Apostila Cdi 1 Integrais Cap4 Donizetti 23maio2012

8/16/2019 Apostila Cdi 1 Integrais Cap4 Donizetti 23maio2012

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁPR


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PRINCIPAIS FÓRMULAS E PROPRIEDADES DAS DERIVADAS

Nesta tabela, f , g, u e v são funções deriváveis de x, e k , a e n são constantes1) [ k ] ’ = 02) [ ] ’ = 1!) [ k " f ] ’ = k " f ’

#) [ f ± $] ’ = f ’ ± $ ’ %sendo válida &ara 'ais de duas funções)() [ f " $] ’ = f ’ " $ f " $ ’*) [ n ] ’ = n " n +1

) [ u n ] ’ = n " u n - 1 " u ’

.)2

/

$

/$f +$/f

⋅⋅=

g

f

) [ a u ] ’ = a u " ln a " u / %&ara a 0 e a ≠ 1)10) [ e u ] ’ = u / " eu

11) [ ualo$ ] ’ = alnu/

⋅

u %&ara a 0 e a ≠ 1e u 0)

12) [ u ln ] ’ =u

/u %&ara u 0)

1!) [ vu ] ’ = /vulnu /uuv v1+v ⋅⋅+⋅⋅ %&ara u 0)

1#) [ sen u ] ’ = u ’ " cos u1() [ cos u ] ’ = + u ’ " sen u1*) [ t$ u ] ’ = u ’ " sec2 u1) [ cot$ u ] ’ = + u ’ " cossec2 u1.) [ sec u ] ’ = u ’ " sec u " t$ u1) [ cossec u ] ’ = + u ’ " cossec u " cot$ u

20) [ arc sen u ] ’ =u/

1 + u2

21) [ arc t$ u ] ’ =2u1

/u

22) [ arc cos u ] ’ =2

u+1

/u−

2!) [ arc cot$ u ] ’ =2u1

/u−

2#) [ arc sec u ] ’ =1+uu

/2⋅

u

2() [ arc cossec u ] ’ = 1+uu

/

2⋅− u


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PRINCIPAIS REGRAS DE DERIVAÇÃO%Neste uadro, u e v são funções deriváveis de x " 3or outro lado, k , a, m e n são constantes")

FUNÇÃO DERIVADA1" k y = co' ℜ∈k 0/= y2" x y = 1/= y!" uk y ⋅= co' ℜ∈k // uk y ⋅=#" vu y ±= /// vu y ±=

(" muuuu y ±±±±= """!21 co'4 N m∈

/"""//// !21 muuuu y ±±±±=

*" nu y = co' ℜ∈n // 1 uun y n ⋅⋅= −

" vu y ⋅= /// vuvu y ⋅+⋅=." muuuu y ⋅⋅⋅⋅= """!21 co' 4 N m∈ """"""/"""// 1!21!21 mm uuuuuuuuuu y ⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=

"v

u5 = )0% ≠v 2

///

v

vuvu y

⋅−⋅=

10" ua y = co' )10% ≠> aea aau y u ln// ⋅⋅=

11" ue y = ueu y ⋅= //

12"u

alo$5 = co' )0,10% >≠> uaea alnu/ /

⋅= u y

1!" u y ln= co' 0)%u >

u

/u /5 =

1#" vu y = co' 0)%u > ulnvu/ v /u1+vuv/ ⋅⋅+⋅⋅= y 1(" u sen y = uu y cos// ⋅=1*" u y cos= u senu y ⋅−= //1" utg y = uu y 2sec// ⋅=1." u g y cot= uu y 2seccos// ⋅−=1" u y sec= utg uu y ⋅⋅= sec//

20" u y seccos

= u g uu y cotseccos// ⋅⋅−=

21" u senarc y =

u+1

//

2

u y =

22" uarc y cos=

u+1

//

2

u y −=

2!" utg arc y = 2

u1

// u

y =

• Defini!" #e De$iva#a ge$a%& x

x f x x f

x

y

dx

df

dx

dy x f y

x x ∆−∆+=

∆∆====

→∆→∆

)%)%li'li')%//

00

• Defini!" #e De$iva#a em um '"n(" '& & ) &%f )%f li'%&)/f & −−= →

• Ve%")i#a#e In*(an(+nea6 )%/li'0

t sdt

ds

t

sv

t i ==∆

∆=→∆

• A)e%e$a!" In*(an(+nea6 )%//%t)/li'0

t svdt

dv

t

va

t i ===∆

∆=

→∆

• E,ua!" #a $e(a (angen(e6 )%)%/)% p x p f p f y −⋅=− N"$ma%6 )%)%/

1)% p x

p f p f y −⋅−=−

• Reg$a #a Ca#eia6

dx

du

du

dy

dx

dy ⋅=

• De$iva#a #a fun!"

inve$*a6dx

dy

dy

dx÷= 1


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FÓRMULAS E PROPRIEDADES DE IN-EGRAIS

1) ∫ ∫ ⋅=⋅ d)%k d)% x f x f k 2) ∫ ∫ ∫ ±=± d)%d)%d)]%)%[ x g x f x g x f %sendo válida &ara 'ais de duas funções)

!) k n

n x x +

+

+=∫ 1

1

dn %&ara 1−≠n )

#) k x

x 77lnd1d1+ +==∫ ∫ %&ara 0≠ x )

()

=+

≠++

+

=∫ +1nse ,77ln

+1nse,1

1

dn

k

k n

n x

x %resu'indo as f8r'ulas %!) e %#))

*) k x +=∫ d %caso &articular da f8r'ula %!))

) k u

u 7u7lndu

/ +=

∫ %etensão da f8r'ula %#)

∫ += k udu

u

ln1

)

.) k ee x +=∫ d ou k edue uu +=∫ ) k

ee +=∫ α

α α

"" d %conseu9ncia da f8r'ula %.))

10) k a

a +=∫ alnd

% caso $eral da f8r'ula %.))

11) k ee u +=⋅∫ duu/u %etensão da f8r'ula %.))12) k u +=∫ cos+duusen

1!) k u +=∫ senduucos

1#) k 7ucos7ln+duut$ +=∫ 1() k 7usen7lnducot$ +=∫ 1*) k ut$duusec2 +=∫ 1) k ucot$+duucossec2 +=∫ 1.) k u secdut$usec +=⋅∫ 1) k ucossec+duucot$ucossec +=⋅∫ 20) k

u ut$arcdu

1

12

+=+∫

21) k au

a

u t$arc

1du

a

1

22

+=+∫

%etensão da f8r'ula %20))

22) k u

usenarcdu1

1

2+=

−∫

2!) k u

a

usenarcdu

a

1

22+=

−∫ %etensão da f8r'ula %22))

2#) k a xdxa x

+−=−∫ 77ln1

2() ∫ ++= k utg uduu 7sec7lnsec 2*) ∫ dusec! u = [ ] k utg uutg u +++⋅ 7sec7lnsec

2

1

2) :8r'ulas de recorr9ncia6 ;uidori


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PRINCIPAIS FÓRMULAS E PROPRIEDADES DAS IN-EGRAIS

1) ∫ ∫ ⋅=⋅ du)%du)% u f k u f k 2) ∫ ∫ ∫ ±=± du)%du)%du)]%)%[ u g u f u g u f %sendo válida &ara 'ais de duas funções)

!) k n

nuu +

+

+=∫ 1

1du

n %&ara 1−≠n )

#) k uu 7u7lndu1du1+ +==∫ ∫ %&ara 0≠u )

()

=+

≠++

+

=∫ +1nse ,7u7ln

+1nse,1

1

dun

k

k n

nu

u %resu'indo as f8r'ulas %!) e %#))

*) k edue uu +=∫

) k a

a +=

∫ alndu

uu

.) k u +=∫ cos+duusen

) k u +=∫ senduucos

10) k 7ucos7ln+duut$ +=∫ 11) k 7usen7lnducot$ +=∫ 12) k ut$duusec2 +=∫ 1!) k ucot$+duucossec2 +=∫ 1#) k u secdut$usec +=⋅∫ 1() k ucossec+duucot$ucossec +=⋅

∫ 1*) k

u ut$arcdu

1

12

+=+∫ e k u a

u t$arc

a

1du

a

122

+

=

+∫

1) k u

usenarcdu1

1

2+=

−∫ e k

u

a

usenarcdu

a

1

22+

=

−∫

1.) ∫ ++= k utg uduu 7sec7lnsec e ∫ +++⋅= k utg uutg uduu ]7sec7ln[sec21

sec!

1) ∫ ∫ ⋅⋅=⋅ duv+vudvu %inte$ração &or &artes)

20) k a xdxa x

+−=−∫ 77ln1

• A%guma* a'%i)a.e* #a* in(eg$ai*6

+=+=⇒

⋅=⋅=⇒

==⇒

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

d5)]%/[1oud)]%/[1=rcodeo>o'&ri'ent

d5)]%[?oud)]%[??olu'e

d5)%oud)%@rea

22

22

d

c

b

a

d

c

b

a

d

c

b

a

y f C x f C

y f x f

y f A x f A

π π

• 1cos22

=+ θ θ sen θ θ 2cos21

2

1

cos

2

+= θ θ 22

sec1 =+ tg


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DEFINIÇ/ES E FORMUL0RIO DE REVISÃO

• Defini!" #e De$iva#a ge$a%& x

x f x x f

x

y

dx

df

dx

dy x f y

x x ∆−∆+=

∆∆====

→∆→∆

)%)%li'li')%//

00

• Defini!" #e De$iva#a em um '"n(" '& &

) &%f )%f li'%&)/f

& −

−=

→

1) E,ua!" #a Re(a -angen(e& &)+%%&)/)% ⋅=− f p f y

• E,ua!" #a Re(a N"$ma%& )%)%&/

1)% p x

f p f y −⋅−=−

• Ve%")i#a#e In*(an(+nea6 )%/li'0

t sdt

ds

t

sv

t i ==∆

∆=→∆

• A)e%e$a!" In*(an(+nea6 )%//%t)/li'0 t svdt dvt va t i ===∆∆= →∆

• Va$ia!" #a Fun!"6

⇒

0%)/f edecrescent:unção

0%)/f constante:unção

0%)/f crescente:unção

• C"n)avi#a#e #a Fun!"6

⇒ 0%)//f baio &ara?oltada

0%)//f ci'a &ara?oltada

• P"n(" #e m1xim" %")a%6 0)%//0)%/ = x f e x f

• P"n(" #e inf%ex!"6 0)%///0)%// ≠= x f e x f

• Reg$a #a Ca#eia6( ) ( )

⋅=

⋅=

dx

du

du

dy

dx

dy x g x g f x g f )%/)%/]/)%[

• Reg$a #e L34"*'i(a%6)%/

)%/li'

)%

)%li'

