R$15.000,00 1,6 EXERCCIOS 1-Calcular a taxa quadrimestral proporcional s seguintes taxas: a)21% a.a. b)33% ao binio c) 10% a cada cinco meses. 2-Determinar a taxa proporcional referente a 5 meses, dadas as taxas seguintes: a)1% a.m. b)2,5% ao bimestre c)12% a.s. 3-Calcular o juro simples e o montante de: a)R$500,00 a 25% a.a. por 8 meses. b)R$2.200,00 a 30,2% a.a. por 2 anos e 5 meses. c)R$3.000,00 a 34% a.a. por 19 meses. 4-Qual a taxa de juro simples que, de um capital de R$1.200,00, gera um montante de: a)R$1.998,00 em 3 anos e 2 meses b)R$1.470,00 em 10 meses. c)R$2.064,00 em 1 Ano e 8 meses. 5-Qual o capital que rende: a)R$150,00 a 18% a.a. em 10 meses b)R$648,00 a 21,6% a.a. em 2 anos e 6 meses. c)R$1.500,00 a 30% a.a. em 3 anos e 4 meses. 6-Em quanto tempo um capital de R$10.000,00 aplicado a 26,4% a.a. a)render R$4.620,00 b)elevar-se- R$16.160,00 7-Qual a taxa bimestral equivalente a 28,2% a.a.? 8-Calcular o juro comercial e o exato das seguintes propostas: a)R$800,00 a 20% a.a. por 90 dias. b)R$1.100,00 a 27% a.a. por 135 dias. Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

8 9-Qualovalornominaleadatadevencimentodecadaumdoscompromissos abaixo (juro comercial): a)R$1.000,00 em 12/02 para 90 dias a 25% a.a. b)R$1.500,00 em 20/04 para 180 dias a 28% a.a. c)R$2.400,00 em 06/01 para 8 meses a 30% a.a. 10- SetenhoumttulocomvalornominaldeR$15.000,00comvencimentodaquia2 anoseataxadejuroscorrentede28%a.a.,qualovaloratualdessettulonas seguintes datas: a)hoje. b)Daqui a 1 ano. c)4 meses antes de seu vencimento. 11- Ovalornominaldeumttuloigualaodobrodeseuvalordeface(valorda aplicao).Sabendo-se que a taxa de juros corrente de 12,5% a.a., qual o prazo da aplicao? 12- Seovaloratualforiguala2/3dovalornominaleoprazodeaplicaoforde2 anos, qual ser a taxa de juros considerada? 13- UmalojaofereceemrelgioporR$3.000,00avistaoupor20%dovaloravista como entrada e mais um pagamento de R$2.700,00 aps 6 meses. Qual a taxa de juros cobrada? 14- JooemprestouR$20.000,00deCarlosparapag-loaps2anos.Ataxaajustada foi de 30% a.a.Quanto Carlos poderia aceitar, se 6 meses antes do vencimento da dvida Joo quisesse resgata-la e se nesta poca o dinheiro valesse 25% a.a.? DESCONTOS Quando se faz uma aplicao com vencimento pr-determinado, o aplicador: -Recebe um compromisso da aplicao -Que uma nota promissria -Ou uma letra de cmbio => Obter parte do principal e dos juros, em troca do ttulo, uma operao de desconto Uma empresa faz uma venda a prazo, com vencimento pr-determinado: -Recebe do comprador uma duplicata => a empresa pode ir a um banco e transferir a posse da duplicata em troca de dinheiro. Esta uma operao de descontar uma duplicata. DESCONTO RACIONAL OU DESCONTO POR DENTRO Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

9 o desconto obtido pela diferena entre o valor nominal e o valor atual de um compromisso que seja saldado n perodos antes do seu vencimento. Desconto: quantia a ser abatida do valor nominal. Valor descontado: a diferena entre o valor nominal e o desconto. Sendo: N: valor nominal ( ou montante) Vr:valor atual ( ou valor descontado racional) n:nmero de perodos antes do vencimento i: taxa nominal de desconto. Dr: valor do desconto racional. Temos: N = C(1 + i.n) N = Vr(1 + i.n) 1 .rNVi n=+ Logo teremos: Dr = N Vr=N-1 .Ni n += (1 )1 1N in N N Nin Nin in+ + =+ + Exemplo UmapessoapretendesaldarumttulodeR$5.500,003mesesantesdeseu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente de 40% a.a. a)Qual o desconto racional? b)Quanto vai obter(valor atual)

Soluo Dr Vr N 03 a) 0,15.500 3. .3$500, 000,11 .1 33rx xN i nD Ri nx= = =++ b) Vr = N Dr = 5.500,00 500,00=>Vr = R$5.000,00 . .1 .rN i nDi n=+ Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

10 DESCONTO COMERCIAL OU DESCONTO POR FORA aquelevalorqueseobtmpeloclculodojurosimplessobreoVALORNOMINAL do compromisso que seja saldado n perodos antes de seu vencimento. Isto : Dc = N.i.n Valor Atual Comercial (Vc) Vc = N Dc=N N.i.n =>Vc=N(1 i.n) Exemplo Consideremos o exemplo do item anterior, em que o ttulo de R$5.500,00 descontado taxa de 40% a.a. 3 meses antes do vencimento. Soluo; VcDc

N 03 a) 5.500,00x0,40x3 Dc = N.i.n= = R$ 550,00 12 b) Vc = N(1 i.n)=5.500,00(1 (0,40/12)x3) Vc=5.500,00x0,90 Vc=R$4.950,00 Ento essa pessoa vai receber R$4.950,00 pelo desconto comercial, que menor que R$5.000,00 que receberia se o desconto fosse racional Neste caso a instituio financeira ganha R$550,00 sobre o valor de R$4.950,00 em 3 meses, e a taxa de juros da operao : j=C.i.n i=550.0,4/4.950,00 i=44,44% Note ento que, no desconto comercial preciso distinguir entre a taxa de desconto utilizada na operao e a taxa implcita que cobrada de fato.Isto taxa efetiva de juros. Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

11 A taxa efetiva de juros ser aquela que conduz pelo desconto racional ao mesmo valor calculado pelo desconto comercial Vejamos! A que taxa de desconto racional, corresponde 30% a.a.no desconto comercial, no perodo de 6 meses antes do vencimento de um ttulo? Tomemos como: ir = taxa no desconto racional ic = taxa no desconto comercial Dc = Dr Vc = Vr 1 . 1 1(1 . ) 1 . .1 . 1 . 1 .cc r rr c ci n NN i n i n nii n i n i n+ = + = =+ Isto : No exemplo acima temos que: 0, 30 0, 30 0, 300, 3529 35, 29% . .1 . 1 0, 30 05 1 0,15 0,85crcii a ai n x= = = = = = Isto quer dizer que a taxa efetiva de 35,29% a.a. no desconto racional.E 30% a.a. seria uma taxa nominal. Exerccios 1-Determinar o desconto racional das seguintes hipteses: Valor NominalTaxa Prazo at Vencimento a) R$10.000,00 23% a.a. 3 meses b) R$7.500,00 29%a.a.100 dias c) R$8.200,00 20,5% a.a.1 ano e 2 meses 2- Determinar o valor atual racional dos seguintes ttulos: Valor Nominal TaxaPrazo at Vencimento a) R$20.000,0015,9% a.a.50 dias b)R$12.500,00 21% a.a.125 dias c)R$6.420,00 30% a.a. 8 meses 3-Quanto devo pagar por um ttulo no valor nominal de R$15.000,00 com vencimento em 150 dias se quero ganhar 36% a.a.? 4- Se o desconto racional concedido for de R$57,63, qual ser a taxa considerada, uma vez que o valor nominal de R$600,00 e o perodo de antecipao 5 meses? 1 .crciii n= Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

