apostila_dinamica-veicular

8/12/2019 apostila_dinamica-veicular

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FIAT / UFSC

CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EMENGENHARIA AUTOMOTIVA

DINÂMICA VEICULARPROFESSOR LAURO NICOLAZZI



Sumário

1 Estabilidade direcional 1

1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Estabilidade em retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Forças e momentos sobre o veículo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.2 Influência do comportamento do pneu na estabilidade . . . . . . . . . 5

1.3 Comportamento do veículo em reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.1 Força perturbadora transitória agindo no CG . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.2 Força lateral permanente agindo sobre o CG . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Manutenção da direção primitiva através do volante . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Considerações básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6 Veículos sujeitos a ventos laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6.1 Força do vento agindo no centro de gravidade . . . . . . . . . . . . . 13

1.6.2 Força do vento agindo na frente do centro de gravidade . . . . . . . . 131.6.3 Força do vento agindo atrás do centro de gravidade . . . . . . . . . . 14

1.7 Considerações adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.8 Estabilidade em curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8.1 Geometria da direção e centro da curva . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8.2 Comportamento do veículo em curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.9 Influência da posição do eixo de tração na estabilidade direcional de um veículo 23

1.10 Disposição dos elementos mecânicos no veículo . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.10.1 Concepção convencional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.10.2 Tração dianteira, motor longitudinal ou transversal . . . . . . . . . . 24

1.10.3 Motor traseiro longitudinal ou transversal . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.11 Influência da disposição dos elementos mecânicos no comportamento do veículo 27

1.11.1 Concepção convencional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.11.2 Concepção com tração dianteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.11.3 Concepção com motor traseiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.11.4 Outras concepções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.12 Comportamento das concepções com carregamento total . . . . . . . . . . . 29

1



1.12.1 Concepção convencional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.12.2 Concepção com tração dianteira. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.12.3 Concepção com motor traseiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.12.4 Concepção com motor central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.12.5 Concepção transaxle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.13 Comparação de diferentes concepções em testes de pista . . . . . . . . . . . . 31

1.13.1 Teste em pista circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.13.2 Sensibilidade a ventos laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.13.3 Verificação da dirigibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.13.4 Teste de ultrapassagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.13.5 Aquaplanagem em curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.13.6 Aquaplanagem em reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.13.7 Conclusões dos ensaios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2 Sistema de direção 37

2.1 Geometria da direção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1.1 Esterçamento e raio de retorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2 Ângulos da direção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3 Camber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.4 Inclinação do pino mestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.5 Convergência das rodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.5.1 Eixo não motriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.5.2 Eixo motriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.5.3 Raio de rolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.5.4 Correção do comportamento em curvas com a variação da convergência 50

2.6 Caster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3 Suspensões planas 53

3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2 Centro de gravidade das massas suspensas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.3 Centro e eixo de rolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.4 Comportamento do veículo em curva com molas lineares . . . . . . . . . . . 59

3.5 Transferência de carga das rodas internas para as externas . . . . . . . . . . 61

3.5.1 Ação do momento M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.5.2 Ação das parcelas da força centrífuga das massas suspensas . . . . . . 66

3.5.3 Ação do estabilizador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.5.4 Ação da força centrífuga das massas não suspensas . . . . . . . . . . 68

3.6 Carga dinâmica nas rodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2



3.6.1 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.7 Ângulo de rolamento da carroceria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.7.1 Momentos de rolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.7.2 Momentos de reação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.7.3 Ângulo de rolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.7.4 Possibilidades de melhorar o comportamento em curvas . . . . . . . 75

3.8 Exemplo de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.9 Exemplo de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4 Modelos dinâmicos 89

4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.2 Definição de algumas variáveis básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.3 Defl

exão dos pneus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.3.1 Deflexão dos pneus para eixos com suspensões independentes . . . . . 91

4.3.2 Deflexão nos pneus para suspensões de eixo rígido . . . . . . . . . . . 92

4.4 Deflexão das molas das suspensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.4.1 Deflexão das molas para suspensões independentes . . . . . . . . . . . 95

4.4.2 Deflexão das molas para suspensões de eixos rígidos . . . . . . . . . . 96

4.5 Modelos com dois graus de liberdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.5.1 Modelo para bounce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.5.2 Determinação de alguns parâmetros da suspensão . . . . . . . . . . . 105

4.5.3 Massas não suspensas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.6 Modelos com sete graus de liberdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.6.1 Veículos com dois eixos rígidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.6.2 Veículos com suspensão independente na dianteira e eixo rígido na

traseira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.6.3 Veículos com suspensão independente na dianteira e na traseira . . . 134

4.6.4 Modelo para arfagem e bounce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.7 Unificação dos modelos desenvolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.7.1 Modelo de excitação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

3



Capítulo 1

Estabilidade direcional

1.1 Introdução

A estabilidade é caracterizada como a propriedade de um corpo de, retirado de umaposição de equilíbrio ou movimento contínuo, produzir forças e momentos que o façam re-tornar à posição primitiva.

Um exemplo simples que permite visualizar o conceito de estabilidade é o de uma esferasobre uma superfície, quando retirada da sua posição de equilíbrio, como mostra a Figura1.1.

A estabilidade de um veículo é entendida como sendo a propriedade de retornar ao estadoprimitivo de marcha após cessada uma perturbação transitória, como, por exemplo, umarajada de vento. Isto não significa voltar à trajetória primitiva de deslocamento, mas sim à

condição estável de marcha. Na Figura 1.2, são mostradas trajetórias distintas seguidas pordois veículos com concepções diferentes e submetidos a uma mesma ação de vento lateral.

Em geral, a direção seguida pelo veículo após cessar a perturbação é diferente da primitivae somente em casos especiais as direções coincidem. Através de medidas construtivas, pode-se conseguir estabilidade de marcha e manter desvios de curso, devidos à perturbações, emvalores reduzidos, sendo o retorno à direção primitiva obtido através de pequenas correçõesno volante.

Com o avanço da tecnologia, os automóveis ficaram cada vez mais velozes e o estudoda estabilidade direcional, que considera o efeito de forças transversais de pequena ou longa

Figura 1.1: Condições possíveis de equilíbrio.

1



Capítulo 1 - Estabilidade direcional. 2

Figura 1.2: Comportamento de dois veículos com concepções diferentes após a atuação deuma perturbação lateral.

duração, é fundamental. Essas forças podem ser conseqüência de ventos, inclinações lateraisda pista ou, então, por acelerações laterais causadas por mudanças de direção necessáriaspara percorrer uma curva.

Considera-se, no estudo subseqüente, duas condições distintas quanto à estabilidade doveículo:

• estabilidade em retas e

• estabilidade em curvas.

Pretende-se, com ele, fornecer ao projetista condições de melhor avaliar o comportamentodo veículo em desenvolvimento e de como atuar para, se necessário, atenuar ou acentuaralgumas características relativas a sua estabilidade direcional.

1.2 Estabilidade em retas

1.2.1 Forças e momentos sobre o veículo

A estabilidade de um veículo depende das forças e momentos que nele atuam nas difer-entes condições de marcha; essas forças, por outro lado, dependerão das dimensões e formado veículo, logo sofrem influência do projetista.

Quando o veículo se desloca em linha reta numa pista plana, existe equilíbrio entre asresistências ao movimento e a força de aderência dos pneus com o solo, quer seja na traçãoou na frenagem.




Figura 1.3: Força lateral perturbadora devida à inclinação da pista.

A resistência ao rolamento e as forças de tração ou frenagem atuam nos pneus. Asforças de inércia atuam no centro de gravidade. Quanto à força do ar, o seu ponto deatuação depende não só da forma aerodinâmica da carroceria como, também, do ângulo deincidência do vento sobre o veículo.

As forças laterais que irão influenciar a estabilidade direcional do veículo podem seroriginadas de várias maneiras:

• Inclinação da pista.

Uma parcela do peso do veículo, devido à inclinação lateral da pista, irá atuar na direçãotransversal deste, como mostra a Figura 1.3. O valor desta parcela é dado por

S = G. sen α (1.1)

• Força centrífuga.

Quando o veículo estiver fazendo uma curva, a força centrífuga que estará atuando édada por

S = m .ω2 .ρ = m v2

t

ρ (1.2)

onde:m - massa do veículo;ω - velocidade angular;vt - velocidade tangencial;ρ - raio da curva.




Figura 1.4: Força lateral perturbadora devida ao vento.

• Vento incidindo na lateral do veículo.

Quando a direção do vento, na Figura 1.4 representada pelo ângulo β , for oblíqua àdireção de movimento do veículo, a força resultante R, orientada nessa figura pelo ânguloτ , pode ser decomposta na resistência aerodinâmica, Qa, e na força N , normal à direção domovimento.

O ponto de aplicação de R, para as formas habituais de carroceria, situa-se entre o eixodianteiro e o centro de gravidade do veículo. Em túneis de vento, com modelos em escalareduzida ou com veículos reais, fazendo o vento incidir em diferentes ângulos de inclinaçãosobre a carroceria, é possível obter o valor da força transversal e o seu ponto de aplicação.Como este ponto dificilmente coincide com o CG, tem-se, geralmente, um momento agindosobre o centro de gravidade do veículo, dado por

M z = N e, (1.3)

onde e é a distância do CG ao ponto de aplicação de N . O momento é considerado positivo

quando tende a fazer o veículo girar no sentido anti-horário.Para facilitar as análises do comportamento do veículo em diferentes situações, será ado-tada a modelagem mostrada na Figura 1.5; nela, considera-se o veículo dotado de pneusiguais, com a mesma pressão, e, ainda, tanto as rodas dianteiras como as traseiras repre-sentadas por uma só, localizada no centro de cada eixo. A força lateral S atuante no CGe originada por qualquer das causas citadas anteriormente, ou por uma superposição delas,pode ser substituída por suas componentes atuando nos eixos dianteiro e traseiro (se essaforça lateral for causada por ventos, o valor dessas componentes será afetado pelo momentoda componente lateral do vento em relação ao CG). Esse modelo elimina o efeito das sus-pensões e do sistema de direção, salientando somente a distribuição de forças nos eixos e osângulos de deriva delas decorrentes.




Figura 1.5: Modelo simplificado de um automóvel.

Figura 1.6: Modelo simplificado de um veículo com a força lateral perturbadora aplicada noseu centro de gravidade.

1.2.2 Influência do comportamento do pneu na estabilidade

Veículo com CG na metade da distância entre eixos

Supondo que o veículo tenha o seu centro de gravidade na metade da distância entre eixose esteja submetido a uma força lateral S , agindo nesse centro, as componentes transversais

nos eixos são dadas por:

S I = S

2 (1.4)

S II = S

2 (1.5)

Como QI = QII = Q/2 e S I = S II = S/2, os pneus se deformarão, sob a ação destasforças laterais, com iguais ângulos de deriva, como mostra a figura 1.6 a).

Como αI = αII , o veículo se deslocará lateralmente e, após cessada a perturbação,

assumirá uma trajetória paralela à primitiva.




Veículo com CG na dianteira

Este caso será mais facilmente entendido considerando um veículo hipotético com pneus cujocomportamento está representado na figura 1.6 b). Admita-se que a distribuição de pesoseja de 60% na dianteira e 40% na traseira e que a força lateral que atua no CG se distribua,nos eixos, segundo estas porcentagens. Supondo, por exemplo, que o veículo pese 12000 N eque esteja submetido a ação de uma força lateral de 6000 N , tem-se para o eixo dianteiro:

QI = 12000 (0, 6) = 7200 N (1.6)

S I = 6000 (0, 6) = 3600 N (1.7)

e para o eixo traseiro:

QII = 12000 (0, 4) = 4800 N (1.8)

S II = 6000 (0, 4) = 2400 N (1.9)

o que corresponde às cargas radiais e transversais de 3600 N e 1800 N para um pneu do eixodianteiro e de 2400 N e 1200 N para um pneu do eixo traseiro, considerando, simplificada-mente, que a força lateral não ocasiona inclinação da carroceria, o que aumentaria a carga nopneu externo de um eixo e diminuiria no interno. Nessas condições simplificadas, as derivasdos dois pneus de um mesmo eixo seriam iguais e, portanto, iguais à deriva do eixo.

Da figura 1.7, as derivas do eixo dianteiro e traseiro correspondem, respectivamente, a

αI = 6, 2o

e αII = 5o

e o veículo, sob a ação de S, percorrerá uma trajetória curva, com o eixodianteiro afastando-se da trajetória primitiva no mesmo sentido de S. Cessada a perturbação,seguirá uma direção inclinada em relação à direção primitiva, figura 1.6 b), e não paralelacomo no primeiro caso analisado.

Veículo com CG na traseira

Ocorre um comportamento semelhante com o CG situado mais perto do eixo traseiro, porémcom αI < αII . Neste caso, sob a ação de S, a trajetória também será curva mas com o eixodianteiro afastando-se da trajetória primitiva no sentido contrário ao de S; cessando essa

força, a direção seguida pelo veículo também será inclinada em relação à primitiva, figura1.6 c).

Na tabela 1.1, são apresentadas as três situações de distribuição de carga analisadasanteriormente.

É importante salientar que os valores reais de αI e αII não são exatamente os mostradosna tabela, já que S, devido à característica do pneu, não se distribui entre os eixos na mesmaproporção da variação de Q. Esse comportamento foi destacado no capítulo 1. No capítulo9, será apresentado um exemplo numérico de cálculo dos ângulos de deriva nos eixos de umveículo percorrendo um curva.




0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 Q[kN]

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

S[kN]

α = 20

α = 40

α = 60

α = 80

α = 10 0

Figura 1.7: Reação lateral do pneu em função da carga normal com o ângulo de deriva como

parâmetro.

Tabela 1.1: Deriva nos eixos de um veículo com distintas distribuições de cargas.Carga Distribuição % de carga

nos nos eixos dianteiro e traseiropneus 50 − 50 60 − 40 40 − 60

Q p [N ] 3000 3600 2400Q p [N ] 3000 2400 3600S p [N ] 1500 1800 1200S p [N ] 1500 1200 1800αI [o] 5, 4 6, 2 5, 0αII [

o] 5, 4 5, 0 6, 2




1.3 Comportamento do veículo em reta

Na análise preliminar anterior, foi considerado o veículo no instante em que inicia a atu-ação da força lateral perturbadora e ele começa a modificar seu comportamento; entretanto,

persistindo essa força, aparecerão outros efeitos - como o da trajetória curvilínea que porven-tura ele percorra, com o surgimento de força centrífuga agindo no seu centro de gravidade,e do momento das reações laterais dos pneus, em relação a esse mesmo centro, - que irãoinfluenciar no seu comportamento.

Para a análise a seguir, considera-se que o veículo não sofrerá correção de direção pelaação do condutor.

1.3.1 Força perturbadora transitória agindo no CG

Essa força ocorre, por exemplo, devido a uma inclinação lateral da pista e a sua ação, na

estabilidade direcional, depende da distribuição de carga nos eixos.

Veículo com carga igualmente distribuída nos eixos

Como QI = QII , pela ação da força perturbadora o veículo sofre um deslocamento lateraldevido à elasticidade do pneu, permanecendo, entretanto, com seu eixo longitudinal paraleloà direção primitiva. O ângulo de deriva aumenta até que as reações laterais nos pneusequilibrem essa força. Neste caso, conforme foi visto, S I = S II , αI = αII , e não ocorrerágiro do veículo em torno do seu eixo vertical, figura 1.8 a).

Veículo com carga maior na dianteira

Neste caso, tem-se que QI > QII e a distância do CG ao eixo traseiro é maior do queao eixo dianteiro, aII > aI , de modo que QI /QII = aII /aI . Pela ação da força transversal,surgem as reações laterais dos pneus, com S I > S II , e os ângulos de deriva nos eixos,αI > αII ; o veículo tende a se desviar da direção primitiva percorrendo uma trajetóriacurvilínea.

Dois efeitos se superpõem, então, ao ocasionado pela força transitória.O primeiro se deve a não proporcionalidade da reação lateral do pneu com a carga normal

nele atuante - ver ítem ??. Devido a essa característica, no eixo mais carregado, a reação

lateral cresce relativamente menos que o crescimento da carga normal, enquanto que, noeixo menos carregado, essa proporcionalidade é maior. Desse modo, surgirá, em relação aocentro de gravidade, um momento das reações laterais, chamado momento de reação do soloou, mais simplificadamente, momento do solo. Sua expressão, neste caso, é

M r = S II aII − S I aI

e o seu sentido é anti horário, ou seja, ele tende a aumentar o giro do veículo ocasionadopela força transitória.

O segundo é ocasionado pelo surgimento de uma força centrífuga quando o veículo per-

corre a trajetória curvilínea e que é de sentido oposto ao da força transitória S . Com o




Figura 1.8: Força lateral transitória agindo no CG.




desaparecimento de S , permanece a força centrífuga que age como uma força perturbadoraem sentido contrário, funcionando como força restauradora. Logo, as reações laterais dospneus mudam também de sentido tendendo a trazer o veículo para a direção primitiva; omovimento passa a ser semelhante a uma senóide amortecida, como mostra a figura 1.8 b).

Analisando o comportamento mostrado nesta figura, pode-se afirmar que, um veículocom maior carga na dianteira é estável em relação a forças laterais transitórias atuantes noseu CG, pois, logo após a perturbação, surgem forças e momentos que tendem a restaurarsua trajetória original. Este caso corresponde à primeira situação mostrada na figura 1.2.

Veículo com carga maior na traseira

Aqui QI < QII , aI > aII , S II > S I e αII > αI ; deste modo, o veículo irá percorrer umatrajetória curvilínea no sentido contrário ao da força perturbadora, tendendo à direção destaúltima. Este comportamento é mostrado na figura 1.8 c).

A força centrífuga que surge na trajetória curvilínea tem o mesmo sentido de S ; assim,mesmo que cesse a perturbação transitória, o veículo continuará se afastando da trajetóriaprimitiva. O momento do solo, que neste caso vale

M r = S I aI − S II aII

contribui para esse afastamento e, a menos que se atue sobre o volante, o veículo se afastarásempre mais da trajetória original.

Deste modo, um veículo com CG deslocado para trás não é estável em relação a forçaslaterais transitórias agindo no CG, porque, mesmo com o seu desaparecimento, surgem forças

e momentos que continuam a desviá-lo de sua trajetória. Este caso corresponde à segundasituação da figura 1.2.

1.3.2 Força lateral permanente agindo sobre o CG

Pode-se considerar, este caso, como uma extrapolação do caso anterior.

CG no centro do veículo

Pela ação de S , surgem as reações S I e S II . Os ângulos de deriva crescem até que a

força lateral e suas reações nos pneus se equilibrem. Como, neste caso, S I = S II , ter-se-áαI = αII . O veículo percorrerá, então, uma trajetória inclinada em relação à primitiva, mascom seu eixo longitudinal paralelo à posição anteriormente ocupada, como mostra a figura1.9 a).

CG deslocado para a frente

Com S , tem-se S I > S II e αI > αII , e o veículo percorre uma trajetória curva. Aforça centrífuga se opõe à ação de S e, embora o veículo se afaste cada vez mais da direçãoprimitiva, o faz de forma suave, figura 1.9 b). O momento do solo colabora com o giro.




Figura 1.9: Força lateral perturbadora permanente agindo no CG.

CG deslocado para a traseira

Sob a ação de S , S II > S I e αII > αI . O veículo tende a se afastar mais rapidamenteda direção primitiva, já que a força centrífuga se soma à força perturbadora e colabora nodesvio.

O momento do solo, aqui também, contribui para aumentar o desvio. Este caso estárepresentado na figura 1.9 c).

1.4 Manutenção da direção primitiva através do volan-

te

A direção primitiva pode ser mantida, em qualquer dos casos anteriores, através de açãosobre o volante da direção, de maneira a criar um momento sobre o veículo para corrigir suatrajetória.

Como se conclui da análise das diferentes situações anteriores, a ação sobre o volantedepende da distribuição de carga sobre os eixos e a ação necessária para corrigir a trajetória

de um veículo com carga igualmente distribuida sobre seus eixos ou com maior carga no eixo




dianteiro é diferente e menos crítica do que a necessária para corrigir um veículo com maiorcarga na traseira.

1.5 Considerações básicas

Um veículo é considerado estável em relação ao solo se, ao atuar uma força perturbadoraexterna no seu CG, os pneus deformam-se de maneira que:

aI ≥ aII . (1.10)

No caso da igualdade, a força centrífuga inexiste e, no outro, se opõe à força perturbadora,tendendo a levar o veículo de volta à direção primitiva.

Um veículo é considerado instável em relação ao solo se:

aI < aII . (1.11)

Neste caso, a força centrífuga colabora na retirada do veículo de sua direção primitiva,sendo necessárias correções bruscas no volante para manter a trajetória escolhida.

Em um veículo com pneus iguais e instável em relação ao solo, caso a diferença dederiva do eixo traseiro e dianteiro não seja demasiada, pode-se diminuir esta instabilidade,ou mesmo eliminá-la, aumentando a pressão dos pneus traseiros, ou seja, tornando-os maisrígidos lateralmente.

O mesmo efeito pode ser obtido pela utilização de pneus com diferentes tipos de con-strução e tamanho na frente e atrás do veículo. Esta técnica é bastante utilizada em carros de

corrida, pois a necessidade de transmitir grande potência para o solo exige uma distribuiçãode carga com parcela bem maior no eixo traseiro, que é o eixo motriz, a fim de se obterelevada força de atrito. No entanto, a maior carga na traseira aumenta a instabilidade e,para compensá-la, utilizam-se, nas rodas motoras, pneus de maiores dimensões do que osusados nas rodas dianteiras, já que pneus maiores apresentam maior rigidez lateral que osmenores.

Outras maneiras de alterar o comportamento do veículo, através dos mecanismos dedireção e de suspensão, serão vistos nos capítulos 2 e 3.

1.6 Veículos sujeitos a ventos laterais

Conforme visto anteriormente, a força lateral N , resultante da ação do vento, age sobreum ponto, chamado centro de pressão, que não coincide com o centro de gravidade, comomostra a figura 1.4. Esta excentricidade provoca um momento em relação a este centro,dado por:

M z = N e.

A esse momento poderá se somar, ou se opor, o momento do solo visto nos ítens anteriores.

Suas ações conjuntas afetarão o comportamento de veículos submetidos a ventos laterais.




1.6.1 Força do vento agindo no centro de gravidade

Esta situação é semelhante à de uma força permanente agindo no CG apresentada noítem 1.3.2, pois M z = 0 e N = S .

Centro de gravidade no centro da distância entre eixos do veículo

O veículo se desloca obliquamente à direção original, mas com o eixo longitudinal paraleloa sua posição primitiva; situação semelhante à representada pela figura 1.9 a).

Este caso é possível somente provendo o veículo com asas traseiras verticais - ou estabi-lizadores - de grande dimensões.

Centro de gravidade na dianteira do veículo

A força do vento ocasiona as reações dos pneus S I > S II e, consequentemente, αI > αII .

O veículo gira afastando-se da direção do vento, figura 1.10 a), fazendo com que S cresça.O momento do solo colabora com esse giro. Com a trajetória curvilínea, surge uma forçacentrífuga que se opõe à ação do vento.

Esta situação é possível na prática, sendo que o giro pode ser corrigido com relativafacilidade através do volante, já que os momentos são pequenos.

Centro de gravidade na traseira do veículo

A força do vento origina S II > S I e αII > αI e faz com que o veículo percorra umatrajetória curva para a direção em que o vento atua. O momento de reação dos pneus,

ou momento do solo, colabora nesse giro. A força do vento diminui, tendendo a anular-se.A força centrífuga, entretanto, continua atuando no mesmo sentido da força do vento e oveículo continua o giro, como mostra a figura 1.10 b).

Esta situação é difícil de ocorrer pois exigiria a utilização de asas traseiras verticais degrandes dimensões.

1.6.2 Força do vento agindo na frente do centro de gravidade

Centro de gravidade no centro do veículo

Aqui M r = 0 e M z = N e 6= 0; o veículo, sob a ação deste momento, gira, afastando-seda direção do vento, o que ocasiona o aumento da força transversal S ≡ N com o giro. Aforça centrífuga se opõe à força lateral perturbadora, figura 1.11 a).

Este é um caso comum; somente com pequenos momentos devido ao vento será fácilcorrigir a trajetória através de atuação no volante.


Aqui, M r 6= 0 e M z 6= 0, agindo no mesmo sentido, figura 1.11 b).O veículo percorre uma trajetória curvilínea, afastando-se da direção do vento e fazendo

com que a força perturbadora aumente. A força centrífuga se opõe a sua ação.




Figura 1.10: Força lateral perturbadora devido ao vento agindo no CG

Este caso é praticamente possível de ocorrer e o giro pode ser facilmente corrigido poratuação no volante; o momento devido ao vento é pequeno por ser pequena a distância docentro de pressão ao centro de gravidade.


Nesta situação, M r 6= 0 e M z 6= 0, mas agem em sentido contrário. Como M z > M r,por ser grande a distância entre o centro de pressão e o CG, o momento resultante sobre oveículo é M z −M r, figura 1.11 c).

Pela ação desse momento, o veículo gira afastando-se da direção do vento, o que faz comque a força perturbadora aumente. A força centrífuga age no sentido de reduzir essa força.

Esta situação é fácil de ocorrer e, pelo elevado valor do momento causado pelo vento, acorreção através do volante da direção é difícil de ser feita.

1.6.3 Força do vento agindo atrás do centro de gravidade

Centro de gravidade no centro do veículo

Para esta situação, M r = 0 e M z 6= 0, figura 1.12 a).O veículo gira para a direção do vento, o que causa a diminuição da sua força. A força

centrífuga age no sentido de aumentar a força perturbadora.Este é um caso difícil de ocorrer na prática, sendo possível somente com o uso de grandes

asas traseiras verticais.




Figura 1.11: Força lateral perturbadora devida ao vento agindo na frente do CG.




Figura 1.12: Força lateral perturbadora devida ao vento agindo atrás do CG.





Nestas condições, M r 6= 0 e M z 6= 0, tendo o mesmo sentido, figura 1.12 d).Pela ação conjunta desses momentos, o veículo gira para a direção do vento, causando

uma redução do seu efeito. A força centrífuga aumenta a força perturbadora.Este caso não ocorre praticamente.


