Stuart Cap4 v.leitura

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Campos Dinâmicos Objetivos de AprendizDgem IJIJo Descrever a dissipação da carga usando a equação da continuidade da corrente 111> Examinar a equação de onda usada para descrever a propagação de ondas IJIJo Definir força eletromotriz e examinar a operação de transformadores e geradores IJIJo Definir a lei de Faraday, mostrando como um campo magnético variante no tempo produz um campo elétrico 111> Definir corrente de deslocamento, mostrando como um campo elétrico variante no tempo produz um campo magnético 111> Usar as equações de Maxwell para demonstrar a propagação de ondas eletromagnéticas transversais 111> Introduzir a notação fasorial para descrever concisamente as equações de Maxwell para campos harmônicos no tempo Não assumimos até agora nenhuma variação temporal nos nossos campos elétrico e magnético. Isto foi feito para cons- truirmos uma sensação de conforto no trabalho com vetores e sistemas de coordenadas e obtermos uma primeira pince- lada nas equações de Maxwell. Agora, mudaremos nossa atenção para o caso dinâmico, onde os campos elétrico e magnético variam com o tempo. Primeiro vamos considerar como a corrente está relacionada com a den- sidade de carga e quão rapidamente podem as cargas se disper- sar num material. Então, faremos uma revisão nas proprieda- des das ondas propagantes antes de entrarmos no coração do capítulo, que são a lei de Faraday e a corrente de deslocamen- to. Finalmente, com equações de Maxwell dinâmicas, ve- remos a ligação íntima entre os campos elétrico e magnético. .... 4.1 CONTINUIDADE DA CORRENTE E TEMPO DERELAXAçAO Considere um volume de carga Q contido numa superfície fechada. O único modo de fazer com que a carga dentro do volume diminua é deixá-la fluir através da superfície. 1 Este '0 principio da const'n·açào do carga estabelece que carga nio pode ser criada nem destruída. fluxo de carga é uma corrente e esta corrente deve ser igual à taxa de decrescimento da carga contida no volume. Isto pode ser escrito como aQ I=fJ·dS=-- ar (4.1) A derivada parcial é usada uma vez que a carga Q pode ser função do tempo e da posição. Como uma corrente positi- va saindo da superfície fechada corresponde a um decrés- cimo da carga envolvida. um sinal negativo aparece na de- rivada. O teorema da divergência (visto no Capítulo 2, Seção 2.8) pode ser usado para reescrevermos o lado esquerdo de (4.1) como: §J · dS = J(V · J)dv (4.2) O lado direito de (4.1) pode ser reescrito como aQ a -a;=- ar f Pvd'' (4.3) Agora, se fixarmos a superfície fechada de modo que o vo- lume contendo a carga não varie com o tempo. podemos in- troduzir a derivada dentro da integral: - aQ =-f apv dv (4.4) ar dl Pela comparação entre (4.1 ), (4.2) e (4.4), vemos que:

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Campos Dinâmicos

Objetivos de AprendizDgem

IJIJo Descrever a dissipação da carga usando a equação da continuidade da corrente

111> Examinar a equação de onda usada para descrever a propagação de ondas

IJIJo Definir força eletromotriz e examinar a operação de transformadores e geradores

IJIJo Definir a lei de Faraday, mostrando como um campo magnético variante no tempo produz um campo elétrico

111> Definir corrente de deslocamento, mostrando como um campo elétrico variante no tempo produz um campo magnético

111> Usar as equações de Maxwell para demonstrar a propagação de ondas eletromagnéticas transversais

111> Introduzir a notação fasorial para descrever concisamente as equações de Maxwell para campos harmônicos no tempo

Não assumimos até agora nenhuma variação temporal nos nossos campos elétrico e magnético. Isto foi feito para cons­truirmos uma sensação de conforto no trabalho com vetores e sistemas de coordenadas e obtermos uma primeira pince­lada nas equações de Maxwell.

Agora, mudaremos nossa atenção para o caso dinâmico, onde os campos elétrico e magnético variam com o tempo. Primeiro vamos considerar como a corrente está relacionada com a den­sidade de carga e quão rapidamente podem as cargas se disper­sar num material. Então, faremos uma revisão nas proprieda­des das ondas propagantes antes de entrarmos no coração do capítulo, que são a lei de Faraday e a corrente de deslocamen­to. Finalmente, com a~ equações de Maxwell dinâmicas, ve­remos a ligação íntima entre os campos elétrico e magnético.

.... 4.1 CONTINUIDADE DA CORRENTE E TEMPO DERELAXAçAO

Considere um volume de carga Q contido numa superfície fechada. O único modo de fazer com que a carga dentro do volume diminua é deixá-la fluir através da superfície.1 Este

'0 principio da const'n·açào do carga estabelece que carga nio pode ser criada nem destruída.

fluxo de carga é uma corrente e esta corrente deve ser igual à taxa de decrescimento da carga contida no volume. Isto pode ser escrito como

aQ I=fJ·dS=-­ar (4.1)

A derivada parcial é usada uma vez que a carga Q pode ser função do tempo e da posição. Como uma corrente positi­va saindo da superfície fechada corresponde a um decrés­cimo da carga envolvida. um sinal negativo aparece na de­rivada.

O teorema da divergência (visto no Capítulo 2, Seção 2.8) pode ser usado para reescrevermos o lado esquerdo de (4.1) como:

§J · dS = J(V · J)dv (4.2)

O lado direito de (4.1) pode ser reescrito como

aQ a -a;=- ar f Pvd'' (4.3)

Agora, se fixarmos a superfície fechada de modo que o vo­lume contendo a carga não varie com o tempo. podemos in­troduzir a derivada dentro da integral:

- aQ =-f apv dv (4.4) ar dl

Pela comparação entre (4.1 ), (4.2) e (4.4), vemos que:

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I 02 CAPITuLO QUATRO

~ ~

(4.5)

Isto é a fonna pontual da equação da contir~uidade da corrente. Em correntes permanentes onde não existe nenhuma va­

riação na densidade de carga. a equação da continuidade nos leva à lei da corrente de Kirchhoff, a qual diz que a corrente numa junção deve somar zero.

No Capítulo 2. Seção 2.1 O, foi enfatizado que cargas li­vres ou em excesso introduzidas num condutor irão se repe­lir umas às outras fluindo para a superfície externa do condu­tor. Podemos usar a equação da continuidade para determi­nar em quanto tempo as cargas irão se dissipar.

A equação da continuidade pode ser escrita como

V· J = V· oE = - ap\. ar (4.6)

Num material homogêneo onde a não varia com a posição

V. E=-_!_ apv (J ar (4.7)

Também sabemos pela fonna pontual da lei de Gauss que

(4.8)

Combinando (4.7) e (4.8). ficamos com a equação diferencial

apv + op\' = o ar E

Usando separação de variáveis. temos a solução

I P. = p,.e-<alt)l I

(4.9)

(4.10)

onde p,. é a densidade de carga inicial em t = O. A densidade de carga decresce com o tempo e seu valor atinge 1/e do va­lor inicial no tempo de relaxação 'T, onde

Ir=; I (4.11)

Num bom condutor. as cargas estão aptas a se moverem rapidamente e o tempo de relaxação é muito pequeno. Em contraste, nos bons dielétricos, podemos levar um tempo

noras, ondas mecânicas viajando como oscilações numa cor­da, ondas numa mola esticada e. é claro, luz viajando como ondas eletromagnéticas.

Nesta seção, faremos uma revisão breve dos aspectos fun­damentais das ondas antes de empregá-las no nosso estudo de eletromagnetismo. Consideraremos aqui apenas ondas contínuas e harmônicas no tempo. representadas por funções senoidais, ao invés de ondas transiente~ (como as funções pulso e degrau).

V amos considerar um campo elétrico propagando-se na direção z. A solução geral da equação de onda. deduzida no próximo capítulo, é

I E(z, t) = E,e-m cos((l)l- ~z + 4>>a, I (4.12)

O campo elétrico desta expressão de onda é uma função da posição (z) e do tempo (1). Ele está sempre apontando no sentido mais ou menos da direção z e, por isto, a chamamos de onda polarizada da direção x. ~ A amplitude. E,.e a:. é for­mada pela amplitude inicial em z = O, E,, e um termo expo­nencial que leva em conta a atenuação à medida que a onda se propaga. A fase dentro do argumento do seno compreen­de três partes: wt, onde w é afreqüência angular (w = 2nfl, J3z, onde 13 é a constante de fase (algumas vezes chamada de número de onda) e um deslocamento de fase «f>.

Com o propósito de ilustração vamos assumir inicialmente que o deslocamento de fase cl> seja zero e olhar para o campo versus tempo quando z = O. Temos, então

E(O, t) = E;rR~ = E,cos(rot)a, (4.13)

que está desenhado na Figura 4. I. A característica de uma onda senoidal ou cossenoidal é que ela se repete a cada 2n ntdianos (ou 360°). Em outras palavras, temos que cos(wt) = 1 para wt = n2n, onde n = O, I ,2 ... O período T é o tempo gao;to num ciclo. ou wT = ( 1 )2Tr. Resolvendo. temos a seguinte relação:

considerável para dissipar a carga. w" o t---+---+----+---+---+---+----4

-ddutlellaçll4.1 Calcule o tempo de lelalraçlo para (a) cobre e (b) poliestireno. (Resposta: (a) T == 1,5 X 10-19 s, (b),. = 2.6 dias)

_.. 4.2 FUNDAMENTOS DE ONDAS

Jogue uma pedra num lago quieto e observe que oscilações viajam rapidamente a partir do ponto de impacto. Estas on­das de água viajam. ou propagam, numa velocidade particu­lar. carregando energia consigo. O meio apenas oscila para cima e para baixo. Outros tipos de onda incluem ondas so-

-Eo~--~~----~--~~----~----~--~ o 0,5 1 1.5 2 2,5 3 Tempo (perlodos)

.....,. 4.1 Gr4fico de E, Vl'rsus tempo em~ = O para a função E(ll.l) =

E,a, = E.cos(CIII)a,.

101ulas transientes são muiiO imponanu:s no estudo de circuitos digitah e como tal ela<~ serão abordada.'l quando estudarmos linhas de transmissão no C'apltulo 6. 'Polarização será discutida no Capítulo S.

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-Eo~--~~~--~--~~L---~----~~--~ o 1 1,5 2 2,5 3

Tei'J1)0 (perlodos)

Flpra U Gráfico de E, v~rsus 1empo em z = O com deslocamento de fase de -45" para a função E{O,t) = E ,a, = E,cos(wt + clll a,.

IT=~==~I (4.14)

Podemos reinserir o deslocamento de fase <!» e desenhar na Figura 4.2

E(O,t) = E,cos(rot +~)a~ (4.15)

onde escolhemos <!» = -45°. Este traço está deslocado da função original por 45°.

