Controle PID

Controle PID

Lucas de Assis Soares

Engenharia de Automacao e Controle

Introducao

Mais da metade dos controladores industriais em uso atualmenteemprega esquemas de controle PID ou PID modificado.

A utilidade dos controladores PID esta na sua aplicabilidade gerala` maioria dos sistemas de controle.

Sua popularidade pode ser atribuda ao seu bom desempenho emuma ampla faixa de condicoes de operacao e a` sua simplicidadefuncional que permite aos engenheiros opera-los de um modosimples e direto.

Em particular, quando o modelo matematico da planta nao econhecido e, portanto, metodos de projeto analtico nao podem serutilizados, controles PID se mostram os mais uteis.

Acoes de controle

Controle proporcional:

Para um controlador com acao de controle proporcional, a relacaoentre a sada do controlador u(t) e o sinal de erro atuante e(t) e:

u(t) = Kpe(t)E sua transformada de Laplace e:

U(s) = KpE(s)Qualquer que seja o mecanismo real e o tipo de energia utilizadano operacao, o controlador proporcional e essencialmente umamplificador com um ganho ajustavel.

Acoes de controle

Controlador proporcional:

Eo(s)Ei(s) = R4R3 R2R1

Acoes de controle

Controle proporcional:

A acao de controle pode ser utilizada para estabilizar um sistema.

Entretanto, exibe erro estacionario, ou residual, na resposta aodegrau.

Na pratica consiste em modificar o ponto de operacao de umsistema sem modificar o lugar das razes.

Na resposta em frequencia, permite modificar as margens de ganhoe de fase.

Acoes de controle

Controle proporcional-derivativo:

A acao de controle de um controlador proporcional-derivativo edefinida por:

u(t) = Kpe(t) +KpTd de(t)dt

A funcao de transferencia do controlador e:

U(s) = Kp(1 +Tds)E(s)onde Td e chamado de tempo derivativo.

Acoes de controle

Controlador proporcional-derivativo:

Eo(s)Ei(s) = R4R3 R2R1 (R1C1s + 1)

Acoes de controle


A funcao de transferencia do termo derivativo e, na realidade,

Gd(s) = KpTdsds + 1

Mas, usualmente, d e muito menor que as constantes de tempodo proprio processo e, em consequencia, pode ser desprezada.

Acoes de controle


Acoes de controle


O controle PD e, em sua essencia, um controle antecipatorio.

O controle PD mede a inclinacao instantanea de e(t), preve osobrevalor de um tempo adianta e realiza uma acao corretivaapropriada antes da ocorrencia de um sobrevalor excessivo.

O controle derivativo somente afetara o erro de regime estacionariode um sistema se este variar com o tempo, o que geralmente naoacontece quando a entrada e um degrau.

A desvantagem pratica do controlador PD e que sua partederivativa e um filtro passa-alta, o que, usualmente, acentuaqualquer rudo de alta frequencia.

Acoes de controle


O controle PD pode afetar o desempenho de um sistema decontrole das seguintes formas:

Aumentando o amortecimento e reduzindo o sobressinalmaximo;

Reduzindo o tempo de subida e o tempo de assentamento;

Aumentando a banda passante;

Melhorando as margens de ganho e de fase e o pico deressonancia;

Possivelmente acentuando o rudo associado a frequenciasmais altas.

Acoes de controle

Exemplo:

Considere o sistema de realimentacao negativa unitaria cuja funcaode transferencia de ramo direto e:

G(s) = 4500Ks(s + 361,2)

Deseja-se projetar um controlador PD para que as seguintesespecificacoes sejam atendidas:

Erro de regime estacionario devido a` entrada em rampaunitaria 0,000443Sobressinal maximo 5%Tempo de subida tr 0,005 sTempo de assentamento ts 0,005 s

Acoes de controle

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.0350

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6Step Response

Time (seconds)

Ampl

itude

Acoes de controle


A acao de controle derivativo responde a` taxa de variacao do erro,de forma a prever o erro atuante e iniciar uma acao corretivaantecipada.

Ela tende a aumentar a estabilidade do sistema.

Nao afeta diretamente o erro estacionario, mas aumenta oamortecimento permitindo maior ganho, o que resulta em maiorprecisao em regime permanente.

Funciona na pratica como um compensador por avanco de fase.

Acoes de controle

Controle proporcional-integral:

A acao de controle de um controlador proporcional-integral edefinida por:

u(t) = Kpe(t) + KpTi

t0

e()dA funcao de transferencia do controlador e:

U(s) = Kp (1 + 1Ti s

)E(s)onde Ti e chamado de tempo integrativo.