Dependendo da distância do centro de pressão ao centro de gravidade do veículo, podemocorrer diferentes situações:

a) centro de pressão pouco atrás do CG e de modo que M z e M r equilibrem-se, figura1.12 b).

Com a igualdade desses momentos e sua ação em sentido contrário, o momento resultanteserá nulo, ou seja, o veículo não girará em torno de seu eixo vertical. Pela atuação da forçado vento, entretanto, haverá um deslocamento lateral do veículo paralelamente à direçãoprimitiva.

Caso praticamente possível e ambicionado.b) centro de pressão atrás do CG, de modo que M z seja levemente superior a M r, figura

1.12 c).Nessas condições, o veículo, em um primeiro instante, gira na direção do vento, reduzindo

sua ação até que haja igualdade entre os momentos; como eles agem em sentidos opostos, seequilibrarão. O veículo, então, se manterá na trajetória primitiva, com seu eixo longitudinaladotando uma posição um pouco inclinada em relação à posição anterior à perturbação.

Este é o caso ambicionado de estabilidade total, não havendo necessidade de correçãoatravés do volante.

Esta condição é possível de ser conseguida com a utilização de pequenas asas verticais,precisamente dimensionadas, na traseira do veículo.

O resumo das situações em que o veículo está submetido a ventos laterais está mostradona tabela 1.2.

1.7 Considerações adicionaisCom velocidade inferiores a oitenta quilômetros horários, não há necessidade de preocu-

pação com problemas de estabilidade. Para velocidades maiores, entretanto, é importanteque o projetista do veículo observe características construtivas que tornem o veículo mais es-tável direcionalmente, ou seja, que diminuam o desvio de curso quando forças perturbadorasocorrem. Com essas medidas, o trabalho do motorista para manter o veículo na trajetóriadesejada será facilitado.

• O centro de gravidade do veículo deve ficar no centro da distância entre eixos, oudeslocado para a frente. Essas distribuições do peso tornam o veículo estável emrelação ao solo.




Tabela 1.2: Resumo do comportamento de veículos submetidos a ventos laterais.Atuação da for- Posição do CGça do vento No centro Na traseira Na frente

Só ocorre com o uso Caso difícil de ocorrer Possível de ocorrer; fácil

No CG de grandes asas tra- pois exige grandes correção com o volanteseiras. asas traseiras verticais pois os momentos são

pequenos.Ocorrência comum; Fácil de ocorrer, po- Fácil de ocorrer; a

Na frente do CG fácil de corrigir com rém difícil de corrigir correção com o volante éo volante somente com o volante por simples pois Mz é peque-com Mz pequeno. Mz ser grande. no.Caso difícil de ocor- Praticamente impossí- Ideal e possível de ocor-rer; possível apenas vel para a concepção rer (Mz>Mr). Estabilidade

Atrás do CG com o uso de gran- dos veículos atuais. total. Não é necessária

des asas traseiras correção com o volante,verticais. porém exige asas traseirasverticais.

• As rodas traseiras devem possuir pneus mais rígidos lateralmente, quaisquer que sejamsuas cargas, de forma a garantir que

αI > αII . (1.12)

• O ponto de atuação da força do vento deve estar tão próximo quanto possível do CG(menor M z ). Neste particular, as carrocerias baseadas na forma de Kamm trouxeramuma melhoria quando comparadas com carrocerias cuja popa vai decrescendo gradati-vamente. Com aquela forma, o centro de pressão desloca-se para trás, aproximando-sedo CG.

É interessante salientar que para veículos esportivos esses conceitos também valem, em-bora nem sempre sejam seguidos por seus projetistas.

1.8 Estabilidade em curvas

1.8.1 Geometria da direção e centro da curva

Para realizar uma curva sem que haja escorregamento das rodas, a geometria da direçãodeve ser executada de maneira que, para qualquer giro da direção, os prolongamentos doseixos das rodas diretoras cortem-se no prolongamento do eixo das rodas traseiras, comomostra a figura 1.13.

As relações obtidas pela inspeção dessa figura permitem determinar o raio geométrico dacurva:

ρg = lβ . (1.13)




Figura 1.13: Geometria ideal da direção.

Ao percorrer a curva com velocidade, surgem, devido à força centrífuga, ângulos de derivanos pneus dianteiros e traseiros. Essa deriva ocasiona uma mudança do centro da curvade M para M i. Esse novo centro é chamado de centro instantâneo do movimento e estárepresentado na figura 1.14; para encontrá-lo, traçam-se retas perpendiculares às direçõesdadas pelos ângulos de deriva. O ponto de cruzamento destas retas é o centro instantâneoda curva M i.

O raio real da curva é calculado, com algumas simplificações e para pequenos ângulos dederiva, caso comum em rodovias, a partir da análise da figura 1.14.

O ângulo de esterçamento médio e os ângulos médios de deriva dos eixos dianteiro etraseiro são:

β = β 1 + β 2

2 (1.14)

αI = αI 1 + αI 2

2 (1.15)

αII = αII 1 + αII 2

2 (1.16)

A distância entre eixos, considerando os ângulos médios, é dada por

R + S = ρr. αII + ρr(β − αI ) = l (1.17)

e o raio real da curva dado por

ρr =

l

β − (αI − αII ) . (1.18)




Figura 1.14: Geometria da direção, considerando a deriva de cada roda.

Os índices 1 e 2 se referem às rodas externa e interna, respectivamente, enquanto osíndices I e II aos eixos dianteiro e traseiro.

A posição do centro real da curva difere do seu centro geométrico tanto mais quantomaior a diferença entre os ângulos de deriva dos eixos dianteiro e traseiro, como se podeconcluir da equação 1.18.

1.8.2 Comportamento do veículo em curvas

O comportamento de um veículo em curvas depende, essencialmente, da distribuição da cargaem seus eixos. De acordo com esse comportamento, os veículos em curva são classificadoscomo:

• neutros

• subesterçantes ou subdirecionais

• sobresterçantes ou sobredirecionais.

Centro de gravidade situado no centro

Neste caso, pela ação da força centrífuga, os ângulos de deriva nos dois eixos serão iguais,ou seja , αI − αII = 0 na equação 1.18. Esta situação está representada na figura 1.15 a).Como as reações dos pneus são iguais, o momento do solo será nulo, ou seja, M r = 0.

Consequentemente, o raio real da curva é igual ao raio teórico ou geométrico. O ângulo

de giro do volante da direção β , necessário para executar uma curva em baixa velocidade,




Figura 1.15: Comportamento de veículos em curva, com características de neuto,subesterçante e sobresterçante.

é, aproximadamente, igual ao necessário para realizar a mesma curva com velocidade médiaou alta.

Na figura 1.16, a curva desejada é a de número 1 e será percorrida por este veículo.O veículo possuidor destas características é classificado como neutro ou estável em curvas .

Centro de gravidade na frente

Conforme foi visto, este tipo de veículo, quando submetido a uma força lateral, sofre de-formações nos pneus de modo que a deriva no eixo dianteiro é maior que a deriva no eixotraseiro, ou seja, αI − αII > 0 na equação 1.18. A figura 1.15 b) ilustra este caso.

Desse modo, a curva que o veículo realmente percorre tem um raio maior do que a curva

real, o que signifi

ca que ele "sairá de dianteira"nesta curva.




Figura 1.16: Trajetórias reais de curva de um veículo neutro "1", subesterçante "3"e so-bresterçante "2".

O momento do solo, devido às reações laterais dos pneus, aumenta essa tendência.Na figura 1.16, a curva realmente percorrida será a 3; para mantê-lo na trajetória desejada

1, será necessário um giro adicional ∆

β no volante, no mesmo sentido de β .Um veículo com este comportamento é classificado como subesterçante ou subdirecional ;ele é, também, considerado estável em curvas porque, por tender a abrir na curva, necessitaráde um aumento no giro das rodas, pela atuação no volante, no mesmo sentido dado pararealizá-la. Isso poderá ser feito tranquilamente, sem sobressaltos.

Centro de gravidade atrás

Nestas condições, pela ação da força lateral perturbadora, o ângulo de deriva no eixodianteiro é menor do que no traseiro, ou eja, αI −αII < 0 na equação 1.18. A figura 1.15 c)

representa este caso.Como consequência, haverá uma redução do raio da curva que o veículo realmente irápercorrer, ou seja, ele tenderá a "sair de traseira"na curva real.

O momento do solo, também aqui, aumenta essa tendência.Na figura 1.16, o veículo tenderá a percorrer a curva real 2; para mantê-lo em 1, será

necessário um giro ∆β , no sentido contrário ao de β .Com esse comportamento, um veículo é classificado como sobresterçante ou sobredire-

cional e é considerado instável em curvas. Isto porque, em velocidades médias ou altas, oveículo tende a fechar a curva e o ângulo de giro do volante da direção, para vencê-la, deveser menor do aquele necessário para executar a mesma curva em baixa velocidade. Dessemodo, será necessário girar o volante no sentido contrário ao inicialmente dado para mantero veículo na curva; isto pode surpreender motoristas menos experimentados.

Em veículos esportivos, o comportamento sobredirecional pode ser considerado interes-sante por tornar o veículo mais "dócil"em curvas, enquanto que o subdirecional, por ofereceruma certa "resistência"para realizá-la, já que exige um aumento no giro do volante, seriaconsiderado "indócil".

Como, entretanto, para a maioria dos motoristas, que não pode ser caracterizada comoesportiva, um comportamento sobredirecional é mais difícil de controlar, parece mais sensatoclassificar como dócil aquele veículo que, ao percorrer uma curva com velocidade crescente,

exige uma atuação no volante sempre no mesmo sentido.




Figura 1.17: Influência da tração na estabilidade direcional de um veículo.

1.9 Influência da posição do eixo de tração na estabil-

idade direcional de um veículo

Em um veículo com tração dianteira, ocorre equilíbrio estável entre as forças de tração ea força de inércia, enquanto que nos veículos com tração traseira esta situação favorávelnão ocorre, como mostra a figura 1.17. Este fato justifica a tendência, cada vez maior, deutilização de tração dianteira nos veículos modernos de passeio, apesar de sua desvantagem,em relação à tração traseira, quanto à capacidade de transferência da força de tração ao solo.

1.10 Disposição dos elementos mecânicos no veículo

Os elementos mecânicos de um veículo podem ser dispostos de várias maneiras, dando origem

a diferentes concepções construtivas que influem significativamente na sua estabilidade dire-cional.

1.10.1 Concepção convencional

A concepção convencional pode ser definida como aquela em que a disposição do motoré dianteira e a tração é traseira , como está ilustrado na f igura 1.18.

As vantagens desta concepção são:- distribuição razoável de peso;- eixo dianteiro de construção mais simples;- boa carga nas rodas diretoras;




Figura 1.18: Disposição de elementos mecânicos na concepção convencional.

- possibilidade de usar um motor de grande comprimento;- manutenção simples devido à posição do motor;- desgaste mais uniforme dos pneus: maior frenagem na dianteira, tração na traseira;- alavanca de câmbio simples;

- porta malas grande;- boa refrigeração, já que tem radiador dianteiro - o ventilador pode ser comutável;- rendimento bom na marcha direta, já que não há interferência de engrenagens na

transmissão de força;- silencioso simples, com comprimento longo;- boa estabilidade em retas (estável em relação ao solo);- baixa sensibilidade a ventos laterais (menor braço de ação da força do vento em relação

ao CG);- boa solução para deslocamento do motor acima de dois litros.Suas desvantagens são:- túnel no piso para eixo cardam e caixa;- necessidade de eixo cardam, em geral longo e com mancais intermediários;- direção pesada, com exigência de maior relação de transmissão, ou de ser assistida, já

que o motor está sobre as rodas dianteiras;- eixo traseiro pouco carregado - arranque dificultado em pista molhada e rodas traseiras

com possibilidade de patinar em curvas fechadas;- eixo traseiro mais caro - suporta o diferencial;- devido à transferência de carga, perigo de bloqueio das rodas traseiras na frenagem -

recomendável uso de sistema antibloqueio (ABS);

- tendência fortemente subesterçante - pode ser diminuída com estabilizadores;- com efeito da tração em curvas, pode alterar o comportamento, passando a ser so-

bresterçante;- dificuldade de aumentar a distancia entre eixos, pois as rodas motrizes ficariam pouco

carregadas.

1.10.2 Tração dianteira, motor longitudinal ou transversal

Esta concepção é caracterizada por ter o motor colocado à frente do eixo dianteiro e atração também ser dianteira, como mostra a figura 1.19. É a concepção mais utilizada nomomento.




Figura 1.19: Veículo com tração dianteira convencional.

As vantagens dela são:- maior estabilidade direcional, pois o veículo é puxado;- baixa sensibilidade a ventos laterais (pequena distância do centro de pressão ao CG);- distribuição razoável de peso;

- fl

uxo curto das forças de tração;- maior carga sobre as rodas diretoras e motoras - boa capacidade de tração, que, entre-tanto, diminui nas arrancadas pela transferência de carga para o eixo traseiro;

- acesso fácil ao motor.- possibilidade de maior distância entre eixos, logo, maior conforto;- eixo traseiro simples (pode ser rígido);- porta malas grande;- piso plano;- boa refrigeração - o radiador fica perto do motor;- alavanca de câmbio simples;

- silencioso simples, com comprimento longo;- boa estabilidade em retas e curvas;- possibilidade de colocar os discos de freio dianteiros junto ao diferencial e, com isso,

diminuir as massas não suspensas (ver suspensões), além de poder usá-los com maioresdimensões;

- solução conveniente para cilindrada até dois litros.Suas desvantagens são:- arranque dificultado em pista molhada e em aclives;- eixos dianteiros caros, necessitando de juntas homocinéticas;

- direção pesada devido à maior carga no eixo dianteiro;- raio mínimo de curva dificilmente inferior a cinco metros;- a suspensão do motor deve absorver todo o torque de arranque;- comprimento do motor limitado;- distribuição desfavorável das forças de frenagem - capacidade de frenagem bem maior

do eixo dianteiro e risco de bloqueio das rodas traseiras (recomendável uso de sistema ABS);- desgaste menos uniforme dos pneus - sensivelmente maior nos pneus do eixo dianteiro;- possibilidade da tração influenciar na direção;- desbalanceamento das rodas dianteiras mais sensível.




Figura 1.20: Veículo com motor traseiro.

1.10.3 Motor traseiro longitudinal ou transversal

Essa classificação é para aqueles veículos onde a tração é traseira e o motor está colocadoatrás do eixo traseiro, como mostra a figura 1.20. Poucos veículos, e na maioria esportivos,ainda usam esta concepção.

Suas vantagens são:- fluxo das forças de tração curto;- direção leve;- eixo dianteiro de construção simples;- distribuição mais conveniente das forças de frenagem - devido à maior carga no eixo

traseiro e à transferência de carga para o eixo dianteiro em uma freada, a capacidade defrenagem dos dois eixos é semelhante e pode ser melhor aproveitada;

- boa capacidade de tração pela concentração de massa sobre o eixo motor - melhoradaem arrancadas e aclives pela transferência de carga;

- inexistência de túneis no piso do veículo;- solução economicamente conveniente para veículos até 1, 2 litros de deslocamento, ex-

ceção feita para veículos esportivos;As desvantagens desta concepção são:- sensibilidade maior a ventos laterais - grande distância do centro de pressão ao C G;- rodas dianteiras pouco carregadas;- tanque de gasolina difícil de dispor;- porta malas limitado;- sistema de acionamento do câmbio complicado;

- desgaste não uniforme dos pneus;- a suspensão do motor suporta todo o torque de arranque;- difícil amortecimento de ruídos;- maior consumo de potência na refrigeração do motor;- o motor pode se deslocar para a frente em caso de batidas;- silencioso difícil de projetar, pois o percurso dos gases é muito curto.




1.11 Influência da disposição dos elementos mecânicos

no comportamento do veículo

A disposição dos elementos mecânicos no veículo afeta não apenas a distribuição de pesos

nos eixos dianteiro e traseiro e, em conseqüência, a sua estabilidade, como visto nos ítensanteriores, mas também a sua dirigibilidade ou maneabilidade . Este efeito se deve a um maiorou menor momento de inércia polar do veículo, ou seja, uma maior ou menor resistência parasofrer acelerações angulares em torno do eixo vertical que passa pelo centro de gravidade e,consequentemente, para mudar a sua trajetória de deslocamento.

Quanto mais distanciadas desse eixo vertical estão massas como a do motor, maior ainércia ao giro. Por outro lado, um veículo com esse tipo de massa concentrada próximo a esseeixo, ou seja, com baixo momento de inércia, caso sofra um momento de rotação perturbadorcomo, por exemplo, o ocasionado por forças desbalanceadas durante uma frenagem brusca,

pode rodopiar com mais facilidade - ver testes de pista a seguir.


A posição do centro de gravidade é favorável em relação à estabilidade direcional. Umveículo com essa concepção apresenta boa estabilidade em retas, sendo considerado estávelem relação ao solo. Com o CG deslocado para frente, diminui o braço de ação da força dovento, baixando sua sensibilidade a ventos laterais.

Em curvas, apresenta tendência subesterçante, ou seja, estável; se essa tendência forexagerada, pode ser diminuida com estabilizadores - ver suspensões. Como a tração é traseira,

pode influenciar na estabilidade em curvas, com o veículo passando o sobresterçante, ou seja,instável. Isto ocorre porque um pneu já submetido a uma força longitudinal, seja de traçãoou de frenagem, apresenta um maior ângulo de deriva, sob ação de uma força lateral, do quequando a força longitudinal inexistir.

Além disso, com o motor na frente e o eixo traseiro com diferencial, o momento deinércia polar é alto. Isso faz com que o veículo não apresente grande sensibilidade a forçasperturbadoras que causem um giro em relação ao seu eixo vertical. Diminui, por outro lado,sua maneabilidade, pois reage mais lentamente à atuação no volante pelo condutor.

1.11.2 Concepção com tração dianteiraEsta concepção apresenta centro de gravidade deslocado para frente. É estável em retas etem pequena sensibilidade a ventos laterais, já que a distância do centro de pressão ao CG

é diminuída.Em curvas, sua tendência é subesterçante, ou seja, estável. Com tração, essa tendên-

cia aumenta. Cuidados no projeto da suspensão - ver capítulo 3 - podem diminuí-la, seexagerada.

A utilização de motor/caixa/diferencial na frente faz com que o momento de inérciaem relação ao eixo vertical do veículo também seja elevado. Com isso, sua sensibilidade a

momentos perturbadores é pequena, mas sua maneabilidade fica diminuida.




O emprego de motores transversais, além de baratear o sistema de transmissão de forças,pois elimina o par de engrenagens cônicas do diferencial (essa distribuição permite obter aredução final com engrenagens cilíndricas), permite melhorar sua maneabilidade por reduziro momento polar de inércia.

1.11.3 Concepção com motor traseiro

Com a posição do centro de gravidade deslocado para trás, essa concepção tem o eixo di-anteiro pouco e o traseiro muito carregado, apresentando comportamento instável em retas.Devido ao grande braço de ação da força do vento, é muito sensível a ventos laterais.

Em curvas, apresenta tendência fortemente sobresterçante, ou seja, instável. Um projetoadequado da suspensão (ver capítulo 3) e a utilização de pressão maior nos pneus traseirospodem reduzir essa tendência.

O momento de inércia polar pode ser considerado alto; entretanto, como o CG está

deslocado para trás, a distância entre ele e o centro de pressão é grande e o veículo fica maissensível a forças perturbadoras laterais, como rajadas de vento. Sua maneabilidade é baixa.

Também neste caso, o uso de motores traseiros transversais pode trazer vantagens econômi-cas e de comportamento.

1.11.4 Outras concepções

Além da análise anterior, do comportamento das três concepções mais comuns em carrosde passeio, serão feitas, a seguir, algumas considerações sobre concepções encontradas emveículos esportivos.

Concepção com motor central - tração traseira

Essa concepção está representada na figura 1.21 a).A posição central do centro de gravidade garante uma estabilidade direcional em retas.

A sensibilidade a ventos laterais é maior do que as com CG na frente e menor do que aquelascom esse centro deslocado para atrás.

Em curvas, poderá apresentar um comportamento neutro, que tenderá a sobresterçantecom a tração, o que é apreciado em um veículo esportivo.

Como o momento de inércia em relação ao eixo vertical é pequeno, devido à concentraçãode massas no centro do carro, sua capacidade de absorção de momentos perturbadores, semque ocorram giros da carrroceria, é pequena.

Sua maneabilidade, por outro lado, é muito boa, reagindo prontamente à ações no volante.Nela, além disso, a capacidade de tração, devido à alta carga no eixo traseiro, é, também,

muito boa.A posição central do CG, garantindo bom carregamento do eixo traseiro, e a transferência

de carga para o eixo dianteiro durante a frenagem, fazem com que a distribuiçlão das forçasde frenagem seja boa.

Essas características justificam o uso bastante comum dessa concepção em carros es-portivos.




Figura 1.21: Disposição de elementos mecânicos em carros esportivos.

Concepção transaxle

A concepção transaxle é mostrada na figura 1.21 b). É usada em alguns carros esportivos.A distribuição das massas, com motor dianteiro entre eixos e caixa e diferencial traseiros,

fazem com que o centro de gravidade fique mais centralizado.

Apresenta, assim, estabilidade em relação ao solo, com sensibilidade média a ventoslaterais.

Em curvas, tenderá a um comportamento neutro, passando a sobresterçante com a tração.A distribuição das massas e sua posição em relação ao eixo vertical, fazem com que o

momento polar de inércia seja médio. Sua sensibilidade a momentos perturbadores situa-seentre as apresentadas por carros de passeio e a concepçãp com motor central, vista no ítemanterior. Sua maneabilidade é boa.

Com o deslocamento da caixa de câmbio e diferencial para o eixo traseiro, tem-se umacarga média sobre ele, que melhora com a aceleração pela transferência de carga, resultando

em uma boa capacidade de tração.A distribuição de pesos permite utilizar melhor o eixo traseiro na frenagem, principal-mente se for previsto um sistema antibloqueio das rodas.

1.12 Comportamento das concepções com carregamento

total

Neste ítem, é feita uma análise das concepções apresentadas anteriormente considerandoo veículo com carga máxima e lotação total. Nessas condições, podem ocorrer mudanças

importantes nos seus comportamentos porque a variação do carregamento modifica a posição




do centro de gravidade, bem como a inércia rotacional, o que poderá implicar em alteração daestabilidade direcional do veículo, tanto em retas como em curvas, e da sua maneabilidade.


Nesta nova situação, tem-se uma alteração bastante sensível da posição do centro degravidade, que será deslocado para trás, e o veículo poderá mudar o seu comportamentoestável em retas e em curvas. Em curvas, poderá passar de subesterçante para sobresterçantee, consequentemente, mais difícil de ser conduzido. Geralmente, alteram-se as pressões dospneus, principalmente elevando a dos traseiros, a fim de manter o comportamento originaldo veículo.

Como o momento polar continua elevado, a sensibilidade a perturbações externas, quetendam a girar o veículo em relação a seu eixo vertical, continua baixa. A maneabilidadefica reduzida.

Aumenta sua capacidade de tração, pois, devido à nova posição do centro de gravidade,tem-se um acréscimo da carga normal sobre o eixo traseiro.

A capacidade de frenagem pode ser melhorada pela redistribuição de carga, porém, paraque essa potencialidade seja utilizada, é necessário nova regulagem nos freios, ou, o que émais prático, usar sistema antibloqueio das rodas.

1.12.2 Concepção com tração dianteira.

Aqui também, devido à posição traseira do porta malas, o comportamento fica bastantemodificado, pois o centro de gravidade é deslocado para trás, afetando sua estabilidadedirecional.

O aumento da pressão dos pneus, com um valor mais elevado para os do eixo traseiro,pode manter as condições favoráveis existentes antes do aumento de carga.

O momento polar continua elevado e a sensibilidade a perturbações externas se mantémpequena. A maneabilidade fica menor.

A capacidade de tração não melhora; embora o veículo fique mais pesado, não há modi-ficação sensível na carga do eixo motriz.

A capacidade de frenagem com a nova posição do centro de gravidade poderá aumentar,pois haverá um acréscimo de carga sobre o eixo traseiro. Porém, este aumento da potencial-

idade de frenagem só será aproveitado com a utilização de freios com controle de bloqueio.

1.12.3 Concepção com motor traseiro

Como o porta malas, nesta concepção, é dianteiro, haverá um deslocamento do CG parafrente. A capacidade dele, entretanto, é limitada pelo espaço necessário para as rodas dire-toras, sistema de direção e suspensão. Com isso, a estabilidade direcional desta concepção,tanto em retas como em curvas, tenderá a melhorar um pouco, embora continue instável,principalmente em curvas; este comportamento poderá se agravar com a tração.

O momento polar aumentará e a sensibilidade a perturbações externas continuará baixa.A maneabilidade, que era baixa, ficará mais reduzida.




Como uma parcela do novo carregamento se apoiará no eixo traseiro, sua capacidade detração aumentará.

A capacidade de frenagem praticamente não é alterada; haverá um maior aumento decarga no eixo dianteiro, já dimensionado para exercer uma maior força de frenagem, e a

situação do eixo traseiro não se modificará significativamente.

1.12.4 Concepção com motor central

Como, nesta concepção, usam-se porta malas dianteiro e traseiro, quase não haverá mu-dança da posição do centro de gravidade, porém ocorrerá uma sensível mudança no momentode inércia, com diminuição de sua maneabilidade; o veículo fica menos dócil.

A estabilidade direcional fica pouco afetada.A capacidade de tração melhorará, com o aumento da carga sobre o eixo traseiro.A capacidade de frenagem continua boa, pois ocorrem apenas pequenas variações na

distribuição das forças de frenagem.

1.12.5 Concepção transaxle

O carregamento do veículo fará com que seu centro de gravidade se desloque para trás,podendo ocasionar uma leve alteração no seu comportamento.

Em retas, provavelmente continuará estável; em curvas poderá passar de subesterçantepara levemente sobresterçante, o que não preocupa em veículos esportivos.

O momento polar aumentará um pouco, tornando o veículo menos sensível a perturbaçõesmas, por outro lado, um pouco menos dócil.

