Análise de Sistemas Vibratórios -...

Análise de Sistemas Vibratórios

Vibrações e Ruído (10375)

2016

Pedro V. Gamboa Departamento de Ciências Aeroespaciais

Faculdade de Engenharia

Universidade da Beira Interior

Vibrações e Ruído – 2014-2016

Departamento de Ciências Aeroespaciais

Pedro V. Gamboa 2

Tópicos

• Sistemas com um grau de liberdade.

• Sistemas com n graus de liberdade.





Pedro V. Gamboa 3

1. Sistemas com Um DOF 1.1. Equação de movimento

Considere-se o sistema mecânico da figura sem amortecimento

(sistema conservativo) e com apenas 1 grau de liberdade (DOF).

dST traduz a deformação estática da mola devido ao peso da

massa M (a partir da posição 0’).

O deslocamento x(t) da massa M é medido a partir da posição de

equilíbrio estático 0.

dST





Pedro V. Gamboa 4


Se a massa for afastada da posição de equilíbrio e a seguir

abandonada, a energia mecânica total do sistema é equivalente

à soma das energias cinética e potencial.

Como o sistema é conservativo:

A energia cinética deve-se à velocidade da massa:

A energia potencial do sistema resulta da combinação da energia

de deformação da mola com a devida mudança de posição da

massa.

(53) 0constante UTdt

dUT

(54) 2

2

1xmT





Pedro V. Gamboa 5


Assim, a nergia potencial fica:

Substituindo (54) e (55) em (53), obtém-se

Uma vez que a velocidade x não pode ser nula, já que há

movimento do sistema ao longo do tempo, então a condição para

a expressão anterior se anular será:

(55)

2

0

0

2

1

molanatotalforça

kxmgxdxkxmg

dxU

x

x

(56) 02

1

2

1 22

xkxxmkxxm

dt

d

(57) 0

0

xm

kx

kxxm





Pedro V. Gamboa 6


Considerando que, na equação (57), k/m representa o quadrado

da frequência (circular) natural do sistema, wn, então:

A eq. (58) é a equação do movimento de um sistema não

amortecido.

No entanto, este sistema não traduz os sistemas físicos reais,

havendo necessidade de se contabilizar as forças dissipativas (ou

amortecimento).

Na maior parte dos casos, há ainda que considerar o efeito de

uma perturbação externa ao sistema.

(58) 02 xx nw





Pedro V. Gamboa 7


Considere-se, pois, o modelo da figura abaixo, representativo de

um sistema com 1 DOF com amortecimento e sujeito à ação de

uma força exterior variável no tempo.





Pedro V. Gamboa 8


Neste caso, as forças que atuam na massa M são:

• A força da gravidade, mg=constante;

• A força da mola, k(x+dST), oposta ao deslocamento;

• A força do amortecimento, cx;

• A força perturbadora, F(t).

Recorrendo à segunda lei de Newton podemos escrever

Desenvolvendo a expressão anterior, podemos escrever

(59) xmx

forças

tFxcxkmgxm ST d





Pedro V. Gamboa 9


Uma vez que a posição x é medida a partir da posição de

equilíbrio, tem-se

e, então, a equação de movimento fica

sendo as forças de inércia, as forças dissipativas e as

forças elásticas.

Esta equação traduz o movimento dos sistemas sob a forma de

uma vibração forçada causada por uma excitação externa F(t).

(60) tFkxxcxm

STkmg d

kxxcxm





Pedro V. Gamboa 10


No caso particular de F(t)=0, tem-se

Neste caso, o movimento do sistema denomina-se vibração livre.

(61) 0 kxxcxm





Pedro V. Gamboa 11

1. Sistemas com Um DOF 1.2. Vibração não amortecida

Como vimos, no caso de não existir amortecimento, o

movimento do sistema vibratório na ausência de forças

perturbadoras é regido pela equação (58):

Esta é uma equação diferencial ordinária de 2ª ordem, cuja

solução é

Substituindo esta solução na equação (58) obtém-se

0 tkxtxm

(62) stectx .

(63) 02 kms





Pedro V. Gamboa 12


Daqui, retira-se que

Aplicando a equação (64) na equação (62), vemos que a resposta

do sistema é dada por

Atendendo a que

a equação (65) pode ser escrita como

(65) titi nn ecectxww

.. 21

(64) ni

m

kis w

tte nnti n www

sincos

(66) tAtAtx nn ww sin.cos. 21





Pedro V. Gamboa 13


Esta expressão representa um movimento harmónico simples,

tendo como frequência natural

A partir das condições iniciais, relativas à velocidade e

deslocamento do sistema, podemos encontrar o valor das

constantes A1 e A2.

Assim, se para t=0

então, os valores das constantes são

m

kn w

0;0 xtxxtx

(67)

n

xAxA

w

0;0 21





Pedro V. Gamboa 14


Portanto a equação do movimento fica

Considerando que nesta expressão x(t) resulta da soma de dois

movimentos harmónicos, então podemos escrever esta equação

como

ou então

(68)

tx

txtx n

n

n ww

w sin.0

cos.0

(69)

0

0arctansin

00

2

2

x

xt

xxtx n

n

n

ww

w

(70)

n

n

n x

xt

xxtx

ww

w 0

0arctancos

00

2

2





Pedro V. Gamboa 15

1. Sistemas com Um DOF 1.2. Vibração não nmortecida

Recorrendo a um plano de Argant-Gauss, podemos representar

os vetores girantes associados à eq. (68) como

onde

(71)

n

n

n

x

x

x

x

xxX

w

w

w

0

0arctan

0

0arctan

00

2

2





Pedro V. Gamboa 16


Substituindo e , respetivamente, nas equações (69) e (70)

obtém-se

Como vemos, o vetor velocidade está adiantado p/2 radianos em

relação ao vetor deslocamento, ao passo que o vetor aceleração

está em oposição de fase.

(72)

(73)

ww

ww

w

tXtx

tXtx

tXtx

nn

nn

n

cos

sin

cos

2

ww

ww

w

tXtx

tXtx

tXtx

nn

nn

n

sin

cos

sin

2





Pedro V. Gamboa 17


Esta observação é visível na figura abaixo





Pedro V. Gamboa 18


ou também em





Pedro V. Gamboa 19

1. Sistemas com Um DOF 1.3. Vibração livre com amortecimento

viscoso Um sistema vibratório real está sujeito à ação de forças de

amortecimento que levarão a que a amplitude da resposta do

sistema vá decrescendo com o tempo.

Neste caso, e como já vimos, a equação de movimento é

A solução desta equação tem a forma

Substituindo a solução na equação (74) obtém-se

(75) steCtx .