Vamos agora fazer<!» = O e olhar para o campo versus posição z quando o tempo t = O. Primeiro vamos assumir que a onda está num meio sem perdas (como o vácuo), de modo que não existe atenuação. Neste caso, a constante de atenua­ção a é zero e e-a:= I. Temos

E(z.O) = E,.cos(-Jk)a~ (4.16)

que está desenhado na Figura 4.3. Novamente temos um ci­clo de repetição de 21T radianos. ou cos(- ~z) = cos(j.lz) = I quando ~z = n21T. Um ciclo tem uma distância de um com­primento de onda, ou j.l~ = (I )21T. Isto é rearranjado para dar uma relação entre comprimento de onda e constante de fase,

-~~--~----~--~----~--~--~ o 0,5 1 1,5 2 2,5 3 z (comprimentos de onda)

.....,. U Gráfico de E, vl!rsus z num meio sem perdas em t = O para a função E(.:.Ol = E,cos(- ~z)a,.

CAMPOS DINAMK:OS IIJ

0,5 1,5 2 2,5 3 3,5 4 z (comprimentos de onda)

Flplra U Grifico de E, versus z em t = O. com atenuação incluida. para a função E(z.O) = E.l!-a' cos( -J!z)a,.

IP= 2; I (4.17)

Agora vamos inserir a atenuação:

E(z,O) = E,.e~ cos<-lk>a_.. (4.18)

Como desenhado na Figura 4.4, a amplitude é mostrada de­crescendo com o crescimento dez para uma constante de ate­nuação a. A unidade para a constante de atenuação é neper por metro (Np/m).

Estamos agora aptos a considerar as ondas viajantes. Va­mos novamente supor um meio sem perdas e fazer<!» = O para esta ilustração. Na Figura 4.5, desenhamos E, versus posi­ção para valores progressivos do tempo usando

E(z,t) = E .. cos( c.ot- Pz>a~ ( 4.19)

Para cada traço um ponto foi adicionado representando um ponto de fase constante na onda. Vemos que, à medida que o tempo aumenta, este ponto de fase move-se na direção + z. e, por esta razão, chamamos isto de onda viajante na direção +z. Quão rápido esta onda viaja? Considere a fase

rot- Pz =C (4.20) onde C é uma constante arbitrária representando o ponto de fase constante tal como indicado pelos pontos na Figura 4.5. Se tomarmos a derivada temporal nos dois lados desta ex­pressão, teremos

-Eoo~--_.~~~----~~~----~~~ 1 , ,5 2 2,5 3

z (comprimentos de onda)

flaura 4.5 Gréfico de E, versus z em tempos progressivos mostrando 11

onda viajsdo.

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M CAPtrulo QUATRO

d:. (1)-~-=0

dt

ue pode ser rearranjado como

I·· =~=j=À/ I

(4.21)

(4.22)

~velocidade de fase (lambém chamada 1•elocidade de pro­agaçcio) da onda é Up. Ela é uma propriedade do meio.

• EXEMPLO 4.1

uponha que tenhamos uma onda polarizada na direção x com I V e amplitude em I 00 MHz propagando-se no ar na direção :. Que­:mos escrever a equação da onda como ( 4.12) para esle caso.

É razoável assumir que o ar é um meio sem perdas (então a = ). Considerando que a freqüência é 100 MH:t, sabemos que a fre­üência angular w é 2001'1" x I O" r.tdianosls. Também. uma vez que

... MA11A14.1

a velocidade da luz c é aproximadamente 3 X I O" rnls. podemos encontrar o comprimento de onda como X = df = 3 m. Assim. podemos escrever

E(z.t) = lcos(200n x J()Í't- (27t/3):: + t>a,V/m

Para detenninar o deslocamento de fase cb. precisamos de mais in· fonnações. Se. por exemplo. soubennos que EIO.Ol = la, V/m, então saberemos que cb = 0° e nossa equação se toma

E(::.tl = lcos(200n x 106t- (27t/3)z) a,V/m

&.rddD de'"'._. 4.2 Suponba que um campo e~ ........ seja dado par

B(z.t) = ~ COI(2z X lo't -10Kt + 45 °)a.r VIm

Eacoatre (a) a ampliiUde iDiciaL (b) a COIII1allle de lfeDua­çlo. (c) a fieqOeaçia da oada e (e) o desloc:amento de fue em ndianos. (kspoltG: (a) 34 VIm. (b) 0,002 Nplm, (c) 1 GHz. (d) 0,20 m e (e) 'Jr/4 radianos)

Escreva um proarama pan representar graficameare a onda wr.nu posiçlo para um tempo fixo. Assuma que a onda escA no v6cuo.

X M-File: Ml.MI1

" X Progra.a faz o gr6ftco de u.e onda (no v6cuo) ~•rsMs postçlo para X .. tellpO f1 xo. X X Wentworth, 7/17/12 X S Vad,veis: X Eo a•pl1tude da onda CVI•> X f frequlncta CHz> X a.ega frequêncta angular (radtanosls> S t 1nstante de te~~po (s) X phi constante de fase (graus) S phir constante de fase (radianos) X c velocidade da luz no v'cuo C•ls) S l•bda c011prtMnto de onda <•> X B constante de fase (11m) ~ E 1ntenstdede de ca~o elêtrtco <VI•> X z pos1çlo

ele clear

Xlt•pa a janela de co .. ndo S11~a var16ve1s

~ lnic1altzar Var16ve1s Eo-1; f-1188; t-1; phi-8; phir-phi*pi/188; c-2.998e8; la.bda-c:/f; B·2*pi/la.bda; onaa·2*pi*f;

S Executar C6lculo z-1:4*1a.bda/111:4*1a.bda; E·Eo*cos(a.ega•t-B*z+phir);

S Gerar o 6r6f1co plot(z,E}

( COIIIÍ1IJilJÇio)

Page 5: Stuart Cap4 v.leitura

CAMPOS DINAMICOS li

•1. s(~tight')Sestabelece valores de dados 11M lllfn nos etJos erid l x1U.l('z(ll)') I y1abe1C.ECV/•)')

Teate execullr este pmpama com valores diferentes de amplitude. tempo, 6--re de fase e freqaencia.

.... IIAllMU

Dustre uma onda viajante fazendo um filme em MA 11..AB.

X M-Fi1e: Ml8482 X X Este progra•a ilustra uma onda viajante X I Wentworth, 7/17/82 I X Variáveis: X Eo a.,litude da onda <VI•> X f frequêncta (Hz) X cnega frequêncte angular ( redhnosls > S t instante de te•po (s) S phi constante de fase (graus) S phi r constante de fase (radianos> S c velocidade da luz no vicuo <mls) S 1•bda caprill8flto de onda <•> S B constante de fase (11•> X E 1ntens1dade de campo elétrico <VI•> S z pos1çio ele S11•pa a janela de co .. ndo elear S11~a var1ive1s S ln1c1a11zar Vari6veis Eo-1; f-1888; t-1; phi-8; phir-phi*pi/188; c-2.998e8; 1111bda•e/f: B-2*pi/1Uibcla; OMGB•2*pi*f: S Executar Cálculo z-8:4*1a.bda/188:4*1a.bda; E·Eo*eos{a.ega*t-B*z+phir); S Gerar u• S1ste.a de Referência p1ot(z,E) axis{[8 4*1a.bda -2*Eo 2*Eo]) grid xlabel{'z(ll)') y1abel(' E(V/11) ') pause S Fazer a Ani .. çio t-8:1/{48*f):1/f: for n-1:48;

end

E•Eo*eos(a.ega*t(n)-B*z+phir); p1ot(z,E) axis([0 4*1ambda -2*Eo 2*Eo]) grid tit1e('Equaçlo Geral de Onda'); X 1 abe 1 ( 1 Z {m) 1 ) i y1abe1{'E(V/M)'); M(:,1)-getfra.e;

( continuaçtJo)

Page 6: Stuart Cap4 v.leitura

1• CAPtruLO QUATRO

Blec:uteopropiiiiL Depoilde clelmharo famede&ef&e..::ia.o...,. ... npiiVeesperarque vcdpasioae a tecla "'leeunl" (COID o cursor D8 jaaela de cte.lbo). Tente mudar I direçlo da cala alllriDdo O liDai DI freare de "B*z" D8 equaçlo coaeno. (VOQI deve fDK islo 11D10 pua o fnme de refatacia qaato para o de filme.)

Bale~ um doa v6riol modos de executar ..,tmeçaea em MA1l.AB. Para mais iDfonaaçlo sobre filmes. dipte aa janela de co­~help 10v1e. help .ov1e1n efou help getfra ...

... 4.:1 LEI DE FARADAY E FEM DE TRANSFORMAçAO

Seguindo a descoberta de Oersted. Michael Faraday pensou que se uma corrente num tio pode produzir um campo mag­nético, então talvez um campo magnético possa produzir corrente num fio. Dez anos de experiência comprovaram a veracidade de sua hipótese. a qual foi simultaneamente con­firmada por Joseph Henry.~ Eles observaram que a corrente só é induzida num circuito se o fluxo magnético através do circuito variam com o tempo.

A Figura 4.6a mostra uma espira condutora num plano normal a um campo magnético que aumenta com o tempo. Como o fluxo magnético através da área limitada pela espira está variando, uma corrente /,nd é induzida na espira como indicado no amperímetro. Observe a direção da corrente in-duzida. O fluxo produzido pela corrente induzida age contra a variação no fluxo que o produziu. Esta afirmativa é cha-macia lei de Lenz. ~

Podemos tirar o amperímetro para fora da espira, deixao-do um par de terminais abertos, como mostrado na Figura 4.6b. Agora. a corrente induzida estabelecerá uma diferença de potencial através dos terminais. conhecida como força elt>tromotri:.. Esta força eletromotriz, V,em (ou simplesmente fem). está relacionada à taxa de variação do fluxo através do circuito pela lei de Faraday:

I v.,m =<; I (4.23)

O sinal negativo na equação é uma conseqüência da lei de Lenz. Se considerarmos uma única espira, a lei de Faraday pode ser escrita como:

d' d Vr = -- = --JB·dS (4.24) em dt dt

A geração da f em requer um fluxo magnético variante no tempo através do circuito. Isto ocorre se o campo magnético variar com o tempo (chamada/em de transformação), ou se a superfície contendo o fluxo variar com o tempo (chamada fem de movimento).

'Ma' Faraday roi mais rápido em le\·ar sua mensagem aos editoreli, ent.lo ele ubt~m geraiiDC'nlc o credilo pela dcscobena. 'FfsiCO ru~so Heinrich l.enz c 181);J-I 1!65 I roi um contcmporàncn de Faraday e Henry e publicou sua le1 em 1104.