A capacidade de tração melhorará com o aumento de carga no eixo traseiro, que é omotriz.

A capacidade de frenagem modifica pouco, continuando a ser boa.

1.13 Comparação de diferentes concepções em testes

de pista

A revista Auto Motor und Sport de junho de 1972, apresenta os resultados de uma série

de testes realizados com quatro veículos de diferentes concepções. O objetivo desses testesera verificar seu comportamento em várias situações que podem ocorrer nas pistas. Emboraos veículos representativos de cada uma das concepções analisadas possam, até mesmo, nãomais existir ou ser fabricados, a validade dos resultados persiste, já que novos modelos sãoprojetados dentro dessas mesmas concepções.

Na ocasião, os quatro veículos comerciais utilizados nos testes foram:

• Representando a concepção convencional

Veículo: BMW 1802

Distribuição de peso: 54, 5% - 45, 5%




Tabela 1.3: Resultados dos ensaios de veículos de várias concepções em pista.Pistas Tipo de teste Objetivos e Veículos analisados

resultados V1 V2 V3 V4P1 T1 1 52, 1 51, 0 50, 0 51, 3

P1 T2 2 2, 85 2, 94 4, 02 2, 90P1 T3 3: distância 1 55, 1 54, 0 53, 1 56, 2

distância 2 105, 4 107, 5 101, 4 108, 0P2 T4 4 96, 1 94, 5 93, 0 98, 0P3 T5 5: velocidade 1 8, 25 9, 5 8, 7 10, 6

velocidade 2 5, 0 3, 0 6, 0 6, 6P4 T6 6 30 90 550 900

T4 - teste de ultrapassagem;T5 - aquaplanagem em curva;T6 - aquaplanagem em reta.Para os objetivos e resultados:1- teste em pista circular para verificar a tendência dos veículos e, também, qual a

velocidade máxima, em quilômetros horários, de realização do teste em cada caso;2 - Teste de sensibilidade a ventos laterais, sendo o resultado o desvio lateral dado em

metros;3 - Teste para verificação da maneabilidade, sendo a distância entre os obstáculos, 1 e

2, dezoito e trinta e seis metros, respectivamente (o resultado é apresentado em quilômetrospor hora);

4 - Teste para verificar o comportamento com o giro brusco da direção, sendo o resultadodado em quilômetros por hora;

5 - Teste para verificar o desvio em curva molhada, para as velocidades, 1 e 2, de oitentae noventa quilômetros horários, respectivamente (o resultado apresentado é o desvio emmetros);

6 - Teste para verificar o efeito da aquaplanagem durante freadas, sendo o resultadoapresentado em graus.

Para os veículos:V1 - Audi 100;

V2 - BMW 1802;V3 - VW 411 E;V4 - VW Porsche 914.

1.13.1 Teste em pista circular

O piso era composto de dois trechos, um com cobertura asfáltica e o outro com pedras.O comportamento dos veículos, nestas condições de pista, foi:

Audi - nenhum problema ocorreu; a correção na direção consistiu apenas em um giro, novolante, um pouco maior do que o necessário, devido à tendência subesterçante inerente a

esta concepção.




Figura 1.22: Pista para teste de ultrapassagem.

BMW - inicialmente neutro, após e próximo à velocidade crítica passa a ser sobresterçante.VW 411 e Porsche 914 - no início subesterçantes, após a velocidade crítica, fortemente

sobresterçantes, exigindo giro do volante em sentido contrário ao da curva.

1.13.2 Sensibilidade a ventos laterais

O teste foi feito medindo-se o desvio dos veículos quando submetidos a um vento lateralinclinado, resultante da composição da velocidade de deslocamento do veículo, de 100 km/h,

e da velocidade de um vento normal à sua trajetória, de 90 km/h, originado por ventiladorescolocados na lateral da pista.

Com uma menor distância do centro de pressão ao centro de gravidade, tanto o Audiquanto o BMW sofreram deslocamentos laterais menores. O maior braço de alavanca daforça do vento justifica a maior sensibilidade do VW 411. O pequeno desvio do Porsche sedeve a sua pequena área lateral.

1.13.3 Verificação da dirigibilidade

O melhor desempenho foi do Porsche 914, por ser bastante dócil. O Audi teve umdesempenho bastante bom, apesar da tendência subdirecional exigir um giro do volante umpouco maior. O VW 411 e o BMW, devido à variação de tendência, obrigavam mudançasno sentido de giro da direção, diminuindo a velocidade alcançada.

1.13.4 Teste de ultrapassagem

O objetivo deste teste foi o de verificar o efeito das características inerentes a cada

concepção nas ultrapassagens. A manobra deveria ser realizada em um trecho demarcado depista, conforme o esquema da figura 1.22, com a maior velocidade possível, sem que houvessequalquer choque com os marcos de sinalização do percurso.

Neste ensaio, o Porsche foi o que obteve melhor desempenho. Seu pequeno momento deinércia, em torno de seu eixo vertical, permitiu grandes acelerações angulares, facilitandomuito a realização da manobra - mostrou-se mais dócil em rápidas mudanças da trajetória.Também com bom desempenho, apresentou-se o Audi, por ser estável. Com o BMW e como VW 411, as saídas de traseira foram difíceis de ser evitadas, impedindo atingir velocidadesmaiores.




1.13.5 Aquaplanagem em curvas

Este ensaio foi realizado em uma pista curva molhada de vinte metros de comprimentoe cinco metros de largura. A pista estava parcialmente coberta com um filme de água, comespessura de vinte milímetros na sua borda interna e tendendo a zero na linha média.

O veículo deveria percorrê-la pela borda interna, com um giro fixo do volante da direção euma posição também fixa do pedal do acelerador. Era marcada a distância em metros que oautomóvel percorria até atingir a linha média da curva, que servia como linha de referência.

No teste com velocidade de oitenta quilômetros horários, o Audi atingiu a linha de refer-ência mais rapidamente, enquanto que, para o teste realizado com a velocidade de noventaquilômetros horários, o BMW atingiu mais rapidamente a referência. Ambos tem centro degravidade na dianteira.

O VW 411 e o VW Porsche 914 apresentaram um comportamento bom nas duas veloci-dades; os dois apresentam o centro de gravidade deslocado para trás.

1.13.6 Aquaplanagem em reta

A pista continha um filme de água de quatro milímetros de espessura e trezentos metros decomprimento. O veículo, a uma velocidade de cento e trinta quilômetros por hora e apóspenetrar vinte metros no trecho molhado, tinha o freio aplicado com força total e o volanteimobilizado até sua parada total. A freada ocasionou, em todos os casos, um impulso degiro, observando-se os seguintes comportamentos:

Audi - permaneceu na direção, parando após cento e oitenta metros do ponto de aplicaçãodo freio e sofrendo pequena inclinação em relação a sua trajetória - 30.

BMW - girou aproximadamente 90 e, após, pelo efeito de martelo (CG situado na frente),voltou à direção primitiva.

VW 411 - devido à posição traseira do centro de gravidade, sofreu um giro de uma voltae meia em relação ao seu eixo vertical.

Porsche - devido à posição central do centro de gravidade e, consequentemente, do seupequeno momento de inércia em relação ao eixo vertical, o veículo girou duas voltas e meia.

Pode-se concluir , pela observação dos testes, que os veículos com centro de gravidadedeslocado para frente tem um bom comportamento para freadas de emergência em pistasretas molhadas.

1.13.7 Conclusões dos ensaios

Como era de esperar, as desvantagens de cada concepção podem ser diminuídas pormedidas construtivas, mas as características típicas de cada uma delas se mantêm.

Considerando os resultados da totalidade dos testes, pode-se afirmar que a melhor con-cepção para consumidores normais é aquela com motor e tração dianteiros, seguida da con-vencional. Para eles, as concepções com motor traseiro ou central não são recomendadas;podem, entretanto, ser aproveitadas em veículos esportivos ou de competição, pois espera-seque este público seja iniciado em pilotagem de automóveis, enfrentando melhor situaçõesdifíceis.




A forte tendência, dos grandes fabricantes mundiais de veículos de passeio, em adotar aconcepção com motor e tração dianteiros corrobora estas conclusões.

No mercado de carros esportivos, sobretudo naqueles de altíssimo desempenho, há atendência de utilização da tração integral e diferenciais com escorregamento controlado por

microprocessador. Esta tecnologia é adequada para veículos de uso esportivo, ou para aquelesque serão utilizados em situações onde as pistas têm baixa aderência (como, por exemplo,no gelo ou em pistas sem pavimentação rígida), porque a força motriz é controladamentedividida entre suas rodas, permitindo um aumento da capacidade de absoção de forçaslaterais e, consequentemente, a realização de curvas com velocidades maiores.



Capítulo 2

Sistema de direção

2.1 Geometria da direção

Na geometria de um sistema de direção ideal, os eixos das rodas diretoras se encontram noprolongamento do eixo das rodas traseiras, para qualquer curva a ser realizada, como foi vistono capítulo 1, figura 1.13. Neste capítulo, serão desenvolvidas algumas equações adicionais,com o objetivo de definir os requisitos cinemáticos que o mecanismo de esterçamento dasrodas direcionais deve satisfazer. Considerando a geometria ideal mostrada na figura 2.1,o raio geométrico ρg da curva, em função do giro β

1 e β

2 das rodas externa e interna,

respectivamente, será dado por:

ρg = l

tag β 1

−tI

2

(2.1)

ρg = l

tag β 2+

tI 2

(2.2)

onde:ρg - raio geométrico da curva;l - distância entre eixos;tI - bitola do eixo dianteiro;β i - giro da roda dianteira externa e interna (i = 1, 2 respectivamente).Igualando-se as duas expressões acima, tem-se

tI l

= 1tagβ

1

− 1tag β

2

. (2.3)

Esta equação é a lei cinemática que governa o mecanismo de esterçamento das rodasdirecionais de um veículo. Ela é fortemente não linear e indica que o mecanismo de esterça-mento das rodas também deve ter um comportamento não linear. Para pequenos ângulos,com as devidas linearizações, tem-se:

tI l

= 1

β 1−

1

β 2(2.4)

Esta expressão é bastante precisa quando o veículo executa curvas com raios grandes,como é o caso em rodovias. Isso é muito favorável porque, nessa situação, as velocidades

37



Capítulo 2 - Sistema de direção 38

Figura 2.1: Geometria ideal da direção.

de deslocamento do veículo são grandes, a estabilidade direcional é importante e não seráinfluenciada por erro de esterçamento. Em curvas com pequenos raios, como ocorre porexemplo em cidades, um mecanismo construído segundo a equação linearizada 2.4 irá causar

grandes erros de posicionamento das rodas; felizmente, porém, a estabilidade direcional serámenos afetada, pois as velocidades são baixas.Mesmo a equação linearizada que governa o esterçamento é difícil de ser satisfeita com os

mecanismos de quatro barras, pois ela é fortemente não linear para giros médios e grandesdas rodas. A recomendação básica para o projeto do mecanismo de esterçamento é que ainterseção dos prolongamentos dos eixos de todas as rodas do veículo aconteça sempre emum ponto comum. A figura 2.2 mostra a geometria ideal para alguns sistemas possíveis dedireção.

Do capítulo ??, onde o comportamento dos pneus sob a ação de forças transversais ao seuplano médio foi descrito, sabe-se que um veículo se deslocando em uma curva, devido à açãoda força centrífuga, sofre deriva nas rodas dianteiras e traseiras. Os ângulos de deriva dasrodas traseiras e dianteiras afetam a posição do centro da curva como está representado nafigura 2.3. Desse modo, mesmo que se adote a solução correta para a execução da curva, nãose terá certeza de que o comportamento do veículo será o ideal, já que, como foi mostradono capítulo 1, a deriva dos eixos afeta sensivelmente o raio da curva.

2.1.1 Esterçamento e raio de retorno

Conforme salientado no ítem anterior, com velocidade baixa, a curva percorrida por um

veículo somente será exata se as perpendiculares às quatro rodas se cortarem no centro da




Figura 2.2: Geometria ideal para vários sistemas de direção.




Figura 2.3: Variação da posição do centro da curva para um veículo com deriva.

curva M . Com rodas traseiras não direcionais, portanto, as perpendiculares às duas rodasdianteiras devem cortar o prolongamento da linha média do eixo traseiro em M ; com isso,as rodas dianteiras externa e interna deverão apresentar diferentes ângulos de esterçamentoβ 1i e β 2.

Considerando as expressões vistas no ítem anterior e partindo do ângulo maior β 2, pode

ser calculado o ângulo ideal β 1i da roda externa pela expressão

cot β 1i = cot β 2 + j

l

onde j é a distância, medida no solo, entre os prolongamentos dos pinos mestres, ou seja,

j = tI − 2b

e b o raio de rolamento, figura 2.4.A diferença entre β

2 e β

1i deve ser sempre positiva

∆β i = β 2− β

1i > 0 .

Com o ângulo β 1i, pode-se calcular o raio teórico de giro ρI , ou seja, o raio do círculoque a roda externa percorre em um plano para o máximo giro da direção. Esse raio, em umveículo, deve ser o menor possível para facilitar retornos e estacionamentos. A expressão,obtida com auxílio da fig. 8.4,

ρI = lsenβ 1i+ b




Figura 2.4: Ângulos de esterçamento de um sistema de direção e grandezas característicasdo eixo dianteiro.




mostra que essa exigência é alcançada com pequenas distâncias entre eixos e grandes ângulosde exterçamento da roda externa. Um grande valor de β 1i subentende um grande valor deβ 2 que, entretanto, é limitado pelos espaços disponíveis - as rodas, quando completamenteesterçadas e com o seu deslocamento máximo no molejamento, não podem tocar nos ele-

mentos construtivos do eixo dianteiro nem no paralama; com tração dianteira, além disso,deve-se observar o máximo ângulo admitido pelas juntas do eixo de tração.

Enquanto o ângulo interno β 2 é limitado, o externo não necessita sê-lo, podendo, inclusive,ter o mesmo valor (β

1 = β

2). A desvantagem seria um maior desgaste dos pneus na curva,

mas com a vantagem de obter um menor raio de giro. Este é o motivo da maioria dosautomóveis apresentar um ângulo externo real β

1r diferente do valor ideal β 1i obtido no

cálculo.O erro desejado é dado por

β e = β

1r− β

1i.

Para determinar o raio de giro ρI em uma direção com erro desejado, é necessário calcularβ e e β

1imax, ou seja, o ângulo ideal externo dado pela primeira equação apresentada nesteítem.

Medidas feitas mostram que o raio de giro diminui cerca de 0,05 m para cada 1o de errodesejado, de modo que seu valor pode ser calculado por

ρI = l

senβ 1i+ b − 0, 05β

e [m].

Exemplo: Calcular o raio de giro para um veículo com os seguintes dados: l = 2, 527 m;b = 0, 015 m; tI = 1, 321 m; β

2 = 38o; β

1 = 36200.

j = 1, 321− 2(0, 015) = 1, 291 m

cot β 1i = cot 38 + 1, 291

2, 527 = 1, 7849

β 1i = 29100

β e = 36200 − 29100 = 7100 = 7, 17

ρI = 2, 527

sen29100+ 0, 015− (0, 05)7, 17 = 4, 836 m

e o diâmetro de giro

DI = 2.ρI = (2)4, 836 = 9, 67 m.

Para o motorista, mais importante que o raio de giro é o círculo que ele pode fazer entreduas guias da calçada, ou seja,




Figura 2.5: Camber positivo.

DB = 2ρI + B [m]

com B sendo a largura do pneu.

Mais importante, ainda, é o círculo de retorno DR que, segundo a DIN 70020, é definido

como o círculo percorrido pelo canto mais externo do veículo durante o máximo ângulo de

giro. Ele é medido em testes.

2.2 Ângulos da direção

Visando menores forças de acionamento das rodas direcionais bem como estabilidade da

direção, há necessidade de adoção de uma geometria um pouco complexa que compreende os

denominados ângulos da direção: camber, inclinação do pino mestre, convergência e caster.

Algumas destas grandezas podem ser alteradas com o curso da suspensão. Estas alter-

ações são causadas pela forma com que os braços da suspensão são fixados na carroceria e da

sua disposição espacial, bem como, pela fixação do braço da direção na roda. Sabendo disso,pode-se, ao projetar uma suspensão, atenuar ou acentuar algumas características referentes

à estabilidade direcional de um veículo em curva sem que haja necessidade de mudar a sua

distribuição de massas.

2.3 Camber

Camber é a inclinação do plano da roda em relação a uma vertical que passa pelo centro

da superfície de contato pneu/pista, figura 2.5.




Figura 2.6: Camber de uma suspensão.Vista de frente

Quando a parte superior da roda é deslocada para fora, como mostra essa figura, o camberé considerado positivo. Para dentro é negativo.

Uma cambagem positiva das rodas dianteiras é favorável devido à leve convexidade daspistas; com essa cambagem os pneus rodam mais perpendicularmente à pista, diminuindo seudesgaste, figura 2.6. Por outro lado, para que não haja redução da capacidade de absorçãode forças laterais em curvas, o camber deve ter o menor valor possível.

Em condição normal de utilização do veículo, ou seja, carregado com duas pessoas, umvalor comum para o camber é

γ = +300.

Analisando os valores usados para o camber nas três concepções mais comuns - standart(motor dianteiro, tração traseira), motor e tração traseiros e motor e tração dianteiros -observam-se valores variando entre 0o e 2o. A maior freqüência em todos os casos, entretanto,é de valores entre 0o e 1o. Em veículos esportivos, é possível encontrar camber negativo nasrodas dianteiras para melhorar o comportamento em curvas; é possível absorver esforçoslaterais maiores e, consequentemente, fazer curvas com maior velocidade.

Normalmente, são admitidas tolerâncias em relação ao valor absoluto do camber, ou seja,

tanto variação em relação ao valor escolhido quanto à diferença entre os valores das rodasesquerda e direita. Como variação do valor do camber, é comum ±300, a fim de tornar aconstrução do eixo dianteiro mais econômica. Para evitar que o veículo puxe para um ladoquando em linha reta, a diferença entre os valores do camber das duas rodas não deve sersuperior a 200.

Em resumo, as tolerâncias do camber no eixo dianteiro são:

Valor do camber: +300 ± 300

Máxima diferença entre esquerda e direita: 200.

A cambagem no eixo traseiro é função do seu tipo. Nos eixos rígidos é comum o uso de0o com tolerância de ±150, a fim de que o desgaste dos pneus seja uniforme. Com suspensão




Figura 2.7: Variação do camber em curvas.

Figura 2.8: Variação da cambagem da roda, função do curso da suspensão.

independente, é usual a cambagem negativa para melhorar a absorção de forças laterais. Ovalor do camber, com o veículo carregado com duas pessoas, não deve ser superior a −1o,com as mesmas tolerâncias vistas para o eixo dianteiro.

Uma desvantagem da suspensão independente é que, em curvas, as rodas inclinam jun-tamente com a carroceria, ou seja, a roda externa tende a ficar com um camber positivo

acentuado, figura 2.8. Como essa roda é a mais carregada, uma diminuição de sua capaci-dade de absorção de forças laterais não é favorável.Esse problema pode ser minimizado no projeto da suspensão, de tal forma que quando

a roda suba em relação à carroceria a cambagem vá se tornando negativa progressivamente.Este comportamento do camber em relação ao curso da roda está mostrado na figura 2.8,para um determinado tipo de suspensão.

A modificação do camber devida ao giro da carroceria e ao deslocamento da suspensão édada por:

γ T = Ψ + γ i (2.5)




Figura 2.9: Posição do pino mestre em veículos antigos.

onde:γ T - variação total da cambagem;Ψ - giro da carroceria;γ i - cambagem induzida pelo deslocamento da suspensão.Exemplo: Um veículo tem a suspensão, de um de seus eixos, com o comportamento

representado na fi gura 2.8. Para um ângulo de 5o de giro da carroceria do veículo, calcular a cambagem das rodas externa e interna; no giro, as rodas da suspensão deslocam-se 50 mm.

A variação total do camber na roda externa será:

γ T = 5o− 2o = 3o

e na roda interna,

γ T = −5o + 1, 5o = −3, 5o

Nota-se, com estes resultados, que a tendência das rodas externa e interna de adquirirem cambagens positiva e negativa excessivas é reduzida de forma sensível com este tipo de sus-

pensão, o que garante maior capacidade de absorção de cargas laterais deste eixo.

2.4 Inclinação do pino mestre

Nos primórdios da indústria automobilística as rodas diretrizes eram normais ao solo egiravam em torno de um eixo vertical, chamado pino mestre, como mostrado na figura 2.9.

Com isto o braço de alavanca b, denominado raio de rolamento, existente entre o contatodo pneu com o solo e a direção do pino era bastante grande, o que acarretava momentos




Figura 2.10: a) Cambagem de uma roda de forma a reduzir o momento em torno do pino

mestre. b) Inclinação do pino mestre com o mesmo objetivo.

também grandes para manter a roda em uma mesma posição. Isto tornava bastante de-sagradável a operação de dirigir um veículo com as rodas sofrendo impactos. Para contornaro problema, deu-se à roda um câmber positivo γ , visando diminuir o braço de alavanca, comomostra a figura 2.10 a). A diminuição desse braço, obtida desta maneira, implicava em umcâmber positivo excessivo. Uma solução complementar foi inclinar o pino mestre no planovertical que contém o eixo das rodas; este ângulo δ , chamado de inclinação do pino mestre ,está mostrado na figura 2.10 b). A inclinação do pino mestre, além de tornar o braço de

alavanca menor, diminuindo o esforço sobre o volante, induz um efeito colateral, talvez maisimportante, que é o retorno da direção.Sendo o eixo de rotação inclinado em relação ao plano médio da roda, pode-se imaginar

que a trajetória deste plano se faz sobre um cone, conforme está mostrado na figura 2.11.Assim, o ponto de apoio da roda com o solo descreve uma circunferência em torno do pinomestre e o plano em que esta circunferência é descrita é secante ao solo. Quando a rodatem a sua posição alterada, o ponto de contato com o solo deveria penetrar no solo, comoisto não acontece, o veículo sobe. Deste modo, a condição de mínima energia potencial doveículo ocorre com a direção alinhada. Assim, a inclinação do pino mestre funciona de modoa restituir a direção, alinhando as rodas em relação ao eixo médio do veículo.

Valores usuais de inclinação do pino mestre variam entre 4o e 9o , sendo mais comumalgo em torno de 5o.

2.5 Convergência das rodas

Convergência , segundo a DIN 70020, é a diferença, em mm, C=B-A, figura 2.12, medidaentre os aros, na altura dos centros das rodas quando em posição de linha reta.

O menor desgaste dos pneus ocorre quando a roda se desloca perfeitamente em linha reta.No rolamento, entretanto, surge uma força longitudinal na superfície de contato pneu/pista

que, com o raio de rolamento, origina um momento que será absorvido pelos braços da




Figura 2.11: Inclinação do pino mestre e trajetórias de pontos da roda.

Figura 2.12: Convergência das rodas.




Figura 2.13: Roda direcional não motriz.

direção. A elasticidade dos elementos da direção, principalmente dos seus apoios, permiteque esse momento modifique a posição das rodas, fazendo com que se desloquem inclinadasem relação à direção do movimento. Para que permaneçam em linha reta, é necessário que,

quando paradas, apresentem uma posição inclinada em sentido contrário.

2.5.1 Eixo não motriz

Quando um veículo se desloca em marcha normal, a única força que atua neste eixo é aresistência ao rolamento, como mostra a figura 2.13.

Com o raio de rolamento positivo, ver ítem 2.4, o momento atuante causará uma di-vergência das rodas com o veículo em marcha. Para compensar estas deformações e permitirque o veículo se desloque com as rodas paralelas à direção do movimento, é necessário umaconvergência das rodas quando o veículo está parado. Os valores da convergência ficam em

torno de 2 a 3 mm.A convergência pode ser ajustada pela alteração dos comprimentos das barras de direção,

nos eixos direcionais. Nos eixos não direcionais, ela pode ser alterada pela variação docomprimento dos tensores que garantem a posição da roda.

Costuma-se admitir uma tolerância de ±1 mm no valor adotado para a convergência.Com o raio de rolamento negativo, o momento resultante atua em sentido oposto ao

comentado anteriormente e as rodas deste eixo deverão ser divergentes com o veículo paradopara, quando em movimento, ficarem paralelas à direção de deslocamento.

2.5.2 Eixo motriz

Nos eixos de tração, além da resistência de rolamento atua a força motriz, que é pre-dominante. Nesse caso, ainda considerando o raio de rolamento positivo, as rodas com oveículo parado devem ser divergentes, para que, em movimento, fiquem paralelas à direçãode deslocamento. Com o raio de rolamento negativo, as rodas devem ser convergentes.

2.5.3 Raio de rolamento

O raio de rolamento é definido como a distância entre o plano médio do pneu e o pino

mestre. Esta distância é muito importante na determinação dos esforços que ocorrem nos




Figura 2.14: Raio de rolamento.

braços da suspensão e da direção. O raio de rolamento pode ser positivo ou negativo,conforme mostra a figura 2.14.

2.5.4 Correção do comportamento em curvas com a variação da

convergência

A variação da convergência com o curso vertical da roda é de suma importância quando

o veículo faz curvas. Para ilustrar, considere-se a curva de variação da convergência, emfunção do curso da roda, mostrada na figura 2.15.O comportamento subesterçante de um veículo pode ser minimizado, ou mesmo elimi-

nado, ao adotar-se uma suspensão no eixo dianteiro com o tipo de comportamento indicadonessa figura.

Da mesma forma, um veículo com comportamento sobresterçante pode ter esta car-acterística minimizada, ou mesmo eliminada, ao adotar-se uma suspensão traseira com ocomportamento indicado na figura 2.16.

Quando o eixo é rígido, devido à ligação direta de ambas as rodas, não é possível obteresses efeitos com o molejamento da suspensão.

Um efeito adicional da convergência é a eliminação da tendência a oscilar das rodasdianteiras. Essa tendência é motivada pelas folgas existentes no sistema de direção. Como,com a convergência, os elementos que compõem esse sistema são mantidos tensionados, asfolgas desaparecem e a oscilação também.