Acoes de controle


Eo(s)Ei(s) = R4R3 R2R1 R2C2s + 1R2C2s

Acoes de controle


A adicao de um polo em s = 0 a` funcao de transferencia de ramodireto significa que o tipo de sistema e aumentando em um nvel,de modo que o erro de regime estacionario do sistema original emelhorado em uma ordem.

Entretanto, como o sistema passa a ser de uma ordem superior,ele pode ser menos estavel do que o sistema original, oumesmo se tornar instavel.

O controlador PI e, essencialmente, um filtro passa-baixa, de formaque o sistema compensado geralmente apresenta um tempo desubida maior e um tempo de assentamento maior.

Acoes de controle


O controle PI pode afetar o desempenho de um sistema decontrole das seguintes formas:

Melhora o amortecimento e reduz o sobrevalor maximo;

Aumenta o tempo de subida;

Diminui a banda passante;

Melhora as margens de ganho e de fase e o pico deressonancia;

Filtra os rudos de alta frequencia.

Acoes de controle

Exemplo:

Considere o sistema de realimentacao negativa unitaria cuja funcaode transferencia de ramo direto e:

G(s) = 4500Ks(s + 361,2)

Deseja-se projetar um controlador PI para que as seguintesespecificacoes sejam atendidas:

Erro de regime estacionario devido a` entrada parabolica 0,2Sobressinal maximo 5%Tempo de subida tr 0,01 sTempo de assentamento ts 0,02 s

Acoes de controle

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.040

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6Step Response

Time (seconds)

Ampl

itude

Acoes de controle


O sinal de controle (sada do controlador) em qualquer instante e aarea sob a curva do sinal de erro atuante

Remove o erro estacionario, mas pode levar a uma respostaoscilatoria que aumenta ou diminui com o tempo.

Funciona na pratica como um compensador por atraso de fase.

Acoes de controle

Controle proporcional-integral-derivativo:

A acao de controle proporcional-integral-derivativo (PID) edefinida por:

u(t) = Kpe(t) + KpTi

t0

e()d +KpTd de(t)dt


U(s) = Kp (1 + 1Ti s

+Tds)E(s)onde Kp e o ganho proporcional, Ti e o tempo integrativo e Td e otempo derivativo.

Acoes de controle

Controlador proporcional-integral-derivativo:

Eo(s)Ei(s) = R4R3 R2R1 (R1C1s + 1)(R2C2s + 1)R2C2s

Regras de sintonia de Ziegler-Nichols

O processo de selecionar parametros do controlador que garantamdada especificacao de desempenho e conhecida como sintonia docontrolador.

As regras de Ziegler-Nichols sao uteis quando os modelosmatematicos da planta sao desconhecidos.

Elas sugerem um conjunto de valores de Kp, Ti e Td que vaoproporcionar uma operacao estavel do sistema.

Caso o sistema resultante apresente um sobressinal maximo grandena resposta do degrau, e preciso fazer uma series de sintonias finaspara que um resultado aceitavel seja obtido.


As regras de sintonia de Ziegler-Nichols fornecem estimativas dosvalores dos parametros e proporcionam um ponto de partida nasintonia fina, e nao os valores definitivos de Kp, Ti e Td logo naprimeira tentativa.

Primeiro metodo:

No primeiro metodo, obtemos experimentalmente a resposta daplanta a uma entrada em degrau unitario.

Esse metodo se aplica se a curva de resposta ao degrau de entradativer o aspecto de um S.

Isso geralmente acontece quando a planta nao possui integradoresou polos complexos conjugados dominantes.


Primeiro metodo:

A curva com o formato em S pode ser caracterizada por duasconstantes, o atraso L e a constante de tempo T.

As constantes sao determinadas desenhando-se uma linha tangenteno ponto de inflexao da curva com o formato em S edeterminando-se a interseccao dessa linha com o eixo das abscissase a linha c(t) = K .A funcao de transferencia do sistema pode ser aproximada por umsistema de primeira ordem com atraso de transporte:

C(s)U(s) = KeLsTs + 1


Primeiro metodo:


Primeiro metodo:

Os valores de Kp, Ti e Td sao escolhidos conforme a tabela abaixo.


Exemplo:

Projete um controlador PID para o sistema de realimentacaonegativa unitaria cuja funcao de transferencia de ramo direto e:

G(s) = 1(s + 1)3


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Step Response

Time (seconds)

Ampl

itude


Exemplo:

O atraso L e aproximadamente igual a 0,806 e a constante detempo T e aproximadamente igual a 3,6942.