(76) 0. 2 kcsmseC st

(74) 0 tkxtxctxm





Pedro V. Gamboa 20


viscoso Atendendo a que esta equação tem de ser válida para todos os

valores de t, então obtém-se a equação

As raízes desta equação são

(78) mkccm

smkccm

s 42

1;4

2

1 22

21

(77) 02 kcsms





Pedro V. Gamboa 21


viscoso Olhando para esta equação, concluímos que podem acontecer 3

casos distintos:

• : ambas as raízes são reais; a força de amortecimento

é predominante e o sistema diz-se super amortecido ou

sobre-amortecido (efeito predominante das forças de

amortecimento);

• : as duas raízes são complexas; as forças de inércia e

elásticas prevalecem e o sistema diz-se sub-amortecido;

• : existem duas raízes iguais; o amortecimento do

sistema é crítico (situação limite dos casos anteriores).

mkc 42

mkc 42

mkc 42





Pedro V. Gamboa 22


viscoso Vê-se, pois, que o parâmetro c2=4mk assume uma importância

destacada denominando-se como coeficiente de

amortecimento crítico, definido como:

Habitualmente, recorre-se a um parâmetro adimensional que

relaciona o amortecimento efetivo do sistema com o seu

amortecimento crítico, chamado de fator de amortecimento:

(79) ncc m

m

kmcsmkc w224 2

2

(80) nc m

c

c

c

w

2





Pedro V. Gamboa 23


viscoso Amortecimento Crítio

Considerando =1, teremos duas raízes reais iguais

Neste caso, a solução da equação (74) será da forma

Considerando as condições iniciais

nnm

k

mkm

mkc

m

css ww

42

4

221

(81) tccetecectxttt nnn

2121 www

0;0 xtxxtx

00;0 21 xxcxc nw





Pedro V. Gamboa 24


viscoso Substituindo esta solução na eq. (81), tem-se

ou

e, então

(82) txtxetx ntn 010

ww

texxextxt

n

t nn ww w 000)(

texetxctxtt

nnn www

010)( 1





Pedro V. Gamboa 25


viscoso Sistema sobre-amortecido

Neste caso, e considerando >1, as raízes da equação (78) serão

ou

(83)

1;1

1422

2;1

422

2

42

1;4

2

1

22

21

2

2

2

1

22

21

ww nn ss

mk

c

mk

c

m

mks

mk

c

mk

c

m

mks

mkccm

smkccm

s

1;1 22

21 wwww nnnn ss





Pedro V. Gamboa 26


viscoso A resposta do sistema será

ou noutra forma

Considerando as condições iniciais iguais ao caso anterior, fica-

se com

(84)

ttt nnn ececetx1

21

1

22 www

(85) tAtAetx nntn 1sinh1cosh 2

22

1 www

(86)

t

xxtxetx n

n

nn

tn 1sinh1

001cosh0 2

2

2 ww

www





Pedro V. Gamboa 27


viscoso Sistema sub-amortecido

Neste caso, e considerando <1, as raízes da equação (78) serão

ou

(87)

22

21

2

2

2

1

22

21

1;1

41

22

2;

41

22

2

42

1;4

2

1

ww

isis

mk

ci

mk

c

m

mks

mk

ci

mk

c

m

mks

cmkicm

scmkicm

s

nn

22

21 1;1 wwww nnnn isis





Pedro V. Gamboa 28


viscoso A resposta do sistema será

ou noutra forma

Considerando as condições iniciais iguais ao caso anterior, fica-

se com

(88)

titit nnn ececetx22 1

21

1www

(89) tAtAetx nntn 2

22

1 1sin1cos www

(90)

t

xxtxetx n

n

nn

tn 2

2

2 1sin1

001cos0 w

w

www





Pedro V. Gamboa 29


viscoso O comportamento de um

sistema vibratório com

amortecimento depende do

valor do fator de

amortecimento , tal como

visível na figura abaixo.

Neste caso, temos quatro

comportamentos distintos:

sobre-amortecido

criticamente amortecido

sub-amortecido

sem amortecimento





Pedro V. Gamboa 30


viscoso Algumas considerações relativamente a cada um destes tipos de

sistemas:

• Sobre-amortecido (>1): o sistema retorna à sua posição de

equilíbrio sem oscilar e com um decaimento exponencial;

• Criticamente amortecido (=1): o sistema atinge o equilíbrio

da forma mais rapidamente possível sem oscilar (situação

limite);

• Sub-amortecido (0<<1): o sistema oscila (com uma

frequência menor do que aquela relativa ao caso sem

amortecimento), levando a que a amplitude diminua

gradualmente até atingir um valor nulo;

• Sem amortecimento (=0): o sistema oscila com a sua

frequência natural (wn).





Pedro V. Gamboa 31


viscoso Exemplo 3.01: Usando uma folha de cálculo represente em

função do tempo os quatro tipos de movimentos livres indicados

acima (sobre-amortecido, crítico, sub-amortecido e sem

amortecimento), e verifique o seu comportamento para

diferentes valores de wn (ou k e m), , e das condições iniciais

e .

Exemplo em http://mathlets.org/daimp/DampedVib.html.

)0(x

)0(x

http://mathlets.org/daimp/DampedVib.html





Pedro V. Gamboa 32

1. Sistemas com Um DOF 1.4. Análise da resposta de sistemas

amortecidos Observando a equação (86) para o movimento sobre-amortecido,

isto é, para >1, vemos que esta é constituída por uma soma de

termos com funções hiperbólicas de variável real, pelo que não

apresenta uma resposta oscilatória de caráter periódico.

No entanto, para <1, um sistema sub-amortecido, a resposta do

sistema é regida pela equação (90), descrevendo um movimento

periódico com uma frequência

sendo wa a frequência amortecida que é inferior à frequência

natural wn.

Note-se que, neste caso, a resposta do sistema sofre uma

atenuação progressiva imposta pelo fator e-wt.

(91) 21 ww na





Pedro V. Gamboa 33


amortecidos O fator e-wt imprime ao movimento um comportamento

semelhante ao da figura

xi

xi+1





Pedro V. Gamboa 34


amortecidos Os valores máximos do deslocamento ocorrem em intervalos de

tempo iguais associados ao termo com função trigonométrica,

correspondendo ao período de vibração amortecida Ta dado por

À relação entre os valores da amplitude do deslocamento entre

dois picos sucessivos (separados por Ta) chama-se Taxa de

Amortecimento da Vibração:

(92) 21

22

w

p

w

p

na

aT

(93)

an

ain

inT

Tt

t

i

i ee

e

x

x w

w

w

1





Pedro V. Gamboa 35


amortecidos Chama-se, também, decremento logarítmico da vibração à

grandeza

ou

Note-se que, para um dado sistema sub-amortecido em vibração

livre, o logaritmo da razão entre a amplitude de quaisquer dois

ciclos separados por mais do que um período é constante, tal

como se pode ver através da expressão

(94) w

pwwd

a

nan

i

i Tx

x 2ln

1

(95) 21

2

pd

n

a

an

ni

inT

nTt

t

ni

i nnTx

xne

e

e

x

xan

ain

in

ww

pwdw

w

w2

ln





Pedro V. Gamboa 36


amortecidos ou

Da equação (95) pode admitir-se que para pequenos valores de

pode escrever-se

(96) 21

2

pd

nn

(97) pd 2





Pedro V. Gamboa 37


amortecidos Exemplo 3.02: Considere o sistema indicado na figura.

Determine qual o valor da constante de amortecimento c para o

qual o fator de amortecimento () é igual a 1,25.

M1 M2

C

K2

K1 R1

R2

Ip

R1 = 10 cm

R2 = 30 cm

Ip = 1,1 Kgm2

M1 = 10 Kg

M2 = 25 Kg

K1 = 1x104 N/m

K2 = 1x105 N/m





Pedro V. Gamboa 38

1. Sistemas com Um DOF 1.5. Vibração Forçada: resposta a uma

solicitação harmónica Na prática, existem muitos sistemas vibratórios que sofrem a

ação de solicitações dinâmicas externas durante períodos de

tempo significativos, podendo estas ser do tipo harmónico,

periódico não harmónico ou não periódico.