0

0

x g

x f

x g

x f

p x

ou

p x →

∞∞

→=

• De$iva#a #a fun!" inve$*a6 dydx

dx

dy 1=


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• De$iva!" Im'%2)i(a6

dy

dF dx

dF

dx

dy y x F

−=⇒= 0),%

• P$imi(iva* "u An(i#e$iva#a*6 ∫ ∈∀=⇔+= )% f%)%)/:k :%)d)% f Dom x x f

• -e"$ema Fun#amen(a% #" C1%)u%" 5-FC66 )%)%)]%[)% a F b F x F dx x f bab

a−==∫ onde

b xa x f x F ≤≤= ),%)%/

inte$ral definida si$nifica, $eo'etrica'ente, a 'edida da área da su&erfAcie li'itada &elo $ráfico da

curva, &elo eio dos e &elas retas = a e = b" ∫ = b

adx x f )%@rea

• In(eg$ai* a'%i)a.e*6

=

⋅==

==

==

∫

∫

∫

Ferraudoe RighettoVer

x f

t vd

x f A

b

a

b

a

b

a

BevoluçãodeCu&erfAcieda@rea

d)]%[??olu'e

dt)%DistEncia

d)%@rea

2π

• A'%i)a!" F2*i)a6

==

==

∫

∫ )%/)% &ois,dt)%)%

)%/)% &ois,dt)%)%

t vt at at v

t st vt vt s

N"(a6 s constantes serão deter'inadas &elas condições iniciais"

• In(eg$ai* '"$ 'a$(e*6

⋅⋅=⋅

⋅⋅=⋅

∫ ∫

∫ ∫

duv+vudvu

ou

d$%)%)/f + $%)f%) d%)/$f%)

• In(eg$a!" '"$ f$a.e* 'a$)iai*6 CeFa ∫ −⋅− dx x x x P

)%)%

)%

β α , co' β α ≠ e 3%) u' &olinG'io"

Hntão6

1) Ce o $rau de 3 for estrita'ente 'enor ue o $rau do deno'inador %$rau de 3 I 2), então6

)%)%)%)%

)%

β α β α −+

−=

−⋅− x B

x

A

x x

x P

e, assi',

∫ −⋅− dx x x x P

)%)%

)%

β α = k x B x A 77ln77ln +−⋅+−⋅ β α

Re*umin#"6 >o' ℜ∈≠ nm,,,, β α β α , te'os6


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k x B x Adx x

Bdx

x

Adx

x x

nmx+−⋅+−⋅=

−+

−=

−⋅−+

∫ ∫ ∫ 77ln77ln)%)% β α β α β α

2) Ce o $rau de 3 for 'aior ou i$ual ao do deno'inador, &recisa'os antes fa


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• FUNÇÃO UADR0-ICA 5"u '"%in"mia% #" B" g$au6 a xB x )H )"m a≠

1)2

6te'os,# b doconsiderane0 22

a

bcac xb xa$e

⋅∆±−=⋅⋅−=∆=+⋅+⋅

2)

6 te'os0

21

21

2

−=+

=⋅

=+⋅+⋅

a

ba

c

c xb xa$e

!) )%)% 212 x x x xac xb xa −⋅−⋅=+⋅+⋅

#) ?Krtice da &arábola6 ?%v, 5v), onde6 2

2 21?

+=⋅

−=a

be

a⋅∆−=

#5?

() Deco'&osição de &olinG'ios6 )%""")%)%)%)% !21 nn r xr xr xr xa x P −⋅⋅−⋅−⋅−⋅=

*) :atorações es&eciais6 )"""%)% 122!21 −−−−− +⋅++⋅+⋅+⋅−=− nnnnnnn aa xa xa x xa xa x

• MÓDULO OU VALOR AJSOLU-O&


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♦ E*fe$a&

=

=

!

2

!

#

#

r Vo%ume

r &rea

π

π

• FUNÇÃO EKPONENCIAL& (a#aa y x ≠>= e,

• P$"'$ie#a#e* #a* '"(?n)ia*6

1) n ter'os

""" ⋅⋅⋅= x xn 2) nmnm x x x ⋅=+ !)n

mnm

x

x x =−

#) 1nn

x x =− () nmm x x ⋅=)% n *) n

mn m x x =

) )0%10 ≠= aa

• FUNÇÃO LOGAR>-MICA&

≅

+==

>≠>=

+∞→""2,1.2.1."

11li'e 6onde ,lo$ln

,lo$

x

x

x

e

x

a

x

# xe(ae#a y

• P$"'$ie#a#e* %"ga$2(mi)a*6

1) ( ) ( ) ( )Rlo$=lo$R=lo$ aaa +=⋅ 2) ( ) ( )Rlo$=lo$R

=lo$ aaa −=

2) ( ) ( ) lo$nlo$ n aa ⋅= #) base)de'udançaco'o%conLecida Rlo$=lo$

lo$a

a= A B

() xa x

a =lo$ e &or conseu9ncia xe x =ln

• GEOME-RIA ANAL>-ICA6

1) Duas retas não verticais r e s são &aralelas se, e so'ente se os seus coeficientes an$ulares fore'i$uais, isto K6

sr mm sr =⇒PP

2) Duas retas não verticais r e s são &er&endiculares se, e so'ente se o &roduto de seus coeficientesan$ulares for i$ual a 'enos u', isto K6

1−=⋅⇒⊥ sr mm sr our

sm

m sr 1

−=⇒⊥


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• euação de u'a circunfer9ncia de centro >%c, 5c) e raio r Kdado &or6 222 )%)% r y y x x cc =−+− "

• >onsiderando a circunfer9ncia co' centro na ori$e', te'os6222 )0%)0% r y x =−+− ⇒ 222 r y x =+ "

22 xr y −=

2) Huação funda'ental da reta6 )+% &⋅=− m y y p , onde x

ytg m

∆∆== α


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-RIGONOME-RIA + Defini.e*H Re%a!" Fun#amen(a% e A%guma* C"n*e,u?n)ia*&

1)Li&

co

Li&otenusa

o&osto cateto==θ sen 2)

Li&

ca

Li&otenusa

adFacente catetocos ==θ

!)ca

co

adFacente cateto

o&osto cateto==θ tg ou

θ

θ θ

cos

sentg = #)

θ

θ θ sen

g cos

cot = ouθ

θ tg

g 1

cot =

()θ

θ cos

1sec = *)

θ θ sen

1 cossec =

) 1 cos22 =+ θ θ sen .) θ θ 22 s t$1 ec=+

) θ θ 22 secct$1 osco =+

10) S"ma #e a$)"*&

⋅+⋅=−⋅−⋅=+ ⋅−⋅=−

⋅+⋅=+

bsenasen bcosacos)%cos

bsenasen bcosacos)%cosacos bsen bcosa)%

acos bsen bcosa)%

ba

ba senba sen

senba sen

11) A$)"* #u'%"*&

⋅⋅=

−=

θ θ θ

θ θ θ

cossen2 2

cos 2cos 22

sen

sen

12) Re%a!" fun#amen(a% ($ig"n"m($i)a e )"n*e,u?n)ia*&

=−=−

⇒=+

θ θ θ θ

θ θ

2222

22

cos1cos1

1cos

sene sen

sen

1!) C"n*e,u?n)ia #a $e%a!" fun#amen(a% ($ig"n"m($i)a e a$)"* #u'%"*6

−=

+=

θ θ

θ θ

2cos21

21

2cos2

1

2

1cos

2

2

sen


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1#) -$an*f"$ma!" #e *"ma em '$"#u("6

−⋅

+⋅−=−

−

⋅

+

⋅=+

+⋅

−⋅=−

−⋅

+⋅=+

222coscos

2cos2cos2coscos

2

cos2

2

2

cos2

2

) p sen

) p sen) p

) p) p

) p

) p) p sen) sen p sen

) p) p sen) sen p sen

1() Lei #"* Sen"* e Lei #" C"**en"*6

⋅⋅⋅−+=

==

Acbcba

C sen

c

B sen

b

A sen

a

Scos2

SS

222


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PRIMI-IVAS


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NO-AÇÃO DE IN-EGRAÇÃO

>ostu'a+se escrever6 k x F dx x f +=∫ )%)% &ara e&ri'ir o fato de toda &ri'itiva de f%) ser da for'a:%) k"

3or ee'&lo, &ara e&ressar o fato de toda &ri'itiva de !2 ser da for'a ! k, escreve'os6

∫ += k xdx x!2!

sA'bolo ∫ cLa'a+se *ina% #e in(eg$a!" e indica ue uere'os encontrar a for'a 'ais $enKricada &ri'itiva da função ue o se$ue" sinal de inte$ração le'bra u' XCY alon$ado, ue re&resentaXCMY" ?ere'os, u'a relação tão i'&ortante entre derivadas e so'as, ue recebe o no'e de-e"$ema Fun#amen(a% #" C1%)u%""

Na e&ressão ∫ += k :%)d)% x f , a função f%) a ser inte$rada deno'ina+se in(eg$an#"" constante k %não es&ecificada), acrescentada a :%) a fi' de tornar 'ais $enKrica a e&ressão da

&ri'itiva, deno'ina+se )"n*(an(e #e in(eg$a!"" sA'bolo #x ue se$ue o inte$rando serve &ara indicar ue K a variável e' relação a ualefetuare'os a inte$ração"

Defini!" #a in(eg$a% in#efini#a 5"u '$imi(iva6 u(i%ian#" a n"(a!" #e in(eg$a%

∫ ∈∀=⇔+= Do'%f)f%),%)/:k:%)d)% x f

Q REGRAS DE IN-EGRAÇÃO

inte$ração K a o&eração inversa da diferenciação" Wo$o, &ode'os for'ular várias re$ras de

inte$ração &artindo das corres&ondentes %&orK' no sentido inverso) re$ras de diferenciação%derivadas)"

Q< REGRAS DA PO-8NCIA PARA IN-EGRAÇÃO

Ce$undo a re$ra de &otencia6 1−⋅=

n xnn x

dx

d , ou seFa, &ara derivar u'a função &ot9ncia, retira'os

u'a unidade do e&oente e 'ulti&lica'os o e&oente ori$inal &ela função elevada ao novo e&oente"Hnunciando esta re$ra no sentido inverso, tere'os ue, &ara inte$rar u'a função &ot9ncia, deve'osau'entar seu e&oente de u'a unidade e dividir o resultado &ela nova &ot9ncia"

Ce$ue+se u' enunciado 'ais &reciso da re$ra" 3ara 1−≠n , ∫ ++⋅+= k n xn x 1

1n

1 d

ou seFa, &ara inte$rar n x % 1−≠n ), au'enta+se o e&oente de u'a unidade, e divide+se a funçãoelevada ao novo e&oente &or este novo e&oente"

3ara co'&rovar esta re$ra, basta observar ue6 n xn xn

nn xndx

d =⋅

++=

+

+ 111

1

1

Exem'%"*6


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1) >alcule as inte$rais

a) ∫ +=++=+

k x

k x

dx x#1!

#1!! b) ∫ ∫ +=+=+

+==

+

k xk x

k x

dxdx x 2!2

!1

2

1

2

1

!

2

2

!1

2

1

c) k xk x

k x

dx x +=+=+=

∫ +

+

!

(

!

(

!

(

1!

2

1!

2

!

2

"

(

! d) ∫ ∫ ∫ +=+=+

+

===+

k xk x

k x

dxdxdx

110

1110

0

e) ∫ ∫ +=+=++−

==+−

−k xk

xk

xdx xdx

x2

2

11

2

11 2

11

2

1

2

1

re$ra da &ot9ncia vale &ara todos os valores de n, Z eceção de n = + 1 %caso e' ue1

1

+n K

indefinido)"

Q


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ou seFa, a inte$ral da so'a K a so'a de cada u'a das inte$rais"

Exem'%"61) >alcule as inte$raisa) ∫ ∫ +== k (1d(d(

b) ∫ ∫ ∫ ++=+++=+=+ k e x

k ek x

dxedx xdxe x x x x x

!!][

!

21

!22

c)k x xek

x xedx xdx

xdxedx x

xe x x x x +−+=+⋅−+=−+=

−+ ∫ ∫ ∫ ∫ !

