Cap4 - Parte 7 - Distribuição Normal

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VARIÁVEIS ALEATÓRIAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS CONTÍNUAS DISTRIBUIÇÃO NORMAL DISTRIBUIÇÃO NORMAL

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VARIÁVEIS ALEATÓRIAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUASCONTÍNUAS

DISTRIBUIÇÃO NORMALDISTRIBUIÇÃO NORMAL

Page 2: Cap4 - Parte 7 - Distribuição Normal

Variáveis aleatórias contínuasVariáveis aleatórias contínuas* Comentário ** Comentário *

Como sabe variável aleatória contínua Como sabe variável aleatória contínua é aquela pelo qual assume valores dentro é aquela pelo qual assume valores dentro de um intervalo real.de um intervalo real.

Ocorre que, por propriedades da Ocorre que, por propriedades da

Teoria dos Números, demonstra-se que Teoria dos Números, demonstra-se que em qualquer intervalo real existe uma em qualquer intervalo real existe uma quantia infinita de valores distintos, quantia infinita de valores distintos, qualquer intervalo real existe uma quantia qualquer intervalo real existe uma quantia infinita de valores distintos. infinita de valores distintos.

Page 3: Cap4 - Parte 7 - Distribuição Normal

Variáveis aleatórias contínuasVariáveis aleatórias contínuas* Comentário * Continuação* Comentário * Continuação

Assim no caso contínuo (real) para Assim no caso contínuo (real) para encontrar probabilidade não se aplica a encontrar probabilidade não se aplica a sua definição clássica, e sim uma nova sua definição clássica, e sim uma nova metodologia que consiste em avaliar o metodologia que consiste em avaliar o grau de concentração de valores de grau de concentração de valores de probabilidades se efetuar através de probabilidades se efetuar através de simulação, dentro das mesmas condições, simulação, dentro das mesmas condições, repetidas vezes.repetidas vezes.

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Variáveis aleatórias contínuasVariáveis aleatórias contínuas* Comentário * Continuação* Comentário * Continuação

Para encontrar este grau de concentração Para encontrar este grau de concentração

a estatística utiliza do que a estatística a estatística utiliza do que a estatística

denominou de:denominou de:

Função de Densidade de Função de Densidade de

Probabilidade (fdp).Probabilidade (fdp).

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Variáveis aleatórias contínuasVariáveis aleatórias contínuasDetalhes da Função de Densidade de ProbabilidadeDetalhes da Função de Densidade de Probabilidade

1.1. Não pode ser negativa;Não pode ser negativa;

2.2. Para calcular probabilidade é necessário Para calcular probabilidade é necessário traçar o seu gráfico, a área delimitada traçar o seu gráfico, a área delimitada pelo eixo horizontal e os valores pelo eixo horizontal e os valores desejados é o valor procurado;desejados é o valor procurado;

3.3. A área total sobre a curva vale 1.A área total sobre a curva vale 1.

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Variáveis aleatórias contínuasVariáveis aleatórias contínuasDetalhes da Função de Densidade de ProbabilidadeDetalhes da Função de Densidade de Probabilidade

É possível criar várias funções que É possível criar várias funções que

satisfaz os detalhes acima ocorre satisfaz os detalhes acima ocorre

que no aspecto de pesquisa, em que no aspecto de pesquisa, em

princípio a que interessa é:princípio a que interessa é:

Distribuição NormalDistribuição Normal

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Distribuição NormalDistribuição Normal* * Resumo *Resumo *

A função pelo qual surgiu a Distribuição A função pelo qual surgiu a Distribuição

Normal foi criada pelo matemático Gauss Normal foi criada pelo matemático Gauss

no século XIIX, sendo que o seu uso é no século XIIX, sendo que o seu uso é

geral em todas as ciências bastando dizer geral em todas as ciências bastando dizer

fenômenos da natureza, mais de 80,0% fenômenos da natureza, mais de 80,0%

possui comportamento com as possui comportamento com as

características desta Distribuição. características desta Distribuição.