12 5- Um ttulo de valor nominal R$1.300,00 foi resgatado antes de seu vencimento, sendo por isso bonificado com um desconto racional de R$238,78.Considerando a taxa de 27% a.a., qual foi a antecedncia? 6- O valor atual de uma promissria de R$1.449,28, tendo sido adotada a taxa de 18% a.a. Qual ser o prazo de antecedncia, se o desconto racional for de R$50,72? 7- Um ttulo cujo resgate foi efetuado 145 dias antes do vencimento foi negociado taxa de 23% a.a.Qual era o valor nominal do ttulo, uma vez que o valor atual racional recebido foi de R$1.921,95? 8- Calcular o desconto comercial da hipteses seguintes: Valor NominalTaxa Prazo at Vencimento a)R$12.500,00 37% a.a. 250 dias b)R$18.000,00 35% a.a. 3 meses c)R$20.000,00 28% a.a. 8 meses 9- Determinar o valor descontado (Valor atual comercial) das hipteses apresentadas no exerccio anterior. Exemplo- Dois ttulos de 100 u.m. exigveis em 3 e 4 meses, respectivamente, sero substitudos por dois novos ttulos, de mesmo valor nominal, para 5 e 6 meses, respectivamente.Sendo de 9%a.a. a taxa, calcular o valor nominal dos novos ttulos. Soluo i = 9%a.a. = 0,09: 12=0,0075 a.m. 100100 0123456 X X Obs. A soma dos valores atuais do ttulos que sero substitudos, ser igual a soma dos valores atuais dos ttulos quesubstitutos. A(3) + A(4)=A(5) + A(6) 100(1 0,0075.3)+100(1 = 0,0075.4)=X(1 0,0075.5)+x(1 0,0075.6) 97,50+97,00=X.0,9625+X.0,955 194,75=X(0,9625+0,955) 194,50=X.1,9175 X = 194,75 / 1,9175 X=101,56 u.m. Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

13 10- Um ttulo de valor nominal igual a R$ 3.150,00 para 90 dias dever ser substitudo por outro para 150 dias. Calcular o valor do novo ttulo, taxa de 2,5% ao ms.

DESCONTO BANCRIO: (Db) Sendo i a taxa de desconto comercial, h a taxa de despesas administrativas e n o nmero de perodos antes do vencimento do ttulo de valor nominal N, teremos: VALOR ATUAL NO DESCONTO BANCRIO: (Vb) Vb = N Db= N N(i.n + h)=N[1 (i.n + h)]=> Exemplo UmttulodeR$5.500,00foidescontadonoBancoX,quecobra2%comodespesas administrativas.Sabendo-se que o ttulo foi descontado 3 meses antes do vencimento e que a taxa do desconto comercial de 40% a.a. a)Qual o desconto bancrio? b)Quanto recebeu o proprietrio do ttulo: Soluo: a)i = 0,40 a.a. h = 0,02 Db= N(i.n + h)=5.500,00(0,40x3/12 + 0,02)=5.500,00x0,12 Db = R$660,00 b)Vb = N[1 (i.n + h)]=5.500,00[1 0,40x3/12 + 0,02]=5.500,00(1 0,12) Vb = 5.500,00x0,88 Vb = R$4.840,00 Comparando a taxa i i = j / C=660 / 4.840,00=0,1364 ao trimestre i = 0,1364x4 = 0,5455 Db = N(i.n + h) Vb = N[1-(i.n + h)] Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

14 i = 54,55% a.a. (Taxa efetiva) Exerccios 1-PorumemprstimodeR$5.000,00a4mesesJoorecebeuR$4.291,67.Tendo perguntadoaogerentequalforataxadejurosempregada,esselhegarantiuqueerade 24,5% a.a..Qual foi a taxa de servio cobrada? 2-UmemprstimodeR$4.000,00foiretiradodeumbancocujataxaadministrativaede 2,5%.Se o desconto bancrio fossede R$564,00 e a taxa de juros 27,84% a.a., qual seria o prazo contratado para tal emprstimo? 3- O Banco Alfa cobra 2% de taxa de servio e como taxa de juros emprega 26% a.a.Qual odescontobancriodeumttulocomvalornominaldeR$3.000,00evencimentoa4 meses?Qual a taxa efetiva? JUROS COMPOSTOS Noregimedejuroscompostos,quetemgrandeimportnciafinanceiraporretratar melhorarealidade,ojurogeradopelaaplicaomesmataxapassandoaparticiparda geraodejurosnoperodoseguinte.Dizemosentoqueosjurossocapitalizados,e comonosocapitalinicialrendejurosmasestessodevidostambmsobreosjuros formados anteriormente, temos o nome de juros compostos. COMPARAO ENTRE JUROS SIMPLES E COMPOSTOS Exemplo Seja um principal de R$2.000,00 aplicado taxa de 10% a.a.por um perodo de 4 anos a juros simples e composto. A tabela a seguir ilustra a situao: Juros simples Juros compostos nJuro/perodoMontanteJuro/perodoMontante 12.000x0,1 = 200,00 2.200,002.000x0,1 = 200,00 2.200,00 22.000x0,1 = 200,00 2.400,002.200x0,1 = 220,00 2.420,00 Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

15 32.000x0,1 = 200,00 2.600,002.420x0,1 = 242,00 2.662,00 42.000x0,1 = 200,00...2.800,00..2.662x0,1 = 266,20...2.928,20 O grfico a seguir permite uma comparao visual entre os montantes no regime de juros simples e de juros compostos.Verificamos que aformao do montante em juros simples linear e em juros compostos exponencial. Montante Juros compostos Juros simples 2.000 01234 perodos MONTANTE Imagine um capital inicial Co aplicado n perodos taxa fixa i por perodo, ento o montante ser dado pela expresso: C1 = Co + Co.i.1 = Co(1 + i) C2 = C1 + C1.i.1 = C1(1 + i) = Co(1 + i).(1 + i)= Co(1 + i) C3 = C2 + C2.i.1 = C2(1 + i) = Co(1 +i).(1 + i) = Co(1 + i) . . . APLICAES 1-Qual o montante a ser devolvido, quando uma pessoa toma R$15.000,00 emprestado a juros de 3% a.m. pelo prazo de 8 meses Cn = Co(1 + i)n Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

16 2- Qual o juro pago no caso do emprstimo de R$15.000,00 taxa de juros compostos de 3% a.m. pelo prazo de 8 meses? 3- Qual a taxa mensal de juros recebida por um emprstimo que aplica R$1.000,00 e resgata o montante de R$1.340,10 em 6 meses? 4- Em quanto tempo um capital dobrar de valor a 24% a.a. capitalizados mensalmente? Exerccios 1- Qual o montante gerado por um capital de R$1.000,00 aplicado pelos prazos e taxas abaixo: a) 1% a.m.- 12 meses b) 3% a.t.- 3 anos c) 5% a.s.-5 anos d)1% a.a.-2 anos. 2- Que juro receber uma pessoa que aplique R$3.000,00 conforme as hipteses abaixo: a) 2% a.m. - 1 ano b) 7% a.s. - 36 meses c) 150% a semana - 21 dias 3- Certa pessoa pretende comprar uma casa por R$50.000,00, daqui a 6 meses.Quanto deve aplicar esta pessoa hoje para que possa comprar a casa no valor e prazo estipulado, se a taxa de juros for: a)3% a.t. b)1% a.m. c)15% a.s. 4- Para ter R$10.000,00 quanto devo aplicar hoje se as taxas e prazos so os seguintes: a)2,5% a.m. -1 semestre b)15% a.q. -4 anos Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

17 5- O preo de um carro R$11,261,62, podendo este valor ser pago at o prazo mximo de 6 meses.Quem optar pelo pagamento a vista beneficia-se de um desconto de 11,2%Qual a taxa mensal de juro cobrada nesta operao? 6- O banco X anuncia que sua taxa para emprstimo pessoal de2,5% a.m..Um cliente retirou R$20.000,00 e quando foi saldar sua dvida o gerente lhe disse que esta importava em R$31.193,17.Quanto tempo levou o cliente para restituir o emprstimo?

