Análise no Domínio do Tempo de Sistemas Cont...

Sinais e SistemasEng. da Computação

Análise no Domínio do Tempo de Sistemas Contínuos

Prof. Aluizio Fausto Ribeiro AraújoDepto. of Sistemas de Computação

Centro de Informática - UFPE

ES 413 Sinais e Sistemas

Capítulo 2

1-2Sinais e SistemasEng. da Computação

Conteúdo• Introdução

• Resposta de Entrada Zero

• Resposta ao Impulso Unitário

• Resposta de Estado Zero

• Solução Clássica de Equações Diferenciais

• Estabilidade de Sistemas

• Parâmetros e Comportamento do Sistema


Análise no Tempo de SLCT (i)• Introdução

– Serão considerados sistemas diferenciais lineares para análise.

• Serão tratados sistemas lineares invariantes e contínuos no tempo (LTIC), descritos por:

)()()()( :polinômio de termosem ou,

: de uso o comrescrever se-Pode .constantes são e onde

)()()()(

)()(

11

1

11

1

11

1

1

11

1

1

txDPtyDQ

)x(t)bDbDbD(b

)y(t)aDaDa(D

Dba

txbdt

tdxb

dttxd

bdt

txdb

tyadtdya

dtyda

dttyd

NNM

MNM

MN

NNNN

ii

NNM

M

MNM

M

MN

NNN

N

N

N

=++++=

=++++

++++=

=++++

−−

+−−

−−

−−

−

+−−

−−

−

K

K

K

K


Análise no Tempo de SLCT (ii)• Introdução

– Valores de M e N, contudo não deve ocorrer M>N pois:

• A expressão anterior atuaria como diferenciador (função de transferência) de ordem (M-N). Isto poderia levar o sistema a instabilidade (BIBO) pois a derivada de uma entrada degrau unitário será ilimitada (função impulso unitário).

• Em geral, um sinal de ruído é rápido, gerando valores altos de derivadas. Logo o diferenciador aumenta seu efeito.

ZeroEstado de Resposta ZeroEntrada de Resposta totalResposta:por dada é totalresposta sua linear, é definido sistema o Como

frente. para daqui assumida será hipótese Esta. :utilizar portanto, se,-Recomenda

+=

≤ NM


Resposta de Entrada Zero (i)• Resposta para Condições Internas do Sistema

– Este componente é a resposta do sistema para entrada nula.

( )( ) ( ) 0)(

0)(

que se- tementão ,0 e 0)( hipótesepor Como,0)()()(

:forma a assume polinômio o forma, Desta

:lexponencia função de proriedade uma é Esta forma. mesma da são e existem derivadas todaszero, emresultar linear combinação a Para

0)(0

21

11

1

0

11

10

02

02

00

0011

1

=−−−=∴=++++=

≠≠=++++=

=⇒=⇒=⇒=

=∴=++++

−−

−−

−−

N

NNNN

tNN

NN

tNNttt

NNNN

Q

aaaQ

ctyeaaactyDQ

ec(t)yDec(t)yDec(t)Dyce(t)y

(t)yDQ(t))yaDaDa(D

λλλλλλλλλλλ

λλλ

λλλ

λ

λλλλ

K

K

K

K

K


Resposta de Entrada Zero (ii)• Resposta para Condições Internas do Sistema

Para raízes distintas:

tN

tt

NN

NN

NN

tNN

tNN

tt

N

NN

ececec(t)y

tyctyctycDQ

(t)yDQ(t)yDQ(t)yDQ(t)yDQ

(t)yDQ

ccccectyectyectyecty

(t)yDQN

λλλ

λλλλ

+++=

=+++

=====

=

====

=

−

−

−−−

K

K

K

KK

21

121

210

2211

121

0

121

112211

0

:por dada é geral solução a Assim,0)]()()()[((

:se- temlinear, é sistema o Como

0)()()()(

:0)( polinômio o menteindividual satisfaz solução Cada

sarbitrária constantes são ,,,, onde)(,)(,,)(,)(

:por dados ,0)( para soluções possíveis se-Tem


Resposta de Entrada Zero (iii)• Resposta para Condições Internas do Sistema

Para raízes distintas:

sistema. do ticoscaracterís modos doslinear combinação uma é zero entrada de respostaA completa. resposta na

minfluencia Estes modos.ou naturais modos ticos,caracterís modos dechamadas são zero entrada de sistema no ,1 isexponencia As

s.autovalore e naturais sfreqüência ticos,caracterís valoresticas,caracterís raízes de chamadas são equação desta raízes As

sistema. do ticacaracterís equação de 0)( esistema do ticocaracterís polinômio de )( se-chama Assim,

sistema. do ticascaracterís as com orelacionad é )( polinômio O

,N,,ie

QQ

Q

t?i K=

=λλ

λ


Resposta de Entrada Zero (iv)• Resposta para Condições Internas do Sistema

Para raízes repetidas:

.) :solução e

,,,,,, :ticoscaracterís modos os tem

)()()()(

:ticocaracterís polinômio o com sistema um para Assim .) :por dada é solução a Assim,

,,,, :ticoscaracterís modos os tem

,0)( diferencal equação a análogo, modo De

direta ãosubstituiçpor provada ,)()( solução com

,0)()2()( equação a Seja

11

1111

11

210

1

11

1210

12

0

210

02

022

0

tN

tr

trr

tttrtt

Nrr

trr

trttt

r

t

Nr

Nr

ececetctc( c(t)y

eeettee

Q

etctc( c(t)y

etettee

(t)yD

etccty

(t)yD(t)yDD(t)yDQ

λλλ

λλλλλ

λ

λλλλ

λ

λλλλλλλ

λ

λλλ

++++++=

−−−=

+++=

=−

+=

=−=+−=

+

+

+−

−

+

−

−

KK

KK

K

K

K


Resposta de Entrada Zero (v)• Resposta para Condições Internas do Sistema

Para raízes complexas:

– O procedimento é o mesmo que aquele para raízes reais. Nesta caso ter-se-á modos característicos complexos e forma de solução complexa.

