Apostila__Fotoelasticidade-ProfCleudmar

Prof. Cleudmar Amaral Arajo

Fevereiro de 2013

UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLNDIA

FACULDADE DE ENGENHARIA MECNICA

NCLEO DE PROJETOS E SISTEMAS MECNICOS

LABORATRIO DE PROJETOS MECNICOS / LPM

UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLNDIA / FEMEC LABORATRIO DE PROJETOS MECNICOS - LPM

ANLISE EXPERIMENTAL DE TENSES

MDULO II: FOTOELASTICIDADE DE TRANSMISSO PLANA Prof. Cleudmar Amaral Arajo

2

SUMRIO

1 INTRODUO 03

1.1 Fundamentos da fotoelasticidade 03

1.2 Fotoelasticidade de transmisso plana 05

1.3 Fotoelasticidade de transmisso tridimensional 06

1.4 Fotoelasticidade de reflexo 08

2 A NATUREZA DA LUZ 09

2.1 Relaes pticas na fotoelasticidade 10

3 INSTRUMENTOS PTICOS 11

3.1 Polariscpio plano ou linear 11

3.2 Retardadores de onda 12

4 POLARISCPIOS E SUAS CARACTERSTICAS 15

4.1 Polariscpio plano 18

4.2 Polariscpio circular 19

5 FOTOELASTICIDADE DE TRANSMISSO BIDIMENSIONAL 18

5.1 ndice de refrao 18

5.2 Luz polarizada 19

5.3 Lei de Brewster-Maxwell (Dupla refrao temporria) 19

5.4 Parmetros fotoelsticos 22

5.4.1 Medida dos parmetros fotoelsticos 22

5.5 Mtodo de compensao de Tardy 29

5.6 Materiais fotoelsticos 30

5.7 Mtodos de calibrao 31

5.7.1 Exemplo de um processo de calibrao 34

6 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS 37




3

1 INTRODUO

A especificao ou dimensionamento de peas e estruturas um dos problemas mais freqen-

tes em engenharia. Neste caso, geralmente, deseja-se avaliar os gradientes de tenses oriun-

dos da aplicao dos carregamentos. Por exemplo, em muitos casos de projetos de peas, h a

necessidade de que estas tenham variao de seo, furos, entalhes, ranhuras, etc. Todas essas

formas na pea so pontos concentradores de tenso, ou seja, as tenses nesses pontos so

maiores que a tenso nominal. Essas tenses mximas so proporcionais tenso nominal, e

o fator de proporcionalidade conhecido como fator de concentrao de tenso que depende

da geometria, dimenso do entalhe e natureza do esforo.

Vrias tcnicas experimentais so hoje utilizadas para a determinao da distribuio de ten-

ses/deformaes em sistemas estruturais. Entre estas tcnicas pode-se destacar a fotoelasti-

cidade, tcnica que, permite uma rpida anlise qualitativa do estado de tenso, atravs da

observao de efeitos pticos. Especificamente, a fotoelasticidade de transmisso pode ser

usada na soluo de problemas do estado plano ou tridimensional; para tanto necessria a

confeco de modelos. Existe tambm uma tcnica fotoelstica que determina a distribuio

de tenses em superfcies, a fotoelasticidade de reflexo, que dispensa a confeco de mode-

los.

No caso particular da tcnica fotoelstica de transmisso, um material plstico transparente

submetido a um estado de tenso/deformao exibe uma propriedade denominada dupla re-

frao ou anisotropia ptica. A luz polarizada que o atravessa, obtida por um aparelho deno-

minado Polariscpio, permite a determinao das direes e dos gradientes das tenses prin-

cipais atravs da interpretao dos parmetros pticos observados. Quando se utiliza luz

branca, os efeitos pticos se manifestam como franjas coloridas e com luz monocromtica h

uma srie alternada de franjas pretas e brancas. A ordem de franja em um ponto est relacio-

nada com o estado de tenses no modelo, atravs da "Lei ptica das Tenses".

Como foi citado, na tcnica de fotoelasticidade de transmisso, h a necessidade da confec-

o de um modelo constitudo de um material transparente que possua propriedades de bi-

refrigncia. Este modelo deve ento ser submetido aos carregamentos desejados sendo anali-

sado em um Polariscpio de transmisso, pois somente sob luz polarizada podem-se observar

os fenmenos e os parmetros pticos necessrios para fazer a anlise das tenses.

1.1 Fundamentos da fotoelasticidade

A Fotoelasticidade uma tcnica experimental para anlise do campo de tenso/deformao

de estruturas que particularmente til em peas que possuem geometria complexa e/ou car-

regamentos complexos. Em tais casos, mtodos analticos podem ser de difcil execuo ou

impossveis de serem aplicados, e uma anlise experimental pode ser mais apropriada. Atu-

almente, a soluo de problemas bidimensionais elsticos e estticos so bem conhecidos




4

atravs de mtodos analticos. Mtodos experimentais so atualmente adequados para a solu-

o de problemas com geometria 3D, montagens com mltiplos componentes, cargas dinmi-

cas e materiais com comportamento inelstico. O nome fotoelasticidade reflete a natureza do

mtodo, ou seja, foto implica no uso da luz e tcnicas pticas, enquanto elasticidade relacio-

na-se com o estudo de tenses e deformaes em corpos elsticos. Utilizando a tcnica com

vernizes fotoelsticos possvel ampliar este estudo para corpos inelsticos. A tcnica forne-

ce evidncias quantitativas de reas altamente tensionadas e picos de tenses em superfcies

ou pontos interiores de estruturas.

A tcnica da fotoelasticidade permite uma rpida anlise qualitativa do estado de tenso,

atravs da observao de efeitos pticos em modelos, alm de ser muito usada no monitora-

mento quantitativo de resultados obtidos por elementos finitos e em solues tericas apro-

ximadas. Esta tcnica muito aplicada para localizar reas com altos nveis de tenso em

problemas de geometria plana e tridimensional, sendo uma tcnica recomendada tambm em

estudos de problemas de contato entre os corpos.

O mtodo baseado em uma propriedade nica de alguns materiais transparentes que o

efeito de anisotropia ptica. Quando o modelo tensionado e um raio de luz entra ao longo

das direes das tenses principais, a luz dividida em duas componentes de onda, cada uma

com seu plano de vibrao paralelo a uma das duas tenses principais. A luz viaja ao longo

destes dois caminhos com diferentes velocidades devido ao efeito de birrefringncia e que

depende da magnitude das duas tenses principais, conforme mostrado na Figura 1. Portanto,

a onda vai emergir do modelo com uma nova relao de fases ou retardao relativa, que a

diferena no nmero de ciclos dos dois raios viajando dentro do modelo.

Figura 1 Modelo sob luz polarizada plana.

