Determinantes

Juliana Pimentel

juliana.pimentel@ufabc.edu.br

http://hostel.ufabc.edu.br/∼juliana.pimentel

Sala 507-2 - Bloco A, Torre 2

Para uma matriz quadrada A o determinante deA e um numero real.

Esse numero sempre existe!Notacao: det(A)

Casos:1) Se A = [a], definimos o determinante de Acomo sendo o numero real a.

Para uma matriz quadrada A o determinante deA e um numero real.Esse numero sempre existe!

Notacao: det(A)

Casos:1) Se A = [a], definimos o determinante de Acomo sendo o numero real a.

Para uma matriz quadrada A o determinante deA e um numero real.Esse numero sempre existe!Notacao: det(A)

Casos:1) Se A = [a], definimos o determinante de Acomo sendo o numero real a.

Para uma matriz quadrada A o determinante deA e um numero real.Esse numero sempre existe!Notacao: det(A)

Casos:1) Se A = [a], definimos o determinante de Acomo sendo o numero real a.

2) Se A e uma matriz de ordem 2:

A =

[a11 a12a21 a22

]

det(A) = a11.a22 − a21.a12Exemplo:

A =

[2 −14 3

]

det(A) = 2.3− (4.(−1)) = 6− (−4) = 10.

2) Se A e uma matriz de ordem 2:

A =

[a11 a12a21 a22

]

det(A) = a11.a22 − a21.a12

Exemplo:

A =

[2 −14 3

]

det(A) = 2.3− (4.(−1)) = 6− (−4) = 10.

2) Se A e uma matriz de ordem 2:

A =

[a11 a12a21 a22

]

det(A) = a11.a22 − a21.a12Exemplo:

A =

[2 −14 3

]

det(A) = 2.3− (4.(−1)) = 6− (−4) = 10.

2) Se A e uma matriz de ordem 2:

A =

[a11 a12a21 a22

]

det(A) = a11.a22 − a21.a12Exemplo:

A =

[2 −14 3

]

det(A) = 2.3− (4.(−1)) = 6− (−4) = 10.

3) Se A e uma matriz de ordem 3:

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

Entao podemos calcular o det(A) atraves de umaregra pratica:

det(A) = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23−

−(a13a22a31 + a23a32a11 + a33a21a12).

Mas se a matriz tem ordem n onde n ≥ 3?

Qual a definicao de determinante?

Vamos proceder no caso de n = 3, a expansao emco-fatores

Para j = 1, 2, 3, vamos denotar por M1j a matriz2× 2 obtida a partir de A retirando-se a 1a. linhae a j-esima coluna de A.

Esta e a expansao em co-fatores atraves da 1a.linha, e estas matrizes sao chamadas menores.Vamos escrever os menores M11,M12,M13.

Mas se a matriz tem ordem n onde n ≥ 3?

Qual a definicao de determinante?

Vamos proceder no caso de n = 3, a expansao emco-fatores

Para j = 1, 2, 3, vamos denotar por M1j a matriz2× 2 obtida a partir de A retirando-se a 1a. linhae a j-esima coluna de A.

Esta e a expansao em co-fatores atraves da 1a.linha, e estas matrizes sao chamadas menores.Vamos escrever os menores M11,M12,M13.

Mas se a matriz tem ordem n onde n ≥ 3?

Qual a definicao de determinante?

Vamos proceder no caso de n = 3, a expansao emco-fatores

Para j = 1, 2, 3, vamos denotar por M1j a matriz2× 2 obtida a partir de A retirando-se a 1a. linhae a j-esima coluna de A.

Esta e a expansao em co-fatores atraves da 1a.linha, e estas matrizes sao chamadas menores.Vamos escrever os menores M11,M12,M13.

Mas se a matriz tem ordem n onde n ≥ 3?

Qual a definicao de determinante?

Vamos proceder no caso de n = 3, a expansao emco-fatores

Para j = 1, 2, 3, vamos denotar por M1j a matriz2× 2 obtida a partir de A retirando-se a 1a. linhae a j-esima coluna de A.

Esta e a expansao em co-fatores atraves da 1a.linha, e estas matrizes sao chamadas menores.Vamos escrever os menores M11,M12,M13.

Mas se a matriz tem ordem n onde n ≥ 3?

Qual a definicao de determinante?

Vamos proceder no caso de n = 3, a expansao emco-fatores

Para j = 1, 2, 3, vamos denotar por M1j a matriz2× 2 obtida a partir de A retirando-se a 1a. linhae a j-esima coluna de A.

Esta e a expansao em co-fatores atraves da 1a.linha, e estas matrizes sao chamadas menores.Vamos escrever os menores M11,M12,M13.