Dessa forma, analisando a ultima linha da tabela com osparametros do controlador PID, obtemos:

Kp = 5,50Ti = 1,61Td = 0,403


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6Step Response

Time (seconds)

Ampl

itude


Segundo metodo:

Usando somente a acao de controle proporcional, aumente Kp de 0ao valor crtico Kcr no qual a sada exibe uma oscilacao sustentadapela primeira vez.

Se a sada nao exibe uma oscilacao sustentada para qualquer valorque Kp pode assumir, esse metodo nao se aplica.

O ganho Kcr e o perodo Pcr sao determinados experimentalmente.


Segundo metodo:


Exemplo:


G(s) = 1s(s + 1)(s + 5)


Exemplo:

O metodo de Ziegler-Nichols fornece o controlador:

Gc(s) = 6,3223(s + 1,4235)2s

Alterando a posicao dos zeros para s = 0,65:Gc(s) = 13,846(s + 0,65)2

s

Aumentando o ganho proporcional para Kp = 39,42:Gc(s) = 30,322(s + 0,65)2

s


0 5 10 15 20 25 30 350

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8Step Response

Time (seconds)

Ampl

itude


0 5 10 15 20 25 30 350

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (seconds)

Ampl

itude


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8Step Response

Time (seconds)

Ampl

itude


Exemplo:

Considerando um controlador PID na forma:

Gc(s) = K (s + a)(s + b)s


G(s) = 1s2 + 1

de modo que os polos dominantes de malha fechada estejamlocalizados em s = 1 j3. Considere a = 1.


Exemplo:


Gc(s) = 2,3333(s + 1)(s + 0,5714)s


0 2 4 6 8 10 12 14 160

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Step Response

Time (seconds)

Ampl

itude

Metodos de sintonia analtica

Quando o modelo matematico do sistema e conhecido, metodos desintonia analtica de controladores PID podem ser utilizados.

Considere um sistema de realimentacao negativa unitaria comfuncao de transferencia Gp(s).Com o controlador PID, Gc(s) em serie com a planta, a funcao detransferencia do sistema e:

GO(s) = Gp(s)Gc(s)1 +Gp(s)Gc(s)

Metodos de sntese direta

Assim, podemos resolver a equacao para Gc(s):Gc(s) = 1

Gp(s) G0(s)1 G0(s)Se a funcao de transferencia de malha aberta do sistema econhecida e a funcao de transferencia de malha fechada eespecificada, e facil determinar Gc(s).O problema aqui e encontrar formas de especificar a funcao detransferencia de malha fechada G0(s) baseadas nas especificacoesdo sistema.


Metodo de sintonia :

O metodo de sintonia foi desenvolvido para processos com umgrande tempo morto.

Considere a planta com a seguinte funcao de transferencia:

Gp(s) = Kp1 + sT esL

A funcao de transferencia de malha fechada e especificada como:

G0(s) = esL1 + sT



e um parametro de sintonia.

Quando = 1, as constantes de tempo de malha aberta emalha fechada sao iguais;

Quando < 1, o sistema de malha fechada e mais rapido doque o sistema de malha aberta;

Quando > 1, o sistema de malha fechada e mais lento doque o sistema de malha aberta.



A funcao de transferencia do controlador e entao:

Gc(s) = 1 + sTKp(1 + sT esL)

A relacao entre a entrada e a sada do controlador pode serdescrita como:

U(s) = 1Kp

(1 + 1sT

)E(s) 1sT

(1 esL)U(s)



O termo1

Kp(1 + 1

sT)E(s)

Representa um controlador PI, enquanto o termo

1

sT(1 esL)U(s)

Pode ser interpretado como uma previsao da sada do processobaseado nos valores do sinal de controle no intervalo de tempo[t T , t].O controlador nesse caso e chamado de controlador PI preditivo(PPI).


Exemplo:

Considere a funcao de transferencia da planta

Gp(s) = 52s + 1es

Projete um controlador PID para que a funcao de transferencia demalha fechada seja

Go(s) = es1 + 2s


0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Step Response

Time (seconds)

Ampl

itude

= 1 = 0.5 = 2


Para a mesma funcao de transferencia de malha fechada Go(s),podem ainda ser consideradas outras funcoes de transferencia demalha aberta.