Em um dos planos principais a figura mostra 3,75 ciclos da onda de luz e no outro plano

principal 3,5 ciclos da onda de luz, fornecendo uma retardao linear relativa de 0,25 (1/4).

Plano principal

Plano principal

Raio de

luz




5

Para a utilizao da tcnica fotoelstica, materiais especiais devem ser usados, portadores de

caractersticas indispensveis tais como: ser transparente e livre de tenses residuais, apresen-

tar uma boa resposta ptica, ser linear, ser homogneo e isotrpico e ter boa usinabilidade.

1.2 Fotoelasticidade de transmisso plana

A fotoelasticidade de transmisso plana utilizada em problemas de estado plano de tenses

e requer a confeco de modelos planos e sistemas de cargas que simulam adequadamente as

cargas reais impostas ao modelo real. A Figura 2 mostra um modelo fotoelstico feito de um

material base de resina epxi sem carregamento. A Figura 3-b mostra o mesmo modelo

posicionado em um sistema de carga e a Figura 4-b mostra os parmetros pticos observados

neste modelo quando sujeito aos carregamentos e observados no polariscpio de transmisso.

Figura 2 Implante dentrio com conexo do tipo hexgono interno fixado em um bloco fotoelstico, analisado no Laboratrio de Projetos Mecnicos da FEMEC/UFU.

(a) (b)

Figura 3 a) Sistema de carga montado em um polariscpio de transmisso pertencente ao LPM. b) Implante dentrio com conexo do tipo hexgono interno posicionado no polarisc-

pio no momento da aplicao da carga analisado no Laboratrio de Projetos Mecnicos da

FEMEC/UFU.




6

Em geral, pontos crticos em modelos planos ocorrem em contornos livres (furos, entalhes,

filetes). A fotoelasticidade plana torna-se uma forma poderosa de determinao da distribui-

o de tenses ou fator de concentrao de tenses, associadas a esses problemas. Em pontos

no interior do modelo bidimensional, pode-se obter apenas a leitura da tenso cisalhante m-

xima, e os valores individuais das tenses principais s so obtidos com a utilizao de dados

suplementares ou emprego de mtodos numricos.

(a) (b)

Figura 4 a) Modelo fotoelstico do implante dentrio com conexo do tipo hexgono inter-no sem carga. b) Padro de franjas observado no modelo fotoelstico do implante dentrio

com carga, analisado no Laboratrio de Projetos Mecnicos da FEMEC/UFU.

1.3 Fotoelasticidade de transmisso tridimensional

Os modelos utilizados na fotoelasticidade plana so carregados temperatura ambiente, e,

sendo elsticos, a configurao das franjas desaparece quando a carga retirada. Uma vez

que a luz precisa atravessar toda a espessura, a interpretao das configuraes das franjas s

possvel quando o modelo plano, gerando um estado plano de tenses considerando a dis-

tribuio das tenses praticamente uniforme ao longo da espessura.

Vrios polmeros, como por exemplo, aqueles base de resina epxi, quando carregados sob

altas temperaturas e em seguida resfriados, retm a configurao das franjas como se ainda

estivessem carregados em regime elstico. Este processo denominado de "congelamento de

tenses/deformaes". O congelamento de tenses em certos tipos de materiais pode ser en-

tendido como se estes possussem uma forte estrutura elstica, ou rede molecular, que no

afetada pelo calor, com os espaos entre as ligaes preenchidos por uma massa de molculas

fracamente ligadas (cadeias secundrias), que amolecem com o aquecimento, como mostra a

Figura 5. Quando o modelo aquecido, atingindo a chamada "temperatura crtica do polme-

ro", e carregado, a estrutura molecular elstica suporta a carga e deformada elasticamente

sem impedimento. No resfriamento, a massa malevel na qual a estrutura molecular est




7

imersa se torna "congelada" e mantm a estrutura quase na mesma condio de deformao

quando a carga removida. Assim, a deformao substancialmente retida e no prejudi-

cada pelo corte do modelo em fatias. Um modelo tridimensional pode ento ser cortado em

finas fatias, e cada uma delas pode ser examinada no polariscpio de transmisso, sendo que

as relaes pticas continuam sendo vlidas para qualquer plano retirado do modelo tridi-

mensional. O estado de tenso que produziu o efeito ptico na fatia no plano, mas caracte-

rizado pelas tenses principais secundrias no plano em considerao. Assim, pode-se exa-

minar uma fatia interna ao modelo, com qualquer direo normal e espessura, de forma simi-

lar usada para modelos planos. A completa obteno dos valores individuais das tenses

tridimensionais em um ponto do modelo, pode ser feita combinando as equaes para trs

planos perpendiculares. Como estas seis equaes, duas para cada plano, no so linearmente

independentes, necessrio utilizar as equaes de equilbrio associadas a mtodos numri-

cos, para a completa separao das tenses. A Figura 6 mostra um modelo 3D fundido e uma

das fatias retiradas do modelo. A Figura 7 mostra o padro de franjas desta fatia observada

em um polariscpio de transmisso. A Figura 8 mostra uma aplicao especfica para anlise

de um problema tridimensional utilizando o mtodo fotoelstico.

Figura 5 Esquema das ligaes primrias e secundrias de um material fotoelstico com propriedades para congelamento de tenses.

Figura 6 Modelo fotoelstico de uma biela e uma fatia retirada do modelo.




8

Figura 7 Fatia da biela analisada em um polariscpio de transmisso mostrando os padres de franjas no modelo mesmo sem a aplicao da carga (congelamento das tenses).

Figura 8 Anlise fotoelstica 3D (transmisso) de um reator nuclear utilizando fotoelastici-dade de transmisso 3D. Fonte: Measurements Group / Vishay Inc.

1.4 Fotoelasticidade de reflexo

A fotoelasticidade de reflexo uma tcnica experimental usada para a determinao de ten-

ses/deformaes em superfcies planas ou irregulares. uma tcnica relativamente precisa e

tem como principal vantagem o fato de no ser necessria a confeco de modelos. Pode ser

utilizada em problemas envolvendo deformao elstica ou plstica, bem como em problemas

envolvendo materiais anisotrpicos. A obteno dos parmetros pticos pode ser feita dire-

tamente na estrutura ou componente mecnico, quando estes esto sob efeito dos carregamen-

tos reais. Nestes casos, o polariscpio de reflexo pode ser deslocado para o local de opera-

o da estrutura.




9

Esta tcnica consiste em colar na superfcie do espcimen uma camada de material fotoelsti-

co com uma cola apropriada e que possui uma superfcie reflexiva na interface espci-

men/camada. Quando o espcimen carregado, a deformao na superfcie do mesmo

transmitida para a camada fotoelstica e atravs da anlise dos fenmenos pticos que ocor-

rem no material fotoelstico, pode-se determinar as tenses/deformaes na superfcie do

espcimen. Existem vrios mtodos de separao das tenses principais, sendo que os mais

usados so o mtodo da incidncia oblqua e o mtodo da inciso.