0 a(t)

0 0 I +

\ll 0 0

Amps

(a) 0 0 0 8

0 a(t)

0 8 8

0 0 0 + 0 v...,

0 0 8 8

(b) 0 8 8 8

8 a(t)

0 8 8

0 0 8 8 .. .+

R•: =v, ... 8 8 8 8

(c) 8 8 8 8 Flpl'll 4.1 Um campo magn~tico aumentando saindo da página indul uma com:nle em (a) ou uma fem em (b). (c) A resislência dislribufda numa espira condulora contínua pode ser modelada por um resislnr concenlradu H .. ,., em série com uma espira condutora perfeila.

A fem é medida ao redor do percurso fechado envolven­do a área através da qual o fluxo está passando, podendo tam­bém ser escrita

Vrem =§E·c/L (4.25)

Page 7: Stuart Cap4 v.leitura

Isto contrasta completamente com o caso do campo estático, para o qual a circulação de E ao redor de um percurso fecha­do é zero. Usando (4.25), podemos reescrever a lei de Faraday como

I v,,m =fE·dL=-~fB·dS I (4.26)

Nesta equação, a direção da integral de circulação está rela­cionada à direção do vetor diferencial de superfície pela re­gra da mão direita. Por exemplo, na Figura 4.6b escolhemos dS apontando para dentro da página, de modo que o percur­so da integral de circulação tem a mesma direção assumida para a corrente induzida. Se estivermos corretos em nossa hipótese, então uma Vrrm com a polaridade mostrada irá re­sultar. Uma Vrcm negativa nos dirá que a corrente induzida circulará na outra direção. Devemos também notar que a in­tegral de superfície no lado direito de ( 4.26) não tem que ser feita na região planar limitada pela espira da integral de cir­culação. Ela pode ser feita em qualquer superfície limitada pela espira. (Relembre-se do teorema de Stokes discutido no Capítulo 3 junto com a Figura 3.25.)

A lei de Faraday também se aplica a percursos conduto­res contínuos. Existe sempre pelo menos um pouco de resis­tência distribuída ao longo destes anéis condutores. Elas são, algumas vezes, representadas como uma resistência concen­trada RdUI em série com um condutor perfeito, como indica­do na Figura 4.6c.

FEM de Transformaçio

Considere o caso onde o campo está variando com o tempo e a superfície permanece constante. Podemos colocar aderi­vada no tempo para dentro da integral no lado direito de (4.26) para obter

(4.27)

Derivadas parciais são usadas dentro da integral já que B pode também ser função da posição. A geração de fem pela varia­ção do campo magnético é fundamental na operação de trans­formadores e, por isto, é referida como/em de transfomuJção.

• dclude'•"*""'.U Supoabaqae•fliaura4.6o._. po llja B • 41a,WbJrríl, Ollde 1 lá em n..,.. ....... :­llladodoplaaodoptpel. SeaelpiracnF6-.•·•• cleGar,(a)clelenDiMafem ........... ..._...._._:, millail• Fil'ft4.6b. (b)Seo-.-fmeCIDda,.._-lei · 6 subldtuído por um NliiDde 1000. cletilllaáe I..,.­polUI: (a) 160 mV, (b) 1.6mA)

IJJi> EXEMPLO 4.1

V amos considerar um circuito contendo um par de espiras como mostrado na Figura 4. 7. Cada espira tem uma área S. Um campo

CAMPOS DINAMICOS 107

z

B )_, X

Flpn 4.J Um par de espira~ num campo 8 aumentando com o tempo.

magnético, nonnal ao plano das espiras. varia com o tempo como:

B = B,sen Wl a,

Queremos calcular a tensão através do resistor, VR. Usando a regra da mão direita com o polegar apontando na di­

reção de dS (direção a,), os dedos giram na direção da circulação. que. neste caso, indica que v R = vfem• Nossa equação para v,.m com Nespiras é

dB V. r= -NJ-·dS em dt

onde dS é integrado sobre a área das espiras. O resultado do nosso cálculo é, então,

VR = -2mB,,S cos (J)I

Vamos verificar se esta resposta é lógica. Quando o campo magnético está aumentando, (digamos de t = O a t = 1r/l). a lei de Lenz implica que a corrente induzida estará dirigida do - para o + usando a convenção de sinais para VR dado na figura. Assim, ter um valor negativo para VR é lógico. A Figura 4.8 mostra a relação entre v. e B(t) para este problema.

IJJi> EXEMPI.OU

Considere a espira retangular da Figura 4.9 movendo-se com uma velocidade u = u~ no campo criado por uma linha de corrente de comprimento infinito I no eixo :. Do ponto de referência de uma

CD

J-0,5 -0.5 >a.

-1 -1

-1 5 L-__ ___. ___________ ___,J2_1,5 ' o 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75

Tempo (perfodos)

...... 4.1 Relaçio entre 8 e v. para o Exemplo 4.2.

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1M CAPITuLOQUATRO

z

I

b

u

'- ./ y

y y+a

....... &.1 Uma espira retangular condutora move-se com velocidade u afastando-se de um tiu de com:nte de comprimento inlinito.

espira condutora de área consla!lte, o campo magnético está vari­ando no tempo. Assuma que a espira tem uma resistência distribu­ída R.Jbl. Encontre uma expressão para a corrente na espira (inclu­indo sua direção).

Primeiro calculamos o fluxo através da espira num instante de tempo. Temos

B= ~,,/ •• =-~oi 8r 2Jtp 2Jty

e escolhendo arbitrariamente dS na direção a,.

dS =d.vdza,

de modo que o fluxo pode ser facilmente calculado como sendo

~ I ''+rJ dv" lb lj)=--'-' f -=-fdz=-ll; [ln(y+u)-ln(.v)]

2Jt 'o _\' o _Jt

Agora. queremos saber como este fluxo varia no tempo. então

d4> =-ll.,lb .!!...[ln(\o+a)-ln(~·)] dr 2Jt dr o o

Pela regra da cadeia. isto resulta em

cJ+ -- ~11/b [-'-- .!.] dy dr 2Jt y+a )o dt

Considerando que u, = dy/dr e manipulando a expressão dentro do colchete, chegamos a

d+ ~.)abuv - = ----'-,---"--,-dt 2ny(y+a)

Nossa fem será negativa com este resultado:

-JJ.,,/abu\0 vfem = .

2ny(y+a)

Pela nossa escolha de dS na direção +a,. nossa fem é obtida de uma circulação no sentido anti-horário (olhando para a espira do eixo x). Uma vez que a fem é negativa, nossa corrente induzida estará indo aparentemente na direção horária com valor

Esta resposta faz sentido? Vamos ver. À medida que a espira se afasta da linha de corrente, o fluxo na espira (indo na direção -a,) está decrescendo. Para reagir a este decrescimento, a lei de Lenz diz que a corrente induzida deve produzir um fluxo também na di­reção -a •. Isto está de acordo com o nosso resultado de uma cor­rente no sentido horário.

EDrádD de "-ele 4A Referindo-se ao Elemplo 4.2. supoaba que a tieq8tDcia angular seja 1000 radianolls, o c:ampo !!lftlll"dro B. • 6.0mWblui-e a bado par de eapiru icMaticu 6 144 crr. Calcule V1 em I = I ms e I = lO ms. (Re8pOIIG: -93-mV, 14~ mV)

Barde~Ddelbllçle4.5 Referindo-seaoEumplo4.3, faça um ar'fico de I... wmu posiçlo y com y iDdo de 0,01 a 1 m se a • b • 6,0 em. a velocidade da espira na clireçlo y é de 2,0 mia. a coaeate DO eixo .t 61 = 1,0 A e a resist!acia dis­tribufdadaespirareiBDpllr 6 de 10 p.(l. (RIIp0#4: Veja Fi­pra4.10.)

Transformadores

A lei de Faraday é empregada em transformadores de tensão e corrente AC entre um par de enrolamentos num circuito magnético. A Figura 4.11 ilustra um transformador consti­tuído de bobinas primária e secundária enroladas ao redor de um núcleo magnético. O lado de alimentação do transfor­mador é o lado do primário, com um número N1 de espiras, e tensão e corrente AC v1 e i 1, respectivamente. O circuito ali­mentado é o lado secundário com N2 espiras, e tensão e cor­rente AC v2 e i2, respectivamente.

Relembrando os circuitos magnéticos discutidos na Seção 3.10. sabemos que a força magnetomotriz vm é

Vm =N/= Cflt. (4.28)

onde CfJt é a relutância do circuito magnético. análoga à re­sistência do circuito elétrico, e é dada por

Ylt = _!_ JlA

Aqui, t e A referem-se ao comprimento do percurso ao lon­go do circuito magnético e a área da seção reta. respectiva-

100

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 y(m)

Flpl'll &.10 Gráfico da corrente induzida \'~rovus po!iição para o Exercício de lixaçio 4.50

Page 9: Stuart Cap4 v.leitura

CAMPOS OINAMicOS 111

(a) (b) (C)

FI...,. 4.11 (a) Transformador. (b) Seção reta do núcleo mostrando as correntes parasitas (Foucaull). (c) Uso de múltiplas camadas (laminação do núcleo) para reduzir as perdas por correntes parasitas.

mente. Para o circuito AC da figura. a força magnetomotriz pode ser escrita como

Vrn = N1i 1 - N2i2 = 2/t~ (4.29)

Num transfonnador ideal, a penneabilidade do núcleo é grande o bastante de modo a considerannos o produto flu­xo-relutância aproximadamente zero, o que implica

ou

. N,. , =-/, • N2

(4.30)

(4.31)

Da lei de Faraday. podemos também relacionar a tensão através de cada bobina à taxa de variação do fluxo,

(4.32)

Uma vez que o tenno d<t>/dt é igual para ambas as tensões, temos

N .. \'2 = -.&. \'1

N, (4.33)

Transfonnadores são rotineiramente usados em circuitos para elevar ou abaixar tensões e correntes, ou para transfor­mar impedâncias (veja Exercício 4.12). Circuitos eficientes em potência são desejáveis e um dos mecanismos de perda que precisam ser minimizados são as perdas por correntes parasitas (correntes de Foucault).

Vimos que quando uma espira condutora está na presen­ça de um campo magnético variante no tempo, uma corrente é induzida. Podemos modelar uma superfície ou um volume condutor como se fosse constituído de um grande número de espiras condutoras, cada uma delas podendo ter uma corren­te induzida pelo campo magnético variável. Estas correntes induzidas são conhecidas como correntes parasitas (ou cor­rentes de Foucault). No núcleo do transfonnador, as correntes parasitas, como mostradas na Figura 4.11 b, resultam em perda de potência. Para reduzir a perda das correntes parasitas, fo­lhas ferromagnéticas eletricamente isoladas são laminadas juntas, com as folhas alinhadas na direção do fluxo magnéti­co. Isto está mostrado na Figura 4.llc. Outra maneira de re­duzir a perda por correntes parasitas é substituir o meio fer­romagnético por ferrita de mais alta resistência elétrica.

