APENDICE

NUMERO NATURAL

Deus fez os numeros naturais,o resto e obra dos homens,

Leopold Kronecker

No decorrer destas notas, mostramos como os inteiros modulom e os numeros racionais podem ser construidos a partir dos intei-ros, Da mesma forma, pode-se dar uma construs;ao dos numeros reaisa partir dos racionais e dos numeros complexos a partir dos reais,

Mas, e os nlimeros inteiros? Mostraremos neste apendice que elesproprios podem ser construidos a partir do conjunto, mais simples, dosnumeros naturais (isto e, os numeros do conjunto (O, I, 2, 3, ... }).

Finalmente, os numeros naturais podem ser apresentados comourn conjunto, cuja existencia admitimos, em que vale urn reduzidoOl1mcro de axiom as. Isso justifica a citas;ao de Kronecker acima.

IId:I,Od0 de iu~eppe Peano que apresentamos aqui se baseia110 1':110!II' '1\1(' oS 1I(1I11('I'OS1I:lllll'tlis pod '111sel' ordcnados nUl11a se-q(\ }I( 1.111.1(111:11(' 111:1('1('111('11101('11111111",Sll('(;SSOI'''h(;111dcl'illido. POl'

r:llisa disso, diz-se uma teoria ordinal. Uma ou tra fundamen tac;:aopos-.~ivd~cria construir uma teoria cardinal, isto e, formalizar a ideia in tui-IiV:1- que foi tambem a primeira a ser concebida - de que 0 numero('xl)J'cssa quantidade: Esse caminho, porem, nos levari a a introduzir('Oil 'ci tos da Teoria dos Conjun tos, estendendo em demais estas notas.

Na sua fundamentac;:ao, formulada em 1879 na linguagem da"'po 'a, Peano admite tres conc'eitos primitivos: numero natural, zero(. S/lccssor, relacionados entre si pOI' cinco axiomas. Indicaremos pOI'

(/I) 0 "sucessor" do numero n e, como e usual, utilizaremos 0 sim-holo 0 para indicar 0 zero.

Com essas notac;:6es, os axiomas sac os seguintes:

Indicaremos pOI' N+0 conjunto de todos os naturais diferentesde zero. Note que 0(0) E N+ e, conforme 0 axioma P.2, tern os queo t: 0(0) ; isso mostra que N+ e nao-vazio.

Ainda, podemos provar que todo natural diferente de zero esucessor de algum numera, Mais formalmente:

(1) 0 e urn numero natural.(2) Todo numera natural n tern urn "sucessor" s(n) .

(3) 0 nao e "sucessor" de nenhum numera,(4) Se 0(n) = 0(n), entao n = m.(5) Principio da Induc;:ao Completa: Seja Sum conjunto de

numeros naturais tal que:(;1) 0 E S

(I» Se n E S, entio 0(n) E S.Entao, S e 0 conjunto de todos os numeros naturais.

DEMONSTRACAo

Basta considerar 0 conjunto A= (O} u Im(0). Obviamente,o E A e, se n E A, entao 0(n) E A (pois 0(n) E 1m (0» .

Logo, pelo axioma P.3, A = N. Assim, dado urn naturaln E N,como n E A e n t: 0, devemos tel"n E Im(0). •

Dado urn natural n t: 0, 0 numero natural m tal que 0(m) = /I

chama-se 0 antecessor de n, e n chama-se 0 sucessorde m.

A vantagem da apresentac;:ao que estamos desenvolvendo ' (III('nela admitimos muito pouco. Mostraremos a seguir que se pod III r!t"finir as operac;:6es de soma e produto e demonstrar que elas 101i1:I,propriedades que admitimos no primeiro capitulo. Em contrap'lI'lid:!, (I

leitor notaci que 0 maior inconvenien te e a quan tidade de traba III(I Ill'

cessaria para obter resultados que nos parecem in tuitivam en lC6hvi(l, ,Comec;:aremos pOI' definir a soma. Queremos dar urn Sigllilir:1

do ao simbolo m+n, para todo par de numeros m, n EN. Par:! isso,procederemos em duas etapas. Primeiro considerarcmos urn 1/1 lix(l (.indicaremos 0 que entendemos pOI' m+l1 para qualqucr JJ - N. Ikpois, verificarcmos que a soma esl<'ibcm ddinida, p;1I"1.todo P:II' dt·nluneros nalurais.

Dcnotaremos pOI' N 0 conjunto dos numeras naturais.r Tqje em dia estamos acostumados a expressar as ideias matema-

lir:ls ('In Icrrnos de conjuntos e func;:6es; vamos "traduzir", entio, asd<'-i:l.~d<:P<:ano nessa linguagem.

'I

Nniall'l0S inicialrnente que 0 conceito primitivo de sucessor nadaIII:ds (, do qll<: urna fUI;\I;:ao,quc a cada numero associa Dutro; 0 axioma'I :I(H'II:IS:1111'1 na Cjuc ~~safunc;:a.oesta definida em todo N .