Os materiais fotoelsticos usados nesta tcnica, alm de outras caractersticas, tm que ter

baixo mdulo de elasticidade, se comparado com o mdulo de elasticidade do espcimen,

para minimizar o efeito de reforo e dar alta resistncia relaxao ptica mecnica, garan-

tindo uma estabilidade das medidas com o tempo. A Figura 9 apresenta um caso de aplicao

utilizando a fotoelasticidade de reflexo.

Figura 9 - Anlise fotoelstica utilizando a tcnica de reflexo em um suporte de motor.

Fonte: Measurements Group / Vishay Inc.

2 A NATUREZA DA LUZ

Newton (1642-1727) props a teoria corpuscular da luz, na qual a luz era visualizada atravs

do fluxo de pequenas partculas (ftons). Maxwell (1831-1879) props a teoria eletromagn-

tica da luz indicando que a propagao da luz era feita de forma ondulatria atravs de um

vetor de campo eltrico e um vetor de campo magntico.

Os fenmenos pticos observados na fotoelasticidade so explicados atravs desta natureza

ondulatria da luz, basicamente, utilizando um de seus componentes de vibrao que o ve-

tor de campo eltrico (E). Este vetor vibra em fase com o vetor de campo magntico (B) sen-

do mutuamente perpendiculares na direo de propagao. A Figura 10 mostra o esquema de

vibrao destes dois vetores.




10

Figura 10 Luz propagando-se na direo Z vibrando em diversos planos.

2.1 Relaes pticas na fotoelasticidade

A teoria eletromagntica de Maxwell mostra que a luz uma perturbao eletromagntica

que pode ser expressa como um vetor que normal direo de propagao. Esta perturba-

o pode ser considerada como uma onda em movimento, o que possibilita expressar a ampli-

tude do vetor luz em termos da soluo da equao de ondas unidimensional (Eq. 1).

(1)

Onde:

E : amplitude do vetor luz ou um de seus componentes;

z : posio ao longo do eixo de propagao;

t : tempo de propagao;

c : velocidade de propagao (cluz = 3 x 108 m/s no vcuo).

A maioria dos efeitos pticos de interesse na anlise experimental de tenses, mais especifi-

camente na fotoelasticidade pode ser descrita como uma onda senoidal, propagando na dire-

o positiva do eixo z, como mostrado na Figura 11. Ou seja:

)ctz(2

sena)ctz(fE

ou )ctz(

2cosaE

(2)

O tempo requerido para a passagem de dois picos sucessivos sobre algum valor fixo de pro-

pagao chamado perodo (T). A frequncia (f) definida pelo nmero de oscilaes de

amplitude por perodo, onde o comprimento de onda. Ento:

c

Tf

1 (3)

E f z c t g z c t ( ) ( )

B Fonte de luz

z

E

B




11

Figura 11 - Forma do vetor luz em funo da posio, ao longo do eixo de propagao Z.

A cor reconhecida pelos olhos humanos determinada pela frequncia dos componentes do

vetor luz. As cores do espectro visvel vo do vermelho com entre 630 e 700 nm ao vio-

leta com entre 400 e 450 nm. A luz que apresenta diferentes comprimentos de onda re-

conhecida pelo olho humano como uma luz branca. A Tabela 1 apresenta os comprimentos

de onda do espectro visvel. Destaca-se que a luz branca contm todos os com igual energia

e a luz monocromtica possui apenas um comprimento de onda.

Tabela 1 Comprimentos de onda dos espectros visveis (1A = 10-10 m).

Comprimento de onda

(nm) Cor

400 450 Violeta

450 480 Azul

480 510 Azul-verde

510 550 Verde

550 570 Amarelo-verde

570 590 Amarelo

590 630 Laranja

630 700 Vermelho

3 INSTRUMENTOS PTICOS

3.1 Polarizador plano ou linear

So elementos pticos que absorvem os componentes do vetor de luz que no vibram na dire-

o do eixo do polarizador. Os tipos mais utilizados so aqueles que utilizam folhas de pola-

ride do tipo H que so cristais dicricos (duas cores) encapsulados por um filme plstico

E

Z




12

(Polivinil alcolico). Quando a luz atravessa um polarizador plano, ele a divide em duas

componentes de onda de luz vibrando em planos mutuamente ortogonais, como mostrado no

esquema da Figura 12.

Figura 12 Luz incidindo em um polarizador plano.

A componente paralela ao eixo de polarizao transmitida (Et) enquanto que a componente

perpendicular ao eixo absorvida (Ea) no caso de elementos do tipo polaride ou totalmente

refletida no caso de cristais de calcita (Prisma de Nicol). Nestes casos, tem-se:

at EEE

costcosaEt (4)

3.2 Retardadores de onda

So elementos pticos que tem a caracterstica de decompor o vetor de luz em duas direes

ortogonais transmitindo-o com diferentes velocidades. Tais materiais possuem dupla refrao

sendo chamados materiais birrefringentes. Os tipos mais utilizados so aqueles que utilizam

folhas de polivinil alcolico laminados com substrato de celulose-acetato-butirato (Fabrica-

dos com 140, 200, 280 e 520 nm). Outros materiais podem ser utilizados, como por exemplo,

polmeros, celofane, vidro e cristais de quartzo. Estes elementos possuem dois eixos princi-

pais denominados eixo lento (eixo 1) e eixo rpido (eixo 2). Quando essa placa colocada em

Luz incidente

E

Luz emergente

Et

Direo de polarizao




13

um campo de luz polarizada plana com o vetor de luz transmitido (Et) fazendo um ngulo

com o eixo rpido, este vetor decomposto em duas componentes transmitidas, Et1 e Et2, res-

pectivamente. A Figura 13 mostra um esquema de um retardador de onda.

Figura13 - Esquema de um retardador de onda.

Por causa da diferena de velocidades ao longo destes dois eixos, as duas componentes

transmitidas emergiro da placa em tempos diferentes, ou seja, uma estar retardada com

relao a outra. Esta diferena de fase linear dada por:

)12(12 nnh (5)

Onde:

)2(2

)1(1

nnh

nnh

(6)

Nas Equaes (5) e (6), h a espessura da placa, n o ndice de refrao do ar e n1 e n2 so

os ndices de refrao nas direes dos eixos rpido e lento, respectivamente.

