Angulo e ortogonalidade emespacos com produto interno

Juliana Pimentel

juliana.pimentel@ufabc.edu.br

http://hostel.ufabc.edu.br/∼juliana.pimentel

Sala 507-2 - Bloco A, Torre 2

I Definir a nocao de angulo entre dois vetoresem um espaco com produto interno.

I Relacao geometrica entre o espaco nulo e oespaco coluna de uma matriz.

I Definir a nocao de angulo entre dois vetoresem um espaco com produto interno.

I Relacao geometrica entre o espaco nulo e oespaco coluna de uma matriz.

I Em Rn com o produto interno usual, oangulo entre dois vetores e dado por

u · v = ‖u‖‖v‖ cos θ, ou cos θ =u · v‖u‖‖v‖

I Nosso objetivo e definir o conceito de anguloentre dois vetores de um espaco com produtointerno. Para que tal definicao seja razoavel,queremos que seja consistente com a formulapara o caso de espacos euclidianos comproduto interno usual.

I Como cos θ ≤ 1, gostarıamos que nos fosseassegurado que

〈u, v〉‖u‖‖v‖

≤ 1.

I Em Rn com o produto interno usual, oangulo entre dois vetores e dado por

u · v = ‖u‖‖v‖ cos θ, ou cos θ =u · v‖u‖‖v‖

I Nosso objetivo e definir o conceito de anguloentre dois vetores de um espaco com produtointerno.

Para que tal definicao seja razoavel,queremos que seja consistente com a formulapara o caso de espacos euclidianos comproduto interno usual.

I Como cos θ ≤ 1, gostarıamos que nos fosseassegurado que

〈u, v〉‖u‖‖v‖

≤ 1.

I Em Rn com o produto interno usual, oangulo entre dois vetores e dado por

u · v = ‖u‖‖v‖ cos θ, ou cos θ =u · v‖u‖‖v‖

I Nosso objetivo e definir o conceito de anguloentre dois vetores de um espaco com produtointerno. Para que tal definicao seja razoavel,queremos que seja consistente com a formulapara o caso de espacos euclidianos comproduto interno usual.

I Como cos θ ≤ 1, gostarıamos que nos fosseassegurado que

〈u, v〉‖u‖‖v‖

≤ 1.

I Em Rn com o produto interno usual, oangulo entre dois vetores e dado por

u · v = ‖u‖‖v‖ cos θ, ou cos θ =u · v‖u‖‖v‖

I Nosso objetivo e definir o conceito de anguloentre dois vetores de um espaco com produtointerno. Para que tal definicao seja razoavel,queremos que seja consistente com a formulapara o caso de espacos euclidianos comproduto interno usual.

I Como cos θ ≤ 1, gostarıamos que nos fosseassegurado que

〈u, v〉‖u‖‖v‖

≤ 1.

I Sabemos que a norma (ou comprimento) deum vetor v ∈ V em relacao ao produtointerno 〈·, ·〉 e

‖v‖ =√〈v, v〉.

I Se ‖v‖ = 1, v e chamado vetor unitario.Dizemos tambem, neste caso, que v estanormalizado.

I Qualquer vetor v nao nulo pode sernormalizado, tornando:

u =v

‖v‖.

I Verifique que o vetor u = (1/3,−2/3,−5/3)e o vetor normalizado de v = (1,−2,−5).

Propriedades da norma

Seja V um espaco vetorial com produto interno.Para quaisquer v, w em V e α ∈ R, temos

1. ‖v‖ ≥ 0 e ‖v‖ = 0 se, e somente se, v = 0

2. ‖αv‖ = |α|‖v‖3. |〈v, w〉| ≤ ‖v‖‖w‖ (Desigualdade de Scwartz)

4. ‖v + w‖ ≤ ‖v‖+ ‖w‖ (Desigualdadetriangular)

Angulo entre dois vetores

I Para definir angulo entre dois vetores,queremos ter ∣∣∣∣ 〈v, w〉‖v‖‖w‖

∣∣∣∣ ≤ 1.

I Assim definimos o angulo θ ∈ [0, π] tal que

cos θ =〈v, w〉‖v‖‖w‖

como o angulo entre u e v.