– Pode-se optar por não se trabalhar com a forma complexa:

?)t(ce(t)y

eeeceeceecty

ec

cec

c

cc

ececty

ta

tjtjttjjtjj

jj

tjtj

+=

∴+=+=

==

+=

+−+−−+

−

−+

β

θβθβαβαθβαθ

θθ

βαβα

cos

)(222

)(

:resulta isto ,2

e 2

:conjugados são e se real é resposta a real, sistema um Para

,)(:pares aos ocorrem complexas Raízes

0

)()()()(0

21

21

)(2

)(10


Resposta de Entrada Zero (vi)• Resposta para Condições Internas do Sistema

– Exemplo Calcule a resposta de entrada zero para a equação:

.55 é zero entrada de respostaA

.5,552250

000

:equações de sistema do solução a se-segue ,2

:se-calcula ,constantes asachar Para .

:por dada solução a e , :são ticoscaracterís modos os

;2,1 são ticascaracterís raízes as qual o Para ,023 é sistema do ticacarcaterís equaçãoA

.50,00 para ,)23(

20

21

210

20

10

210

20

10

2210

2210

2

21

2

002

tt

tt

tt

tt

ee(t)y

ccccecec )(y

ccece c)(y

ecec (t)y

ece c(t)y

ee

)(y)(yDx(t)y(t)DD

−−

−−

−−

−−

+−=

=−=⇒

−=−−∴−−=−=

=+∴+==

−−=

+=

−=−==++

−===++

&

&

&

λλλλ


Resposta de Entrada Zero (vii)• Resposta para Condições Internas do Sistema

– Exemplo: Calcule a resposta de entrada zero para a equação:

.23 é zero entrada de respostaA

.273)3(370

3.0.30

:é equações de sistema do solução a ),3(3

:se-calcula ,constantes asachar Para .

:por dada solução a e , :são ticoscaracterís modos os

;3,3 são ticascaracterís raízes as qual o Para ,096 é sistema do ticacarcaterís equaçãoA

.70,30 para ,5396

30

2

2100

20

10

10

20

10

33210

3210

33

21

2

002

t

ttt

t

tt

t)e ((t)y

cccteecec )(y

cece c)(y

teecec (t)y

t)ec (c(t)y

tee

)(y)(y)x(t)D()y(t)D(D

−

−−−

−

−−

+=

=⇒

−=+−∴−+−=−=

=∴+==

−+−=

+=

−=−==++

−==+=++

&

&

&

λλλλ


Resposta de Entrada Zero (viii)• Resposta para Condições Internas do Sistema

– Exemplo: Calcule a resposta de entrada zero para a equação:

−==

⇒

−=−−∴==∴+==

+−+−=

+=

−−=+−==++

==+=++

−−

−

−−+−

463,3sen2cos

5sen6cos278.160

2cos0cos20

:por dada é solução a ,6sen66cos2

:se-calcula ,constantes asachar Para .6cos

:é forma na soluçãoA ., :ticoscaracterís modos os

;6262 são ticascaracterís raízes As ,0404 é sistema do ticacaracterís equaçãoA

.78.160,20 para ,2404

0

00

220

20

)62()62(

21

2

002

θθθ

λλ

cc

? c?c)(y

c?)( ce)(y

?)t(ce?)t(ce (t)y

?)t( ce(t)y

ee

j?,j?

)(y)(y)x(t)(D)y(t)D(D

tt

t

tjtj

&

&

&


Resposta de Entrada Zero (ix)• Resposta para Condições Internas do Sistema

– Calculando as constantes:

( ) ( )

( ) ( )

.3

6cos4 é zero entrada de respostaA

32463,3

tan

:fase de ângulo o se-Acha.416)463,3()2(sencos

:se- temequações duas as se-Somando)463,3(sen;)2(cos

quadrado ao termosos ambos elevando ,4633sen

2cos

20

1

22222

2222

−=

−=

−

=

=∴=∴−+=+

−==

−==

−

−

π

πθ

te(t)y

cc?c?c

?c?c

,?c?c

t


Resposta de Entrada Zero (x)• Resposta para Condições Internas do Sistema

– Condições Iniciais na Prática

• Em problemas reais, as condições iniciais devem ser geradas a partir das situações físicas.

• As condições iniciais imediatamente anteriores a t=0, em geral, são diferentes das condições iniciais imediatamente após a aplicação da entrada.

• Imediatamente antes da aplicação da entrada, tem-se a resposta de entrada zero.

+− == 0 e 0 :Notações tt


Resposta de Entrada Zero (xi)• Resposta para Condições Internas do Sistema

– Independência das Resposta de Entrada Zero e Estado Zero:

• Estes dois componentes do sistema são mutuamente independentes. Isto é, as duas respostas coexistem sem haver interferência de uma sobre a outra.