A diferena de fase angular pode ser obtida a partir da diferena de fase linear (), uma vez

que esta equivalente ao vetor de luz girando ao longo do eixo de propagao com uma fre-

quncia angular , ou seja:

Luz incidente

E

E1

Eixo 2

(lento)

Eixo 1

(rpido) E2

E1

h

E2

() Atraso relativo




14

)12(22

nnh

(7)

Quando a placa projetada para dar uma retardao angular de /2, ela chamada de placa

de de onda (quarter-wave plate). Isto conseguido, geralmente, apenas variando a espes-

sura h da placa retardadora. Como pode ser visto na Figura 13, na sada da placa, as compo-

nentes do vetor de luz transmitidos ao longo dos eixos rpido e lento so:

sen)cos(

coscos

2

1

tkE

tkE

t

t

(8)

Onde, cosak

O mdulo do vetor de luz resultante ( rtE ) ser:

)(cossencoscos 2222222

1 ttkEEE ttr

t (9)

O ngulo que este vetor de luz resultante faz com o eixo rpido dado por:

tan

cos

)cos(tan

2

1

t

t

E

E

t

t (10)

Portanto, tanto a amplitude como a rotao da luz emergente podem ser controladas pela pla-

ca retardadora. Os tipos de polarizao que se pode obter nestes casos so, plana, circular ou

elptica. Os fatores que controlam estes tipos de polarizao so a diferena de fase relativa

e o ngulo de orientao . A seguir so apresentados estes trs casos possveis.

Caso 1: Luz polarizada plana

Para = 0 e qualquer no h efeito do retardador. Neste caso:

tkErt cos = 0 (11)

Desde que o vetor de luz no gira ( = 0) ele passa atravs da placa retardadora e emerge co-

mo luz polarizada plana. Neste caso, o retardador apenas produz uma retardao na onda que

depende de sua espessura e do ndice de refrao associado com o eixo rpido. Resultado

similar obtido para = /2.




15

Caso 2: Luz polarizada circular

Para = /4 (45 ) e = /2 (quarter-wave plate) tem-se que:

2

2kE rt e = t (12)

A ponta do vetor de luz gira com uma velocidade angular constante no sentido anti-horrio e

uma magnitude constante formando um crculo emergindo com uma luz denominada luz po-

larizada circular.

Caso 3: Luz polarizada elptica

Para n/4 e = /2 (quarter-wave plate) tem-se que:

ttkE rt 2222 cossencoscos (13)

tantantan t (14)

A ponta do vetor tem uma magnitude que varia com a posio angular formando uma elipse,

cuja forma e orientao so controlados pelo ngulo .

4 POLARISCPIO E SUAS CARACTERSTICAS

O equipamento utilizado na anlise fotoelstica plana e tridimensional o polariscpio de

transmisso, que pode ser um polariscpio de luz plana ou luz circular. A Figura 14 mostra

um modelo de polariscpio de transmisso pertencente ao Laboratrio de Projetos Mecnicos

da FEMEC/UFU. Na fotoelasticidade de reflexo o instrumento utilizado na medidas dos

parmetros fotoelsticos o polariscpio de reflexo.

O polariscpio serve para levar as ondas dentro de um plano comum causando uma interfe-

rncia ptica entre elas, sendo um instrumento que mede a diferena de fase que ocorre quan-

do a luz polarizada passa atravs de um modelo fotoelstico tensionado. O modelo mais sim-

ples o polariscpio plano de campo escuro (trabalha com luz plana e o polarizador e o ana-

lisador possuem eixos cruzados). Utilizando duas placas de um quarto de onda possvel

obter o chamado polariscpio circular.




16

Figura 14 Polariscpio de transmisso vertical do Laboratrio de Projetos Mecnicos da Faculdade de Engenharia Mecnica da UFU.

4.1 Polariscpio plano

O polariscpio plano constitudo de uma fonte de luz, duas placas polarizadoras de luz sen-

do uma denominada polarizadora (P) e a outra, analisadora (A). A esta ltima, acoplado um

transferidor para a medida dos parmetros fotoelsticos. Um esquema do polariscpio plano

mostrado na Figura 15.

Figura 15 - Esquema de um polariscpio plano com modelo fotoelstico.




17

4.2 Polariscpio circular

O polariscpio circular constitudo de uma fonte de luz, uma placa polarizadora e uma ana-

lisadora, e mais duas placas retardadoras de um quarto de onda, que fazem um ngulo de 45

com os eixos de polarizao das placas polarizadoras. As placas retardadoras de um quarto de

onda so usadas para gerar a partir da luz polarizada plana, luz polarizada circular possuindo

seo transversal uniforme composta de um cristal de determinada espessura. Esta espessura

determinante para produzir uma diferena de fase de um quarto de comprimento de onda

(/2) entre as ondas emergentes. A Figura 16 mostra um esquema do polariscpio circular.

Figura16 - Esquema de um polariscpio circular com modelo fotoelstico.

O esquema do polariscpio mostrado na Figura 16 consiste em uma fonte de luz, uma primei-

ra placa polarizada de luz (P), duas placas retardadoras de l/4 de onda com dois eixos de pola-

rizao (Ql e Q2), e uma segunda placa polarizadora de luz, chamada de placa analisadora

(A). Estas placas so arranjadas convenientemente em um sistema com aumento ou no de

imagem, escalas calibradas e com movimentos sincronizados das placas.

Os eixos rpido e lento dos retardadores podem ser cruzados ou paralelos, porm devem estar

a 45 com o polarizador para converter a luz polarizada plana para polarizada circular e voltar

para plana antes de entrar no analisador. Quando a luz passar pelo modelo tensionado a luz

polarizada circular converte-se em polarizada elptica.

Uma vez que no polariscpio circular existem duas placas polarizadoras e duas placas retar-

dadoras de onda existem quatro possibilidades de arranjo destes elementos colocando-os com




18

eixos cruzados ou paralelos. De acordo com um arranjo especfico pode-se obter luz polari-

zada em um campo escuro ou campo claro. De acordo com cada arranjo especfico pode-se

modificar os parmetros pticos nos modelos. A Tabela 2 mostra o resultado para as quatro

possibilidades de arranjo dos filtros.

Tabela 2 Arranjos dos elementos em um polariscpio circular.

Arranjo Polarizadores Retardadores Campo Observado

A cruzados cruzados escuro

B cruzados paralelos claro

C paralelos cruzados claro

D paralelos paralelos escuro

5 FOTOELASTICIDADE DE TRANSMISSO BIDIMENSIONAL

5.1 ndice de refrao

A relao entre a velocidade de propagao da luz no vcuo e a velocidade de propagao da

luz em um material qualquer denominada ndice de refrao absoluto do material (Cluz/V).

A relao entre as velocidades de propagao da luz entre dois diferentes materiais (V1 /V2)

chamada ndice de refrao relativo do meio (2) em relao ao meio (1). Em um corpo ho-

mogneo e isotrpico este ndice constante e independente da direo de propagao ou

plano de vibrao.