TAXAS EQUIVALENTES Taxas equivalentes so taxas de perodos diferentes, que geram um mesmo montante, de um mesmo capital Co a um mesmo prazo n. Vejamos por exemplo Noprazodeumperodo,ataxai,podemosterkcapitalizaes,dentrodoperodo,gerando o mesmo montante.Isto : 1

........................................... 1/k 1/k 1/k Aps 1 perodo, taxa i: C1 = Co(1 + i) Aplicando o mesmo capital Co por k perodos, taxa ik, para que do mesmo montante no mesmo intervalo de tempo da aplicao da taxa anterior, tem-se: Ck = Co(1 + ik)k Para que as taxas sejam equivalentes, devemos ter: C1 =CkPortanto: Co(1 + i)=Co(1 + ik)k ( 1 + i)=(1 + ik)k (converte a taxa do perodo para a taxa do n de capitalizaes dentro do perodo) (converte a taxa do n de capitali- 1 1kki i = + (1 ) 1kki i = + 1 1kki i + = + Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

18 zaes de um perodo para a taxa do perodo). Exemplos: 1- Dada a taxa de juros de 9,2727% a.t., determinar a taxa de juros compostos equivalente. a)mensal b)anual. TAXA EFETIVA E TAXA NOMINAL Taxa de juros nominal quando o prazo de formao e incorporao dos juros ao capital inicial no coincide com aquele a que a taxa se refere.Nesse caso, adota-se a conveno de que a taxa perodo de capitalizao seja proporcional taxa nominal. Exemplo UmbancoemprestaaimportnciadeR$3.000,00por2anos.Sabendo-sequeobanco cobra a taxa de 18% a.a. com capitalizaes mensais, pergunta-se. a)Qual a taxa nominal anual? b)Qual a taxa efetiva anual? c)Qual o montante a ser devolvido no final dos 2 anos? Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

19 EQUIVALNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS Comojfoivistonocasodasoperaesdedesconto,freqenteanecessidadede anteciparoudeprorrogarttulosnasoperaesfinanceiras.svezesqueremossubstituir umttuloporoutroouporvrios.Podemostambmtervriosttulosquequeremos substituir por um nico ou por vrios. Taisquestesdizemrespeito,demodogeral,comparaodevaloresdiferentes referidos a datas diferentes, considerando-se uma dada taxa de juros. Na prtica, estas comparaes so feitas utilizando-se o critrio de juros compostos. DEFINIES: 1- Data focal

Datafocaladataqueseconsideracomobasedecomparaodosvaloresreferidosa datas diferentes. A data focal tambm chamada data de avaliao ou data de referncia. 2- Equao de valor Aequaodevalorpermitequesejamigualadoscapitaisdiferentes,referidosadatas diferentes, para uma mesma data focal, desde que seja fixada uma certa taxa de juros. Em outras palavras, a equao de valor pode ser obtida igualando-se em uma data focal as somas dos valores atuais e/ou montantes dos compromissos que formam a alternativa em anlise. Co =V Cn = N 0 n N = Cn Valor nominal do ttulo na data n Cn = (clculo do valor nominal) V = A = Co Valor atual do ttulo na data 0 (zero) (clculo do valor atual) Exemplos 1- Certa pessoa tem uma nota promissria com valor nominal de R$8.000,00 que vencer em 2 anos.Alm disso, possui R$5.000,00 hoje, que ir aplicar taxa de 2% a.m., durante 2anos.Considerandoqueocustodeoportunidadedocapitalhojede2%a.m.(taxade juros vigente no mercado), pergunta-se: a)Quanto possui hoje? b)Quanto possuir daqui a um ano? (1 )nNVi=+ N = V(1 + i)n Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

20 c)Quanto possuir daqui a dois anos? Soluo xyz 5.000 0 1224 meses 2- Admitamos o conjunto de capitais seguinte: R$1.000,00 em 6 meses, R$2.000,00 em 12 meses, R$5.000,00 em 15 meses, taxa de juros de 3% a.m.Qual o valor atual deste conjunto de capitais na dato focal zero? Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

21 3-Verificarseosconjuntosdevaloresnominaisreferidosdatazero,soequivalentes taxa de juros de 10%a.a. 1conjunto: 2conjunto R$ 1.100,00 em 1 anoR$ 2.200,00em 1 ano R$ 1.420,00em 2 anos R$ 1.210,00em2 anos R$ 1.996,50em 3 anosR$ 665,50 em3 anos R$ 732,05 em 4 anosR$ 2.196,15em 4 anos Soluo Exerccios Propostos: 1- Uma pessoa tem condies de aplicar seu dinheiro a 3,5% a.m. no mercado de capitais.Se um amigo lhe pedir emprestado R$ 12.000,00 por um ano, quanto dever devolver para que sua aplicao seja equivalente neste perodo?

2- Certo aplicador possui em seus haveres dois ttulos, de R$ 4.000,00 e R$ 5.000,00, com vencimentos para 180 e 360 dias.Pretendendo comprar uma mquina de calcular, procura descontarosttulosemumbanco.Ogerente,queseuamigo,avisa-lhequeataxa nominal de 30% a.a., contudo a capitalizao mensal. O cliente aceita as condies do banco, pois o valor a receber igual ao preo da mquina.Qual o seu valor? 3-Paraviajardaquiaumano.Mariavendeseucarrohojeeseuapartamentodaquia6 meses, aplicando o dinheiro em uma instituio que paga 40% a.a. O carro ser vendido por R$ 30.000,00 e o apartamento por R$ 250.000,00, sendo que na viagem ela pretende gastar R$ 300.000,00.Que saldo poder deixar aplicado?