.. ._...... S'&U SUpcUI qaeN1 = 40apira. M­. ~ •••'wnteeb'idell.qu...,espinllloaec:a­

N2pllllcJGinra tendo no sec:undmo?O que IICOD­acou .. ? (llqloltG: N2 • 80. a c:onadle se leduz

-->

Forma Pontual da Lei de Faraday

Antes de deixar o tópico de f em de transfonnação, podemos aplicar o teorema de Stokes ao lado esquerdo de (4.26) para obter

Vrem = §E· JL = f (V x E)· dS (4.34)

Agora, desde que a superfície não esteja variando com o tem­po, podemos igualar (4.34) com (4.27) para obter

ao Vrem = J(V x E)· dS = -J af ·dS (4.35)

Isto nos leva à fonna pontual ou diferencial da lei de Faraday,

IVxE=-~ I (4.36)

que se constitui numa das equações de Maxwell para cam­pos dinâmicos. Aplicaremos esta equação na Seção 4. 7.

.... 4.4 LEI DE FARADAY E FEM DE MOVIMENTO

Agora manteremos o campo magnético constante e obtere­mos um fluxo magnético variável fluindo num circuito pela variação da área do circuito. Podemos modificar (4.26) co­locando a derivada dentro da integral11 como

V.r = -JB· dS em dt (4.37)

V amos considerar uma barra condutora movendo-se com velocidade u ao longo de um par de trilhos condutores como mostrado na Figura 4.12. Uma densidade de fluxo magnéti­ca B é dada nonnal ao plano do circuito. entrando na página.

6Note que não precisamos usar derivadas parciais, pois a área não varia com a posição.

Page 10: Stuart Cap4 v.leitura

111 CAPITuLO QUATRO

;<:

0~----------------~~-------- 'I ~·

~ u~

...... . ..... X

w+------------1.1---....... :~

B = -Boaz dS = dxdyaz

X

Flprll4.12 Barra condulora movendo-se ao longo de um par de lrilhos cond111ores paralelos.

À medida que a barra se move para a direita, o fluxo magné­tico envolvido pela espira vai aumentando na direção -a:. Então, pela lei de Lenz, uma corrente será induzida na dire­ção anti-horária da espira para estabelecer um contrafluxo. V amos calcular a circulação nesta direção escolhendo dS = dxdy a=. Temos

dxd'l,· Vrem = -J(-Boa.) ·~-• dt •

que pode ser rearranjada considerando uY = dyldt como 1\'

Vrcm = B0 u_\· J tb: = B,1u_\.w o

Vamos examinar este problema de um ponto de vista di­ferente. Na Figura 4.13. os trilhos condutores foram removi­dos e temos apenas a barra cortando as linhas do campo magnético. Considerando que a barra condutora tem elétrons e buracos móveis disponíveis para condução, vemos que es­tas cargas estão em movimento no campo magnético. Assim. esperamos que uma força de Lorentz aja sobre es­tas cargas

Fm=quxB (4.38)

:><: X +

0-+------------------~----------. 'I

X

u~

.. wT-------------------~.----------

·.·

X

flluA 4.1 J Barrd condu1ora mo\'endo-se num campo magnético na ausência de lrilhos condulores.

Desde que u = u.,~ e 8 = -Boa:, as cargas positivas são forçadas na direção &y X( -a:>= -a .. e as cargas negativas na direção +a.., como indicado na figura. As cargas conti­nuarão a se acumular nas extremidades da barra até que a força de atração coulombiana entre as cargas positivas e ne­gativas seja igual à força magnética que as separa. Num bom condutor com tempo de relaxação muito curto, rapidamente não teremos força resultante nas cargas: isto é,

F= qE + qu x B = o O campo coulombiano é balanceado por um campo elétrico induzido pelo movimento de carga no campo magnético. Indicando o campo induzido com um subscrito m, temos

Em=UX8 (4J9)

e, no equilíbrio, para o movimento da barra temos E = - Em. O campo elétrico induzido produz uma tensão entre os ter­minais da barra dada por

+ () V= JEm·dL= J(uxB}·dL= j(uxB)·dta,

Resolvendo a integral para esta tensão, temos ()

V= -80 uy J d..T = 81,uvw ...

(4.40)

(4.41)

Agora suponha que reinseríssemos os trilhos condutores e o resistor, como mostrado na Figura 4.12. A tensão através da barra irá aparecer sobre o resistor, e percebemos que

(4.42)

Observe que apenas a porção do percurso fechado que con­tribui para a fem é a que está em movimento.

Devemos também chamar a atenção de que a convenção de sinal para Vrem é arbitrária, pois ela depende da escolha do sentido do vetor dS. Chegamos a (4.42) fazendo a inte­gral de circulação estar na mesma direção daquela usada na integral para encontrar V em (4.40).

... EXEMPLOU

Considere uma barra condutora movendo-se na direção +a, a uma distância fixa de uma linha de corrente de comprimento infinito no eixo<:. como mostrado na Figura 4.14a. Vamos encontrar a dife­rença de potencial entre os extremos da barra assim como ~ua po­laridade.

Como primeiro passo, criamos uma espira virtual com um pe­queno espaçu, confonne ilustra a Figura 4.14b. Esta espira nos pennitirá escolher a direção parct a integração. Deixaremos arbitra­riamente que dS esteja na direção +a~ (mesma direção de 8 cria­do pela linha de corrente) e, assim, faremos nossa integral de cir­culação na direção horária. A circulação na direção horária tam­bém significa que estamos admitindo uma corrente indut.ida na direção horária e uma Vrcrn com a polaridade. mostrada na figura. Se a Vrct~~ calculada for positiva, então o lado direito da harra será positivo.

Page 11: Stuart Cap4 v.leitura

z z

u

t---+------1- p a b

- Vtem +

(a) (b)

Flpl'll 4.14 (a) Barra condutora movendo-se num campo a panir de uma linha de corrente. (b) Uma espira vinual ~adicionada para calcularmos uma V....,.

A Equação (4.42). com dL = dp~. se toma

v. §( ll,.l ) d Jl 0 IU. bJ dp f = u.a.x--a• · pa =-..:.....:<-..JI-

~m • • 2np P 2n .., P

Aqui, precisamos apenas integrar de a para b (na direção horária para nosso contorno), uma vez que ela é a única parte que eslá se movendo. Então, temos

V, =- Jlolu; In~ .em 2n a

Como b > a, o termo do logaritmo natural é positivo e todos os outros termos são positivos, o que significa que, para a nossa espira escolhida, a Vr.m é negativa e o extremo esquerdo da barra será positivo. Dito de outra maneira, se completássemos a espira com o pedaço faltante também estacionário. a corrente circularia no sen­tido anti-horário.

Talvez uma maneira simples de olhar para a polaridade da bar­ra seja considerar uma carga positiva + q colocada inicialmente no meio da barra. Se soltarmos a carga. a força de Lorentz a empurra-

+

3 h

------- ------ ----------•8

4

(a) x

CAMPOS DINAMICOS 111

·, ... -

o :\..

R~~ ~. u---••

(.

w

'.

X

A.-. 4.11 Barra deslizante em lrilhos condutores para o Exercício de fixação 4. 7.

ria para a extremidade esquerda da barra: cargas negativa.~ seriam empurrada.~; para a extremidade direita.

......... , 11&4.7 Enc:onaeadileçloea...,... ••-jaclgâda aochailo IIMJIIndo aa Pipra4.15 • mT, • .• -2.0., mil, w • 4.0 em e R • SO O.

(Re.IIJ1Qrl~· 160 p.A...direçlo IDii-hodria)

Ciendores

O gerador eletromagnético converte movimento mecânico em uma fonte elétrica AC pelo emprego da lei de Faraday. Como ilustrado na Figura 4.16, uma espira condutora gira na presen­ça de um campo magnético de um ímã pennanente. Ela roda com uma velocidade angular de w radianos por segundo.

Escolhemos realizar a circulação na direção I - 2 - 3 - 4 - 1, que fornecerá uma Vrem com polaridade como a mostrada através do resistor. Note que as seções da espira de 2 para 3 e de 4 para I não cortam nenhuma linha de fluxo

(b) X

Flpl'll4.11 (a) Um gerador AC com uma espira girando na presença de um campo magn~tlco. (b) Seção reta para determinação dos elementos vetoriais.

Page 12: Stuart Cap4 v.leitura

112 CAPITuLO QUATRO

magnético, e assim podemos ignorá-las no nosso cálculo. Isto pode ser matematicamente confinnado pela consideração de que as componentes Cartesianas do vetor velocidade u são apena~ a, e a.,. de modo que. quando multiplicadas vetorial­mente por B.,a, resulta em apenas uma componente a:. En­tretanto. nestes braços da espira. dL só tem componentes a. e a,. que. quando multiplicadali escalannente por a:. dá zero.

Considerando os braços I - 2 e 3- 4, vemos que a dis­tãncia percorrida por uma carga diferencial no ângulo dtf> é simplesmente adtf>. e u = ad4>/dt a •. Desde que por defini­ção d4>/dt é a freqüência angular. temos

u =ama. A Figura 4.16b mostra como a. pode ser decomposto em vetores Cartesianos que. para o braço 3 - 4. é

<a,k .. o.~ = -senCII a., + cos, a,.

Para o braço 1 - 2. a direção cartesiana de a. é

(a•>•-~ = seneb a.- coseb a,.

Agora podemos calcular Vr.m· A porção de Vrcm vinda de l-2é:

, ( V.·em )1-+2 = j[uro(sen (/)a_, - cos (/)a 1.) x B0 a 1.] • dza:

I

Isto é facilmente integr.tdo de :: = O até :: = h. para fornecer

( v,.m>•-~ = ac.ohB,,senC!l

Quando integrarmos a porção de v,em vinda de 3 - 4, a dire­ção de u é oposta da usada no braço I - 2 e a integração em dz. vai de h até O. Este par de mudanças de sinal resulta em uma Vr•m de mesmo sinal. e a Vr.m total é

Vr.m = 2ac.ohB,senCII

A configuração mostrada na Figura 4.16 pode também ser usada num motor AC. se a carga resistiva for substituída por uma fonte AC.

> E

1

lanfr:IDde.._.4.1 Oaeracbdafialn4.16tandimen­.ae. G = 8.0 em e h = 10. c:m. roda a uma tua de 120 mdu­çaea par miiiiiD e eld • preiiiiÇ8 de um CBpO de 60, mT. flça 1BD P'fico de V .. Nl"llll lllmpo I IOin vfdal ciclos. A._ que+ • o- em t • O. (R.apMa: Veja Flpra4.17.)

15

10

5

o > -5

-10

-15 o 0,5 1,5 2 2.5 t (segundos)

..... t. 17 Sinal AC gerado no Exen:ício de fixaçio 4.8.

3

IIJI. 4.5 CORRENTE DE DESLOCAMENTO

Relembre a lei circuitai de Ampere para campos estáticos do Capítulo 3. reescrita como

v X H =J, (4.43)

Aqui, um subscrito "c" foi adicionado ao tenno da densida­de de corrente para identificá-la como uma densidade de corrente de condução, que está relacionada ao campo elétri­co pela lei de Ohm:

(4.44)

A corrente é o resultado do movimento de carga~ portadoras em resposta ao campo elétrico. No vácuo onde a = O, J. = O.