Certos materiais, principalmente plsticos, comportam-se homogeneamente quando isentos

de tenses, mas tornam-se heterogneos quando so submetidos a uma tenso. A mudana no

ndice de refrao funo da tenso aplicada.

Quando um feixe de luz polarizada se propaga atravs de um modelo plstico transparente de

espessura b, com um determinado nvel de tenso, onde x e y so as direes das tenses

principais no ponto sob considerao, o vetor de luz se divide em dois feixes polarizados,

propagando-se nos planos x e y com velocidades diferentes, que dependem das tenses prin-

cipais no ponto.

Se as deformaes especficas ao longo de x e y forem x e y , e as velocidades da luz se-

gundo estas direes forem Vx e Vy , respectivamente, o tempo necessrio para cada uma das

componentes cruzar o material do modelo ser b/V e o atraso relativo ou fase () entre os

dois feixes de luz ser:




19

(15)

onde, nx e ny so os ndices de refrao absolutos em relao aos eixos x e y respectivamente.

5.2 Luz polarizada

A luz uma onda eletromagntica que vibra em todas as direes, sendo que esta vibrao

perpendicular direo de propagao e determinada atravs de sua frequncia. Uma fonte

de luz emite ondas contendo vibraes transversais direo de propagao. A luz branca, a

mais comum, caracterizada por apresentar diferentes comprimentos de onda. A polarizao

da luz nada mais do que a vibrao desta em um nico plano, ou seja, somente uma compo-

nente dessas vibraes ser transmitida. Isto feito com a introduo de um filtro polarizador

no caminho das ondas de luz, sendo que a componente da luz vibrar na direo paralela ao

eixo de polarizao do filtro. A luz pode ser completamente extinta, colocando-se outro filtro

polarizador na trajetria com o eixo de polarizao perpendicular ao anterior.

Com a introduo de um filtro Polarizador (p) no caminho das ondas de luz, somente uma

componente dessas vibraes ser transmitida, aquela paralela ao eixo de polarizao do fil-

tro. Este feixe orientado chamado LUZ POLARIZADA.

5.3 Lei de Brewster-Maxwell (Dupla Refrao Temporria)

Muitos materiais transparentes no cristalinos so oticamente isotrpicos quando totalmente

livres de tenses, mas apresentam-se oticamente anisotrpicos quando solicitados. Este fe-

nmeno denominado dupla refrao temporria. Este efeito foi observado por David Brews-

ter em 1816. Maxwell desenvolveu os conceitos relativos a variao dos nveis das tenses

principais em funo dos ndices de refrao para um regime elstico linear, ou seja,

)21(23103

)31(22102

)32(21101

ccnn

ccnn

ccnn

(16)

Onde:

i : Tenses principais no ponto;

ni : ndices de refrao do material no ponto;

n0 : ndice de refrao do material descarregado;

ci : constantes pticas.

C

b

V

b

Vb

C

V

C

Vb n nluz

x y

luz

x

luz

yx y




20

Da Equao (16), pode-se escrever que:

)21(

)21)(21(21

ch

ccnn

(17)

A Equao (7) mostrou que a diferena de fase angular pode ser escrita em funo da dife-

rena de fase linear e do comprimento de onda da seguinte forma:

2 (18)

Portanto, utilizando as Equaes (18) e (17) pode-se escrever que:

211

2

hc (19)

Definindo, a ordem de franja (N) e a constante ptica em termos de tenso (f) como,

N

2 (20)

f

c (21)

Tem-se finalmente que,

h

fN

21 (22)

A principal caracterstica dos materiais fotoelsticos que estes materiais respondem s ten-

ses/deformaes atravs de uma mudana nos ndices de refrao nas direes das tenses

principais. A diferena entre os ndices de refrao nos dois planos principais proporcional

diferena das tenses principais, como mostrado na Equao (19). Para facilitar a utilizao

da tcnica, esta equao foi reescrita sob a forma da Equao (22). Nesta, 1 e 2 so as ten-

ses principais no ponto, f a constante ptica relativa s tenses que depende do material e

do comprimento de onda da luz utilizada, N a ordem de franja no ponto e h a espessura do

modelo. Com este mtodo consegue-se determinar a diferena das tenses principais nos pon-

tos, e a direo destas tenses.

A tenso cisalhante mxima depende apenas da diferena das tenses principais, ou seja:




21

2

21max

(23)

Portanto, das Equaes (22) e (23) tem-se que:

h

Nf

22

21max

(24)

Portanto, a tenso cisalhante mxima pode ser determinada em toda a extenso do modelo

conhecendo-se as respectivas ordens de franja no ponto de interesse. Se o problema exigir

que se conheam as tenses normais mximas, necessrio que se aplique algum mtodo

para a separao de tenses.

De forma anloga, a relao observada na Equao 17 pode ser expandida em termos da dife-

rena entre as deformaes principais, ou seja:

)21(21 Cnn (25)

Considerando as direes das deformaes principais, pode-se obter a relao bsica para

medida de deformaes usando tcnicas fotoelsticas:

f

h

N 21

(26)

Na Equao (26) f a constante ptica em termos de deformao, sendo dada por:

f

Ef

1 (27)

Onde:

E : mdulo de elasticidade do material;

: razo de Poisson do material.

As expresses das Equaes (22) e (26) so as relaes bsicas para medida de tenses usan-

do fotoelasticidade. Devido ao atraso relativo (), as duas ondas no so mais simultneas

quando emergem do modelo. Se o modelo em questo estiver entre dois polarizadores o ana-

lisador transmitir somente uma componente de cada uma dessas ondas. Estas componentes

interferiro entre si e a intensidade de luz resultante que emergir, ser funo da fase e do

ngulo entre o eixo de polarizao do analisador e a direo das tenses principais.




22

Para avaliar como se d esta interferncia as sees 5.4 e 5.5 apresentam as intensidades lu-

minosas resultantes em modelos fotoelsticos carregados em um polariscpio plano e em um

polariscpio circular.

5.4 Parmetros fotoelsticos

Conforme definido anteriormente, a interferncia causada pela diferena de fase entre os fei-

xes de luz propagando nas duas direes principais e o ngulo entre as direes principais e

os eixos de polarizao do polariscpio do origem a dois parmetros fotoelsticos que po-

dem ser medidos, sendo conhecidos como isoclnicas e isocromticas.

A tcnica fotoelstica pode utilizar luz monocromtica ou luz branca. Utilizando luz mono-

cromtica os efeitos pticos observados, ou seja, as franjas so pretas ou claras. Neste caso,

um modelo observado em um polariscpio plano possui as isoclnicas superpostas as isocro-

mticas tornando difcil a anlise do modelo.