– Condições Auxiliares para Solução de Equações Diferenciais:

• Em geral, para se determinar unicamente y(t) a partir de sua N-ésima derivada, são necessárias N informações (restrições) sobre y(t). Tais restrições são geralmente chamadas de condições auxiliares e recebem denominação particular para quando t=0: condições iniciais.


Resposta ao Impulso Unitário (i)• Fundamentos

– Se for conhecida a resposta de um sistema a uma entrada impulso, pode-se determinar a resposta do sistema a uma entrada arbitrária x(t).

– Apresenta-se um método para determinar a resposta ao impulso unitário de um sistema LTIC descrito pela equação diferencial de ordem N: Q(D)y(t)=P(D)x(t). Onde Q(D) e P(D) são polinômios, onde . Para esta restrição, o caso mais geral é M=N.

– h(t) é a resposta de um sistema para uma entrada impulso em t=0, com todas as condições iniciais nulas em . Esta entrada gera armazenamento de energia, implicando em condições iniciais não nulas em .

NM ≤

)()(

)()(

11

10

11

1

txbDbDbDb

tyaDaDaD

NNNN

NNNN

++++=

=++++

−−

−−

K

K

−= 0t

+= 0t


Resposta ao Impulso Unitário (ii)• Fundamentos

– Como não há entrada após o impulso ter sido aplicado, o sistema responderá à condição inicial recém-criada.

– Assim, a resposta ao impulso h(t) é formada a partir dos modos característicos do sistema:

– Em t=0 pode haver no máximo um impulso, gerando:

– Assumindo x(t) como um impulso unitário, tem-se que

+≥= 0 ticoscaracterís modos dos termos)( tth

0 ticoscaracterís modos dos termos(t))( 0 ≥+= tAth δ

. para 0 com ticos,caracterís modos)()(:resposta como se- tem, para expressão a se-doSubstituin

),()()()(

00

110

11

NMbtbthh(t)

tbDbDbthaDaD NNN

NNN

<=+=

+++=+++ −−

δ

δKK


Resposta ao Impulso Unitário (iii)• Fundamentos

– Exemplo: Calcule a resposta ao impulso para o sistema:

2;14324)32()0(

11)()0(

.4,11;15)()()0(6)(5)()(

)()()0();()0( :impulso ao Devido

0;0 sejam e ;000 iniciais Condições

)()()(6)(5)( )()( e )()( para

)()()( :caract.) modos (só impulso ao Resposta

;3,2 065 é ticacaracterís Equação

0, como ,)1()65(

21

2120

20

1

2110

20

1

21121

121

211

21

32

21

212

02

=−=∴

−=−−∴−==−−=

=+∴==+=

−==⇒==+∴+=+++

⇒+==

====

+=++⇒==

+=

−=−=∴=++

=⇒<+=++

+

+

++−−

−−

ccccKecech

ccKecech

KKKKKtthtKtKtK

tKtKhtKh

K)(hK)h()(h)h(

ttththththtyttx

tuececth

bNMx(t)Dy(t)DD

tt

&

&&

&&&&

&&

&&&&

δδδδδ

δδδ

δδδ

λλλλ


Resposta ao Impulso Unitário (iv)• Resposta Impulso Unitário

– Método de Casamento de Impulso Simplificado:

• Busca reduzir procedimento para determinar h(t).

0)( logo ,0 Para

10,000)0 :iniciais condições

de sistema do ticoscaracterís modos doslinear combinação é onde

,:é unitário impulso ao resposta a

)()()()(

)()()()( :por definido LTIC sistema o Seja

00

12

0

110

11

==⇒<=====

+=

+++=+++

∴=

−−

−−

tbbNM

)(y)(y)(y(y

(t)y

(t)]u(t)[P(D)yd(t)bh(t)h(t)

txbDbDbtyaDaD

txDPtyDQ

Nn

Nnnn

n

n

NNN

NNN

δK&

KK


Resposta ao Impulso Unitário (v)• Resposta Impulso Unitário

– Exemplo: determine a resposta ao impulso h(t).

)()2()()()()]()([)( Portanto,

),()()( onde ),()]()([)( :se-Lembre

11

210

:que se temAssim,

.1)0(,0)0( :são iniciais condições As

.2)()( :Logo

2,1023:ticacaracterís eq.

),2( ordem segunda de sistema ),()()23(

2

2

1

21

21

221

221

212

2

tueetutytutyDPth

tDytyDPtutyDPth

cc

cccc

yy

ecectyececty

??)?(?

NtDxtyDD

ttnn

nnn

nn

ttn

ttn

−−

−−−−

+−===

==

−==

⇒

−−=+=

−

==−−=⇒+=

−=−=⇒=++

==++

&

&

&


Resposta de Estado Zero (i)• Introdução

– Resposta para condições inicias nulas.

– Uso do princípio da superposição para encontrar a resposta de um sistema a um sinal de entrada arbitrário x(t). Considere

. permanece área e )0 para Assim,.][ altura com pulso um é ][ onde

,limlim)(

:por dado é entrada de sinal o Portanto, .