Um postulado da álgebra vetorial diz que o divergente do rotacional de um campo vetorial qualquer é igual a 1.ero: isto é,

V·(VxA)=O (4.45)

Vamos aplicar este postulado à fonna pontual da lei circuitai de Ampere para campos magnéticos estáticos:

V-(V X H)= V·(Jc) =O (4.46)

Relembrando a equação da continuidade da corrente.

V ·J =- ap\. ..: dl

vemos que a fonna estática da lei circuitai de Ampere é cla­ramente inválida para campos variantes no tempo. visto que ela viola a lei da continuidade da corrente.

O problema foi resolvido pela introdução de um tenno adicional na lei circuitai de Ampere feita por Maxwell:

VxH=J.+Jd (4.47)

O tenno adicional, chamado densidade de corrente de de.r;­locamenro,1 é a taxa de variação temporal da densidade de fluxo elétrico.

e, então,

ao J --­,j- a, (4.48)

(4.49)

Embora o tenno da densidade de corrente de deslocamento não represente uma corrente no sentido convencional de flu­xo de carga, ele realmente pennite que um campo elétrico variante no tempo seja fonte adicional de campo magnético.

Se aplicarmos o postulado do divergente do rotacional nesta nova versão da lei circuitai de Ampere. teremos

v. (V X H)= v. J, +v o (~~)=o (4.50)

'Maxwell introduziu este termo. em 1873.tendo sido venficado experimental· mente por Heinrich Henz. em I 888 .

Page 13: Stuart Cap4 v.leitura

Rearranjando, obtemos:

V·J =-V·( 00)=-~V-D=- 0Pv (4.51) c OI OI OI

Assim, vemos que o tenno adicional reconcilia o postulado vetorial com a equação da continuidade da corrente.

A adição da corrente de deslocamento faz a lei de Ampê­re ficar análoga à fonna pontual da lei de Faraday,

as VxE=--ol

e mostra claramente a interdependência entre campos elétrico e magnético variantes no tempo. A motivação original de MaxweU para a adição do tenno foi a de mostrar que a luz é uma onda eletromagnética. compreendendo ambos os campos elétrico e magnético. Precisamos de alguma maneira para que um campo magnético possa ser produzido no vácuo, onde a condutivi­dade (e, conseqüentemente, a corrente de condução) é zero. O tenno da corrente de deslocamento preenche este requisito.

Podemos integrar ambos os lados da lei circuitai de Am­pêre sobre uma área para obter

J(VxH)·dS= J(Jc + ~~}dS (4.52)

então, aplicar o teorema de Stokes para chegar na fonna inte­gral da lei circuitai de Ampêre:

lfH·dL= p, ·dS+f, JD·dSI =~+i, (4.53)

onde ic e ;d representam as correntes de condução e de deslo­camento, respectivamente.

Para um bom entendimento da corrente de deslocamento, considere o circuito capacitivo simples da Figura 4.18a. Uma fonte de tensão senoidal v( I) = V o sen wt é aplicada ao capa­citar e, da teoria de circuitos, sabemos que a tensão está rela­cionada à corrente i( r) pela capacitância como

i(t) =C d~·(t) = CV0 (J)COS(J)I dt

v(t) • V0sen 1111

(a)

.....,. 4.11 Capacitor usado para demonslrllr correnres de deslocamento.

c

CAMPOS DINAMICOS li J

Agora considere a espira na Figura 4.18b que fonna o contorno da superfície plana S1• Pela fonna estática da lei circuitai de Ampêre, a circulação de H será igual à corrente que atravessa a superfície S1• Entretanto, a superfície limita­da pela espira não precisa ser a superfície plana e a mesma corrente deve assim fluir através da superfície S2 que envol­ve uma das placas do capacitar. Como num capacitar ideal não passa corrente de condução (a = O para um dielétrico ideal), a corrente passando por S2 deve ser inteiramente uma corrente de deslocamento.

Podemos calcular esta corrente considerando que o cam­po num capacitar é

E= v(t) a. d .

onde fizemos com que a: fosse da direção da placa positiva para a negativa. Assim, temos

Ev(t) EV 0=--a. =-0 senrota. d • d •

e a derivada temporal é

J ao (J)EV.) d =-= --COS(J)Ia.

àt d •

A corrente através do capacitar é

. JJ dS (J)E5Vo ld = d. = -d-COS(J)I

Para um capacitar de placas paralelas, C = eS/d, então

id = CV,.ro cos (J)(

o que concorda com o resultado da teoria de circuitos. A corrente de condução no dielétrico pode ser ignorada

se o dieléttico é um dielétrico de pequenas perdas (a peque­no). Porém, se este não for o caso, a densidade de corrente de condução é encontrada pela lei de Ohm e pela expressão da intensidade de campo elétrico entre as placas como

J = (l\{1) a. c d •

[

(b)

Page 14: Stuart Cap4 v.leitura

11C CAPITULO QUATRO

Para o capacitor de placas paralelas da Figura 4.18, o termo da corrente de condução é encontrado como sendo

. aV,)S '.: = --senror d

A razão entre as magnitudes da corrente de condução e da corrente de deslocamento é chamada tangente de perdas e vista como sendo

tan ô = I~.: I= ~ 'd OlE

(4.54)

A tangente de perdas é uma medida da qualidade do dielétri­co. Um bom dielétrico terá uma tangente de perda muito pe­quena. tipicamente menor que 0,00 I. Tangente de perda será discutida com mais detalhes no Capítulo 5. Seção 5.3.

z..ddo de n~u um par de p11cas de un ar de *-estio 8Cplndla por uma fiDa '*""" de dieMirico de 1.0 mm de espeaun caracterizado por a, • 50, e a== 1,0 X lO= ... Sim. (a) Calcule a capacidDcia. Se a teDdD v(t) -= 1,0 COI(2w X IOJt) V~ aplicada entre as placas. delamiDe (b) a COIIalle de conduçlo. (c) a COIIalle de deslCJC81Mi!do e (d) a .....- de perdls. (Rupo.sta: (a) C =- 4,4 DF, (b) ic • 1.0 COI(21r X IO't)mA.(c)~ = -28sen(2w X IO'r)p.A.(d)taa a• 36)

..._ 4.6 EQUAÇGES DE MAXWELL

Com esta inclusão de grande visão da corrente de desloca­mento na lei circuitai de Ampere. Maxwell foi capaz de uni­ficar toda a teoria de eletricidade e magnetismo num conjunto conciso de fórmulas conhecidas como equações de Maxwell. Com a adição da equação da força de Lorentz, das relações constitutivas dos meios materiais e da equação da continui-

dade da corrente, todas as equações fundamentais do eletro­magnetismo estão contidas dentro da Tabela 4.1.

A tabela contém tanto a versão pontual como a integral das equações de Maxwell. Ambas são úteis em situações di­ferentes. Como uma revisão. o leitor é encorajado a aplicar o teorema da divergência e o teorema de Stokes para conver­ter da forma integral para a forma pontual e vice-versa.

Embora tenhamos abordado muitas outras equações até então neste texto (e iremos abordar muito mais), as equações listadas na Tabela 4.1 são as fundamentais e das quais tudo o mais se segue. Por exemplo. a forma estática das equações de Maxwell usadas nos Capítulos 2 e 3 é obtida anulando as derivadas temporais nas equações da Tabela 4.1. Um outro exemplo, as relações entre as componentes dos campos na fronteira entre dois meios diferentes são encontradas pela aplicação direta das equações de Maxwell. Finalmente. de­vemos ressaltar que o conceito de potencial elétrico. tão útil na solução de problemas de eletromagnetismo (e usado como uma ponte entre eletromagnetismo e circuitos). é meramen­te um pequeno passo a partir das equações fundamentais para as soluções finais.

Um importante aspecto destas equações é a interdependên­cia entre os campos elétrico e magnético. Devido ao fato de um campo elétrico variante no tempo ser fonte de campo magnético e vice-versa, será mostrado no próximo capítulo como estas equações levaram Maxwell a postular a existên­cia de ondas eletromagnéticas .

..._ 4.7 ONDAS TEM SEM PERDAS

Vamos usar as equações de Maxwell para estudar a relação entre as componentes dos campos elétrico e magnético de uma onda eletromagnética. Considere uma onda polt~ri:.ada

TABELA4.1 Eq~E .............. sfunda.....als

Equações de Maxwell

Lei de Gauss

Lei de Gauss para campos magnéticos

Lei de Faraday

Lei circuitai de Ampere

Fonna pontual (diferencial)

V· D =p.

v. 8 =0

VxE=- as a, ao

VxH=Jc +­at Equação da força de Lorentz

Relações constitutivas

Equação da continuidade da corrente

Fonna integral

fD·dS=~v

fB·dS=O

fE·dl.=- !JB·dS

fH·di.=JJ·dS+ :,JI>·dS

{ D=d: 8=~ J = a•: (l.eJ de Olun )

v ·J =- i'Jp~. i'Jt

Page 15: Stuart Cap4 v.leitura

na direção x propagando-se na direção + z num meio ideal caracterizado por f.l. e e, com <T = O. Dizer que uma onda eletromagnética está polarizada na direção x significa que o vetor campo elétrico está sempre apontando na direção x (ou - x). Escolhemos <T = O para considerar um meio sem per­das. por simplicidade.

O campo elétrico propagante é dado por

E(z,t) =E., cos(ror-~z)a.x (4.55)

onde E., é a amplitude da onda (em volts por metro) propa­gando numa freqüência angular w radianos por segundo e tendo uma constante de fase de ~ radianos por metro. O cam­po é função da sua posição z e do tempo e está mostrado gra­ficamente \'ersus z em r = O na Figura 4.19.8 Pela aplicação das equações de Maxwell, encontraremos que o campo mag­nético também se propaga na direção + z. mas seu vetor cam­po está sempre normal (perpendicular) ao vetor campo elé­trico. Tal onda é dita se propagar no modo de onda eletro­magnética transverso, ou simplesmente modo TEM.

Podemos aplicar a lei de Faraday.

ao au VxE=--=-J.J-ar ar

em (4.55) para encontrar o campo magnético. Tomando o rotacional de E. temos

(4.56)

= -(- :z E0 c os( rot - ~z) )a·'· = ~E0 sen( ror - ~z )a .v

FlpN 4.11 Um gráfico da equação E(~.O) = E.cos(~z)a, em lO MHz no vácuo com E,. = I V/m.

"EMa I! uma figura gerada em MATLAB (veja MATLAB 4.3). Um estudo cui­dadoso revela que ela é. na verdade. um sistema de coordenada.~ orientado pela regra da mão direita.

CAMPOS DINAMICOS 115

Isto deve ser igual ao lado direito da lei de Faraday, então

au -J.J-a = {JE0 sen(mt- /3z.)a,.