O uso da luz branca resolve este problema porque as franjas observadas so coloridas. No

caso particular, a franja de ordem zero de cor preta, facilitando portanto a observao e de-

terminao do gradiente de tenses no modelo. A Figura 17 mostra as cores relativas as or-

dens de franja inteiras.

Figura 17 Padro de cores versus ordens de franjas observadas nos modelos fotoelsticos.

5.4.1 Medida dos parmetros fotoelsticos

A pergunta agora : Como determinar as isoclnicas (direo das tenses principais) e as

isocromticas (ordens de franja N) nos pontos de interesse?

COR

Vermelho/verde

Vermelho/azul/verde

Violeta

Preta

ORDEM DE FRANJA

3

2

1

0

PADRO DE CORES




23

a) Determinao das isoclnicas

Conforme descrito nas sees anteriores, as isoclnicas podem ser definidas como sendo o

lugar geomtrico dos pontos do modelo que possuem a mesma direo das tenses principais,

e estas coincidem com as direes de polarizao do polariscpio. So curvas pretas (onde

ocorre a completa extino da luz) que aparecem no analisador de um polariscpio plano e

seu valor pode ser determinado, girando-se o conjunto polarizador/analisador em relao ao

modelo.

A Figura 18 apresenta o modelo de um disco sob compresso analisado em um polariscpio

plano utilizando luz branca. Neste caso mostrada a isoclnica a 0, ou seja, a direo das

tenses principais nos pontos mdios das curvas pretas (cruz) faz um ngulo de 0 com rela-

o a direo de polarizao.

(a) (b)

Figura 18 Disco sob compresso ao longo do dimetro vertical observado em um polaris-cpio plano: (a) em um polariscpio com campo escuro, (b) em um polariscpio com campo

claro. Fonte: Laboratrio de Projetos Mecnicos/FEMEC/UFU.

As isoclnicas podem ser determinadas de duas maneiras:

Obteno das isoclnicas no campo completo do modelo. A famlia de curvas cor-

respondentes sequncia de parmetros de 0o a 90

o registrada em incrementos de

5o, mapeando-se assim o modelo com suas curvas isoclnicas.

Obteno da isoclnica individualmente nos pontos de interesse.

A Figura 19 mostra uma sequncia de isoclnicas observadas em um disco sob compresso

utilizando luz monocromtica.




24

Figura 19 - Isoclnicas a 0, +20 e 20 em um modelo de disco sob compresso vertical.

Devem ser observadas as seguintes regras gerais sobre as isoclnicas:

Um isoclnica deve sempre coincidir com um eixo de simetria do modelo, caso ele exista.

Todas as isoclnicas passam atravs de pontos de carga concentrada. A tenso tangencial no contorno uma tenso principal e o parmetro da isoclnica

coincide com a inclinao do contorno no ponto de interseco. Ou seja, o parme-

tro da isoclnica determinado por esta inclinao.

Em eixos de simetria no existem tenses de cisalhamento; logo, so direes prin-cipais.

Os parmetros das isoclnicas podem ser utilizados para determinar as tenses de cisalhamento em um plano arbitrrio definido por um sistema de coordenadas XY.

Ou seja:

22xy 2sinh2

f N2sin

2

21

(28)

11xy 2sinh2

f N2sin

2

21

(29)

Onde: 1 : ngulo entre o eixo X e a direo de 1;

2 : ngulo entre o eixo X e a direo de 2.

Todas as Isoclnicas devem passar por pontos isotrpicos ou singulares:

- Pontos isotrpicos: 1=2 (Estado hidrosttico de tenses) N = 0; - Pontos singulares: 1=2=0.




25

Figura 20 Padro das isoclnicas para um anel circular sujeito a uma carga de compresso.

Algumas caractersticas gerais podem ser observadas com relao ao padro das isoclnicas.

A Figura 20 apresenta uma sequencia geral de vrios parmetros das isoclnicas para o mode-

lo de um anel e a Figura 21 mostra um esquema geral destes parmetros. De uma forma geral,

podem ser destacadas as seguintes regras gerais:

A borda de uma placa um ponto singular negativo. No contorno livre, pontos isotrpicos singulares indicam mudana de sinal nas ten-

ses do contorno.

Pontos isotrpicos em sequencia (mais de um ponto singular) sero positivos e ne-gativos.

Linhas isoclnicas no se interceptam umas com as outras exceto em pontos isotr-picos.

Pontos de carga concentrada no so pontos isotrpicos. Pontos singulares de uma borda e canto livre de cargas sero negativos. Se uma isoclnica passa em 02 pontos singulares na borda livre de uma placa, ele

passa tambm em um ponto isotrpico do interior.

As isoclnicas, linhas ao longo das quais as tenses principais tm uma inclinao constante, d a direo das tenses principais. Estas podem ser apresentadas na

forma de um diagrama de trajetria de tenses chamado de isostticas, onde as ten-

ses principais so tangentes ou normais s linhas isostticas em cada ponto.




26

Figura 21 Esquema da configurao das isoclnicas para o modelo do anel sob carga de compresso.

compresso.

As isostticas so construdas da seguinte forma:

Inicia-se da isoclnica a 0, considerando-se pontos arbitrariamente espaados. Definem-se linhas numeradas (1) conforme mostra a Figura 22, sendo orientadas a

0 com relao a normal.

As linhas (1) so divididas ao meio e o novo conjunto de linhas (2) desenhado in-clinado de 10 com relao a vertical.

O processo segue e as linhas (3) so desenhadas a 20 com relao a vertical e as-sim sucessivamente.

Com o auxlio destas linhas so desenhadas as Isostticas. As trajetrias das tenses so desenhadas tangentes s linhas construdas nos pon-

tos de interseo com as isoclnicas.




27

Figura 22 Procedimento para a determinao das linhas isostticas.

b) Determinao das isocromticas

As isocromticas podem ser definidas como sendo o lugar geomtrico dos pontos que apre-

sentam o mesmo valor para a diferena entre as tenses principais. Este parmetro mais

facilmente identificado no polariscpio circular, que tem a propriedade de eliminar o parme-

tro da isoclnicas. Se a fonte de luz utilizada for monocromtica (somente um comprimento

de onda), as isocromticas se apresentam como faixas escuras (sem luz). Quando a fonte de

luz branca, as isocromticas so formadas por faixas luminosas de diferentes coloraes

dependendo da ordem de franja, N.

A Figura 23 mostra um disco sob compresso analisado em um polariscpio circular sob luz

branca. Observa-se que no existem as isoclnicas sobre o modelo. A Figura 24 mostra mode-

los de dentes de engrenagens observados em um polariscpio circular sob luz monocromtica

e luz branca.

Figura 23 Modelo de um disco sob compresso vertical analisado em um polariscpio circular sob luz branca.