Exemplo

Seja V = R4 com o produto interno usual(euclidiano). Encontre o angulo entreu = (4, 3, 1,−2) e v = (−2, 1, 2, 3). Solucao.Precisamos calcular ‖u‖, ‖v‖, 〈u, v〉:

‖u‖ =√〈u, u〉 =

√42 + 32 + 12 + (−2)2 =

√30

‖v‖ =√〈v, v〉 =

√(−2)2 + 12 + 22 + 32 =

√18

〈u, v〉 = 4.(−2) + 3.1 + 1.2 + (−2).3 = −9

Logo cos θ = 〈u,v〉‖u‖‖v‖ = −9√

30√18

e θ = arcos( −9√30√18

).

Exemplo

Seja V = R4 com o produto interno usual(euclidiano). Encontre o angulo entreu = (4, 3, 1,−2) e v = (−2, 1, 2, 3). Solucao.Precisamos calcular ‖u‖, ‖v‖, 〈u, v〉:

‖u‖ =√〈u, u〉

=√

42 + 32 + 12 + (−2)2 =√

30

‖v‖ =√〈v, v〉 =

√(−2)2 + 12 + 22 + 32 =

√18

〈u, v〉 = 4.(−2) + 3.1 + 1.2 + (−2).3 = −9

Logo cos θ = 〈u,v〉‖u‖‖v‖ = −9√

30√18

e θ = arcos( −9√30√18

).

Exemplo

Seja V = R4 com o produto interno usual(euclidiano). Encontre o angulo entreu = (4, 3, 1,−2) e v = (−2, 1, 2, 3). Solucao.Precisamos calcular ‖u‖, ‖v‖, 〈u, v〉:

‖u‖ =√〈u, u〉 =

√42 + 32 + 12 + (−2)2 =

√30

‖v‖ =√〈v, v〉 =

√(−2)2 + 12 + 22 + 32 =

√18

〈u, v〉 = 4.(−2) + 3.1 + 1.2 + (−2).3 = −9

Logo cos θ = 〈u,v〉‖u‖‖v‖ = −9√

30√18

e θ = arcos( −9√30√18

).

Exemplo

Seja V = R4 com o produto interno usual(euclidiano). Encontre o angulo entreu = (4, 3, 1,−2) e v = (−2, 1, 2, 3). Solucao.Precisamos calcular ‖u‖, ‖v‖, 〈u, v〉:

‖u‖ =√〈u, u〉 =

√42 + 32 + 12 + (−2)2 =

√30

‖v‖ =√〈v, v〉

=√

(−2)2 + 12 + 22 + 32 =√

18

〈u, v〉 = 4.(−2) + 3.1 + 1.2 + (−2).3 = −9

Logo cos θ = 〈u,v〉‖u‖‖v‖ = −9√

30√18

e θ = arcos( −9√30√18

).

Exemplo

Seja V = R4 com o produto interno usual(euclidiano). Encontre o angulo entreu = (4, 3, 1,−2) e v = (−2, 1, 2, 3). Solucao.Precisamos calcular ‖u‖, ‖v‖, 〈u, v〉:

‖u‖ =√〈u, u〉 =

√42 + 32 + 12 + (−2)2 =

√30

‖v‖ =√〈v, v〉 =

√(−2)2 + 12 + 22 + 32 =

√18

〈u, v〉 = 4.(−2) + 3.1 + 1.2 + (−2).3 = −9

Logo cos θ = 〈u,v〉‖u‖‖v‖ = −9√

30√18

e θ = arcos( −9√30√18

).

Exemplo

Seja V = R4 com o produto interno usual(euclidiano). Encontre o angulo entreu = (4, 3, 1,−2) e v = (−2, 1, 2, 3). Solucao.Precisamos calcular ‖u‖, ‖v‖, 〈u, v〉:

‖u‖ =√〈u, u〉 =

√42 + 32 + 12 + (−2)2 =

√30

‖v‖ =√〈v, v〉 =

√(−2)2 + 12 + 22 + 32 =

√18

〈u, v〉

= 4.(−2) + 3.1 + 1.2 + (−2).3 = −9

Logo cos θ = 〈u,v〉‖u‖‖v‖ = −9√

30√18

e θ = arcos( −9√30√18

).