4-Joo comprou uma enciclopdia, sem dar nada de entrada sob a condio de pag-la em 4 parcelas quadrimestrais de R$ 1.000,00.Como opo, o gerente da livraria lhe props uma entrada de R$ 1.500,00 e o saldo para 1 ano.De quanto ser este saldo, se a taxa de juros for de 3% a.m? 5- O preo de um terreno de R$ 50.000,00 a vista, ou R$ 60.000,00 a prazo.No segundo caso,ocompradordeverdar20%comoentradaeorestanteemduasparcelasiguais semestrais.Se a taxa de juros de mercado for de 30% a.a., qual ser a melhor opo? 6-UmapessoadeveR$2.000,00hojeeR$5.000,00para1ano.Propeaseucredor refinanciamentodesuadvida,comprometendo-sealiquid-laem3parcelassemestrais Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

22 iguais, vencendo a primeira em 6 meses.De quanto sero as parcelas, se a taxa contratado for de 20% a.a.? 7- O Sr. Carlos vendeu um carro para um amigo seu, pelo preo de R$ 50.000,00.Quanto scondiesdepagamento,eledissequeoamigopagar-lhe-ianamedidadopossvel, sendo os juros de 40% a.a.Os pagamentos efetuados foram:R$ 5.000,00 no 3 ms R$ 10.000,00 no 5 ms R$ 20.000,00 no 6 ms. No final do 12 ms o comprador diz querer saldar seu dbito total.Qual o valor do acerto final? 8-UmadvidadeR$150.000,00para12mesesedeR$300.000,00para24mesesfoi transformadaem4parcelasiguaissemestrais,vencendoaprimeiraa6meses.Qualo valor das parcelas se considerarmos a taxa de 25% a.a.? 9-Seumainstituiofinanceirapaga20%a.a.,quantodevereidepositartrimestralmente para, ao fim do 4 depsito, possuir R$ 10.000,00? 10- Uma loja vende uma maquina fotogrfica digital por R$ 600,00 a vista, ou a prazo em 3 pagamentosmensaisdeR$200,00eumapequenaentrada.Ataxadejurosadotadapela loja de 7% a.m.; portanto, de quando deve ser a entrada? 11- Dado o fluxo de caixa de uma alternativa de investimento: Datas (anos) Fluxo de caixa (R$) 0 -1.000,00 1 2.000,00 2 3.000,00 3 4.000,00 Pede-se calcular: a)O valor atual s taxas de juros de 5% a.a., 10% a.a.,15% a.a.,e 20% a.a. b)A taxa interna de retorno. 12- Um aplicador tem duas opes de investimento mutuamente exclusivas. Isto , ele s pode optar por um a das alternativas. Os fluxos de caixa das opes so os seguintes: Perodos (anos) AlternativaA (R$) AlternativaB (R$) 0-100-70 13020 26040 33025 Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

23 Qual a melhor alternativa, sabendo-se que sua taxa de desconto de 5% a.a.? O que aconteceria se a taxa fosse para 10% a.a.?Qualataxaderetornomarginal,ouseja,qualataxadeFisherparaestas alternativas? 13- A um investidor foi oferecido um projeto que apresentava, nos quatro primeiros anos os seguintes fluxos de caixas lquidos: AnoFluxo de caixa (R$) 011.500 21.800 32.500 43.000 Sabendo-se que o investidor quer ganhar a taxa de retorno de 50% a.a., pergunta-se: a)Quanto ele estar disposto a investir no ano zero,para obter o retorno de 50% a.a.? b)Se,porquestoderestriooramentria,oinvestidorpudesseinvestirapenasR$ 2.000,00noanozero,entoatquanto,adicionalmente,poderiainvestirnoano1 para que ainda mantivesse a taxa de retorno de 50% a.a.? RENDAS CERTAS OU ANUIDADES Nasaplicaesfinanceirasocapitalpodeserpagoourecebidodeumasvezou atravs de uma sucesso de pagamentos ou de recebimentos. Quandooobjetivoconstruir-seumcapitalemumadatafutura,tem-seum processodecapitalizao.Casocontrrio,quandosequerpagarumadvidatem-seum processo de amortizao. Podeocorrertambmocasoemquesetemopagamentopelouso,semquehaja amortizao, que o caso dos aluguis. Estesexemploscaracterizamaexistnciaderendasouanuidades,quepodemser basicamente de dois tipos: a)Rendascertasoudeterminsticas:Soaquelascujaduraoepagamentosso predeterminados, no dependendo de condies externas. Osdiversosparmetros,comoovalordostermos,prazodedurao,taxadejuro etc., so fixos e imutveis. Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

24 Tais tipos de renda so estudados pela Matemtica Financeira. b)Rendasaleatriasouprobabilsticas:Osvalorese/ouasdatasdepagamentoou de recebimentos podem ser variveis aleatrias, o que ocorre, por exemplo, com ossegurosdevida:osvaloresdepagamentos(mensalidades)socertos,sendo aleatrios o valor do seguro a receber e a data de recebimento. Rendas com essas caractersticas so estudadas pela Matemtica Atuarial. As Rendas so: postecipadas imediatas constantesantecipadas temporriasdiferidas variveis peridicasperptuas Certas no peridicas Aleatrias Modelo bsico de rendas: Por modelo bsico de anuidade entendemos as anuidades que so simultaneamente: -temporrias; -constantes; -imediatas e postecipadas; -peridicas. E que a taxa de juro i seja referida ao mesmo perodo dos termos. Para a melhor compreenso do modelo bsico de anuidade suponhamos um exemplo: Uma pessoa quer comprar um carro em 12 parcelas mensais iguais de R$ 1.418,40 sem entrada, e aprimeira prestao ser paga a partir do ms seguinte ao da compra, a uma taxa de 2% a.m., qual o valor a vista do carro? Soluo: Como R1 = R2 = R3 = .......= R12=R,teremos: P = V = 11 2 12.....(1, 02) (1, 02) (1, 02)R R R+ + + Como R = 1.418,40, teremos: Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

25 1.418, 40(0,980392 0,961169 ...... 0, 788494) $15;000, 00 P V R = = + + + = Valor atual do modelo bsico

Seja um principal P a ser pago em n termos iguais a R, imediatos, postecipados e peridicos.Seja tambm uma taxa de juros i, referida ao mesmo perodo dos termos. A soma do valor atual dos termos na data zero dada por: 2 3 2 31 1 1 1... [ ...(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )n nR R R RP Ri i i i i i i i= + + + + = + + + ++ + + + + + + +] Colocando-sea soma entre colchetes como sendo: 2 31 1 1 1...(1 ) (1 ) (1 ) (1 )in nai i i i= + + + ++ + + + P =.inR a ina l-se a, n cantoneira i O valor de ina obtido pela soma dos termos de uma progresso geomtrica com as seguintes caractersticas Valor da soma:1.1nna a qSq= Primeiro termo:11(1 )ai=+ n-simo termo: 1(1 )nnai=+ razo: 11(1 )(1 )q ii= = ++

Substituindo-se os valores respectivos na frmula da soma, tem-se: Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

26 1.1nna a qSq==ina ina =1 1 11 1(1 ) (1 ) .(1 ) (1 ) [1 (1 ) ]1 (1 ) 1 (1 )n ni i i i ii i + + + + += + + Multiplicando-se o numerador e o denominador por (1+i), temos: 1 01 0(1 )(1 ) [1 (1 ) ] (1 ) [1 (1 ) ](1 )[1 (1 ) ] (1 ) (1 )n nnii i i i iai i i i + + + + += =+ + + + Como (1+i)0= 1, temos: 1 (1 )1 1nniiai +=+ 1 (1 )nniiai += = 1 (1 ) 11(1 ) 1 (1 ) (1 ).(1 )nn n nnii i ii i i i+ + + += =+ Este resultado pode ser encontrado em tabelas Financeiras. Logo ou e Exemplos: 1- Qual o valor a vista de uma mercadoria cuja prestao mensal de R$ 250,00, se a taxa de mercado de 3% a.m. em um prazo de 36 meses? ina(1 ) 1.(1 )nnii i+ =+ P = V =inA = R.[(1 ) 1.(1 )nnii i+ +] P= V = inA = Rina

ina (1 ) 1.(1 )nnii i+ =+ Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

27 2- Uma loja vende a geladeira X por R$ 1.200,00 a vista ou financiada em 18 meses, a juros de 3%a.m.Qual ser a prestao mensal, sem entrada, se a primeira prestao vence aps um ms? 3- Uma loja vende um tapete em 12 prestaes mensais de R$ 97,49 ou em 24 prestaes mensais de R$ 61,50.Nos dois casos, o cliente no dar entrada alguma.Sabendo-se que a taxa de juro do crdito pessoal de 2,5% a.m., pergunta-se.Qual o melhor sistema para o comprador? 4-OpreoavistadeumbarcodeR$500.000,00.JoocomprouobarcoporR$ 200.000,00 de entrada mais 12 prestaes mensais de R$ 33.847,62.Qual a taxa de juro cobrada neste financiamento? Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

28 5- Um bluso de couro, importado, vendido por R$ 5.000,00 a vista ou por R$ 1.000,00 deentradamaisprestaesmensaisdeR$480,97.Sabendo-sequeataxadejuro considerada de 3,5% a.m., qual o nmero de prestaes?