:expresso é altura com em iniciando pulso umAssim,estreitos; esretangular pulsos de somatório é Entrada

0; tem iniciando largura para ,1 básico Pulso

00

)x(n]?t[x(n?x?t)x(n)np(t)x(n

)np(t)x(n)n)p(tx(ntx

x(t))n)p(tx(n

)x(nntx(t)

?tp(t)

ττττττ

τττ

τττ

ττττ

ττ

ττ

∆∞→⇒→∆∆∆−∆∆

∆∆−∆

∆=∆−∆=

∆−∆∆∆=

==

∑∑ →∆→∆


Resposta de Estado Zero (ii)

• Introdução

∑∑

∑

∆−→∆−

∆−→∆−∆−→∆−

→→

∆∆−∆=

→∆∆−∆

→→

→∆

t?t

t?t

?tnh(tx(n??tnd(tx(n?

n?t]h(t[x(n?xn?t]d(t[x(n?xnthnt

tht(y(t))(x(t))

x(t)

ntnxtx

ntnx

))lim ))lim

)) )))( )(

)( )( Saída Entrada

: entrada a para saída-entradapar o se-Encontra

)()(lim)( Logo,

0 para ),()(:impulso do se-aproxima pulso O

00

0

ττττ

ττττδ

δ

ττδτ

ττδτ

ττ


Resposta de Estado Zero (iii)• Introdução

– Esta é a resposta do sistema y(t) para uma entrada arbitrária x(t)em termos da resposta ao impulso h(t). Logo, conhecendo-se este último, pode-se determinar y(t) para qualquer entrada.

• Note que a resposta do sistema para qualquer entrada édeterminada pela resposta ao impulso, que por sua vez, éconstruída a partir dos modos característicos do sistema.

∫

∑∞

∞−

→

−=

∴∆−=

τττ

τττ

dthxy(t)

n?)h(tx(n?y(t)t

?t

)()(

)lim :Portanto0


Resposta de Estado Zero (iv)• Introdução


Resposta de Estado Zero (v)• Integral de Convolução

– A integral de convolução de duas funções é definida como:

)()]()([)]()([)(:aAssociativ ePropriedad

)()()()()]()([)(:vaDistributi ePropriedad

)()()()()()()()(

variávela mudando se-prova

)()()()(:Comutativa ePropriedad

:relevantes espropriedad com,)()()()(

321321

3121321

12122121

1221

2121

txtxtxtxtxtx

txtxtxtxtxtxtx

txtxdzztxzxdzzxztxtxtx

dzdtz

txtxtxtx

dtxxtxtx

∗∗=∗∗

∗+∗=+∗

∗=−=−−=∗

−=⇒−=

∗=∗

−=∗

∫∫

∫

∞

∞−

∞−

∞

∞

∞−

ττ

τττ


Resposta de Estado Zero (vi)• Integral de Convolução

. é )( de duração e é )( e )( de (largura) Duração:Largura da ePropriedad

)()()( :Impulso um com Convolução)()()(

e )()()()()(logo ),()()( para :toDeslocamen de ePropriedad

212121

212211

2121

21

TTtcTTtxtx

txttxTTtcTtxTtx

TtctxTtxTtxtxtctxtx

+⇒

=∗−−=−∗−

−=∗−=−∗=∗

δ


Resposta de Estado Zero (vii)• Integral de Convolução

.0por denotato que mesmo integral da o será oconsiderad limite O

0 ,0

0,)()()()()()()(

entrada; da início o após iniciada é só respostaA -zero estado com e causal sistema Para

)()()()()(

:eCausalidad e ZeroEstado de Resposta

00

<

≥−=−=∗=

−=∗=

∫∫

∫

−−

∞

∞−

t

tdtxhdthxthtxty

dthxthtxty

ttττττττ

τττ


Resposta de Estado Zero (viii)• Integral de Convolução

– Exemplo: Considere um sistema LTIC cuja resposta ao impulso h(t) é dada abaixo. Determine a resposta y(t) para a entrada x(t).

)()()( então ,0 para 0)( que Lembrando

0,)1()(

0,)(

: tornase integral a assim ,0,)()()(

:que se- temlogo causais, são sinais os Ambos)()();()(

2

22

0

22

0

)(2

0

2

tueetytty

teeeedeeety

tdeety

tdthxty

tuetxtueth

tt

tttttt

t t

t

tt

−−

−−−−−

−−−

−−

−=<=

≥−=−==

≥=

≥−=

==

∫∫∫

τ

τ

τττ

ττ

ττ


Resposta de Estado Zero (ix)• Integral de Convolução


Resposta de Estado Zero (x)• Integral de Convolução


Resposta de Estado Zero (xi)• Integral de Convolução


Resposta de Estado Zero (xii)• Integral de Convolução

– Resposta a Entradas Complexas: Para um sistema LTIC real (h(t) real) então a parte real da entrada gera uma resposta real enquanto que a parte imaginária gera uma resposta imaginária. As duas respostas são somadas para gerar a resposta completa.

– Resposta a Entradas Múltiplas: Aplica-se o princípio da superposição. Cada entrada é considerada separadamente e a soma das saídas individuais determina a saída total dos sistema.

)()()(

)(*)()(*)()]()([*)()(

se- temreal, sendo )( para ,)()()(

tjytyty

tjxthtxthtjxtxthty

thtjxtxtx

ir

irir

ir

+=∴+=+=

+=


Resposta de Estado Zero (xiii)• Integral de Convolução: Solução Gráfica

– Possibilita interpretação gráfica que é útil para avaliar a integral de convolução de sinais complexos.

– Permite a visualização do resultado da integral, freqüentemente útil para tarefas tais como amostragem ou filtragem.