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Distribuição NormalDistribuição Normal* * Função GeratrizFunção Geratriz * *

O modelo matemático desta distribuição é:O modelo matemático desta distribuição é:

Em que: Em que: μμ é a média e é a média e σσ22 é a variância. é a variância.Notação: Notação: X X N ( N ( , , 2)2)

os detalhes matemáticos desta função não os detalhes matemáticos desta função não serão discutidos e sim o seu aspecto serão discutidos e sim o seu aspecto conclusivo através de seu gráfico que é:conclusivo através de seu gráfico que é:

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Distribuição NormalDistribuição Normal* Gráfico de sua Função* Gráfico de sua Função * *

0

0, 05

0, 1

0, 15

0, 2

0, 25

0, 3

0, 35

0, 4

0, 45

μ

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Distribuição NormalDistribuição Normal* Normal Padrão* Normal Padrão**

Um caso particular de importância Um caso particular de importância fundamental da distribuição normal é fundamental da distribuição normal é aquela pela qual: aquela pela qual:

a.a. Média: Média: = 0; = 0;

b.b. Variância: Variância: 22 = 1. = 1.

Nesta caso a variável é representado Nesta caso a variável é representado pela letra Z.pela letra Z.

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Normal PadrãoNormal PadrãoGráfico Gráfico

O seu gráfico é o mesmo da geral, O seu gráfico é o mesmo da geral,

simplesmente que, devido ao fato do simplesmente que, devido ao fato do

ponto de máximo ser na média e aqui a ponto de máximo ser na média e aqui a

média é Zero, indica que a curva é média é Zero, indica que a curva é

simétrica em ralação ao eixo vertical (Z).simétrica em ralação ao eixo vertical (Z).

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Normal PadrãoNormal PadrãoGráficoGráfico

μ = 0

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Valores da Distribuição Valores da Distribuição Normal (0,1)Normal (0,1)

Na era atual da informática, qualquer valor Na era atual da informática, qualquer valor

desejado de se ter da distribuição normal desejado de se ter da distribuição normal

encontra-se em toda planilha eletrônica, encontra-se em toda planilha eletrônica,

alem disso todo livro de estatística traz alem disso todo livro de estatística traz

uma tabela em que encontra os seus uma tabela em que encontra os seus

valores principais.valores principais.

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Valores da Valores da Normal (0,1) Normal (0,1) Forma de Apresentação Forma de Apresentação

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Forma de ApresentaçãoForma de ApresentaçãoAmpliando e InterpretandoAmpliando e Interpretando

Os valores de Z você lê:Os valores de Z você lê:Parte inteira e primeira decimal na coluna 1;Parte inteira e primeira decimal na coluna 1;Segunda casa decimal na primeira linha. Segunda casa decimal na primeira linha.

Page 16: Cap4 - Parte 7 - Distribuição Normal

Forma de ApresentaçãoForma de ApresentaçãoAmpliando e InterpretandoAmpliando e Interpretando

A probabilidade você lê no cruzamento da A probabilidade você lê no cruzamento da

primeira coluna com a da primeira linha.primeira coluna com a da primeira linha.

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Forma de ApresentaçãoForma de ApresentaçãoIlustraçãoIlustração

Para z = 0,63, a probabilidade digitada é: Para z = 0,63, a probabilidade digitada é: 0,2357.0,2357.

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Forma de ApresentaçãoForma de ApresentaçãoInterpretandoInterpretando

Pelos valores da probabilidade digitada Pelos valores da probabilidade digitada tem que para: z=0,00 a probabilidade é: tem que para: z=0,00 a probabilidade é: 0,000, isto significa que é o ponto de 0,000, isto significa que é o ponto de inicio, ou seja para valores a partir do eixo inicio, ou seja para valores a partir do eixo vertical. vertical.

