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INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLOINSTRUMENTAÇÃO E CONTROLOÇÇ

CAPÍTULO XCAPÍTULO XCAPÍTULO XCAPÍTULO X

Controladores DigitaisControladores Digitais

2012/20132012/2013

BibliografiaBibliografiaBibliografiaBibliografia

Curtis Johnson (1990), Controlo de Processos – Tecnologia da ocessos ec o og a daInstrumentação, Edição da Fundação Calouste GulbenkianMarlin, T., Process Control: Designing Processes and Control Systems for Dynamic Performance, Edição da McGraw Hill, New York, 2000.Control tutorials for Matlab, Universidade de Carnegie-Melon, EUA

© Luis Filipe Baptista – MEMM 2

Í di d ít lÍ di d ít lÍndice do capítuloÍndice do capítulo

Controladores digitaisControladores digitaisImplementação das acções de controlo em computadorDiscretização do controladorDiscretização do controlador analógico PIDControladores P PI e PD digitaisControladores P, PI e PD digitaisAnálise estática do controlador PID di it ldigitalExemplos de aplicação marítima


p p ç

C t l d di it iC t l d di it iControladores digitaisControladores digitais

Controlo digitalA acção de controlo é implementadaA acção de controlo é implementada em computador através de

ã d õ dprogramação das equações de controloEsta forma de controlo tem muitas vantagensvantagens



Esta forma de implementação, permite:Utilizar algoritmos de controlo maisUtilizar algoritmos de controlo mais complexos sem grandes custos adicionaisTornar mais versátil a utilização dosTornar mais versátil a utilização dos controladores na indústriaInterligar os controladores entre si eInterligar os controladores entre si e através de uma rede industrial (fieldbus) ligarem se a um computador de gestãoligarem-se a um computador de gestão central dos processos


Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitais

Controlo analógico vs. digital

Controlo por computadorControlo analógico



FCu

IFCr

Bomba y

IP

qBomba

centrífugay

Caudalímetro Válvula

⎟⎞

⎜⎛

−=

∫de

TdtKt

tytrte

)(1

)()(

)()()(PID:


⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

++= ∫ dtTde

TteKtu d

ip ττ)()()(


Controlo digital Esquema simplificado do anel de controloEsquema simplificado do anel de controlo

Referência

Sinal de controlo discreto

Sinal de controlo analógico

Saída Micro-processador

PROCESSO ConversãoD/A

Conversão A/D

Transdutor

Sinal de saída do conversor (discreto) Sinal de saída do

sensor (analógico)

conversor (discreto)

Controlador digital



Diagrama de controlo digital industrial

4-20 mAu(kT) y(t)rActuador

Processou(t)

y( )Computador D/A

y(kT)

4-20 mAA/D

Transdutor4 20 mA


Controlador digital


D/AD/A

ProcessoProcessoμP

A/D

Os sinais de/para o processo são obtidos através dos conver-sores A/D e D/A das placas dedicadas. Os sinais são processa-dos um a um através de diversas placas de computador insta-


dos um a um através de diversas placas de computador instaladas em armários de controlo

Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisAlgoritmo de controlo digitalAlgoritmo de controlo digital

O algoritmo de controlo é implementado através de uma equação às diferenças – difference equationuma equação às diferenças – difference equation


Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisAlgoritmo de controlo digitalAlgoritmo de controlo digital

Sinais utilizados no anel de controlo


Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisR t ã t áti dRepresentação matemática de sistemas discretos - Equações às diferenças

Os sistemas contínuos ou analógicos, sãoOs sistemas contínuos ou analógicos, são descritos através de equações diferenciaisOs sistemas discretos são descritosOs sistemas discretos são descritos através de equações às diferenças


Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisRepresentação matemática deRepresentação matemática de sistemas discretos - Equações às dife ençasdiferenças

Num controlador digital, a equação às diferenças, descreve a relação matemá-tica entre o sinal de entrada - erro e(k) e o sinal de saída – acção de controlo u(k) As equações às diferenças são fundamen-q ç çtais, pois podem ser facilmente implemen-tadas em computador (NOTA: CARACTE-


p (RÍSTICA MUITO IMPORTANTE!)

Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisEquações às diferençasEquações às diferenças

Vamos supor que estávamos i d h i l (k)interessados em conhecer o sinal u(k), ou seja o valor de u para o instante kPara obter este sinal de saída temos que calcular uma função que tenha em consideração os sinais anteriores de e(0) até e(k) e os sinais de saída desde u(0) até u(k-1), ou seja:

( )1)-u(ku(0)e(k);e(0)fu(k) =© Luis Filipe Baptista – MEMM 15

( )1)-u(ku(0),..., e(k);e(0),...,fu(k) =

Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisEquações às diferençasEquações às diferenças

Vamos assumir que a função f é linear e que depende apenas de um número finitoque depende apenas de um número finito de sinais de e(k) e de u(k). A t t bá i d ãA estrutura básica da equação que

representa a relação matemática entre (k) e e(k) designa se po eq ação àsu(k) e e(k), designa-se por equação às

diferenças, e pode ser escrita através de)b(0)e(01)b(k)e(ka(0)u(0)1)1)u(ka(ku(k) ++

:dasimplifica mais forma uma deou

)...b(0)e(01)b(k)e(ka(0)u(0)...1)1)u(k-a(ku(k) +−+−−−−=


001kk001-k1-kk e...bebua...uau ++−−−= −

Controladores digitaisControladores digitaisAlgoritmo de controlo digital


Exemplo de uma equação de controlo di it l à difdigital às diferenças:

1)-0.95e(k-e(k)1)0.75u(ku(k) +−=0k para válidoé só u(k)

)(( ))(( )

≥Admitindo que o erro varia de acordo com um degrau unitário discreto, ou seja:

⎨⎧ <

=0k0

e(k)© Luis Filipe Baptista – MEMM 17⎩

⎨ ≥ 0k1e(k)

Controladores digitaisControladores digitaisAl it d t l di it l


Solução para quatro períodos de amostragem (4*Ts), ou seja k varia de 0 a 4

10100.95e(-1)-e(0)1)0.75u(u(0) 0k

00)u(k :NOTA

=++=+−=⇒==<

0 650 95-10 80 750 95e(1)-e(2)0 75u(1)u(2)2k

0.80.95-10.750.95e(0)-e(1)0.75u(0)u(1) 1k

( )( ))(( )

=+×=+=⇒==+=+=⇒=

0 4530500 53750 750 95e(3)e(3)0 75u(3)u(4)4k

0.537505.00.650.750.95e(2)-e(3)0.75u(2)u(3) 3k

0.650.9510.80.750.95e(1)e(2)0.75u(1)u(2) 2k

+×+⇒=+×=+=⇒=

+×+⇒


0.45305.00.53750.750.95e(3)-e(3)0.75u(3)u(4) 4k =+×=+=⇒=



2

0 5

1

1.5

erro

e(k

)

Gráficos de e(k) e

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

u(k) para k=0,1,…,4 0.8

1

lo u

(k)

0 0 5 1 1 5 2 2 5 3 3 5 40.4

0.6

cont

ro


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4k

Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisModelação do sistema discretoModelação do sistema discreto

Representação do conjunto constituído pelo Conversor D/A + Processo H2(s) + ConversorConversor D/A + Processo H2(s) + Conversor A/D -> função de transferência discreta Hzoh(z)



Diagrama de controlo digital - Apenas são utilizadas variáveis discretasutilizadas variáveis discretas

G(z) – Função de transferência do controlador digital ou discretodigital ou discretoHzoh(z) – função de transferência do sistema

discretizado (D/A + Processo H2(s) + A/D)



A construção da função de transferência discre-ta Hzoh(z) é muito importante pois permiteta Hzoh(z), é muito importante, pois permite analisar o comportamento do processo (sistema contínuo), quando este é inserido num anel de ), qcontrolo digitalModelo do conversor D/A (interruptor+retentor de ordem zero - ZOH)



Combinando o diagrama anterior com o modelo da função de transferência do processo G (s)da função de transferência do processo - G0(s),obtém-se a relação entre o sinal de entrada –acção de controlo digital u(kT) e a saídaacção de controlo digital u(kT) e a saída amostrada do processo =>y(k)=Hzoh(k)*u(k)

Conv. D/A+ZOH processo


C t l d di it iC t l d di it iControladores digitaisControladores digitaisModelação do sistema discretoModelação do sistema discreto

Exemplo: considere o sistema massa-mola-amortecedor, em que m=10 Kg; b=50 Ns/m e k=200 N/m. A sua função

f ê í éde transferência contínua é dada por:

1dyyd2

kbsms

1G(s)F(t)ky

dt

dyb

dt

ydm

22 ++=⇒=++

205ss

0.1

F(s)

Y(s)G(s)

2 ++==


205ssF(s) ++


6x 10

-3

Gráfico de resposta de

5

resposta de G(s) para

uma3

4

y(t)

[m

]

uma entrada

degrau de2

y

degrau de F=1 N.