Consideremos pois o sistema com amortecimento viscoso

presente na figura seguinte, sujeito à ação de uma solicitação

harmónica de intensidade F e de frequência w, de tal forma que

(98) tFtf wsin





Pedro V. Gamboa 39


solicitação harmónica

Neste caso, a equação diferencial que rege o movimento será

Podemos, em alternativa, substituir f(t)=Fsin(wt) por f(t)=Feiwt.

(99) tftFtkxtxctxm wsin





Pedro V. Gamboa 40


solicitação harmónica Assim, a equação de movimento fica

Esta equação diferencial de segunda ordem tem como solução

ou

Por uma questão de simplicidade de notação, consideraremos,

doravante, .

Assim, .

(100) tiFekxxcxm w

(101) w tiXex

(102) tieXx w

XX

tiXex w





Pedro V. Gamboa 41


solicitação harmónica Considerando apenas o coeficiente da parte imaginária, a

exemplo do que se fez para a força relativa à equação (99) e

substituindo a equação (102) na equação (100), obtemos

Então, a solução particular da equação (100) virá, na forma

complexa, como

ou

(103) titi FeXeickm wwww 2

(104)

titi Fecmk

icmkFe

icmktx ww

ww

ww

ww 222

2

2

1

tiFeHtx ww





Pedro V. Gamboa 42


solicitação harmónica em que

O termo H(w) tem o nome de resposta complexa em frequência

ou deslocabilidade.

A parte imaginária da equação (104) é

Podemos reescrever esta equação como

(105) 222

2

ww

www

cmk

icmkH

(106)

F

cmk

tmktctx

222

2 sincos

ww

wwww

(107)

2

222

arctansinw

ww

ww mk

ct

cmk

Ftx





Pedro V. Gamboa 43


solicitação harmónica A equação (107) é, portanto, a solução particular da equação

(100).

No entanto, existe um teorema matemático que diz que a

solução geral de uma equação diferencial é igual à soma da

solução da sua equação homogénea (com o membro da direita

igual a zero) com uma solução particular da mesma.

Ora, vimos anteriormente que a solução da equação homogénea

correspondia à resposta de um sistema sub-amortecido, pelo que

a solução completa da equação (100) será da forma

com

(108)

w

ww

www

t

cmk

FtAtAetx aa

tn sinsincos222

21

2arctan

w

w

mk

c





Pedro V. Gamboa 44


solicitação harmónica Desta expressão (108) facilmente se conclui que a resposta de

um sistema sujeito a uma vibração forçada sofre, num período

inicial, o efeito das vibrações livres com um caráter transitório.

Porém, como se viu no capítulo anterior, as vibrações livres

acabam por desaparecer devido ao efeito do amortecimento,

mantendo-se apenas as vibrações forçadas a partir desta fase

inicial.

Temos, por isso, um regime transitório da vibração à resposta

completa e um regime permanente após o desaparecimento das

vibrações naturais do sistema tal como visível na figura seguinte.





Pedro V. Gamboa 45







Pedro V. Gamboa 46


solicitação harmónica Na maior parte dos casos práticos, a duração do regime

transitório é fugaz, pelo que apenas importa considerar o que se

passa no regime permanente.

Assim, a resposta do sistema será

onde X é a âmplitude e é o desfazamento relativamente à

força aplicada.

(109) 222 ww cmk

FX

2arctan

w

w

mk

c

w tXtx sin





Pedro V. Gamboa 47


solicitação harmónica Tomando a expressão anterior e substituindo para os parâmetros

então

Nesta expressão (111), podemos chamar ao termo em função de

e b como sendo o fator de ampliação (Q), o qual traduz a

relação entre a resposta resultante de amplitude X e o

deslocamento que o sistema sofreria se a força F tivesse um

carater estático, ou seja

(111) 222 21

1

bb

k

FX

m

k

m

c

c

cn

ncn

ww

w

wb ;

2; (110)

(112) 222 21

1

bb

STX

XQ





Pedro V. Gamboa 48


solicitação harmónica O ângulo de desfasamento pode também escrever-se como

As funções das equações (112) e (113) estão representadas

graficamente na figura seguinte, a qual contém uma família de

curvas para diferentes valores de e de b.

21

2arctan

b

b

(113)





Pedro V. Gamboa 49







Pedro V. Gamboa 50







Pedro V. Gamboa 51


solicitação harmónica A observação destas curvas permite retirar algumas constatações

importantes.

• Em primeiro lugar, verifica-se que quando a frequência da

força perturbadora iguala a frequência natural do sistema,

então a amplitude da vibração aumenta significativamente,

podendo atingir valores a tender para infinito no caso de um

sistema sem amortecimento (=0).

• Esta condição, a que corresponde um ângulo de desfasamento

=90º, é conhecida como ressonância.

• Outra constatação importante diz respeito ao facto da

máxima amplitude do movimento não ocorrer exatamente

para w=wn no caso de ≠0.





Pedro V. Gamboa 52


solicitação harmónica De facto, o valor máximo de Q pode ser obtido através da

diferenciação da equação (112) em ordem a b.

Assim

Igualando esta expressão a 0 verifica-se que os máximos da

função Q ocorrem quando

Constata-se pois, que quanto maior for o valor do

amortecimento, mais afastado de wn ocorrerá o máximo valor do

fator de ampliação.

(114)

2

32242

22

4212

844

bbb

bbb

b

d

dQ

(115) 221

w

wb

n





Pedro V. Gamboa 53


solicitação harmónica Pelo contrário, para valores muito baixos de amortecimento

(<0,15) pode admitir-se que o valor máximo de Q ocorre

quando b=1, pelo que da equação (112)

Finalmente, a expressão para determinação de Qmax pode ser

obtida conjugando as equações (115) e (112):

Convém, agora, analisar o fenómeno da ressonância com mais

detalhe.

(116)

b2

11 Q

(117)

2

2max

21arctan;

12

1

Q





Pedro V. Gamboa 54


solicitação harmónica Neste caso b=1 e, então, a resposta dinâmica completa do

sistema traduzida pela equação (108) virá como:

Nota: quando b=1

Se considerarmos as condições iniciais

então, podemos encontrar os valores das contantes A1 e A2 da

equação (118).

222

1 p

ST

ST

XX

X

X

(118) tX

tAtAetx nST

aatn w

www

cos2

sincos 21

000 xx





Pedro V. Gamboa 55


solicitação harmónica Assim

Substituindo estes valores na equação (118) tem-se

Para valores muito reduzidos de amortecimento, a contribuição

do termo em seno pode ser desprezável e as frequências

naturais amortecida e não-amortecida serão praticamente

iguais, pelo a equação (120) ficará

(119) 2

21

12;

2 STST X

AX

A

(120)

ttte

Xtx naa

tST n ww

w

wcossin

1cos

2 2

(121) teX

tteX

tx ntST

nntST nn w

ww

wwcos1

2coscos

2





Pedro V. Gamboa 56


solicitação harmónica e o fator de ampliação será

Representando esta função graficamente, vê-se que a resposta

do sistema em ressonância ficará limitada ao fim de alguns ciclos

a um valor limite variável em função de .