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Forma de ApresentaçãoForma de ApresentaçãoInterpretando - GraficamenteInterpretando - Graficamente

Assim a tabela nos traz apenas os valores Assim a tabela nos traz apenas os valores para z positivo, e com isto é necessário, para z positivo, e com isto é necessário, tomar os cuidados a seguir:tomar os cuidados a seguir:

0 z

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Uso da Tabela N(0,1)Uso da Tabela N(0,1)DetalhesDetalhes

1.1. Sendo uma Curva Probabilística, a área Sendo uma Curva Probabilística, a área

total é a probabilidade do Espaço total é a probabilidade do Espaço

Amostral e assim seu valor é igual a 1,0;Amostral e assim seu valor é igual a 1,0;

2.2. O eixo vertical divide a curva em dois O eixo vertical divide a curva em dois

lados: Da Direita (Valores Positivos de z) lados: Da Direita (Valores Positivos de z)

e Da Esquerda (Valores Negativos de z); e Da Esquerda (Valores Negativos de z);

0 z

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Uso da Tabela N(0,1)Uso da Tabela N(0,1)Detalhes - ContinuaçãoDetalhes - Continuação

3.3. A Curva Normal é Simétrica em torno do A Curva Normal é Simétrica em torno do eixo vertical, ou seja, o comportamento eixo vertical, ou seja, o comportamento do Lado Direito e Esquerdo são Idênticos, do Lado Direito e Esquerdo são Idênticos, foi devido a esta característica que foi devido a esta característica que tabelou a Normal no formato acima;tabelou a Normal no formato acima;

4.4. Por ser Simétrica, cada lado possui a Por ser Simétrica, cada lado possui a mesma área, e como a área total é 1,0, a mesma área, e como a área total é 1,0, a área total de cada lado é igual a 0,5. área total de cada lado é igual a 0,5.

0 z

Page 22: Cap4 - Parte 7 - Distribuição Normal

Uso da Tabela N(0,1)Uso da Tabela N(0,1)Detalhes - ContinuaçãoDetalhes - Continuação

5.5. Uma maneira fácil de encontrar o valor Uma maneira fácil de encontrar o valor

desejado é encontrar o desejado desejado é encontrar o desejado

somente pelo lado direito, somente pelo lado direito,

posteriormente pelo lado esquerdo e posteriormente pelo lado esquerdo e

após somar estas áreas que representará após somar estas áreas que representará

a probabilidade procurada, procedendo a probabilidade procurada, procedendo

desta maneira, em cada um dos lados, as desta maneira, em cada um dos lados, as

situações possíveis serão:situações possíveis serão:

Page 23: Cap4 - Parte 7 - Distribuição Normal

Uso da Tabela N(0,1)Uso da Tabela N(0,1)Situação 1: P( 0 ≤ Z < + ∞ )Situação 1: P( 0 ≤ Z < + ∞ )

0

Abrangeu um lado por inteiro, sua área vale 0,5.

Page 24: Cap4 - Parte 7 - Distribuição Normal

Uso da Tabela N(0,1)Uso da Tabela N(0,1)Situação 2: P( 0 ≤ Z < z )Situação 2: P( 0 ≤ Z < z )

0 z

O valor desta área é o número lido diretamente na tabela

Page 25: Cap4 - Parte 7 - Distribuição Normal

Uso da Tabela N(0,1)Uso da Tabela N(0,1)Situação 3: P( Z > z )Situação 3: P( Z > z )

0 z

Como a área procurada é a que está em cor escura, o seu valor é:

a área total (0,50) menos a área com sombra clara

(Que é a área tabelada pelo valor de z)

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Uso da Tabela N(0,1)Uso da Tabela N(0,1)Situação 3: P( Z > z )Situação 3: P( Z > z )