28

(a) (b)

Figura 24 Modelos de dentes de engrenagens observados em um polariscpio circular sob luz monocromtica (a) e luz branca (b).

A tcnica pode ser aplicada a vrios tipos de modelos como o mostrado na Figura 25, sendo

que as ordens de franja em um ponto do modelo podem ser determinadas de duas formas:

Fotografando ou traando em papel as ordens de franjas inteiras que correspondem

a fases mltiplas do comprimento de onda de luz utilizada. No caso de luz branca o

espectro observado no analisador, apresenta coloraes tpicas para as ordens de

franja, conforme mostrado na Figura 17. Geralmente, para se determinar a ordem

de franja de pontos fora das franjas de ordem inteira faz-se uma interpolao ou ex-

trapolao das isocromticas. Este procedimento s aconselhvel quando no se

necessita de medidas exatas ou o nmero de franjas muito grande.

Para se conseguir medidas mais precisas, ou seja, ordens de franja fracionrias, po-

de-se utilizar mtodos de compensao. Dentre os mtodos de compensao usu-

ais, o mais utilizado o mtodo de compensao de Tardy, por ter aplicao

simples e no exigir o uso de equipamentos complementares.

Figura 25 Modelo fotoelstico de uma chave analisada em um polariscpio circular sob luz branca.




29

Np

12 3

40

Devem ser observadas as seguintes regras gerais sobre as isocromticas:

A diferena das tenses principais (1 - 2) determinada pela Lei ptica das ten-ses em qualquer modelo fotoelstico.

Se 1 > 0 e 2 < 0 ento max=(1 - 2)/2 , ou seja, possvel obter a tenso cisa-lhante mxima.

Se 1 > 0 > 2 < 3 = 0 ou 1 > 2 > 3 = 0, a tenso cisalhante mxima no est no plano do modelo. Portanto, possvel calcular apenas p. Para calcular max preciso calcular as tenses principais individuais.

No contorno, se no houver carregamento, 1 = 0 ou 2 = 0, ou seja, a normal ao contorno nula. Logo, possvel obter 1 ou 2.

Se o contorno no livre de carga, tem-se que a tenso tangencial ao contorno se-r:

h

N fp1

(30)

Se o contorno no livre e a carga no conhecida deve-se aplicar tcnicas de se-parao de tenses.

5.5 Mtodo de compensao de Tardy

A seguir mostrada a sequencia para a determinao de ordens de franja fracionrias em um

ponto qualquer do modelo usando o mtodo de compensao de Tardy. A Figura 26 apresen-

ta um desenho esquemtico do mtodo.

Figura 26 Esquema para a determinao da ordem de franja fracionria segundo o mtodo

de compensao de Tardy.

Para aplicao adequada do mtodo, fundamental que o usurio saiba distinguir correta-

mente as ordens de franjas inteiras no modelo. O procedimento deve seguir os seguintes pas-

sos:




30

[ 1 ] Ajusta-se o polariscpio para polarizao plana. A seguir, gira-se o conjunto po-

larizador/analisador at que uma isoclnica passe sobre o ponto em questo. Fi-

xa-se o conjunto nesta posio. Os eixos de polarizao ficam assim alinhados

com a direo das tenses principais.

[ 2 ] Colocam-se as duas placas retardadoras de de onda fazendo um ngulo de 45

o, com os eixos de polarizao, passando o ajuste do polariscpio de plano pa-

ra circular. Com isto, desaparecem as isoclnicas, ficando somente as isocrom-

ticas.

[ 3 ] Observa-se o espectro, assinalando as ordens de franja de valores inteiros adja-

centes ao ponto de interesse. Identificam-se assim as ordens de franjas prximas

ao ponto de interesse (por exemplo: na Figura 26 tem-se as ordens N1 = 2 e N2 =

3 no ponto de interesse.

[ 4 ] Gira-se o analisador, observando cuidadosamente o movimento das franjas, at

que uma das franjas de ordem inteira passe pelo ponto (no exemplo, a 2 ou a 3).

No transferidor do polariscpio l-se o ngulo de rotao (). Neste caso, se gi-

rar no sentido horrio a franja 2 caminhar para o ponto, consequentemente, gi-

rando no sentido anti-horrio quem vai caminhar para o ponto ser a franja de

ordem 3.

[ 5 ] Se a franja que se moveu em direo ao ponto for a de ordem menor (n1) tem-se

que a ordem de franja fracionria no ponto dada pela Equao 31 e se a franja

que se moveu for a de ordem mais alta (n2), o mesmo obtido pela Equao 32.

1801

nN p (medido em graus) (31)

1801

nN p (medido em graus) (32)

Deve-se ficar atento, pois ordens de franjas de trao e compresso so exatamente iguais.

Alm disso, nas superfcies livres, as direes das tenses principais so, respectivamente,

tangentes e perpendiculares superfcie. A tenso principal perpendicular superfcie nula,

se no existir carregamento. Portanto, em uma superfcie livre, se a franja de ordem superior

se mover em direo ao ponto, tem-se uma tenso de compresso neste ponto (negativa), e se

a franja de ordem menor se mover em direo ao ponto, tem-se uma tenso de trao (positi-

va).

5.6 Materiais fotoelsticos

Para a utilizao da tcnica fotoelstica, materiais especiais devem ser usados, portadores de

caractersticas indispensveis como:

material transparente;




31

boa resposta ptica;

caractersticas lineares;

homogneo e isotrpico;

no deve exibir fluncia;

mdulo de elasticidade grande;

constante ptica (f) no deve alterar com a temperatura;

no deve exibir efeito de borda (Time edge effect);

fcil de ser usinado;

livre de tenses residuais;

baixo custo.

Com relao aos materiais fotoelsticos pode-se destacar ainda:

Para a fotoelasticidade tridimensional, alm das caractersticas acima, o material

deve apresentar caractersticas que possibilitem o congelamento das tenses, isto ,

este deve ter a propriedade de fixar a anisotropia ptica mediante tratamento tr-

mico adequado.

Para a fotoelasticidade de reflexo, o material deve apresentar uma fase de cura in-

termediria, onde possvel moldar a camada fotoelstica no formato da pea

qual esta vai ser colada. Aps a moldagem, o material deve endurecer sem apresen-

tar nenhuma anisotropia ptica.

Exemplos de materiais utilizados:

Fotoelasticidade Plana: Cr-39 - Columbia Resin (Carbonato)

H-100 - Homalite 100 (resina de polister)

Policarbonato

Resinas Epxi (Araldite)

Resinas Epxi com Aminas (Polipox)

5.7 Mtodos de calibrao

Conforme mostrado na Equao (22), a determinao da diferena das tenses principais

atravs da Lei ptica das tenses feita determinando-se a ordem de franja no ponto de inte-

resse, devendo-se conhecer a espessura do modelo utilizado e uma propriedade ptica do ma-

terial denominada de constante ptica. O valor desta constante ptica obtido atravs de pro-

cessos de calibrao e deve ser efetuada sempre que se for utilizado um novo material fotoe-

lstico ou outra amostra de um mesmo material.