Montante do modelo bsico Seja um processo de capitalizao em que so aplicadas parcelas iguais a R, peridicas e postecipadas, a uma taxa de juro i, referida ao mesmo perodo dos termos.O problema determinar o montante S na data focal n, que resulta deste processo de capitalizao. O montante S o resultado da soma dos montantes de cada um dos termos, taxa de juros i, na data focal n.Vamos admitir que estejamos fazendo esta soma a partir do termo de n-sima ordem (ou seja, o ltimo termo) e at o termo de primeira ordem (que o primeiro termo): S = R + R.(1 + i) + R.(1 + i) + r.(1 + i) + ... + R.(1 + i)n-1 S = R.[1 + (1 + i) + (1 + i) + (1 + i) + ... + (1 + i)n-1] Seja a seguinte notao para o valor da soma entre colchetes: nis=1 + (1 + i) + (1 + i) + (1 + i) + + (1 + i)n-1

Logo, teremos: S=R. nis ;nis( l-se: s, n cantoneira i) Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

29 A frmula do nis obtida pela soma dos termos de uma progresso geomtrica onde: Valor da soma: 1.1nna a qSq= 1 termos:a1 = 1 n-simo termo:an = (1 + i)n-1 razo :q = (1 + i) Substituindo na frmula da soma: 1.1nna a qSq= =nis nis11 (1 ) .(1 ) 1 (1 )1 (1 )n ni i ii i + + += = + , multiplicando numerador e denominador por (1), teremos: nis=(1 ) 1nii+ Esta frmula tambm se encontra tabelada para diversos valores de i e de n. Podemos agora expressar o montante S do modelo bsico deanuidade como sendo: onde ou Exemplos 1- Uma pessoa deposita R$ 1.000,00 mensalmente. Sabendo-se que ela est ganhando 2%a.m., quanto possuir em 3 anos? S =niS = R. nis niS nis=(1 ) 1nii+ S=niS= R. [ (1 ) 1nii+ ] Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

30 2- Qual o depsito trimestral durante 4 anos consecutivos que produz o montante de R$ 20.000,00 aps o ltimo depsito taxa de 5%a.t.? 3- O corretor prometeu a um cliente que, se ele efetuasse 12 depsitos trimestrais de R$ 1.050,00, aps o ltimo deposito ele teria R$ 20.000,00.Que taxa de juro o corretor est oferecendo ao cliente? EXERCCIOS 1-Calcular o valor atual de uma anuidade peridica de R$ 1.000,00, nas hiptese abaixo: Taxa de juro Prazo a)2%a.m. 24 meses b) 2,5%a.m36 meses c) 10%a.t. 8 trimestres 2-QualopreoavistadeumamercadoriacujaprestaomensaldeR$200,00,seas taxas e prazos abaixo forem considerados: a) 2,5%a.m. 18 meses b) 2,0%a.m24 meses 3-UmterrenovendidoporR$10.000,00deentradae36prestaesmensaisdeR$ 500,00.Sabendo-sequeataxaejurocorrentenomercadode2,5%a.m.,atquepreo vale a pena comprar o terreno a vista? 4-Numaseodeclassificadosanuncia-seumacasaporR$250.000,00vistaouem4 prestaes trimestrais de 77.600,00. Qual a melhor opo de compra, uma vez que a taxa de juro corrente de 10%a.t.? Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

31 5- Calcular a prestao referentea uma mercadoria, cujo preoa vista de R$ 10.000,00, caso ocorram as seguintes hiptese sobre as taxas e respectivos prazos: Taxa de juroPrazo a) 2,5% a.m.12 meses b) 3,0% a.m.15 meses c) 10,0% a.t.30 meses 6- Um sitio posto venda por R$ 300.000,00 a vista, ou a prazo nas seguintes condies; 10%deentradaeorestanteem50meses,comjurode3%a.m.Qualovalordas prestaes? 7- O gerente financeiro de uma cadeia de lojas que operam com credirio deseja estabelecer fatoresqueseroaplicadosaopreoavistaparaclculodaprestaomensal.Ataxade juro da empresa de 2% a.m.: portanto, quais so estes fatores por unidade de capital, sem entrada, nos prazos abaixo: a)6 meses b)12 meses c)18 meses d)24 meses e)30 meses f)36 meses 8Umafirmarevendedoradeautomveisusadosofereceoseguinteplanonavendade uma carro, modelo 2002: a)Entrada = R$4.000,00 mais 6 prestaes mensais de R$ 724,20 b)Entrada=R$2.000,00mais12prestaesmensaisdeR$592,04.Sendoataxade mercado de 2% a.m., qual a melhor alternativa para o cliente? 9-Umaagnciadeviagensdizfinanciarajurode1,2%a.m.Suasistemticano financiamento de R$ 10.000,00 em 12 meses a seguinte: -1,2% x 12 meses=14,4% a.a. -10.000(1 + 0,144) = 10.000(1,144)=R$ 11.440,00 -11.440,00 / 12 = R$ 953,33 Portanto, o cliente ir pagar 12 prestaes de R$ 953,33.A taxa de juro realmente de 1,2 a.m. ? 10- O banco CEF para financiar em 12 meses prope o seguinte esquema: -prestao mensal = valor do financiamento / 12 -juro do banco = 14% do valor do financiamento -valor recebido = valor do financiamento juro do banco Qual a taxa de juro cobrada? 1-Uma financeira publica em um jornal que seus coeficientes para cada unidade de capital emprestado, de acordo com os prazos postecipados, so: Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

32 Prazo Coeficiente a)6 meses0,18707 b)12 meses0,10086 c)18 meses0,07230 d)24 meses0,05819 e)30 meses0,04992 f)36 meses0,04455 Ento,ofinanciamentodeR$1.000,00por12mesesresultarem12prestaesde 1.000,00 x 0,10086 =R$100,86.Qual a taxa de juro mensal de cada coeficiente? 12QuemontanteobterumapessoaquedepositaperiodicamenteR$100,00,conforme prazo e taxa a seguir: a)24 meses1% a.m. b)10 trimestres15% a.t. c)20 semestres20% a.s. 13-Quantosedeverdepositarmensalmenteparaque,aofimde5anos,nose processandonenhumaretirada,setenhaR$50.000,00.Considerarqueainstituiopaga 2,5% a.m. sobre o saldo credor. 14-Certoexecutivo,pretendendoviajardurante12meses,resolvefazer6depsitos mensais em uma financeira, para que suaesposapossa efetuar 12 retiradas mensais de R$ 20.000,00,duranteoperododesuaviagem.Aprimeiraretiradaocorrer1msapso ltimo depsito.Se a financeira paga 3% a.m., de quanto deve ser os depsitos? 15- Uma pessoa aplicou R$ 15.000,00 e aps 3 anos recebeu a soma total de R$ 61.558,99.Que depsitos mensais nesse perodo produziriam a mesma soma, se os juros sobre o saldo credor fossem beneficiados com a mesma taxa da primeira hiptese? Rendas Antecipadas Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