0 0 5 1 1 5 2 2 50

1


0 0.5 1 1.5 2 2.5t [seg.]


Se discretizarmos o modelo contínuo G(s) através do comando c2dm do Matlab com umatravés do comando c2dm do Matlab com um período de amostragem Ts=0.1 seg., e manu-tenção dos valores das entradas constantestenção dos valores das entradas constantes durante a operação de amostragem (método ZOH), obtém-se a seguinte função de transfe-rência discreta Hzoh(z):

10*0 3547)+(0 4193z)z(Y -3

0.6065 + 1.4517z-z

100.3547) + (0.4193z

)z(U

)z(Y(z)H

2zoh ==



Se aplicarmos o operador atraso que con e te a f nção de t ansfe ência disc econverte a função de transferência discre-ta numa equação às diferenças, temos:

:atrasoOperador

2

1-n-

fidiifdfi idi d

1)y(kY(z)z n)y(kY(z)z

:atrasoOperador

−=×⇒−=×

21

3-2-1-

zoh

2

10*)0.3547z + (0.4193zY(z)(z)H

:fica,zpor discreta ncia transferêdefunção a Dividindo

==2-1-zoh

:se-obtêm atraso,operador o Aplicando

0.6065z 1.4517z-1U(z)( )

+


3-10*2))-0.3547u(k + 1)-(0.4193u(k0.6065y(k) 1)-1.4517y(ky(k) +−=


6x 10

-3

Gráfico de resposta de G(s) azul e

5

G(s) – azul e de G(z) –vermelho, 3

4

t)

; y

(k)

vermelho, para uma entrada

2

y(t

degrau de F=1 N.

0 0 5 1 1 5 2 2 50

1


0 0.5 1 1.5 2 2.5t [seg.]

Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitais% parâmetros do sistemam=10;m=10;b=50;k=200;% modelo mass-mola-amortecedorCódigo em % modelo mass mola amortecedornum=[1];den=[10 50 200];%simulação da resp. da massa y a um entrada

Código em Matlab do exemplo ç p y

degraut=0:0.1:2.5; %vector de tempos% resposta ao degrau unitário

exemplo anterior (aplica o [y]=step(num,den,t);

plot(t,y),grid,xlabel('t [seg.]'),ylabel('y(t) [m]')hold on

(aplica o método zoh

nas % conversão do modelo continuo para digitalTs=0.1; % período de amostragem[numd,dend] = c2dm(num,den,Ts,'zoh')% t d itá i di it l

nas entradas)


% resposta ao degrau unitário digital[yd]=dstep(numd,dend,length(t));stairs(t,yd,'r'),ylabel('y(t) ; y(k)')

Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisDiagramas de blocos de equações àsDiagramas de blocos de equações às diferenças

F t ã áfi d dFornece uma representação gráfica de um mode-lo matemático

Blocos mais usuais

utilizados no SIMULINK


Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisControladores digitaisDiagramas de blocos de equações àsDiagramas de blocos de equações às diferenças

E l di d bl d ã à difExemplo: diagrama de blocos da equação às dif. y(k)=a*y(k-1)+(1-a)*u(k)



Nos controladores digitais são implementa-das as equações análogas às utilizadas em q ç gcontrolo contínuo ou analógico, ou seja:

Duas posições (Tudo-ou-Nada ou ON-Duas posições (Tudo ou Nada ou ONOFF)Acção proporcional (P)Acção proporcional (P)Acção integral (I)

ãAcção P+IAcção P+D

© Luis Filipe Baptista – MEMM 32Acção P+I+D


óEm controlo analógico, o custo do controla-dor depende do número de acções de controlo que lhe estão associadas (quanto mais hardware se utilizar maior é o custo)Em controlo digital, esta situação não tem peso, pois os algoritmos são programados p p g p gem microprocessadorDeste modo, os controladores digitaisDeste modo, os controladores digitais implementam (em geral), a versão discreta do algoritmo analógico PID


do algoritmo analógico PID

Controladores digitaisControladores digitaisDiscretização do controlador PID analógico

Controladores digitaisControladores digitaisDiscretização do controlador PID analógico no domínio do tempo

Al it PID tí ( ã /t 0)Algoritmo PID contínuo (u0=acção p/t=0)

