Apostila Controle - 20 - Projeto PID Analítico
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Controle de Sistemas Mecânicos
Projeto de controladores PID Projeto de controladores PID
Controladores PID
• Ziegler-Nichols
• Analítico baseado na resposta em freqüência
• Analítico baseado no lugar das raízes
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Controle de Sistemas Mecânicos
Métodos AnalíticosMétodos Analíticos
São métodos com justificativa teórica, porém
como os modelos refletem a linearização e asimplificação das plantas, na prática são
necessários reajustes no projeto inicial
São possíveis resultados mais consistentesem relação às especificações do que usando o
método Ziegler-Nichols
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Controle de Sistemas Mecânicos
Método analíticoMétodo analítico
Há dois métodos analíticos
• Com base na resposta em freqüência, onde a referênciapara o projeto do controlador é a margem de fase desejada
• Com base no lugar das raízes, onde a referência para o
projeto do controlador é um par de pólos complexos
desejado Para o primeiro caso:
• Na freqüência de cruz de ganho futura têm-se a margem de
fase desejada, portanto amplitude de 0 dB e margem de
fase θmf
Para o segundo caso:
• No pólo desejado corresponde ao ponto –1, portanto têm-
se amplitude de 0 dB com fase -180°
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Controle de Sistemas Mecânicos
Método analítico Resposta em freqüênciaMétodo analítico Resposta em freqüência
O método que será visto agora tem base na
resposta em freqüência, onde se deseja projetar um controlador para um determinadovalor da margem de fase
O objetivo assim é projetar um controlador demodo a que o sistema de malha fechadaapresente a margem de fase especificada osquais asseguram o desempenho desejado
Na freqüência de cruz de ganho futura têm-sea margem de fase desejada, portantoamplitude de 0 dB e margem de fase φmf
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Controle de Sistemas Mecânicos
Base metodológicaBase metodológica
O ganho de malha, incluindo o controlador e a planta, é
dado por
Para uma dada freqüência ωD sobre o eixo imaginário,
pode-se escrever para a planta
que corresponde à resposta em freqüência
))(()()()( s
K s K K s P s K s P s L i
d p ++==
P
j
P D em j P θ
ω =)(
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Controle de Sistemas Mecânicos
ContinuandoContinuando
Para a mesma freqüência ωD, pode-se escrever para o
controlador
Considerando ωD =ωcg a freqüência de cruzamento de ganho
e portanto
( ) ( ) ( ) s P s K s=
)()(1 K P K P j
K P
j
K
j
P mf emmemem θ θ θ θ φ π +==+−∠
K j
K
D
i Dd p
D
i Dd p D em
K K j K
j
K j K K j K
θ
ω ω
ω ω ω =−+=++= )()(
)()()(1)( D Dmf D j K j P j L ω ω φ π ω =+−∠=
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Controle de Sistemas Mecânicos
FormulaçãoFormulação
Chega-se assim às duas fórmulas básicas para
a amplitude e a fase do controlador
ou ainda,
1k p
k p mf
m m
θ θ π φ
=
+ = − +
1
k p
k mf p
mm
θ π φ θ
=
= − + −
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Controle de Sistemas Mecânicos
ConcluindoConcluindo
( ) (cos sin )k ji p cg d k k k k
cg
K K j K m e m jθ
ω θ θ ω
+ − = = +
Uma vez encontrada a amplitude e a fase
necessárias ao controlador para atender àespecificação da margem de fase, pode-se
escrever,
e finalmente
cos
sin
p k k
icg d k k
cg
K m K
K m
θ
ω θ ω
=
− =
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Controle de Sistemas Mecânicos
ComentáriosComentários
São duas equações e três incógnitas, o que pode ser
resolvido por iteração No entanto, o ganho integral em geral é encontrado a
partir da especificação do erro estacionário
Fazendo-se uso de
chega-se às expressões
k k p m K θ cos=sin i
k k cg
d
cg
K m
K
θ ω
ω
+
=
2
( ) ( ) ( )d p i K s K s K
G s P s s
+ +=
e da tabela de erroestacionário e das
constantes de erro)(lim
110
01 s P K s K
eni
n
sn
est
→+
==⇒>
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Controle de Sistemas Mecânicos
ExemploExemplo
)5)(1(
1
)(
)(
++=
s s s sU
sY
Aplicar a metodologia analítica para projetar um
controlador PID com margem de fase de 45 °, nafreqüência de cruzamento de ganho de 5 rad/s e erro
estacionário a parábola de 0,1.