(122) teQ nt

resn w

wcos1

2

1





Pedro V. Gamboa 57


solicitação harmónica No entanto, quando o amortecimento é nulo, a equação (122)

torna-se indeterminada.

Aplicando a Regra de L’Hopital à equação (120) obtém-se,

quando tende para 0,

Nota: a Regra de L’Hopital diz que

(123) tttQ nnnres www cossin2

1

0lim

0limcomlimlim

xg

xf

xg

xf

xg

xf

ax

axaxax





Pedro V. Gamboa 58


solicitação harmónica Neste caso, e dado que o sistema não é amortecido, a amplitude

da resposta aumenta progressivamente com o número de ciclos

até atingir um valor que provocará o colapso do sistema tal

como visível na figura.





Pedro V. Gamboa 59


solicitação harmónica Exemplo 3.03: Considere um sistema massa-mola de 1 DOF

como mostra a figura. A constante elástica da mola é k=10N/m e

o valor da massa é m=0,1kg.

a) Determine a equação de movimento livre do sistema.

b) Calcule a frequência natural.

c) Determine a equação do movimento livre sabendo que o

coeficiente de amortecimento é c.





Pedro V. Gamboa 60


solicitação harmónica Exemplo 3.03 (continuação):

d) Obtenha o valor do coeficiente de amortecimento para que o

amortecimento seja crítico.

e) Obtenha o valor do coeficiente de amortecimento para que o

fator de amortecimento seja 0,5.

f) Determine as frequências de vibração amortecida para as

alíneas d) e e).

g) Determine o módulo da força necessária para provocar um

deslocamento estático de 0,15m.

h) Assumindo que esta força tem uma variação harmónica ao

longo do tempo com uma frequência de 9 rad/s, calcule o fator

de ampliação, para os casos de d) e e) quando as condições

iniciais do movimento são . 000 xx





Pedro V. Gamboa 61


solicitação harmónica Exemplo 3.03 (continuação):

i) Calcule a amplitude máxima dos dois movimentos acima

quando a frequência da força de excitação é 10rad/s.

j) Represente graficamente estes dois movimentos.





Pedro V. Gamboa 62

1. Sistemas com Um DOF 1.6. Vibrações induzidas por massas

desequilibradas Muitos equipamentos usados em

engenharia têm peças em movimento

rotativo (ou alternativo) que,

eventualmente, podem sofrer de

vibrações provocadas por uma força

perturbadora devido à existência de um

componente desequilibrado, isto é,

cuja massa tem um centro de gravidade

fora do eixo de rotação.

Assim, considere-se o sistema da figura

representantivo de uma máquina com

um desequilíbrio de massa m1 a rodar

com uma velocidade angular w (rad/s).

e é a excentricidade





Pedro V. Gamboa 63


desequilibradas O sistema tem apenas um grau de liberdade e a sua massa total

será m=m1+m2.

A força centrífuga imposta pela massa em desequilíbrio à

máquina é igual a:

chamando

e considerando a componente vertical da força, podemos

escrever

(124) 21

2 ww emRmmaF c

m

m1

tmeF ww sin2





Pedro V. Gamboa 64


desequilibradas A equação do movimento fica

A solução desta equação é da forma

em que

(125) tmekxxcxm ww sin2

(126) w tXtx sin

(127) 222

2

ww

w

cmk

meX

2arctan

w

w

mk

c





Pedro V. Gamboa 65


desequilibradas Note-se que esta solução despreza a parte transitória da

resposta do sistema uma vez que, como vimos, esta tem uma

duração curta.

A exemplo do que já foi visto anteriormente, vamos considerar

que

e então

cn c

c

w

wb ;

(128) 222

2

21 bb

b

e

x

21

2arctan

b

b

(129)





Pedro V. Gamboa 66


desequilibradas As funções das equações (128) e (129) estão representadas

graficamente na figura seguinte, a qual contém uma família de

curvas do parâmetro x/e para diferentes valores de e de b.

Uma vez que os valores de , e, c e wn são constantes para um

dado sistema, então as curvas representadas são gráficos da

amplitude da massa do sistema em função da velocidade de

rotação da massa desequilibrada.





Pedro V. Gamboa 67


desequilibradas





Pedro V. Gamboa 68


desequilibradas A observação destas curvas permite retirar algumas constatações

importantes.

• Para pequenas velocidades de rotação da massa m1, a massa

total m move-se muito pouco;

• A amplitude cresce para valores de velocidade próximos da

frequência natural e à medida que o amortecimento diminui;

• Os valores máximos de x/e não ocorrem para b=1, mas antes

para valores ligeiramente superiores, isto é,

221

1

b





Pedro V. Gamboa 69


desequilibradas Podemos estender esta teoria de forma aproximada a situações

desequilibradas provocadas por massas alternativas (por

exemplo motores).

Considere-se, para o efeito, o motor ilustrado na figura





Pedro V. Gamboa 70


desequilibradas Neste caso, a força perturbadora é igual à força de inércia da

massa alternativa que é dada, aproximadamente, por

(130)

t

L

etem www 2cossin2

1





Pedro V. Gamboa 71


desequilibradas Exemplo 3.04: Considere um sistema massa-mola-amortecedor

de 1 DOF como mostra a figura. A constante elástica da mola é

k=10N/m, o fator de amortecimento é =0,1, o valor da massa 1

é m1=0,02kg, o valor da massa 2 é m2=0,2kg e a excentricidade é

e=0,01m.





Pedro V. Gamboa 72


desequilibradas Exemplo 3.04 (continuação):

1. Despresando o efeito da excentricidade e:

a) Obtenha os valores das frequências de vibração natural e de

vibração amortecida do sistema.

b) Calcule o valor do coeficiente de amortecimento.

c) Determine a equação de movimento livre do sistema.

d) Quanto tempo levaria a amplitude do sistema a cair para

metade?

e) Quanto tempo levaria a amplitude do sistema a cair para um

décimo?





Pedro V. Gamboa 73


desequilibradas Exemplo 3.04 (continuação):

2. Tendo, agora, em conta o efeito da excentricidade:

a) Determine a equação da força aplicada no sistema devido à

massa m1 que roda no sentido anti-horário com uma frequência

w=10rad/s.

b) Calcule a amplitude e o ângulo de fase do movimento forçado

resultante no regime permanente.

c) O que faria para reduzir a amplitude do movimento para

metade?





Pedro V. Gamboa 74

1. Sistemas com Um DOF 1.7. Balanceamento de massas

desequilibradas O balancemanto de corpos em rotação com massas

desequilibradas é importante para prevenir as vibrações.

As vibrações em maquinaria pesada e geradores elétricos, por

exemplo, podem provocar falhas catastróficas.

As vibrações podem ser ruidosas e desconfortáveis e, num

automóvel, por exemplo, quando uma roda está desequilibrada

as viagens tornam-se desagradáveis.

No caso de uma simples roda, o balanceamento resume-se a

reposicionar o centro de massa da roda no seu eixo de rotação.

Para sistemas mais complexos, esta tarefa pode ser mais

trabalhosa.





Pedro V. Gamboa 75

1. Sistemas com Um DOF 1.7. Balanceamento de massas

desequilibradas Para um corpo estar totalmente equilibrado, é necessário reunir

duas condições:

• Equilíbrio estático: Este ocorre quando não existe uma força

centrífuga resultante e o centro de massa coincide com o

centro de rotação.