33 Essas rendas so: -Temporrias -Constantes -Peridicas -Imediatas e antecipadas Valor Atual Seja P ou(1 ).niS R i s = + um principal que deve ser em n prestaes ( ou termos) iguais a R, antecipadas, imediatas e peridicas, a uma taxa de juros i , referida ao mesmo perodo dos termos. O valor atual P oun i , a soma dos valores atuais de cada uma das prestaes (R): P =n A i= 1...................(1 ) (1 ) (1 ) (1 )nR R R RRi i i i+ + + + ++ + + + Colocando-se R em evidncia: P =n A i= 11 1 1 1[1 ................... ](1 ) (1 ) (1 ) (1 )nRi i i i+ + + + ++ + + + Dividindo-se e multiplicando-se o segundo membro da igualdade por (1+i), a igualdade nose altera: 1(1 ) 1 1 1 1' . [1 ................... ](1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )nniP A i Ri i i i i+= = + + + + ++ + + + + 2 3 41 1 1 1 1' .(1 )[ ................... ](1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )nnP A i R ii i i i i= = + + + + + ++ + + + + Ovalordasomaindicadaentreoscolchetesjfoideduzidanomodelobsicoeiguala ina . Portanto

Conclumosqueovaloratualdeumaanuidadeantecipada,nascondiesdadas,o valor atual do modelo bsico multiplicado por (1+i). P = n A i=R.(1+i).inaP = n A i=(1 ) 1(1 )[ ](1 )nniR ii i+ ++ Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

34 Exemplo Umabicicletafoivendidaem4prestaesmensaisiguaisdeR$100,00,sendoa1no ato da compra,Se a taxa de mercado de 3% a.m.. qual o preo a vista da bicicleta? Soluo: Montante Seja um processo de capitalizao em que so depositados n parcelas ( ou termos) iguais a R, antecipados, imediatos e peridicos, a uma taxa de juros i, referida ao mesmo perodo dos termos. O Montante S na data focal n dado pela soma dos montantes de cada um dos depsitos (R): ' .(1 ) (1 ) (1 ) ................ (1 )nn S S i R i R i R i R i = = + + + + + + + +' [(1 ) (1 ) (1 ) ................ (1 ) ]nn S S i R i i i i = = + + + + + + + + Multiplicando e dividindo o segundo membro da igualdade ela no se altera: (1 )' [(1 ) (1 ) (1 ) ................ (1 ) ](1 )nniS S i R i i i ii+= = + + + + + + + ++ Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

35 ( )(1 ) (1 ) (1 ) (1 )' 1 ) [ ................ ](1 ) (1 ) (1 ) (1 )nni i i iS S i R ii i i i+ + + += = + + + + ++ + + + ( )1' 1 ) [1 (1 ) (1 ) (1 ) ................ (1 ) ]nn S S i R i i i i i= = + + + + + + + + + + O valor da expresso entre colchetes j foi deduzido no modelo bsico e o nis . Portanto: Ou Ouseja,omontantedeumaanuidadeantecipada,nascondiesdoproblema,omontante do modelo bsico multiplicado por ( 1 + i). Exemplo: UmfilhoquequerpresentearseupainodiasdospaisdepositouR$200,00,abrindouma cadernetaemumacontaemumainstituiofinanceiraquepaga2%a.m.sobreosaldo credor.Emseguidaefetuoumais3depsitosmensaisdeR$200,00apartirdoprximo ms da abertura da conta.Supondo que no houve nenhuma retirada, qual ser seu saldo ao final dos 4 meses? EXERCCIOS: S=n S i=R.(1 + i).nisS=n S i = (1 ) 1(1 )[niR ii+ + Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

36 1- Calcular o valor atual de uma renda antecipada de 10 termos de R$ 2.500,00, taxa de 2% a.m. 2- Uma mercadoria vendida a prazo por6 prestaes mensais antecipadas de R$ 300,00 com juros de 1,5% a.m.Qual o valor a vista dessa mercadoria? 3-Qualaprestaotrimestralantecipadanecessriaparaamortizar,com12pagamentos, um financiamento de R$ 10.000,00 com juros de 5% a.t.? 4- Uma dvida de R$ 10.000,00 dever ser pagacom 8 prestaes mensais antecipadas de R$ 1.330,00.Qual a taxa de de juro? 5-Calcularomontantedeumarendaantecipadade18termosmensaisdeR$1.000,00, taxa de 2% a.m. 6-Quantosedevedepositar,noinciodecadasemestre,numainstituiofinanceiraque paga 18% a.a., para construir um montante de R$ 5.000,00 no fim de 3 anos? 7-Umapessoarealizou12depsitostrimestraisantecipadosdeR$500,00eobteveo montante de R$ 7.850,00.Qual foi a taxa de juro? 8 Um aparelho de televiso foi comprado com 10 prestaes mensais antecipadas de R$ 100,00.Sabendo-se que os juros so de 2% a.m., qual o preo vista do televisor? 9- O gerente financeiro de uma cadeia de lojas que operam com credirio deseja estabelecer fatoresqueseroaplicadosaopreoavistaparaclculodaprestaomensal.Ataxade juro da empresa de 2% a.m.: portanto, quais so estes fatores por unidade de capital, com entrada, nos prazos abaixo: a)1 + 5 meses b)1 + 11 meses c)1 + 17 meses d)1 + 23 meses e)1 + 29 meses f)1 + 35 meses ANUIDADES DIFERIDAS Trataremos de alguns casos genricos de anuidades, diretamente atravs de exemplos.O enfoque ser procurar reduzir estes exemplos, sempre que possvel, aomodelo bsico j estudado anteriormente. O termo anuidades diferidas so aquelas em que os termos so exigveis, pelos menos, a partir o segundo perodo. Emoutraspalavras,oprimeirotermoexigvelapartirdeumcertoperodode carncia.Tudo se passacomo se os termos fossem transladados de um intervalo de tempo igual carncia; Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

37 Considera-se que existe carncia quando este prazo superior a, pelo menos, o dobro do menor perodo de amortizao das parcelas Anuidades diferidas postecipadas Sejaumaanuidadequeapresenteumdiferimento(carncia)igualamperodose que seja: -Temporria -Constante -Postecipada -Peridica Valor Atual SejaPumprincipalnadatazero,aserpagoemntermosiguaisar,postecipadose peridicos,comumdiferimentodemperodos.Admitamosqueataxadejuroiesteja referida ao perodo dos termos: Ovaloratualpodeserobtidoquandoseconsideraumaanuidadede(m+n)termos,se calculaoseuvaloratualnadatazeroedepoisdesubtraiovaloratuaLnadatazerodos primeiros m termos, que no existem pagamentos.: (1 ) 1 (1 ) 1. . [ ](1 ) (1 )m n mm n m m ni mi m ni mii iP Ra Ra R a a Ri i i i=+ + ++ + ( = = = + + (1 ) 1 `(1 ) 1 (1 ) 1 (1 ) (1 )[ ] [(1 ) (1 ) (1 ) (1 )m n m m n m nm n m nR i i R i i iPi i i i i i i+ + ++ + + + + += =+ + + + ( ). 1 1[ ](1 ) (1 ) (1 )nnim n mR a iRPi i i i+ = =+ + + Portanto:

Ou Montante Admitindo-se a anuidade j definida no exemplo anterior, seja S o montante que se quer obter. P = 0,018a.(1 )inmR ai + ( ) 1 1[ ](1 )nn miP Ri i++ =+ Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

38 Queremos obter, portanto, o montante de n termos iguais a R, postecipados e peridicos.Este montante o prprio montante j obtido no modelo bsico. S = R.ins Umavezqueodiferimentomnoalteraoclculodomontantedaanuidadeem relao data focal (m + n), tal qual foi feita para o modelo bsico. Anuidades diferidas antecipadas Como j foi demonstrado, a anuidade diferida antecipada pode ser entendida como umaanuidadepostecipadamultiplicadapor(1+i),quersetratedomontanteoudavalor atual. Nestas condies, tem-se Valor atual diferido antecipado: Montante diferido antecipado: RENDA DIFERIDA MODELOS GENRICOS Aplicaes/exemplos 1- Uma pessoa vai receber 16 prestaes mensais iguais a R$ 400,00 com diferimento de 15 meses, sendo a taxa de juro igual a 2% a.m., pede-se: a)O valor atual das prestaesna data zero. b)O montante na data focal 40. 1(1 ).(1 ) (1 )ni nim mR i a aP Ri i+= =+ + .im nS R s+=(1 ).im nS R i s+= + Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

39 2- Uma pessoa comprou um gravador, parapagar em 7 prestaes do seguinte modo: -3 prestaes de R$100,00 no 7, 8 e 9 ms. -4 prestaes de R$120,00 n0 12, 13, 14 e 15 ms A taxa de juro cobrada foi de 2% a.m.Qual o valor do gravador a vista? 3-Um carro vendido em 12 prestaes postecipadas mensais.Asprestaes: 1, 2; 4, 5, 7, 8, 10 e 11so de R$ 530,00, enquanto que as prestaes: 3, 6, 9 e 12sodeR$2.530,00.Sabendoqueataxadejurode2,5%a.m.Qualovalora vista do carro? Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

40 Exerccios. 1-Emumannciodeumalojadevendasacrditoinforma-sequepelacompradecerto televisor,oclientepagar12prestaesmensaisdeR$119,96,vencendoaprimeira prestao no fim de 6 ms.Qual ser a preo a vista deste aparelho, se a taxa de juro for de 3% a.m.? 2 UmclubevendettulosdesciomedianteumaentradadeR$500,00e36prestaes mensais de R$ 200,00.Para facilitar a venda, permite uma carncia de at 4 meses, para o pagamento de 1 prestao.Qual o valor do ttulo, uma vez que a taxa de juro de mercado de 2,5% a.m.? 3- Na venda de um carro a revendedora propoem o seguinte esquema: a)Entrada de R$ 10.000,00 mais 24 prestaes de R$ 1.500,00; b)EntradadeR$10.000,00mais24prestaesdeR$1.722,00comcarnciade6 meses. Qual ser a melhor opo, se a taxa de juro vigente for de 3,5% a.m.? 4- O gerente financeiro de um magazine, atendendo nova poltica de vendas (a prazo, com carncia),resolvepublicaroscoeficientesparafacilitarotrabalhodovendedornoclculo dovalordasprestaes.Estescoeficientesseroaplicadossobrecadaunidadedecapital financiado,correspondendotaxade4%a.m.Calcularoscoeficientesnasseguintes hipteses: Carncia n de prestaes mensais a) 3 meses12 b)3 meses24 c)4 meses24 d)6 meses24 e)5 meses18 5-UmapessoaresolveefetuardepsitosmensaisdeR$100,00durante3anosemum banco que paga 1,5% a.m; .Os depsitos sero feitos todo fim de ms, de janeiro a junho apenas.Quanto possuir esta pessoa no dia 31 de dezembro do ltimo ano dr depsitos? EMPRSTIMOS Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

41 Emtermosfinanceiros,advidasurgequandoumadadaimportnciaemprestada porumcertoprazo.Quemassumeadvidaobriga-searestituiroprincipalmaisosjuros devidos, no prazo estipulado. Segundoasprticashabituais,osemprstimosclassificam-seem:decurto,de mdio e de longo prazo. Osemprstimosdecurtoedemdioprazocaracterizam-se,normalmente,por serem saldados em at 3 anos.Os problemas, relacionados com tais tipos de emprstimos so aqueles j abordados em anuidades e no sero vistos neste capitulo. Osemprstimosdelongoprazosofremumtratamentoespecialporqueexistem vriasmodalidadesderestituiodoprincipalejuros.Taisemprstimos,emgeral,tm suascondiespreviamenteestipuladas.Porcontratosentreaspartes,ouseja,entreo credor e o devedor. Osproblemasmaisimportantesquesurgemnoemprstimosdelongoprazodizem respeitoexplicitaodosistemadereembolsoadotadoeaoclculodataxadejuro efetivamente cobrada pelo credor. Nossistemasdeamortizaoaseremestudadas,osjurosserocalculadossempre sobreosaldodevedor.Istosignificaqueconsideraremosapenasosregimesdejuros composto,pois, se os juros socalculados destemodo, o no-pagamentode jurosem um dado perodo levar a um saldo devedor maior, sendo calculado juro sobre juro. Classificao da modalidades de amortizaes Qualquerumdossistemasoumodalidadesdeamortizaopodeter,ouno,prazo decarncia.Deve-seobservarqueochamadosistemaamericanosempretemcarncia, pois o principal devolvido em uma nica vez. Por seu lado, os juros podem ser pagos ou capitalizados durante o prazo de carncia, dependendo de um acerto entre as partes envolvidas no financiamento. Os principais sistemas de amortizao so os seguintes: 1- Sistema de amortizao constante (SAC) Asparcelasdeamortizaosoiguaisentresi.Osjurossocalculadosacadaperodo, multiplicando-se a taxa de juro contratada (na forma unitria) pelo saldo devedor existente no perodo anterior. Exemplo: Paraumprojetodeexpanso,aempresaFarinheirosLtda.Obtmumfinanciamento de R$ 50.000,00, nas seguintes condies: -Taxa de juros: 8% a.a. com pagamentos semestrais. -Amortizao: SAC, com pagamentos semestrais. -Prazo de Amortizao: 5 anos. Construir a planilha de financiamento. Soluo: i =8% a.a.=4% a.s. = 0,04a.s. Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

42 a = 50.000 / 10=5.000,00( cota de amortizao) nSaldo devedorAmortizao juroPrestao 0 50.000,00-- - 15.000,00 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total 2- Sistema Price ou Sistema Francs (SF) As prestaes so iguais entre si e calculadas de tal modo que uma parte paga os juros e outra o principal.A dvida fica completamente saldada na ltima prestao: Exemplo: UmbancoemprestaR$100.000,00,entreguesnoato,semprazodecarncia.Sabendo-se que a taxa de juro cobrada pelo banco de 12% a.a. e que a devoluo deve ser feita em 8 meses, construir a planilha do emprstimo: Soluo: i12 = 0,12 / 12=0,01 a.m. P = R.ina 100.000 = R. 0,018a 100.000 = Rx7,651678R = R$ 13.069,03 nSaldo devedorAmortizao JuroPrestao 0100.000,00-- - 1 13.069,03 Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