– Viabiliza o cálculo da integral para sinais que não possuam descrição analítica, mas apenas gráfica.

– Note que a integral não se faz com respeito a t, que é apenas um parâmetro do processo (e não a variável independente).

– A integral de convolução só existe para o período de tempo em que a moldura móvel coexiste com o gráfico fixo.

– Pode-se calcular graficamente x(t)*g(t) ou g(t)*x(t).


Resposta de Estado Zero (xiv)• Integral de Convolução: Solução Gráfica


Resposta de Estado Zero (xv)• Integral de Convolução: Solução Gráfica


Resposta de Estado Zero (xvi)• Integral de Convolução: Solução Gráfica

– Procedimento Gráfico:

. para )(obter para , eixo o sobre moldura a deslocando to,procedimen o Repita 5.

. para convolução de

integral da valor o )( é )( e )( de produto o sob áreaA 4..)(obter para problema)

do tempode unidade (em por eixo do longo ao )( Desloque 3..)(obter para verticaleixo do tornoem moldura

a Rotacione rígida. moldura uma como )( função a Visualize 2.fixa. )( função a Mantenha 1.

0

00

0

0

ttc

tt

tctgxtg

tgg

gx

∀

=−

−−

−

τ

τττ

τττ

ττ


Resposta de Estado Zero (xvii)• Integral de Convolução: Solução Gráfica

– Exemplo: Determine graficamente a y(t)= x(t)*h(t).

)()()( Logo,

0,)1()(

logo, ,)(,)( :convoluir a funções As

0,0

0,)()()(

:0 parasobrepor se vãosó sconvoluída serem a funções as Como)()(),()(

2

22

00

2)(2

)(2

0

2

tueety

teeeedeedeety

ethex

t

tdthxty

ttuethtuetx

tt

tttttt tt

t

t

tt

−−

−−−−−−−

−−−

−−

−=

≥−=−===

=−=

<

≥−=

>==

∫∫

∫

ττ

ττ

τττ

τττ

ττ


Resposta de Estado Zero (xviii)• Integral de Convolução: Solução Gráfica

– Exemplo:


Resposta de Estado Zero (xix)• Integral de Convolução: Solução Gráfica

– Exemplo:


Resposta de Estado Zero (xx)• Integral de Convolução: Solução Gráfica

– Exemplo: Determine graficamente a y(t)= x(t)*h(t).

tt

t

tt t

tt

t

t

t

t

eetc

dededtgxtc

t

ededtgdtgxtc

t

tue

tuetg

tue

tuetgtutx

−−

∞ −−−∞

∞ −∞∞

−

−−−

−=−−=

∴−+=−=

≥≥

−=−=−=−=

≥<

+−−

−=−⇒

−−==

∫∫∫

∫∫∫

211)1(2)(

)2(12.1)()()(

:0 para ocorre ãosuperposiç a ,0 para Cálculo

2)()()()(

:0 para ocorre ãosuperposiç a ,0 para Cálculo

)(2

)(2)(

)(2

)(2)(),(1)(

)(2

0

)(

0

2

0

)(2

00

)(2

)(

2

τττττ

τ

ττττττ

τ

τ

ττ

ττ

τ

τ

τ


Resposta de Estado Zero (xxi)• Integral de Convolução: Solução Gráfica

– Exemplo:


Resposta de Estado Zero (xxii)• Integral de Convolução: Solução Gráfica

– Exemplo:


Resposta de Estado Zero (xxiii)• Integral de Convolução: Solução Gráfica

– Exemplo: Encontre a integral de convolução da figura:

4

42

2

2111

2

1

4

3

1

1

1

1

0

0

0)82(61

32)1(

610)(

1.01.31.31.31.0)(

1.3)()()()()( é convoluçãoA

.3)( e 1)( :são acima figura da funções As

≥≤≤≤≤≤≤−

−≤

∞

+−

+

+−

+

∞−

∞

∞−

∞

∞−

+−−−+++=

∴++++=

∴=−=∗=

==

∫∫∫∫∫∫∫

tttt

t

t

t

t

t

tttttc

dddddtc

ddtxgtxtgtc

ttgtx

443442143421

ττττττττ

τττττ


Resposta de Estado Zero (xxiv)• Integral de Convolução: Solução Gráfica


Resposta de Estado Zero (xxv)• Integral de Convolução: Solução Gráfica

– Largura da função convoluída: O tempo (largura) que um sinal de duração T1 leva para passar completamente por um outro sinal de duração T2, tempo em que estes sinais tenham alguma superposição, é dado por T1 + T2.

– Papel de funções sem existência física: Estas, analiticamente tratáveis como a função impulso ou a função exponencial incessante, produzem conhecimento sobre o comportamento do sistema e sua resposta a entradas arbitrárias.


Resposta de Estado Zero (xxvi)

– Sistema complexo composto por subsistemas mais simples e portanto mais facilmente caracterizados. Vai-se considerar dois tipos de interconexões: cascata e paralela.

• Integral de Convolução: Sistemas Interconectados


Resposta de Estado Zero (xxvii)• Integral de Convolução: Sistemas Interconectados

– Comutatividade da convolução usada com integrador ideal.

– Diferenciador ideal e integrador ideal para produzir um sistema inversor, recuperando um dado sinal de entrada.


Resposta de Estado Zero (xxviii)• Integral de Convolução: Função Exponencial Incessante

– Função característica: Entrada para qual um sistema responde da mesma forma, a exponencial é o único caso.