Para uma funcao de transferencia de segunda ordem com tempomorto

Gp(s) = KesL(T1s + 1)(T2s + 1)O controlador PID e

Gc(s) = 1K

T1 +T2Tc + L (1 + 1(T1 +T2)s + T1T2T1 +T2 s)


Exemplo:

Considere a funcao de transferencia de malha aberta

Gp(s) = 0.9es(10s + 1)(5s + 1)Considere o projeto de um controlador PID considerando comoconstante de tempo de malha fechada Tc = 1,3 e 10.A funcao de transferencia do controlador PID e:

Gc(s) = 503Tc + 3 (1 + 115s + 10s3 )


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Step Response

Time (seconds)

Ampl

itude

Modificacoes do controlador PID

Controlador PI-D:


Controlador I-PD:

Controladores PID digitais

Os controladores PID digitais sao versoes digitalizadas doscontroladores PID projetados para sistemas de tempo contnuo.

Considerando o controle de um sistema de tempo contnuo,projeta-se o controlador PID usando os metodos convencionais ediscretiza-se o controlador segundo uma das formas apresentadas aseguir.

Gc(s) = Kp +KpTds + KpTi s

= Kp +Kds + Kis

A componente proporcional Kp e implementada digitalmente porum ganho constante Kp. Como o computador ou processadordigital possui um comprimento de palavra finito, a constante Kpnao pode ser realizada com resolucao infinita.


A derivada temporal de uma funcao pode ser aproximada pelaregra da diferenca realimentada:

de(t)dt

t=kT = 1T [e(kT ) e((k 1)T )]

Para se obter a funcao de transferencia no domnio z , aplica-se aTransformada Z a ambos os lados da equacao.

GD(z) = Kd z 1Tz

onde Kd e a constante de proporcionalidade do controladorderivativo.

O valor de T deve ser suficientemente pequeno para que aaproximacao digital seja adequadamente precisa.


Existem diversas regras de integracao numerica que podem serutilizadas para aproximar digitalmente o controlador integral.

Os tres metodos basicos de aproximacao numerica da area sobuma funcao sao:

Integracao trapezoidal

Integracao retangular direta

Integracao retangular reversa


Integracao trapezoidal:

A regra de integracao trapezoidal aproxima a area sob a curva dafuncao f (t) por uma serie de trapezios. Seja a integral de f (t)calculada em t = kT designada como u(kT ):

u(kT ) = u[(k 1)T ] + T2[f (kT ) f ((k 1)T )]

Aplicando a Transformada Z a ambos os lados da equacao:

GI (z) = KiT (z + 1)2(z 1)

onde Ki e a constante de proporcionalidade do controlador integral.


Integracao retangular direta:

A regra de integracao retangular direta aproxima a area sob acurva da funcao f (t) por uma serie de retangulos. Seja a integralde f (t) calculada em t = kT designada como u(kT ):

u(kT ) = u[(k 1)T ] +T f (kT )Aplicando a Transformada Z a ambos os lados da equacao:

GI (z) = KiTzz 1



Integracao retangular reversa:

A regra de integracao retangular reversa aproxima a area sob acurva da funcao f (t) por uma serie de retangulos. Seja a integralde f (t) calculada em t = kT designada como u(kT ):

u(kT ) = u[(k 1)T ] +T f ((k 1)T )Aplicando a Transformada Z a ambos os lados da equacao:

GI (z) = KiTz 1



Combinando-se as operacoes proporcional, derivativa e integraldescritas anteriormente, o controlador PID digital e modeladopelas seguintes funcoes de transferencia:


Gc(z) = (Kp + TKi2 + KdT ) z2 + (TKi2 Kp 2KdT ) z + KdTz(z 1)


Gc(z) = (Kp + KdT +TKi) z2 (Kp + 2KdT ) z + KdTz(z 1)



Gc(z) = (Kp + KdT ) z2 + (TKi Kp 2KdT ) z + KdTz(z 1)

Quando Ki = 0, a funcao de transferencia do controlador PDdigital e:

Gc(z) = (Kp + KdT ) z KdTz

Uma vez determinada a funcao de transferencia de um controladordigital, o controlador pode ser implementado por meio de umprocessador ou computador digital.


Exemplo:

Projete um controlador PID digital para o sistema de realimentacaonegativa unitaria cuja funcao de transferencia de ramo direto e:

G(s) = 1(s + 1)3Considere T = 0,1 segundo.


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Step Response

Time (seconds)

Ampl

itude


Primeiro metodo:



0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2


Exemplo:

Projete um controlador PID digital para o sistema de realimentacaonegativa unitaria cuja funcao de transferencia de ramo direto e:

G(s) = 1s(s + 1)(s + 5)

Considere T = 0,1 segundo.


Segundo metodo:



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

IntroduoAes de controleControle proporcionalControle proporcional-derivativoControle proporcional-integral

Regras de sintonia de Ziegler-Nichols para controladores PIDMtodos de sntese diretaModificaes do controlador PIDControladores PID digitais

Controle PID

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