2.6 Caster

O caster é, segundo a DIN 70020, a distância "n"entre o ponto de contato pneu/pistae o ponto em que o prolongamento do pino mestre encontra o solo, medida na projeção em

um plano médio vertical do veículo.




Figura 2.15: Correção do comportamento subesterçante em curvas com a variação da con-vergência

Figura 2.16: Correção do comportamento sobresterçante com o uso de suspensões adequadas.




Figura 2.17: Obtenção do caster em veículos com tração traseira, casos 1 e 2, e com traçãodianteira, casos 3 e 4.

O caster pode ser obtido, em veículos com tração traseira, através da inclinação do pinomestre de um ângulo ε (caso 1) ou através do deslocamento desse pino para a frente do eixo(caso 2), figura 2.17.

Em veículos com tração dianteira, devido ao sentido da força de tração, é possível usarum valor negativo para o caster (-n), obtido através de uma inclinação contrária à do caso1 para o pino mestre (caso 3) ou através de um deslocamento desse pino para trás do eixo(caso 4), figura 2.17.

Com tração traseira, o caster , obtido como mostra a figura 2.17, faz com que o ponto derotação da roda fique na frente do centro de contato pneu/pista; a resistência ao rolamento,então, tende a alinhar a roda na direção do deslocamento do veículo.

Com tração dianteira e caster como mostra a figura 2.17, a força de tração tenderá agarantir esse alinhamento.

Uma análise da frequência de utilização do ângulo caster para as três concepções deveículo - standart (motor dianteiro com tração traseira), motor e tração traseiros e motor etração dianteiros, mostra valores variando nas seguintes faixas:

- Concepção standart: ε = 0o a 4o;

- Motor e tração traseiros: ε = 8o a 12o;

- Motor e tração dianteiros: ε = −1o a +3o;

- Tolerância: ±300.



53



Capítulo 3

Suspensões planas

3.1 Introdução

Para estudo do comportamento de um veículo em curvas, é de importância o ângulo derolamento da carroceria, que está sobre molas, e as correspondentes modificações da cargae da posição das rodas, já que a carga e o camber influem nas reações laterais dos pneus,reações essas que mantêm o veículo na pista.

Pela ação da força centrífuga, atua sobre um veículo um momento que tende a incliná-lolateralmente e que dependerá da altura do centro de gravidade.

Se as rodas estiverem fixadas rigidamente na carroceria, esse momento será por elasabsorvido em função, simplesmente, da bitola e da distribuição de carga nos eixos; ocorreum aumento de carga nas rodas externas e uma diminuição nas internas.

A importância da suspensão e do molejamento reside em que a parcela do momentoabsorvida em cada eixo, ou seja, a diferença de carga nas rodas de um mesmo eixo, pode sermodificada independentemente da distribuição de carga propiciada pela posição do centro degravidade. Utilizam-se, para isso, eixos dianteiro e traseiro com diferentes tipos de suspensãoe rigidez de molas; essa rigidez pode ser modificada pela escolha das molas propriamenteditas e pelo uso de estabilizadores.

A parcela do momento absorvida por um eixo causará uma diferença na carga normalde suas rodas e, consequentemente, uma variação do valor de seu ângulo de deriva, o queinfluirá na estabilidade do veículo (ver Capítulo 1).

Como mostra a fi

gura 3.1, uma maior transferência de carga entre as rodas externa einterna diminui a capacidade de absorção de forças laterais, ou seja, para uma mesma forçalateral perturbadora o eixo com maior transferência de carga apresentará um ângulo dederiva maior. Esta afirmação é melhor entendida através do seguinte exemplo.

Exemplo: Considere-se um dos eixos de um veículo dotado de pneus 5, 60/15, com aros

4J × 15 e pressão de 1, 4 kgf/cm2 (aproximadamente 20 lb/in2). Considere-se, ainda, que

a carga em ambas as rodas seja de 3000 N e que a força centrífuga, cause diferença de carga

nas rodas externa e interna de 1000 N (caso 1) e 2000 N (caso 2). Para a análise considere

a curva S = f (Q) para o pneu, com um ângulo de deriva de 8o, dada na fi gura 3.1.

Os resultados dessas duas análises estão apresentados na tabela 3.1.

54



Capítulo 3 - Suspensões planas 55

Figura 3.1: Carga lateral absorvida, em função da carga normal sobre a roda, para umângulo de deriva de 8o.

Tabela 3.1: Solução do exemplo.

Caso 1 Caso 2 (∆G = 1000 N ) (∆G = 2000 N )

Carga radial Roda externa Qe 4000 N 5000 N Roda interna Qi 2000 N 1000 N

Total Qe + Qi 6000 N 6000 N Carga lateral Roda externa S e 2440 N 2500 N

Roda interna S i 1590 N 850 N

Reação total S e + S i 4030 N 3350 N

Pelos valores das forças laterais totais possíveis de absorver em cada caso, conclui-se quequando o eixo sofre uma maior variação da carga normal em suas rodas pode absorver umamenor força lateral para uma mesma deformação (deriva), ou, em outras palavras, para umamesma força lateral, o eixo submetido a uma maior variação de carga nas rodas sofrerá ummaior ângulo de deriva (maior deformação).

A transferência de carga nas rodas de um eixo depende dos seguintes fatores:

1. da rigidez das molas do eixo,

2. do tipo de suspensão utilizado,

3. do uso ou não do estabilizador, bem como do tipo,

4. das massas não suspensas.

O método que será apresentado, para cálculo da transferência de carga e do ângulo de

rolamento, é válido para os sistemas conhecidos de molas e suspensões e possibilita a com-paração entre diferentes construções bem como a avaliação do comportamento de um novo

veículo em curvas. Considera, de maneira a simplifi

car a análise, molas com características




Figura 3.2: Posição do centro de gravidade das massas suspensas.

lineares . Em um veículo com molas com essa característica, o ângulo de rolamento Ψ é rel-

ativamente fácil de determinar em função do coeficiente de aderência lateral µs. Mais difícilé calculá-lo quando as molas de um ou dos dois eixos são progressivas .As molas flexíveis hoje usadas exigem batentes de borracha, na compressão e na tração,

como limitadores de curso; esses batentes ocasionam um aumento da rigidez da mola no finaldo seu curso de compressão ou de distenção. A característica de mola de um conjunto molamais batente deixa de ser linear, passando a ser progressiva. Um procedimento de cálculocom o uso desses conjuntos exigiria dispor das características de mola correspondentes; nãose dispondo dessas curvas, deve-se considerar características lineares para as molas e usar,nos cálculos, o método mais simples apresentado a seguir.

3.2 Centro de gravidade das massas suspensas

A determinação da posição do centro de gravidade das massas suspensas pelas molas,onde atua a força W , figura 3.2, é importante para verificação da inclinação lateral doveículo, pois são essas massas que causam o momento que tende a girá-lo em relação ao seueixo longitudinal.

Chamando:G - peso total do veículo;W - peso das massas suspensas;W I - parcela do peso das massas suspensas sobre o eixo dianteiro;W II - parcela do peso das massas suspensas sobre o eixo traseiro;W nI - peso das massas não suspensas do eixo dianteiro;W nII - peso das massas não suspensas do eixo traseiro;aI ; aII - distância do CG do veículo aos eixos;bI ; bII - distância do CG das massas suspensas aos eixos;h - altura do CG do veículo;hm - altura do CG das massas suspensas;l - distância entre eixos;

rd - raio dinâmico do pneu;




Figura 3.3: Posicionamento do veículo para a determinação da posição do centro de gravidadedas massas suspensas.

Figura 3.4: Pólo e centro de rolamento de uma suspensão independente.




Figura 3.5: Características geométricas de vários tipos de suspensões.

O ponto de contato do plano médio da roda com o solo, N , move-se perpendicularmenteà linha P N , sobre a qual deverá situar-se, também, o centro de rolamento M da carroceriaquando, ao contrário, a roda permanece na pista e a carroceria gira. O mesmo vale para a

outra roda do eixo; desse modo, e por simetria, M deve situar-se no plano médio do veículo.O centro de rolamento é um ponto inerente ao tipo de suspensão. Em geral, as suspensões

dos veículos são diferentes na dianteira e na traseira, com centros de rolamento em diferentesalturas.

A reta que passa por esses centros, mostrado na figura 3.6, é definida como eixo de

rolamento em torno do qual girará a carroceria.Um dado importante para análise do comportamento do veículo sob a ação de cargas

laterais é a distância do eixo de rolamento ao centro de gravidade das massas suspensas.Essa grandeza, mostrada no modelo da figura 3.6, é dada por:




Figura 3.6: Distância do centro de gravidade das massas suspensas ao eixo de rolamento.

ho = hm−

hr (3.7)ou

ho = hm −

(n bI + m bII )

l . (3.8)

O eixo de rolamento deve ser aproximadamente paralelo ao solo para que, em uma curva,não haja grande diferença na transferência de carga entre os eixos dianteiro e traseiro; comisso,o comportamento do veículo será mais neutro.

Uma posição alta do eixo de rolamento implica em um pequeno ângulo de giro da car-roceria, com conseqüente aumento do conforto; no entanto, em suspensões independentes,

a posição do centro de rolamento não deve ser alta, para evitar grandes variações de bitoladurante o molejamento, o que poderia afetar a dirigibilidade do veículo (para um curso demola de 80 mm, ou seja, ± 40 mm a partir do ponto neutro, a variação de bitola no eixodianteiro não deve ser superior a 25 mm (12, 5 mm por roda); no eixo traseiro a variação debitola pode chegar a 35 mm).

Desse modo, no projeto de uma suspensão, o primeiro passo é determinar a altura docentro de rolamento da suspensão dianteira (que, pelas limitações de variação de bitola,dificilmente poderá ser superior a 150 mm) e, então, escolher uma suspensão traseira cujaposição do centro de rolamento permita evitar um grande valor de ho.

3.4 Comportamento do veículo em curva com molaslineares

Em uma curva, a ação da força centrífuga das massas suspensas em relação ao eixo derolamento ocasiona um momento que irá provocar inclinação lateral da carroceria, fazendo-agirar de um ângulo denominado ângulo de rolamento. Esse momento, dado por

M = F c[hm − hr] = F c ho (3.9)

irá contribuir, também, para a transferência de carga das rodas internas para as externas .




muito empregada pelos fabricantes de automóveis para atenuar tendências indesejáveis dosveículos em curvas.

A quarta e última parcela da transferência de carga é devida à ação da força centrífugasobre as massas não suspensas dos eixos, também não representadas na figura. Essa força e

sua reação na pista originam um binário que ocasiona diferença de carga nas rodas do eixo. Aintenção de reduzir esta quarta parcela tem acelerado o uso de novos materiais na construçãodos elementos que compõem as massas não suspensas, como ligas de alumínio, ligas detitânio e compostos laminados. Com a redução das massas desses elementos, além disso, sãoreduzidas suas inércias, aumentando a capacidade das rodas de seguirem as irregularidadesdo terreno sem perda de contato com a pista, o que aumenta a estabilidade do veículo.

3.5 Transferência de carga das rodas internas para asexternas

Conforme destacado anteriormente, a transferência de carga da roda interna para a rodaexterna de um eixo é proveniente de quatro influências distintas, que serão analisadas sepa-radamente:

1. momento no eixo considerado, M I ou M II , devido à força centrífuga das massas sus-pensas;

2. momento devido à parcela dessa força centrífuga agindo no centro de rolamento doeixo, M cI ou M cII ;

3. momento devido ao estabilizador existente no eixo, M EI ou M EII ;

4. momento devido à força centrífuga das massas não suspensas desse eixo, M nI ou M nII .

3.5.1 Ação do momento M

Em uma curva, a força centrífuga das massas suspensas

F c = W v2

g ρo

(3.12)

será absorvida pelas rodas e, portanto, será igual à força de atrito µs W ; seu máximo valordependerá das condições da interface pneu/pista.

A distância dessa força centrífuga ao eixo de rolamento faz com que atue sobre o veículoum momento que tende a incliná-lo lateralmente. Esse momento será mais ou menos ab-sorvido pelo eixo dianteiro, ou traseiro, em função da rigidez das molas de cada eixo.

A figura 3.8 representa um esquema mais completo do veículo.Se as rodas fossem fixadas rigidamente à carroceria, ou seja, sem a existência de molas ,

a transferência de carga seria função, simplesmente, da distribuição da carga sobre os eixose das bitolas, ou seja,




Figura 3.8: Modelo do sistema de forças que atua em um veículo.

∆GI = M I

tI = F I

h

tI = µs GI

h

tI (3.13)

∆GII = M II

tII = F II h

tII = µs GII

h

tII (3.14)

onde:∆Gi - variação de carga nas rodas do eixo considerado, i = I ,I I ;M i - parcela do momento da força centrífuga F = µs G absorvida pelo eixo;F i - parcela da força centrífuga atuante no eixo;ti - bitola do eixo;µs - coeficiente de aderência lateral pneu/pista;h - altura do centro de gravidade do veículo;Gi - parcela do peso do veículo sobre o eixo,ρo - raio da curva percorrida pelo veículo (m);v - velocidade do veículo (m/s);

g - aceleração da gravidade (m/s2).

Com a utilização de molas, o momento que é absorvido em cada um dos eixos é trans-mitido para as rodas através da deflexão dessas molas.

Eixo rígido

Para uma suspensão do tipo eixo rígido, figura 3.9, o momento da força centrífuga das

massas suspensas ocasionará um giro da carroceria em torno do centro de rolamento M . As




logo

∆F = k2 Ψd

2 . (3.18)

Como

M II = ∆F d (3.19)

tira-se

M II = k2 Ψd2

2 . (3.20)

Pela análise desta equação, conclui-se que, para um mesmo momento da força centrífuga,quanto maior a distância entre as molas da suspensão, tanto menor o de giro da corroceria.

Por outro lado, vale, também,

M II = ∆GII (1) tII (3.21)

e assim:

∆GII (1) = M II

tII (3.22)

∆GII (1) = Ψ k2

d2

2 tII (3.23)

ou

∆GII (1) = Ψ K II tII 2

(3.24)

com

K II = k2( d

tII )2. (3.25)

Suspensão independente

A determinação da primeira parcela de transferência de carga para uma suspensão in-

dependente, dianteira ou traseira, em função do momento da força centrífuga das massassuspensas, é realizada a partir da análise da suspensão mostrada na figura 3.11.

Para uma mola com rigidez k posicionada em u, a constante de mola na rótula do braçotransversal é:

K = k(u

v)2. (3.26)

O deslocamento da suspensão no plano médio do pneu é dado por:

w = t

2

tagΨ (3.27)

que, para pequenos ângulos, pode ser aproximado por:




Figura 3.11: Suspensão independente e seu ângulo de giro.

w ∼= t

2Ψ. (3.28)

A variação de carga na roda é dada a partir da equação 3.15, fazendo f = w e ∆F = ∆G,

ou seja:

∆G(1) = Ψ K t

2. (3.29)

Portanto, se a suspensão independente for dianteira, a transferência de carga da rodainterna para a externa será

∆GI (1) = Ψ K I tI

2 . (3.30)

De modo semelhante, se a suspensão independente for traseira, será

∆GII (1) = Ψ K II tII

2 . (3.31)

Os momentos absorvidos pelos eixos seriam, respectivamente,

M I = ∆GI (1)tI = Ψ K I t2I 2

(3.32)

e

M II = ∆GII (1)tII = Ψ K II t2II

2 . (3.33)

A transferência de carga devido ao momento da força centrífuga das massas suspensas

em relação ao eixo de rolamento é, como se vê, um problema hiperestático, pois a parcela

absorvida em cada eixo depende do ângulo de giro da carroceria que, por sua vez, dependerá

do valor desse momento.




Figura 3.12: Transferência de carga nas rodas de um eixo pela ação da força centrífuga dasmassas suspensas agindo no centro de rolamento.

3.5.2 Ação das parcelas da força centrífuga das massas suspensas

A componente da força centrífuga das massas suspensas absorvida por um eixo age nocentro de rolamento da suspensão, conforme é mostrado na figura 3.12. Esta força provocauma transferência de carga adicional entre as rodas interna e externa.

O valor dessa parcela é obtido através do equilíbrio de momentos; para uma suspensão

dianteira,

F cI m = ∆GI (2)tI (3.34)

ou

∆GI (2) = F cI m

tI = µs W I

m

tI = µs W

bII l

m

tI . (3.35)

De forma semelhante, para uma suspensão traseira,

F cII n = ∆GII (2)tII (3.36)

ou

∆GII (2) = F cII n

tII = µs W II

n

tII = µs W

bI l

n

tII . (3.37)

Observa-se que quanto mais alto o centro momentâneo de rotação de uma suspensão ouquanto menor a bitola do eixo, tanto maior será a diferença de carga entre as sua rodas.

3.5.3 Ação do estabilizador

O tipo de estabilizador mais difundido é o de barra de torção, mostrado na figura 3.13.Unindo os braços transversais da suspensão, aumenta a constante de mola do eixo e reduz o




Figura 3.13: Estabilizadores tipo barra de torção.

Figura 3.14: Ação do estbilizador em forma de U em uma curva.

ângulo de rolamento da carroceria. São encontrados nas formas U, figura 3.13 a), e Z, figura

3.13 b).

Os estabilizadores em U ocasionam um aumento da transferência de carga entre as rodas

do eixo, quando em curva, já que sua ação consiste em comprimir a roda externa e levantar

a interna, conforme mostrado na figura 3.14.

Os estabilizadores em Z, ao contrário, ocasionam uma diminuição da transferência decarga entre as rodas de um mesmo eixo.

A constante de mola de um estabilizador é calculada como de uma barra de torção, sendo

o comprimento efetivo a metade do comprimento da barra, já que, em relação à roda, a seção

central da barra funciona como se estivesse engastada, pois não gira. Chamando de ke essa

constante de mola, o valor efetivo da constante de mola do estabilizador, considerada no

extremo do braço transversal (figura 3.11) vale :

K E = ke(u

v)2. (3.38)




Entre o momento estabilizante M E e o ângulo de rolamento da carroceria existe a relação

M E = t2

2 K E Ψ. (3.39)

Desse modo, a terceira parcela da transferência de carga, devida ao uso do estabilizadorno eixo dianteiro, é dada por

∆GI (3) = tI

2 K EI Ψ (3.40)

e, para o eixo traseiro, seu valor é

∆GII (3) = tII

2 K EII Ψ. (3.41)

Os momentos absorvidos pelos estabilizadores das suspensões do eixo dianteiro e traseiro,desenvolvidos a partir da equação 3.39, são:

M EI = t2I

2 K EI Ψ (3.42)

M EII = t2II

2 K EII Ψ. (3.43)

respectivamente.É interessante frisar que essas equações são válidas para qualquer tipo de suspensão.Com o uso de uma barra equilibradora (estabilizador tipo Z), ocorre a diminuição da

transferência de carga entre as rodas do mesmo eixo e o sinal de ∆G(3) deve ser trocado.

Do exposto, se conclui que o uso de um estabilizador em U faz com que o eixo ondefoi instalado absorva uma maior parcela do momento devido à força centrífuga das massassuspensas e ocasione uma maior transferência de carga em suas rodas, com conseqüenteaumento do seu ângulo de deriva. No outro eixo, sem estabilizador ou com estabilizador emZ, ocorre o contrário. Desse modo, o uso de estabilizadores pode alterar convenientementeo comportamento de um veículo em curvas.

Como o aumento do braço e, figura 3.13 a), diminui a constante de mola do estabilizador,um veículo com estabilizadores em U, tanto no eixo dianteiro quanto no traseiro, e consider-ado neutro, poderia ter esse comportamento alterado somente pela variação de e, da seguinteforma:

• Estabilizador no eixo dianteiro

- aumentando e, tende a sobresterçante (αII > αI );

- diminuindo e, tende a subesterçante (αI > αII ).

• Estabilizador no eixo traseiro

- aumentando e, tende a subesterçante;

- diminuindo e, tende a sobresterçante.




Figura 3.15: Massas não suspensas de um eixo rígido.

3.5.4 Ação da força centrífuga das massas não suspensas

Como quarta parcela da diferença de carga entre as rodas externa e interna de um eixo,tem-se a ocasionada pela força centrífuga agindo nas massas não suspensas.

Eixo rígido

Em um eixo rígido, conforme mostrado na figura 3.15, a força centrífuga das massas nãosuspensas age no centro de gravidade do eixo (na altura do centro das rodas) e ocasiona avariação adicional de carga nas rodas

∆GII (4) = F cnrd

tII = µs W nII

rd

tII (3.44)

onde:W n - peso das massas não suspensas;F cn - força centrífuga correspondente;µs - coeficiente de aderência lateral pneu/pista;rd - raio dinâmico do pneu;tII - bitola.

Suspensão independente

Para suspensões independentes, dianteiras ou traseiras, a diferença de carga devida àação da força centrífuga das massas não suspensas depende não só das alturas m ou n doscentros momentâneos de rolamento como, também, da altura do pólo p.

No caso do eixo dianteiro mostrado na figura 3.16, tem-se o equilíbrio de momentos

F cnI rd = µs

W nI 2

rd = P y q (3.45)

Considerando queP y = ∆GI (4) (3.46)

e




Figura 3.16: Alturas do pólo e do centro de rolamento de uma suspensão independente.

q = pI m

tI 2

(3.47)

obtém-se

∆GI (4) = µs W nI rdtI

m

pI

. (3.48)

O valor dessa expressão é positivo para a roda externa e negativo para a interna quando,como é o caso mais freqüente, o pólo e o centro momentâneo ficam acima do solo ou ambosabaixo dele. Uma exceção é mostrada na figura 3.5 g), para a suspensão com braço e molatransversais, onde m é negativo e os sinais da expressão anterior são trocados para as rodasexterna e interna. Com o pólo no infinito, como o caso mostrado na figura 3.5 h), quecorresponde ao centro momentâneo sobre o solo, ∆GI (4) = 0.

Para o eixo traseiro com suspensão independente, a equação correspondente será

∆GII (4) = µs W nII rdtII

n

pII

. (3.49)

3.6 Carga dinâmica nas rodas3.6.1 Superposição das parcelas de transferência de carga

Para estabelecer o comportamento do veículo em curvas (neutro, sobresterçante ousubesterçante), é importante a diferença entre os ângulos de deriva dos eixos dianteiro etraseiro. No valor desses ângulos, influi a transferência de carga nas rodas desses eixos emuma curva, conforme visto. O cálculo da transferência de carga deve ser feita em cada eixoseparadamente.

No eixo dianteiro, as forças que os pneus exercem sobre o solo são dadas por:

roda externa




GIe = GI

2 +

4X j=1

∆GIj (3.50)

roda interna

GIi = GI

2 −

4X j=1

∆GIj (3.51)

com

4X j=1

∆GIj = ∆GI (1) + ∆GI (2) ±∆GI (3) + ∆GI (4). (3.52)

No eixo traseiro tem-se:roda externa

GII e = GII

2 +

4X j=1

∆GII j (3.53)

roda interna

GII i = GII

2 −

4X j=1

∆GII j (3.54)

com

4X j=1

∆GII j = ∆GII (1) + ∆GII (2) ±∆GII (3) + ∆GII (4). (3.55)

O sinal negativo em ∆GII (3) vale para um estabilizador em Z, enquanto que o positivodeve ser considerado quando um estabilizador em U for usado.

Exemplo Para uma melhor visualização da formulação, considere-se um automóvel

cujas suspensões apresentam as seguintes características:

1 - eixo dianteiro - suspensão independente constituída por trapézio transversal e estabi-lizador do tipo U,

2 - eixo traseiro - eixo rígido, sem barra estabilizadora.

No eixo dianteiro, o equilíbrio de momentos é dado pela expressão:

M I + M cI + M EI + M nI = ∆GI tI (3.56)

e a transferência de carga por:

∆GI = tI 2

(K I + K E 1)Ψ + µs W bII l

mtI

+ µs W nI m pI

rdtI

. (3.57)




Figura 3.17: Influência da posição do pólo P na inclinação da carroceria.

Σ momentos de rolamento = Σ momentos de reação. (3.62)

3.7.1 Momentos de rolamento

Com um eixo rígido, o momento da força centrífuga das massas não suspensas µs W nII rdnão influi na inclinação da carroceria, mas sim na carga dinâmica das rodas.

Para determinação dos momentos de rolamento com suspensão independente , considere-se a figura 3.17 representativa desse tipo de suspensão, que poderia estar tanto na dianteiraquanto na traseira do veículo.

Em suspensões independentes, as parcelas da força centrífuga das massas suspensas F cI e F cII não atuam, realmente, nos centros momentâneos de rolamento, mas sim nos pólos P.Pela ação da força centrífuga das massas suspensas e não suspensas, surgirá nesse pólo umaforça P y dirigida para baixo. Sua reação +P y ocasiona o momento de rolamento, dado por

M R = P y

µq −

tI 2

¶, (3.63)

que, cuja ação, implica no aumento da inclinação da carroceria.Considerando o eixo dianteiro, a dedução desse momento deve ser feita nas condições

limites de uma curva, ou seja, quando a roda interna começa a levantar e o peso total noeixo dianteiro, dado por

GI = W I + W nI (3.64)

deve ser suportado pela roda externa. Nesse caso, as forças mostradas na figura 3.17, são

dadas por:




S e = µs GI ;

F cI = µs W I ; (3.65)

F cnI = µs W nI .

Pela condição de equilíbrio de momentos na direção axial do veículo, tem-se:

P y = F cnI rd + F cI pI

q =

µs W nI rd + µs W I pI q

. (3.66)

Observando a figura 3.17, por semelhança de triângulos, verifica-se que

q

tI /2 =

pI

m (3.67)

e q = tI

2 pI

m (3.68)

logo

P y = µs W nI rd2

tI

m

pI + µs W I

2m

tI . (3.69)

Ao substituir P y na equação 3.63 do momento de rolamento M R, se tem:

M R =

µµs W nI rd

q +

µs W I pI

q

¶µq −

tI 2

¶, (3.70)

o qual, pode ser separado em duas parcelas, a originada pela suspensão

M R1 = µs W nI rd2

tI

m

pI

µq −

tI 2

¶ (3.71)

e a originada pela carroceria

M R3 = µs W I 2m

tI

µq −

tI 2

¶. (3.72)

Substituindo o valor de q , dado pela equação 3.68, tem-se que o momento somente devido

as massas não suspensas do eixo dianteiro é dado por:

M R1 = µs W nI rd

µ1 −

m

pI

¶. (3.73)

A equação correspondente para uma suspensão independente na traseira é dada por:

M R2 = µs W nII rd

µ1 −

n

pI

¶. (3.74)

Com esse desenvolvimento, antes de ir adiante na modelagem matemática, uma análisedas possíveis combinações das posições do centro de rolamento e do pólo é importante serdenvolvida.