)( ste

(st)

s

st

ssttsst

st

sH

ssH

dehsH

esHty

dehedehethty

tyseth

exp incessante entrada

)(

entrada de sinalsaída de sinal

)(:ncia transferêde Função

. de valor dado um para constante uma é )(

finita. integral para válido,)()( onde

LTI sistema todode lfundamenta epropriedad uma é esta ,)()(

)()()()(

:é )( sistema do resposta a então complexa) variáveluma é ( entrada sua e )( impulso ao resposta sua sejam sistema, um Para

=

∞

∞−

−

∞

∞−

−∞

∞−

−

=

=

=

∴==∗=

∫

∫∫

ττ

ττττ

τ

ττ


• Integral de Convolução: Função Exponencial Incessante

– A função de transferência, em geral, só tem sentido para sistema LTIC. Tal função pode ser expressa em termos de polinômio:

)( ste

)()()( é ncia transferêde função a que se-Conclui

)()(

)()( Como

)(])()[( :polinômio de forma na

resposta, sua e incessante lexponencia a se-doConsideran

sQsPsH

esQeDQ

esPeDPes

dtedeD

eDPeDQsH

stst

stststr

r

strstr

stst

=

=

=⇒==

=

Resposta de Estado Zero (xxix)


Resposta de Estado Zero (xxx)• Integral de Convolução: Resposta Total

– Resposta total = Resposta entrada-zero + Resposta estado-zero=

0,)15205()55( totalcorrente

)(10)(,5.0,3,1

corrente, a é saída tensão,de fonte é entrada :RLC circuito :Exemplodistintos. sautovalore de caso o consideraseguir a discussãoA

distintos sautovalore para ,)()(

distintos e repetidos sautovalore para ,)()(

zero estado

32

zero entrada

2

3

N

1k

N

1k

R

1k

1

≥−+−++−=

==Ω==

∗+

∗++

−−−−−

−

=

+==

−

∑

∑∑

teeeee

tuetxFCRHL

thtxec

thtxecetc

ttttt

t

tk

R

tk

tkk

k

kk

4444 34444 2144 344 21

λ

λλ


Resposta de Estado Zero (xxxi)• Integral de Convolução: Resposta Total

0,)15()2510( totalcorrente

15)205()55( totalcorrente

)15205()55( totalcorrente

)( forçada respota

3

)( natural resposta

2

322

322

≥−++−=

∴−++−−=

∴−+−++−=

−−−

−−−−−

−−−−−

teee

eeeee

eeeee

ty

t

ty

tt

ttttt

ttttt

n

4342144 344 21φ


Solução Clássica de Equações Diferenciais (i)

• Introdução

– Soluciona-se com componente natural e componente forçado. Para análise e síntese de sistemas este método possui perdas.

• A resposta natural do sistema (solução homogênea ou solução complementar) é formada por todos os termos envolvendo os modos característicos do sistema.

• A resposta forçada do sistema (solução particular) compõe-se dos termos que não envolvem os modos característicos.

==

∴=+

⇒+==

)()()()(0)()(

)()()]()()[(

)()()( totalresposta

txDPtyDQtyDQ

txDPtytyDQ

tytyty

nn

n

φφ

φ


Solução Clássica de Equações Diferenciais (ii)

• Resposta Forçada

Método dos coeficientes indeterminados

– Método simples de ser calculada para entradas que produzem número finito de derivadas independentes. Casos importantes são:

• Função exponencial: As derivadas são da mesma tipo.

• Polinômio em t: As derivadas são polinômios em t.

– A resposta forçada é portanto uma combinação linear da função de entrada (x(t)) e suas derivadas.

igualdade. da lados dois dos termosse-igualando calculados

são osdeterminad não escoeficient os ),()()()( txDPtyDQ =φ


Solução Clássica de Equações Diferenciais (iii)

• Resposta Forçada

Método dos coeficientes indeterminados

– A tabela mostra algumas funções de entrada e a saída forçada:

t?rr

rr

t?rr

r

t?i

t?

t?i

t?

etttettt

ttk

teN,,(i??,e

eN,,(i??,e

)( )(

)cos( )cos( constante) valor (um

),21

),21

Saída Entrada

011

1011

1 ββββααα

θωβθωβ

β

β

++++++++

++

==

=≠

−−

−− KK

K

K


Solução Clássica de Equações Diferenciais (iv)• Resposta Forçada

===

∴

=++=+

=

∴+=+++++∴

∴=++

++=

≥+=

++=++

==++=

=++

−−

++

110

5232262

02

52)(2)2(32

)()()23( :se- temacima polinômio o Para

)( é forçada resposta a acima, )( Para

0,)(

:assim ,)2)(1(23 :ticocaracterís Polinômio

.3)0(,2)0( e ,35)( entrada uma para

)()()23( :ldiferencia equação a Resolva :Exemplo -

0

1

2

210

21

2

012

2122

02

012

2

221

2

2

2

βββ

βββββ

β

ββββββ

βββ

λλλλ

φ

tttt

tDxtyDD

tttytx

teKeKty

yytttx

tDxtyDD

ttn

&


Solução Clássica de Equações Diferenciais (v)• Solução Clássica de Equações Diferenciais: Resposta Forçada

– Este requer condições para t imediatamente após o instante t=0, porque no instante imediatamente anterior a t=0, apenas o componente de entrada zero existe.