• Equilíbrio dinâmico: Este ocorre quando não existe um

momento ao longo do eixo.





Pedro V. Gamboa 76

1. Sistemas com Um DOF

1.7. Balanceamento de Massas Desequilibradas

1.7.1. Balanceamento num plano

Se o sistema for um simples disco, então apenas é necessário

fazer o balanceamento estático.

Considere-se o disco estreito, ou roda, da figura em que o centro

de massa e o centro de rotação não estão na mesma posição.

centro de massa

centro de rotação

e





Pedro V. Gamboa 77


1.7. Balanceamento de Massas Desiquelibradas


Para testar o equilíbrio estático basta apoiar a roda num

rolamento sem fricção.

O centro de massa irá posicionar-se sempre sob o centro de

rotação (como um pêndulo).

Se o disco estiver equilibrado, ele permanecerá imóvel qualquer

que seja a sua posição inicial.

Se o centro de massa estiver a uma distância e do centro de

rotação, quando o disco roda a uma velocidade angular w, então

a força centrífuga gerada é, como visto antes,

onde m é a massa do disco e e a excentricidade.

Esta é a força de desequilíbrio.

2wmeF (131)





Pedro V. Gamboa 78


1.7. Balanceamento de Massas Desiquelibradas


Por forma a cancelar esta força, é necessário criar outra com a

mesma direção e intensidade mas com sentido contrário.

Isto consegue-se, adicionando uma massa me numa posição re

numa linha que une os dois centros de massa e passa pelo eixo de

rotação.

Assim, tem-se

ou

uma vez que a velocidade angular é a mesma.

(132) 22 ww merm ee

(133) merm ee





Pedro V. Gamboa 79




Colocando uma massa adequada numa posição radial adequada

desloca-se o centro de massa para o eixo de rotação.

Este equilíbrio é válido para qualquer velocidade de rotação

desde que o produto me se mantenha igual e oposto.

centro de rotação

2wme 2weerm





Pedro V. Gamboa 80




Considere-se, agora, que o nosso disco está desiquilibrado porque

tem três outras massas agarradas a ele.

m1

m2

m3





Pedro V. Gamboa 81




Estas massas são coplanares e rodam em torno do mesmo eixo.

As forças centrífugas que atuam em cada massa são

Estas são quantidades vetoriais que podem ser adicionadas

vetorialmente para se obter a força resultante.

2333

2222

2111 ;; www rmFrmFrmF

F1 F

força resultante

F3 F2

F1 Fe

força de balanceamento

F3 F2





Pedro V. Gamboa 82




Se o sistema estivesse equilibrado não haveria força resultante.

Então, é necessário adicionar uma força com magnitude igual e

sentido oposto para anular a força resultante.

A força resultante é dada por

ou por

com

2332211

233

222

211321 wwww rmrmrmrmrmrmFFFF

(134)

jFiFF yx

(135)

2333222111 coscoscos w rmrmrmFx

2333222111 sinsinsin w srmrmrmFy





Pedro V. Gamboa 83




onde é o ângulo de posição e e são os vetores unitários na

direção x e y, respetivamente.

A magnitude e ângulo de posição da força resultante são

A excentricidade do desiquilíbrio das massas pode ser obtida a

partir da equação (131) com

onde a massa total m é

j

i

x

y

yxF

FFFF arctan;22 (136)

2wm

Fe (137)

321 mmmm (138)





Pedro V. Gamboa 84




A magnitude e a posição angular da força que opõe a força

resultante, chamada força de balanceamento, são dadas por

A força de balanceamento, em forma vetorial é dada por

Assim, para se ter o sistema equilibrado é necessário que

e, então,

jFiFjFiFF eeeeeyexe

sincos (140)

p eyxe FFF ;22(139)

eee Frm 2w (141)

2w

eee

Frm (142)





Pedro V. Gamboa 85




sendo me e re, escolhidos adequadamente, e serão válidos para

qualquer velocidade de rotação desde que me não se altere.

m1

m2

m3

me





Pedro V. Gamboa 86




Em geral, para um número n qualquer de massas, as expressões

acima que dependem delas ficam:

n

k

kkkx rmF1

2 cosw

n

k

kmm1

(145)

(143)

n

k

kkky rmF1

2 sinw (144)





Pedro V. Gamboa 87




Exemplo 3.05: Três massas A, B e C estão posicionadas num

disco equilibrado como mostra as figura em posições radiais de

120mm, 100mm e 80mm, respetivamente. As massas são de 1kg,

0,5kg e 0,7kg, respetivamente. Determine qual o valor da quarta

massa e a sua posição angular, necessária adicionar ao sistema,

numa posição radial de 60mm para que o sistema fique

estaticamente equilibrado.

mA

mB mC

30º 100º





Pedro V. Gamboa 88




Exemplo 3.06: Três massas A, B e C estão posicionadas num

disco equilibrado como mostra a figura em posições radiais de

100mm, 75mm e 90mm, respetivamente. As massas são de 1kg,

1,5kg e 2kg, respetivamente. Determine qual o valor da quarta

massa e a sua posição angular, necessária adicionar ao sistema,

numa posição radial de 60mm para que o sistema fique

estaticamente equilibrado.

mA

mB

mC

45º 165º





Pedro V. Gamboa 89




Exemplo 3.07: Considere o sistema mecânico da figura referente

à suspensão de um automóvel ligeiro. A roda tem um

desequilíbrio correspondente a uma massa m1 de 0,01kg numa

posição radial e de 0,25m. A massa sobre a roda M tem o valor de

200kg. Os valores de k e são, respetivamente, 25KN/m e 0,6.





Pedro V. Gamboa 90




Exemplo 3.07 (continuação):

Assumindo que o chão é totalmente plano, não introduzindo

qualquer força no sistema:

a) Escreva a equação do sistema em regime permanente.

b) Mostre graficamente o movimento da massa M, quando a roda

tem uma velocidade angular de 600rpm.

c) Proponha uma forma de equilibrar a roda.





Pedro V. Gamboa 91



1.7.2. Balanceamento fora do plano

Considere-se, agora, duas massas estaticamente equilibradas,

mas atuando em posições diferentes ao longo de um eixo.

Para equilíbrio estático tem-se mArA=mBrB.

Torna-se claro que, mesmo com equilíbrio estático, a força

centrífuga cria um momento em torno do centro de massa.

centro de massa

momento

w

A

B





Pedro V. Gamboa 92




Neste caso simples, o problema é resolvido adicionando uma

força igual e oposta nos dois pontos como mostra a figura.

w

A

B





Pedro V. Gamboa 93




Considere-se o momento resultante de uma única massa.

A força centrífuga produzida é F=mrw2.

O momento em relação ao plano de referência é M=Fx=mrw2x.

w

B

x

força centrífuga

r

plano de referência





Pedro V. Gamboa 94




Para se obter equilíbrio dinâmico e estático é necessário

determinar o momento resultante e adicionar massas em pontos

apropriados para o anular.

Os pontos apropriados vão estar em dois planos não coplanares

com qualquer das massas originais.

Para isto é necessário usar dois diagramas de vetores.

Uma vez que a velocidade angular é comum a todas as massas

pode assumir-se w=1 e desenhar vetores que representam mr e

mrx.