0 z1 z2

A Área em negrito, ou seja, a procurada, é a diferença: entre a Área Tabelada pelo Valor de z2

e a Área Tabelada pelo valor de z1

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Uso da Tabela N(0,1)Uso da Tabela N(0,1)Resumo de SituaçõesResumo de Situações

Situação 1: P( 0 ≤ Z < + ∞ ) = 0,5 Situação 2: P( 0 ≤ Z < z ) = p(ztabela)

0

0 z

Situação 3: P( Z > z )= 0,5 – p(ztabela) Situação 4: P( z1 ≤ Z < z2 ) = p(z1) – p(z2)

0 z

0 z1 z2

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Uso da Tabela N(0,1)Uso da Tabela N(0,1)Exemplo 1Exemplo 1

Se Z ~ N(0, 1), determine as seguintes Se Z ~ N(0, 1), determine as seguintes probabilidades:probabilidades:

a.a. P(0 < Z < 1,23)P(0 < Z < 1,23)

No Gráfico da Normal Padrão

0 1,23

Como abrangeu um lado,

partindo da origem:

( Pela Situação 2)

É o valor lido diretamente na tabela

Page 29: Cap4 - Parte 7 - Distribuição Normal

Uso da Tabela N(0,1)Uso da Tabela N(0,1)Exemplo 1Exemplo 1

Se Z ~ N(0, 1), determine:Se Z ~ N(0, 1), determine:

a.a. P(0 < Z < 1,23)P(0 < Z < 1,23)

Pela tabela: P(0 < Z < 1,23) =0,3907Pela tabela: P(0 < Z < 1,23) =0,3907

Page 30: Cap4 - Parte 7 - Distribuição Normal

Uso da Tabela N(0,1)Uso da Tabela N(0,1)Exemplo 1Exemplo 1

b.b. P(Z > 1,47)P(Z > 1,47)

No Gráfico da N(0,1)

0 1,47

Como abrangeu um lado, a

partir de um valor

intermediário até infinito

( Pela Situação 3)

É 0,5 subtraído o valor lido na tabela,

Page 31: Cap4 - Parte 7 - Distribuição Normal

Uso da Tabela N(0,1)Uso da Tabela N(0,1)Exemplo 1Exemplo 1

b.b. P(Z > 1,47)P(Z > 1,47)

P(Z > 1,47) = P(1,47 < Z < +P(Z > 1,47) = P(1,47 < Z < +))

P( Z > 1,47) = 0,5 – 0,4292 P( Z > 1,47) = 0,5 – 0,4292

P( Z > 1,47) = 0,0708P( Z > 1,47) = 0,0708

Page 32: Cap4 - Parte 7 - Distribuição Normal

Uso da Tabela N(0,1)Uso da Tabela N(0,1)Exemplo 1Exemplo 1

c.c. P(– 0,83 < Z < 1,23)P(– 0,83 < Z < 1,23)

Gráfico da Normal

- 0,88 0 1,23

Abrangeu dois lados,

assim encontra o valor

em cada lado e

posteriormente soma.

Page 33: Cap4 - Parte 7 - Distribuição Normal

Uso da Tabela N(0,1)Uso da Tabela N(0,1)Exemplo 1Exemplo 1

c.c. P(– 0,83 < Z < 1,23)P(– 0,83 < Z < 1,23)

Lado Direito Lado Esquerdo

Gráfico da Normal

0 1,23

Gráfico da Normal

-0,88 0

Na Tabela:

P(0<Z<1,23) = 0,3907

Na Tabela:

P(- 0,88<Z<0) = 0,2967

Page 34: Cap4 - Parte 7 - Distribuição Normal

Uso da Tabela N(0,1)Uso da Tabela N(0,1)Exemplo 1Exemplo 1

c.c. P(– 0,83 < Z < 1,23)P(– 0,83 < Z < 1,23)

Probabilidade Procurada:Probabilidade Procurada:

P(-0,83 < Z < 1,23) = 0,3907 + 0,2967P(-0,83 < Z < 1,23) = 0,3907 + 0,2967

P(-0,83 < Z < 1,23) = 0,6874P(-0,83 < Z < 1,23) = 0,6874

Page 35: Cap4 - Parte 7 - Distribuição Normal

Uso da Tabela N(0,1)Uso da Tabela N(0,1)Exemplo 1Exemplo 1

d.d. P(Z < –2,19 ou Z > 1,56)P(Z < –2,19 ou Z > 1,56)

Gráfico da Normal

-2,19 0 1,56

Abrangeu os dois

lados, acha o

valor por cada

um e soma estes

valores.

Page 36: Cap4 - Parte 7 - Distribuição Normal

Uso da Tabela N(0,1)Uso da Tabela N(0,1)Exemplo 1 – item d (P(-2,19 < Z < 1,59))Exemplo 1 – item d (P(-2,19 < Z < 1,59))

Lado Direito Lado Esquerdo

Gráfico da Normal

0 1,56

Gráfico da Normal

-2,19 0

Na Tabela (situação 3):

P(Z>1,56) = 0,5 - 0,4456 = 0,0546

Na Tabela(situação 3):

P(Z<-2,19) = 0,5 - 0,4857 = 0,0143

Page 37: Cap4 - Parte 7 - Distribuição Normal

Uso da Tabela N(0,1)Uso da Tabela N(0,1)Exemplo 1 – item d (P( Z <-2,19 ou Z > 1,59))Exemplo 1 – item d (P( Z <-2,19 ou Z > 1,59))

Probabilidade Procurada:Probabilidade Procurada:

P(Z > -2,19 ou Z < 1,59) = 0,0546 + 0,0143P(Z > -2,19 ou Z < 1,59) = 0,0546 + 0,0143

P(-2,19 < Z < 1,59) = 0,2029P(-2,19 < Z < 1,59) = 0,2029

Page 38: Cap4 - Parte 7 - Distribuição Normal

Uso da Tabela N(0,1)Uso da Tabela N(0,1)Achando Z Quando Conhece ProbabilidadeAchando Z Quando Conhece Probabilidade

Neste caso, a única situação possível de Neste caso, a única situação possível de encontrar é o caso de existência de área encontrar é o caso de existência de área em um único lado (Unilateral), sendo que em um único lado (Unilateral), sendo que se os valores forem simétrico é possível se os valores forem simétrico é possível transformar para a situação possível transformar para a situação possível bilateral.bilateral.

Porem para facilidade do aluno, basta Porem para facilidade do aluno, basta olhar na tabela de Valores Críticos de Z.olhar na tabela de Valores Críticos de Z.

Page 39: Cap4 - Parte 7 - Distribuição Normal

Uso da Tabela N(0,1)Uso da Tabela N(0,1)Tabela de Valores CríticosTabela de Valores Críticos

Valores Críticos da Distribuição Normal Padrão Caso 1 : Unilateral P(-∞ < Z < z ) = β (β=Área sob a Curva)

z

β 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,10 0,20 0,30 0,40

Z -2,326 -2,054 -1,881 -1,751 -1,645 -1,282 -0,842 -0,524 -0,253

β 0,60 0,70 0,80 0,90 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99

Z 0,253 0,524 0,842 1,282 1,645 1,751 1,881 2,054 2,326

Page 40: Cap4 - Parte 7 - Distribuição Normal

Uso da Tabela N(0,1)Uso da Tabela N(0,1)Tabela de Valores CríticosTabela de Valores CríticosValores Críticos da Distribuição Normal Padrão

Caso 2 : Bilateral P(- z < Z < z ) = β (β=Área sob a Curva)