Figura 3.18: Binário ±F cI atuando na distância (hm − pI ).

1- com pI < m (pêndulo encurtado e braços inclinados (45o)), M R1,2 serão negativos e omomento de inclinação total será menor;

2- com pI = m (pêndulo), M R = 0;

3- com pI > m (tipos restantes de suspensão independente) M R1,2 serão positivos; istotambém ocorre com o centro momentâneo de rolamento abaixo do solo, ou seja, m e pI negativos; com pólo acima do solo e centro momentâneo abaixo, a fração m/pI , oun/pII , será negativa e o sinal torna-se positivo;

4- com pólo no infinito (braços paralelos) m/pI , ou n/pII , tende a zero; também ocorrecom centro momentâneo sobre o solo (braços longitudinais).

Feita essa análise volta-se ao desenvolvimento do modelo matemático.Substituindo o valor de q , equação 3.68, em M R3, equação 3.72, obtém-se:

M R3 = µs W I ( pI − m). (3.75)

A essa parcela, portanto, é necessário somar o momento, obtido a partir da inspeção dafigura 3.18,

M R4 = F cI (hm − pI ) = µs W I (hm − pI ) (3.76)

a fim de obter o momento de inclinação devido à força centrífuga agindo sobre as massas suspensas do eixo dianteiro, ou seja,

M RI = M R3 + M R4 = µs W I (hm − m). (3.77)

Com W I = W (bII /l) tem-se

M RI = µs W bII

l (hm − m). (3.78)

O momento de inclinação devido à força centrífuga agindo nas massas suspensas do eixotraseiro será:




M RII = µs W bI

l (hm − n) (3.79)

e o momento total devido às massas suspensas será dado pela expressão:

M Ro = M RI + M RII = µs W ho (3.80)

com

ho = hm −

bI n + bII m

l (3.81)

válida tanto para suspensões independentes quanto para eixo rígido.

3.7.2 Momentos de reação

Os momentos de reação são os momentos originados pelas diferentes molas e estabi-

lizadores instalados nos eixos dianteiro e traseiro, são dados pela soma das equações 3.32,3.33, 3.42 e 3.43.

3.7.3 Ângulo de rolamento

Com o equacionamento desenvolvido nos itens anteriores, o ângulo de rolamento dacarroceria para um veículo com molas lineares é obtido a partir da aplicação da equação3.62, a qual com as devidas simplificações resulta em:

Ψ = M Ro + M R1 + M R2

(t2

I /2)K I + (t2

II /2)K II + (t2

I /2)K EI + (t2

II /2)K EII (3.82)

com

M Ro = µs W ho; (3.83)

M R1 = µs W nI rd(1 −

m

pI

); (3.84)

M R2 = µs W nII rd(1 −

n

pII

); (3.85)

(t2

I /2)K I para suspensão dianteira independente;(t2II /2)K II para suspensão traseira independente; com eixo rígido substituir por (d2/2)k;(t2I /2)K EI para estabilizador em U na dianteira;+(t2II /2)K EII para estabilizador em U na traseira;−(t2II /2)K EII para estabilizador em Z na traseira.




3.7.4 Possibilidades de melhorar o comportamento em curvas

As tendências subesterçante e sobresterçante podem ser diminuidas através de medidasconstrutivas e, em determinadas velocidades de execução da curva, inclusive completamenteeliminadas; isso pode ser feito através de combinações de tipos de suspensões, escolha ad-equada das molas e uso ou não de barras estabilizadoras, sem necessidade de alterar adistribuição de peso do veículo.

Veículo subesterçante

Em um veículo com tendência subesterçante, comum em casos de tração dianteira, cer-tas modificações, economicamente viáveis, podem ser feitas com o objetivo de diminuir adiferença de carga na dianteira e/ou aumentar a diferença na traseira, de modo a tornar seucomportamento mais neutro.

1. Deslocar o centro de gravidade do veículo para trás (maior ∆GII (2) e menor ∆GI (2)).Em veículos com tração dianteira, essa medida prejudica o arranque em aclives e emterrenos com pouca aderência.

2. Retirar o estabilizador dianteiro (∆GI (3) = 0). Isto implica em uma maior inclinaçãoda carroceria, com possibilidade da roda traseira interna perder contato com o solo;reduz o preço da suspensão.

3. Reforçar o estabilizador traseiro (aumento de ∆GII (3)). Tem a vantagem adicional dediminuir a inclinação da carroceria.

4. Usar molas traseiras mais rígidas (maior ∆GII (1)). Tem como desvantagem a reduçãodo conforto.

5. Usar molas dianteiras mais flexíveis (menor ∆GI (1)). Acarreta maior inclinação dacarroceria, porém, aumenta o conforto.

6. Baixar o centro de rolamento na frente e levantar atrás (∆GI (2) diminui e ∆GII (2)

aumenta). No eixo dianteiro, ocorrerá menor variação da bitola, o que é conveniente.No eixo traseiro, se usada uma barra Panhard, sua elevação implicará na elevação do

centro de rolamento sem que surjam maiores desvantagens.

Outra possibilidade, já comentada anteriormente, seria diminuir a pressão dos pneustraseiros. Entretanto, com o aumento da carga do veículo, essa pressão deveria ser aumentadapara, com diminuição da carga, ser novamente reduzida, o que é incômodo para o motorista.

Veículo sobresterçante

Nos veículos sobresterçantes, como costuma acontecer com tração traseira, principal-mente com motor traseiro, a maneira mais simples de tornar seu comportamento mais neutro

em curvas é aumentando a pressão dos pneus traseiros (o que pressupõe uma adaptação dos




amortecedores); uma vantagem adicional da elevação dessa pressão é a independência doestado de carregamento, já que os pneus traseiros teriam sempre uma pressão adequada.

Entretanto, também construtivamente se pode conseguir um aumento de αI e umadiminuição (mesmo com a tração) de αII , através do aumento da diferença de carga na

dianteira e diminuição na traseira.

1. Deslocar o centro de gravidade do veículo para frente (aumenta ∆GI (2) e diminui∆GII (2)). Essa medida tem como desvantagem diminuir a capacidade de tração como veículo pouco carregado.

2. Retirar o estabilizador traseiro e reforçar o dianteiro (∆GII (3) = 0 e aumento de∆GI (3)). Como vantagem adicional, tem-se redução de custo.

3. Usar barra estabilizadora tipo Z no eixo traseiro (∆GII (3) < 0). Aumenta a inclinação

da carroceria.4. Usar molas traseiras menos rígidas (∆GII (1) menor). Como desvantagem, permite

uma maior inclinação da carroceria e, como vantagem, um maior conforto.

5. Usar molas dianteiras mais rígidas (∆GI (1) maior). Menor conforto mas menor incli-nação da carroceria.

6. Elevar o centro de rolamento dianteiro (∆GI (2) aumenta). A desvantagem é aumentara variação da bitola dianteira.

7. Baixar o centro de rolamento traseiro (∆GII (2) diminui). Uma barra Panhard colocadamais baixo diminui o espaço livre sob o eixo; uma suspensão independente, entretanto,permite conseguir qualquer altura do centro de rolamento, o que justifica a tendência deutilizar, mesmo em carros com tração traseira, esse tipo de suspensão. Uma suspensãoindependente no eixo traseiro teria a vantagem adicional de ser mais leve do que umeixo rígido.

Uma possibilidade adicional seria utilizar no eixo traseiro um sistema de suspensão dasrodas que ocasione, quando do giro da carroceria, uma convergência da roda externa e umadivergência da interna, de modo a reduzir a "saida" desse eixo nas curvas.



Capítulo 4

Modelos dinâmicos

4.1 Introdução

Os veículos dotados de rodas são sistemas mecânicos que operam sobre superfícies ru-gosas, no caso a superfície das estradas, sendo estas a principal fonte indutora de vibrações eruídos da estrutura quando no deslocamento. Além da pista existem outras fontes de geraçãode vibrações e ruídos em automóveis, pode-se citar: os pneus, sistema de transmissão, motore aerodinâmica.

Para reduzir o efeito das acelerações induzidas pela pista sobre a estrutura bem comoaumentar o conforto dos ocupantes, os veículo são dotados de suspensões com molas. Apesardas estruturas serem flexíveis, a maior parcela do molejamento de um automóvel é devidoa deflexão dos elementos elásticos das suspensões e dos pneus. Sendo assim, a seguir, é

apresentado o procedimento de obtenção das deflexões destes elementos para os tipos maiscomuns de eixos usados nos automóveis.

Neste capítulo é desenvolvida uma formulação dinâmica usando a técnica das múlti-plas massas ou Multibody Model para veículos de quatro rodas e dois eixos, [1] [5]. Ascaracterísticas dos modelos a serem desenvolvidos usando esta técnica, dependem dos tiposde suspensões usadas nos eixos dianteiro e traseiro. Dentro deste contexto serão feitas asseguintes abordagens:

• Modelo com dois graus de liberdade;

• Modelo com sete graus de liberdade considerando eixo rígido na dianteira e traseira;

• Modelo com sete graus de liberdade considerando suspensão dianteira independe e eixotraseiro rígido;

• Modelo com sete graus de liberdade considerando suspensões independentes na di-anteira e na traseira.

Para o desenvolvimento da formulação, parte-se da definição dos graus de liberdade dosistema, e, a partir destes, são deduzidas as equações diferenciais do movimento de cada um

dos casos acima listados.

80



Capítulo 4 - Modelos dinâmicos 81

Figura 4.1: Sistema de coordenadas e principais graus de liberdade da carroceria de um

automóvel.

Vale salientar que o modelo a ser denvolvido irá negligenciar as acelerações lineares nas di-reções axial e transversal bem como os deslocamentos serão considerados pequenos. O efeitodestas acelerações é considerado no modelo quase estático, onde as mesmas são consideradascomo um carregamento de corpo com intensidade constante.

Esse tipo de análise é fundamental porque permite determinar os deslocamentos, aceler-ações e velocidades que os ocupantes dos veículos estarão sujeitos quando em movimento. Osseres vivos, bem como algumas cargas transportadas, são bastante sensíveis a esses parâmet-ros. Para seres humanos, há uma variedade bastante grande de ensaios para determinar umamedida da tolerância a esses parâmetros, como descrito na Ride and Vibration Data ManualJ6a da SAE, ou na ISO 2631, enquanto que para cargas sensíveis, tais como compressoresde refrigeradores, orgãos humanos, pescados, aves, suinos, computadores, etc, há muito a serdesenvolvido e pesquisado para determinar quais as condições mais adequadas do rodar doveículo para garantir a integridade dessas cargas durante o seu transporte.

4.2 Definição de algumas variáveis básicas

Na abordagem do comportamento dinâmico de um automóvel, a definição dos graus deliberdade do sistema dinâmico será de acordo com a SAE. Para isso, na Figura 4.1, sãomostrados os graus de liberdade da carroceria de um veículo sobre rodas.

Nesta figura, a direção de deslocamento do veículo é no sentido positivo do eixo x enquantoque os pontos 1, 2, 3 e 4 definem a posição das rodas do veículo. Vale salientar que a rigidezdas molas neste modelo é equivalente a rigidez real das molas, porque não é possível colocarfisicamente as molas nestes locais, por problemas construtivos. Convenciona-se, a partir deagora, que:

z− deslocamento vertical da carroceria (bounce );φ− giro da carroceria em torno do eixo axial, denominado de ângulo de rolamento ( roll );θ− giro da carroceria em torno do eixo y , denominado de ângulo de arfagem (pitch );




Figura 4.2: Sistema de coordenadas e deslocamento de uma roda.

Ψ−giro da carroceria em torno do eixo z , denominado de ângulo de guinada (yaw ).

O sentido positivo dos ângulos segue a regra da mão direita. O deslocamento vertical doveículo (bounce ), é positivo no mesmo sentido do eixo z .

4.3 Defl

exão dos pneus4.3.1 Deflexão dos pneus para eixos com suspensões independentes

Considerando que o deslocamento vertical do centro de massa das rodas, z pi (t), é maior

do que os deslocamentos causados pela rugosidade do piso, definida por uma função zsi (t)

conhecida. Para estas grandezas, que estão mostradas na Figura 4.2, tem-se que a deflexãoque o pneu está submetido é dada por:

δ pi (t) = zi(t) − zsi (t) (4.1)

onde:i - posição do pneu, conforme Figura 4.1;t - é a variável tempoδ pi (t) - deflexão do i-ésimo pneu;zi(t) - deslocamento vertical da roda;zs

i (t) - rugosidade do solo.

Vale salientar que, nessa análise, a velocidade vertical do centro de massa do conjuntopneu roda e acessórios será considerado igual ao do centro geométrico da roda.




Figura 4.3: Sistema de coordenadas e principais graus de liberdade de eixos rígidos.

4.3.2 Deflexão nos pneus para suspensões de eixo rígido

Para o caso de suspensões de eixo rígido, mostrada na Figura 4.3, a deflexão nos pneusque equipam este tipo eixo é causada pela combinação do deslocamento vertical centro demassa do eixo bem como da rotação deste em relação ao eixo axial do veículo.

Considerando pequenos ângulos, a deflexão do i-ésimo pneu do veículo é dada por

δ pi (t) = δ bi (t) + δ φi (t) + δ si (t) (4.2)

onde:i - posição do pneu, conforme Figura 4.1;δ b

i(t) - deslocamento vertical (bounce ) da i-ésima roda;

δ φi (t) - deslocamento vertical da i-ésima roda devido giro axial do eixo;δ si (t) - rugosidade do solo.

Com estas relações definidas, parte-se para a ánalise de cada parcela que contribui nadeflexão das molas do eixo rígido.

Parcela δ bi (t)

Esta parcela é o deslocamento vertical do centro de massa do eixo rígido, ou seja

δ bi (t) = zk(t) (4.3)




onde:k = I ou I I é o indice que indica eixo dianteiro ou traseiro, respectivamente;zk(t) é o deslocamento vertical do centro de massa do k-ésimo eixo rígido.

Parcela δ φi (t)

Esta parcela é associada ao giro φk do eixo rígido em relação ao eixo axial do veículo.Neste caso particular é necessário o desenvolvimento das parcelas de cada roda, como segue.

Roda dianteira esquerda

δ φ1(t) = −φI (t)tI

2 . (4.4)

Roda dianteira direitaδ φ2(t) = φI (t)

tI

2 . (4.5)

Roda traseira direitaδ φ3(t) = φII (t)tII

2 . (4.6)

Roda traseira esquerda

δ φ4(t) = −φII (t)tII

2 . (4.7)

Onde:φI (t), φII (t) são o giro do eixo dianteiro e traseiro na direção axial do veículo;tI , tII são a bitola média do eixo dianteiro e traseiro, respectivamente.

Vale salientar que o sinal negativo da primeira e da última expressão do conjunto acima,

significa que a mola é tracionada.

Parcela δ si (t)

Esta última é associada à rugosidade do solo, sendo genericamente dada por:

δ si (t) = −zsi (t) (4.8)

onde o sinal negativo significa que a mola, no caso o pneu, é tracionada.Após este desenvolvimento pode-se escrever que:

δ p1(t) = zI (t) − φI (t)tI

2 − zs

1(t); (4.9)

δ p2(t) = zI (t) + φI (t)tI

2 − zs

2(t); (4.10)

δ p3(t) = zII (t) + φII (t)tII

2 − zs

3(t); (4.11)

δ p4(t) = zII (t) − φII (t)tII

2 − zs

4(t). (4.12)




Figura 4.4: Rolagem, φ, da carroceria sobre suspensões independente e de eixo rígido.

Figura 4.5: Modelo de carroceria e respectivos eixos para consideração do bounce e daarfagem.

4.4 Deflexão das molas das suspensões

As carrocerias dos automóveis são fixadas aos eixos através de molas. Sendo assim há odeslocamento relativo destes elementos, o que ocasiona as deflexão das molas e dos amorte-cedores. A deflexão das molas e dos amortecedores são devidas aos seguintes deslocamentos:

• deslocamento vertical (bounce ) do centro de massa da carroceria;

• ângulo de rolagem da carroceria (roll );

• ângulo de arfagem da carroceria (pitch );

• deslocamentos do centro de massa das rodas ou eixo.

A seguir será determinada a contribuição de cada uma das parcelas acima listadas nadeflexão das molas da suspensão.

A análise destas componentes será feita de acordo com os modelos representados nasFiguras 4.4 e 4.5 que seguem:




4.4.1 Deflexão das molas para suspensões independentes

As molas de um eixo com suspensão independente, são submetidas as deflexões causadaspelo deslocamento vertical da roda, bem como pelo deslocamento vertical, arfagem e rola-mento da carroceria. Para este desenvolvimento, como nos demais, considera-se também queos deslocamentos verticais da carroceria são maiores do que o das rodas. Genericamente adeflexão das molas de um veículo é dada por

δ i(t) = δ bi (t) + δ φi (t) + δ θi (t) + δ ri (t) (4.13)

onde:δ bi (t) - devido ao deslocamento vertical (bounce ) do centro de massa da carroceria;δ φi (t) - devido ao ângulo de rolagem da carroceria (roll );δ θi (t) - devido ao ângulo de arfagem da carroceria (pitch );δ ri (t) - devido deslocamento do centro de massa das rodas ou eixo.

Cálculo da parcela δ bi (t)

Esta parcela, referente ao deslocamento vertical do centro de gravidade da carroceria emostrado na Figura 4.5, é dada por:

δ bi (t) = z(t) (4.14)

Cálculo da parcela δ φi (t)

Esta parcela é causada pelo ângulo de rolamento da carroceria. Sendo tI e tII as bitolasdos eixos dianteiro e traseiro, respectivamente, e com a consideração que o ângulo de giroda carroceria é pequeno, a deflexão das molas das posições 1 a 4 é:

Roda dianteira esquerda

δ φ1(t) = −φ(t)tI

2 ; (4.15)

Roda dianteira direitaδ φ2(t) = φ(t)

tI

2 ; (4.16)

Roda traseira direitaδ φ3(t) = φ(t)tII

2 ; (4.17)

Rara a roda traseira esquerda

δ φ4(t) = −φ(t)tII

2 , (4.18)

onde o sinal negativo indica que a mola foi tracionada.





Esta parcela, devido ao ângulo de arfagem da carroceria, é igual para as rodas de ummesmo eixo. Assim a parcela da deflexão das molas devido a este movimento da carroce-ria (considerando pequenos ângulos de giro da carroceria e que as distâncias do centro degravidade às rodas dianteiras e traseiras são aI e aII ), são:

roda dianteira esquerda e direita

δ φ1(t) = δ φ2(t) = −θ(t)aI , (4.19)

roda traseira direita e esquerda

δ φ3(t) = δ φ4 (t) = θ(t)aII . (4.20)

O sinal negativo nas duas primeiras equações indica que a mola é tracionada.

Cálculo da parcela δ ri (t)

Esta parcela da deflexão das molas depende do eixo ser eixo rígido ou suspensão inde-pendente. Neste caso, como a suspensão é independente, a deflexão das molas devido aodeslocamento do centro de gravidade das rodas é dada por

δ ri (t) = −zi(t) (4.21)

onde o sinal negativo indica que a mola é distendida.

Deflexão total das molas δ i(t)

Com estas parcelas definidas em função dos deslocamentos dos elementos constituintesdo veículo, bem como da posição do centro de gravidade destes, pode-se escrever que:

δ 1(t) = z(t) − φ(t)tI

2 − θ(t)aI − z1(t), (4.22)

δ 2(t) = z(t) + φ(t)tI

2 − θ(t)aI − z2(t), (4.23)

δ 3(t) = z(t) + φ(t)tII 2 + θ(t)aII − z3(t), (4.24)

δ 4(t) = z(t) − φ(t)tII

2 + θ(t)aII − z4(t). (4.25)

4.4.2 Deflexão das molas para suspensões de eixos rígidos

As molas de um eixo rígido, tal como no item 4.4.1, são submetidas as deflexões causadaspelo seu próprio deslocamento vertical e rotação em torno do eixo axial, bem como pelodeslocamento vertical, arfagem e rolamento da carroceria. Com as mesmas consideraçõesfeitas no item anterior, genericamente as deflexões das molas de um veículo dotado com estetipo de suspensão podem ser escritas como:




δ i(t) = δ bki (t) + δ φk

i (t) + δ bi (t) + δ φi (t) + δ θi (t), (4.26)

onde:i = 1, 2, 3, ou 4 ek = I ou I I , dependendo da i’-ésima posição da roda.

Vale a pena frisar que os dois primeiros termos das equações acima, são relativos aodeslocamento e giro do eixo, enquanto que os três últimos são relativos aos deslocamentoslinear e angulares da carroceria. A seguir são desenvolvidos os procedimentos de cálculo decada uma das parcelas das equações acima apresentadas.

Cálculo da parcela δ bI i (t)

Para o caso de eixo rígido, a deflexão das rodas devido ao deslocamento vertical é o

mesmo para ambas e igual ao do centro de massa do eixo. Assim para o eixo dianteiro etraseiro, tem-se, respectivamente

δ bI 1 (t) = δ bI 2 (t) = −zI (t), (4.27)

δ bII 3 (t) = δ bII 4 (t) = −zII (t), (4.28)

onde o sinal negativo indica que a mola é tracionada.

Cálculo da parcela δ φk

i (t)

Considerando que o giro do eixo dianteiro e do traseiro sejam φI (t) e φII (t) e as bitolasassociadas a estes dois eixos tI e tII , respectivamente, as deflexões das molas para pequenosgiros do eixo são dadas por:

δ φI

1 (t) = φI (t)tI

2 , (4.29)

δ φI

2 (t) = −φI (t)tI

2 , (4.30)

δ φII

3 (t) = −φII (t)tII

2 , (4.31)

δ φII

4 (t) = φII (t)tII

2 . (4.32)

Cálculo da parcela δ bi (t)

O deslocamento vertical da carroceria induz deflexões iguais para todas as molas doveículo e assim:

δ b1(t) = δ b2(t) = δ b3(t) = δ b4(t) = z (4.33)





O ângulo de rolamento da carroceria induz deflexões nas molas da suspensão propor-cionalmente à bitola do eixo. Sendo assim, considerando que o giro da carroceria é pequeno,pode-se escrever a deflexão das molas do eixo dianteiro e traseiro como segue

δ φ1(t) = −φ(t)tI

2 ,

δ φ2(t) = φ(t)tI

2 ,

δ φ3(t) = φ(t)tII

2 ,

δ φ4(t) = −φ(t)tII

2 .

Cálculo da parcela δ θi (t)

O ângulo de arfagem da carroceria, causa deflexões idênticas nas molas das suspensões deum mesmo eixo. Considerando pequenos ângulos, as deflexões das molas do eixo dianteiro etraseira são dadas por:

δ θ1(t) = δ θ2(t) = −θ(t)aI , (4.34)

δ θ3(t) = δ θ4(t) = θ(t)aII . (4.35)

Deflexão total das molas δ i(t)

A seguir é aprensentada a superposição das componentes da deflexão das molas.

δ 1(t) = z(t) − φ(t)tI

2 − θ(t)aI − zI (t) + φI (t)

tI

2 , (4.36)

δ 2(t) = z(t) + φ(t)tI

2 − θ(t)aI − zI (t) − φI (t)

tI

2 , (4.37)

δ 3(t) = z(t) + φ(t)tII

2 + θ(t)aII − zII (t) − φII (t)tII

2 , (4.38)

δ 4(t) = z(t) − φ(t)tII

2 + θ(t)aII − zII (t) + φII (t)

tII

2 . (4.39)

Tendo sido determinadas as deflexões das molas e pneus em função dos deslocamentos edo tipo de suspensão que podem equipar um veículo, as equações diferenciais do movimentopodem ser obtidas para veículos das mais variadas combinações de concepções de suspensões,como citadas no item 4.1.




Figura 4.6: Modelo de dois graus de liberdade de 1/4 do veículo.

4.5 Modelos com dois graus de liberdade

4.5.1 Modelo para bounce

Segundo a referência [1], uma análise dinâmica preliminar de um veículo pode ser feitacom um modelo da quarta parte do conjunto. Neste modelo o veículo é separado em quatro

partes, sendo cada parte associada a uma roda do veículo. Com estas considerações otratamento dinâmico é feito como sendo um sistema de massas e molas com dois graus deliberdade, sendo que, neste caso, uma das molas é a da suspensão e a outra o pneu. Asmassas associadas a este modelo são a metade da massa não suspensa do eixo e a outraa metade da massa suspensa sobre o eixo. Vale salientar que a massa associada ao eixo éfunção da posição do centro de gravidade das massas suspensas.

Com isto definido, o modelo matemático será desenvolvido a partir do modelo dia-gramático mostrado na Figura 4.6.

De acordo com o que foi desenvolvido nos itens anteriores, a deflexão das mola e doamortecedor deste modelo, em função do deslocamento do centro de massa do eixo e dodeslocamento vertical da carroceria, é:

δ i(t) = z(t) − zi(t) (4.40)

onde o índice i indica a posição da roda, conforme a Figura 4.1.A velocidade associada a esta deflexão é dada por:

δ i(t) = z(t) − zi(t) (4.41)

onde o ponto indica derivada em relação ao tempo, ou seja

δ i(t) = ∂δ i(t)∂t

.




Figura 4.7: Diagramas de corpo livre para o modelo com dois graus de liberdade.

A deflexão dos pneus, em termos do deslocamento do centro de massa do eixo e darugosidade do solo, é dada por:

δ pi (t) = zi(t) − zsi (t) (4.42)

onde, novamente, o índice i indica a posição da roda.A partir desta equação, a velocidade é dada por:

δ p

i (t) = zi(t) − zsi (t). (4.43)

Com isto definido, parte-se para a determinação das equações do movimento para esteproblema. Para isto se constrói os diagramas de corpo livre mostrados na Figura 4.7.