O método é melhor explicado através de um exemplo.





Pedro V. Gamboa 95




Exemplo 3.08: Considere o veio da figura com duas massas

desequilibradas, mB e mC. Determine as massas necessárias

colocar nos planos A e D e a respetiva posição angular para se

obter equilíbrio total sabendo que rA=rD=0,06m.

60º

xB=0,2m

w

plano A mB=5kg mC=2kg plano D

xC=0,3m

xD=0,375m

B

C

rB=0,075m

rC=0,050m





Pedro V. Gamboa 96




Exemplo 3.09: Um veio tem quatro discos A, B, C e D ao longo

do seu comprimento distanciados 100mm entre si. Uma massa de

0,8kg está no disco B a uma distância do centro de 20mm. Uma

massa de 2kg está no disco C num raio de 30mm e rodada 120º

em relação à massa B. Determine as massas necessárias colocar

em A e em D, num raio de 25mm que produzam equilíbrio total.





Pedro V. Gamboa 97




Exemplo 3.10: O diagrama da figura mostra duas massas em dois

rotores nos planos B e C. Determinar o valor das massas a

adicionar aos rotores dos planos A e D num raio de 40mm para

que se obtenha equilíbrio dinâmico e estático.

60º

A

5kg

3kg

D

100mm

B C

70mm 80mm

45º

50mm

20mm





Pedro V. Gamboa 98

1. Sistemas com Um DOF 1.8. Transmissibilidade da Força

Grande parte dos problemas de engenharia pressupõe que haja

uma transmissão das forças (vibrações) desenvolvidas por uma

máquina às estruturas ou componentes vizinhos, o que poderá

originar fenómenos de ruína variados (fadiga, fretting, desgaste,

etc.).

Torna-se portanto necessário isolar a transmissão de vibrações

entre componentes.

A eficiência do isolamento pode ser medida em termos da razão

entre a força ou movimento transmitido e a força ou movimento

desenvolvido.





Pedro V. Gamboa 99


Considere-se, pois, o sistema da figura

Considere-se ainda que a rigidez da estrutura de suporte é muito

superior à do conjunto mola + amortecedor, sendo estes

responsáveis pela transmissão da força entre a massa vibrante e

a fundação.





Pedro V. Gamboa 100


Neste caso, a força transmitida, FTR, será igual a

Por outro lado, podemos considerar que a força aplicada , FAP, é

dada por

Vimos anteriormente que para um sistema deste tipo, a relação

de com a força aplicada é

xckxFTR (146)

tiAPAP eFF w

APFcimk

Xww

2

1(147)

X





Pedro V. Gamboa 101


Portanto, associando as expressões (146) e (147) e colocando

podemos escrever

A transmissibilidade da força pode ser obtida fazendo

ou usando as definições de e b

tieXx w

APTR Fcimk

cikXciXkF

ww

ww

2(148)

cimk

cik

F

FT

AP

TRR

ww

w

2 (149)

222

2

21

21

bb

b

RT (150)





Pedro V. Gamboa 102


Graficamente TR fica:





Pedro V. Gamboa 103


Da figura anterior é possível destacar algumas conclusões:

• Todas as curvas se intersetam no ponto , pelo que a

força transmitida só é menor do que a força aplicada quando

• Considerando que a amplitude de FAP é constante, a força

transmitida à fundação será proporcional à TR, pelo que será

conveniente usar velocidades de operação das máquinas de tal

forma que

2b

2nww

2nww





Pedro V. Gamboa 104


No caso, de uma máquina de velocidade variável com uma massa

excêntrica, prova-se que a transmissibilidade é dada pela

expressão

com

sendo e a excentricidade.

Podemos, ainda, definir a redução da força como sendo

2wmeFn

R

n

TR TF

F 2

222

22

21

21b

bb

bb

(151)

R

AP

TRAP TF

FF

1 (152)





Pedro V. Gamboa 105


Graficamente 1-TR fica:





Pedro V. Gamboa 106


Um exemplo de aplicação do conceito de transmissibilidade é um

instrumento capaz de medir movimentos vibratórios como é o

caso de um sismógrafo.

Este aparelho está representado esquematicamente na figura





Pedro V. Gamboa 107


Pela teoria anteriormente vista, o movimento relativo entre a

massa e a base pode ser registado, estando ambos relacionados

pela equação

222

2

21

21

bb

b

y

x(152)





Pedro V. Gamboa 108


Exemplo 3.11: Considere o sistema mecânico da figura referente

à suspensão de um automóvel ligeiro que se desloca ao longo de

uma estrada com oscilações regulares que induzem uma força

harmónica na roda. A massa sobre a roda M tem o valor de 200kg.

Os valores de k e são, respetivamente, 25KN/m e 0,6.





Pedro V. Gamboa 109


Exemplo 3.11 (continuação):

Assumindo que a força aplicada na roda tem a forma:

a) Calcule a transmissibilidade da força.

b) Calcule a relação entre o deslocamento da roda y e o

deslocamento da massa x.

c) Mostre graficamente o movimento da massa M.

d) Qual é o deslocamento máximo da massa M e da roda?

e) Comente os resultados.

tFAP 20sin500





Pedro V. Gamboa 110

1. Sistemas com Um DOF 1.9. Isolamento de Vibrações

Vários materiais estão atualmente disponíveis com a função de

isolamento de vibrações, destacando-se o feltro, a borracha, a

cortiça, molas elásticas, etc..

Em qualquer dos casos, pretende-se que o isolador garanta a

quebra de ligação rígida entre a máquina e a estrutura de

suporte e, ao mesmo tempo, que a sua eventual rutura não

induza o colapso geral do equipamento/estrutura.

Vejamos, pois, algumas características desses materiais.





Pedro V. Gamboa 111


• Feltro: Usado geralmente para frequências acima dos 40Hz. É

apenas eficaz quando trabalha à compressão e não resiste a

esforços de torção. Como regra geral, as deformações exigidas

aos blocos de feltro não devem ultrapassar 25% da sua

espessura. Tem um coeficiente de amortecimento elevado,

sendo particularmente satisfatório para baixos valores de b.

Sendo um material orgânico tem propensão para se deteriorar

quando exposto a óleos e solventes.

• Cortiça: Pode ser usada tanto à compressão como ao corte

sendo recomendada para frequências acima dos 40Hz. O seu

módulo de elasticidade diminui com o aumento de carga. É

resistente à corrosão, solventes e a temperaturas moderadas.





Pedro V. Gamboa 112


• Molas Metálicas: São largamente utilizadas para aplicações

com baixas frequências. Têm muito pouco amortecimento e

por isso são particularmente aptas para . São resistentes

a ambientes agressivos e temperatura elevada.

• Borracha: Material muito usado como supressor de vibrações

até frequências na ordem de 50Hz. Trabalha tanto ao corte

como à compressão, mas as suas propriedades variam

significativamente com a carga, temperatura e frequência.

Podem ser atacadas por óleos e solventes.

• Molas de ar ou “airbag”: São constituídas por sacos de ar de

alta resistência, cheios com ar, e usam-se em condições de

muito baixa frequência (entre 0,07Hz e 5Hz), permitindo

deflexões apreciáveis.

2b





Pedro V. Gamboa 113


Uma nota final para o facto de se assistir, atualmente a uma

tendência de se usarem certas técnicas construtivas e materiais

que são propensos à transmissão de vibrações.