⎟⎞

⎜⎛

∫de(t)1 t

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∫++=

dt

de(t)Te(t)dt

T

1e(t)K 0uu(t) d

0ip

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+∫++=

dt

de(t)Ke(t)dtKe(t)K0uu(t) d

t

ip

Vamos considerar as aproximações numé-⎠⎝ dt0

p


ricas do integral e da derivada

Controladores digitaisControladores digitaisDiscretização do controlador PID analógico:

Controladores digitaisControladores digitaisDiscretização do controlador PID analógico: aproximação do integral do erroOs mais usuais são os métodos de integraçãoOs mais usuais são os métodos de integração rectangular:

th d)f d(E l 'E ldMét d

×+−≈h d)b k d( l 'ldé d

1)-e(kT1)u(ku(k)

:method)forwards(Euler' avançoemEuler de Método

s

×+−≈ e(k)T1)u(ku(k)

:method) backward s(Euler'atrasoemEuler de Método

s

⎟⎞

⎜⎛ −+

+−≈1)e(ke(k)

T1)u(ku(k)

:al) trapezoido(IntegraçãTustin de Método


⎟⎠

⎜⎝

+−≈2

T1)u(ku(k) s


Controladores digitaisControladores digitaisDiscretização do controlador PID analógico: aproximação do integral do erro

RepresentaçãoRepresentação gráfica

(h T(h =Ts = período de

t )amostragem)



Controladores digitaisControladores digitaisDiscretização do controlador PID analógico: aproximação da derivada

(k)

1)-e(ke(k)de(k) −≈

e(k)

e(k-1)

Tdt≈ ( )


Controladores digitaisControladores digitaisDi ti ã d t l d PID


Equação do controlador PID discreto

⎟⎞

⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛1k 1)e(ke(k)T

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−+∑++=

= sd

1-k

0ii

sp0 T

1)e(ke(k)Te(i)

T

Te(k)Kuu(k)

Esta forma particular do algoritmo digital PID, é h id l it d i ã ( iti

⎠⎝

conhecida por algoritmo de posição (position algorithm), devido ao facto de o sinal de controlo u(k) ser calculado relativamente a um


controlo u(k) ser calculado relativamente a um valor base, que é uo



O algoritmo anterior designa-se também por algoritmo do tipo não recursivop g pEsta designação deve-se ao facto de o algoritmo necessitar de ir guardando emalgoritmo necessitar de ir guardando em cada iteração o somatório de todos os erros anterioreserros anteriores




É possível obter uma outra forma de cálculo mais prática, que se baseia no p , qvalor da acção de controlo no instante anterior, ou seja u(k-1)., j ( )Esta outra forma de implementação do algoritmo PID discreto, designa-se poralgoritmo PID discreto, designa se por algoritmo incremental ou de velocidade (velocity algorithm)


(velocity algorithm)



Considerando a partir do algoritmo de posição, a expressão de u(k-1), tem-se:p ç , p ( ),

e(i)TK

1)-e(kK1)-u(k2-k

sp+= ∑2)(k1)(k

e(i)T

1)e(kK1)u(k0ii

p

⎞⎛

+ ∑=

1)(kuT

2)e(k1)-e(kTK 0dp −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−+


Ts ⎠⎝



Calculando Δu=u(k)-u(k-1), tem-se:

( ) 1)-e(k T

TK1)-e(k-e(k)K1)u(ku(k) sp

p ++=−− ( )

( )TK

)(T

)(( ))(( )

d

ip

( )2)e(k1)2e(ke(k)T

TK

s

dp −+−−



Discretização do controlador PID analógico no domínio do tempog p

Neste caso, só é calculada diferença Δuentre as acções de controlo u(k) e u(k-1),entre as acções de controlo u(k) e u(k 1), ou seja:

1)u(ku(k)Δu −−= )(( )



Discretização do controlador PID analógico no domínio do tempog p

Por este motivo, este algoritmo é designado por algoritmo incrementaldesignado por algoritmo incremental É igualmente designado por algoritmo de velocidade (velocity algorithm)velocidade (velocity algorithm)Também é conhecido em diversa lit t l it iliteratura por algoritmo recursivo