Do equilíbrio de forças dos diagramas de corpo livre mostrados na Figura 4.7 a - e b -,tem-se as seguintes equações.

−F km

i

− F ci

= m2

z(t) (4.44)

F kmi + F ci − F kp

i = m1 zi(t) (4.45)

onde os índices sobre-escritos das forças tem a seguinte interpretação:km - representa força devido a deflexão da mola da suspensão;c - representa força devido a ação do amortecedor;kp - representa força devido a deflexão do pneu.

Lembrando que as forças de mola e de amortecimento são dadas por

F kmi = kiδ i(t) = ki [z(t) − zi(t)] , (4.46)

F ci = C i δ i(t) = C i [z(t) − zi(t)] , (4.47)

F kpi = k p

i δ i(t) = k pi [zi(t) − zs

i (t)] , (4.48)

as equações do movimento podem ser reescritas como:

m2 z(t) + C i [z(t) − zi(t)] + ki [z(t) − zi(t)] = 0 (4.49)

m1 zi(t) − C i [z(t) − zi(t)] − kiz(t) + [ki + ki] z pi (t) = k p

i zsi (t) (4.50)




ou matricialmente por∙

m2 00 m1

¸½ z(t)zi(t)

¾+

∙ C i −C i−C i C i

¸½ z(t)zi(t)

¾

+∙

ki −ki

−ki k pi + ki

¸½ z(t)zi(t)

¾ =½

0k p

i zsi (t)

¾. (4.51)

e, compactamente por:[M x(t) + C x(t) +K x(t)] = f (t) (4.52)

onde:

M =

∙ m2 0

0 m1

¸ (4.53)

é a matriz de inércia;

C =∙ C i −C i

−C i C i¸ (4.54)

é a matriz de anortecimento;

K =

∙ ki −ki

−ki k pi + ki

¸ (4.55)

é a matriz de rigidez;

x(t) =

½ z(t)zi(t)

¾ (4.56)

é o vetor de deslocamentos e

f (t) = ½ 0

k p

i

zsi (t) ¾ (4.57)

é o vetor força ou excitação.Com as equações do movimento desenvolvidas, parte-se para a determinação das pro-

priedades características deste sistema dinâmico. Para isso, considera-se que a excitaçãoseja harmônica, porém, podem ser usadas outras metodologias para a determinação dascaracterísticas do sistema.

Para este desenvolvimento, a hipótese de comportamento linear é adotada.A representação da excitação harmônica será feita na forma complexa, visto que a mesma

representa todas as grandezas possíveis de uma excitação, tais como freqüência e ângulo defase, de maneira bastante compacta. Sendo assim, a excitação, a resposta bem como as suasderivadas em relação ao tempo são dadas por:

zsi (t) = Z si (Ω)eiΩt, (4.58)

zi(t) = Z i(Ω)eiΩt,

zi(t) = iΩZ i(Ω)eiΩt = V pi (Ω)eiΩt, (4.59)

zi(t) = −Ω2Z i(Ω)eiΩt = G p

i (Ω)eiΩt,




z(t) = Z (Ω)eiΩt,

z(t) = iΩZ (Ω)eiΩt = V (Ω)eiΩt, (4.60)

z(t) = −Ω2Z (Ω)eiΩ

t = G(Ω)eiΩ

t

onde:i - é a entidade matemática imaginária;Ω - é a freqüência;t - é a variável tempo;Z si (Ω), Z i(Ω), Z (Ω), V (Ω), V i(Ω), G(Ω), Gi(Ω) - são as amplitudes dos deslocamentos,

das velocidades e das acelerações, em freqüência.

Com isso e as devidas simplificações, as equações do movimento são reescritas como:£−m2 Ω

2 Z (Ω) + iΩC i [Z (Ω) − Z i(Ω)] + ki [Z (Ω) − Z i(Ω)]¤

eiΩt = 0 (4.61)

[−m1 Z i(Ω) − C i [Z (Ω) − Z i(Ω)] − ki [Z (Ω) − Z i(Ω)] + k pi Z i(Ω)] eiΩt = k p

i Z si (Ω)eiΩt (4.62)

ou−m2 Ω

2 Z (Ω) + iΩC i [Z (Ω) − Z i(Ω)] + ki [Z (Ω) − Z i(Ω)] = 0. (4.63)

−m1 Ω2 Z i(Ω) − iΩC i [Z (Ω) − Z i(Ω)] − kiZ (Ω) + [k p

i + ki] Z i(Ω) = k pi Z si (Ω) (4.64)

Definindos = iΩ

e lembramdo ques2 = (iΩ)2 = −Ω

2,

pode-se escrever que:

m2 s2 Z (Ω) + sC i [Z (Ω) − Z i(Ω)] + ki [Z (Ω) − Z i(Ω)] = 0. (4.65)

m1 s2 Z i(Ω) − sC i [Z (Ω) − Z i(Ω)] − kiZ (Ω) + [k pi + ki] Z i(Ω) = k p

i Z si (Ω). (4.66)

a qual pode ser expressada de forma matricial como segue∙∙

m2 00 m1

¸s2 +

∙ C i −C i−C i C i

¸s +

∙ ki −ki

−ki k pi + ki

¸¸½ Z (Ω)Z i(Ω)

¾ =

½ 0

k pi Z si (Ω)

¾(4.67)

e mais sinteticamente por:

£M s2 +C s + K

¤Z(Ω) = F(Ω) (4.68)

onde:M, C e K são as matrizes definidas nas equações (4.53), (4.54) e (4.55);




Z(Ω) =

½ Z (Ω)Z i(Ω)

¾ e

F(Ω) =

½ 0

k pi Z si (Ω)

¾.

Com estas definições a equação (4.68) pode ser reescrita como

Ð(s)Z(Ω) = F(Ω),

as quais são as equações de equilíbrio escritas compactamente em termos da freqüência.Verifica-se que estas equações são algébricas, sendo as suas soluções facilmente obtidas,como é mostradoa aseguir.

Definindo a matriz receptância como

Λ(s) = Ð(s)−1 = £M s2 +C s +K ¤−1

(4.69)

tem-se que a resposta, Z(Ω), do sistema é calculada por:

Z(Ω) = Λ(s)F(Ω). (4.70)

A matriz receptância, em termos das propriedades do sistema, é dada por:

Λ(s) = 1

det Ð(s)

∙ ki + k p

i + s(ci + m1s) ki + ciski + cis ki + s(ci + m2s)

¸ (4.71)

onde:

det Ð(s) = ki(k pi + (m1 + m2)s2) + s(m2s(k p

i + m1s2) + ci(k pi + (m1 + m2)s2)) (4.72)

é o determinante da matriz Ð(Ω).

Na ressonância, teoricamente, a resposta do sistema, equação (4.70) tende ao infinito epara que isto aconteça é necessário que a inversa tenda a infinito, o que ocorre nos pólosda razão 1/ detÐ(s) da equação (4.71). A determinação destes pólos, que correspondemas freqüências de naturais do sistema, são obtidos a partir da solução da seguinte equaçãoalgébrica:

det Ð(s) = 0 (4.73)

sendo que o sistema em questão é estável somente se a parte real das raízes desta equaçãoforem negativas. As raízes desta equação, ou os pólos, normalmente são complexas conju-gadas aos pares, podem ser escritas genericamente por:

s j = δ j ± i ν j (4.74)

onde j = 2, 4, · · · , 2n, e n é a dimensão da matriz Ð(s). No caso particular do sistema comdois graus de liberdade n = 2, o que implica em quatro raízes.

Para um sistema com n graus de liberade pode-se escrever que:

|δ j| = ξ jΩ j (4.75)




ν j = Ω j

q 1 − ξ 2 j (4.76)

as quais invertidas resultam em:

ξ j = 1

r 1 +

³ν j

δj´2 (4.77)

Ω j = |δ j|

ξ j(4.78)

onde:ν j é a j ’-ésima freqüência natural amortecida;Ω j é denominada de j’-ésima freqüência natural não amortecida.

A razão de amortecimento, grafada com a letra ξ j, é dada por

ξ j =

c

ccj (4.79)

sendo que ccj é o amortecimento crítico calculado por

ccj = 2 mΩ j. (4.80)

Vale salientar que:

f j = Ω j

2π [Hz] . (4.81)

Lembrando da forma que o deslocamento, a velocidade e a aceleração das diversas partes

do modelo, equações (4.59) e (4.60), são dadas, pode-se escrever a amplitude complexa davelocidade e da aceleração, em termos da amplitude complexa do deslocamento, como

V(Ω) =

½ Z (Ω)V pi (Ω)

¾ = iΩ

½ Z (Ω)Z i(Ω)

¾, (4.82)

G(Ω) =

½ G(Ω)Gi(Ω)

¾ = −Ω

2

½ Z (Ω)Z i(Ω)

¾ (4.83)

ou de maneira compacta porV(Ω) = iΩZ(Ω), (4.84)

G(Ω) = −Ω2Z(Ω). (4.85)

Introduzindo a equação (4.70) nestas duas últimas equações, pode-se escrever:

V(Ω) = iΩΛ(s)F(Ω) = Υ(Ω)F(Ω), (4.86)

G(Ω) = −Ω2Λ(s)F(Ω) = Ξ(Ω)F(Ω) (4.87)

onde:Υ(Ω) = iΩΛ(s) (4.88)




é a mobilidade eΞ(Ω) = −Ω

2Λ(s) (4.89)

é a acelerância, ambas obtidas a partir da matriz de receptância Λ(s).O módulo da receptância, Λ(s), da mobilidade, Υ(Ω), ou da acelerância, Ξ(Ω), são

denominados de ganho. Em função das grandes amplitudes na região de ressonância oganho pode ser expressado em decibéis, dB. Para isso toma-se o logarítmo decimal do ganhomultiplicado por vinte, como segue:

20 log10 |Λ(s)|

para a receptância;20 log10 |Υ(Ω)|

para a mobilidade e

20 log10 |Ξ(Ω)|

para a acelerância. Essas funções de resposta em freqüência, variáveis da freqüência deexcitação, são plotadas normalmente em escala di-log.

4.5.2 Determinação de alguns parâmetros da suspensão

A determinação aproximada da rigidez das molas e da constante de amortecimento dassuspensões de um automóvel, é feita a partir da simplificação do modelo de dois graus deliberdade desenvolvido anteriormente. Essa simplificação consiste em desprezar o grau de

liberdade associado a massa não suspensa do eixo e que a rigidez da mola é equivalente acombinação em série da rididez do pneu e da mola da suspensão. Adicionalmente, a essemodelo, é necessário lançar mão da experiência para que a rigidez da mola da suspensão e aconstante de amortecimento sejam determinadas de maneira a tornar o rodar do automóveladequado ao uso.

Para um modelo com um grau de liberdade apenas e negligenciando a excitação, a equaçãode equilíbrio pode ser desenvolvida a partir da Figura 4.7 - b, onde a rigidez da mola éequivalente a do pneu e da suspensão, ou seja:

keq = kik p

i

ki + k p

i

(4.90)

−F kmi − F ci = m2 z(t) (4.91)

Considerando comportamento harmônico, a resposta em freqüência desse sistema é:£m2 s2 + sC i + keq

¤Z (Ω) = 0. (4.92)

Descartando a solução trivial, a solução desse problema é obtida a partir da seguinte equaçãoalgébrica:

m2 s2 + sC i + keq = 0. (4.93)




As raízes desse sistema algébrico são:

s = −C i

2m2±

s µ C i2m2

¶2

−keq

m2(4.94)

ou

s = −C i

2m2±

r keq

m2

⎡⎣s µ

C im2

2keq

¶2

− 1

⎤⎦ (4.95)

Antes de continuar o desenvolvimento para o sistema amortecido, é importante umaanálise intermediária. Essa análise intermediária é a do sistema não amortecido, ou seja£

m2 s2 + keq

¤Z (Ω) = 0. (4.96)

As raízes da equação álgébrica associada a esta última equação são:

s = ±i

r keq

m2

(4.97)

o que implica em

Ω2 =

r keq

m2(4.98)

ou

f 2 = 1

2π

r keq

m2

(4.99)

que são a frequência fundamental ou natural não amortecida de um sistema com um grau

de liberdade, em rad/s ou em H z, respectivamente.Com as definições estabelecidas para o sistema de um grau de liberdade não amortecido,

pode-se retornar ao problema de autovalor para o problema amortecido e reescrever a equação4.95, como segue:

s = ξ Ω2 ± i Ω2

q 1 − ξ 2 (4.100)

ous = δ ± i ν (4.101)

onde:

ξ =

C im2

2keq - é a razão de amortecimento;ν = Ω2

p 1 − ξ 2 - é a freqüência natural amortecida;

δ = ξ Ω2 é a parte real do autovalor.i - é entidade imaginária.Segundo a referência [1], para um rodar suave a razão de amortecimento, ξ, dos carros de

passeio se situa na faixa de 0, 2 a 0, 4. Vale salientar que nessa faixa da razão de amorteci-mento, ξ , a freqüência natural não amortecida é levemente diferente da amortecida e por issoa frequência natural não amortecida é utilizada para caracterizar o comportamento dinâmicodo veículo no ante-projeto. Porém, quando a razão de amortecimento é maior do que 1, porexemplo 2, a suspensão torna-se tão rígida que o veículo balança somente sobre os pneus ea freqüência natural amortecida cresce para valores na faixa de 3 a 4 Hz.




A modelagem apresentada acima, não consegue captar o efeito do amortecedor na capaci-dade de aderência do veículo, tanto em curvas ou em acelerações, que é uma característicaessencial na manobrabilidade (handling ) e segurança do veículo. Isso implica que a afinaçãodo amortecedor, considerando esse modelo de análise, deve ser experimental. Outro fato, que

é uma simplificação no modelo desenvolvido, é a hipotese que as propriedades do amorte-cedor são iguais na distenção e na compressão, o que não corresponde ao caso real, onde,na maioria das aplicações, os amortecedores são de simples efeito ou de duplo efeito. Parareduzir a força transmitida durante a subida da roda pelo efeito de uma irregularidade napista, os amortecedores de simples efeito apresentam a constante de amortecimento bas-tante baixo na compressão e um valor bastante grande na descida da roda ou extensão doamortecedor. Nos amortecedores de duplo efeito existe um amortecimento significativo nacompressão, porém não tão grande quanto aquele existente na sua extensão. Outro detalheimportante, relacionado com o amortecimento diferente nos dois sentidos de delocamentodo amortecedor, é o seu comportamento não linear (bi-linear), implica em um comporta-mento não linear da equação do movimento desenvolvida. Dessa maneira, em uma análisemais elaborada da resposta do equacionamento desenvolvido, é necessário considerar a nãolinearidade desse elemento nas equações do movimento. Finalmente, o efeito das buchaselásticas usadas nos pontos de fixação dos amortecedores nos eixos e na carroceria, devemser considerado na análise dos deslocamentos de pequena amplitude e de alta frequência queos eixos do veículo estão submetidos.

Quanto a rigidez das molas da suspensão, que está em série com a dos pneus (a rigidez dasmolas da suspensão é cerca de 10% da rigidez do pneu), há a sua predominância na rigidezequivalente, equação 4.90, e no valor da freqüência de ressonância. Como a amplitude de

aceleração cresce com a freqüência, o melhor isolamento do veículo, quanto as irregularidadesda pista, é conseguido mantendo o valor da frequência fundamental o mais baixo possível.A escolha natural para a freqüência fundamental de balanço (bounce ) de um veículo é nafaixa de até 1, 0 Hz. Porém, a adoção de valores menores do que a unidade tem um limiteque é o espaço necessário para o curso da suspensão. Sendo assim, o a faixa de frequênciarecomendada para a seleção da rigidez das molas da suspensão de veículos de passeio ficana faixa de 0, 9 a 1, 5 Hz, quando se deseja um rodar suave do veículo. Carros de altodesempenho, que sacrificam o conforto no rodar em troca de melhores características demanobrabilidade, têm a rigidez das molas de suas suspensões selecionadas para a faixa de

freqüência natural de 2 a 2, 5 Hz , conforme a referência [1].Quanto a relação da freqüência natural com o curso da suspensão, com uma análise

bastante simples, consegue-se mostrar que para uma frequência natural de cerca de 1, 0

Hz, é necessária uma deflexão estática de cerca de 240 mm da mola (pré-carga). Para asuspensão que usa a mola com essa característica, é necessário um curso de cerca de 120

mm para absorver uma carga associada a uma aceleração vertical de 0, 5 g. Isso implica que,para acelerações relativamente modestas impostas pelo solo, o curso da suspensão precisa serrelativamente grande para valores de freqüências de 1, 0 Hz. Quando o veículo é grande e oespaço disponível da suspensão também, o uso de frequências naturais baixas para a seleção

da rigidez de mola é possível. Quando o veículo é pequeno e o espaço disponível para o curso




da suspensão é pequeno, usa-se frequências mais altas para a determinação da rigidez damola. Essa última opção, para a determinação da rigidez da mola, implica numa redução doconforto do veículo, já que há um endurecimento da suspensão.

4.5.3 Massas não suspensas

A massa dos eixos, que inclui a massa da roda, pneu cubo, ponta de eixo, freios, juntase parte da massa dos semi eixos, balanças, amortecedores e molas, constitui o que se chamade massa não suspensa. Essas massas, denotadas pela letra m1 na Figura 4.7 - a, no modelocom dois graus de liberdade têm um graus de liberdade, zi(t), associado. Como essa massaé bastante menor que a massa suspensa (segundo a referência [1] cerca de 10% para os eixosnão motrizes e cerca de 15% para os eixos motrizes), a sua freqüência de ressonância é bemmaior do que a freqüência de ressonância das massas suspensas. Sendo assim, para umaanálise preliminar, pode-se supor que a massa não suspensa é um sistema de um grau de

liberdade suportado pela molas em paralelo pneu e da suspensão, já que os deslocamentos dacarroceria serão muito menores do que os das massas não suspensas na ressonância destasúltimas. Com essa hipótese, a freqüência natural da suspensão pode ser estimada pelaseguinte equação:

Ω1 =

s ki + k p

i

m1(4.102)

onde os termos que compõem essa equação têm o significado definido anteriormente nesteitem.

Segundo a referência [1], como a rigidez das molas da supensão giram em torno de 10%da rigidez dos pneus e o valor das massas não suspensas em torno de 50 kg , os valores típicospara a freqüência natural das massas não suspensas é em torno de 10 Hz . Esses valoressão afetados pela rigidez torcional e amortecimento histerético das buchas da suspensão eafastam os valores da freqüência de ressonância para a faixa de 12 a 15 Hz . Com umaanálise simples de sensibilidade da freqüência natural em relação a massa não suspensa,concluí-se que os eixos mais leves são os mais indicados para um rodar suave do veículo emrelação aos pesados, porém problemas, facilmente contornáveis, surgem em altas freqüênciasde excitação.

Exemplo Determinar a rigidez de mola e a constante de amortecimento para o veículocom as características apresentadas na Tabela 4.1

Solução: Para o desenvolvimento do problema é necessário calcular a rigidez das molasda suspensão. Dessa forma é necessário determinar o valor da massa suspensa sobre cadaroda. Sendo assim,

m2I = m(1 − x)

2 =

1.476(1 − 0, 45)

2 = 405, 9 kg




Tabela 4.1: Características do veículo.Grandeza Dimensão Dados

Tração − TraseiraDistribuição de carga x − 0, 45

Razão de amortecimento ξ − 0, 3Suspensão dianteira McPherson − −

Suspensão traseira Semi trailing - -Peso do veículo G N 16.503

Massa do veículo mtotal kg 1.682, 26Massa suspensa m kg 1.476

Massa não suspensa eixo dianteiro mI kg 92, 26Massa não suspensa eixo traseiro mII kg 114

Rigidez do pneu k pi N/m 210.000

m2II = m x2

= 1.476 0, 452

= 332, 1 kg

Lembrando que a freqüência natural deve girar em torno de 1,0 a 1,5 Hz, a rigidez das molasda suspensão é determinada a partir da combinação das seguintes equações

f 2 = 1

2π

r keq

m2

keq = kik p

i

ki + k pi

ki = k pi³ k

pi

m2(2πf 2)2 − 1

´Considerando que a suspensão traseira tem que ser um pouco mais rígida que a dianteira,

em função da estabilidade direcional, considera-se que as frequências naturais são 1, 0 hz e1, 2 Hz para os eixos dianteiro e traseira, respectivamente. Sendo assim, tem-se:

kiI = k p

i³ k

pi

m2I (2πf 2)2 − 1

´ = 210.000³ 210.000

405,9(2π1,0)2 − 1

´ = 17.348, 05 N/m

kiII = k pi³ k

pi

m2II (2πf 2)2 − 1

´ = 210.000³ 210.000

332,1(2π1,2)2 − 1

´ = 20.744, 51 N/m

Determinada a rigidez das molas do eixo dianteiro e traseiro, o próximo passo é a de-terminação das constantes de amortecimento para os dois eixos. Para isso, como o veículoé de passeio, considera-se como uma primeira aproximação que a razão de amortecimentoé de 0,3, ou seja ξ = 0, 3. Assim, para continuar o desenvolvimento é necessário calcular oamortecimento crítico das suspensões dianteira e traseira. Isso é feito a partir da seguinteequação:

ccj = 2 mΩ j. (4.103)




Cálculo da freqüência natural em rad/s

Ω2 I = 2πf 2 I = 2π1, 0 = 6, 283 rad/s

Ω2 II = 2πf 2 II = 2π1, 2 = 7, 540 rad/s

Cálculo do amortecimento crítico para o eixo dianteiro:

ccI = 2 m2 I Ω2 I = 2 405, 9 6, 283 = 5.100, 54 Ns/m (4.104)

Cálculo do amortecimento crítico para o eixo traseiro:

ccII = 2 m2 II Ω2 II = 2 332, 1 7, 540 = 5.007, 95 Ns/m (4.105)

Com isso definido e com ξ = 0, 3, tem-se que a constante de amortecimento para os eixosdianteiro e traseiro são calculadas a partir da seguinte equação:

c = ccj ξ (4.106)

cI = ccI ξ = 5.100, 54 0, 3 = 1530, 16 Ns/m (4.107)

cII = ccII ξ = 5.007, 95 0, 3 = 1502, 39 Ns/m (4.108)

O cálculo das freqüências naturais dos eixos é feito com a equação simplificada 4.102,reescrita a seguir:

Ω1 =

s ki + k p

i

m1. (4.109)

Assim o período fundamental para o eixo dianteiro e traseiro é dado por:

Ω1 I =

s ki I + k p

i

m1 I

=

s 17.348, 05 + 210.000

92, 26/2 = 70, 20 rad/s = 11, 73 Hz (4.110)

Ω1 II =

s kiII + k p

i

m1 II

=

s 20.744, 51 + 210.000

114/2 = 63, 63 rad/s = 10, 13 Hz (4.111)

respectivamente.

A determinação das freqüências naturais amortecidas é feita a partir da seguinte equação

ν = Ω j

q 1 − ξ 2.

Assim, a freqüência natural amortecida para a massa sobre o eixo dianteiro vale

ν 2 I = Ω2 I

q 1 − ξ 2 = 6, 283

p 1 − 0, 32 = 5, 99 rad/s = 0, 953 Hz (4.112)

e para a massa sobre o eixo traseiro vale

ν 2 II = Ω2 II q

1 − ξ 2 = 7, 540p

1 − 0, 32 = 7, 193 rad/s = 1, 144 Hz. (4.113)




Para o eixo dianteiro, a freqüência natural amortecida vale

ν 1I = Ω1I

q 1 − ξ 2 = 70, 20

p 1 − 0, 32 = 66, 97 rad/s = 10, 65 Hz (4.114)

e para o eixo traseiro vale

ν 1II = Ω1II

q 1 − ξ 2 = 63, 63

p 1 − 0, 32 = 60, 70 rad/s = 9, 66 Hz.

Nas equações apresentadas acima, observa-se que as freqüências naturais amortecidasdiferem muito pouco das amortecidas, por isso que a freqüência natural não amortecida ébastante usada para definir as propriedades de um veículo na etapa de ante-projeto.

É importante observar também que a rigidez das molas bem como a constante de amortec-imento calculadas acima, não são os valores reais da rigidez das molas e da constante deamortecimento. Isto se deve ao fato que no modelo matemático as molas e os amortecedoresestão colocados no plano médio das rodas. Nos veículos reais isso não ocorre, pois basta

lembrar que as molas e amortecedores estão fixos nas balanças ou nos braços das suspensõesdos automóveis, exceto no caso de algumas suspensões McPherson. Sendo assim é necessáriocalcular a rigidez de mola e a constante de amortecimento considerando os braços de alavancaproporcionados pelas balanças das suspensões. Para esse caso, como a suspensão dianteira éa Mc Pherson e que a mola e amortecedor estão na torre da suspensão, a constante de molae de amortecimento não se alteram, pois o deslocamento e a velocidade que a mola sofre éaproximadamente (a diferença se deve à leve inclinação do eixo da mola e do amortecedor davertical) a do plano médio do pneu. Para a suspensão traseira, onde o tipo é semi trailing ,considera-se as seguinte grandezas: u = 0, 2 m e v = 0, 3 m medidas em relação ao ponto de

pivotamento da balança a mola e a roda, respectivamente. Sendo assim:

kreal = kiII

³v

u

´2= 20.744, 51

µ0, 3

0, 2

¶2

= 46.675, 15 N/m

Com o valor estabelecido para as molas das suspensões dianteira e traseira, pode-se calculara deflexão estática da mola para suportar o peso próprio do veículo, como segue:

δ estI = m2I (1 − x)g

kiI

³u

v

´2=

405, 9(1 − 0, 45)9, 81

17.348, 05 (1, 0)2 = 0, 126 m = 126 mm

δ estII =

m2II x g

kiII ³u

v´2

=

332, 1 0, 45 9, 81

20.744, 51µ0, 2

0, 3¶2

= 0, 031 m = 31 mmSupondo que durante o deslocamento o veículo fique submetido a uma carga proporcional a0, 5 g de aceleração vertical, a deflexão do centro da roda é calculado como segue:

δ roda I = m2I (1 − x)avert

kiI

= 405, 9(1 − 0, 45)0, 5 9, 81

17.348, 05 = 0, 063 m = 63 mm

δ roda II = m2II x avert

kiII

= 332, 1 0, 45 0, 5 9, 81

20.744, 51 = 0, 035 m = 35 mm

Esses valores significam que, para suportar uma aceleração vertical de cerca de 0, 5 g, assuspensões devem permitir um curso livre da roda de pelo menos 63 mm e 35 mm nos eixosdianteiro e traseiro respectivamente.