I . (4.57)

Dividindo ambos os lados por - f.l., formamos a integral

J dH =- /JEo J sen(mt- fJz)a,.dt J.l .

(4.58)

O lado direito da equação é facilmente integrado usando f sen u du = -cosu, onde u = wt- ~z e du é wdt. Então, temos

H = fJEo cos( mt - fJz )a,. + C1 O}#J .

(4.59)

onde C1 é uma constante de integração. Examinando este problema vemos que o E variante no tempo é fonte de H; isto é, não existe nenhuma corrente de condução dada que pode­ria também gerar H. Se desligássemos E, H também desa­pareceria. Assim. C1 deve ser zero.

Ao gráfico de E poderíamos adicionar o gráfico de H ver­sus z para o tempo t = O (veja Figura 4.20). A amplitude do campo magnético é dada por ~Ejwf.l.. Em outras palavras. as amplitudes de E e H não são independentes; elas estão relacionadas pelas equações de Maxwell. Note também que ambas as ondas estão viajando na direção z e. assim, elas ainda estão relacionadas por outra versão da regra da mão direita! Matematicamente. podemos dizer que a onda eletromagné­tica se propaga numa direção dada pelo produto vetorial de E e H: Começando com os dedos apontando na direção do campo E (B.x), então girando-os na direção do campo H (a) significa que o dedo polegar apontará na direção de propa­gação (81).

Embora agora tenhamos os dois campos vamos continuar a usar as equações de Maxwell neste problema. Podemos aplicar a lei circuitai de Ampere.

4

Ê ~o :r

-2

...... 4.20 Grifico da equaçio H(z.O) = (~E./11111-)cos( -~~)a. em lO MHz no vácuo com E,.= I V/mjunto com o gráfico tracejado de E(.:,OI.

Page 16: Stuart Cap4 v.leitura

111 CAPITuLO QUATRO

para o campo magnético variante no tempo e recalcular E. Como não existe nenhuma corrente de condução (a = 0). o tenno J, não estará presente no nosso problema e teremos

VxH =E aE ar

Tomando o rotacional de H. temos

a., a.\' a;

VxH= a a a ax a,. a;: o ~E., cos( 001 - Jk) o ~

~E a p2E = _ __:E.__cos(oot-R:)a = ---0 sen(oot- Az)a ~a: "' .f ~ "' .f

Igualando isto ao lado direito de (4.60), temos

(4.60)

(4.61)

aE p2 E., ( ~ ) - = ---sen 001 - z a (4.62) at OOJ.lE .t

que podemos integrar como fJ.Zemos para (4.58). resultando em

lfE E= ~cos(oot- ~;:)ax (4.63)

oo· J.lE

Par.t que (4.63) e (4.55) sejam iguais, devemos ter

p2 = ~J.lE

ou

I P=oo~ I (4.64)

No início deste capítulo, tínhamos verificado que a velo­cidade de propagação se relaciona com a constante de fase e a freqüência angular por

(I) u =-

p p ou. desde que w = 2-rr/ e ~ = 2-rr/X, uP = >.f Agora vemos, a partir de (4.64). que a velocidade de propagação também é dada por

I··= ~I (4.65)

Este resultado muito significativo. que foi encontrado pela aplicação das equações de Maxwell nos campos propagantes, relaciona uP às propriedades do meio. Na ausência de qual­quer meio (o que é chamado vácuo (espaço livre)), os parâ­metros constitutivos são J.L = J.L.,. e = e,. e a = O. Introdu-

••1Uiu

zindo os valores já conhecidos de J.L .. e e o em ( 4.65 ), ficamos satisfeitos em ver que uma onda eletromagnética no vácuo propaga-se com a velocidade da luz!

......... l•---4.11 Uma aada piiDa DO 11' (llo • ...._ • • •· e a • O) pnltrtade dadinlçlo y se proptp Da clinçlo ~- 10 MHz. Blcrevaa......., pual(x.tJ • a onda tem uma ampUtude ele 10 VIm. (R11po11t1: E(.K.t) • 10col('lf X 1011 - 2'UI3)a, VIm)

• EXEMPLO 4.5

Suponha que num meio n»magnético tenhamos um campo elétrico

E(.t,t) = 20.co..( 1t x lO 7 1 +..!!..:r+.!!. la 1. V /m ' 10 ()r

Entre outras coisas queremos encontrar H(:r,t). Por inspeção, vemos que a amplitude da onda é E,.= 20 V/m.

A freqüência é

(I) /=-=5 MHz

2n

Com a constante de fase jJ = w/10 radianoslm. temos

(I) JtX 107 8 u =-=--=10 m/s

p ~ Jt/10

Uma vez que o meio é não-magnético. temos

c ''r=-.= ..JEr

ou E:,= 9. Para encontrar H(x,t) empregamos a lei de Faraday e seguimos

os procedimentos do início desta seção, chegando a

ou

H(x,t) = ~E, coJ n x lO 1 1 + ..!!..x +.!!.).... ~ \ 10 6r·

H(x,t)=l60cos nx10 t+-x+- . mA/m ( 7 J[ J(}

10 6 •

Ewd&W ........ 4.11 Suponha que

B(z.t) • 6.oca{ 2w x 101r- ! KZ }, v /m

(a) Qual' a ....,Ubade da oadl. a freqleacia. a c:c.~aate de r-. oc:ompdmealodeaada. e a \'eloc:idede de JIIOPIIIÇio? (b) Blcoalre B(r.t). ~qtnltl: (a) 6,0 V 1m. 100 Mllz, 2'1fl3 ndiaDoalm, 3 m. 3 X 101 mia: (b) B(r.t) • -16c:os(2'1f X lO't- 2wd3 .. m/Jm)

V unos USII' MA1LAB pma criar os p6fieol du F'IJWU 4.19 e 4.20. Primeiro. pua E. wr.ru.s z remos o scpinte:

( ContinUQÇcfo)

Page 17: Stuart Cap4 v.leitura

" M-F1le: Ml.8483a

" " Este prograu gera 1111 gr6f1co 30 de Ex versus z.

" " Wentworth, 7/17/82

" " Variáveis: " Eo amplitude do ca11po {V/rt) " f frequênch <Hz) " c velocidade da luz no v6cuo (11/s) " 1Mbda co11pr111ento de onda <•> " B constante de fase (1/11) " Ex intensidade de ca11po elétrico (Y/11) " z posiçlo " null conjunto de nulos

ele "11apa a janela de coundo clear "limpa vari6veis

" Inicializar Vari6veis Eo-1: f·18e6; c-2.998e8; lubda-c/f: B-2*pi/l•bda;

" Executar C61culo z-8:1:188; Ex-Eo*cos(-B*z); null-8.*z; ~onstr6i Ull arranjo nulo

" Gerar o Griftco plot3(z,Ex,nul1) grid on vi ew([38 38]) xlabel('z(m)') ylabel('Ex(V/m)')

CAMPOS DINAMICOS li

Este gdfico está deseohado na Figura 4.19. Note a formaçlo de um c~junto de ''nulos". Fazemos isto para tennos algo da mesma dimenslo dez e E. para deseDbarmos num sistema de coordeuadas cpdimensíonal. (Isto força y a aer nulo para todos estes pontos.) Tamb6m, para melhorar a compreenslo do gdfico, a espessura do traço foi IUIIIlelltada após a execuçlo do programa usando o editor na janela de figura.

Para os ptiicos de E. e H, wmu z. temos o seguinte:

" M-Fi 1 e: ML8483b

" " Este progra111 gera u11 gr6fico 30 de Ex e Hy versus z.

" " Wentwrth, 7/17/82

" " Variáveis: " Eo a!lp11tude da onda (V/11) " f frequêncta <Hz> " w frequênch angular <radhnos/s) " c velocidade da luz no v6cuo (11/s) " uo per~~eab111 dade do v6cuo (F I•> " l .. bda comprt11ento de onda <•> " B constante de fase < 11•> " Ex intensidade de ca11p0 elétrico <VIII) " Hy intensidade de campo 11agnêtico (A/11) " z posiçlo " null conjunto de nulos

ele "li•pa a janela de coundo clear "ltmpa vari6ve1s

( ConiÍIIIIIIfilo)

Page 18: Stuart Cap4 v.leitura

111 CAPITuLO QUATRO

~ ln1c1a11zar Var16ve1s Eo-1: f·18e6: c-2.998e8; uo-p1*4e-7i llllbda-c/f i B-2*p1 /lllllbda i w-2*p1*f:

~ Executar C61culo z-1:1:118: Ex•Eo*cos(-B*z): Hy-((B*Eo)/(w*uo))*cos(-B*z); null-I.*Zi ~constr61 u. arranjo nulo

I Gerar o Gr6f1 co plot3(z,Ex,nu11,'-',z,null,Hy) grid on v1ew([38 38]) xlabel ('z(•) ") ylabel('ExCV/•)") zlabel('Hy(A/•)')

.... 4.8 CAMPOS HARMÕNICOS NO TEMPO EFASORES

Muitas, senão a maioria. das aplicações de eletromagnetis­mo envolvem campos que variam senoidalmente com tem­po e posição. Tais campos harmônicos no tempo são encon­trados na maioria das aplicações em comunicações e, é cla­ro. todos os circuitos AC são senoidais. Além disto, pulsos repetidos de infonnação podem ser tratados como séries de Fourier de ondas senoidais.

Um sinal hannônico no tempo pode ser transfonnado para o domínio da freqüência pelo uso defasores. A utilidade em se trabalhar no domínio da freqüência (também chamado domínio fasorial) é que. com a remoção do fator tempo da análise. as derivadas e integrais no tempo tomam-se exercí­cios algébricos simples.

Fasores são baseados no uso de números complexos.9 Num instante de tempo fixo, o valor de uma onda senoidal pode ser representado em função de posição por um diagrama polar com sua amplitude r e sua fase 9. Este gráfico polar pode ser superimposto a um conjunto de eixos real (Re) e imaginário (1m). como mostrado na Figura 4.21. O valor complexo pode ser escrito como rej'<~, ou, como está evidenciado na figura,

reiS= r COSa+ jr sen a (4.66)

A relação entre a fonna polar do valor complexo (rejB) e a fonna retangular (r cos 9 + jr sen 9) é dada pela identidade de Euler: 10

•veja o Apéndice C para um resumo de números complexos.

a

lm (i)

fltura 4.21 Gráfico da função cossenoidal sincroni1.ado com o gráfico polar.

eiS = COS a + j sen 8 (4.67)

É costume empregar a fonna polar simplificada

n:JS=r~ (4.68)

Na Figura 4.21, pontos correspondentes são indicados em ambos os domínios. do tempo como gráfico de onda senoi­dal e da freqüência como um gráfico polar. A parte real do valor complexo pode ser encontrada como Re(relll) = r cos 9; a pane imaginária é lm(reill) = r sen 9.