-z +z

β 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70

Z 0,126 0,253 0,385 0,524 0,674 0,842 1,036

β 0,80 0,90 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99

Z 1,282 1,645 1,960 2,054 2,170 2,326 2,576

Page 41: Cap4 - Parte 7 - Distribuição Normal

Uso da Tabela N(0,1)Uso da Tabela N(0,1)Valores Críticos - ExemploValores Críticos - Exemplo

Se Z ~ N(0,1), ache o valor de z que Se Z ~ N(0,1), ache o valor de z que satisfaz:satisfaz:

a.a. P(Z < z) = 0,80 P(Z < z) = 0,80

Por ser simplesmente menor que o Por ser simplesmente menor que o valor pré-definido, indica que abrange o valor pré-definido, indica que abrange o lado esquerdo na totalidade, ou seja é lado esquerdo na totalidade, ou seja é UNILATERAL.UNILATERAL.

Page 42: Cap4 - Parte 7 - Distribuição Normal

Uso da Tabela N(0,1)Uso da Tabela N(0,1)Valores Críticos - ExemploValores Críticos - Exemplo

a.a. Continuando:Continuando:

Basta então olhar na tabela Unilateral:Basta então olhar na tabela Unilateral:

Olhando tem:Olhando tem:

z = 0,842z = 0,842

Valores Críticos da Distribuição Normal Padrão Caso 1 : Unilateral P(-∞ < Z < z ) = β (β=Área sob a Curva)

z

β 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,10 0,20 0,30 0,40

Z -2,326 -2,054 -1,881 -1,751 -1,645 -1,282 -0,842 -0,524 -0,253

β 0,60 0,70 0,80 0,90 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99

Z 0,253 0,524 0,842 1,282 1,645 1,751 1,881 2,054 2,326

Page 43: Cap4 - Parte 7 - Distribuição Normal

Uso da Tabela N(0,1)Uso da Tabela N(0,1)Valores Críticos - ExemploValores Críticos - Exemplo

b.b. P( - z < Z < + z) = 0,95 P( - z < Z < + z) = 0,95

Neste caso envolveu os dois lados (Maior Neste caso envolveu os dois lados (Maior que –z e menor que +z) assim é bilateralque –z e menor que +z) assim é bilateral

Na tabela:Na tabela:

Z = 1,96Z = 1,96

Valores Críticos da Distribuição Normal Padrão Caso 2 : Bilateral P(- z < Z < z ) = β (β=Área sob a Curva)

-z +z

β 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70

Z 0,126 0,253 0,385 0,524 0,674 0,842 1,036

β 0,80 0,90 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99

Z 1,282 1,645 1,960 2,054 2,170 2,326 2,576

Page 44: Cap4 - Parte 7 - Distribuição Normal

Uso da N(0,1) para outras Uso da N(0,1) para outras distribuições normais.distribuições normais.

Neste caso simplesmente basta utilizar o Neste caso simplesmente basta utilizar o

teorema abaixo e o procedimento já visto:teorema abaixo e o procedimento já visto:

Page 45: Cap4 - Parte 7 - Distribuição Normal

Interpretação do TeoremaInterpretação do Teorema

O teorema acima nos diz que qualquer O teorema acima nos diz que qualquer

que seja a distribuição Normal, é possível que seja a distribuição Normal, é possível

transformá-la em uma Normal Reduzida, e transformá-la em uma Normal Reduzida, e

assim unicamente com o Uso da Tabela assim unicamente com o Uso da Tabela

N(0,1) resolve todos os problemas N(0,1) resolve todos os problemas

envolvendo variável que possua:envolvendo variável que possua:

Distribuição Normal. Distribuição Normal.