Controladores digitaisControladores digitaisDiscretização do controlador PID


Este algoritmo, pode assumir a seguinte forma (integração rectangular em avanço – forward Euler) 2)e(kq1)e(kqe(k)q1)u(ku(k) +++Euler)

dp0

210

T

T1Kq

2)e(kq1)e(kqe(k)q1)u(ku(k)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

−+−++−=

ds

sp0

2TT1Kq

Tq

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

+−−=

⎟⎠

⎜⎝

d

sip1

TKq

TT1Kq

=

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

+=

© Luis Filipe Baptista – MEMM 45s

p2 TKq =



Diagrama em Simulink do controlo PID digital de nível de um tanque

nivelr

To Workspace3

erro

To Workspace2

control

To Workspace1

-K-

-K-

q0

z

1

nivel

To Workspace

Step

Scope

z-0.9512

0.03902

Hzoh(z)

z

1

u(k-1)-K-

q2

q1

z

1

e(k-2)

z

e(k-1)


q( )



Acção de controlo digital integral – forward Euler

TK1)-e(k

T

TK1)u(ku(k)

i

sp=−−

Acção de controlo proporcional (P) – relação

Ti

estática

e(k)Ku(k) p=© Luis Filipe Baptista – MEMM 47

( )( ) p



Acção de controlo digital PD - forward Euler

( )Td ⎟⎞

⎜⎛ ( )1)-e(k-e(k)

T

Te(k)Ku(k)

s

dp ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

1)e(kTK

-e(k)T

1Ku(k) dpd −⎟⎟⎞

⎜⎜⎛+=

1)(k(k)(k)

1)e(kT

e(k)T

1Ku(k)ss

p ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝+


1)e(kqe(k)qu(k) 20 −−=

Controladores digitaisControladores digitaisDiscretização do controlador PID analógico


Algoritmo PID discreto (integração rectangularAlgoritmo PID discreto (integração rectangular trapezoidal)

210 2)e(kq1)e(kqe(k)q1)u(ku(k) −+−++−=

dsp0

210

T

T

2T

T1Kq

2)e(kq1)e(kqe(k)q1)u(ku(k)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

+++

ds1

sip

2TT1Kq

T2T

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

+−−=

⎟⎠

⎜⎝

d

sip1

TKq

T2T1Kq

=

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

+

© Luis Filipe Baptista – MEMM 49s

p2 TKq =


Problemas típicos do algoritmo digitalSaturação do actuador quando a acçãoSaturação do actuador quando a acção integral atinge um valor muito elevado (windup)( dup)Uma possibilidade consiste em utilizar o algoritmo incremental que reduz os efeitosalgoritmo incremental que reduz os efeitos do windup



Problemas típicos do algoritmo digitalUma das formas possíveis de implementarUma das formas possíveis de implementar um sistema de anti-windupConsiste em introduzir um mecanismo queConsiste em introduzir um mecanismo que faça parar a actualização do integral quando o actuador estiver saturadoquando o actuador estiver saturado Ver esquema no slide seguinte


Controladores digitaisControladores digitaisProblemas típicos do algoritmo digital


Diagrama de controlo PID com anti-windup




Influência do windup no desempenho do controlo


Controladores digitaisControladores digitaisImplementação prática da acção derivativa


A acção derivativa não deve ser implemen-tada directamente, pois iria amplificar o ruído presente nos sinais. Utiliza-se a derivada da saída e não o erro e=r-y.No controlador analógico, utiliza-se a seguinte aproximação da derivada (Nota: Nseguinte aproximação da derivada (Nota: N de 3 a 20): sT

sT dd ≈

© Luis Filipe Baptista – MEMM 54/NsT1

sTd

d +≈



A discretização desta equação, conduz a:ã d i i í difi d ( )Acção derivativa contínua modificada (D)

dyTKD

dDTd

dt

yTKD

dtN dpd −=+

Acção derivativa discreta D(k)

( )NTKT d ( )1)-y(k-y(k)kNT

NTK1)-D(k

kNT

TD(k)

d

dp

d

d

+−

+=




Outra possibilidade: utilizar mais pontos no cálculo da acção derivativa Caso sejam usados 4 pontosda acção derivativa. Caso sejam usados 4 pontos de erro, utilizando integração rectangular em avanço, obtém-se:ç ,

( )

+++++

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−−−+++−+−=

4)e(kq3)e(kq2)e(kq1)e(kqe(k)q1)(k(k)

4)-e(k3)-2e(k2)6e(k1)2e(ke(k)6T

Te(k)

T

T1)e(k-e(k)K1)u(ku(k)

s

d

i

sp

⎪⎪⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

−+−+−+−++−=

3T

T1-Kq ;