4.6 Modelos com sete graus de liberdade

A abordagem apresentada a seguir vale para todas as combinações possíveis de suspensõespara automóveis. A formulação é desenvolvida em termos energéticos, visto que se procura

uma ferramenta mais fl

exível para permitir que se agrege, oprtunamente, alguns outrosefeitos no modelo, tais como efeitos giroscópicos, massas descentradas, ou então graus deliberdade associados aos subsistemas que compõem um automóvel (por exemplo direção etransmissão). O objetivo desses modelos é o da melhor representação do comportamentode um veículo transitando em linha reta, porém modelos com número maior de graus deliberdade, de tal forma a simular dirigibilidade e frenagem como feito por Sayers e Hanna referência [?], podem ser construídos. Como o objetivo primeiro deste trabalho é o delevantar cargas durante o deslocamento em linha reta do veículo, os modelos com sete grausde liberdade são adequado para uma primeira abordagem.

Para o desenvolvimento que será feito neste capítuloa influência do campo gravitacional

não será considerada, já que os carregamentos médios impostos pelo peso e as resistênciasao movimento do veículo foram determinados em capítulo anterior,

4.6.1 Veículos com dois eixos rígidos

O modelo com sete graus de liberdade para o caso em que os eixos traseiro e dianteirosão rígidos, mostrado na Figura 4.8, é desenvolvido neste item.

Vale a pena salientar que as coordenadas generalizadas, para o modelo do veículo dis-cretizado com sete graus de liberdade, podem ser escritas na forma de um vetor, comno

segue:

x(t) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

q 1(t)q 2(t)q 3(t)q 4(t)q 5(t)q 6(t)q 7(t)

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

=

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

z(t)φ(t)θ(t)zI (t)φI (t)zII (t)φII (t)

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

(4.115)

e as velocidades associadas a esses graus de liberdade por

x(t) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

q 1(t)q 2(t)q 3(t)q 4(t)q 5(t)q 6(t)q 7(t)

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

=

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

z(t)

φ(t)θ(t)

zI (t)

φI (t)zII (t)

φII (t)

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

. (4.116)

Os graus de liberdade associados ao vetor x(t), são mostrados na Figura 4.8.Com estas grandezas definidas, as deflexões das molas, dadas pelas equações (4.36) a

(4.39) e repetidas a seguir, são

δ 1(t) = z(t) − φ(t)tI

2 − θ(t)aI − zI (t) + φI (t)tI

2 , (4.117)




Figura 4.8: Modelo de sete graus de liberdade para um veículo com dois eixos rígidos.




δ 2(t) = z(t) + φ(t)tI

2 − θ(t)aI − zI (t) − φI (t)

tI

2 , (4.118)

δ 3(t) = z(t) + φ(t)tII

2

+ θ(t)aII − zII (t) − φII (t)tII

2

, (4.119)

δ 4(t) = z(t) − φ(t)tII


tII

2 , (4.120)

e as velocidades dadas por

δ 1(t) = z(t) − φ(t)tI

2 − θ(t)aI − zI (t) + φI (t)

tI

2 , (4.121)

δ 2(t) = z(t) + φ(t)tI

2 − θ(t)aI − zI (t) − φI (t)

tI

2 , (4.122)

δ 3(t) = z(t) + φ(t)tII

2 + θ(t)aII − zII (t) − φII (t)tII

2 , (4.123)

δ 4(t) = z(t) − φ(t)tII


tII

2 . (4.124)

As deflexões dos pneus para um eixo rígido, dadas pelas equações (4.9) a (4.12), sãorepetidas a seguir

δ p1(t) = zI (t) − φI (t)tI

2 − zs

1(t), (4.125)

δ p2(t) = zI (t) + φI (t)tI

2 − zs

2(t), (4.126)


2 − zs

3(t), (4.127)


2 − zs

4(t) (4.128)

e as velocidades associadas por:

δ p

1(t) = zI (t) − φI (t)tI

2

− zs1(t), (4.129)

δ p

2(t) = zI (t) + φI (t)tI

2 − zs

2(t), (4.130)

δ p

3(t) = zII (t) + φII (t)tII

2 − zs

3(t), (4.131)

δ p

4(t) = zII (t) − φII (t)tII

2 − zs

4(t). (4.132)

Tendo sido estabelecidos as deflexões e as velocidades de deflexão das molas, a seguir sedetermina a energia potencial, a energia cinética e a função dissipação de Rayleigh para cadaum dos subsistemas, sendo a superposição dos efeitos feita posteriormente.




Cálculo da energia associada a carroceria

Energia cinética O objetivo de calcular a energia cinética do sistema é o de determinara matriz de inércia do conjunto, a partir de conceitos de mecânica Lagrangeana. Assim aenergia cinética do subsistema carroceria é dada por:

T c = 1

2

hm z2(t) + I x φ

2(t) + I y θ

2(t)i

(4.133)

onde:m - massa da carroceria;I x - momento de massa da carroceria em torno do eixo, x, axial ao carro;I y- momento de massa da carroceria em torno do eixo, y, transversal ao carro.

Energia potencial O objetivo da determinação da energia potencial é o de determinar

a matriz de rigidez do sistema. Assim a energia potencial da carroceria devido a deflexãodas molas das suspensões é dada por:

V c = 1

2

£k1δ 21(t) + k2δ 22(t) + k3δ 23(t) + k4δ 24(t)

¤ (4.134)

a qual, inseridas as equações (4.117) a (4.120), é reescrita como

V c = 1

2

∙k1(z(t) − φ(t)

tI

2 − θ(t)aI − zI (t) + φI (t)

tI

2 )2

+k2(z(t) + φ(t)tI

2 − θ(t)aI − zI (t) − φ

I

(t)tI

2 )2

+k3(z(t) + φ(t)tII

2 + θ(t)aII − zII (t) − φII (t)

tII

2 )2

+ k4(z(t) − φ(t)tII


tII

2 )2¸

. (4.135)

Função dissipativa de Rayleigh As forças dissipativas ou não conservativas podemser oriundas de mecanismos de amortecimento viscoso bem como de forças circulatórias, asquais são incluídas nos sistemas de equações de movimento a partir da função dissipadoradefinida por:

= =nX

i=1

nXi=1

µ12

cij q i q j + dij q iq j¶

(4.136)

onde:cij - é o coeficiente de amortecimento viscoso;dij - é o coeficiente do amortecimento das forças circulatórias;q i - é a velocidade da i’ésima coordenada generalizada;q j - é a j’ésima coordenada generalizada;n - é o número de graus de liberdade do sistema.

Na equação (4.136) o primeiro termo do lado direito é associado com as forças de amortec-imento viscoso enquanto que o último é associado ao amortecimento das forças circulatórias.




Como neste modelo a aerodinâmica não será considerada como um fator importante noamortecimento do veículo, o último termo da equação (4.116) é negligenciado. Com estahipótese simplificativa adotada, a potência dissipada pelos amortecedores do veículo é dadapor:

=c = 12h

c1δ 2

1(t) + c2δ 2

2(t) + c3δ 2

3(t) + c4δ 2

4(t)i

(4.137)ou, em termos dos graus de liberdade da carroceria e das suspensões, por:

=c = 1

2

∙c1(z(t) − φ(t)

tI

2 − θ(t)aI − zI (t) + φI (t)

tI

2 )2

+c2(z(t) + φ(t)tI

2 − θ(t)aI − zI (t) − φI (t)

tI

2 )2

+c3(z(t) + φ(t)tII


tII

2 )2

+ c4(z(t) − φ(t)tII

2

+ θ(t)aII − zII (t) + φII (t)tII

2

)2¸ . (4.138)

Cálculo da energia associada ao eixo dianteiro

Neste item são calculadas apenas a energia cinética e a energia potencial do eixo, já queo efeito das forças dissipativas dos pneus é desprezada nessa primeira aproximação.

Vale salientar que o modelo mais adequado para a consideração do efeito dissipativo dospneus não é o de amortecimento viscoso, mas sim o de amortecemento histerético, tendoem vista o comportamento dos pneus sob a ação de cargas radiais nas operações de carga edescarga. Detalhes deste comportamento dos pneus estão descritos na referência [?] e na [4].

Energia cinética Como neste modelo não há interesse na análise do comportamentotorcional do eixo, a energia cinética do conjunto eixo dianteiro é dada por:

T erI = 1

2[mI (zI (t))2 + I xI

(φI (t))2] (4.139)

ondemI - é a massa do eixo dianteiro;zI (t) - é a velocidade vertical do centro de gravidade do eixo rígido;I xI

- é o momento de massa do eixo dianteiro em relação ao eixo axial do veículo;˙

φI (t) - é a velocidade de giro do eixo dianteiro em relação ao eixo axial.

Energia potencial A energia potencial do eixo dianteiro devido as deflexões dos pneusé dada por:

V erI = 1

2

£k p1(δ p1(t))2 + k p

2(δ p2(t))2¤

(4.140)

Substituindo na equação acima as deflexões do pneu em termos dos deslocamentos do eixobem como em função da rugosidade do solo, equações (4.125) a (4.126), a mesma pode serreescrita como:

V erI =

1

2(

k

p

1∙

zI (t)−

φI (t)

tI

2 −

z

s

1(t)¸2

+ k

p

2∙

zI (t) + φI (t)

tI

2 −

z

s

2(t)¸2)

(4.141)




Cálculo da energia associada ao eixo traseiro

Desprezando a energia dissipada pelo amortecimento interno dos pneus, neste item secalcula, também, apenas a energia cinética e a potencial.

Energia cinética Considerando apenas os deslocamentos vertical e de giro do eixo emrelação a direção axial do veículo, a energia cinética é dada por

T erII = 1

2[mII (zII (t))2 + I xII

(φII (t))2]. (4.142)

ondemII - é a massa do conjunto eixo traseiro;zII (t) - é a velocidade vertical do centro de gravidade do eixo rígido;I xII

- é o momento de massa do eixo traseiro em relação ao eixo axial do veículo;φ

II (t) - é a velocidade de giro do eixo traseiro em relação ao eixo axial.

Energia potencial A energia potencial para o eixo traseiro rígida é dada por

V erII = 1

2

£k p3(δ p3(t))2 + k p

4(δ p4(t))2¤

. (4.143)

Com a substituição das equações (4.127) a (4.128), a equação 4.143 é reescrita como:

V erII = 1

2

∙k p3(zII (t) + φII (t)

tII

2 − zs

3(t))2 + k p4(zII (t) − φII (t)

tII

2 − zs

4(t))2¸

. (4.144)

Superposição dos efeitos

A seguir é feita a superposição das energias calculadas para que se possa aplicar o princí-pio de Lagrange e gerar o sistema de equações diferenciais para o modelo de sete graus deliberdade de um veículo com dois eixos rígidos.

Energia cinética total para um veículo com eixos rígidos na frente e traseira

Com as considerações feitas anteriormente a energia cinética de um veículo dotado de doiseixos rígidos é dada por

T Total = T c + T erI + T erII . (4.145)

OndeT c - energia cinética da carroceria;T erI - energia cinética do eixo dianteiro;T erII - energia cinética do eixo traseiro.

Em termos dos graus de liberdade do sistema, a energia cinética de todo o sistema é dadapor

T Total = 1

2 hm z2(t) + I x φ

2(t) + I y θ

2(t) + mI (zI (t))2 + I xI

(φI (t))2]

+mII (zII (t))2 + I xII (φII (t))2i

. (4.146)




n - é o número de graus de liberdade do sistema.

As matrizes de inércia, amortecimento e de rigidez deste sistema, desenvolvidas a partirda aplicação da equação (4.150), tem os seus elementos dados por

mij = ∂ 2

T 2∂ q i∂ q j

; (4.151)

cij = ∂ 2=

∂ q i∂ q j; (4.152)

kij = ∂ 2V

∂q i∂q j; (4.153)

onde, para este problema especí fico, tem-se que a energia cinética T 2 é dada por

T 2 = T Total (4.154)

já que se não se considera os efeitos giroscópicos nem o enrigecimento da estrutura devido acampos longitudinais de força.

A energia potencial V do sistema em questão é dada por:

V = V Total (4.155)

Matriz massa A seguir são determinados os elementos da matriz massa com o auxílioda equação (4.151).

m11 = ∂ 2T Total

∂ z2 = m

m22 = ∂ 2T Total

∂ φ2 = I x

m33 = ∂ 2T Total

∂ θ2 = I y

m44 = ∂ 2T Total

∂ z2I

= mI (4.156)

m55 =

∂ 2T Total

∂ φ2I

= I xI

m66 = ∂ 2T Total

∂ z2II

= mII

m77 = ∂ 2T Total

∂ φ2

II

= I xII

ou, na forma matricial, como segue




M =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

m 0 0 0 0 0 00 I x 0 0 0 0 00 0 I y 0 0 0 00 0 0 mI 0 0 0

0 0 0 0 I xI 0 00 0 0 0 0 mII 00 0 0 0 0 0 I xII

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

. (4.157)

Matriz amortecimento Os elementos da matriz amortecimento, obtidos a partir dafunção dissipação de Rayleigh com o auxílio da equação (4.152), são:

c11 = ∂ 2=

∂ z2 = c1 + c2 + c3 + c4 (4.158)

c12 = c21 = ∂

2

=∂ z∂ φ = − (c1 − c2) tI 2 + (c3 − c4) tII

2 (4.159)

c13 = c31 = ∂ 2=

∂ z∂ θ= − (c1 + c2) aI + (c3 + c4) aII (4.160)

c14 = c41 = ∂ 2=

∂ z∂ zI

= − (c1 + c2) (4.161)

c15 = c51 = ∂ 2=

∂ z∂ φI

= (c1 − c2) tI

2 (4.162)

c16 = c61 =

∂ 2=

∂ z∂ zII = − (c3 + c4) (4.163)

c17 = c71 = ∂ 2=

∂ z∂ φII

= − (c3 − c4) tII

2 (4.164)

c22 = ∂ 2=

∂ φ2 = (c1 + c2)

µtI

2

¶2

+ (c3 + c4)

µtII

2

¶2

(4.165)

c23 = c32 = ∂ 2=

∂ φ∂ θ= (c1 − c2)

µaI tI

2

¶+ (c3 − c4)

µaII tII

2

¶ (4.166)

c24 = c42 = ∂ 2=

∂ φ∂ zI = (c1 − c2)

tI

2 (4.167)

c25 = c52 = ∂ 2=

∂ φ∂ φI

= − (c1 + c2)

µtI

2

¶2

(4.168)

c26 = c62 = ∂ 2=

∂ φ∂ zII

= − (c3 − c4) tII

2 (4.169)

c27 = c72 = ∂ 2=

∂ φ∂ φII

= − (c3 + c4)

µtII

2

¶2

(4.170)

c33 = ∂ 2

=∂ θ

2 = (c1 + c2) a2I + (c3 + c4) a2II (4.171)




c34 = c43 = ∂ 2=

∂ θ∂ zI

= (c1 + c2) aI (4.172)

c35 = c53 = ∂ 2=

∂ θ∂ φI

= − (c1 − c2) aI tI

2 (4.173)

c36 = c63 = ∂ 2=

∂ θ∂ zII

= − (c3 + c4) aII (4.174)

c37 = c73 = ∂ 2=

∂ θ∂ φII

= − (c3 − c4) aII tII

2 (4.175)

c44 = ∂ 2=

∂ z2I

= c1 + c2 (4.176)

c45 = c54 = ∂ 2=

∂ zI ∂ φI

= − (c1 − c2) tI

2 (4.177)

c46 = c64 = ∂ 2

=∂ zI ∂ zII

= 0 (4.178)

c47 = c74 = ∂ 2=

∂ zI ∂ φII

= 0 (4.179)

c55 = ∂ 2=

∂ φ2

I

= (c1 + c2)

µtI

2

¶2

(4.180)

c56 = c65 = ∂ 2=

∂ φI ∂ zII

= 0 (4.181)

c57 = c75 = ∂

2

=∂ φI ∂ φII

= 0 (4.182)

c66 = ∂ 2=

∂ z2II

= c3 + c4 (4.183)

c67 = c76 = ∂ 2=

∂ zII ∂ φII

= (c3 − c4) tII

2 (4.184)

c77 = ∂ 2=

∂ φ2

II

= (c3 + c4)

µtII

2

¶2

(4.185)

Os termos apresentados acima tem sua disposição na matriz de amortecimento, C,mostrada na expressão que segue.

C =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

c11 c12 c13 c14 c15 c16 c17c21 c22 c23 c24 c25 c26 c27c31 c32 c33 c34 c37 c36 c37c41 c42 c43 c44 c45 c46 c47c51 c52 c53 c54 c55 c56 c57c61 c62 c63 c64 c65 c66 c67c71 c72 c73 c74 c75 c76 c77

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

. (4.186)

É conveniente salientar que a matriz acima é simétrica, já que não são considerados efeitosgiroscópicos.




Matriz de rigidez Os elementos da matriz rigidez, obtidos a partir da energia poten-cial com o auxílio da equação (4.153), são:

k11 = ∂ 2V Total

∂z2 = k1 + k2 + k3 + k4 (4.187)

k12 = k21 = ∂ 2V Total

∂z∂φ = − (k1 − k2)

tI

2 + (k3 − k4)

tII

2 (4.188)

k13 = k31 = ∂ 2V Total

∂z∂θ = − (k1 + k2) aI + (k3 + k4) aII (4.189)

k14 = k41 = ∂ 2V Total

∂z∂ zI

= − (k1 + k2) (4.190)

k15 = k51 = ∂ 2V Total

∂z∂φI

= (k1 − k2) tI

2 (4.191)

k16 = k61 = ∂ 2V Total

∂z∂ zII

= − (k3 + k4) (4.192)

k17 = k71 = ∂ 2V Total

∂z∂φII

= − (k3 − k4) tII

2 (4.193)

k22 = ∂ 2V Total

∂φ2 = (k1 + k2)

µtI

2

¶2

+ (k3 + k4)

µtII

2

¶2

(4.194)

k23 = k32 = ∂ 2V Total

∂φ∂θ = (k1 − k2)

µaI tI

2

¶+ (k3 − k4)

µaII tII

2

¶ (4.195)

k24 = k42 = ∂ 2V Total

∂φ∂zI

= (k1 − k2) tI

2 (4.196)

k25 = k52 = ∂ 2V Total

∂φ∂φI

= − (k1 + k2)

µtI

2

¶2

(4.197)

k26 = k62 = ∂ 2V Total

∂φ∂zII

= − (k3 − k4) tII

2 (4.198)

k27 = k72 = ∂ 2V Total

∂φ∂φII

= − (k3 + k4)

µtII

2

¶2

(4.199)

k33 = ∂ 2V Total

∂θ2 = (k1 + k2) a2I + (k3 + k4) a2

II (4.200)

k34 = k43 = ∂ 2V Total

∂θ∂zI

= (k1 + k2) aI (4.201)

k35 = k53 = ∂ 2V Total

∂θ∂φI

= − (k1 − k2) aI tI

2 (4.202)

k36 = k63 = ∂ 2V Total

∂θ∂zII

= − (k3 + k4) aII (4.203)

k37 = k73 = ∂

2

V Total∂θ∂φII

= − (k3 − k4) aII tII 2 (4.204)




k44 = ∂ 2V Total

∂z2I

= k1 + k2 + k p1 + k p

2 (4.205)

k45 = k54 = ∂ 2V Total

∂zI ∂φI

= (−k1 + k2 − k p1 + k p

2) tI

2 (4.206)

k46 = k64 = ∂ 2V Total

∂zI ∂ zII

= 0 (4.207)

k47 = k74 = ∂ 2V Total

∂zI ∂φII

= 0 (4.208)

k55 = ∂ 2V Total

∂φ2I

= (k1 + k2)

µtI

2

¶2

+ (k p1 + k p

2)

µtI

2

¶2

(4.209)

k56 = k65 = ∂ 2V Total

∂φI ∂zII

= 0 (4.210)

k57 = k75 =

∂ 2V Total

∂φI ∂φII = 0 (4.211)

k66 = ∂ 2V Total

∂z2II

= k3 + k4 + k p3 + k p

4 (4.212)

k67 = k76 = ∂ 2V Total

∂zII ∂φII

= (k3 − k4) tII

2 + (k p

3 − k p4)

tII

2 (4.213)

k77 = ∂ 2V Total

∂φ2II

= (k3 + k4)

µtII

2

¶2

+ (k p3 + k p

4) tII

2 (4.214)

Os termos desnvolvidos acima, tem sua disposição na matriz de rigidez, K , mostrada na

expressão que segue.

K =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

k11 k12 k13 k14 k15 k16 k17

k21 k22 k23 k24 k25 k26 k27

k31 k32 k33 k34 k37 k36 k37

k41 k42 k43 k44 k45 k46 k47

k51 k52 k53 k54 k55 k56 k57

k61 k62 k63 k64 k65 k66 k67

k71 k72 k73 k74 k75 k76 k77

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

. (4.215)

Vetor excitação Neste caso, onde a excitação é pela base, tem-se que o vetor de

carregamentos é dado por:

f (t) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

f 1(t)f 2(t)f 3(t)f 4(t)f 5(t)f 6(t)f 7(t)

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

=

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

000

k p1 zs

1(t) + k p2 zs

2(t)− (k p

1 zs1(t) − k p

2 zs2(t)) tI

2

k p3 zs

3(t) + k p4 zs

4(t)(k p

3 zs3(t) − k p

4 zs4(t)) tII

2

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

(4.216)

onde:k p

i - é a rigidez do i’-ésimo pneu;

zsi (t) - é a rugosidade do solo sob o i’-ésimo pneu.




Figura 4.9: Modelo de sete graus de liberdade para um veículo com suspensão dianteira

independente e eixo traseiro rígido.




As deflexões dos pneus para um eixo rígido, dadas pelas equações (4.1), (4.11) e (4.12),são repetidas a seguir

δ p1(t) = z1(t) − zs1(t); (4.227)

δ p2(t) = z2(t) − zs2(t); (4.228)


2 − zs

3(t); (4.229)


2 − zs

4(t), (4.230)

e as velocidades dadas por:δ

p

1(t) = z1(t) − zs1(t); (4.231)

δ p

2(t) = z2(t) − zs2(t); (4.232)

˙

δ

p

3(t) = zII (t) +

˙

φII (t)

tII

2 − z

s3(t); (4.233)

δ p

4(t) = zII (t) − φII (t)tII

2 − zs

4(t). (4.234)

A seguir se determina a energia potencial, a energia cinética e a função dissipação deRayleigh para cada um dos subsistemas, bem como é feita a superposição dos efeitos.

Cálculo da energia associada à carroceria

Energia cinética A energia cinética do subsistema carroceria para um veículo com

suspensão dianteira independente e traseira rígida é exatamente igual ao do caso anterior,equação (4.133), que é repetida a seguir

T c = 1

2

hm z2(t) + I x φ

2(t) + I y θ

2(t)i

(4.235)


Energia potencial A energia potencial da carroceria do veículo com a configuraçãosuspensão independente na dianteira e eixo rígido na traseira é levemente diferente do casoanterior, visto que as deflexões associadas ao eixo são função do tipo de suspensão. Assimpode-se escrever:

V c = 1

2

£k1δ 21(t) + k2δ 22(t) + k3δ 23(t) + k4δ 24(t)

¤ (4.236)




ou em termos dos deslocamentos generalizados por:

V c = 1

2

"k1

µz(t) − φ(t)

tI

2 − θ(t)aI − z1(t)

¶2

+k2

µz(t) + φ(t)tI

2 − θ(t)aI − z2(t)

¶2

+k3

µz(t) + φ(t)

tII


tII

2

¶2

+ k4

µz(t) − φ(t)

tII


tII

2

¶2#

. (4.237)

Função dissipativa de Rayleigh A potência dissipada pelos amortecedores do veículo,com suspensão independente na dianteira e eixo rígido na traseira, é dada por:

=c = 1

2

hc1δ

2

1(t) + c2δ 2

2(t) + c3δ 2

3(t) + c4δ 2

4(t)i

(4.238)

ou, em termos dos graus de liberdade da carroceria e das suspensões, por:

=c = 1

2

"c1

µz(t) − φ(t)

tI

2 − θ(t)aI − z1(t)

¶2

+c2

µz(t) + φ(t)

tI

2 − θ(t)aI − z2(t)

¶2

+c3µ

z(t) + φ(t)tII

2 + θ(t)aII −

zII (t) − φII (t)tII

2¶2

+ c4

µz(t) − φ(t)

tII


tII

2

¶2#

. (4.239)


Neste item são calculadas apenas a energia cinética e a energia potencial do eixo dianteiro.As expressões gerais do cálculo das energias é igual ao feito anteriormente para eixos rígidos,sendo a diferença restrita os graus de liberdade do eixo de suspensão independente em relação

ao rígido

Energia cinética Como neste modelo também não há interesse na análise do compor-tamento torcional do eixo, a energia cinética do conjunto eixo dianteiro é dada por:

T eI = 1

2[m1 (z1(t))2 + m2 (z2(t))2] (4.240)

ondem1 - é a massa do conjunto roda dianteira esquerda do veículo;m

2 - é a massa do conjunto roda dianteira direita do veículo;

z1(t) z2(t) - é a velocidade vertical das rodas dianteiras.




Energia potencial A energia potencial do eixo dianteiro devido a deflexão dos pneusé dada por:

V eI = 1

2

£k p1(δ p1(t))2 + k p

2(δ p2(t))2¤

(4.241)

Substituindo na equação acima as defl

exões do pneu em termos dos deslocamentos do eixoe da rugosidade do solo, equações (4.125) a (4.126), a mesma é reescrita como:

V erI = 1

2

©k p1 [z1(t) − zs

1(t)]2 + k p2 [z2(t) − zs

2(t)]2ª

(4.242)


Neste caso a energia cinética e potencial do eixo traseiro são exatamente iguais ao do casoanterior, onde os eixos são rígidos na dianteira e traseira. Sendo assim, aquelas equações sãorepetidas a seguir.