!22

*

177ln2!

!2

177ln2!

2

112!

2

12!

N"(a6 &elo ee'&lo ), te'os ue ao invKs de adicionar'os u'a constante a cada u'a das ! &ri'itivas, basta adicionar a&enas u'a constante k ao final do resultado encontrado"

Q IN-EGRAIS DE PRODU-OS E UOCIEN-ES

Não eiste' re$ras $erais de inte$ração de &rodutos e uocientes" casional'ente, conse$uire'ose&ri'ir u' &roduto ou u' uociente de u'a for'a inte$ral, co' o auAlio das re$ras Fá a&resentadas"

Exem'%"*&

1) >alcule dx x

x x

(2!!

(

∫ −+

:a


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T APLICAÇ/ES

Nos ee'&los ue se se$ue' a (axa #e va$ia!" K conLecida e o obFetivo consiste e' calcular ae&ressão da &r8&ria $rande


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2) U' fabricante constata ue o custo 'ar$inal da &rodução de unidades de u'a co'&onente deco&iadora K dado &or !0 - 0,02" Ce o custo da &rodução de u'a unidade K B !(,00, deter'ine afunção custo e o custo de &rodução de 100 unidades\

S"%u!"6 CeFa > a função custo, então o custo 'ar$inal K a taa de variação de > e' relação a , isto K6

> ’ %) = !0 - 0,02Wo$o

k dx xdx xC +=⇒−= ∫ ∫ 2

0,01+!0>%) )02,0!0%)%/ &ara al$u' k"

>o' = 1 e >%1) = !(, obte'os6

!( = !0 - 0,01 k, ou k = (,01

>onseuente'ente>%) = !0 - 0,012 (,01

H' &articular, o custo da &rodução de 100 unidades K

>%100) = !"000 - 100 (,01 = B 2"0(,01

!) U' fabricante de bicicletas es&era ue daui a 'eses os consu'idores estarão aduirindo:%) = ("000 *0 x bicicletas &or '9s ao &reço de 3%) = .0 ! x u"'" %unidades 'onetárias)

&or bicicleta" ual K a receita total ue o fabricante &ode es&erar da venda das bicicletas durante os &r8i'os 1* 'eses\ Re*'"*(a6 B’ %) = :%)"3%) ⇒ B %) = """ assi', B%) = "2*".#0

S"%u!"6

B’ %) = :%)"

3%) ⇒ B’ %) = [(000 *0 x ] " [.0 ! x ]B’ %) = #00"000 1("000 x #.00 x 1.0 ⇒ B’ %) = #00"000 1".00 x 1.0

ssi',

∫ ++ dx x x )1.0.00"1000"#00% = #00"0001".00

2

!

2

!

x

2

1.0 2 xk=#00"000 1!"200 2

!

02 k

B%) = #00"000 1!"200 2!

02 %&rodução nula ⇒ k = 0)

Wo$o,

B%1*) = #00"000 × %1*) 1!"200 × %1*) 2!

0 × %1*)2 ⇒ B%1*) = *"#00"000 .##".00 2!"0#0

∴B%1*) = "2*".#0 unidades 'onetárias"


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APLICAÇ/ES DAS IN-EGRAIS INDEFINIDAS = ENGEN4ARIA DE PRODUÇÃO

da&tado de MBUHC, ^air Mendes" Ma(em1(i)a A'%i)a#a 'a$a )u$*"* #e A#mini*($a!"HE)"n"mia e Ci?n)ia* C"n(1ei*" >uritiba6 ^uruá, 2002" !22&"

:oi visto nas a&licações de derivadas ue as derivadas da função custo total e da receita totalre&resenta', res&ectiva'ente, as funções custo 'ar$inal %>M$) e receita 'ar$inal %BM$)">onLecendo+se o custo 'ar$inal e a receita 'ar$inal, atravKs da inte$ração dessas funções, &ode'os

obter o custo total e a receita total, ou seFa, :unção custo total6 ∫ = dx xC*g xC )%)%

:unção receita total6 ∫ = dx x R*g x R )%)%

>o'o a inte$ral indefinida contK' u'a constante arbitrária, no cálculo do custo total essa constante &ode ser calculada conLecendo+se o custo fio de &rodução" No caso do cálculo da receita total, co'o$eral'ente a receita total K


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!) função custo 'ar$inal de deter'inado &roduto K dada &or CMg5x6 B x ; QxB" custo fioK *0" Deter'ine6 %a) a função custo totalQ %b) a função custo 'KdioQ %c) a função custo variável"

S"%u!"6

#) 3ara deter'inado &roduto, a função receita 'ar$inal K RMg5x6 B ; x" Deter'ine6 %a) a receitatotalQ %b) a função de'anda"

S"%u!"6

() H' certa ind_stria, &ara u' nAvel de &rodução de x unidades sabe+se ue o custo 'ar$inal de &rodução de cada u'a K CMg5x6 xB ;


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-e"$ia e Exem'%"* ; A#a'(a#"* #e6 `BVV, CeiFiQ RDUNUB, scar ^oão" Ma(em1(i)aa'%i)a#a& A#mini*($a!"H E)"n"miaH C"n(ai%i#a#e" Cão 3aulo6 Caraiva, 1"

♦ An1%i*e Ma$gina%

:reuente'ente, K necessário analisar u'a variável econG'ica atravKs do co'&orta'ento de suaderivada, &rocedi'ento deno'inado análise 'ar$inal" H' seção anterior, discutiu+se uestões destanatureonsidere ue a &rodutividade K nula se' e'&re$ados

vendedores"S"%u!"6

Ce 242

0(,022

1,02)1,02%)1,02%1,02 x xk

x xdx x P dx xdP x

dx

dP −=+−=−=⇒−=⇒−= ∫ 4

&rodutividade K nula se' e'&re$ados vendedores"

Ce 200#00#00200(,020(,022020 222 =⇒=+−⇒=−−⇒−=⇒= x x x x x x x P

>o'o x re&resenta o n_'ero de e'&re$ados, a e'&resa necessita contratar 'ais ( vendedores"

S"%u!"6 Utili


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"lot(2*x-0.05*x^2,x=0..#0);

2) Ce a &rodutividade 'ar$inal de auto'8veis %n_'ero de auto'8veis &or dia) e' relação ao n_'erode e'&re$ados K dada &or #PX#x HQx, uantos e'&re$ados são necessários &ara &roduonsidere ue se' e'&re$ados não Lá &rodução" Re*'"*(a6 20 o&eráriosS"%u!"6 Utili L no &onto 8ti'o, o ue, e' $eral &ode ser facil'enteverificado"


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Cu&ondo ue o lucro 'ái'o ocorra uando a uantidade for ,m1x e tendo e' vista ue o lucro K nulose a uantidade K nula %constante de inte$ração K nula, k = 0), te'os6

∫ ∫ ∫ −=⇒−=⇒−=⇒−= m-xm-xm-x )

mmm-x

)

mm

L

mmmm dxC R LdxC RdLdxC RdLC Rdx

dL000

)%)%)%

ue re&resenta a área abaio do $ráfico referente Z receita 'ar$inal e aci'a do $ráfico do custo'ar$inal"

Exem'%"*61) Cu&onLa ue u'a e'&resa deseFe au'entar o n_'ero de seus vendedores" ssu'indo ue

&esuisas estatAsticas e' tal e'&resa revela' ue o custo 'ar$inal Cm %e' 'il reais) &arae'&re$ar vendedores adicionais e&ressa+se co'o função do n_'ero de vendedores adicionais x

se$undo o e&ressão xC m(

#.= e a receita 'ar$inal R m %e' 'il reais) &ro&iciada &or tais

vendedores &or #0#2 ++= x Rm , calcule o n_'ero de vendedores adicionais necessários a'ai'i


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_+ax:=solve(eeita_+arinal=/sto_+arinal,x); 6=),max 1( 3ro_+axi+o:=Int([eeita_+arinal-/sto_+arinal],x=0.._+ax)

=eval4(int(eeita_+arinal-/sto_+arinal,x=0.._+ax));

6= Lucro,maximo =d ⌠

⌡

0

1(

+ −2 2 + x 10

#(

1( x x !#"(02*#((

2) Ce a receita e o custo 'ar$inal e&ressa'+se co'o função da uantidade x res&ectiva'ente &or Rm ; Zx e Cm B ; Tx BxB encontre a uantidade &rodualcule a função custo total sabendo+seue o custo fio K i$ual (0" Re*'"*(a6 >%) = ! *2 !* (0

#) 3ara deter'inado &roduto, a função receita 'ar$inal K RMg5x6 Qx" Deter'ine6 %a) a receitatotalQ %b) a função de'anda" Re*'"*(a6 %a) B%) = #0 - !2 %b) & = #0 - !Q

() função custo 'ar$inal de deter'inado &roduto K dada &or CMg5x6 Zx ; xB" custo fioK .0" Deter'ine6 %a) a função custo totalQ %b) a função custo 'KdioQ %c) a função custo 'Kdiovariável" Re*'"*(a6 %a) >%) = !0 #(2 - ! .0Q %b) >M%) = !0 #( - 2 .0PQ%c) >v%) = #( - 2 .0P"


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T E,ua.e* Dife$en)iai*

U'a euação diferencial K u'a euação ue envolve u'a derivada" Besolver u'a euação diferencialsi$nifica deter'inar todas as suas soluções" H' al$uns casos, alK' da euação diferencial, &ode'osconLecer certos valores da função, cLa'ados de )"n#i.e* ini)iai*"

Exem'%"*6

1) Ce x xdx

dy!2 += , deter'ine 5" Re*'"*(a6 k x x y ++=

2

!

!

2!

2) Ce x xdx

dy!2 += e se 5 = 2 uando = 0, deter'ine 5" Re*'"*(a6 2

2

!

!

2!

++= x x

y

!) Deter'ine a função 5 = 5 %), ℜ∈ , tal ue6 2 xdx

dy =

S"%u!"6

∫ =⇔= dx x y x

dx

dy 22 k x

y +=⇒!

!

#) Deter'ine a _nica função 5 = 5 %), definida e' ℜ , tal ue6

=

=

2)0%

2

y

xdx

dy

S"%u!"6 ∫ =⇔= dx x y xdxdy 22 k

x y +=⇒

!

!

condição 5%0) = 2 si$nifica ue, &ara = 0, deve'os ter 5 = 2" Desta for'a &ode'os deter'inar o

valor de k"

ssi', de k x

y +=!

!

, te'os6 k +=!

02

!

⇒ k = 2 e 2!

!

+=∴ x

y

() Deter'ine a função 5 = 5 %), ℜ∈ , tal ue6 12

2

+= xdx

yd , 5 %0) = 1 e 5 ’%0) = 0

S"%u!"6 12

2

+= xdx

yd ⇒ 1

2

2 )1% k x

xdx x

dx

dy++=+= ∫

Mas 5 ’ %0) = 00=

= xdx

dy

, te'os 12

02

0

0 k ++= ⇒ 01 =k

Wo$o x x

dx

dy+=

2

2

De x x

dx

dy+=

2

2

⇒ 22!2

2*d

2k

x x x x

x y ++=

+= ∫

Mas 5 %0) =1 ⇒ 1 = 0 0 k 2 ⇒ k 2 = 1

12*

2!