6T

T

T

T1Kq

4)e(kq3)e(kq2)e(kq1)e(kqe(k)q1)u(ku(k)

s

dp1

s

d

i

sp0

43210

⎪⎪⎪

⎪⎪

⎨

=

=−=

⎠⎝⎠⎝

TKq

3T

TKq;

T

TKq

d

s

dp3

s

dp2


⎪⎩

= 6T

Kqs

p4

Controladores digitaisControladores digitaisImplementação em Matlab/Simulink

Controladores digitaisControladores digitaisImplementação em Matlab/SimulinkControlador PID incremental com aproximação da derivada através de 4 pontos de erro

Erro

Kp*(1+(Ts/Ti)+Td/(6*Ts))

q0

z

1

Product

2

processo

1

Setpoint

2

controlo sr

1

controlo_cr

-Kp*(Td/Ts)

Kp*(-1+Td/(3*Ts))

q1

z

1

e(k-2)

z

e(k-1)

Saturation

Product4

Product1

processo

controlo_sr

z

1

u(k-1)

q2

z

1

e(k-3)Product2

Kp*(Td/(3*Ts))

q3

z

1

e(k-4)Product3


Kp*(Td/(6*Ts))

Constant4

Controladores digitaisControladores digitaisAnálise estática do controlador PID digital


Considerando que se aplica à entrada do controla-dor uma entrada degrau unitário discretodor uma entrada degrau unitário discreto

⎧ ≥ 0k1

⎩⎨⎧

<≥

=0k0

0k1e(k)

Tendo em consideração o algoritmo de velocidade

⎩ < 0k0

Tendo em consideração o algoritmo de velocidade

2)e(kq1)e(kqe(k)q1)u(ku(k) 210 −+−++−=


Controladores digitaisControladores digitaisA áli táti d t l d PID di it l


Resposta do controlador u(k) para erro e(k)=1

0

2(0)(1)

qu(0) =

210210

1010

qq23qqqqu(1)u(2)

q2qqqu(0)u(1)

++=+++=+=++=

210210

.......

qq23qqqqu(1)u(2) +++++

210

1)(kk1)(k(k)

qqq1)u(ku(k)

++++++−=


210 1)q(kkq1)q(ku(k) −+++=



Gráfico da resposta do controlador PID

u(k)

q0 q0+q1+q2

2q +qq -q

q0 q1 q2

k

2q0+q1q0 q2


k

Controladores digitaisControladores digitaisA áli táti d t l d PID di it l


Gráfico da resposta do controlador PI

u(k)

q0+q1

q

q0 q1

k

q0


k



Da análise do gráfico do controlador PID, tem-se:u(0) > u(1) e u(k) > u(k 1) o que correspondeu(0) > u(1) e u(k) > u(k-1), o que corresponde

ao comportamento típico do controlador PID analógico utilizado na indústriaanalógico utilizado na indústriaConsiderando que q0 > 0, tem-se:

0(0)(1)

:2kpara1)u(ku(k)

qq 0qq u(0)u(1) 1010

≥>−<⇒>+⇒<

k )q(qqou0qqq

:2kpara 1)u(ku(k)

102210 +−>>++≥−>


k )q(qqou 0qqq 102210 +>>++



As condições anteriores são válidas para um controlador PID com ganho positivo i e q > qcontrolador PID com ganho positivo, i.e. q0 > q2

Em resumo, têm-se as seguintes condições que permitem obter um comportamento análogo entrepermitem obter um comportamento análogo entre o controlador PID analógico e digital

0q >0

qq

0q

<>

01

qq)q(q

qq

<<+−−<


0210 qq)q(q <<+−



Representação gráfica das condições anteriores

q1 q01 q1 q0i4

q2q0

-q0i

2 3

q1=- (q0i+q2)-2q0i


q1=- q0

Controladores digitaisControladores digitaisExemplo de aplicação:

Controladores digitaisControladores digitaisExemplo de aplicação:

Resposta do controlador PID incremental anterior aplicado ao sistema massa-mola-amortecedoraplicado ao sistema massa-mola-amortecedor (visto anteriormente)Parâmetros: 0.12Parâmetros:

Kp=1750 08

0.1

]

Ti=0.25 seg.

Td=0.1 seg.0.06

0.08si

ção

da m

assa

[m

g

Ts=0.1 seg. 0.02

0.04pos


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

tempo [seg.]