0134)( que se- temFinalmente

34

12312

0 Para

12)(

01)()()(

:são derivada sua e completa soluçãoA

0,1)( é forçada soluçãoA

2

2

1

21

21

221

221

≥++−=

−==

∴

+−−=++=

⇒=

+−−=

≥+++=+=

≥+=

−−

−−

−−

tteety

KK

KKKK

t

eKeKty

tteKeKtytyty

ttty

tt

tt

ttn

&φ

φ


Solução Clássica de Equações Diferenciais (v)• Resposta Forçada

– Sinal exponencial é do mesmo tipo.

.auxiliares condições pelas calculadas são constantes as onde

,)()( :é )( para sistema do totalResposta

0)()(

por dada é forçada resposta a ,)()( entrada a Para

)()()()()(

)()( e )()( :ementeConsequent

que se-lembre ,)(])[(

1

j

tN

j

tj

t

t

tt

tttt

trtrtt

K

eHeKtytx

teHty

tuetx

HQPePeQ

ePeDPeQeDQ

eeDeDPeDQ

j ζλ

ζφ

ζ

ζζ

ζζζζ

ζζζζ

ζ

ζ

ζζζβζζβ

ζζ

ζβ

∑=

=

⇒≥=

=

==∴=

⇒==

==


Solução Clássica de Equações Diferenciais (vi)• Resposta Forçada

– O método clássico, por vezes, é relativamente simples quando comparado com o método para encontrar os componentes com entrada e estado zero. Contudo, o método clássico apresenta os seguintes problemas:

• Geração de resposta completa, não permitindo a identificação de cada componente da resposta.

• Impossibilidade de ser aplicado a qualquer classe de entradas (lembre-se da restrição com respeito às derivadas de x(t)).

• As condições auxiliares são definidas para o instante imediatamente após o zero.


Estabilidade de Sistemas (i)• Estabilidade BIBO

– Exemplo ilustrativo: Um cone acomodado em um de seus estados de equilíbrio (estados em que o cone pode permanecer para sempre): colocado sobre sua base circular (i), sobre seu vértice no cume (ii) e sobre sua lateral (iii). Se levemente perturbado em seu estado atual, o cone:

• O cone no estado (i) retorna à sua posição original após a perturbação: Equilíbrio estável.

• O cone no estado (ii) move-se cada vez para mais distante de seu estado original: Equilíbrio instável.

• O cone no estado (iii) nem move-se para mais distante de seu estado original nem volta a seu estado de equilíbrio: Equilíbrio neutro.

• Pequenas perturbações causam resposta pequena (equilíbrio estável) ou respostas ilimitadas (equilíbrio instável).


Estabilidade de Sistemas (ii)• Estabilidade BIBO

– Se toda entrada limitada produzir saída limitada no sistema, este é dito estável BIBO. Em contraste, se alguma entrada limitada resultar em resposta ilimitada o sistema é definido com instável BIBO.

estável. BIBO é sistema o então ,integrável nteabsolutamefor )( a Se

.)(

é BIBO deestabilida para suficiante e necessária condição a Logo

,)()()( logo limitada, é )( Como

,)()()()()()()()(

LTIC sistema um Para

11

th

dh

dhKtyKtxtx

dtxhtydtxhtxthty

∞<

≤⇒∞<<−

−≤⇒−=∗=

∫

∫∫∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

ττ

τττ

ττττττ


Estabilidade de Sistemas (iii)• Estabilidade BIBO

– A condição é necessária mas não suficiente, pois se M>N então o sistema é instável (derivação de função impulso).

– Este é um critério de estabilidade externa pois pode ser verificada a partir de medidas nos terminais externos.

– A estabilidade externa (BIBO) pode não indicar corretamente a estabilidade interna. Nem sempre o comportamento interno de um sistema pode ser verificado a partir dos terminais externos.

• Existe equivalência entre estabilidade interna e externa para sistema que é controlável (pode-se controlar seu estado a partir de entradas externas) e observável (sabe-se o estado a partir do monitoramento da saída).

• A estabilidade interna implica na estabilidade externa.

NM ≤


Estabilidade de Sistemas (iv)• Estabilidade Interna (Assintótica)

– Um sistema LTI e causal é internamente estável se ele permanecer em um dado estado (estado de equilíbrio) indefinidamente, na ausência de entrada externa.

• Todo modo característico de um sistema estável surgido como resultado de condições iniciais diferentes de zero, deve tender a zero quando o tempo tende a infinito.

• Se ao menos um dos modos, crescer com o passar do tempo, o sistema é rotulado como instável.

• Se alguns modos nem decrescem a zero nem crescem indefinidamente, enquanto outros modos decrescem a zero, este é um sistema marginalmente estável.

• A estabilidade interna é também chamada de estabilidade assintótica ou estabilidade no sentido de Lyapunov.