Exemplo

Seja V = R4 com o produto interno usual(euclidiano). Encontre o angulo entreu = (4, 3, 1,−2) e v = (−2, 1, 2, 3). Solucao.Precisamos calcular ‖u‖, ‖v‖, 〈u, v〉:

‖u‖ =√〈u, u〉 =

√42 + 32 + 12 + (−2)2 =

√30

‖v‖ =√〈v, v〉 =

√(−2)2 + 12 + 22 + 32 =

√18

〈u, v〉 = 4.(−2) + 3.1 + 1.2 + (−2).3 = −9

Logo cos θ = 〈u,v〉‖u‖‖v‖ = −9√

30√18

e

θ = arcos( −9√30√18

).

Exemplo

Seja V = R4 com o produto interno usual(euclidiano). Encontre o angulo entreu = (4, 3, 1,−2) e v = (−2, 1, 2, 3). Solucao.Precisamos calcular ‖u‖, ‖v‖, 〈u, v〉:

‖u‖ =√〈u, u〉 =

√42 + 32 + 12 + (−2)2 =

√30

‖v‖ =√〈v, v〉 =

√(−2)2 + 12 + 22 + 32 =

√18

〈u, v〉 = 4.(−2) + 3.1 + 1.2 + (−2).3 = −9

Logo cos θ = 〈u,v〉‖u‖‖v‖ = −9√

30√18

e θ = arcos( −9√30√18

).

Exemplo

Seja V = M2 com produto interno dado por

〈[a bc d

],

[e fg h

]〉 = ae+ 2bf + 3cg + dh.

Verifique que o angulo entre as matrizes

A =

[1 −10 1

]e B =

[2 1−1 1

]e

θ = arcos(1/2√

10).

Vetores ortogonais

Dois vetores u e v de um espaco com produtointerno sao chamados ortogonais se 〈u, v〉=0.

Exemplo Verifique as matrizes U =

[1 01 1

]e

U =

[0 20 0

]sao ortogonais em M2 com produto

interno 〈U, V 〉 = tr(UTV ).

Teorema de Pitagoras

Se u e v sao vetores ortogonais em um espacovetorial com produto interno, entao

‖u+ v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2.

Demonstracao.

‖u+v‖2 = 〈u+v, u+v〉 = 〈u, u〉+〈u, v〉+〈v, u〉+〈v, v〉

= ‖u2‖+ ‖v‖2.

Teorema de Pitagoras

Se u e v sao vetores ortogonais em um espacovetorial com produto interno, entao

‖u+ v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2.

Demonstracao.

‖u+v‖2 = 〈u+v, u+v〉 =

〈u, u〉+〈u, v〉+〈v, u〉+〈v, v〉

= ‖u2‖+ ‖v‖2.

Teorema de Pitagoras

Se u e v sao vetores ortogonais em um espacovetorial com produto interno, entao

‖u+ v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2.

Demonstracao.

‖u+v‖2 = 〈u+v, u+v〉 = 〈u, u〉+〈u, v〉+〈v, u〉+〈v, v〉

=

‖u2‖+ ‖v‖2.

Teorema de Pitagoras

Se u e v sao vetores ortogonais em um espacovetorial com produto interno, entao

‖u+ v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2.

Demonstracao.

‖u+v‖2 = 〈u+v, u+v〉 = 〈u, u〉+〈u, v〉+〈v, u〉+〈v, v〉

= ‖u2‖+ ‖v‖2.

Complemento Ortogonal

Seja W um subespaco de um espaco com produtointerno V .

Um vetor u ∈ V e dito ortogonal aW se e ortogonal a cada vetor de W . O conjuntode todos os vetores de V que sao ortogonais a We chamado complemento ortogonal de W .

O complemento ortogonal de W e denotado porW⊥.

Complemento Ortogonal

Seja W um subespaco de um espaco com produtointerno V . Um vetor u ∈ V e dito ortogonal aW se e ortogonal a cada vetor de W .

O conjuntode todos os vetores de V que sao ortogonais a We chamado complemento ortogonal de W .

O complemento ortogonal de W e denotado porW⊥.

Complemento Ortogonal

Seja W um subespaco de um espaco com produtointerno V . Um vetor u ∈ V e dito ortogonal aW se e ortogonal a cada vetor de W . O conjuntode todos os vetores de V que sao ortogonais a We chamado complemento ortogonal de W .

O complemento ortogonal de W e denotado porW⊥.