Controladores digitaisControladores digitaisA t té i d t l d di it i

Controladores digitaisControladores digitaisAspectos técnicos dos controladores digitais

Os algoritmos PID digitais funcionam bemd í d d t é b iquando o período de amostragem é baixo

Portanto uma regra a seguir será a de utilizar í d d i b ium período de amostragem Ts o mais baixo

possível, ou seja utilizar uma frequência de amostragem Fs o mais elevada possívelamostragem Fs o mais elevada possívelNo entanto, utilizar uma frequência de

t it l d d t l ã éamostragem muito elevada, quando tal não é necessário, pode implicar um desperdício de recursos


recursos

Controladores digitaisControladores digitaisA t té i d t l d di it i


No caso de se usarem períodos de amostragem muito baixos isto significa que se vão capturarmuito baixos, isto significa que se vão capturar sinais de elevada frequência (Ex: ruído), o que não é benéfico para a obtenção de um bomnão é benéfico para a obtenção de um bom desempenho do controladorNo caso de se usarem períodos de amostragem p gmuito elevados, então pode correr-se o risco de perder-se muita informação do sinal a amostrar. No caso limite, ocorre o fenómeno de ALIASING anteriormente apresentado




Inconvenientes adicionais de utilização de frequências de amostragem muito elevadas:frequências de amostragem muito elevadas:

O custo da implementação aumenta devido ao facto de ser necessário utilizar componentesfacto de ser necessário utilizar componentes electrónicos mais sofisticadosUm sistema de aquisição de dados (DAS) de q ç ( )uma instalação industrial, necessita de ler, em geral, muitos pontos de entrada. A sua funcionalidade degrada-se significativa-mente se cada anel de controlo funcionar a

f ê i d t it l d© Luis Filipe Baptista – MEMM 68

uma frequência de amostragem muito elevada



Metodologia a seguir:Efectuar uma análise à largura de banda doEfectuar uma análise à largura de banda do sistema a controlar de modo a obter a fre-quência máxima expectável do sistemaquência máxima expectável do sistemaAplicar o Teorema da Amostragem (Shannon)Multiplicar a frequência de amostragem porMultiplicar a frequência de amostragem por um factor de 10, para controlo digitalAnalisar os sinais amostrados de modo aAnalisar os sinais amostrados de modo a verificar os níveis de ruído, sinais espúrios, etc, que necessitem de correcção adicional através


de filtragem adicional, por exemplo.

Controladores digitaisControladores digitaisDesempenho de um controlador PID digital

Controladores digitaisControladores digitaisDesempenho de um controlador PID digital em função de diferentes valores de Ts =Δt

Desempenho adequado para Ts= 5 segDesempenho adequado para Ts= 5 seg.

© Luis Filipe Baptista – MEMM 70Ts=5 seg.

Controladores digitaisControladores digitaisDesempenho de um controlador PID digital

Controladores digitaisControladores digitaisDesempenho de um controlador PID digital em função de valores diferentes Ts =Δt

Grande degradação do controlo para Ts=10 e 15 sGrande degradação do controlo para Ts=10 e 15 s.

© Luis Filipe Baptista – MEMM 71Ts=10 seg. Ts=15 seg.

Controladores digitaisControladores digitaisC t l d di it i

Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitais

Hardware - Esquema típico

ROM RAM

Mi d

ROM RAM

endereço bus

Microprocessador bus de dados

linhas de controlo

Dados de I/O

n


n n

Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitais - Descrição do

Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitais - Descrição do hardware

Microprocessador – efectua todos os cálculos e manipulações de dados reais

f i l dconforme prescrito pelo programa de controloROM – memória permanente, geralmente só de leitura, onde ficam alojados os programas do controlador




RAM – memória volátil. É usada para t i t d darmazenar temporariamente dados e

cálculos de funções. Quando se desliga o t l d f lh li t ã tcontrolador ou falha a alimentação, estes

dados são apagados da memóriaóI/O – módulos de leitura/escrita de

sinais


Controladores digitaisControladores digitaisControladores digitais (software)


Os algoritmos são programados ãrecorrendo a linguagens de programação

(C, Fortran, Basic, etc..)As operações a realizar no

microprocessador obedecem a um fluxograma que inclui as seguintes operações básicas


Controladores digitaisControladores digitaisC t l d di it i ( ft )


Operações básicas:1. Leitura dos valores no porto das

entradas2. Realização dos cálculos (alteração de

escalas, cálculos matemáticos, etc..)escalas, cálculos matemáticos, etc..)3. Decisão das acções a realizar em função

das condições de funcionamentodas condições de funcionamento4. Escrita dos valores de controlo no porto

de saída© Luis Filipe Baptista – MEMM 76

de saída

Controladores digitaisControladores digitaisSoftware Fluxograma de cálculo

Controladores digitaisControladores digitaisSoftware - Fluxograma de cálculo

Ler no porto A/D a saída do processo – y(k)