Estabilidade de Sistemas (v)• Estabilidade Interna (Assintótica)

instável. sistema o tornamrepetidas simaginária raízes queobservar Cabe

.,0Re para quando senoides geram modos se estável nteMarginalme -

.0Re/, quando modos se Instável -

.,0Re para quando 0 modos se estável amenteAssintotic -

:é sistema o que se- tem, e forma da icoscarcteríst modos Para

interna. deestabilida a determinam ticascaracterís raízes das olocalizaçã a),()()()( :polinômio pelo definido LTIC sistema um Seja

kk

kK

kk

tt

t

t

t

tee

txDPtyDQ

kk

λλ

λλ

λλ

λλ

∀=∞→

>∃∞→∞→

∀<∞→→

=


Estabilidade de Sistemas (vi)• Estabilidade Interna (Assintótica)


Estabilidade de Sistemas (vii)• Estabilidade Interna (Assintótica)


Estabilidade de Sistemas (viii)• Estabilidade Interna (Assintótica)

– Sumário:

• Um sistema LTIC é assintoticamente estável, se e só se, todas suas raízes características (autovalores), distintas ou com repetição, estão no semiplano esquerdo.

• Um sistema LTIC é instável, se e só se, uma ou ambas condições forem verdadeiras: (i) ao menos uma das raízes características estão no semiplano direito; (ii) existem raízes repetidas sobre o eixo imaginário.

• Um sistema LTIC é marginalmente estável, se e só se, não existirem raízes características no semiplano direito e existirem raízes não repetidas sobre o eixo imaginário.


Estabilidade de Sistemas (ix)• Relação entre Estabilidade Interna e Externa

– Estabilidade interna (de entrada zero) é determinada para condições iniciais não nulas e entrada nula, enquanto que a estabilidade externa (de estado zero) é determinada com condições iniciais nulas e entrada diferente de zero.

– Estabilidade interna assegura estabilidade externa mas o inversonão é verdadeiro.


Parâmetros e Comportamento de Sistemas (i)• Comportamento Depende dos Modos Característicos

– O comportamento do sistema depende dos modos característicos em termos de módulo, tempo e precisão.

• Tempo de Resposta de um Sistema: A sua Constante de Tempo

– Uma entrada é respondida após algum tempo de sua aplicação. Tal intervalo de tempo é chamado constante de tempo do sistema.

– Th é o tempo para responder plenamente a um impulso.

– A rapidez de um sistema éindicada por sua constante de tempo: quanto maior for a constante de tempo, mais lento é sua resposta


Parâmetros e Comportamento de Sistemas (ii)• Tempo de Resposta de um Sistema: A sua Constante de Tempo

λ

λ

λ

λ

11real. e negativo para ,)()( :modo só um com sistema um Para

)(

)()()(

assim, .)( de valor máximo o caso, no adequado, tempode instante um em )(ˆ retangular pulso um de largura

pela definida é duração a anterior, exemplo No sistema.qualquer para sinal um de efetiva duração de única definição uma uma existe Não

0

00

−==

=

=∴=

∫

∫∫

∞

∞

∞−∞

∞−

dtAeA

T

tuAeth

th

dtthTdtththT

thth

th

t

hh


Parâmetros e Comportamento de Sistemas (iii)• Constante de Tempo e Tempo de Subida

– Tempo necessário, em um sistema, para a resposta ao degrau unitário subir de 10 % a 90% de seu valor de estado permanente.

• A resposta y(t) ao degrau de um sistema é a convolução de u(t) com h(t). Se esta for um pulso retangular de largura Th. Tem-se que o tempo de subida Tr=Th.


Parâmetros e Comportamento de Sistemas (iv)• Constante de Tempo e Filtragem

– Um sistema com uma constante de tempo Th atua como um filtro passa-baixa com freqüência de corte fc=1/Th. Isto é, sinais de entrada com freqüência superior a fc Hertz são suprimidos. Veja resultado das convoluções com alta e baixa freqüências.


Parâmetros e Comportamento de Sistemas (v)• Constante de Tempo e Dispersão do Pulso (Espalhamento)

– A transmissão de um pulso por um sistema causa dispersão ou espalhamento de pulso. Isto é, o pulso de saída é mais largo que o pulso de entrada. Esta característica é importante em sistemas de comunicações nos quais as informações são transmitidas por amplitudes de pulso. Deseja-se evitar que a dispersão cause interferência ou superposição de sinais.

• Para uma entrada x(t) com largura de pulso Tx tem-se uma saída cuja saída y(t) tem largura Ty. Logo,

Ty=Tx+Th

• O tempo de espalhamento é igual à constante de tempo ou ao tempo de subida do sistema.


Parâmetros e Comportamento de Sistemas (vi)• Constante de Tempo e Taxa de Transmissão de Informação

– Em sistema de comunicações por pulso, que transmitem informação por amplitude de pulso, a taxa de transmissão de informação é proporcional a taxa de transmissão de pulso. Para evitar destruição da informação devido a dispersão dos pulsos durante sua transmissão através do canal, a taxa de informação não deve exceder a largura de banda do canal de comunicação.

• Como o pulso espalha-se por Th segundos, então dois pulsos consecutivos devem distar Th segundos para evitar interferência. Assim, a taxa de transmissão de pulsos não pode ultrapassar 1/Th pulsos/segundo.


Exercícios Recomendados• Propostos para o MATLAB ou SCILAB

– Todos

• Problemas– 2.2-1 até 2.2-7.

– 2.3-1 até 2.3-4.

– 2.4-4 até 2.4-10, 2.4-12, 2.4-14 até 2.4-18, 2.4-22 até 2.4-25, 2.4-28 e 2.4-29, 2.4-31, 2.4-34.

– 2.5-1 até 2.5-4.

– 2.6-1 até 2.6-3, 2.6-5 e 2.6-6.

– 2.7-1 até 2.7-2.

Análise no Domínio do Tempo de Sistemas Cont...

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