!\dlllilirCll1os, ~JllaO, quc cxiSlC urn conjunto N e uma func;:aoI: N N V('rifiC<llldo:

!\ rill! ':io ('111,J<'IOr(l.S,;j:l /111111sl!lJ('Olljl!lllO d(' N 1:11(!'It":

o /1.

III I 0 III,

III I II /I 11 III I /I ,

Note que sabemos somar m com 0 e que a segunda condi~aoIIOSpermite somar m com 0 sucessor de 0" com 0 sucessor do sucessor(1(,() ete. Temos, entao:

Stja mEN um numero natural dado. Entao, a soma m+n'.\'1:; Icfinida para todo numero natural n EN.

Ainda, suponhamos que pES, isto e, quem + (n + p) = (m + n) + p.

1 )1':MONSTRACAo

Seja A 0 conjunto de naturais para os quais a soma m+n esta(lI'fillida.

onforme a condi~ao (i) da defini~ao anterior, temos que 0 E A,(' (1:1<'Ondi~ao (ii) temos que, se m+n esta definido, entao m + 0(n)1:1I111){;111csta definido ou, em simbolos, se n E A, entao 0(n) E A.

Do axioma de indu~ao temos que A = N e segue a tese. •

m + (n + 0 (p» = m + 0 (n + p) = 0 (m + ( n +p» ==0 (( m + n ) + p) = ( m + n) +0 (p ) .

Temos usado aqui, repetidamente, a condi~ao (ii) da defini~ao5.1.3. •

NOl.al11OSagora que, para cada mEN, sabemos que a somaIII I /I ,~tii, definida para todo natural n EN, 0 que quer dizer que/1111/ csla dcfinida para todo par de numeros naturais m, n .

Como 0 leitor deve estar come~ando a suspeitar, elaborar toda a!('Ol'i:l a p'ntir dos axiomas de Peano nao passa agora de urn Ion go(' (,.dl·in de indu~ao.

MOsll'arCl110s, a titulo de ilustra~ao, como podem ser demons-1I,I(I:i.~:t1gllll1'~,Sdas propriedades, e deixaremos as restantes ao leitor1ll('l'('Ssa(lo qll , temos c'~rteza, nao encontrara maiores dificuldades.

DEMONSTRACAo

A primeira igualdade segue da propria defini~ao.Para provar a segunda, consideramos 0 conjunto de naturais

Obviamente, 0 EA.

Ainda, se O+m= m, temos que 0 + 0(m) = 0(0 + m) = 0(m),logo, verifica-se tambem a partir de (ii) do axioma P.3, e temos queA=N.

Ainda precisariamos demonstrar que 0 e 0 unico e1emento neu-tro, pois, apriori, nada impede que algum outro natural uverifique1.1 + m = m + lJ = m, para todo m. •

Illr.~IIINII'I'I\I\(,:A( )

,'1'111 Sp (OIlJIIIIIO do, lIillll!'I'(\, 1I:11l1I~1i,I) I:d, lilli' 11/I (II I I)/11111 II', p,ll.llo(lOp:1I .11'11111111:111/11,11,1',11.1<1,'1110111111:11:1

111111111 111,11111.11.1 pili ,II IIIit' .'1' I ,

I )1':MONS1'RACAo

eja u urn elemento neutro, e consideremos a soma O+u,Como u e neutro, por hip6tese, temos 0 + u = 0 ,Ainda, como provamos que 0 0 e neutro, temos tambem O+u = u,Logo, 0 = u,

DEMONSTRACAo

Mais uma vez, usaremos uma tecnica semelhante aquela dasproposic;:oes anteriores, Consideremos 0 conjunto

Pa.ra evitar algumas dificl,ll<;iadesna demonstrac;:ao da proprie-d:ldl' cornutativa, introduziremos primeiro 0 elemento 1.

Da proposic;:ao 5,1.6 temos que 0 EA.Seja entio mEA. Provaremos que tambem a(m) EA. Com

efeito, temos

Ilidicaremos por 1 0 numero natural que e 0 sucessor de 0, isto(0) . Assim, do axioma P.3 segue, mais uma vez, que A = N .

A definic;:io de produto sera feita de forma analoga a soma. •

I)I':MON,"I'1(i\(;AO

St:i" Il = I mEN I a(m) = 1 + m }Ol>vi'uo 'nte, 0 E A, pois a(O) = 1 + 0 = 1S(:j", CIII~lO, mEA. Mostraremos que a(m) E A

:( III '/'cito, como a(m) = 1 + m, temos que

m· 0= 0m . a(n) = m . n + m .

Deixaremos a cargo do leitor provar que 0 produto m· n estade fato definido para todo par de numeros naturais e demonstrar aspropriedades do produto (veja os exercfcios 1, 2 e 3).

Indicaremos a seguir como se pode definir a relac;:io ::;em N.

Sejam men numeros naturais. Diremos que m e men or ouigual a n se existir urn outro numero natural r tal que m + r= n .Em sfmbolos,

NOV:IIIII'ltI(·, dl'ix:IIIIOS :1CII'g'0 do kiior vnifioll' as prO( ri 'clacks c'hl11101 It I «1111 0, (' i'1'1' I'i(" II, I I' (\ ,