Calcular o erro e(k)=ref(k)-y(k)

Calcular os valores das acções P, I e D

Escrever no porto D/A o valor de u(k)


Controladores digitaisControladores digitaisExemplo de controlador digital (FUJI)

Controladores digitaisControladores digitaisExemplo de controlador digital (FUJI)



Exemplos de sistemas de Exemplos de sistemas de ppcontrolo digital aplicados a controlo digital aplicados a

i t ítii t ítisistemas marítimossistemas marítimos


C t l d di it iC t l d di it iControladores digitaisControladores digitaisRegulação de velocidade de motoresRegulação de velocidade de motores (engine speed control)

Nos motores de explosão, a velocidade de rotação é controlada através da abertura de uma borboleta colocada no colector de admissão de arEsta borboleta regula o caudal de ar que entra nos cilindros e por conseguinte a p grelação ar/combustível


C t l d di it iC t l d di it iControladores digitaisControladores digitaisRegulação de velocidade de motoresRegulação de velocidade de motores (engine speed control)

Nos motores diesel esse dispositivo não existeAssim, é necessário utilizar um sistema de regulação de velocidade, dado que, g ç , q ,para uma variação de carga, o motor poderia aumentar continuamente a pvelocidade de rotação até se destrui


C t l d di it iC t l d di it iControladores digitaisControladores digitaisRegulação de velocidade (speedRegulação de velocidade (speed control)

De forma a manter constante a velocidade quando se varia a carga, os motores diesel são equipados com sistemas automáticos de regulação de velocidadeEstes reguladores podem ser de diversos g ptipos (mecânicos, hidráulicos, e electrónicos) e de maior ou menor )complexidade

82© Luis Filipe Baptista – MEMM

C t l d di it iC t l d di it iControladores digitaisControladores digitaisRegulador mecânico de motor DieselRegulador mecânico de motor Diesel

Regulador mecânico de

velocidade de motor diesel (Woodward

Controls)



Regulação digital de velocidadeRegulação digital de velocidade


C t l d di it iC t l d di it iControladores digitaisControladores digitaisRegulação digital de velocidade/cargaRegulação digital de velocidade/carga de um motor diesel marítimo


C t l d di it iC t l d di it iControladores digitaisControladores digitaisControlo digital de óleo de lubrificaçãoControlo digital de óleo de lubrificação das camisas


C t l d di it iC t l d di it iControladores digitaisControladores digitaisControlo digital de óleo de lubrificaçãoControlo digital de óleo de lubrificação das camisas



Motores diesel dual fuel (4 tempos)Motores diesel dual-fuel (4 tempos)



Sistema de controlo do motorSistema de controlo do motorSistema de controlo do motorSistema de controlo do motor



Diagrama de operação (dualDiagrama de operação (dual fuel)fuel)Diagrama de operação (dualDiagrama de operação (dual--fuel)fuel)



Controlo do caudal de ar para o motorControlo do caudal de ar para o motorControlo do caudal de ar para o motorControlo do caudal de ar para o motor



Controlo do caudal de gás para o motorControlo do caudal de gás para o motorControlo do caudal de gás para o motorControlo do caudal de gás para o motor



Sistema de alimentação de fuelSistema de alimentação de fuelSistema de alimentação de fuelSistema de alimentação de fuel



Caldeira aquitubular (grande débito)Caldeira aquitubular (grande débito)Caldeira aquitubular (grande débito)Caldeira aquitubular (grande débito)



Controlo de nível de água (clássico)Controlo de nível de água (clássico)Controlo de nível de água (clássico)Controlo de nível de água (clássico)



Controlo digital de nível de águaControlo digital de nível de águaControlo digital de nível de águaControlo digital de nível de água



Controlo do hélice de passo variávelControlo do hélice de passo variávelControlo do hélice de passo variávelControlo do hélice de passo variável



Controlo de pressão do gás inerte (IGS)Controlo de pressão do gás inerte (IGS)Controlo de pressão do gás inerte (IGS) Controlo de pressão do gás inerte (IGS) (sistema de controlo de acção dupla)(sistema de controlo de acção dupla)


Slides IC Pid

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Transcript of Slides IC Pid