11'0 nome Euler é pronundado "oiler".

Page 19: Stuart Cap4 v.leitura

111> IIAlUIU

Mostre como o grfiic:o de um ponto conaponde a uma localizaçlo no pdco da funçio cosseno com uma animaçlo.

~ M-Fi 1 e: ML8484 ~ ~ Este progra .. gera u• grAf1co de an1 .. çlo da funçio cosseno I sincronizada co• u• gr6f1co polar. ~ ~ Wentworth, 7/17/82 ~ ~ Var1he1s: ~ Ao a•p11tude da onda <VI•> ~ A valor da onda • theta ~ A1 valor da onda para a an1uçio ~ theta lngulo <a graus> ~ theta1 lntulo para a an1 .. çlo ~ N nileros de pontos para o par6grafo

ele elear

~11•pa a janela de co .. ndo ~11•pa var16ve1s

~ Gera u. s 1st ... de referlnc1a ~ In1c1a11zar Var16ve1s Ao-1; N-180:

~ Executar C61 cul os theta-8:4:4•N: A·Ao•eosd(theta);

~ Gera o Gr6f1 co subplot(211J,plot(theta,A,I,Ao,'ro'); ax1s([8 728 -1 1]) set(gca, 'XTick' ,[8:98:728]); lsepare as .. rcas grossas apropr1ada .. nte') xlabel ('theta (deg) ') :,yllbel ( 'cos<theta) ') subplot(212),polar(8,Ao,'ro'); pause

~azer a An1 .. çlo for n-1:1 ..

thetal(n)-n*4*; thetaldeg-thetal*pi/188; lgr6f1co polar requer lngulo a. rad1anos A1(n)-Ao*eosd(thetal(n)); subplot(211),plot(theta,A,thetal(n),A1(n),'ro')i ax1s([8 728 -1 1.]) set(gca, 'XT1ck' , [8:98:728]); xlabel('theta (deg) '):,ylabel ('cos(theta)') subplot(212},polar(thetaldeg(n),Ao,'ro'); M(:,1}-getfr ... :

end

(4.72 Um campo elétrico harmônico no tempo geral é função a posição (x,y.z). do tempo (t) e pode ser escrito nafo17'rUJ 1stantdnea como

E(x,y.z.t) = E(x,y.z)cos((J)I + «11> (4.69)

O fasor, escrito com um subscrito s, 11 é um campo harmôni co cuja dependência com o tempo foi retirada.

~gora, usando a identidade de Euler. podemos escrevê-lo orno:

E(x,y.z.t) = Re[E(x,y.z)ei<mr+•l]

sto pode ser reorganizado e escrito como

E(x.y.z.t) = Re [Efx,y.z~ei~~~t] = Re[E,~mt]

•nde afonnafasorial do campo é

(4.70)

(4.71)

V amos observar como escrever a forma pontual da lei d' Faraday em termos de fasores. Temos

V E( . _ ) _ aB(x,y.z,t) X X,y,,,l - at

Usando fasores, verificamos que esta equação é equivalente :

110 e.~tudante deve se lembrar do domínio s em análise de circuitos, onde s = j~

Page 20: Stuart Cap4 v.leitura

120 CAPtnllO QUATRO

(4.73)

No lado esquerdo de (4.73). o operador rotacional é uma derivada no espaço e. portanto, poderá ser tirado para fora do Re e não afetar o termo e/"''. então

(4.74)

No lado direito, podemos mostrar (veja Problema 4.37) que

(4.75)

e. como B, é independente do tempo,

- Re[:, B5eiwt] =- Re[ B5 :, efwt] =- Re[(jroB1 )eiwr] (4.76)

Comparando (4.74) e (4.76), encontramos que

I V x E, = -jroB_, I (4.77)

Esta é a forma fasoriaJ diferencial da lei de Faraday. As outras equações de Max well podem também ser escri­

tas na forma fasorial diferencial como dado na Tabela 4.2. Deduções das leis de Gauss e de Ampêre estão incluídas no Exercício 4.38.

O procedimento para usar fasores em problemas consiste em primeiro transformar a forma instantânea do campo em um fasor. O problema é então resolvido no domínio fasorial e, no final (ou em qualquer ponto intermediário), a forma fasorial pode ser transformada de volta para a forma instan­tânea.

.... EXEMPLO 4.6

Vamos considerar o problema da seção anterior onde tínhamos:

E(;:,t) = E.,cos(Clll- ~;:)a,

e agora queremos usar fasores para encontrar H(z.t). Como primeiro passo. vamos converter o campo num fasor.

Agorc1., empregamos a lei de Faraday para encontrar B,. Temos

V x E, = -jroB,

ou

TABELA 4.1 Fonllll Fasorlal Diferencial das Equações de Maxwell

V· D, = p,, V· B, =O

V x E, = -jroB, V x H, = J, + jroD,

a 1. a~. a a . _ . .

- = -J~E e iP·a . = -JwB d)'dZ O I .I

o o Resolvendo para 8,, encontramos

B ~E" -ili: =-e a $ CJ) .Y

Assim. podemos encontrar H, dividindo B .. por Jl.· Para encontrar a forma instantânea. temos que reintroduzir o fator

e'-", empregar a identidade de Euler, e tomar a parte real do resulta­do. Então, temos

H(z,t) = Re[~Eo e- AkeiWI a 1.] = ~E" cos( (1)1- ~z)a 1, ~ . (J)j..l

.. EXEMPLO 4.7

Agora suponha que tenhamos a intensidade de um campo magné­tico dada como

H(z.t) = H0 sen( wt- ~;: + ~ f 1•

e queremos encontrar E(z.r) usando fason:s. Usando a relação sen(a) = cos(a - 1T/2), temos

sen(Clll- ~z + Jt/4) = cos(Clll- ~z -7t/4)

Convertendo H(z.t) num fasor. temos

H =H e-j(Jk + 1114>a i , \'

O vetor fasor E, é encontrado usando a lei circuitai de Ampere. onde podemos assumir CT = O na ausência de qualquer outra informação e, assim, obter:

v X H,=jWEE,

Avaliando o rotacional, encontramos:

)'RH e-j(Jk+lrl41a =J·WEE .... o ... ,I

então,

E _~H,> -j(fkut4) s- e a,

WE

Convertendo para a forma instantânea. temos

E(z,t) = Re[IJHo e-ifke-ifl/4 ejOJr a, J = ~H o cos(Clli-IJ.;:- nf4)a, WE WE

Earádode IIDçlo4.12 Converta as aepintes formas ins­taatAnras em fasores: (a) A = 16cos (11' x 10'1 + 11'13). (b) A(~t) • Ac.Jea(41r X IO't + 2x)ll,.. (Raposta.· (a) A_= 1~. (b)A,=~)

EDrádo de IIDÇio 4.13 Converta os seguintes faaores em cpWJticlades imlwdncas: (a) A. = 1~. (b) A, = jSeJ)wl4, (c) A,= 4 + j3. (Resposta: (a) A = lO cos(..,, + 11'/4). (b) A • -51eD(CI)f + 311'/4). (c) A = S oos(.., + 36.~))

Page 21: Stuart Cap4 v.leitura

IJio RESUMO

• A taxa de variação da densidade de carga está relacionada ao divergente da densidade de corrente pela equação da continui­dade da corrente

V·J=-ap, dl

Usando esta equação e a lei de Gauss, podemos relacionar a den­sidade de carga ao tempo como

p, = p,e-lh

onde Po é a densidade de carga inicial e T é o tempo de relaxação

E r=-

G

• A equação geral de onda é

E(ul = E.,e~ cos(rot -lk + cflla,

onde E .. é a amplitude e a é a constante de atenuação. O argu­mento do co-seno é a fase, com freqüência angular w (radianos/ s), constante de fase 13 (radianos/m) e deslocamento de fase$ (radianos).

• A lei de Faraday relaciona uma força eletromotriz Vrem com a taxa de variação do fluxo atravessando um circuito por

dÀ vfem =-a,

onde À é o fluxo. Para um circuito de uma espira, a fem pode ser escrita como

Vr =§E·dL=-~JB·dS em dl

• A fem de transformação se aplica para o caso de um campo magnético variante no tempo e uma superfície fixa. Para este caso podemos encontrar a forma pontual da lei de Faraday,

VxE=- as a, • A fem de movimento se aplica para uma superfície variável

num campo magnético constante. A forma da lei de Faraday para

IJio PROBLEMAS

4.1 Continuidade da Corrente e Tempo de Relaxaçio

-1.1 Quanto tempo leva para a densidade de carga cair para I% do seu valor inicial no poliestireno?

-1.2 Num determinado ponto de uma tira de prata é introduzida uma densidade de carga de 19 am). Faça um gráfico de p, versus tem­po para uma duração de I O tempos de relaxação.

-'·-' Uma densidade de corrente é dada por J = pe -o.m/8~ A/m2• Encon­tre a densidade de carga após lOs se ela tem um valor inicial de zero.

-1.-1 Em 1 = Os, 60,0 J.LC é distribuída uniformemente através de uma esfera de silicone puro de 20 em de diâmetro. (a) Encontre a densi­dade de carga inicial. (b) Quanto tempo leva para a densidade de carga cair para I 0% do seu valor inicial? (c) Qual será a densidade superficial de carga final?

CAMPOS DINAMicOS 121

este caso é

Vrem = f(u x B) · dL

• A densidade de corrente de deslocamento Jd é igual à taxa de variação da densidade de fluxo elétrico,

ao Jd =Tt

Este termo é adicionado à lei circuitai de Ampere. mostrando que um campo elétrico variável no tempo produz campo magnético.

• As equações de Maxwell, aqui resumidas na sua forma pontual (diferencial), são

V·O=p,

V·B=O

VxE=- as a, VxH=J. +ao • a,

Na forma integral, as equações de Maxwell são

fO·dS = Oenv §B·dS=O

§E·dL =- :, fB·dS

tH·dL = fJ ·eiS+;, JD·a'S

• A direção de propagação de uma onda eletromagnética no modo transversal é dada pelo produto vetorial E X H. onde os vetores de campo de ambos E e H são normais à direção de propagação.

• Um campo harmônico no domínio do tempo pode ser represen­tado por um fasor no domínio da freqüência. A transformação emprega a identidade de Euler. Para um campo elétrico dado por

E(x,y.z.l) = E(x,y.z)cos(WI + cfl)

o fasor é escrito como

E,= E(x,y.;:) ~

4.2 Fundamentos de Ondas

-1.5 Um campo elétrico propagante é dado por:

E(;:,l) = IOO,e-·01 z cos( 1t x lO 71 + 1t;:- ~)a, V /m

(a) Detennine a constanle de atenuação. a freqüência da onda. o compri· mento de onda. a velocidade de propagação e o deslocamento de fase.

(b) Quão longe deve a onda viajar antes que sua amplitude se redu­zaa I,OV/m?