++=∴ x x y


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APLICAÇ/ES =S EUAÇ/ES DIFERENCIAIS ORDIN0RIAS

• PROJLEMAS DE CRESCIMEN-O E DECA>MEN-O

CeFa N%t) a uantidade de substEncia %ou &o&ulação) suFeita a cresci'ento ou decaA'ento" d'itindo

uedt

dN , a taa de variação da uantidade de substEncia e' relação ao te'&o, seFa &ro&orcional Z

uantidade de substEncia &resente, então N k dt

dN ⋅= ou 0=− kN

dt

dN , onde k K a constante de

&ro&orcionalidade"

Re*"%u!" #a e,ua!" #ife$en)ia%6

t k ec

ct k ct k ec N ee N e N ct k N dt k dN N

dt k N

dN N k

dt

dN c

⋅=

⋅+⋅ ⋅=⇒⋅=⇒=⇒+⋅=⇒=⇒⋅=⇒⋅= ∫ ∫ 1

11

1ln1

Exem'%"6

1) >erto 'aterial radioativo decai a u'a taa &ro&orcional Z uantidade &resente" Ce eiste'

inicial'ente (0 'ili$ra'as de 'aterial e se, a&8s duas Loras, o 'aterial &erdeu 10 de sua 'assaori$inal, deter'ine6a) e&ressão da 'assa re'anescente e' u' instante arbitrário t"

b) 'assa de 'aterial a&8s uatro Loras"c) te'&o a&8s o ual o 'aterial &erde 'etade de sua 'assa ori$inal"S"%u!"6

a) CeFa N a uantidade de 'aterial &resente no instante t" Hntão kN dt

dN = " Hsta euação diferencial K

linear e se&arável e sua solução, confor'e a&resentada anterior'ente, K dada &or6 "% ) " k t N t c e "

H' t = 0, te'os N %0) = (0"

Desta for'a," "% ) " (0 " (0k t k t N t c e c e c

⇒ ⇒

3ortanto, "% ) (0" k t N t e "

H' t = 2, Louve &erda de 10 da 'assa ori$inal de (0 '$, ou seFa, ( '$" Wo$o, e' t = 2, N%2) = #("

Wevando estes valores na euação encontrada, te'os6

" 2"% ) (0" #( (0"k t k N t e e⇒

Besolvendo esta euação encontra'os o valor de k ≅ + 0,0(2"bservação6 3ara resolver esta euação utili


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• PROJLEMAS DE -EMPERA-URA

lei do $e*f$iamen(" de Neton, a&licável i$ual'ente ao a,ue)imen(", afir'a ue a taa devariação, no te'&o, da te'&eratura de u' cor&o K &ro&orcional Z diferença de te'&eratura entre ocor&o e o 'eio circundante" CeFa' a te'&eratura do cor&o e m a te'&eratura do 'eio circundante"

Hntão, a taa de variação da te'&eratura e' relação ao te'&o Kdt

d , e a lei de resfria'ento de

Neton &ode assi' ser for'ulada6

( ) mm k k dt

d k

dt

d =+−⋅−= ou

onde k K u'a constante &ositiva de &ro&orcionalidade"

Re*"%u!" #a e,ua!" #ife$en)ia%6

⇒+⋅−=−⇒−=−

⇒⋅−=−

⇒−⋅−= ∫ ∫ 1)%ln)%1

)%)% ct k dt k d

dt k

d k

dt

d m

mm

m

t k m

ecct k

m ec e c

⋅−=

+⋅− ⋅+=⇒=−1

1

Exem'%"*61) U'a barra de 'etal Z te'&eratura de 100g : K colocada e' u' uarto Z te'&eratura constante de

0g:" Ce a&8s 20 'inutos a te'&eratura da barra K de (0g:, deter'ine6a) te'&o necessário &ara a barra atin$ir u'a te'&eratura de 2(g:"

b) te'&eratura da barra a&8s 10 'in"S"%u!"6

Utili


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2) U' cor&o Z te'&eratura de (0g: K colocado ao ar livre onde a te'&eratura K de 100g:" Ce, a&8s ('in, a te'&eratura do cor&o K de *0g:, deter'ine6

a) te'&o necessário &ara ue o cor&o atinFa a te'&eratura de (g:" b) te'&eratura do cor&o a&8s 20 'inutos"S"%u!"&

Utili


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EKEMPLOS COMPLEMEN-ARES

1) U'a certa substEncia radioativa di'inui a u'a taa &ro&orcional Z uantidade &resente"Vnicial'ente, a uantidade de 'aterial K de .0 'ili$ra'as e a&8s duas Loras &erde+se da 'assaori$inal" Deter'ine6

a) 'assa restante a&8s 12 Loras" b) te'&o necessário &ara ue a 'assa inicial fiue redu


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2) U'a barra de 'etal Z te'&eratura de *0g> foi colocada e' u'a sala co' te'&eratura constante ei$ual a (g>" &8s 10 'inutos 'ediu+se a te'&eratura da barra acutili" 3er$unta+se6

a) ual o te'&o necessário &ara a barra cLe$ar Z te'&eratura de 10g>\ b) ual a te'&eratura da barra a&8s 22 'inutos\S"%u!"6 lei de Neton &ara a variação da te'&eratura di te'+se6 (!0(2(2*..,(!(((10 0#(1.(12,0 ≅≅⇒⋅+= ⋅− t e t 'inutos e ! se$undos) &8s 22=t 'inutos te'os6

!(,2(!#**00,2((((220#(1.(12,0

≅≅⇒⋅+= ⋅−

e g>S"%u!" u(i%ian#" a '%ani%a Ex)e% )"n*($u2#a 'a$a a $e*"%u!" #e**e (i'" #e a'%i)a!"H (em"*&

!2


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!) U' ter'G'etro K re'ovido de u'a sala, e' ue a te'&eratura K de 0 o:, e colocado do lado defora, e' ue a te'&eratura K de 10o:" &8s 0,( 'inuto, o ter'G'etro 'arcava (0 o:" ual será ate'&eratura 'arcada no ter'G'etro no instante t i$ual a 1 'inuto\ uanto te'&o levará &ara oter'G'etro 'arcar 1(o:\ Re*'"*(a6 !*,*oJ e !,0* 'inutos

#) >erta substEncia radioativa decresce a u'a taa &ro&orcional Z uantidade &resente" Ce se observaue, a&8s 1 Lora, Louve u'a redução de 10 da uantidade inicial da substEncia, deter'ine aX'eia+vidaY %ha%f.%ife) da substEncia" Suge*(!"6 >onsidere a substEncia co' 100 '$"

Re*'"*(a6 *,(. Loras

() U' ter'G'etro K re'ovido de dentro de u'a sala K colocado do lado de fora, e' ue ate'&eratura K (o>" &8s 1 'inuto, o ter'G'etro 'arcava 20o>Q a&8s ( 'inutos, 10o>" ual ate'&eratura da sala\ Re*'"*(a6 2#,#o>

!!


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*) Vs8to&o radioativo de cLu'bo, 3b+20, decresce a u'a taa &ro&orcional Z uantidade &resentee' ualuer te'&o" Cua 'eia+vida %ha%f.%ife) K de !,! Loras" Ce 1 $ra'a de cLu'bo está &resenteinicial'ente, uanto te'&o levará &ar 0 do cLu'bo desa&arecer\Re*'"*(a6 10,* Loras

) U' assado &esando ( libras, inicial'ente a (0o:, K &osto e' u' forno a !(o: Zs ( Loras da tarde"De&ois de ( 'inutos a te'&eratura J%t) do assado K de 12( o:" uando será a te'&eratura doassado de 1(0o: %'eio 'al &assado)\ Re*'"*(a6 10(,12 'inutos, ou seFa6 * Loras #( 'inutos e se$undos"

.) U'a esfera de cobre K auecida a u'a te'&eratura de 100g>" No instante t = 0 ela K i'ersa e'

á$ua ue K 'antida a u'a te'&eratura de !0g>" o fi' de ! 'inutos, a te'&eratura da esfera estáredu" Deter'inar o instante e' ue a te'&eratura se encontra redu" O* Utilierto 'aterial radioativo decai a u'a taa &ro&orcional Z uantidade &resente" Ce inicial'ente, Lá100 'ili$ra'as e se, a&8s dois anos, ( do 'aterial decaAra', deter'ine6

a) e&ressão da 'assa no instante arbitrário t" b) te'&o necessário &ara o decai'ento de 10 do 'aterial"

Re*'"*(a6t02(*,0

e"100 N)a

−

= anos 11,# ) b

≅ # a 1 ' 10 d10) U' cor&o Z te'&eratura de 0g: K colocado e' u' uarto e' ue a te'&eratura K 'antida a 100g:"

Ce, a&8s 10 'inutos a te'&eratura do cor&o K de 2(,g:, deter'ine6a) te'&o necessário &ara o cor&o atin$ir a te'&eratura de (0g:"

b) te'&eratura do cor&o a&8s 20 'inutos"Re*'"*(a6 a) 2!, 'in ≅ 2# 'in b) #!,(g: ≅ ##g:

11) U' cor&o co' te'&eratura desconLecida K colocado e' u' refri$erador co' u'a te'&eraturaconstante de 0g:" Ce a&8s 20 'inutos, a te'&eratura do cor&o K de #0g: e a&8s #0 'inutos K de 20g:, deter'ine a te'&eratura inicial" Re*'"*(a6 J0 = .0g:

12) U' cor&o Z te'&eratura de (0g: K colocado e' u' forno cuFa te'&eratura K 'antida constante e'1(0 g:" Ce, a&8s 10 'inutos, a te'&eratura do cor&o K de (g:, deter'ine o te'&o necessário &araue o cor&o atinFa a te'&eratura de 100 g:" Re*'"*(a6 t 100 = 2!, 'in"

!#


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T A'%i)a!" Ge"m($i)a

se$uir vere'os, atravKs de u' ee'&lo, co'o usar a inte$ração &ara encontrar a euação da curvacuFo coeficiente an$ular K conLecido"

Exem'%"6 Deter'ine a euação da função f%) cuFo coeficiente an$ular da reta tan$ente, e' cada , K!2 1 e cuFo $ráfico &assa &elo &onto %2, *)"

S"%u!"6 coeficiente an$ular da reta tan$ente K a derivada de f" Wo$o, f ’%) = !2 1 e f%) K a &ri'itiva,

∫ ∫ ++=+== k x xdx xdx x f x f !2 )1!%)%/)%

3ara deter'inar a constante k, considera'os o fato de ue o $ráfico de f &assa &elo &onto %2, *), ouseFa, substituA'os = 2 e f%2) = * na euação de f%) e resolve'os a euação e' k, obtendo6

* = %2)! 2 k ⇒ c = + #

ssi', a função deseFada K6f%) = ! - #

T A'%i)a.e* F2*i)a*

Cu&onLa'os u' &onto 3 e' 'ovi'ento e' u'a reta coordenada, co' velocidade v%t) e aceleraçãoa%t) no instante t" Do conceito de derivada, sabe'os ue6 v%t) = s’%t) e a%t) = v’%t) = s’’%t), onde s%t)re&resenta a função &osição no instante t"

ssi',

1)%dt)%/dt)% k t vt vt a +==∫ ∫

&ara al$u'a constante k 1"

nalo$a'ente,

2)%dt)%/dt)% k t st st v +==∫ ∫

&ara al$u'a constante k 2"

Exem'%"*61) U'a &artAcula desloca+se sobre o eio e sabe+se ue no instante t, 0≥t , a velocidade K

v%t) = 2t 1" Cabe+se, ainda, ue no instante t = 0 a &artAcula encontra+se na &osição = 1"Deter'ine a &osição = %t) da &artAcula no instante t"