Page 46: Cap4 - Parte 7 - Distribuição Normal

Distribuição Normal GeralDistribuição Normal GeralExemplo 1Exemplo 1

O peso de criança ao nascer, na cidade O peso de criança ao nascer, na cidade de Goiânia, tem distribuição normal de de Goiânia, tem distribuição normal de média 3220,1 g e desvio padrão de média 3220,1 g e desvio padrão de 503,2 g. Ache a porcentagem de crianças 503,2 g. Ache a porcentagem de crianças em Goiânia que nascerão com peso:em Goiânia que nascerão com peso:

a.a. Abaixo de 2500 (Desnutrida) Abaixo de 2500 (Desnutrida) b.b. Entre 2500 e 4500 gEntre 2500 e 4500 gc.c. Acima de 5500Acima de 5500

Page 47: Cap4 - Parte 7 - Distribuição Normal

Distribuição Normal GeralDistribuição Normal GeralExemplo 1Exemplo 1

Comentário sobre estes dados:Comentário sobre estes dados:

1.1. As informações aqui relatadas se referem As informações aqui relatadas se referem a uma pesquisa realizada pela Doutora a uma pesquisa realizada pela Doutora Margareth Giglio, em que coletou as Margareth Giglio, em que coletou as informações completas das 17 mil informações completas das 17 mil crianças que nasceram em Goiânia no crianças que nasceram em Goiânia no ano de 2001.ano de 2001.

2.2. Foi realizado um teste que comprovou Foi realizado um teste que comprovou que possui Distribuição Normal.que possui Distribuição Normal.

Page 48: Cap4 - Parte 7 - Distribuição Normal

Distribuição Normal GeralDistribuição Normal GeralExemplo 1 - SoluçãoExemplo 1 - Solução

Seja X a v.a. “ Peso de uma criança ao Seja X a v.a. “ Peso de uma criança ao nascer em Goiânia”nascer em Goiânia”

Pelas informações tem que:Pelas informações tem que:

i.i. Média = 3220,1 gramas;Média = 3220,1 gramas;

ii.ii. Desvio Padrão = 503,2 gramas;Desvio Padrão = 503,2 gramas;

iii.iii. X possui Distribuição Normal;X possui Distribuição Normal;

iv.iv. Assim tem: X~N(3220,1 ; 503,2Assim tem: X~N(3220,1 ; 503,222).).

Page 49: Cap4 - Parte 7 - Distribuição Normal

Distribuição Normal GeralDistribuição Normal GeralExemplo 1 - SoluçãoExemplo 1 - Solução

Pelo teorema da Normal tem-se:Pelo teorema da Normal tem-se:

Como X ~N(3220,1 ; 503,1Como X ~N(3220,1 ; 503,122))

Então:Então:

Page 50: Cap4 - Parte 7 - Distribuição Normal

Distribuição Normal GeralDistribuição Normal GeralExemplo 1 - SoluçãoExemplo 1 - Solução

a.a. Abaixo de 2500 (Desnutrida) Abaixo de 2500 (Desnutrida)

Aqui: X = 2500, que substituindo fica:Aqui: X = 2500, que substituindo fica:

Na tabela N(0,1) vem:Na tabela N(0,1) vem:

Page 51: Cap4 - Parte 7 - Distribuição Normal

Exemplo 1 – SoluçãoExemplo 1 – SoluçãoAbaixo de 2500 (Desnutrida) Abaixo de 2500 (Desnutrida)

Pelo Gráfico:Pelo Gráfico:

Situação 3.Situação 3.

Assim: P(X < 2500) = 0,5 – 0,4236Assim: P(X < 2500) = 0,5 – 0,4236 P(X < 2500) = 0,0764.P(X < 2500) = 0,0764.Resposta: 7,64% nascerão desnutrida.Resposta: 7,64% nascerão desnutrida.