-1.6 Um campo magnético de I O. O MHz propaga num fluido para o qual a velocidade de propagação é 1.0 X I ()I' m/s. lnicialmente. te­mos que 8(0,0) = 2,0 a. A/m. A amplitude cai para 1.0 A/m depois de a onda se propagar por 5 m na direção y. Encontre a expressão geral para esta onda

Page 22: Stuart Cap4 v.leitura

122 CAPftuLO QUATRO

4. 7 Modifique o programa de onda simples em MA TLAB 4.1 para incluir acenuação. Gere um gráfico para o caso onde a amplitude é 4 V/m, a constante de atenuação é 0.001 Np/m e a freqüência é I MHz. Tire uma foto da onda em ' = Os e deixe o deslocamento de fase ser0°.

-U Modifique o programa de onda propagante em MATLAB 4.2 para incluir atenuação. Use os parâmetros do Problema 4.7. exceto pelo tempo fixo. é claro.

4.3 Lei de Faraday e FEM de Transformaçio

4.9 A densidade de fluxo magnético aumenta à caxa de to Wb/m2/

s na direção z. Uma espira condutora quadrada de to x lO cm2,

centr.tda na origem no plano x-y. cem uma resiscência distribuída de lO . Determine a direção (com um desenho) e a magnitude da corrente induzida na espira condutora.

4.1 n Um ímã em barra é deixado cair através de um anel condutor. Indique num desenho a direção da corrente induzida quando o ímã cai acima do plano do anel e quando está abaixo do plano do anel, como mostrado na Figura 4.22.

4.11 Considerando a Figura 4. 7. suponha que a área de uma única espira do par seja 1 00 cm2 e a densidade de fluxo seja constante sobre a área da espira. mas varia com o tempo como 8 = 8,e-k'a,, onde 8,, = 4,0 mWb/m2 e)(= 0,30 Npls. Determine VR em I. toe 100 s.

4.12 Algumas vezes, um transformador é usado como conversor de impedância, onde impedância é dada por v/i. Encontre uma expres­são para a impedância Z1 vista pelo lado primário do transforma­dor na Figura 4.11 a. que tem uma impedância de carga ~ no se­cundário.

4.1.\ Um fio de cobre de 1.0 mm de diâmetro é moldado numa espira quadrada de 4,0 em de lado. Ela é colocada num plano normal a um campo magnético que aumenta com o tempo como 8 = I ,Ora. Wblm2• onde' está em segundos. (a) Encontre a magnitude da cor~ rente induzida e indique sua direção num desenho. (b) Calcule a densidade de fluxo magnético no centro da espira resultante da corrente induzida e compare seu resultado com o fluxo magnético original que gera a corrente induzida em ' = 1.0 s.

4.14 O comprimento médio ao redor de um núcleo de níquel de um transformador. como o mostrado na Figura 4.11 a, é 16 em e a área

I FlpN 4.22 Uma barra imantada caindo instantes antes e depois de passar pelo plano de um anel de lio condutor I para o Problema 4.10).

de sua seção reta é I em:. Existem 30 espiras no lado primário e 45 no secundário. Se a corrente no lado primário é 1.0 sen(2011' X I O"() mA, (a) calcule a amplitude do fluxo magnético no núcleo na au­sência de enrolamento na saída. (b) Com o enrolamenco de saída no lugar. calcule i2•

4.1S Uma espira de fio triangular tem seus vértices nos pontos (2,0,0), (0,3.0) e (0,0.4). com dimensões em metros. Um campo magnético variante no tempo é dado por 8 = 4fa, Wbfml (com' em segundos). Se o fio cem uma resistência total distribuída de 2 n. calcule a corrente induzida e indique sua direção num desenho cuidadosamente elaborddo.

4.4 Lei de Faraday e FEM de Movimento

4.1 fl Referindo-se à Figura 4.23, suponha que uma barra condutora de comprimento h = 2.0 em move-se com velocidade u = - I.OaP rnls em direção a uma linha de corrente de comprimento infinito com I = 4,0 A. Encontre uma expressão para a tensão de um extre­mo ao outro da barra quando p atinge lO em e indique qual extre­mo é positivo.

~.17 Suponha que tenhamos uma barra condutora movendo-se so­bre um par de trilhos conducores como na Figura 4.12, mas agora a densidade de fluxo magnético é 8 = 4,0a, + 3a, Wb/m2• Se R = to, , w = 20. em e u, = 3,0 m/s, calcule a corrente induzida e indique sua direção.

4.18 O raio r de uma espira perfeitamente condutora no vácuo, si· tuada no plano x-_v. aumenta à taxa de (11'rf 1 m/s. Numa pequena abertura no anel introduzimos uma resistência de 2,0 . Enquanto isto, existe um campo magnético 8 = I.Oa, T. Determine a corren­te induzida na espira e mostre num desenho a direção do fluxo.

4.19 Recalcule V,.., para a espira retangular da Figura 4.16 se o cam­po magnético agora é 8 = 8J1,.

4.20 Na Figura 4.16, troque a espira retangular por uma circular de raio a e recalcule v,.m. ~.21 Um bastão condutor, de 6,0 em de comprimenco, tem uma ex­tremidade fixa na origem aterrada e está livre para girar no plano x-y. Ele gira a 60 revoluções/s num campo magnético 8 = IOO,a, mT. Encontre a tensão na extremidade livre da barra.

4.22 Considere um condutor girando como mostrado na Figurd 4.24. O centro de uma barra de diâmetro 2a está fixo na origem e ela pode girar no plano x-y com 8 = 8,)1,. Os extremos da barra estão em

z

FlpiR UJ 8111'1 condutora movendo-se em direção a uma linha de corrente de comprimento intinilo para o Problema 4. 16.

Page 23: Stuart Cap4 v.leitura

Anel condutor

X

Flpl'll UC Esquema de um condutor girando para o Problema 4.22.

contato com um anel condutor que se conecta a uma resistência R ligadaaocentrodabarra. DadosB,. = IOO,mWblm2,a = 6,0cme R = 50, n, determine I se a barra gira a I ,O revolução/s.

4.23 Um disco gerador de Faraday é similar ao condutor girante do Problema 4.22, mas aqui o elemento que gira é um disco ao in­vés de uma barra. Calcule uma expressão para v,_ produzida pelo disco gerador de Faraday e, usando os parâmetros do Problema 4.22, encontre/.

.&.24 Considere o problema dos trilhos deslizantes onde os trilhos condutores se afastam à medida que se deslocam na direção y. como mostrado na Figura 4.25. Se w = 10, em e a distância entre os tri­lhos aumenta à taxa de 1 ,O em na direção x para 1 ,O em na direçio y e u, = 2.0 mls. encontre v,_ através de um resistor de I 00, O no instante em que .v= 10. em se o campo é 80 = 100, mT.

4.5 Corrente de Deslocamento 4.2S Suponha que um campo vetorial seja dado por:

A = 3xl.\·z3a,

Verifique que a divergência do rotacional deste campo vetorial é zero.

4.26 Suponha que um campo vetorial seja dado por

A= p2cos,f •:

0 0 0 +

.. Uy lly

CAMPOS DINAMK:OS I U

Verifique que a divergência do rotacional deste campo vetorial é zero.

4.27 Um par de placas de 60 cm2 de área estão separada.o; por uma camada de um dielétrico ideal com 2.0 mm de espessura caracteri­zada por s, = 9,0. Se a tensão ~'(I) = l.Osen(21T X 103t) V é aplica­da entre as placas, determine a corrente de deslocamento.

4.28 Faça um gráfico da tangente de perdas da água do mar (a + 4 S/m e e, = 81) versus o logaritmo da freqüência de I Hz a I GHz. Em que freqüência a magnitude da densidade de corrente de deslocamento é igual à magnitude da densidade de corrente de condução?

4.29 Um cabo coaxial de 1,0 m de comprimento. condutor interno de 2,0 mm de diâmetro e condutor externo de 6,0 mm de diâmetro está preenchido com um dielétrico ideal com e, = 10.2. A tensão v( I)= 10,cos(61T X 1Q6r) mV é aplicada no condutor interno estan­do o condutor externo aterrado. Desprezando os campos de borda nos extremos do cabo coaxial, encontre a corrente de deslocamen­to entre os condutores interno e externo.

4.7 Ondas TEM Sem Perdas

4.30 Suponha que no vácuo E(;:,t) = 5,Qe-::•a, V/m. Esta é uma onda sem perdas? Encontre H(::. r).

4-11 Um campo elétrico propagando-se num meio não-magnético sem perdas é caracterizado por:

E(y,t) = IOO,cos(4Jt x l<f't- 0,1257y)a: V/m

(a) Encontre a amplitude da onda. a freqüência. a velocidade de pro­pagaçio e a permissividade relativa do meio.

(b) Encontre H(y,t).

4.32 Um campo magnético propagando-se no vácuo é dado por

H(z.t) = 20,sen(Jt x I 011t + ~z)a, A/m

Encontre f. p, A. e E(::. r).

4.33 Encontre a expressão para E instantâneo para o campo mag­~co do Problema 4.6.

4.34 Dado, em algum ponto distante de uma fonte na origem no vácuo,

E(r,t) = 8,0cos(91t x l06t- ~r)&g VIm

encontre a freqüência. a constante de fase e H(r,t).

4.35 Num meio não-magnético, sem perdas, o campo magnético em algum ponto distante de uma fonte na origem é dado por

H(p,t) = 6,0sen(3 x I OSt + I Op >-. A/m

Encontre a permissividade relativa do meio, a freqüência e a cons­tante de fase da onda, e E(p,t).

4-'6 Suponha que num meio não-magnético de pennissividade re­lativa 3, temos:

0 0 0 8 E(y.t)=4,0sen(JtX 107t- ~y)a, + 9,0cos(Jt x 107t- ~.V)a: V/m 8 • S., 8z Determine p e H(y.t).

0 0 X

Flpl'll UI Barra deslizante ao longo de um par de trilhos que se afaslam para o Problema 4.24.

4.8 Campos Harm&nicos no Tempo e Fasores 4.37 Mostre que

- :, ( Re[ B1,iU]} = - Re( (jooB,, )eiU]

Page 24: Stuart Cap4 v.leitura

1M CAPITULO QUATRO

4.38 Calcule a fonna fasorial diferencial da (a) lei de Gauss e (b) E(z,t) = lO,cos(Jt x 106t-Jk)a, + 20,cos(Jt x lOC>t- ~z>a.. V/m

lei circuitai de Ampere. Encontre H(z,t).

4.39 Encontre H(y.r) no Problema 4.31 b usando fasores. 4.42 Encontre H(y,r) no Problema 4.36 usando fasores.

4.40 Encontre E(z.t) no Problema 4.32 usando fasores. 4.4~\ Repita MA TLAB 4.4, agora levando em conta a atenuação. 4.41 No vácuo temos, Execute o programa assumindo uma atenuação de 2 X 10-6 Np/m,

para uma onda no ar de l kHz.