S"%u!"6

Huacionando, te'os6

=

+=

1)0%

12

x

t dt

dx

De 12 += t dt

dx ⇒ = ∫ + dt)12% t ⇒ = t2 t k

Mas 1 = %0) ⇒ 1 = 02 0 k ⇒ k =11)% 2 ++=∴ t t t x

!(


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2) U'a &artAcula desloca+se sobre o eio co' velocidade v%t) = t !, 0≥t " Cabe+se ue, noinstante t = 0, a &artAcula encontra+se na &osição = 2

a) ual a &osição da &artAcula e' u' instante t\ b) ual a &osição da &artAcula e' u' instante t =2\c) Deter'ine a aceleração"S"%u!"6

a) ⇒

=

+=

dt

dxt v

t t v

)%

!)%k t

t dt t x ++=+= ∫ !2 )!%

2

>o'o %0) = 2 ⇒ 20!2

02

2

=⇒+⋅+= k k

2!2

)%2

++=∴ t t

t x

b) 1022!22

)2%2!2)%

22

=+⋅+=⇒++= xt t

t x '

c) >o'o sabe'ost

va

∆∆

= ou 'ais &recisa'ente 1)%/]![)% =⇒+=⇒= t at t adt

dva

'Ps1a%t) =∴

!) U'a &artAcula desloca+se sobre o eio co' velocidade v%t) = 2t - !, t ≥ 0" Cabe+se ue noinstante t = 0 a &artAcula encontra+se na &osição = (" Deter'ine o instante e' ue a &artAculaestará 'ais &r8i'a da ori$e'"

S"%u!"6 v%t) = 2t - !, t ≥ 0 e s%0) = (,

k t t dt t t s +−=−= ∫ !)!2%)%2

Mas, co'o s%0) = ( ⇒ s%0) = 02 - !" 0 k = ( ⇒ k = ((!)%

2 +−=∴ t t t s

3ara deter'inar o &onto 'Ani'o, basta deter'inar o vKrtice da &arábola s%t),

a

b xv

2−= ⇒

2

!

12

)!% =⋅

−−=v x ⇒ 2

!=∴ t s

u, utilio'o %0) = 0 ⇒ 002

02

0

)0% xk v

a

x =+⋅+

⋅

= ⇒ k = x#

00

2

2

1)% xt vt at x +⋅+⋅=∴

!*


37/193

N"(a6 Utilio'o a velocidade K decrescente, v ’ %t) I 0, isto K, a aceleração K ne$ativa" Wo$o,

a%t) = v ’ %t) = +,. e ∫ ∫ = dt,.+dt%t)/v , lo$o 1.,)% k t t v +−= , &ara al$u' k 1"

Cubstituindo t &or 0 e e' vista do fato de ue v%0) = !0, ve' !0 = 0 k 1 = k 1 e, conseuente'ente,v%t) = +,. t !0

>o'o s’ %t) = v %t), obte'os6

s’%t) = + ,. t !0 e ∫ ∫ +−= dt t dt t s )!0.,%)%/ , lo$o s%t) = +#, t2 !0t k 2, &ara al$u' k 2

:a


38/193

LIS-A DE EKERC>CIOS PROPOS-OS PARA A REVISÃO DOS CONCEI-OS

1) Nos &roble'as a se$uir, calcule a inte$ral indicada" >o'&rove as res&ostas obtidas, derivando+as"

a) ∫ d( Re*'"*(a6 k

*

*+

b) ∫ d1

2 Re*'"*(a6k

1

+−

c) ∫ d( Re*'"*(a6 k ( +

d) ∫ +− dt)2t(t!% 2 Re*'"*(a6 k t t t k t t t ++−=++− 2!

(22

!

(2 !!! 2!

e) ∫

+− d5

5

1

5

25!

! Re*'"*(a6 k yn y yk yn

y y +++=+++ 112112

2

!

22

!

f) ∫

+ d

2

e

Re*'"*(a6 k xe

k xe x x

++=++ ((

2

2(

2

22

(

$) ∫

++− du

2

ue

u2

!

u!

1 22 Re*'"*(a6

k u

ueu

unk u

ueu

un ++++=++++!2

! 1

!

1

!2

! 1

!

1 !22 2!

L) d

122

2

∫ ++

Re*'"*(a6 k x xn x +−+

1

1

2

i) ∫

−⋅− dx x

x x (1

)2%2! Re*'"*(a6 k

!

11

#

( 2!# +−+−

F) ∫ −⋅ dt t t )1%2 Re*'"*(a6 k t t k t t +−=+− !

!2

2

!2

2

2!

2

2) Deter'ine a solução $eral da euação diferencial dada6

a) *(! 2 −+= x xdx

dy Re*'"*(a6 k x x x +−+ *

2

( 2!

a) t et dt

dP += Re*'"*(a6 k et t ++!

!

2

!) Besolva a euação diferencial suFeita Zs condições iniciais6a) f ’ %) = 122 - * 1 e f%2) = ( Re*'"*(a6 #! - !2 + 1

b) 21

# xdx

dy= e 5 = 21 se = # Re*'"*(a6

!

1

!

.2

!

− x

c) f ’’ %) = # - 1 e f ’ %2) = + 2Q f%1) = ! Re*'"*(a6*

*(.

2!

22

! +−− x x

x

!.


39/193

#) Hsboce o $ráfico da função 5 = 5%), ℜ∈ , sabendo ue6

a) 05%0) e 12 =−= xdx

dyRe*'"*(a6 5 = 2 -

"lot(x^2-x,x=-10..10);

b) 0%0)5/ e 1)0%,2cos#2

2

==−= y xdx

yd Re*'"*(a6 5 = cos 2

"lot(os(2*x),x=0..Pi);

c) 1%0)5/ e 05%0),2

2

−=== − xedx

yd Re*'"*(a6 5 = e+ - 1

3i+it(ex"(-x)-1,x=-in4init6)=li+it(ex"(-x)-1,x=-in4init6); =li' → x % )−∞

−e % )− x 1 ∞

3i+it(ex"(-x)-1,x=in4init6)=li+it(ex"(-x)-1,x=in4init6); =li' → x ∞

−e% )− x

1 +1

"lot(ex"(-x)-1,x=-10..10,6=-10..10);

!


40/193

() Hsti'a+se ue daui a t 'eses a &o&ulação de u'a cidade estará variando a u'a taa de # (t2P!

&essoas &or '9s" Ce a &o&ulação atual K de 10"000, ual será a &o&ulação daui a . 'eses\Re*'"*(a6 10"12. &essoas

*) Deter'ine a função cuFa reta tan$ente te' u'a inclinação de #1 &ara cada valor de e cuFo$ráfico contK' o &onto %1, 2)" Re*'"*(a6 f%) = 22 - 1

) Deter'ine a função cuFa reta tan$ente te' u'a inclinação de !2 * + 2 &ara cada valor de ecuFo $ráfico contK' o &onto %0, *)" Re*'"*(a6 f%) = ! !2 + 2 *

.) Deter'ine a função cuFa reta tan$ente te' u'a inclinação de 2

2

2! +− &ara cada valor de e

cuFo $ráfico contK' o &onto %1, !)" Re*'"*(a6#

(2

2

#

)%f

#

−++=

) U' fabricante de blusas de es&orte deter'ina ue o custo 'ar$inal de fabricação de unidades Kdado &or 20 - 0,01( " Ce o custo de fabricação de u'a unidade K de B 2(,00, deter'ine a funçãocusto total e o custo de &rodução de (0 unidades"

Re*'"*(a6 >%) = 20 - 0,00(2(,00( e >%(0) ≅ B .*,2*

10) Ce a função custo 'ar$inal de u' &roduto K dada &or!

1

2

x e se o custo de &rodução de . unidades

K de B 20,00, deter'ine a função custo e o custo de &rodução de *# unidades

Re*'"*(a6 >%) = .! !2

+ x e >%*#) ≅ B (*,00

11) U' obFeto se 'ove de tal for'a ue sua velocidade a&8s t 'inutos K ?%t) = 1 #t !t2 'etros &or 'inuto" ue distEncia o obFeto &ercorre durante o terceiro 'inuto\

Re*'"*(a6 C%t) = t 2t

2

t

!

k = C%!) - C%2) = #. - 1. = !0 'etros12) U' obFeto se 'ove de tal for'a ue sua velocidade a&8s t 'inutos K ?%t) = ! 2t *t2 'etros &or

'inuto" ue distEncia o obFeto &ercorre durante o se$undo 'inuto\Re*'"*(a6 C%t) = !t t2 2t! = C%2) - C%1) = 2* - * = 20 'etros

1!) Ce u' &onto se 'ove e' u'a reta coordenada co' a aceleração a%t) e as condições iniciais dadas,deter'ine s%t)6

a) a%t) = 2 - *tQ v%0) = + (Q s%0) = # Re*'"*(a"6 s%t) = t2 - t! - (t #

b) a%t) = !t2Q v%0) = 20Q s%0) = ( Re*'"*(a"6 s%t) =#

#t 20t (

1#) U'a &artAcula desloca+se sobre o eio 0 co' velocidade v%t) = 2t (, t 0" Cabe+se ue, noinstante t = 0, a &artAcula encontra+se na &osição = *"

a) ual a &osição da &artAcula no instante t\ Re*'"*(a6 *(2 ++= t t x b) Deter'ine a &osição da &artAcula no instante t = 2" Re*'"*(a6 %2) = 20c) Deter'ine a aceleração" Re*'"*(a6 a%t) = 2

1() U' &roFKtil K lançado vertical'ente &ara ci'a co' u'a velocidade de (00 'Ps" Des&re


41/193

1) Deia+se cair u' obFeto da altura de !00 '" Des&re


42/193

#2

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

PR


43/193

PROCEDIMEN-O DE IN-EGRAÇÃO ; IN-EGRAÇÃO POR SUJS-I-UIÇÃO SIMPLES

l$u'as inte$rais não t9' soluções i'ediatas, &orK', atravKs de u'a 'udança de variável adeuada,'uitas dessas inte$rais &ode' ser calculadas co' uso das re$ras conLecidas" >onsidere a inte$ral

obFetivo desta tKcnica K transfor'ar o inte$rando, ue K u'a função co'&osta, e' u'a funçãosi'&les" Hntretanto, a tKcnica s8 funciona se no inte$rando a&arece u'a função % u) e sua derivada%c"u3), onde c ∈ ℜ4"

Pa**" alcule a inte$ral resultante e então substitua u &or sua e&ressão e' ter'os de x na res&osta"

N"(a6 Ce o inte$rando K u' &roduto ou uociente de dois ter'os e u' ter'o K '_lti&lo da derivada deu'a e&ressão ue a&arece no outro, então esta e&ressão K &rovavel'ente u'a boa escolLa

&ara u"

Exem'%"*61) >alcule6 ∫ + dx x

()1%

S"%u!"6

:a


44/193

12) k dx x

++==+∫ !

72!7ln"""

2!

1

1!) k xdx x

x++−+==

+∫ 717ln1"""1 %dica6 u = 1 x ⇒ u - 1 = e du = dx)

1#) k x

dx x

+++⋅==++

+∫ 2

!.2!"""

!.2

*! 2

2

1() k edxe x

x +==∫ """

1*) k e

dxe x x

x +==+

+∫ #""""2

2!