Gráfico da Normal

-1,43 0

Page 52: Cap4 - Parte 7 - Distribuição Normal

Exemplo 1 – SoluçãoExemplo 1 – SoluçãoAbaixo de 2500 (Desnutrida)Abaixo de 2500 (Desnutrida)

Comentário sobre o resultado encontrado:Comentário sobre o resultado encontrado:

Como sabe:Como sabe:

1.1. Os dados partiram de dados reais;Os dados partiram de dados reais;

2.2. O tamanho da Amostra foi muito alto O tamanho da Amostra foi muito alto (17000);(17000);

3.3. Foi comprovado que possui distribuição Foi comprovado que possui distribuição Normal.Normal.

Assim, 7,64% é a Prevalência de Crianças ao Assim, 7,64% é a Prevalência de Crianças ao Nascer em Goiânia e que nascem desnutrida. Nascer em Goiânia e que nascem desnutrida.

Page 53: Cap4 - Parte 7 - Distribuição Normal

Exemplo 1 – SoluçãoExemplo 1 – SoluçãoEntre 2500 e 4500Entre 2500 e 4500

Aplicando o Teorema, fica:Aplicando o Teorema, fica:

Page 54: Cap4 - Parte 7 - Distribuição Normal

Exemplo 1 – SoluçãoExemplo 1 – SoluçãoAcima de 5000 gAcima de 5000 g

No teorema: No teorema:

Na tabela N(0,1)Na tabela N(0,1)

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Exemplo 1 – SoluçãoExemplo 1 – SoluçãoAcima de 5000 g - NotaAcima de 5000 g - Nota

Devido a que até a quarta casa decimal Devido a que até a quarta casa decimal ocorreram somente Zeros, Não diz que a ocorreram somente Zeros, Não diz que a probabilidade é NULA (variável contínua) probabilidade é NULA (variável contínua) mas sim: p < 0,0001;mas sim: p < 0,0001;

No presente caso, quer dizer: Nascer No presente caso, quer dizer: Nascer criança com peso acima de 5 000 gramas criança com peso acima de 5 000 gramas é coisa muito rara (Inferior a UMA criança é coisa muito rara (Inferior a UMA criança em um grupo de DEZ MIL nascimentos).em um grupo de DEZ MIL nascimentos).

Page 56: Cap4 - Parte 7 - Distribuição Normal

Exemplo 2Exemplo 2

Sabendo que 1,0% das crianças que Sabendo que 1,0% das crianças que

nascem são classificadas como nascem são classificadas como

Desnutrição Severa, ache o peso máximo Desnutrição Severa, ache o peso máximo

para que uma criança seja considerada para que uma criança seja considerada

Desnutrida de forma severa.(Use os Desnutrida de forma severa.(Use os

dados do problema 01) dados do problema 01)

Page 57: Cap4 - Parte 7 - Distribuição Normal

Exemplo 2Exemplo 2SoluçãoSolução

Seja x o ponto de corte pelo qual abaixo Seja x o ponto de corte pelo qual abaixo dele estão as crianças com desnutrição dele estão as crianças com desnutrição severa.severa.

Como desnutrição é Baixo Peso, pelos Como desnutrição é Baixo Peso, pelos dados do exemplo 1, vem:dados do exemplo 1, vem:

Page 58: Cap4 - Parte 7 - Distribuição Normal

Exemplo 2Exemplo 2SoluçãoSolução

Com o uso da Tabela de Pontos críticos, Com o uso da Tabela de Pontos críticos, unilateral, tem:unilateral, tem:

Desnutrição severa serão aquelas que nasçam Desnutrição severa serão aquelas que nasçam com peso inferior a 2 049,7 gramascom peso inferior a 2 049,7 gramas

Valores Críticos da Distribuição Normal Padrão Caso 1 : Unilateral P(-∞ < Z < z ) = β (β=Área sob a Curva)

z

β 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,10 0,20 0,30 0,40

Z -2,326 -2,054 -1,881 -1,751 -1,645 -1,282 -0,842 -0,524 -0,253

β 0,60 0,70 0,80 0,90 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99

Z 0,253 0,524 0,842 1,282 1,645 1,751 1,881 2,054 2,326

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Distribuição Distribuição

NormalNormal

FIMFIMProf. Gercino Monteiro FilhoProf. Gercino Monteiro Filho