Propriedades do Complemento Ortogonal

Se W e um subespaco de um espaco com produtointerno V

de dimensao finita, entao

1. W⊥ e um subespaco de V .

2. W ∩W⊥ = {0}3. (W⊥)⊥ = W

Propriedades do Complemento Ortogonal

Se W e um subespaco de um espaco com produtointerno V de dimensao finita, entao

1. W⊥ e um subespaco de V .

2. W ∩W⊥ = {0}3. (W⊥)⊥ = W

Propriedades do Complemento Ortogonal

Se W e um subespaco de um espaco com produtointerno V de dimensao finita, entao

1. W⊥ e um subespaco de V .

2. W ∩W⊥ = {0}3. (W⊥)⊥ = W

Propriedades do Complemento Ortogonal

Se W e um subespaco de um espaco com produtointerno V de dimensao finita, entao

1. W⊥ e um subespaco de V .

2. W ∩W⊥ = {0}

3. (W⊥)⊥ = W

Propriedades do Complemento Ortogonal

Se W e um subespaco de um espaco com produtointerno V de dimensao finita, entao

1. W⊥ e um subespaco de V .

2. W ∩W⊥ = {0}3. (W⊥)⊥ =

W

Propriedades do Complemento Ortogonal

Se W e um subespaco de um espaco com produtointerno V de dimensao finita, entao

1. W⊥ e um subespaco de V .

2. W ∩W⊥ = {0}3. (W⊥)⊥ = W

Relacao entre Espaco-nulo eEspaco-Linha

Se A e uma matriz de ordem m× n, entaoI O espaco-nulo de A (NA) e o espaco-linha deA (Sl)

sao complementos ortogonais em Rn

com relacao ao produto interno usual

(NA)⊥ = Sl.

I O espaco-nulo de AT (NAT ) e o espaco-colunade A (Sc) sao complementos ortogonais emRm com relacao ao produto interno usual

(NAT )⊥ = Sc.

Relacao entre Espaco-nulo eEspaco-Linha

Se A e uma matriz de ordem m× n, entaoI O espaco-nulo de A (NA) e o espaco-linha deA (Sl) sao complementos ortogonais em Rn

com relacao ao produto interno usual

(NA)⊥ = Sl.

I O espaco-nulo de AT (NAT ) e o espaco-colunade A (Sc) sao complementos ortogonais emRm com relacao ao produto interno usual

(NAT )⊥ = Sc.

Relacao entre Espaco-nulo eEspaco-Linha

Se A e uma matriz de ordem m× n, entaoI O espaco-nulo de A (NA) e o espaco-linha deA (Sl) sao complementos ortogonais em Rn

com relacao ao produto interno usual

(NA)⊥ = Sl.

I O espaco-nulo de AT (NAT ) e o espaco-colunade A (Sc)

sao complementos ortogonais emRm com relacao ao produto interno usual

(NAT )⊥ = Sc.

Relacao entre Espaco-nulo eEspaco-Linha

Se A e uma matriz de ordem m× n, entaoI O espaco-nulo de A (NA) e o espaco-linha deA (Sl) sao complementos ortogonais em Rn

com relacao ao produto interno usual

(NA)⊥ = Sl.

I O espaco-nulo de AT (NAT ) e o espaco-colunade A (Sc) sao complementos ortogonais emRm com relacao ao produto interno usual

(NAT )⊥ = Sc.

ExercıcioSejam V = R5 e W o subespaco gerado pelosvetores

w1 = (2, 2,−1, 0, 1), w2 = (−1,−1, 2,−3, 1)

w3 = (1, 1,−2, 0,−1), w4 = (0, 0, 1, 1, 1).

Encontre uma base para o complementoortogonal de W . (R.(-1,1,0,0,0), (-1,0,-1,0,1))

Observe que W coincide com o espaco-linha damatriz

A =

2 2 −1 0 1−1 −1 2 −3 11 1 −2 0 −10 0 1 1 1

.

ExercıcioSejam V = R5 e W o subespaco gerado pelosvetores

w1 = (2, 2,−1, 0, 1), w2 = (−1,−1, 2,−3, 1)

w3 = (1, 1,−2, 0,−1), w4 = (0, 0, 1, 1, 1).

Encontre uma base para o complementoortogonal de W . (R.(-1,1,0,0,0), (-1,0,-1,0,1))

Observe que W coincide com o espaco-linha damatriz

A =

2 2 −1 0 1−1 −1 2 −3 11 1 −2 0 −10 0 1 1 1

.