32

Para se fazer a calibrao do material, deve-se selecionar um modelo no qual a distribuio

de tenso conhecida. O modelo deve tambm ser fcil de ser usinado e possuir uma forma

simples para a aplicao da carga. Exemplos de modelos mais comumente utilizados em cali-

brao so: barras retas tracionadas e discos comprimidos.

No processo de calibrao, o modelo submetido a incrementos de carga e as respectivas

ordens de franja so determinadas. O procedimento repetido um nmero suficiente de vezes

para que se possa efetuar uma regresso e determinar a constante ptica (f).

a) Calibrao utilizando o modelo de barra tracionada

Neste caso, um modelo fotoelstico de uma barra tracionada, conforme mostrado na Figura

27, sujeito a uma carga axial de trao F.

Figura 27 - Vistas no 3 diedro do corpo de prova utilizado para a obteno da Curva de Ca-

librao para a determinao da constante ptica (f). Fonte: Laboratrio de Projetos Mecni-

cos.

A tenso da barra em qualquer ponto longe da aplicao da carga dada por:

A

F 1 (33)

A lei ptica das tenses foi definida na Equao (22). Como, neste modelo, a tenso 2 nula, tem-se que:

A

FN

h

f 1 (34)

Logo, tem-se que:

Nh

fAF

(35)

cotas em mm




33

Portanto, o coeficiente angular da reta formada pela fora versus a ordem de franja fornece a

constante ptica, uma vez que os parmetros geomtricos so constantes.

b) Calibrao utilizando o modelo de disco comprimido

Neste caso, um modelo fotoelstico de um disco, conforme mostrado na Figura 28 sujeito a

uma carga vertical de compresso F.

Figura 28 - Dimenses de modelo de um disco sob compresso para a obteno da Curva de

Calibrao para a determinao da constante ptica (f). Fonte: Laboratrio de Projetos Me-

cnicos.

A Tenso no centro do disco dada por:

hD

P

21 e

hD

P

62

(36)

Utilizando a lei ptica das tenses e a Equao (36) pode-se obter a equao da reta de cali-

brao utilizando o modelo do disco sob compresso, ou seja:

NDf

P8

(37)

De forma anloga ao caso anterior, o coeficiente angular da reta formada pela fora versus a

ordem de franja fornece a constante ptica, uma vez que os parmetros geomtricos tambm

so constantes para o modelo do disco.




34

5.7.1 Exemplo de um processo de calibrao

Por exemplificar o procedimento anteriormente comentado ser mostrado como feita uma

calibrao utilizando uma barra de material fotoelstico de seo retangular. Esta barra

normalmente utilizada em ensaios no Laboratrio de Projetos Mecnicos da FEMEC/UFU. A

Figura 29 mostra o aparato experimental utilizado para fazer a calibrao. Os seguintes mate-

riais so necessrios:

barras feita de material fotoelstico;

dispositivo de aplicao de carga;

clula de carga;

polariscpio;

paqumetro;

polariscpio de transmisso vertical.

Figura 29 Aparato experimental utilizado para obter a constante fotoelstica de um materi-al utilizando uma barra de seo transversal retangular. Fonte: Laboratrio de Projetos Mec-

nicos.

Inicialmente, foram determinadas as dimenses da barra utilizando o paqumetro. A barra foi

fixada ao sistema de carga atravs dos furos feitos em suas extremidades. Foi aplicada uma

carga gradual na barra de 5 kgf em 5 kgf at prximo de 30 kgf. Para cada valor de carga

aplicado foi determinada a ordem de franja (N) correspondente na imagem observada no po-

lariscpio circular de transmisso. Para a determinao destas franjas foi usado o mtodo de




35

compensao de Tardy. Com os dados obtidos construiu-se uma tabela a fim de se obter a

curva de calibrao. A constante ptica do material foi obtida desta curva utilizando regres-

so linear (DALLY e RILLEY, 1978). A Tabela 3 mostra os resultados dos incrementos de

carga versus as ordens de franja medidas. As dimenses do corpo de prova so:

Largura (b) de 40.10 mm;

Espessura (h) de 6.45 mm;

Comprimento L de 200 mm.

Tabela 3 - Valores das ordens de franja medidas para diferentes incrementos de carga.

Calibrao

Carga (kgf) Ordem de Franja

0 0

5.97 0.17

9.67 0.285

15.62 0.525

19.79 0.705

26.5 0.91

29.72 1.02

A constante ptica f pode ser calculada a partir da regresso linear que define a reta de cali-

brao, que dada por:

Tem-se:

399,29

**

2

2

n

NN

n

FNNF

A

i

i

ii

ii

5895,0*

n

NAFB

ii

cmKgfb

Af

Fy

Nx

B

bfA

BxAy

fbNF

/33,701.4

399,29

0

*

*

**




36

Este resultado tambm pode ser obtido via regresso linear no programa Excel, ou em qual-

quer outro software de manipulao de dados ou, ainda, manualmente, utilizando papel mili-

metrado. A Figura 30 mostra a reta de calibrao obtida no programa Excel.

Figura 30 - Reta de calibrao obtida no Excel.

Do grfico, determina-se a equao de regresso y = 28,218 x + 0,7518. Ento, tem-se que:

cmKgfb

Af

Fy

Nx

B

bfA

BxAy

fbNF

/037,701.4

218,28

0

*

*

**

Curva de Calibrao

y = 28.218x + 0.7518

R2 = 0.9968

0

5

10

15

20

25

30

35

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Ordem de Franja

Fo

ra

(Kg

f)

Calibrao

Linear (Calibrao)




37

6 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

ARAJO, C.A. Notas de Aula Curso Anlise Experimental de Tenses. Curso de Ps-

Graduao em Engenharia Mecnica UFU, Uberlndia, 2004.

DALLY, J.W.; RILLEY, W.F. Experimental Stress Analysis. McGraw-Hill, 1978.

DOYLE, F.D. Manual on Experimental Stress Analysis. Society for Experimental Mechanics,

5.ed., 1985.

OLIVEIRA, S.A.G. Introduo Fotoelasticidade Plana. Apostila UFU, Uberlndia, 1995.

SHIGLEY, J.E. Mechanical Engineering Desing. MacGraw-Hill, 1997.

THEOCARIS, P.S.; GDOUTOS, E.E. Matrix Theory of Photoelasticity. SpringerVerlag.

New York, 1979.

Apostila__Fotoelasticidade-ProfCleudmar

Documents

Transcript of Apostila__Fotoelasticidade-ProfCleudmar