43 2 13.069,03 3 13.069,03 4 13.069,03 5 13.069,03 6 13.069,03 7 13.069,03 8 13.069,03 Total100.000,00 104.552,24 3- Sistema Americano (S.A) Por este sistema o muturio obriga-se a devolver o principal em uma s parcela aps ter decorrido o prazo de carncia estipulado.Os juros podem ser pagos durante a carncia ou capitalizados e devolvidos juntamente com o principal. Exemplos: 1- Um banco empresta R$ 100.000,00 a uma empresa, a uma taxa de juro de 6% a.s. com prazodeutilizaounitrioparaserdevolvidoapsumacarnciade2anos.Sabendo-se que os juros sero cobrados semestralmente, elaborar a planilha pelo sistema americano. Soluo: n(sem.)Saldo devedorAmortizaoJurosPrestao 0 100.000,00 --- 1 100.000,00 -6000,00 6000,00 2 100.000,00 -6000,00 6000,00 3 100.000,00 -6000,00 6000,00 4 - 100.000,006000,00106.000,00 Total 100.000,00 24.000,00124.000,00 Obs. A taxa efetiva anual :1 + if = (1,06)=1,1235if=12,36% a.a. 2-Sejaomesmoexemplodoitemanterior,emqueseadmiteacapitalizaodosjuros durante a carncia. n(sem.)Saldo devedorAmortizaoJurosPrestao 0 100.000,00 --- 1 106.000,00 --- Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

44 2 112.360,00 --- 3 119.101,60 --- 4 - 100.000,0026.247,70 126.247,70 Total - 100.000,0026.247,70 126.247,70 EXERCCIOS 1- Um banco de investimento empresta R$ 500.000,00 a um cliente, contratando-se a taxa de 10% a.a., com capitalizaes semestrais sem carncia.A devoluo do principal far-se-ia mediante 5 parcelas semestrais de: -1 parcela: R$ 50.000,00 -2 parcela: R$ 75.000,00 -3 parcela: R$ 100.000,00 -4 parcela: R$ 125.000,00 -5 parcela: R$ 150.000,00 Osjurosserocobradossobreosaldodevedor,vencendoacadasemestre.Construira planilha do financiamento. 2-UmemprstimodeR$80.000,00deveserpagoem4amortizaesconstantesanuais semcarncia.Ataxadejuroscontratadade8%a.a.Construiraplanilhade financiamento. 3-OBancoL&SemprestouR$200.000,00taxade9%a.a.prazototalparaa amortizaodofinanciamentode6anosemeio,incluindo-se2anosdecarncia.O pagamento de juro e das amortizaes constantes deve ser semestral.Construir a planilha do financiamento. 4- Um emprstimo de R$ 200.000,00 foi contratado taxa de 10% a.a. para ser saldado em 5prestaesanuais(SistemaFrancs).Calcularaplanilharespectiva,considerando-seo IOFde1%sobreprincipalmaisencargos,descontadonoato.Qualocustoanualdo financiamento e qual a total dos juros? 5-AempresaConstruoS.A.obteveumfinanciamentodeR$500.000,00,taxa nominal de 12% ao ano, comprometendo-se sald-lo em 6 prestaes semestrais.O mtodo adotadooSistemaFrancs.Obancofinanciadorconcede2anosdecarncia,sendo, nesse prazo, os juros capitalizados.Construir a planilha separando, nas prestaes, os juros das amortizaes. 6-OvalorfinanciadodeR$150.000,00,tendo-secontratadoataxade14%a.a.Foi adotadooSistemaAmericanodeAmortizao,determinando-seoprazode4anospara liquidao do financiamento.Construir a planilha do financiamento. Referncias Bibliogrficas: Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

45 1- FRANCISCO, Walter de. Matemtica Financeira.6 ed. So Paulo,EditoraAtlasS/A, 1988. 2- MATHIAS, Washington Franco. Matemtica Financeira. So Paulo, EditoraAtlasS/A, 2002. 3- SILVA, Sebastio Medeiros da, et al. Matemtica Financeira para os cursos de Economia, Administrao e Cincias Contbeis. So Paulo, Editos Atlas S/A. CONTEDOS: 1- INTRODUO 1.1Conceitos de juros. 1.2Taxa de juros. 1.3Regime de capitalizao. 1.4Distino entre o regime de juros simples e o regime de juros compostos. 2-REGIME DE JUROS SIMPLES 2.1 Conceitos de juros simples. 2.2Clculos dos juros simples. 1.1Montante. 1.2Exerccios. Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

46 3-DESCONTO SIMPLES 3.1 Conceitos de descontos simples. 3.2 Desconto simples bancrio ou comercial. 3.3 Descontos simples racional. 3.4 Valor atual 3.5 Exerccios 3.6 Equivalncia de capitais diferidos. . 4-REGIME DE JUROS COMPOSTOS 4.1 Conceito de juros compostos. 4.2 Perodo de aplicao. 4.3 Montante. 4.4 Taxas proporcionais 4.5 Taxa equivalentes. 4.6 Conceito de taxa efetiva e taxa nominal. 4.7 Exerccios. 5 DESCONTO COMPOSTO 5.1 Conceito de desconto composto. 5.2 Clculo do valor atual. 5.3 Exerccios. 6-EQUIVALNCIA DE CAPITAIS 6.1 Conceito de capitais equivalentes 6.2 Conjuntos de capitais equivalentes. 6.3 Vencimentos comum. 6.4 Emprego da calculadora. 6.5 Exerccios 7- RENDAS OU ANUIDADES 7.1 Definio e classificao de rendas. 7.2 Estudo das rendas peridicas, constantes e temporrias. 7.3 Estudo das rendas peridicas, constantes e perptuas. 7.4 Rendas variveis em P.A.(simples) ou em P.G.(composta). 7.5 Emprego da calculadora. 7.6 Exerccios. 8- AMORTIZAES DE EMPRSTIMO 8.1Tipos de amortizaes de emprstimos. 8.2Mtodo Francs. Mtodo da cotas constantes. 8.3Mtodo do Montante Sistema Americano. Material de Matemtica Financeira Prof. Mrio Roberto

47 8.4Emprego da calculadora. 8.5 Exerccios. 9- INFLAO 9.1 Inflao e deflao. 9.2 ndices de preos. 9.3 Correo Monetria. 9.4 Taxa de juros Aparente e Real. BIBLIOGRAFIA BSICA 1- VERAS, Lilia Ladeira,Matemtica Financeira. 2 ed. So Paulo, EditoraAtlas S/A, 1994. 2- SOBRINHO, Jos Dutra Vieira. Matemtica Financeira. 3 ed. So Paulo,EditoraAtlasS/A, 1993. 3- SILVA, Sebastio Medeiros da, et al. Matemtica Financeira para os curos de Economia, Administrao e Cincias Contbeis. So Paulo, Editos Atlas S/A. 4-WEBER, Jean E. Matemtica para Economia e Administrao. So Paulo, Editora Harba. 1986. 5- FRANCISCO, Walter de. Matemtica Financeira.6 ed. So Paulo,EditoraAtlasS/A, 1988. 6- MATHIAS, Washington Franco. Matemtica Financeira. So Paulo, EditoraAtlasS/A, 2002.