#

#

1) k x s

dx +==∫ #)#%en

"""%#)cos

1.) k x s

dx x +==∫ 2)%en

""")%cos"2

2

1) k xdx x

x+==∫ sen2"""

cos %dica6

xdx

du xu

2

1=⇒= )

20) k xdx +−==⋅∫ 20(cos"""()sen(%cos#

! %dica6 xdxdu xu (sen((cos −=⇒= )

21) k dx x

+==∫ ! )%ln

"""%ln ) !2

22) k dx x

+==∫ 2 )%ln

"""ln 2

2!) k x

dx x

+−==∫ ln1

"""ln )%

12

2#) k xdx x

+==∫ 7ln7ln"""ln "1

2() k n

dx x

++

== +∫ 1 )%ln"""%ln )

1nn

, 1Pn −≠ℜ∈∀ n


1) 3rove, utili


45/193

2) Besolva os eercAcios a se$uir utili


46/193

• [ sen ] ’ = cos • [ cos ] ’ = + sen • [ t$ ] ’ = sec2 • [ cot$ ] ’ = + cossec2 • [ sec ] ’ = sec " t$ • [ cossec ] ’ = + cossec " t$

ssi',• ∫ +−= k xdx x cossen• ∫ += k xdx x sencos• ∫ += k xtg dx x sec2

• ∫ +−= k x g dx x cotseccos 2

• ∫ +=⋅ k xdx sect$sec

• ∫ +−=⋅ k xdx x seccoscot$seccos

Exem'%"*61) Mostre, utili


47/193

N"(a #e $evi*!"6cos 2 = cos % ) = cos " cos + sen " sen = cos2 + sen2 = cos2 + %1 + cos2 ) = 2 cos2 + 1,

lo$o cos 2 = 2 cos2 + 1 ⇒ cos2 = x2cos2

1

2

1 +

() ∫ ∫ +−=+

+== k k dxcdx

#

2sen

2

#

2sen

2

+ )os+%1sen

22

*) ∫ =+ dx x x )cos%sen2 """ = k

x x +−

2

2cos %Suge*(!"6 θ θ θ cos22 ⋅⋅= sen sen )

) ∫ =+ dx x x )cos%sen2 """ = k x x +− 2cos

.) ∫ =+ dx x x )cos%sen2 """ = k x sen x ++ 2

) ∫ =dx x x

2cos

#sen""" = + cos /x k %Suge*(!"6 θ θ θ cos22 ⋅⋅= sen sen )

10) ∫ =+⋅ dx x x sen )cos1%2 """ = k x ++−

!)cos1%

!

11) dx x g x

cotcos

1∫ ⋅ = dx x g x cot

1

cos

1∫

⋅ = ( ) dxtgx x sec∫ ⋅ = sec k

N"(a #e $evi*!"6 x

xcos

1sec = Q

x x

sen

1seccos = Q

x

x xtg

cos

sen = Q xtg

x g

1 cot =

12) Mostre, utili


48/193

1) Mostre, utili


49/193

#


PR


50/193

-:CNICAS DE IN-EGRAÇÃO ; IN-EGRAÇÃO POR PAR-ES

Cu&onLa'os f e $ funções definidas e deriváveis e' u' 'es'o intervalo V" Je'os, &ela re$ra do &roduto6

[ f%)"$%)] / = f / %)"$%) f%)"$ / %)ou

f%)"$ / %) = [ f%)"$%)] / - f / %)"$%)

Cu&ondo, então, ue f / %)"$%) ad'ita &ri'itiva e' V e observando ue f%)"$%) K u'a &ri'itiva de[f%)"$%)] / , então f%)"$ / %) ta'bK' ad'itirá &ri'itiva e' V e

∫ ∫ ⋅⋅=⋅ d)%)%/+$%)f%)d)%/)% x g x f x g x f %


51/193

Re*'"*(a6 fa


52/193

EKEMPLOS DE IN-EGRAIS -RIGONOM:-RICAS

1) >alcule dx x∫ 2sec "

S"%u!"6k xtg dx x +=∫

2sec

S"%u!"6 Utilialcule dx x∫ 2seccos "

S"%u!"6k x g dx x +−=∫ cotseccos 2

S"%u!"6 Utili


53/193

() >alcule dx x∫ sec "S"%u!"6 Multi&licando e dividindo o inte$rando &or ,sec xtg x+ te'os6

dx xtg x xtg x x

dx xtg x xtg x

xdx x ∫ ∫ ∫ +⋅+

=++

⋅=sec

secsec

sec

secsecsec

2

>onsiderando a substituição6 dx x xtg xdu xtg xu )sec%secsec2

+⋅=⇒+=

ssi',

∫ ∫ ++=+== k xtg xk uduudx x 7sec7ln77ln1

sec

S"%u!"6 Utilionsiderando a substituição6 dx x x g xdu x g xu )seccoscotseccos%cotseccos 2−⋅−=⇒+=

ssi',

∫ ∫ ++−=+−=−= k x g xk uduu

dx x 7cotseccos7ln77ln1

seccos

S"%u!"6 Utili


54/193


55/193


1) >alcule as inte$rais indefinidas6a) de ∫ ⋅ x Re*'"*(a6 % - 1) e k

b) de2∫ ⋅ x Re*'"*(a6 e %2 - 2 2) k

c) ∫ ⋅ dln x Re*'"*(a6 fa


56/193

IN-EGRAIS INDEFINIDAS DO -IPO& ∫ −⋅− dx x x x P

)%)%

)%

β α

3ara calcular inte$rais desse ti&o, &recisa'os do se$uinte teore'a"

-EOREMA&

CeFa' ℜ∈ n',, , e β α ≠ então eiste' constantes e R tais ue6

•)%)%))"%% β α β α −

+−

=−−

+ x

B

x

A

x x

nmx • 22 )%)%)% α α α −

+−

=−

+ x

B

x

A

x

nmx

N"(a6 de'onstração decorre da teoria sobre &olinG'ios"

%) )%

)+)"%+% )%

x R

x P β α ⇒ ( ) x R x x x0 x P +−−= ))"%)"%%)% β α , onde6 )% x R te' $rau 'enor

ue 2

ssi', &ode'os escrever6

))"%%

)%)%

))"%%

)%

β α β α −−+=

−− x x x R

x0 x x

x P

Lem$e;*e6 ∫ +=− k 7a+7lnd1

a x

P$"va6 :a


57/193

2) ∫ −−++

d!2

1!2

2

x x

x x= """ = k x x x 717ln

#

1 7!7ln

#

1 +++−+

S"%u!"6

#(

1 !2

!2 1!

2

22

+

++−

−−++

x x

x x x x ssi',

!2

#(1

!2

1!22

2

−−+

+=−−++

x x

x

x x

x x

)1%)!%

)!%)%

)1%)!%

)!%)1%

)1%)!%)1)"%!%

#(

!2

#(2 +⋅−

−++=+⋅−

−++=++−=+−

+=−−

+ x x

B A x B A

x x

x B x A

x

B

x

A

x x

x

x x

x

#

10=

#

11#

#!

(==⇒=⇒

=−

=+⇒ e B B

B A

B A

Wo$o6

∫ −− ++ d!2 1!22

x x x x = ∫ ∫ ∫ ∫ =++−+=

++−+d

)1%1

#1d

)!%1

#1dd

)1%#

1

)!%#

1

1 x x x x

= k x x 717ln#

1 7!7ln

#

1 +++−+

!) ∫ +−++

d12

12

!

x x

x x= """ = k

x x x

x

)1%

!717ln#2

2

2

+−

−−++

S"%u!"6

1#

2#2

12 2 2

12 1

2

2

2!

2!

−

−+−+

+−+−

+−++

x x

x x x x

x x x x ssi',

12

1#

)2%12

122

!

+−−

++=+−++

x x

x

x x x

x x

2222 )1%

)%

)1%

)1%

)1%)1%)1%

1#

−+−+

=−

+−=

−+

−=

−−

x

B A Ax

x

B x A

x

B

x

A

x

x !#

1

#==⇒

−=+−

=⇒ Be A

B A

A

Wo$o6

∫ ∫ ∫ ∫ −+−++=+−++

dx x

dx x

dx x x x

x x22

!

)1%

1!

1

1#)2%d

12

1 4= k x

x x x

)1%

!717ln#2

2

2

+−

−−++

4 :a


58/193

NO-A6 3ara calcular inte$rais do ti&o ∫ − dx x x P

n)%

)%

α co' 4 N n∈ , K 'ais interessante fa


59/193


1) Besolva as inte$rais do ti&o ∫ −⋅− dx x x x P

)%)%

)%

β α

EKERC>CIO RESPOS-A

a) ∫ −d

#

12

b) ∫ − d#

2

c) d1

1( 2

∫ −+

d) d!

2∫ −+

e) d

!2

2

∫ −+

f) ∫ +− d*(

2

$) ∫ −

+d

)1%

!2

L) ∫ −++

d

12

2

i) ∫ +−++

d!#

12

!

F) ∫ −− d21

2

a) k x x +

+−

22ln

#1

b) k #ln2

1 2 +−

c) k x x x +++− (2

(1ln* 2

d) k 1ln#ln! +−+−

e) k !ln2!ln2 ++−−+

f) k !ln!2ln2 +−+−−

$) k 1

#1ln +

−−−

L) k 1ln!ln +−+−

i) k !ln2

!11ln

2

!#

2

2+−+−−+

F) k 2ln!

11ln

!

1 +−++−

Suge*(!"6 Besolva ta'bK' os eercAcios #, , ., 11, 1! e 1# do ;uidori


60/193

IN-EGRAIS INDEFINIDAS DO -IPO& ∫ −⋅−⋅− dx x x x x P

)%)%)%

)%

γ β α

3ara calcular inte$rais desse ti&o, &recisa'os do se$uinte teore'a"

-EOREMA&

CeFa' ℜ∈ &n, ', ,, , γ e γ β α , e distintos entre si, então eiste' constantes , R e > taisue6

•)%)%)%)%)%)%

2

γ β α γ β α −+

−+

−=

−⋅−⋅−++

x

C

x

B

x

A

x x x

pnxmx

• 222

)%)%)%)%)% β β α β α −+

−+

−=

−⋅−++

x

C

x

B

x

A

x x

pnxmx

N"(a6 de'onstração decorre da teoria sobre &olinG'ios"

Exem'%"*6

1) ∫ −−++

d2

122!

#

x x x

x x= """ = k x x x

x 727ln

2

77ln

2

1

2

2

+−+−+

2) ∫ +−−+

d1

122! x x x

x= """= k

x x x

)1%2

!717ln

#

1717ln

#

1 +−⋅

−−++− ="""= k x x

x+

−−

+−

)1%2

!

1

1ln #

Suge*(!"6 Besolva ta'bK' os eercAcios do ;uidori


61/193

IN-EGRAIS UE RESUL-AM EM FUNÇ/ES -RIGONOM:-RICAS INVERSAS&ARCO -ANGEN-E E ARCO SENO M:-ODO DA SUJS-I-UIÇÃO SIMPLES

De acordo co' as derivadas calculadas no ca&Atulo de derivadas, te'os6

∫ +=+ k t$d11

2

arc ∫ +=−

k sen d1

1

2arc

Exem'%"*6

1) ∫ + dx x (1

2 = """ = k xtg arc +

(

(

(

(

S"%u!"6∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +=

+

=

+

=

+

=+

duu

dx x

dx x

dx x

dx x

(1

1

(

1

(1

1

(

1

(1

1

(

1

(1(

1

(

12

4

2222=

k xtg arck utg arcduu

+

=+=

+= ∫

(

(

(

(

(

(

1

1

(

(2

4

:a


62/193

= ∫ ∫ =+=+ duu11

a

1dua

u1

1

a

1222

k t$1

k ut$1

+=+a

xarc

aarc

a

4 :a


63/193

*!