Por exemplo:

• As juntas soldadas apresentam um menor amortecimento do

que as uniões rebitadas ou aparafusadas.

• Geralmente, os materiais mais resistentes (tais como o aço)

têm um muito menor coeficiente de amortecimento do que os

materiais menos resistentes (plásticos, borrachas, etc.).





Pedro V. Gamboa 114


O isolamento de vibrações é um

processo pelo qual os efeitos da

vibração são minimizados, já que é

impossível eliminá-los totalmente.

Dependendo do tipo de suspensão

(que desempenha o papel de

isolador), que pode ser ativa ou

passiva, ela reduzirá, respetivamente,

a amplitude da força transmitida do

sistema para a base (fig. a), ou a

amplitude do movimento transmitido

da base para o sistema (fig. b).





Pedro V. Gamboa 115


O isolador de vibrações, obviamente, é um conjunto de molas

(rigidez equivalente k) e amortecedores (coeficiente de

amortecimento equivalente c).

A medida do isolamento de vibrações é feita através do

parâmetro denominado transmissibilidade.

A transmissibilidade, simbolizada por TR, é definida de acordo

com o tipo de suspensão.

Assim,

suspensão ativa:

suspensão passiva:

excitaçãodeforçadaamplitude

atransmitidforçadaamplitudeRT

excitaçãodemovimentodoamplitude

otransmitidmovimentodoamplitudeRT





Pedro V. Gamboa 116


Exemplo 3.12: Um motor elétrico aciona um equipamento a uma

velocidade de 1750rpm. O sistema está montado sobre calços de

borracha os quais apresentaram uma deformação estática de

5mm durante a montagem. Determinar a transmissibilidade da

força do motor para a fundação assumindo que o fator de

amortecimento do sistema é 0,25.





Pedro V. Gamboa 117


Exemplo 3.13: Um equipamento eletromecânico está montado

sobre um conjunto de isoladores de borracha. O sistema, cuja

frequência natural é 500rpm, exibe, na ressonância, um fator de

amplificação de 5. A partir de que frequência a

transmissibilidade da força é reduzida a 50%?





Pedro V. Gamboa 118


Exemplo 3.14: A figura mostra a resposta em frequência do

movimento vertical do piso nas proximidades de uma prensa.

Estime o fator de amortecimento e calcule a transmissibilidade

a 1800rpm.





Pedro V. Gamboa 119


Exemplo 3.15: Observa-se que a vibração livre de uma haste

vertical encastrada no chão cai de uma amplitude inicial de

20mm para metade desse valor em 10 ciclos. Calcular a

amplitude da resposta permanente na ressonância quando a base

da viga é excitada pelo deslocamento horizontal harmónico da

figura, dado em metros.





Pedro V. Gamboa 120


Exemplo 3.16: Um motor elétrico roda a 1750rpm e deve ser

montado sobre suportes de borracha. Estão disponíveis dois tipos

de suporte: do tipo A com uma deflexão estática de 5mm e do

tipo B com 8mm. Qual é o tipo de suporte mais adequado no que

diz respeito ao isolamento de vibrações? Considerar que ambos os

tipos apresentam um fator de amortecimento de 0,2.





Pedro V. Gamboa 121

1. Sistemas com Um DOF 1.10. Resposta a uma Força Periódica

Muitas vezes, os sistemas vibratórios podem estar sujeitos a

excitações periódicas que não têm que ser necessariamente

harmónicas, sendo este um caso mais geral.

No entanto, uma solicitação periódica pode ser decomposta em

várias componentes harmónicas com recurso a uma Série de

Fourier.

Assim, uma função é periódica se

sendo T o período de tempo necessário para que f(t) se repita.

Ttftf (153)





Pedro V. Gamboa 122


Uma função periódica pode ser expandida por via de uma Série

de Fourier com a seguinte forma

ou em alternativa

sendo

Note-se que n é um número inteiro positivo, e an, bn e cn são os

coeficientes da série.

1

0 sincos2 n

nn tnbtnaa

tf ww (154)

1

0 sinn

nn tncctf w (155)

n

nnnnn

b

abac

ac arctan;;

2

2200 (156)





Pedro V. Gamboa 123


Note-se ainda que a0/2 é o valor médio da função f(t), tendo esta

uma frequência fundamental igual a w=2p/T (a que corresponde

n=1).

Para outros valores de n corresponderão valores de frequência

dados por nw=2np/T.

Os valores de an e bn são dados por

T

n

T

n

T

dttntfT

b

dttntfT

a

dttfT

a

0

0

00

sin2

cos2

2

w

w (157)





Pedro V. Gamboa 124


Assim, a equação de movimento geral para um sistema vibratório

com 1 grau de liberdade é:

Pelo teorema da sobreposição, a resposta dinâmica, em regime

permanente e devida a cada uma das componenentes harmónicas

inerentes à perturbação f(t), é dada por

com

1

0 sincos2 n

nn tnbtnaa

kxxcxm ww (158)

1 2222

0

21

sincos

2 n

nnnn

nnk

tnbtna

k

ax

bb

ww(159)

221

2arctan

b

b

n

nn (160)





Pedro V. Gamboa 125

1. Sistemas com Um DOF 1.11. Fenómeno de Batimento

Já foi visto anteriormente que a soma de dois movimentos

harmónicos diferentes não resulta num movimento harmónico.

No entanto, se as frequências destes movimentos forem

ligeiramente diferentes resulta o movimento com o aspeto da

figura abaixo, onde se identifica o fenómeno de batimento

(beating) cada vez que a amplitude atinge um máximo.





Pedro V. Gamboa 126


Considerem-se dois movimentos com duas frequências

ligeiramente diferentes, isto é

Então

e finalmente

tXxtXx ww cos;cos 21 (161)

ttXtXtXxxx wwww coscoscoscos21

ttXx

2cos

2cos2

w

(162)

Relembrar da trigonometria:

cos+cosb=2cos(/2-b/2)cos(/2b/2





Pedro V. Gamboa 127


Como se vê, o movimento resultante pode ser considerado como

sendo uma função circular com frequência

e de amplitude variável

A frequência de batimento, fb, será dada por

p

p

w

p

w

22212

fffb (163)

2

w

tX

2cos2





Pedro V. Gamboa 128






Pedro V. Gamboa 129






Pedro V. Gamboa 130


Efeito da alteração da frequência de um movimento em relação a

outro:





Pedro V. Gamboa 131

2. Sistemas com n DOF

Muitos dos sistemas vibratórios existentes em ambiente real

pressupõem múltiplos graus de liberdade, sendo a sua análise

mais complexa e exigindo, por vezes, o recurso ao cálculo

computacional.

Enquanto um sistema com apenas 1 grau de liberdade fica sujeito

a um movimento que se pode descrever como um estado material

de vibração (ou seja, o sistema vibra com uma frequência igual à

sua frequência natural), num sistema com vários graus de

liberdade o estado natural de vibração corresponde a uma dada

configuração de deslocamentos das massas discretas, tendo um

número finito de modos de vibração conhecidos por modos

naturais de vibração.





Pedro V. Gamboa 132


Neste caso, o sistema pode vibrar com qualquer das suas

frequências naturais associadas a cada um dos modos de

vibração.