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Controle de Sistemas Mecânicos
SoluçãoSolução
Valores na futura freqüência de cruzamento de
ganho
clear all clear all
closeclose all all ,, clc clc s=tf('s');s=tf('s');
P=1/(s*(s+1)*(s+5));P=1/(s*(s+1)*(s+5));
figure(1), bode(P)figure(1), bode(P)
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Controle de Sistemas Mecânicos
Calculo do K Calculo do K i i
Determina-se inicialmente o ganho K i do PID
s
K s K s K s K
i pd ++=
2
)()5)(1(
1)(
++=
s s s s P
)()(lim
2
0 s P s K s K sa →=G(s)=K(s)P(s) tipo 2 G(s)=K(s)P(s) tipo 2
est
i
s
i pd
sa
e
K
s s s
K s K s K s K
1
5lim
)5)(1(lim
02
2
2
0==
++
++=
→→
501.0
5==∴ i K
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Controle de Sistemas Mecânicos
Projeto do controlador PID Projeto do controlador PID
wcgf wcgf =5; MF=45*pi/180;=5; MF=45*pi/180;
Ki=50 Ki=50 rprp==freqrespfreqresp(P,j* (P,j* wcgf wcgf ); );
mp=mp=absabs( ( rprp ); );
tetaptetap==angleangle( ( rprp ) )
tetak tetak =( =( -- pi+MF pi+MF --tetaptetap ); );mk mk =1/mp=1/mp
kp=kp=mk mk * * coscos( ( tetak tetak ); );
kd=( kd=( mk mk * * sinsin( ( tetak tetak )+ki/ )+ki/ wcgf wcgf ) / ) / wcgf wcgf ;;
nk nk =[kd kp ki];=[kd kp ki];
K=K=tf tf ( ( nk nk ,[1 0]);,[1 0]);
L=P*K;L=P*K;
figure(2),figure(2), marginmargin(L)
k k p m K θ cos=
sin ik k
cg
d
cg
K m K
θ ω
ω
+=
(L)
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Controle de Sistemas Mecânicos
Projeto do controlador PD Projeto do controlador PD
wcgf wcgf =5; MF=45*pi/180;=5; MF=45*pi/180;
Ki=0 Ki=0 rprp==freqrespfreqresp(P,j* (P,j* wcgf wcgf ); );
mp=mp=absabs( ( rprp ); );
tetaptetap==angleangle( ( rprp ) )
tetak tetak =( =( -- pi+MF pi+MF --tetaptetap ); );mk mk =1/mp=1/mp
kp=kp=mk mk * * coscos( ( tetak tetak ); );
kd=( kd=( mk mk * * sinsin( ( tetak tetak )+ki/ )+ki/ wcgf wcgf ) / ) / wcgf wcgf ;;
nk nk =[kd kp];=[kd kp];
K=K=tf tf ( ( nk nk ,1);,1);
L=P*K;L=P*K;
figure(2),figure(2), marginmargin(L)
k k p m K θ cos=
sin ik k
cg
d
cg
K m K
θ ω
ω
+=
(L)
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ResultadoResultado
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Controle de Sistemas Mecânicos
Método analítico Lugar das RaízesMétodo analítico Lugar das Raízes
O método que será visto agora tem base no lugar das
raízes, com o seu desempenho determinado pela posição dos pólos de malha fechada
O objetivo assim é projetar um controlador de modo a
que o sistema de malha fechada apresente os pólos
especificados os quais asseguram o desempenhodesejado
O pólo desejado em malha fechada corresponde ao
ponto –1, portanto têm-se amplitude de 0 dB com fase
-180 °
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Controle de Sistemas Mecânicos
Base metodológicaBase metodológica
)(1)(
)()()(
s L s L
s R sY sT
+==
Considerando um sistema de malha fechada, onde a
malha aberta é formada por um controlador em sériecom a planta segundo
Assim um pólo sD de malha fechada corresponde a uma
raiz do denominador, ou seja
)()()( s K s P s L =
°−∠=−=∴=+ 18011)(0)(1 D D s L s L
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Controle de Sistemas Mecânicos
Método baseado no lugar das raízesMétodo baseado no lugar das raízes
O ganho de malha, incluindo o controlador e a planta, é
dado por
Para um polo sD qualquer no plano s, sD=σD+j ωD , pode-