PR


64/193

-:CNICAS DE IN-EGRAÇÃO ; SUJS-I-UIÇ/ES -RIGONOM:-RICAS

O[e(iv" #" )1%)u%"6 Desenvolver as ca&acidades de refleão e de cálculo necessárias &ara o estudo daen$enLaria %ou tecnolo$ia)"

s &rinci&ais tKcnicas de inte$ração são6• MKtodo da substituiçãoQ• Vnte$ração &or &artesQ

• 3or deco'&osição"• :rações &arciaisQ• Vnte$ração de funções racionaisQ• Vnte$ração de funções irracionaisQ• Cubstituição tri$ono'KtricaQ• Vnte$rais i'&r8&rios de 1" e de 2" es&KcieQ• :8r'ulas de recorr9ncias"

Cabe'os da i'&ortEncia da inte$ração, &rinci&al'ente as inte$rais definidas no cálculo da área de u'are$ião co'&reendida entre a função dada e o eio das abscissas %eio x)" Desta for'a, duas uestões

nos fao'o calcular a área de u' cArculo, a área de u'a eli&se, utili


65/193

1) >alcule6 dx x∫ −21

S"%u!"6 :a


66/193

#) A'%i)a!"6 3rove, utili


67/193

*) Ce' usar o resultado do ee'&lo 1, calcule6 dx x∫ −1

0

21

S"%u!"6 :a


68/193

.) >alcule6 dx x∫ +21

S"%u!"6

Lem$e;*e6 ∫ dusec! u = [ ] k utg uutg u +++⋅ 7sec7lnsec

2

1, fialcule6 dx xr ∫ −22

S"%u!"6:a


69/193

MUDANÇA DE VARI0VEL EM 222222 e, a xa x xa −+−

inte$ração de funções envolvendo radicais do ti&o 222222 e, a xa x xa −+− &ode si'&lificar+seforte'ente &or 'eio do uso das variáveis θ sena x ⋅= ou θ cos⋅= a x , θ tg a x ⋅= ou θ g a x cot⋅= ,

θ sec⋅= a x ou θ seccos⋅= a x , u'a ve< ue as substituições referidas transfor'a' os radicandos e'uadrados &erfeitos" Jais considerações decorre' direta'ente da identidade tri$ono'Ktricafunda'ental e conseu9ncias dessa"

1cos22 =+ θ θ sen θ θ 22 sec1 =+ tg θ θ 22 seccoscot1 =+ g

3or ee'&lo, as substituições θ sena x ⋅= , θ tg a x ⋅= e θ sec⋅= a x transfor'a' os radicais222222

e, a xa x xa −+− , res&ectiva'ente, e' θ cos⋅a , θ sec⋅a e θ tg a ⋅ "

In(eg$a!" '"$ Su*(i(ui!" -$ig"n"m($i)a ; A#a'(a#" #e6 DoLert5 ndrade

Vnte$rar K u'a tKcnica, assi' co'o derivar" Histe' 'uitas tKcnicas de inte$ração6 inte$ração &or substituição, inte$ração &or &artes, inte$ração &or frações &arciais, inte$ração &or substituiçãotri$ono'Ktrica" Jodas be' si'&les, K s8 &e$ar o Feito"

>ontinuando vere'os a inte$ração &or substituição tri$ono'Ktrica" Usada uando o inte$rando contK'u'a das se$uintes for'as 222222222 e, a xba xb xba −+−

?eFa'os al$uns ee'&los6

1) 3ara dx xba∫ − 222 faça a substituição θ senb

a x =

2) 3ara dxa xb∫ + 222 faça a substituição θ tg b

a x =

!) 3ara dxa xb∫ − 222 faça a substituição θ secb

a x =

:a


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ANEKO I ; LIS-A DE EKERC>CIOS PROPOS-OS PARA A REVISÃO DOS CONCEI-OS

1) Mostre ue6 ∫ − −#

#

21* dx x = π .

2) Mostre ue6 ∫ −#

0

21*"2 dx x = π . %inter&rete $eo'etrica'ente o resultado)

!) Mostre ue6 ∫ −!

0

2 dx x =#

π

#) Mostre ue6 ∫ −!

0

2"# dx x = π %inter&rete $eo'etrica'ente o resultado)

() Mostre ue6 ∫ −*

0

2!*"# dx x = π !* %inter&rete $eo'etrica'ente o resultado)

*) Vndiue u'a 'udança de variável ue eli'ine a rai< do inte$randoa) ∫ − dx x

2 Re*'"*(a6 θ sen x !=

b) ∫ + dx x2 Re*'"*(a6 θ tg x !=

c) ∫ − dx x 2 Re*'"*(a6 θ sec!= x

d) ∫ − dx x x22 1 Re*'"*(a6 θ sen x =

e) ∫ − dx x2

#! Re*'"*(a6 θ sen x 2!

=

S"%u!"6

−=

−=−

2

22

!

21!

!

#1!#! x x x , &ois6 se x sen

x sen =⇒= θ θ

2

!

!

2

f) ∫ − dx x2#( Re*'"*(a6 θ sen x

2

(=

$) ∫ − dx x2#1 Re*'"*(a6 θ sen x

2

1=

S"%u!"6 θ θ θ θ cos7cos7cos)%1)2%1 222 ===−=− sen x , &ois6 θ θ sen x x sen2

12 =⇒=

L) ∫ + dx x2#! Re*'"*(a6 θ tg x 2

!=

i) ∫ −− dx x2)1%1 Re*'"*(a6 θ sec1+= x S"%u!"6 θ θ sen x sen x +=⇒=− 11

F) ∫ −⋅ dx x x 1 Re*'"*(a6 ou 0,12 >+= uu x ssi' ∫ ∫ =⋅⋅+=−⋅ """2)1%12 duuuudx x x

utra for'a6 θ θ θ θ tg tg x x ==−=−⇒= 222 1sec1sec "

ssi', """sec2sec2sec1 2#22 =⋅=⋅⋅⋅=−⋅ ∫ ∫ ∫ θ θ θ θ θ θ θ θ d tg d tg tg dx x x

) Mostre ue6 k r

xr xarc

r dx xr +

−⋅+

=−∫ 2

22222

r

sen

2

.) Mostre ue6 ∫ + dx x21 = ( ) k 7 t$sec7ln t$ecs

2

1 +++

Di)a6 ∫ dusec! u = [ ] k utg uutg u +++ sec7ln"sec

2

1

0


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Refe$?n)ia*&

:WHMMVN;, D" M"Q ;NmW?HC, R" ;" C1%)u%" A& Fun.e*H Limi(eH De$iva!"H In(eg$a!", (a

ed" Cão 3aulo6 Makro Rooks, 12"

:WHMMVN;, D" M"Q ;NmW?HC, R" ;" C1%)u%" J& Fun.e* #e V1$ia* Va$i1vei*H In(eg$ai*Du'%a* e -$i'%a*" Cão 3aulo6 Makro Rooks, 1"

:WHMMVN;, D" M"Q ;NmW?HC, R" ;" C1%)u%" C& Fun.e* Ve("$iai*H In(eg$ai* Cu$vi%2nea*HIn(eg$ai* #e Su'e$f2)ie" Cão 3aulo6 Makro Rooks, 1"

;UVDBVqqV, `" W" Um Cu$*" #e C1%)u%", (a ed" ?ol" V, Cão 3aulo6 WJ> + Wivros JKcnicos e>ientAficos Hditora C" ", 2001

;UVDBVqqV, `" W" Um Cu$*" #e C1%)u%", (a ed" ?ol" VV, Cão 3aulo6 WJ> + Wivros JKcnicos e>ientAficos Hditora C" ", 2001

;UVDBVqqV, `" W" Um Cu$*" #e C1%)u%", (a ed" ?ol" VVV, Cão 3aulo6 WJ> + Wivros JKcnicos e>ientAficos Hditora C" ", 2001

;UVDBVqqV, `" W" Um Cu$*" #e C1%)u%", (

a

ed" ?ol" V?, Cão 3aulo6 WJ> + Wivros JKcnicos e>ientAficos Hditora C" ", 2001

`::MNN, W" D", C1%)u%"& Um Cu$*" M"#e$n" e *ua* A'%i)a.e* , a ed" Bio de âneiro6 WJ> +Wivros JKcnicos e >ientAficos Hditora C"", 200#"

BV;`HJJ, "Q :HBBUD, " C" C1%)u%" Dife$en)ia% e In(eg$a%" ?ol" V, Cão 3aulo6 VRH> - Vnstituto Rrasileiro de Hdições >ientAficas Wtda, Cão 3aulo, 1.2

BV;`HJJ, "Q :HBBUD, " C" C1%)u%" Dife$en)ia% e In(eg$a%" ?ol" VV, Cão 3aulo6 VRH> - Vnstituto Rrasileiro de Hdições >ientAficas Wtda, Cão 3aulo, 1.2

Ji%i"g$afia #e A'"i"&

NJN, `" C1%)u%"H um n"v" "$i"n(e Jrad" >5ro de >" 3atarra e Márcia Ja'anaLa" *" ed" 3ortole$re6 Rook'an, ?ol"V, 2000"

NJN, `" C1%)u%"H um n"v" "$i"n(e Jrad" >5ro de >" 3atarra e Márcia Ja'anaLa" *" ed" 3ortole$re6 Rook'an, ?ol"VV, 2000"

WHVJ`WD, W" O C1%)u%" )"m Ge"me($ia Ana%2(i)a ?ol" V, Cão 3aulo6 àrbra, 1.*"

WHVJ`WD, W" O C1%)u%" )"m Ge"me($ia Ana%2(i)a ?ol" VV, Cão 3aulo6 àrbra, 1.*"

MUNHN, :" C1%)u%" ?ol" VV, Bio de âneiro6 Hditora ;uanabara Dois C"", 1.2"WBCN, `" H" C1%)u%" )"m A'%i)a.e* Jrad" lfredo lves de :arias" Bio de âneiro6 WJ>, 1("

CCV, H" " C1%)u%" )"m Ge"me($ia Ana%2(i)a 2" ed" ?ol" V, Cão 3aulo6 Makro Rooks,1#"

CCV, H" " C1%)u%" )"m Ge"me($ia Ana%2(i)a 2" ed" ?ol" VV, Cão 3aulo6 Makro Rooks,1#"

CVMMNC, ;" C1%)u%" )"m Ge"me($ia Ana%2(i)a" Cão 3aulo6 Mc;ra+ìll, v" 2, 1."