O determinante de A e dado por:

det(A) = a11M11 − a12M12 + a13M13

Para cada elemento aij da matriz A, o co-fatorde aij e denotado por Aij e dado por:

Aij = (−1)i+jdet(Mij)

Importante: A diferenca entre co-fator e menorde um elemento aij e somente um sinal

O determinante de A e dado por:

det(A) = a11M11 − a12M12 + a13M13

Para cada elemento aij da matriz A, o co-fatorde aij e denotado por Aij e dado por:

Aij = (−1)i+jdet(Mij)

Importante: A diferenca entre co-fator e menorde um elemento aij e somente um sinal

O determinante de A e dado por:

det(A) = a11M11 − a12M12 + a13M13

Para cada elemento aij da matriz A, o co-fatorde aij e denotado por Aij e dado por:

Aij = (−1)i+jdet(Mij)

Importante: A diferenca entre co-fator e menorde um elemento aij e somente um sinal

O determinante de A e dado por:

det(A) = a11M11 − a12M12 + a13M13

Para cada elemento aij da matriz A, o co-fatorde aij e denotado por Aij e dado por:

Aij = (−1)i+jdet(Mij)

Importante: A diferenca entre co-fator e menorde um elemento aij e somente um sinal

O determinante da matriz A de ordem 3 etambem pode ser definido por:

det(A) = a11A11 + a12A12 + a13A13

Vamos calcular o determinante da matriz:

A =

1 0 −12 −1 03 5 −4

O determinante da matriz A de ordem 3 etambem pode ser definido por:

det(A) = a11A11 + a12A12 + a13A13

Vamos calcular o determinante da matriz:

A =

1 0 −12 −1 03 5 −4

O determinante da matriz A de ordem 3 etambem pode ser definido por:

det(A) = a11A11 + a12A12 + a13A13

Vamos calcular o determinante da matriz:

A =

1 0 −12 −1 03 5 −4

O determinante da matriz A de ordem 3 etambem pode ser definido por:

det(A) = a11A11 + a12A12 + a13A13

Vamos calcular o determinante da matriz:

A =

1 0 −12 −1 03 5 −4

Caso geral

Seja A = (aij) de ordem n. O determinante de Ae definido por:

det(A) = a11A11 + a12A12 + ...+ a1nA1n (∗)

onde A1j e o cofator do elemento a1j.

A expressao dada por (∗) e chamadadesenvolvimento em cofatores do determinante deA em termos da 1a. linha.

Caso geral

Seja A = (aij) de ordem n. O determinante de Ae definido por:

det(A) = a11A11 + a12A12 + ...+ a1nA1n (∗)

onde A1j e o cofator do elemento a1j.

A expressao dada por (∗) e chamadadesenvolvimento em cofatores do determinante deA em termos da 1a. linha.

Exemplo

Podemos calcular o determinante de uma matrizA fazendo desenvolvimento em cofatores emtermos da qualquer linha ou coluna.

0 2 3 00 4 5 00 1 0 32 0 1 3

Exemplo

Podemos calcular o determinante de uma matrizA fazendo desenvolvimento em cofatores emtermos da qualquer linha ou coluna.

0 2 3 00 4 5 00 1 0 32 0 1 3

Exemplo

Encontre os valores de λ para os quais odeterminante da matriz abaixo e 0.

[2− λ 4

3 3− λ

]

Exemplo

Encontre os valores de λ para os quais odeterminante da matriz abaixo e 0.[

2− λ 43 3− λ

]

Exercıcio

Calcule o determinante de A utilizando expansaoem co-fatores ao longo da primeira linha:

A =

3 1 0−2 −4 35 4 −2

Resposta. det(A)=-1.

Exercıcio

Calcule o determinante de A utilizando expansaoem co-fatores ao longo da primeira linha:

A =

3 1 0−2 −4 35 4 −2

Resposta. det(A)=-1.

Propriedades

Sejam A e B matrizes de ordem n. Entao:

1) det(AB) = det(A)det(B)

2) det(AT ) = det(A)

3) det(A−1) = 1det(A)

Decorre destas propriedades que:A e uma matriz inversıvel se e somente sedet(A) 6= 0

Propriedades

Sejam A e B matrizes de ordem n. Entao:

1) det(AB) = det(A)det(B)

2) det(AT ) = det(A)

3) det(A−1) = 1det(A)

Decorre destas propriedades que:A e uma matriz inversıvel se e somente sedet(A) 6= 0

Propriedades

Sejam A e B matrizes de ordem n. Entao:

1) det(AB) = det(A)det(B)

2) det(AT ) = det(A)

3) det(A−1) = 1det(A)

Decorre destas propriedades que:A e uma matriz inversıvel se e somente sedet(A) 6= 0

Propriedades

Sejam A e B matrizes de ordem n. Entao:

1) det(AB) = det(A)det(B)

2) det(AT ) = det(A)

3) det(A−1) = 1det(A)

Decorre destas propriedades que:A e uma matriz inversıvel se e somente sedet(A) 6= 0

Propriedades

Sejam A e B matrizes de ordem n. Entao:

1) det(AB) = det(A)det(B)

2) det(AT ) = det(A)

3) det(A−1) = 1det(A)

Decorre destas propriedades que:A e uma matriz inversıvel se e somente sedet(A) 6= 0

Encontre matrizes A e B tais que:

i) det(A+B) = det(A) + det(B)

ii) det(A+B) 6= det(A) + det(B)

iii) det(kA) = kndet(A); onde n e a ordem damatriz e k ∈ R