Por questões de simplicidade, considere-se o sistema com 2 graus

de liberdade da figura





Pedro V. Gamboa 133


As equações de movimento podem ser obtidas a partir do

diagrama de corpo livre considerando um deslocamento

arbitrário no instante t.

Assumindo que se tem um movimento sinusoidal representado

por

tem-se para as velocidades e acelerações

21222

2121111

xxkxm

xxkxkxm

(164)

tXxtXx ww sin;sin 2211

tXtxtXtx

tXtxtXtx

wwww

wwww

sin;sin

cos;cos

2

2

21

2

1

2211





Pedro V. Gamboa 134


que substituídos na Eq. (164) resulta em

Rearranjando o sistema de equações, agrupando as variáveis

idênticas X, tem-se

Ou, ainda, escrevendo na forma matricial

Para que esta equação seja válida para quaisquer valores de X1 e

X2, então o determinante da matriz tem que ser nulo.

tXXktXm

tXXktXktXm

www

wwww

sinsin

sinsinsin

21222

2

2121112

1 (165)

0

0

222

212

221212

1

XkmXk

XkXkkm

w

w(166)

0

0

2

1

22

22

2212

1

X

X

kmk

kkkm

w

w(167)





Pedro V. Gamboa 135


Assim, obtém-se a seguinte equação característica

ou

Vemos que esta equação representa uma equação quadrática da

variável w2, o que significa que existem duas frequências naturais

w1 e w2.

A título de exemplo, considere-se o caso particular em que o

sistema é simétrico, isto é, m1=m2=m e k1=k2=k.

0212

2212214

21 kkkmkmkmmm ww (168)

0222

2221

21 kkmkkm ww





Pedro V. Gamboa 136


Neste caso, a Eq. (168) fica

Daqui resulta que as duas frequências naturais são dadas por

ou

Também se pode considerar para este caso, e para cada valor de

w, o quociente entre X1 e X2.

03 2242 kmkm ww (169)

2

22222

2

493

m

kmkmmk w

m

k

m

k618,1618,0 21 ww (170)





Pedro V. Gamboa 137


Assim, da segunda equação do sistema da Eq. (166) tem-se

Portanto, para w=w1, tem-se

e para w=w2 tem-se

Conclui-se, então, que se o sistema vibrar com a frequência

natural w1, ambas as massas se deslocam em fase, ao passo que a

frequência w2 levará a uma oposição de fase do deslocamento

das massas do sistema.

22

1

2 wmk

k

X

X

(171)

618,0618,02

12

2

1

X

X

618,1618,12

12

2

1

X

X





Pedro V. Gamboa 138


O exemplo apresentado ilustra o facto de as equações do

movimento serem acopladas.

De facto, vê-se através da equação (164) que as duas equações

não são independentes entre si, havendo variáveis comuns entre

ambas.

Quer isto dizer que o movimento da massa m1 é influenciado pelo

movimento da massa m2, e vice-versa.





Pedro V. Gamboa 139


Durante o projeto da maior parte dos sistemas dinâmicos é

necessário conhecer as suas frequências naturais e os modos de

vibração correspondentes para que se possa dimensionar a

relação entre as constantes elásticas e as massas e assim evitar

que o sistema funcione próximo das suas frequências naturais.

Neste sentido, as equações derivadas acima podem ser usadas

para identificar as frequências naturais e as formas dos modos de

vibração.





Pedro V. Gamboa 140


Quando estamos perante um sistema com mais de 2 DOF, a

equação do movimento pode ser representada genericamente na

seguinte forma matricial:

onde [M] é a matriz de massa, [C] é a matriz de amortecimento e

[K] é a matriz de rigidez.

Em certas situações particulares, é possível modificar as

equações de movimento de forma a selecionar um conjunto de

coordenadas principais (independentes e ortogonais) que levam a

que as matrizes de massa e de rigidez sejam diagonais, sendo a

abordagem mais simples uma vez que existe desacoplamento

(isto é, os modos de vibração são independentes uns dos outros).

tftxKtxCtxM (172)





Pedro V. Gamboa 141


Neste caso, cada equação do movimento pode ser resolvida como

se representasse um sistema de um só grau de liberdade.





Pedro V. Gamboa 142


Exemplo 3.17: Determine as frequências

naturais e as formas dos modos de vibração

de um sistema massa-mola que está

restringido de forma a mover-se na vertical.

Os dados estão identificados na figura ao

lado.





Pedro V. Gamboa 143

2. Sistemas com n DOF 2.1. Um caso de interesse com 2 DOF

Para atenuar o efeito das vibrações presentes

em máquinas recorre-se por vezes, a

alterações da frequência própria relativamente

à frequência da força excitadora, variando os

valores da massa e/ou rigidez, no entanto isto

nem sempre é praticável.

Um método alternativo consiste em recorrer a

um absorsor dinâmico como o indicado na

figura ao lado, tendo o conceito sido inventado

por Frahm em 1909.





Pedro V. Gamboa 144


O absorsor dinâmico, embora não tendo componentes para

amortecimento, permite eliminar as vibrações impostas à massa

M desde que se garanta que a frequência natural do absorsor

(massa m) é igual à frequência w da força perturbadora.

Provemos esta afirmação partindo das equações de movimento:

A vibração forçada do sistema tem a forma

Uma vez que as equações (173) só contêm termos em x1, x2, e

a dupla diferenciação de uma função seno continua a ser uma

função seno.

0

sin

1222

0221211

xxkxm

tPxkxkkxM

w(173)

tax

tax

w

w

sin

sin

22

11(174)

1x 2x





Pedro V. Gamboa 145


As equações diferenciais (173) podem passar a expressões

algébricas através da divisão por sin(wt):

Por questões de simplificação, passemos estas expressões para

uma forma adimensional considerando a seguinte notação

0222

12

0221212

akmak

PakakkM

w

w(175)

massasderazão

sistemadonaturalfrequência

absorsordonaturalfrequência

principalsistemadoestáticadeformação

1

2

1

0

M

m

M

k

m

k

k

Px

n

a

ST

w

w





Pedro V. Gamboa 146


Então, a equação (175) vem como:

Resolvendo este sistema de equações em ordem a a1 e a2 tem-se

01

1

22

2

1

2

1

212

2

1

2

aa

xak

ka

k

k

a

ST

n

w

w

w

w

(176)

1

22

2

1

22

2

2

1

22

2

1

22

2

2

2

1

11

1

11

1

k

k

k

kx

a

k

k

k

kx

a

na

ST

na

a

ST

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

(177)





Pedro V. Gamboa 147


Da análise do numerador da primeira equação acima, facilmente

se conclui que a amplitude do deslocamento da massa principal

(a1) é nula quando a frequência da força de excitação iguala a

frequência natural do absorsor.





Pedro V. Gamboa 148


Exemplo 3.18: O sistema massa-mola da figura

sofre uma excitação harmónica externa na

massa M. Considere que M=50kg, k1=1kN/m e

que a força de excitação tem amplitude

P0=100N e frequência w=20rad/s.

a) Determine o valor da massa m e da

constante elástica k2, que permite reduzir a

amplitude de oscilação da massa M para zero

e, ao mesmo tempo, sabendo que a razão de

massas =0,1.

b) Determine a amplitude do movimento da

massa m nas mesmas condições.

c) Comente os resultados.

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