se escrever para a planta
))(()()()( s
K s K K s P s K s P s L i
d p ++==
P j P D em s P θ =)(
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Controle de Sistemas Mecânicos
ContinuandoContinuando
Para esse ponto sD=σD+j ωD , pode-se escrever para o
controlador
Considerando sD=σD+j ωD o pólo desejado
e portanto
K j
K
D D
i p D Dd D em
j
K K j K s K θ
ω σ ω σ =
++++= )()(
))()((1)( D D
i D Dd p D D D
j
K j K K j P s L
ω σ ω σ ω σ π
+++++=−∠=
)(1 K P K P j
K P
j
K
j
P emmemem θ θ θ θ π +==−∠
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Controle de Sistemas Mecânicos
FormulaçãoFormulação
Chega-se assim às duas fórmulas básicas para
a amplitude e a fase do controlador
ou ainda,
π θ θ −=+
=
K P
K P mm 1
P K
K
P mm
θ π θ −−=
=
1
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Controle de Sistemas Mecânicos
Para o pólo desejadoPara o pólo desejado
Uma vez encontrada a amplitude e a fase necessárias ao
controlador para sD corresponder ao pólo, pode-seescrever
)sin(cos)()(
)(
2
K K K
j
K
D D
i D D p D Dd
D jmem j
K j K j K s K K θ θ
ω σ
ω σ ω σ θ +==
+
++++=
)sin(cos)()()( 2
K K K D Di D D p D Dd jm j K j K j K θ θ ω σ ω σ ω σ ++=++++
)sincos(sincos
)2()( 22
K K D K K D K K D K K D
D p D Dd i D p D Dd
mm jmm
K K j K K K
θ σ θ ω θ ω θ σ
ω ω σ σ ω σ
++−=
=++++−
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Controle de Sistemas Mecânicos
ComparandoComparando
Igualando os termos reais e imaginários,
obtém-se duas equações
K K D K K Di D p D Dd mm K K K θ ω θ σ σ ω σ sincos)( 22 −=++−
K K D K K D D p D Dd mm K K θ σ θ ω ω ω σ sincos2 +=+
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Controle de Sistemas Mecânicos
SimplificandoSimplificando
As equações podem ser simplificadas como
onde
K K D K K D
D
D D
mmb
a
θ ω θ σ α σ
ω σ
sincos
22
−==
−=
K K D K K D
D
D D
mmd
c
θ σ θ ω β ω
ω σ
sincos
2
+==
=
α =++ i pd K bK aK
β =+ pd dK cK
K K D K K Di D p D Dd mm K K K θ ω θ σ σ ω σ sincos)( 22 −=++−
K K D K K D D p D Dd mm K K θ σ θ ω ω ω σ sincos2 +=+
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Controle de Sistemas Mecânicos
ComentáriosComentários
Novamente, são duas equações e três incógnitas, o que
pode ser resolvido por iteração O procedimento é o seguinte:
• Admite-se um valor de Ki
• Efetua-se o projeto e avalia-se o resultado
• Se não for satisfatório repetir até chegar a um bom termo
Havendo uma especificação do erro estacionário, a
constante K i pode ser encontrada através de2
( ) ( ) ( )d p i
K s K s K G s P s
s
+ += 1
0
1 1
lim ( )est nn i
se K s K P s+
→= =
est si
nn
e s P K s K
1)(
01 ===+
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Controle de Sistemas Mecânicos
Caso particular Caso particular
Uma vez conhecido o Ki obtém-se
Quando adota-se um fator de amortecimento de 0,707,
implicando em que a parte real e a parte imaginária do
pólo são iguais ( a=0 ), obtém-se
bcad
cK ca K i
p−
+−=α β
bcad
dK d b K i
d −
+−−=α β
b
K K i
p−
=α
c
dK K
pd
−=
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Controle de Sistemas Mecânicos
ExemploExemplo
)5)(1(1
)()(
++= s s s sU
sY
Para a planta abaixo, aplicar a metodologia analítica
para projetar um controlador PID que assegure um PSS de 5%, um tempo de estabilização a 2% de 4 segundos e
um erro estacionário a parábola de 0.1.