Energia cinética

T erII = 1

2[mII (zII (t))2 + I xII

(φII (t))2]. (4.243)

Energia potencial

V erII = 1

2

∙k p3(zII (t) + φII (t)

tII

2 − zs

3(t))2 + k p4(zII (t) − φII (t)

tII

2 − zs

4(t))2¸

. (4.244)


A seguir é feita a superposição das energias calculadas para que se possa aplicar o princí-pio de Lagrange.

Energia cinética A energia cinética de um veículo dotado de suspensão independentena frente e eixo rígido na traseira é:

T Total = T c + T eI + T erII (4.245)

Em termos dos graus de liberdade do sistema, a energia cinética de todo o sistema é dada

por

T Total = 1

2

hm z2(t) + I x φ

2(t) + I y θ

2(t) + m1 (z p

1(t))2 + m2 (z p2(t))2]

+mII (zII (t))2 + I xII (φII (t))2

i. (4.246)

Energia potencial A energia potencial de todo o conjunto é dada pela soma diretade todas as parcelas desenvolvidas anteriormente, como segue.

V Total = V c + V eI + V erII (4.247)




m44 = ∂ 2T Total

∂ z21

= m1 (4.250)

m55 = ∂ 2T Total

∂ z22

= m2

m66 = ∂ 2T Total

∂ z2II

= mII

m77 = ∂ 2T Total

∂ φ2

II

= I xII


M =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

m 0 0 0 0 0 00 I x 0 0 0 0 00 0 I y 0 0 0 0

0 0 0 m1 0 0 00 0 0 0 m2 0 00 0 0 0 0 mII 00 0 0 0 0 0 I xII

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

. (4.251)

Matriz amortecimento Os elementos da matriz amortecimento, obtidos a partir dafunção dissipação de Rayleigh com o auxílio da equação (4.152), são:

c11 = ∂ 2=

∂ z2 = c1 + c2 + c3 + c4 (4.252)

c12 = c21 = ∂ 2=∂ z∂ φ

= − (c1 − c2) tI

2 + (c3 − c4) tII

2 (4.253)

c13 = c31 = ∂ 2=

∂ z∂ θ= − (c1 + c2) aI + (c3 + c4) aII (4.254)

c14 = c41 = ∂ 2=

∂ z∂ z1= −c1 (4.255)

c15 = c51 = ∂ 2=

∂ z∂ z2= −c2 (4.256)

c16 = c61 = ∂

2

=∂ z∂ zII = − (c3 + c4) (4.257)

c17 = c71 = ∂ 2=

∂ z∂ φII

= − (c3 − c4) tII

2 (4.258)

c22 = ∂ 2=

∂ φ2 = (c1 + c2)

µtI

2

¶2

+ (c3 + c4)

µtII

2

¶2

(4.259)

c23 = c32 = ∂ 2=

∂ φ∂ θ= (c1 − c2)

µaI tI

2

¶+ (c3 − c4)

µaII tII

2

¶ (4.260)

c24 = c42 = ∂

2

=∂ φ∂ z1

= c1 tI 2 (4.261)




Matriz de rigidez Os elementos da matriz rigidez, obtidos a partir da energia poten-cial com o auxílio da equação 4.152, são:

k11 = ∂ 2V Total

∂z2 = k1 + k2 + k3 + k4 (4.280)

k12 = k21 = ∂ 2V Total

∂z∂φ = − (k1 − k2)

tI

2 + (k3 − k4)

tII

2 (4.281)

k13 = k31 = ∂ 2V Total

∂z∂θ = − (k1 + k2) aI + (k3 + k4) aII (4.282)

k14 = k41 = ∂ 2V Total

∂z∂z1= −k1 (4.283)

k15 = k51 = ∂ 2V Total

∂z∂z2= −k2 (4.284)

k16 = k61 = ∂ 2V Total

∂z∂zII

= − (k3 + k4) (4.285)

k17 = k71 = ∂ 2V Total

∂z∂φII

= − (k3 − k4) tII

2 (4.286)

k22 = ∂ 2V Total

∂φ2 = (k1 + k2)

µtI

2

¶2

+ (k3 + k4)

µtII

2

¶2

(4.287)

k23 = k32 = ∂ 2V Total

∂φ∂θ = (k1 − k2)

µaI tI

2

¶+ (k3 − k4)

µaII tII

2

¶ (4.288)

k24 = k42 = ∂ 2V Total

∂φ∂z1= k1

tI

2 (4.289)

k25 = k52 = ∂ 2V Total

∂φ∂φI

= −k2tI

2 (4.290)

k26 = k62 = ∂ 2V Total

∂φ∂zII

= − (k3 − k4) tII

2 (4.291)

k27 = k72 = ∂ 2V Total

∂φ∂φII

= − (k3 + k4)

µtII

2

¶2

(4.292)

k33 = ∂ 2

V Total

∂θ2 = (k1 + k2) a2I + (k3 + k4) a2

II (4.293)

k34 = kc43 = ∂ 2V Total

∂θ∂zI

= k1aI (4.294)

k35 = kc53 = ∂ 2V Total

∂θ∂φI

= k2aI (4.295)

k36 = k63 = ∂ 2V Total

∂θ∂zII

= − (k3 + k4) aII (4.296)

k37 = k73 =

∂ 2V Total

∂θ∂φII = − (k3 + k4)

aII tII

2 (4.297)




k44 = ∂ 2V Total

∂z2I

= k1 + k p1 (4.298)

k45 = k54 = ∂ 2V Total

∂zI ∂φI

= 0 (4.299)

k46 = k64 = ∂ 2V Total

∂zI ∂zII

= 0 (4.300)

k47 = k74 = ∂ 2V Total

∂zI ∂φII

= 0 (4.301)

k55 = ∂ 2V Total

∂φ2I

= k2 + k p2 (4.302)

k56 = k65 = ∂ 2V Total

∂φI ∂zII

= 0 (4.303)

k57 = k75 = ∂ 2V Total

∂φI ∂φII

= 0 (4.304)

k66 = ∂ 2V Total

∂z2II

= k3 + k4 + k p3 + k p

4 (4.305)

k67 = k76 = ∂ 2V Total

∂zII ∂φII

= (k3 − k4) tII

2 + (k p

3 − k p4)

tII

2 (4.306)

k77 = ∂ 2V Total

∂φ2II

= (k3 + k4)

µtII

2

¶2

+ (k p3 + k p

4) tII

2 (4.307)

A disposição dos termos, acima desenvolvidos, é a mesma que a apresentada na equação(4.215)

Vetor excitação Neste caso, onde a excitação é pela base, tem-se que o vetor decarregamentos é dado por:

f (t) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

f 1(t)f 2(t)f 3(t)f 4(t)

f 5(t)f 6(t)f 7(t)

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

=

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

000

k p1 zs

1(t)

k p

2 zs

2(t)k p3 zs

3(t) + k p4 zs

4(t)(k p

3 zs3(t) − k p

4 zs4(t)) tII

2

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

(4.308)

onde:k p

i - é a rigidez do i ’ésimo pneu;zs

i (t) - é a rugosidade do solo sob o i ’ésimo pneu.




4.6.3 Veículos com suspensão independente na dianteira e na tra-

seira

O modelo com sete graus de liberdade, para o caso em que as suspensões dianteira etraseira são independentes, tem os deslocamentos e as velocidades generalizadas dados por

x(t) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

q 1(t)q 2(t)q 3(t)q 4(t)q 5(t)q 6(t)q 7(t)

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

=

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

z(t)φ(t)θ(t)z1(t)z2(t)z3(t)z4(t)

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

(4.309)

e

x(t) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

q 1(t)q 2(t)q 3(t)q 4(t)q 5(t)q 6(t)q 7(t)

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

=

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

z(t)φ(t)

θ(t)z1(t)z2(t)z3(t)z4(t)

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

. (4.310)

Um diagrama do modelo está mostrado na Figura 4.10.Para este caso as deflexões das molas são dadas pelas equações (4.22) a (4.25) e repetidas

a seguirδ 1(t) = z(t) − φ(t)

tI

2 − θ(t)aI − z1(t), (4.311)

δ 2(t) = z(t) + φ(t)tI

2 − θ(t)aI − z2(t), (4.312)

δ 3(t) = z(t) + φ(t)tII

2 + θ(t)aII − z3(t), (4.313)

δ 4(t) = z(t) − φ(t)tII

2 + θ(t)aII − z4(t), (4.314)

e, a partir destas, as velocidades por

δ 1(t) = z(t) − φ(t)tI

2 − θ(t)aI − z1(t), (4.315)

δ 2(t) = z(t) + φ(t)tI

2 − θ(t)aI − z2(t), (4.316)

δ 3(t) = z(t) + φ(t)tII

2 + θ(t)aII − z3(t), (4.317)

δ 4(t) = z(t) − φ(t)tII

2 + θ(t)aII − z4(t). (4.318)




As deflexões dos pneus para um eixo rígido, generalizada pela equação (4.1), são

δ p1(t) = z1(t) − zs1(t); (4.319)

δ p2(t) = z2(t) − zs2(t); (4.320)

δ p3(t) = z3(t) − zs3(t); (4.321)

δ p4(t) = z4(t) − zs4(t). (4.322)

As velocidades são dadas por:

δ p

1(t) = z1(t) − zs1(t); (4.323)

δ p

2(t) = z2(t) − zs2(t); (4.324)

δ p

3(t) = z3(t) − zs3(t); (4.325)

δ p

4(t) = z4(t) − zs4(t). (4.326)

A seguir se determina a energia potencial, a energia cinética e a função dissipação deRayleigh para cada um dos subsistemas.

Cálculo da energia associada à carroceria

Energia cinética A energia cinética do subsistema carroceria para o veículo é dadapor

T c = 1

2

hm z2(t) + I x φ

2(t) + I y θ

2(t)i

(4.327)


Energia potencial A energia potencial da carroceria do veículo com suspensões inde-pendentes é:

V c = 1

2

£k1δ 21(t) + k2δ 22(t) + k3δ 23(t) + k4δ 24(t)

¤ (4.328)




que em termos dos deslocamentos é reescrita como:

V c = 1

2

"k1

µz(t) − φ(t)

tI

2 − θ(t)aI − z1(t)

¶2

+k2

µz(t) + φ(t)tI

2 − θ(t)aI − z2(t)

¶2

+k3

µz(t) + φ(t)

tII

2 + θ(t)aII − z3(t)

¶2

+ k4

µz(t) − φ(t)

tII

2 + θ(t)aII − z4(t)

¶2#

. (4.329)

Função dissipativa de Rayleigh A potência dissipada pelos amortecedores do veículo,dada por:

=c = 12

hc1δ 21(t) + c2δ 22(t) + c3δ 23(t) + c4δ 24(t)

i (4.330)

é reescrita, em termos dos graus de liberdade da carroceria e das suspensões, como

=c = 1

2

"c1

µz(t) − φ(t)

tI

2 − θ(t)aI − z1(t)

¶2

+c2

µz(t) + φ(t)

tI

2 − θ(t)aI − z2(t)

¶2

+c3µz(t) + φ(t)tII

2 + θ(t)aII − z3(t)¶

2

+ c4

µz(t) − φ(t)

tII

2 + θ(t)aII − z4(t).

¶2#

. (4.331)


Energia cinética

T eI = 1

2[m1 (z1(t))2 + m2 (z2(t))2]. (4.332)

Energia potencialV eI =

1

2

£k p1(δ p1(t))2 + k p

2(δ p2(t))2¤

, (4.333)

que em termos dos deslocamentos é reescrita como:

V eI = 1

2

©k p1 [z1(t) − zs

1(t)]2 + k p2 [z2(t) − zs

2(t)]2ª

. (4.334)


Energia cinética

T eII = 1

2[m3 (z3(t))2 + m4(z4(t))2]. (4.335)




Energia potencial

V eII = 1

2

£k p3(z3(t) − zs

3(t))2 + k p4(z4(t) − zs

4(t))2¤

. (4.336)


A seguir é feita a superposição das diversas parcelas de energia para que se possa aplicaro princípio de Lagrange.

Energia cinética total para um veículo com suspensão independente na dianteira

e eixo rígido na traseira A energia cinética de um veículo dotado de suspensõesindependentes é:

T Total = T c + T eI + T eII (4.337)

que, em termos dos graus de liberdade do sistema, é reescrita como

T Total = 1

2

hm z2(t) + I x φ

2(t) + I y θ

2(t) + m1 (z1(t))2 + m2 (z2(t))2]

+m3 (z3(t))2 + m4(z3(t))2¤

. (4.338)

Energia potencial total para um veículo com eixos rígidos na frente e traseira

A energia potencial de todo o conjunto é dada pela soma direta de todas as parcelas desen-volvidas anteriormente, como segue.

V Total = V c + V erI + V erII (4.339)

ou

V Total = 1

2

"k1

µz(t) − φ(t)

tI

2 − θ(t)aI − z1(t)

¶2

+k2

µz(t) + φ(t)

tI

2 − θ(t)aI − z2(t)

¶2

+k3

µz(t) + φ(t)

tII

2 + θ(t)aII − z3(t)

¶2

+k4

µz(t) − φ(t)

tII

2 + θ(t)aII − z4(t).

¶2

+k p1 (z1(t) − zs

1(t))2 + k p2 (z2(t) − zs

2(t))2

+ k p3 (z3(t) − zs

3(t))2 + k p4 (z4(t) − zs

4(t))2¤

(4.340)

Potência dissipada pelos amortecedores de um veículo com eixos rígidos na frente

e na traseira A dissipação da potência, neste caso, é dada pela equação 4.331, repetidaa seguir.




=c = 1

2

"c1

µz(t) − φ(t)

tI

2 − θ(t)aI − z1(t)

¶2

+c2µ

z(t) + φ(t)tI

2 − θ(t)aI − z2(t)

¶2

+c3

µz(t) + φ(t)

tII

2 + θ(t)aII − z3(t)

¶2

+c4

µz(t) − φ(t)

tII

2 + θ(t)aII − z4(t).

¶2#

. (4.341)

Determinação das matrizes de inércia, amortecimento e rigidez

As matrizes de inércia, amortecimento e de rigides deste sistema, também são calculadasa partir das equações (4.151), (4.153) e (4.152).

Matriz massa A seguir são determinados os elementos da matriz massa com o auxílioda equação (4.151).

m11 = ∂ 2T Total

∂ z2 = m

m22 = ∂ 2T Total

∂ φ2 = I x

m33 = ∂ 2

T Total

∂ θ2 = I y

m44 = ∂ 2T Total

∂ z21

= m1 (4.342)

m55 = ∂ 2T Total

∂ z22

= m2

m66 = ∂ 2T Total

∂ z2II

= m3

m77 = ∂ 2T Total

∂ φ2

II

= m4


M =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

m 0 0 0 0 0 00 I x 0 0 0 0 00 0 I y 0 0 0 00 0 0 m1 0 0 00 0 0 0 m2 0 00 0 0 0 0 m3 0

0 0 0 0 0 0 m4

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

. (4.343)




k22 = ∂ 2V Total

∂φ2 = (k1 + k2)

µtI

2

¶2

+ (k3 + k4)

µtII

2

¶2

(4.379)

k23 = k32 = ∂ 2V Total

∂φ∂θ = (k1 − k2)

µaI tI

2 ¶+ (k3 − k4)

µaII tII

2 ¶ (4.380)

k24 = k42 = ∂ 2V Total

∂φ∂z1= k1

tI

2 (4.381)

k25 = k52 = ∂ 2V Total

∂φ∂z2= −k2

tI

2 (4.382)

k26 = k62 = ∂ 2V Total

∂φ∂z3= −k3

tII

2 (4.383)

k27 = k72 = ∂ 2V Total

∂φ∂z4= k4

tII

2 (4.384)

k33 = ∂ 2V Total

∂θ2 = (k1 + k2) a2I + (k3 + k4) a2

II (4.385)

k34 = kc43 = ∂ 2V Total

∂θ∂z1= k1aI (4.386)

k35 = kc53 = ∂ 2V Total

∂θ∂z2= k2aI (4.387)

k36 = k63 = ∂ 2V Total

∂θ∂z3= −k3aII (4.388)

k37 = k73 = ∂ 2V Total

∂θ∂z4 = −k4aII (4.389)

k44 = ∂ 2V Total

∂z21

= k1 + k p1 (4.390)

k45 = k54 = ∂ 2V Total

∂z1∂z2= 0 (4.391)

k46 = k64 = ∂ 2V Total

∂z1∂z3= 0 (4.392)

k47 = k74 = ∂ 2V Total

∂z1∂z4

= 0 (4.393)

k55 = ∂ 2V Total

∂z22

= k2 + k p2 (4.394)

k56 = k65 = ∂ 2V Total

∂z2∂z3= 0 (4.395)

k57 = k75 = ∂ 2V Total

∂z2∂z4= 0 (4.396)

k66 = ∂ 2V Total

∂z2

3

= k3 + k p3 (4.397)




k67 = k76 = ∂ 2V Total

∂z3∂z4= 0 (4.398)

k77 = ∂ 2V Total

∂z24

= k4 + k p4 (4.399)

A disposição dos termos acima desenvolvidos, é a mesma que a apresentada na equação(4.215)

Vetor excitação Neste caso, onde a excitação é pela base, tem-se que o vetor decarregamentos é dado por:

f (t) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

f 1(t)f 2(t)f 3(t)f 4(t)f 5(t)f 6(t)f 7(t)

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

=

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

000

k p1 zs

1(t)k p

2 zs

2(t)

k p3 zs

3(t)k p4 zs

4(t)

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

(4.400)

onde:k p

i - é a rigidez do i’-ésimo pneu;zs

i (t) - é a rugosidade do solo sob o i’-ésimo pneu.

4.6.4 Modelo para arfagem e bounce

Os modelos de sete graus de liberdade desenvolvidos, podem ser simplificados para um

caso particular, onde apenas os efeitos de arfagem (pitch ) resultantes do giro do carro emtorno do eixo y, mostrado na Figura 4.1, e o de bounce são considerados. A excitaçãodesses graus de liberdade é ocasionada pelo deslocamento vertical das rodas dianteiras etraseiras do veículo ao trilharem as mesmas irregularidades da pista em instantes distintos.A excitação desses graus de liberdade afeta de maneira sensível o bom rodar do automóvele, consequentemente, o conforto de seus ocupantes.

Uma modelagem simples desse comportamento do veículo pode ser obtido considerandoconsiderando apenas os seguintes graus de liberdade.

x(t) = ½ q 1(t)

q 2(t)¾ = ½ z(t)

θ(t)¾ (4.401)

Sendo assim, a análise modal a ser feita nesse caso é identica àquela do item 4.5.1, ondedevem ser tomados cuidados especiais na análise do deslocamento angular.

4.7 Unificação dos modelos desenvolvidos

As equações do movimento para os modelos apresentados anteriormente, genericamentepodem ser escritas da mesma forma que a apresentada no item 4.5 para dois graus deliberdade. Assim, a equação (4.52) é repetida a seguir.

[M x(t) + C x(t) +K x(t)] = f (t) (4.402)




onde:M é a matriz massa do sistema, equações (4.53), (4.157), (4.251) ou (4.343);C é a matriz de amortecimento do sistema, equações (4.54) ou (4.186);K é a matriz de rigidez do sistema, equações (4.55) ou (4.215);

x(t) é o vetor de deslocamentos equações (4.56), (4.115), (4.217) ou (4.309);f (t) é o vetor excitação, equações (4.57), (4.216), (4.308) ou (4.400);A análise das características do sistema pode ser feita da mesma maneira que a apresen-

tada para dois graus de liberdade, item 4.5. Para isto, a excitação bem como a resposta doproblema são dadas pelas equações (4.58), (4.59) e (4.60), repetidas a seguir

zsi (t) = Z si (Ω)eiΩt

zsi (t) = iΩZ si (Ω)eiΩt (4.403)

z

s

i (t) = −Ω

2

Z

s

i (Ω

)e

iΩt

zi(t) = Z i(Ω)eiΩt,

zi(t) = iΩZ i(Ω)eiΩt = V pi (Ω)eiΩt, (4.404)

zi(t) = −Ω2Z i(Ω)eiΩt = G p

i (Ω)eiΩt,

z(t) = Z (Ω)eiΩt,

z(t) = iΩZ (Ω)eiΩt = V (Ω)eiΩt, (4.405)

z(t) = −Ω2Z (Ω)eiΩt = G(Ω)eiΩt

onde:i - é a entidade matemática imaginária;Ω - é a freqüência;t - é a variável tempo;Z si (Ω), Z i(Ω), Z (Ω), V (Ω), V i(Ω), G(Ω), Gi(Ω) - são as amplitudes dos deslocamentos,

das velocidades e das acelerações em freqüência.

Sendo assim, o equacionamentono domínio da freqüência é dado genericamente por:

£M s2 +C s + K

¤Z(Ω) = F(Ω) (4.406)

onde:M, C e K são as matrizes definidas nas equações (4.53), (4.54) e (4.55);Z(Ω) é a resposta em freqüência eF(Ω) é a excitação no domínio da freqüência.

Com estas definições a equação (4.406) pode ser reescrita como

Ð(s)Z(Ω) = F(Ω), (4.407)




onde:Ð(s) = [M s2 +C s +K ].Definindo a matriz receptância como

Λ

(s) = Ð

(s)

−1

=£M

s

2

+C

s +K ¤−1

(4.408)tem-se que a resposta, Z(Ω), do sistema é calculada por:

Z(Ω) = Λ(s)F(Ω). (4.409)

Genericamente esta análise modal é idêntica a aquela desenvolvida no item 4.5 e, assim,a análise das freqüências naturais para um sistema com n graus de liberdade, bem como aobtenção das velocidades e das acelerações do sistema, são feitos da mesma maneira que aapresentada naquele item.

4.7.1 Modelo de excitação

Como foi mostrado anteriormente, a resposta Z(Ω) de um sistema no domínio da fre-quência é dada pela equação (4.409) onde a matriz de receptância Λ(s) é uma característicado sistema físico analisado e F(Ω) é a excitação.

A excitação, F(Ω), depende do tipo de piso que o veículo trafega. Se a função que definea rugosidade do solo é integrável, não importando que seja periódica ou não, um modelo deexcitação pode ser obtido com o conceito da transformada de Fourier apresentado a seguir

F(Ω) = 12π

+∞Z −∞

f (t)e−iΩtdt, (4.410)

onde f (t) é a excitação dada pelas equações (4.216), (4.308) e (4.400), para os casos de eixosrígidos na frente e na traseira, suspensão independente na frente e eixo rígido na traseira esuspensão independente na frente e na traseira, respectivamente.

Com isto definido, a resposta do problema, em freqüência é obtida a partir da equação(4.409), sendo a resposta no tempo dada pela transformada inversa, definida a seguir

z(t) =

+∞Z −∞

Z(Ω)eiΩt

dΩ. (4.411)

Tendo-se em mãos a solução do problema, que no caso podem ser os deslocamentos, asvelocidades ou as acelerações, é possível fazer a análise dos esforços, ou do ruído bem comodo conforto do veículo, dependendo do interesse do analista.

Rugosidade da pista

A determinação da excitação, f (t), é função da rugosidade do solo zsi (t) bem como da

rigidez dos pneus. É interessante salientar que a rugosidade do solo, da forma que estámostrada acima, é função não somente da geometria da superfície do contato pneu pista,




Figura 4.11: Modelo de pista para velocidade constante.

mas também do tempo. Como a geometria do solo é invariante com o tempo, esta variávelé introduzida na função rugosidade z s

i (t) a partir da velocidade de deslocamento do veículo.Para o caso em questão, onde não há um interesse em estudar o problema com aceleraçõesna direção do eixo x ou axial, a variação da velocidade do veículo não será considerada.

A construção da função rugosidade zsi (t) a partir da geometria da superfície de contato

com o solo é apresentada a seguir para um caso simples, porém o procedimento é geral epode ser estendido para qualquer tipo de geometria. Para isto seja uma pista plana onde oveículo se desloca com velocidade constante v, onde, em uma determinada posição x1, existeum obstáculo na pista. Este obstáculo é uma rampa que termina na posição x2. A partir

desta posição a pista fica novamente plana, porém com uma altura k em relação ao primeirotrecho. O modelo da superfície z s

i (x) desta pista está mostrado na Figura 4.11.A função rugosidade do solo, em termos da posição x é dada por:

zsi (x) =

⎧⎨⎩

0 para -∞ ≤ x ≤ x1k

(x2−x1) (x − x1) para x1 ≤ x ≤ x2

k para x2 ≤ x ≤ ∞

(4.412)

Considerando que o veículo não perca velocidade na subida da rampa, pode-se escreverque:

x = vt (4.413)

onde:




x - é a posição do veículo;v - é a velocidade de deslocamento do veículo;t - tempo.

Com isto, a função z si (t) pode ser escrita a partir da equação (4.412) com a mudança de

coordenadas definida na expressão (4.413).

zsi (t) =

⎧⎨⎩

0 para -∞ ≤ t ≤ t1k

(t2−t1) (t − t1) para t1 ≤ t ≤ t2

k para t2 ≤ t ≤ ∞

(4.414)

onde:t1 = x1

v

t2 = x2v



Referências Bibliográficas

[1] Gillespie, T.D. Fundamentals of Vehicle Dynamics .USA: SAE - Inc. 1992.

[2] Reimpell, J., Betzler, J. W. The automotive Chassis: Engineering Priciples . USA: SAE& Edward Arnold.

[3] Taborek, J.J. Mechanics of Vehicles. USA: Machine Design. May- to December of 1957.

[4] Nicolazzi, L.C., Rosa, E. da, Leal, L.C.M. Introdução à modelagem quase-estática de

veículos automotores de rodas . Brasil: Publicação interna do GRANTE - Depto deEngenharia Mecâncica da UFSC. 2001.

[5] da Rosa, E. Curso de Dinâmica Veicular. Brasil: Publicação interna do GRANTE -Depto de Engenharia Mecânica da UFSC. 2001.

[6] Dias, A. Sistema de freio automotivo e manutenção. Brasil: Publicação interna daUFSC. 2000.

[7] Campbell,C. The sports car. Its design and performance . England: Third Edition. Chap-man and Hall Ltd 1970

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