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ P$"f D$ Eng Y"* D"nie((i #e Lima

1


72/193

2


PR


73/193

IN-EGRAL DEFINIDA 5da&tado de ;uidori


74/193

bserve ue, se f%ci) 0, ii xc f ∆⋅)% será então a área do retEn$ulo B i deter'inado &elas retas = i+1, = i, 5 = 0 e 5 = f%ci)"

@rea de B i = ii xc f ∆⋅)%

3or outro lado, se f%ci) I 0, a área de tal retEn$ulo será6 ii xc f ∆⋅− )%

@rea de B i = ii xc f ∆⋅− )%

Ge"me($i)amen(e, &ode'os então inter&retar a so'a de Bie'ann ∑=

∆⋅n

i

ii xc f 1

)% co'o a diferença

entre a so'a das áreas dos retEn$ulos B i ue estão aci'a do eio e a so'a das áreas dos ue estãoabaio do eio " U'a dessas situações K evidenciada na fi$ura a se$uir"

∑=

∆⋅*

1

)%i

ii xc f = *"ma #a* 1$ea* #"* $e(+ngu%"* a)ima #" eix" Ox men"* a *"ma #a* 1$ea* #"*

aaix" #" eix" Ox"

74


75/193

Exem'%"6

CeFa : u'a função definida e' [a, b] e seFa 36 a = 0 I 1 I 2 I ! I # = b u'a &artição de [a, b]" acrKsci'o :%b) - :%a) ue : sofre uando se &assa de = a &ara = b K i$ual Z so'a dos acrKsci'os:%i) - :%i+1) &ara i variando de 1 a #6

:%b) + :%a) = :%#) - :%0) = [:%#) - :%!)] [:%!) - :%2)] [:%2) - :%1)] [:%1) - :%0)]

Vsto K6

∑=

−−=−#

1

1)%)%[)%)%i

ii x F x F a F b F

De m"#" ge$a%, se 36 a = 0 I 1 I 2 I """ I n = b for u'a &artição de [a, b], então6

∑=

−−=−n

i

ii x F x F a F b F 1

1)%)%[)%)%

-e"$ema*6

-e"$ema


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Exem'%" #" - V M

1) CeFa f %) = 2 onde 20 ≤≤ x e encontre'os u' &onto %c, f %c)) ue satisfaça o J"?"M" Be&resente$eo'etrica'ente"

S"%u!"6

Je'os f %) = 2

, lo$o f ’ %) = 2

3elo J" ?" M"

x f f

202

)0%)2%=

−−

⇒ x202

0# =−− ⇒ 2 = 2 ⇒ = 1

∴ &onto K %1, 1)

-e"$ema 6

CeFa' : e f definidas e' [a , b] e tais ue6 : ’ = f e' [a, b], assi' : K u'a &ri'itiva de f e' [a, b]"CeFa a &artição 36 a = 0 I 1 I 2 I"""I n = b de [a, b], escolLendo conveniente ic e' ],[ 1 ii x x − te'+se6

∑=

∆=−n

i

ii xc f a F b F 1

)"%)%)%

P$"va6

3elo ue vi'os anterior'ente6 ∑=

−−=−n

i

ii x F x F a F b F 1

1)]%)%[)%)%

3elo J?M, eiste ic e' [i+1 , i] tal ue6 ))"%c%/)%)% 1i1 −− −=− iiii x x F x F x F

e co'o : ’ = f e' [a , b] e 1−−=∆ iii x x x resulta6

∑=

∆=−n

i

ii xc f a F b F 1

)"%)%)%

N"(a6 Ce f K contAnua e' [a , b] e se os i x∆ são suficiente'ente &euenos, &ara ualuer escolLa de c ie' [i+1, i] te'os6

)%)% ii c f c f ≅

Wo$o

∑=

∆≅−n

i

ii xc f a F b F 1

)"%)%)%

T ra


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In(eg$a% #e Riemann& Defini!"

CeFa' f u'a função definida e' [a, b] e W u' n_'ero real" Diδ ue s8 de&ende de ε 'as não da &articular escolLa dos ci, talue6

ε


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-e"$ema Fun#amen(a% #" C1%)u%" 5-FC6

Ce f for inte$rável e' [a, b] e se : for u'a &ri'itiva de f e' [a, b], então6 :%a)+:%b)d)% =∫ b

a x f "

P$"va6 Je'os &elo teore'a ! ue se 3 6 a = 0 I 1 I 2 I ! I """ I n = b K u'a &artição de [a , b],

eiste' ic e' ],[ 1 ii x x − tal ue ∑=

∆⋅=−n

i

ii xc f a F b F 1

)%)%)% "

ssi',

)%)% a F b F − = ∑=

→∆∆⋅

n

i

ii xm-x

xc f i 1

0)%li' = d)%∫

b

a x f

N"(a*6• in(eg$a% #efini#a K i$ual Z diferença entre os valores nu'Kricos da inte$ral indefinida, obtidos

&ara = a e = b, res&ectiva'ente"

• T &ossAvel &rovar ue toda função contAnua e' [a, b] K inte$rável e' [a, b]"

• Je'os então &elo J:> ue, se f K contAnua e' [a, b] e : K u'a &ri'itiva de f e' [a , b], então6

:%a)+:%b)d)% =∫ b

a x f

• T usual denotar a diferença )]%)%[ a F b F − &or ba)]%[ x F " ssi',

:%a)+:%b))]%[d)% ba ==∫ x F x f b

a

Exem'%"*6 >alcule

1) d2

1

2∫ x = """ = !

S"%u!"6!

)%

! x x F = K u'a &ri'itiva de f%) = 2 e f K contAnua e' [1 , 2]

ssi', d21

2∫ x = !

1+!

.

!

2

1

!=

x

!

2) ∫ −!

1

2 ! dx x = """ = 2. !) d#!

1∫ − = """ = 1*

#) d)1!%2

0

!∫ −+ x x = """ = . () d12

1 2∫ x = """ = 21

() ∫ #

1

2dx

x = """ = ln 1* ≅ 2, *) d

112

1 !∫

+

x x= """ =

.

!2ln. +

) d1

0∫ − xe = """ =

e

11 − .) ∫ −

2

2

os

π

π dxc = """ = 2

) d2sen.0∫ π

x = """ =#

22 − 10) ∫ −1

0

10 d)1% x = 'udança de variável = """ =11

1

11) dx x∫ −1

2

1 12 = 'udança de variável = """ =!

1

12) ∫ 1

0

! dxe x = 'udança de variável = """ =!

1! −e

1!) ∫ +1

0 2 1dx

x

x = 'udança de variável = """ =

2

2ln

1#) ∫ +2

1

2 1" dx x = 'udança de variável = """ =

!

22(( −

78


79/193


1) >alcule as se$uintes inte$rais definidas

a) ∫ 21

0 dx x Re*'"*(a6!

1

b) ∫ + dx x )(2%!1 Re*'"*(a6 1.

c) ∫ dx x!2

0 Re*'"*(a6 #

d) ∫ − dx x!0

2 Re*'"*(a6 + #e) ∫ − dx x

!2

2 Re*'"*(a6 0

f) ∫ +− dx x x )!#%2(

0 Re*'"*(a6!

20

$) ∫ − dx x)1%!1 Re*'"*(a6 + 2

L) ∫ 2(

0 dx x Re*'"*(a6!

12(

i) ∫ !

0 dx x Re*'"*(a6.

(*1"*

F) ∫ 1

0

dx Re*'"*(a6 k) ∫

! dx Re*'"*(a6 !*

l) ∫ !#

1 dx x Re*'"*(a6#

2((

') ∫ dx x2(2 Re*'"*(a6 !

n) ∫ − (!

1 dx x Re*'"*(a6!

!*#

o) ∫ − dx x(!

1* Re*'"*(a6 2.

&) ∫ + dx x )!%20 Re*'"*(a6 20

) ∫ ++ dx x x )!(%2!

0 Re*'"*(a6 2.1

r) ∫ −+− dx x x ).(%!2

1 Re*'"*(a6#

(1−

s) ∫ +− dx x x )%(2

2 Re*'"*(a6 0

t) ∫ cos20 dx xπ

Re*'"*(a6 1

u) ∫ dx x s en20π

Re*'"*(a6 1

v) ∫ dx xc os0π Re*'"*(a6 0

) ∫ en

0

dx x sπ

Re*'"*(a6 2) ∫ dxe x1

0 Re*'"*(a6 e + 1

5) ∫ − dxe x1

1 Re*'"*(a6e

e1

−


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IN-EGRAL DEFINIDA

da&tado de MBUHC, ^air Mendes" Ma(em1(i)a A'%i)a#a 'a$a )u$*"* #e A#mini*($a!"HE)"n"mia e Ci?n)ia* C"n(1ei*" >uritiba6 ^uruá, 2002" !22&"

CeFa a função f5x6 e considere'os o se$uinte &roble'a6 calcular a área A li'itada &elo $ráficodessa função, &elo eix" x e &elas retas x a e x , confor'e a :i$ura abaio" ?a'os dividir ointervalo ]aH ^ e' n subintervalos tais ue6

a x _ xonfor'e a :i$ura anterior, a so'a das áreas dos n retEn$ulos K dada &or6

∑=

∆⋅=∆⋅++∆⋅+∆⋅=n

iiinnn xc f xc f xc f xc f A

12211 )%)%""")%)%

sendo conLecida co'o *"ma #e Riemann da função f sobre o intervalo ]aH ^"

Note ue, Z 'edida ue n cresce, o valor de∆

xi decresce faálculo"

80


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IN-EGRAL DEFINIDA 5A#a'(a#" #e& RIG4E--O e FERRADAU-OH


82/193

L x f n

i

ii

n

=∆∑=∞→

→∆1)%

0)"%li'

i

α

n_'ero L di


83/193

notação dx x f b

a )%∫ foi criada &or WHVRNVq %1*#*+11*) &ara re&resentar a inte$ral de f%) e'

[a, b], o sA'bolo C se ori$ina de u' C alon$ado, &ois decorre da associação da inte$ral co' u'a so'aonde as &arcelas ii xc f ∆)"% são re&resentadas &or f%) d"

inte$ral definida sur$e de 'odo natural uando considera'os o &roble'a da deter'inação da área

de u'a re$ião do &lano 5" Calienta+se ue esta K a&enas u'a das a&licações %&ode ser utili


84/193

84


PR


85/193

A 0REA DE UMA FIGURA PLANA A#a'(a#" #e& (('&XX```)e'aifu*'$Xe;)a%)u%"X

Cabe'os calcular a área de al$u'as fi$uras &lanas co'o, &or ee'&lo, retEn$ulos, triEn$ulos, cArculose assi' &or diante" De&endendo da fi$ura, esse &roble'a está resolvido"

V'a$ine'os &orK' ue o &roble'a K o do cálculo da área do ta'&o de u'a 'esa ue te' o se$uintefor'ato6

u então, su&onLa'os ue uere'os revestir u'a &rancLa de *u$f e, &ortanto, uere'os calcular aárea da &arte su&erior &ara conLecer a uantidade de 'aterial a ser usado no revesti'ento"

Be$iões desse ti&o nos leva' a &erceber ue as ferra'entas de ue dis&o'os &ara o cálculo de áreasn!" são suficientes"

H' &ri'eiro lu$ar, va'os ea'inar fi$uras &lanas si'&les ue são obtidas a &artir do $ráfico deal$u'a função conLecida"

Exem'%"*6

1) Deter'ine a área de u' triEn$ulo, co'o o da fi$ura abaio, ue &ode ser obtido a &artir do $ráfico

de

≤


86/193

2) Deter'ine a área de u' triEn$ulo, co'o o da fi$ura abaio, ue &ode ser obtido a &artir do $ráfico

de

≤Arculo = π"22 = #π" >o'o na fi$ura te'osu' uarto de cArculo, a área K 2 = >Arculo = π"

3ortanto, a área da re$ião aci'a K 1 2 = # π unidades de 'edida de área"

.*


87/193

#) Deter'ine a área da re$ião ue se encontra entre a &arábola xB e o eio , &ara variando nointervalo [+2, 2]"

S"%u!"6 3ara calcular a área da re$ião descrita a

Apostila Cdi 1 Integrais Cap4 Donizetti 23maio2012

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