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Controle de Sistemas Mecânicos
SoluçãoSolução
Dado o PSS encontra-se o fator de amortecimento
desejado usando
Encontra-se a freqüência natural usando
)100
(ln
)100
ln(
22
PSS
PSS
+
=
π
ζ
en
ne
T T
ζ ω
ζω 44 =∴=
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Controle de Sistemas Mecânicos
Calculo do K Calculo do K i i
Determina-se inicialmente o ganho K i do PID
s
K s K s K s K
i pd ++=2
)()5)(1(
1)(++
= s s s
s P
)()(lim 2
0 s P s K s K
sa →
=G(s)=K(s)P(s) tipo 2 G(s)=K(s)P(s) tipo 2
est
i
s
i pd
sa
e
K
s s s
K s K s K s K
1
5lim
)5)(1(lim
02
2
2
0==
++
++=
→→
501.0
5==∴ i K
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Controle de Sistemas Mecânicos
ProgramaPrograma
sigmad=-zeta*wn; wd=wn*sqrt(1-zeta^2); sd=sigmad+j*wd
rp=freqresp(P,sd); mp=abs(rp); tetap=angle(rp);
mk=1/mp; tetak=-pi-tetap; a=sigmad^2-wd^2;b=sigmad;
c=2*sigmad*wd;d=wd;
alpha=(sigmad*cos(tetak)-wd*sin(tetak))*mk;
beta=(wd*cos(tetak)+sigmad*sin(tetak))*mk; kp=(a*beta+c*ki-c*alpha)/(-c*b+a*d)
kd=-(d*ki-d*alpha+beta*b)/(-c*b+a*d)
nk=[kd kp ki]; dk=[1 0];
K=tf(nk,dk);
L=P*K;
T=feedback(L,1);
figure(1), step(T)
figure(2), pzmap(T)
α =++ i pd K bK aK
β =+ pd dK cK
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Controle de Sistemas Mecânicos
Resposta ao degrau Resposta ao degrau
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.5
1
1.5
Step Res ponse
Time (s ec )
A m p l i t u d e
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Posição dos pólosPosição dos pólos
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Controle de Sistemas Mecânicos
FinalizandoFinalizando
Step Res ponse
Time (s ec )
A m p l i t u d e
0 1 2 3 4 5 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Sys tem: H
Peak amplitude: 1.05
Overs hoot (%): 4.63
At time (s ec ): 2.87
Uma vez projetado checar os requisitos. Caso não
satisfaça, analisar e fazer as devidas correções
sT
SS
e 4
%2
=
=
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Controle de Sistemas Mecânicos
ExercícioExercício
Considerando o motor CC controlado por armadura abaixo,
aplique a metodologia analítica para encontrar um controlador
PID de posição que apresente a um PSS de 4% e um tempo deestabilização a 2% de 2 s.
20.2
0.2 /
0.2 / /
0.1 / / 2
0.1 / /
a
a
T
b
L Hy
K N m A
K V rad seg
J N m rad seg
C N m rad seg
= Ω
=
= −
=
= −
= −
+
-
c
V a
I a
τ θ
Ra
La
K T
Κ bΩ
+
-
J
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Controle de Sistemas Mecânicos
Diagrama de blocosDiagrama de blocos
Motor CC controlado por armadura
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Controle de Sistemas Mecânicos
SoluçãoSolução
Substituindo os valores respectivos o DB fica
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Controle de Sistemas Mecânicos
FT deFT de malha abertamalha aberta
Função de transferência da planta
dp=poly([ -1 -10]);
np=10
p1=tf(np,dp);
p2=feedback(p1,0.2);p3=tf(1,[1 0]);
P=p3*p2;
2
( ) 10
( ) ( 11 12)r
s
V s s s s
Θ=
+ +
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Controle de Sistemas Mecânicos
DB+PID DB+PID
O diagrama de blocos que corresponde ao sistema de
malha fechada com controlador PID